CF1 · Materi 1.5

NPV, IRR, DWRR, dan TWRR — Ukuran Imbal Hasil Investasi

2026-02-17 Hard Bobot: 10–20% Vaaler Bab 1–2 / Kellison Bab 1–2 & Bab 11

CF1MatematikaKeuanganNilaiWaktuUangNPVIRRDWRRTWRRReturnMeasures

📘 1.5 — NPV, IRR, DWRR, dan TWRR

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Ukuran Imbal Hasil Investasi | Bobot: ~10–20% | Difficulty: Hard Ref: Vaaler Bab 1–2 / Kellison Bab 1–2, 11 | Prereq: Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang

Section 0 — Pemetaan Topik

Field	Detail
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik ID	1.5 — NPV, IRR, DWRR, TWRR
Skill Diuji	Calculate / Evaluate / Compare
Bobot	10–20%
Difficulty	Hard
Prerequisite	Topik 1 — TVM Dasar · Topik 1.2 — Discount dan Accumulation Function
Connected Topics	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas · Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Referensi	Vaaler & Daniel (2009) Bab 1–2; Kellison (2006) Bab 1–2, Bab 11

Section 1 — Intuisi

Bayangkan Anda seorang investor yang sedang memilih antara dua proyek: membuka kafe atau membeli ruko untuk disewakan. Keduanya membutuhkan modal awal dan menjanjikan arus kas di masa depan — tapi bagaimana Anda tahu mana yang lebih menguntungkan?

NPV adalah cara termudah: terjemahkan semua uang masa depan ke nilai hari ini (karena Rp 1 tahun depan tidak sama nilainya dengan Rp 1 sekarang), lalu kurangi modal awal. Kalau hasilnya positif, proyek itu menguntungkan. Kalau negatif, lupakan saja.

IRR adalah pertanyaan baliknya: “Pada suku bunga berapa semua arus kas masuk dan keluar menjadi impas?” Ini seperti mencari “yield” dari suatu investasi — dan Anda membandingkannya dengan biaya modal Anda. Kalau IRR lebih tinggi dari biaya modal, proyek layak jalan.

DWRR (Dollar-Weighted Rate of Return) adalah cara seorang investor nyata mengukur kinerjanya. Ia peduli pada kapan ia memasukkan atau menarik uangnya, karena timing itu memengaruhi hasilnya secara langsung. Inilah yang digunakan investor ritel untuk mengevaluasi apakah keputusan timing mereka bagus.

TWRR (Time-Weighted Rate of Return) adalah cara seorang manajer investasi diukur kinerjanya oleh klien. Manajer tidak bisa mengendalikan kapan klien memasukkan atau menarik dana — jadi hasil mereka harus diukur terlepas dari timing investasi. TWRR “menghapus” efek timing dan hanya mengukur kemampuan memilih aset.

Keempat ukuran ini saling melengkapi: NPV dan IRR untuk keputusan proyek, DWRR untuk pengalaman investor, TWRR untuk kemampuan manajer.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Net Present Value›

$NPV(i) = \sum_{t=0}^{n} C_t \cdot v^t = \sum_{t=0}^{n} \frac{C_t}{(1+i)^t}$ di mana $C_t > 0$ berarti arus kas masuk (inflow) dan $C_t < 0$ berarti arus kas keluar (outflow).

Variabel & Parameter:

Simbol	Makna
$C_t$	Arus kas netto pada waktu $t$ (negatif = pengeluaran)
$i$	Suku bunga diskonto efektif per periode
$v = \frac{1}{1+i}$	Faktor diskonto
$n$	Horizon waktu investasi
$NPV(i)$	Net Present Value — fungsi dari $i$
$IRR$	Internal Rate of Return — nilai $i^*$ yang membuat $NPV = 0$
$A$	Nilai aset (fund) pada awal periode DWRR/TWRR
$B$	Nilai aset pada akhir periode
$C_k$	Kontribusi bersih (net contribution) pada waktu $t_k$
$w_k$	Bobot waktu kontribusi: $w_k = 1 - t_k$ (untuk DWRR)

Rumus Utama

1. Net Present Value (NPV):

$NPV(i) = -C_0 + \sum_{t=1}^{n} \frac{C_t}{(1+i)^t}$

di mana $C_0 > 0$ adalah investasi awal (sebagai nilai absolut).

