CF2 · Past Exam

2021 11 Cf2

No. 1

Terdapat $3$ buku fiksi dan $5$ buku non-fiksi yang akan diletakkan pada suatu lemari. Tentukan banyaknya cara menyusun buku tersebut sedemikian sehingga semua buku fiksi harus bersama dan semua buku non-fiksi juga harus bersama.

a. $30$
b. $120$
c. $240$
d. $720$
e. $1{.}440$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 2

Sebuah kotak (kotak pertama) berisikan $4$ buah kelereng merah dan $6$ buah kelereng biru. Terdapat juga kotak lainnya (kotak kedua) yang berisikan $16$ kelereng merah dan sejumlah kelereng biru. Jika diambil sebuah kelereng dari setiap kotak dan diketahui probabilitas kelereng yang diambil dari kedua kotak tersebut berwarna sama adalah $0{,}44$ , tentukanlah banyaknya kelereng biru pada kotak kedua.

a. $4$
b. $6$
c. $8$
d. $10$
e. $12$

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 3

Besar paket pensiun yang ditawarkan sebuah perusahaan dimodelkan dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{5}\,e^{-\frac{1}{5}(x-5)}, & x > 5 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan variansi dari besar paket pensiun, dengan diketahui bahwa besar paket pensiun minimal $10$ .

a. $25$
b. $30$
c. $35$
d. $40$
e. $45$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 4

Diberikan variabel acak $X$ dan $Y$ dimana mereka saling independen dan berdistribusi identik. Moment generating function dari setiap variabel acak adalah

$M(t) = \left(\frac{1}{1 - 1{,}5t}\right)^2, \quad t < \frac{2}{3}$

Tentukan standar deviasi dari $X + Y$ .

a. $2{,}1$
b. $3$
c. $4{,}5$
d. $6{,}7$
e. $9$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 5

Misalkan $X$ menyatakan status kesehatan seseorang ( $0$ = tidak terkena kanker, $1$ = terkena kanker) dan $Y$ menyatakan hasil diagnosa pada orang tersebut ( $0$ = hasil negatif, $1$ = hasil positif). Diketahui fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$P[X=0, Y=0] = 0{,}8$

$P[X=1, Y=0] = 0{,}1$

$P[X=0, Y=1] = 0{,}025$

$P[X=1, Y=1] = 0{,}075$

Tentukan $\text{Var}(Y \mid X = 1)$ .

a. $0{,}05$
b. $0{,}20$
c. $0{,}41$
d. $0{,}24$
e. $0{,}71$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 6

Lama waktu suatu lampu berfungsi mengikuti distribusi eksponensial dengan median sebesar $4$ jam. Tentukan probabilitas lampu tersebut dapat berfungsi setidaknya selama $5$ jam.

a. $0{,}07$
b. $0{,}29$
c. $0{,}38$
d. $0{,}42$
e. $0{,}57$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 7

Sebuah wadah memuat $5$ buah bola merah dan $3$ bola putih. Seseorang mengambil bola tersebut sebanyak $3$ kali, masing-masing dua bola setiap pengambilan tanpa pengembalian. Peluang bahwa setiap pengambilan, bola yang terambil berbeda warna adalah…

a. $\dfrac{1}{448}$
b. $\dfrac{1}{7}$
c. $\dfrac{7}{280}$
d. $\dfrac{1}{56}$
e. $\dfrac{1}{420}$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 8

Profit dari suatu toko berdistribusi normal dengan rata-rata sebesar $60$ dan variansi $144$ . Misalkan variabel acak $Z$ berdistribusi normal dengan rata-rata $0$ dan variansi sebesar $1$ , serta $F$ merupakan fungsi distribusi kumulatif dari $Z$ . Tentukan probabilitas profit dari toko itu tidak melebihi $36$ , dengan diketahui bahwa profit dari toko tersebut positif.

