📘 2.4 — Continuous Annuities

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah pompa air yang mengalirkan air secara terus-menerus—bukan setetes demi setetes di akhir setiap jam, melainkan mengalir tanpa henti setiap detik. Inilah analogi dari continuous annuity: aliran pembayaran yang berlangsung secara kontinu, bukan dalam cicilan diskrit. Dalam dunia nyata, pendapatan dari bisnis yang beroperasi setiap hari, atau biaya operasional yang terus berjalan, bisa dimodelkan sebagai anuitas kontinu. Meskipun dalam praktik pembayaran selalu diskrit, model kontinu memberikan formula yang lebih elegan dan sering digunakan sebagai aproksimasi untuk pembayaran yang sangat sering (misalnya harian atau per jam).

Kunci untuk memahami anuitas kontinu adalah konsep force of interest ($\delta$)—suku bunga kontinu yang menjadi “kecepatan” pertumbuhan uang setiap saat. Hubungan antara suku bunga efektif $i$ dan force of interest $\delta$ adalah $e^\delta = 1+i$, sehingga $\delta = \ln(1+i)$. Faktor diskonto kontinu untuk waktu $t$ adalah $e^{-\delta t}$, yang menggantikan $v^t = (1+i)^{-t}$ dalam formula diskrit. Semakin tinggi $\delta$, semakin cepat uang tumbuh, dan semakin kecil nilai sekarang dari pembayaran di masa depan.

Di ujian CF1, soal continuous annuity biasanya muncul dalam dua bentuk: (1) menghitung $\bar{a}_{\overline{n}|}$ atau $\bar{s}_{\overline{n}|}$ secara langsung dari $\delta$ atau $i$, dan (2) menggunakan identitas konversi $\bar{a}_{\overline{n}|} = (i/\delta) \cdot a_{\overline{n}|}$ untuk mengubah masalah kontinu ke diskrit atau sebaliknya. Topik ini juga menjadi fondasi untuk memahami 3.3 Duration (Macaulay and Modified) dan model aktuaria lanjutan.

Section 2 — Definisi Formal

Variabel & Parameter

Rumus Utama

Label: PV continuous annuity — integral dari faktor diskonto kontinu $e^{-\delta t}$ dari $0$ ke $n$.

Label: FV continuous annuity — integral dari faktor akumulasi $e^{\delta(n-t)}$ dari $0$ ke $n$.

Label: Hubungan FV dan PV — FV = PV dikali faktor akumulasi.

Label: Konversi discrete ke continuous — PV kontinu = PV diskrit dikali faktor $i/\delta$.

Label: Konversi dari annuity-due ke continuous — menggunakan $d = i \cdot v$.

Label: PV continuous perpetuity — limit $\bar{a}_{\overline{n}|}$ saat $n \to \infty$.

Asumsi Eksplisit

• Force of interest konstan: $\delta$ konstan selama seluruh periode $n$ (kecuali dinyatakan $\delta_t$ variabel).
• Payment rate konstan: Pembayaran 1 per unit waktu secara kontinu (kecuali varying continuous annuity).
• Continuous compounding: Akumulasi menggunakan $e^{\delta t}$, bukan $(1+i)^t$ diskrit.

Section 3 — Jembatan Logika

Derivasi $\bar{a}_{\overline{n}|}$:

Karena $e^{-\delta n} = (e^{-\delta})^n = v^n$:

Derivasi Identitas Konversi $\bar{a}_{\overline{n}|} = (i/\delta) \cdot a_{\overline{n}|}$:

Pembilang sama! Sehingga:

Karena $\delta = \ln(1+i) < i$ (untuk $i > 0$), maka $i/\delta > 1$, sehingga $\bar{a}_{\overline{n}|} > a_{\overline{n}|}$. Ini masuk akal: anuitas kontinu membayar lebih awal (sepanjang periode) dibanding anuitas-immediate yang membayar di akhir.

Derivasi $\bar{a}_{\overline{\infty}|}$:

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah proyek menghasilkan pendapatan secara kontinu sebesar Rp 6.000.000 per tahun selama 5 tahun. Force of interest adalah $\delta = 8\%$ per tahun. Hitunglah: (a) Present value dari seluruh pendapatan proyek ($\bar{a}_{\overline{5}|0.08}$) (b) Future value dari seluruh pendapatan proyek ($\bar{s}_{\overline{5}|0.08}$)

Data yang diberikan:

• Payment rate $= 6.000.000$ per tahun (kontinu)
• $\delta = 0.08$ per tahun (force of interest)
• $n = 5$ tahun

t=0 ──────────────────────────────── t=5
     ←── kontinu, rate 6M/tahun ───→
PV=?                                FV=?

Soal B — Exam-Typical

Sebuah mesin industri menghasilkan pendapatan kontinu selama 8 tahun. Suku bunga efektif tahunan adalah $i = 10\%$. Hitunglah present value dari pendapatan sebesar Rp 12.000.000 per tahun secara kontinu, menggunakan: (a) Formula langsung $\bar{a}_{\overline{8}|\delta}$ (b) Identitas konversi $\bar{a}_{\overline{n}|} = (i/\delta) \cdot a_{\overline{n}|}$

Verifikasi bahwa kedua metode menghasilkan jawaban yang sama.