Aturan Keputusan NPV:

$\text{Terima proyek jika } NPV(i_{hurdle}) > 0$

2. Internal Rate of Return (IRR):

$i^*$ adalah solusi dari:

$NPV(i^*) = 0 \iff \sum_{t=0}^{n} C_t \cdot (1+i^*)^{-t} = 0$

Atau ekuivalen dalam bentuk akumulasi (focal date $t = n$ ):

$\sum_{t=0}^{n} C_t \cdot (1+i^*)^{n-t} = 0$

Aturan Keputusan IRR:

$\text{Terima proyek jika } IRR > i_{hurdle}$

3. Dollar-Weighted Rate of Return (DWRR):

Metode eksak — selesaikan $i$ dari persamaan:

$A(1+i) + \sum_{k} C_k (1+i)^{1-t_k} = B$

Metode aproksimasi (Simple Interest — digunakan ketika soal tidak meminta eksak):

$i_{DW} \approx \frac{I}{A + \sum_{k} C_k (1 - t_k)}$

di mana:

$I = B - A - \sum_k C_k$ adalah total income (perubahan nilai dikurangi kontribusi netto)
$t_k$ = waktu kontribusi $C_k$ dalam satuan periode (antara 0 dan 1)
$w_k = 1 - t_k$ = bobot waktu tersisa

4. Time-Weighted Rate of Return (TWRR):

$1 + i_{TW} = \prod_{k=0}^{m-1} \left(\frac{B_k}{A_k + C_k}\right)$

atau ekuivalen:

$1 + i_{TW} = \frac{B_0'}{A_0} \cdot \frac{B_1'}{A_1} \cdots \frac{B_{m-1}'}{A_{m-1}}$

di mana:

$A_k$ = nilai fund sesaat sebelum kontribusi ke- $k$
$C_k$ = kontribusi pada waktu $t_k$ (positif = deposit, negatif = withdrawal)
$B_k$ = nilai fund sesaat sebelum kontribusi ke- $(k+1)$
Sub-periode: dari $t_k$ sampai $t_{k+1}$

Return sub-periode ke- $k$ :

$r_k = \frac{B_k}{A_k + C_k} - 1$

sehingga:

$1 + i_{TW} = \prod_{k=0}^{m-1} (1 + r_k)$

Asumsi Eksplisit:

NPV & IRR: arus kas terjadi di akhir periode (kecuali dinyatakan lain)
DWRR aproksimasi: asumsi simple interest untuk kontribusi dalam periode
TWRR: nilai fund diketahui tepat pada saat setiap kontribusi/penarikan
Semua suku bunga adalah efektif per periode kecuali dinyatakan lain

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Time Diagram ke Equation of Value›

Untuk NPV: Setiap arus kas $C_t$ dipindahkan ke $t = 0$ dengan dikalikan faktor $v^t = (1+i)^{-t}$ . NPV adalah jumlah aljabar seluruh arus kas yang sudah “ditranslasi” ke focal date yang sama. Ini adalah equation of value di $t = 0$ .

Untuk IRR: Anda membalik pertanyaannya — bukan “berapa nilai sekarang?” tapi “pada $i$ berapa NPV = 0?” Secara geometri, IRR adalah akar dari fungsi $NPV(i)$ yang merupakan polinomial dalam $v = \frac{1}{1+i}$ .

Untuk DWRR: Pikirkan seperti loan equation. Anda “meminjam” dana awal $A$ , ada arus kas masuk $C_k$ di tengah, dan hasilnya adalah $B$ di akhir. Selesaikan suku bunga yang membuat semua konsisten — ini adalah interest rate yang dialami investor, termasuk dampak timing-nya.