a. $\dfrac{F(2) - F(5)}{1 - F(5)}$
b. $\dfrac{F(5) - F(2)}{1 - F(5)}$
c. $\dfrac{F(5) - F(2)}{F(5)}$
d. $\dfrac{F(2) - F(5)}{F(5)}$
e. $\dfrac{1 - F(2)}{F(5)}$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 9

Sebuah pabrik memiliki $2$ mesin untuk memproduksi suatu barang. Pabrik tersebut akan berhenti memproduksi jika salah satu mesin rusak. Fungsi densitas gabungan dari masa hidup kedua mesin tersebut (dalam bulan) sebagai berikut:

$f(x, y) = \frac{x^2 + y^2}{54}, \quad 0 < x < 3 \text{ dan } 0 < y < 3$

Tentukan probabilitas pabrik tersebut berhenti memproduksi pada $2$ bulan pertama.

a. $0{,}183$
b. $0{,}235$
c. $0{,}358$
d. $0{,}642$
e. $0{,}765$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 10

Budi memiliki $2$ pasang sepatu hitam dan $3$ pasang sepatu cokelat. Dia juga memiliki $3$ pasang kaos kaki merah, $4$ pasang kaos kaki cokelat, $6$ pasang kaos kaki hitam. Jika Budi memilih sepasang sepatu dan sepasang kaos kaki secara acak, tentukan probabilitas warna yang dipilih Budi adalah hitam dan cokelat (sepatu hitam dan kaos kaki cokelat, atau sebaliknya).

a. $\dfrac{2}{5}$
b. $\dfrac{6}{13}$
c. $\dfrac{3}{5}$
d. $\dfrac{7}{13}$
e. $\dfrac{10}{13}$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 11

Diberikan moment generating function dari $X$ :

$M(t) = 0{,}45e^t + 0{,}35e^{2t} + 0{,}15e^{3t} + 0{,}05e^{4t}$

untuk $-\infty < t < \infty$ . Tentukan standar deviasi dari $X$ .

a. $0{,}76$
b. $0{,}87$
c. $1{,}48$
d. $1{,}8$
e. $4$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 12

Misalkan $X$ adalah lama waktu (dalam jam) ketika seseorang bermain dan $Y$ adalah lama waktu (dalam jam) ketika seseorang belajar, selama seminggu. Diketahui juga bahwa

$E(X) = 20, \quad E(Y) = 30, \quad \text{Var}(X) = 10, \quad \text{Var}(Y) = 20, \quad \text{Cov}(X, Y) = 15$

Total jam untuk bermain dan belajar oleh individu yang berbeda selama seminggu, saling independen. Kemudian $60$ orang dipilih secara acak untuk diobservasi selama seminggu. Misalkan $T$ adalah total jam dari $60$ orang ketika belajar atau bermain selama seminggu. Tentukan aproksimasi dari $P[T < 3100]$ .

a. $0{,}8749$
b. $0{,}8849$
c. $0{,}8944$
d. $0{,}9255$
e. $0{,}9525$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 13

Probabilitas sebuah toko A tidak mendapatkan pendapatan selama seminggu sebesar $0{,}6$ . Jika terdapat satu atau lebih pembelian di toko tersebut, maka total pendapatan yang bisa didapatkan berdistribusi normal dengan mean sebesar $10{.}000$ dan standar deviasi $2{.}000$ .

Probabilitas sebuah toko B tidak mendapatkan pendapatan selama seminggu sebesar $0{,}7$ . Jika terdapat satu atau lebih pembelian di toko tersebut, maka total pendapatan yang bisa didapatkan berdistribusi normal dengan mean sebesar $9{.}000$ dan standar deviasi $2{.}000$ .