Data yang diberikan:

• Payment rate $= 12.000.000$ per tahun (kontinu)
• $i = 10\% = 0.10$ per tahun efektif
• $n = 8$ tahun
• $\delta = \ln(1.10) = 0.09531$ per tahun

t=0 ──────────────────────────────── t=8
     ←── kontinu, rate 12M/tahun ──→
PV=?

Soal C — Challenging

Sebuah dana pensiun menerima kontribusi kontinu selama 10 tahun pertama, kemudian membayar manfaat kontinu selama 15 tahun berikutnya. Kontribusi sebesar Rp 8.000.000 per tahun (kontinu, $t = 0$ s.d. $t = 10$). Manfaat sebesar Rp $X$ per tahun (kontinu, $t = 10$ s.d. $t = 25$). Force of interest $\delta = 6\%$ per tahun konstan.

Hitunglah $X$ agar nilai sekarang kontribusi sama dengan nilai sekarang manfaat (equation of value di $t = 0$).

Data yang diberikan:

• Kontribusi: $8.000.000$ per tahun kontinu, $t \in [0, 10]$
• Manfaat: $X$ per tahun kontinu, $t \in [10, 25]$
• $$\delta = 0.06$$

t=0 ──────── t=10 ──────────────── t=25
     8M/thn         X/thn
     kontinu        kontinu
PV₁ (kontribusi)   PV₂ (manfaat, deferred)

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

Konversi via $m$-thly annuity:

Saat $m \to \infty$, anuitas $m$-thly konvergen ke anuitas kontinu:

Ini menunjukkan bahwa $\bar{a}_{\overline{n}|}$ adalah limit alami dari anuitas diskrit saat frekuensi pembayaran $\to \infty$.

Deferred Continuous Annuity:

Section 6 — Visualisasi Mental

Continuous vs Discrete Annuity — Perbandingan PV:

Grafik dengan sumbu X = waktu $t$, sumbu Y = PV dari pembayaran di waktu $t$.

• Anuitas-immediate diskrit: Titik-titik di $t = 1, 2, \ldots, n$, masing-masing dengan tinggi $v^t$.
• Anuitas kontinu: Kurva kontinu $e^{-\delta t}$ dari $t=0$ ke $t=n$. Area di bawah kurva = $\bar{a}_{\overline{n}|}$.
• Anuitas-due diskrit: Titik-titik di $t = 0, 1, \ldots, n-1$, masing-masing dengan tinggi $v^t$.

Urutan area: $a_{\overline{n}|}$ (titik di akhir) $<$ $\bar{a}_{\overline{n}|}$ (area kontinu) $<$ $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ (titik di awal).

Kurva Diskonto Kontinu $e^{-\delta t}$:

Grafik dengan sumbu X = waktu $t$, sumbu Y = $e^{-\delta t}$.

• Kurva exponential decreasing dari 1 (di $t=0$) menuju 0 (saat $t \to \infty$).
• Semakin besar $\delta$, semakin curam penurunan kurva (discounting lebih agresif).
• Area di bawah kurva dari $0$ ke $n$ = $\bar{a}_{\overline{n}|}$.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Area di bawah kurva = integral = $\bar{a}_{\overline{n}|}$:

Selisih area = deferred annuity:

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “kontinu,” “continuously,” “force of interest $\delta$,” “aliran kontinu,” “pendapatan terus-menerus.”
• Tipe skenario soal:
  • Hitung PV/FV dari aliran pendapatan kontinu (proyek, mesin, bisnis).
  • Konversi antara anuitas diskrit dan kontinu.
  • Equation of value dengan campuran kontribusi dan manfaat kontinu.
  • Soal yang memberi $\delta$ langsung (bukan $i$).

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika pembayaran diskrit (bulanan, tahunan, dll.): Gunakan 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due atau anuitas $m$-thly dari 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest.
• Jika $\delta$ variabel ($\delta_t$): Formula standar tidak berlaku; gunakan integral $\int_0^n \exp\left(-\int_0^t \delta_s \, ds\right) dt$ [BEYOND CF1].

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Pembayaran kontinu<br>atau diskrit?"] -->|"Kontinu"| B["Apakah delta diberikan<br>langsung?"]
    A -->|"Diskrit"| Z["Lihat 2.1 Annuity-Immediate<br>and Annuity-Due"]
    B -->|"Ya, delta diberikan"| C["Gunakan formula langsung:<br>a-bar = (1 - e^(-delta*n)) / delta"]
    B -->|"Tidak, i diberikan"| D["Konversi: delta = ln(1+i)<br>lalu gunakan formula"]
    C --> E["Ada deferral m periode?"]
    D --> E
    E -->|"Ya"| F["Kalikan dengan e^(-delta*m)"]
    E -->|"Tidak"| G["Selesai: PV = R * a-bar"]
    F --> G
    G --> H["Perlu FV?"]
    H -->|"Ya"| I["FV = PV * e^(delta*n)"]
    H -->|"Tidak"| J["Selesai"]

📖 Ref: Vaaler Bab 3–4, Kellison Bab 3–4 | 🗓️ 2026-02-18 | #CF1 #ContinuousAnnuity #ForceOfInterest #Delta