Untuk TWRR: Pisahkan periode menjadi sub-periode tanpa kontribusi. Di tiap sub-periode, hitung return bersih. Lalu rangkaikan (chain-link) semua return sub-periode dengan perkalian. Ini menghilangkan efek kapan uang masuk/keluar karena setiap sub-periode dihitung secara proporsional terhadap dana yang ada saat itu.

◈Focal Date›

NPV & IRR: Focal Date di $t = 0$ . Semua cash flow didiskon ke $t = 0$ dengan faktor $v^t$ . DWRR eksak: Focal Date di $t = 1$ (akhir periode). Semua kontribusi diakumulasikan ke $t = 1$ . TWRR: Tidak ada focal date tunggal — setiap sub-periode dievaluasi relatif terhadap dirinya sendiri, lalu hasilnya dikalikan berantai.

◈Perbedaan Fundamental DWRR vs TWRR›

Aspek	DWRR	TWRR
Dipengaruhi timing?	Ya — sensitif terhadap kapan $C_k$ terjadi	Tidak — timing dieliminasi
Mengukur siapa?	Pengalaman investor	Kemampuan manajer dana
Data yang dibutuhkan	$A$ , $B$ , semua $C_k$ dan $t_k$	$A$ , $B$ , nilai fund tepat sebelum tiap $C_k$
Standar industri	Akun ritel, KPR	Reksa dana, fund manager benchmark

✘DILARANG›

Mengasumsikan DWRR = TWRR — mereka hanya sama jika tidak ada kontribusi/penarikan di tengah periode
Menggunakan metode aproksimasi DWRR ketika soal meminta solusi eksak
Melupakan tanda negatif pada $C_0$ (investasi awal) saat menghitung NPV

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental (~30% difficulty)

Seorang investor mempertimbangkan proyek dengan arus kas berikut (dalam jutaan Rupiah):

Waktu	0	1	2	3
Arus Kas	$-100$	$+40$	$+50$	$+30$

Hitunglah NPV proyek ini pada suku bunga $i = 10\%$ per tahun, dan tentukan apakah proyek layak diterima. Berapa pula nilai pendekatan IRR menggunakan interpolasi antara $i = 10\%$ dan $i = 15\%$ ?

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

$C_0 = -100$ , $C_1 = 40$ , $C_2 = 50$ , $C_3 = 30$ (dalam juta Rupiah)
$i = 10\%$ per tahun (efektif)
$v = \frac{1}{1.10}$
$n = 3$ tahun

2. Time Diagram $t: \quad 0 \qquad\qquad 1 \qquad\qquad 2 \qquad\qquad 3$ $CF: \quad -100 \qquad\quad +40 \qquad\quad +50 \qquad\quad +30$

3. Equation of Value (Focal Date: $t = 0$ )

$NPV(0.10) = C_0 + C_1 v + C_2 v^2 + C_3 v^3$

4. Eksekusi Aljabar

$NPV(0.10) = -100 + \frac{40}{1.10} + \frac{50}{(1.10)^2} + \frac{30}{(1.10)^3}$

$= -100 + 36.3636 + 41.3223 + 22.5394$

$= \boxed{0.2253 \text{ juta Rupiah}}$

Karena $NPV > 0$ , proyek layak diterima.

Estimasi IRR via Interpolasi Linear:

Hitung $NPV(0.15)$ : $NPV(0.15) = -100 + \frac{40}{1.15} + \frac{50}{(1.15)^2} + \frac{30}{(1.15)^3}$ $= -100 + 34.7826 + 37.8072 + 19.7256 = -7.6846$

Interpolasi linear antara $i = 10\%$ dan $i = 15\%$ :

$IRR \approx 0.10 + \frac{0.2253}{0.2253 + 7.6846} \times (0.15 - 0.10)$

$= 0.10 + \frac{0.2253}{7.9099} \times 0.05 = 0.10 + 0.001424$

$IRR \approx \boxed{10.14\%}$

5. Verification

$NPV$ hampir nol di $i = 10\%$ → wajar bahwa $IRR \approx 10.14\%$ , sangat dekat dengan $10\%$
$NPV(10\%) > 0$ dan $NPV(15\%) < 0$ → IRR pasti berada di antara $10\%$ dan $15\%$ ✓
Nilai $NPV$ sangat kecil di $10\%$ , jadi IRR sangat dekat $10\%$ ✓

▲Exam Tips — Soal A›

⏱️ Target waktu: ~4 menit
⚠️ Common Trap: Lupa negatifkan $C_0$ . NPV bukan $\sum_{t=1}^{3}$ saja — investasi awal harus masuk sebagai arus kas keluar di $t = 0$
🔑 Shortcut Interpolasi: Selalu cek bahwa satu nilai NPV positif dan satu negatif sebelum interpolasi. Jika keduanya positif atau negatif, rentang harus diperlebar

Soal B — Exam-Typical (~60% difficulty)

Sebuah rekening investasi memiliki nilai awal $A = 1{,}000$ pada awal tahun. Pada pertengahan tahun ( $t = 0.5$ ), pemilik menyetor tambahan $C = 200$ . Pada akhir tahun, nilai rekening adalah $B = 1{,}320$ .

(a) Hitunglah DWRR menggunakan metode aproksimasi (simple interest).

(b) Hitunglah TWRR, diketahui bahwa nilai rekening tepat sebelum setoran adalah $1{,}060$ .

✓Solusi Soal B›

Identifikasi Variabel:

$A = 1{,}000$ (nilai awal, $t = 0$ )
$C_1 = 200$ pada $t_1 = 0.5$
$B = 1{,}320$ (nilai akhir, $t = 1$ )
Nilai fund tepat sebelum setoran: $A_1 = 1{,}060$

(a) DWRR — Metode Aproksimasi

Total income (net growth):

$I = B - A - C_1 = 1{,}320 - 1{,}000 - 200 = 120$

Denominator (modal rata-rata tertimbang):

$w_1 = 1 - t_1 = 1 - 0.5 = 0.5$

$\text{Denominator} = A + C_1 \cdot w_1 = 1{,}000 + 200 \times 0.5 = 1{,}100$

DWRR:

$i_{DW} \approx \frac{I}{\text{Denominator}} = \frac{120}{1{,}100} = \boxed{10.91\%}$

(b) TWRR — Chain-Linking

Sub-periode 1: $t = 0$ sampai $t = 0.5$

Awal sub-periode: $A_0 = 1{,}000$
Akhir sub-periode (sebelum setoran): $B_0 = 1{,}060$

$1 + r_1 = \frac{B_0}{A_0} = \frac{1{,}060}{1{,}000} = 1.060$

Sub-periode 2: $t = 0.5$ sampai $t = 1$

Awal sub-periode (setelah setoran): $A_1 = 1{,}060 + 200 = 1{,}260$
Akhir sub-periode: $B_1 = 1{,}320$

$1 + r_2 = \frac{B_1}{A_1} = \frac{1{,}320}{1{,}260} = 1.04762$

Chain-link TWRR:

$1 + i_{TW} = (1 + r_1)(1 + r_2) = 1.060 \times 1.04762 = 1.11047$

$i_{TW} = \boxed{11.05\%}$

Perbandingan:

Metode	Hasil
DWRR (aprox)	$10.91\%$
TWRR	$11.05\%$

TWRR > DWRR mengindikasikan bahwa setoran masuk pada saat return rendah (sub-periode pertama lebih baik, sub-periode kedua lebih rendah), sehingga dari perspektif investor, timing memperburuk hasil relatif terhadap kemampuan manajer.

5. Verification

$I = 120$ positif → kedua metode harus menghasilkan return positif ✓
TWRR dan DWRR berbeda, sebagaimana diharapkan saat ada kontribusi ✓

▲Exam Tips — Soal B›

⏱️ Target waktu: ~6 menit
⚠️ Common Trap #1 — TWRR: Denominator sub-periode 2 adalah $A_1 + C_1 = 1{,}060 + 200 = 1{,}260$ , bukan $1{,}060$ . Setoran ditambahkan ke nilai fund yang ada
⚠️ Common Trap #2 — DWRR: $I$ dihitung sebagai $B - A - \sum C_k$ , bukan $B - A$ . Lupa mengurangkan kontribusi adalah kesalahan paling umum
🔑 Shortcut Interpretasi: TWRR > DWRR jika kontribusi besar masuk saat return rendah, dan sebaliknya. Ini berguna untuk quick sanity check

Soal C — Challenging (~90% difficulty)

Seorang manajer reksa dana mencatat aktivitas berikut selama satu tahun:

Waktu	Kejadian	Nilai Fund
$t = 0$	Awal	$10{,}000$
$t = 0.25$	Tepat sebelum withdrawal	$10{,}500$
$t = 0.25$	Withdrawal $-2{,}000$	—
$t = 0.75$	Tepat sebelum deposit	$9{,}000$
$t = 0.75$	Deposit $+3{,}000$	—
$t = 1$	Akhir	$13{,}200$

(a) Hitunglah TWRR tahunan.

(b) Hitunglah DWRR menggunakan metode aproksimasi.

(c) Diskusikan implikasi perbedaan antara keduanya dari perspektif evaluasi kinerja manajer.

✓Solusi Soal C›

Identifikasi Variabel:

$A = 10{,}000$
$C_1 = -2{,}000$ pada $t_1 = 0.25$ (withdrawal)
$C_2 = +3{,}000$ pada $t_2 = 0.75$ (deposit)
$B = 13{,}200$

(a) TWRR — Tiga Sub-periode

Sub-periode 1: $t = 0$ hingga $t = 0.25$

$1 + r_1 = \frac{10{,}500}{10{,}000} = 1.0500$

Sub-periode 2: $t = 0.25$ hingga $t = 0.75$

Fund setelah withdrawal: $10{,}500 - 2{,}000 = 8{,}500$

Fund tepat sebelum deposit: $9{,}000$

$1 + r_2 = \frac{9{,}000}{8{,}500} = 1.05882$

Sub-periode 3: $t = 0.75$ hingga $t = 1$

Fund setelah deposit: $9{,}000 + 3{,}000 = 12{,}000$

Fund akhir: $13{,}200$

$1 + r_3 = \frac{13{,}200}{12{,}000} = 1.1000$

Chain-link TWRR:

$1 + i_{TW} = r_1 \times r_2 \times r_3 = 1.0500 \times 1.05882 \times 1.1000$

$= 1.0500 \times 1.05882 \times 1.1000 = 1.22257$

$i_{TW} = \boxed{22.26\%}$

(b) DWRR — Metode Aproksimasi

Total income:

$I = B - A - C_1 - C_2 = 13{,}200 - 10{,}000 - (-2{,}000) - 3{,}000 = 2{,}200$

Bobot waktu:

$w_1 = 1 - t_1 = 1 - 0.25 = 0.75 \quad \text{(withdrawal, jadi negatif)}$

$w_2 = 1 - t_2 = 1 - 0.75 = 0.25 \quad \text{(deposit, jadi positif)}$

Denominator:

$\text{Denom} = A + C_1 w_1 + C_2 w_2 = 10{,}000 + (-2{,}000)(0.75) + (3{,}000)(0.25)$

$= 10{,}000 - 1{,}500 + 750 = 9{,}250$

DWRR:

$i_{DW} \approx \frac{2{,}200}{9{,}250} = \boxed{23.78\%}$

(c) Interpretasi Perbedaan

Metode	Hasil
TWRR	$22.26\%$
DWRR	$23.78\%$

DWRR > TWRR berarti timing kontribusi investor menguntungkan:

Withdrawal $-2{,}000$ di $t = 0.25$ : investor menarik dana setelah sub-periode pertama yang menghasilkan $+5\%$ , sehingga ia menghindari risiko di sub-periode selanjutnya dengan modal yang lebih kecil
Deposit $+3{,}000$ di $t = 0.75$ : investor memasukkan dana tepat sebelum sub-periode ketiga yang menghasilkan $+10\%$ , sehingga ia “menangkap” return besar

Dari perspektif evaluasi:

TWRR (22.26%) mencerminkan kemampuan murni manajer memilih aset — terlepas dari keputusan investor
DWRR (23.78%) mencerminkan bahwa investor secara kebetulan (atau dengan timing cerdas) mendapat hasil lebih baik dari kemampuan manajer sendiri
Dalam standar pelaporan reksa dana, TWRR adalah standar yang benar untuk membandingkan kinerja antar manajer

5. Verification

Tiga sub-periode semuanya positif: 5%, 5.88%, 10% → total chain-linked harus > 5% ✓
DWRR > TWRR konsisten dengan interpretasi timing menguntungkan investor ✓
$I = 2{,}200$ positif (fund tumbuh setelah dikurangi kontribusi netto) ✓

▲Exam Tips — Soal C›

⏱️ Target waktu: ~10 menit
⚠️ Common Trap #1: Pada DWRR, withdrawal harus masuk sebagai $C_1 = -2{,}000$ (negatif!). Banyak kandidat memakainya sebagai positif, mengacaukan $I$ dan denominator
⚠️ Common Trap #2: Pada TWRR sub-periode 2, denominatornya adalah $10{,}500 - 2{,}000 = 8{,}500$ (nilai sesudah withdrawal), bukan $10{,}500$
⚠️ Common Trap #3: Menghitung $I = B - A = 3{,}200$ (salah besar!) — harus dikurangi semua kontribusi netto
🔑 Mnemonik TWRR: “Nilai Akhir Sub-periode SEBELUM perubahan” ÷ “Nilai Awal Sub-periode SESUDAH perubahan sebelumnya” — selalu bagi dengan nilai fund yang siap diinvestasikan

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Logic Check — NPV & IRR›

$NPV(0) = \sum C_t$ = jumlah undiscounted cash flow (batas atas NPV)
$NPV(i) \to -C_0 < 0$ saat $i \to \infty$ (untuk investasi konvensional)
Untuk proyek konvensional (satu sign change dalam arus kas): IRR unik
Untuk proyek non-konvensional: bisa ada multiple IRR — gunakan NPV sebagai gantinya
$NPV$ menurun monoton dalam $i$ (untuk proyek konvensional) → cek IRR dengan interpolasi cukup akurat jika rentang tidak terlalu lebar

✓Logic Check — DWRR vs TWRR›

Jika tidak ada kontribusi/withdrawal: DWRR = TWRR = $\frac{B}{A} - 1$
Kontribusi besar masuk sebelum periode return tinggi: DWRR > TWRR
Kontribusi besar masuk sebelum periode return rendah: DWRR < TWRR
TWRR selalu konsisten dengan geometric linking — tidak terpengaruh timing
Untuk evaluasi manajer: selalu gunakan TWRR

✓Logic Check — DWRR Aproksimasi›

Aproksimasi valid ketika kontribusi kecil relatif terhadap fund size
Semakin jauh $t_k$ dari 0.5, semakin signifikan efek timing — aproksimasi kurang akurat
Jika soal menyebut “dollar-weighted” tanpa kata “exact”: gunakan aproksimasi
Jika soal menyebut “solve for $i$ ” atau “exact”: selesaikan persamaan non-linear

Metode Alternatif — IRR:

Untuk polinomial derajat rendah ( $n \leq 2$ ), IRR bisa diselesaikan secara analitik. Contoh untuk $n = 2$ :

$-C_0 + C_1 v + C_2 v^2 = 0$

Ini adalah kuadrat dalam $v$ — selesaikan dengan rumus kuadrat, lalu $i = \frac{1}{v} - 1$ .

Untuk $n \geq 3$ : interpolasi linear adalah metode standar CF1. Interpolasi lebih akurat jika dua titik dipilih dekat dengan akar (rentang kecil, misal 2–3%).

Section 6 — Visualisasi Mental

Grafik $NPV(i)$ sebagai Fungsi Suku Bunga:

Bayangkan kurva yang berawal dari $NPV(0) = \sum C_t$ (positif untuk proyek layak) di sumbu Y, kemudian menurun ke kanan secara konveks, memotong sumbu X di satu titik — itulah IRR. Untuk $i <$ IRR, kurva berada di atas sumbu X (NPV positif, terima proyek). Untuk $i >$ IRR, kurva berada di bawah sumbu X (NPV negatif, tolak proyek).

Hubungan Visual ↔ Rumus:

Titik potong sumbu Y: $NPV(0) = \sum C_t$ — ini adalah total undiscounted profit
Titik potong sumbu X: $i = IRR$ — ini adalah akar persamaan $NPV(i) = 0$
Kemiringan kurva di IRR proporsional dengan Macaulay Duration aset (topik terkait: Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi)

Diagram Timeline TWRR — Konsep Sub-periode:

Pikirkan timeline sebagai rantai dengan sambungan di setiap titik kontribusi:

$\underbrace{[t_0 \to t_1]}_{r_1} \xrightarrow{C_1} \underbrace{[t_1 \to t_2]}_{r_2} \xrightarrow{C_2} \underbrace{[t_2 \to t_3]}_{r_3}$

Setiap sambungan “memotong” dan “menyambung kembali” dengan fund size yang baru. Return tiap sub-rantai adalah murni kinerja manajer. Perkalian berantai adalah konsekuensi logika bunga majemuk: return dikalikan, bukan dijumlahkan.

Hubungan Visual ↔ Rumus:

Tiap segmen rantai = satu faktor $(1 + r_k)$ dalam produk TWRR
Sambungan kontribusi = titik di mana denominator “direset” dengan fund size baru
Panjang rantai keseluruhan = $(1 + i_{TW})$ — return manajer murni selama setahun

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Tanda pada Kontribusi — The #1 DWRR Killer›

✗ Memperlakukan withdrawal sebagai positif dalam formula DWRR
✓ Withdrawal = $C_k < 0$ (uang keluar dari fund)
Konsekuensi: $I = B - A - \sum C_k$ — jika $C_k$ withdrawal negatif, maka $-C_k$ menjadi positif, mengurangi $I$ lebih kecil dari kelihatannya

⬡Kesalahan Denominator TWRR Sub-periode›

✗ Menggunakan nilai fund sebelum kontribusi sebagai pembagi
✓ Pembagi sub-periode $k$ adalah nilai fund setelah kontribusi pada $t_{k-1}$
Formula: $1 + r_k = \frac{\text{Nilai tepat SEBELUM kontribusi } t_k}{\text{Nilai tepat SESUDAH kontribusi } t_{k-1}}$

⬡Multiple IRR — Proyek Non-Konvensional›

Terjadi ketika arus kas berganti tanda lebih dari sekali (e.g., $-, +, -, +$ )
Descartes’ Rule of Signs: jumlah IRR positif $\leq$ jumlah pergantian tanda
✗ Jangan laporkan satu IRR untuk proyek non-konvensional tanpa analisis
✓ Gunakan NPV sebagai ukuran keputusan utama jika ada multiple IRR

⬡Aproksimasi vs Eksak DWRR›

✗ Menggunakan aproksimasi padahal soal meminta nilai eksak (solve for $i$ )
✓ Baca soal: “approximate” atau “simple interest” → aproksimasi; “find $i$ ” atau “exact” → selesaikan persamaan
Metode eksak: $A(1+i) + C_1(1+i)^{1-t_1} + \ldots = B$ — ini adalah persamaan non-linear, selesaikan dengan trial-and-error atau interpolasi

▲Red Flags — Kata Kunci Waspada›

“Dollar-weighted” → DWRR. Pastikan tanda kontribusi benar
“Time-weighted” → TWRR. Pastikan nilai fund tersedia tepat sebelum tiap kontribusi
“Fund value just before/just after” → sinyal TWRR; perhatikan timing “before” vs “after”
“Hurdle rate” / “cost of capital” → bandingkan IRR dengan nilai ini
“Multiple sign changes” → waspada multiple IRR, pertimbangkan beralih ke NPV
“Yield on the investment” → bisa IRR atau DWRR — baca konteks

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

$NPV(i) = \sum_{t=0}^{n} C_t \cdot v^t$ , terima jika $NPV > 0$ ; IRR adalah $i^*$ dengan $NPV(i^*) = 0$
$i_{DW} \approx \dfrac{B - A - \sum C_k}{A + \sum C_k(1-t_k)}$ — sensitif terhadap timing investor
$1 + i_{TW} = \prod_{k=1}^{m}(1 + r_k)$ — chain-link return sub-periode, eliminasi timing
TWRR = standar evaluasi manajer; DWRR = pengalaman investor
DWRR = TWRR hanya jika tidak ada kontribusi atau withdrawal di tengah periode

Kapan Digunakan:

🔑 Trigger keywords NPV/IRR: “proyek layak”, “accept or reject”, “cost of capital”, “yield of investment”
🔑 Trigger keywords DWRR: “dollar-weighted”, “investor’s return”, “net return on account”
🔑 Trigger keywords TWRR: “time-weighted”, “fund manager performance”, “chain-linked return”
📋 Scenario types: Perbandingan proyek, evaluasi kinerja reksa dana, analisis akun investasi dengan top-up/penarikan berkala

Kapan TIDAK Boleh Digunakan:

IRR sebagai satu-satunya kriteria: jangan untuk proyek mutually exclusive dengan skala berbeda — gunakan NPV incremental
DWRR aproksimasi: jangan ketika kontribusi besar terjadi di awal atau akhir periode (bobot ekstrim menghasilkan aproksimasi buruk)
TWRR: jangan ketika nilai fund tidak diketahui tepat pada titik kontribusi — gunakan DWRR sebagai gantinya

Quick Decision Tree:

graph TD
    A["Pertanyaan tentang Return Investasi"]
    A --> B["Apakah ada kontribusi atau withdrawal di tengah periode?"]
    B -->|TIDAK| C["Return Sederhana: (B/A) - 1\nDWRR = TWRR"]
    B -->|YA| D["Apakah nilai fund diketahui tepat sebelum tiap kontribusi?"]
    D -->|YA| E["Gunakan TWRR\nChain-link sub-periode"]
    D -->|TIDAK| F["Gunakan DWRR\nAproksimasi atau Eksak?"]
    F -->|Soal minta exact| G["Selesaikan persamaan non-linear\nTrial and error / interpolasi"]
    F -->|Soal minta aprox| H["Formula simple interest\nI / (A + sum Ck wk)"]
    A --> I["Soal tentang Kelayakan Proyek?"]
    I -->|YA| J["Hitung NPV pada i hurdle\nPositif? Terima."]
    J --> K["Perlu juga IRR?"]
    K -->|YA| L["Cari akar NPV = 0\nInterpolasi linear"]
    K -->|TIDAK| M["Cukup NPV"]
    style A fill:#e1f5ff
    style C fill:#e8f5e9
    style E fill:#e8f5e9
    style G fill:#fff4e1
    style H fill:#fff4e1
    style M fill:#e8f5e9
    style L fill:#f3e5f5

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal variasi DWRR eksak — misal: solve for exact i dengan 3 kontribusi”
“Jelaskan hubungan NPV dan IRR dengan Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi (yield to maturity sebagai IRR obligasi)”
“Buat flashcard 1-halaman untuk DWRR vs TWRR — tabel perbandingan dan formula cepat”
“Jelaskan kasus Multiple IRR dan bagaimana Modified IRR (MIRR) menanganinya [BEYOND CF1]”

📖 Referensi: Vaaler & Daniel (2009) Bab 1–2; Kellison (2006) Bab 1–2, Bab 11 | 🗓️ Dibuat: 2026-02-17 | #CF1 #NilaiWaktuUang #NPV #IRR #DWRR #TWRR