Total pendapatan kedua toko tersebut saling independen. Tentukan probabilitas pendapatan toko B lebih besar daripada pendapatan toko A selama seminggu.

a. $0{,}042$
b. $0{,}18$
c. $0{,}217$
d. $0{,}223$
e. $0{,}354$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 14

Diketahui statistik pasien pada suatu rumah sakit sebagai berikut:

Umur Pasien	Probabilitas seseorang terkena kanker	Distribusi Pasien
$1$ - $20$	$0{,}06$	$0{,}04$
$21$ - $40$	$0{,}03$	$0{,}15$
$41$ - $60$	$0{,}02$	$0{,}33$
$61$ - $99$	$0{,}04$	$0{,}48$

Seorang pasien yang terkena kanker akan dipilih secara acak. Tentukanlah probabilitas pasien tersebut berumur $1$ - $20$ .

a. $0{,}04$
b. $0{,}07$
c. $0{,}16$
d. $0{,}24$
e. $0{,}4$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 15

Diketahui bahwa:

(i) Pada setiap tahun, paling banyak hanya satu bencana alam yang terjadi.
(ii) Pada setiap tahun, probabilitas suatu bencana alam akan terjadi sebesar $0{,}05$ .
(iii) Banyaknya bencana alam yang terjadi pada setiap tahunnya saling independen.

Tentukan probabilitas bahwa selama $20$ tahun, bencana alam terjadi kurang dari $3$ kali.

a. $0{,}06$
b. $0{,}19$
c. $0{,}38$
d. $0{,}62$
e. $0{,}92$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 16

Sebuah mesin yang terdiri atas $2$ komponen akan rusak, jika kedua komponen tersebut rusak. Misalkan $T_1$ dan $T_2$ adalah lama waktunya kedua komponen tersebut dapat bekerja sebelum menjadi rusak. $T_1$ dan $T_2$ saling independen dan mengikuti distribusi sebagai berikut:

$f(t) = \begin{cases} e^{-t}, & t > 0 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Misalkan $X$ adalah biaya maintenance dari mesin tersebut sampai mesin tersebut rusak, sebesar $2T_1 + T_2$ . Misalkan $g$ adalah fungsi densitas untuk $X$ . Tentukan $g(x)$ untuk $x > 0$ .

a. $e^{-x/2} - e^{-x}$
b. $2\left(e^{-\frac{x}{2}} - e^{-x}\right)$
c. $\dfrac{x}{2}e^{-\frac{x}{2}}$
d. $\dfrac{e^{-\frac{x}{2}}}{2}$
e. $\dfrac{e^{-\frac{x}{3}}}{3}$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 17

Sebuah dadu dilempar beberapa kali. Misalkan $X$ merupakan banyaknya lemparan untuk mendapatkan angka $3$ dan $Y$ merupakan banyaknya lemparan untuk mendapatkan angka $2$ . Tentukan $E(X \mid Y = 2)$ .

a. $5$
b. $5{,}2$
c. $6$
d. $6{,}6$
e. $6{,}8$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 18

Diketahui bahwa kemungkinan seseorang membeli $2$ buku tiga kali lipat dibandingkan kemungkinan seseorang membeli $4$ buku. Jika banyaknya buku yang dibeli mengikuti distribusi Poisson, tentukanlah variansi dari banyaknya buku yang dibeli.

a. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
b. $1$
c. $\sqrt{2}$
d. $2$
e. $4$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 19

Diketahui sebuah perusahaan asuransi akan membayarkan klaim bencana alam sebanyak maksimal $3$ klaim dalam suatu tahun. Misalkan $X$ adalah banyaknya bencana alam dengan jumlah kerugian minimal $10$ Milyar dan $Y$ adalah total banyaknya bencana alam yang terjadi. Diketahui juga fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} c(x + 2y), & x = 0,1,2,3\;;\; y = 0,1,2,3\;;\; x \leq y \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

dimana $c$ adalah suatu konstanta. Tentukan ekspektasi dari banyaknya bencana alam yang terjadi dengan jumlah kerugian di bawah $10$ Milyar.

a. $0{,}19$
b. $0{,}28$
c. $0{,}76$
d. $1$
e. $1{,}1$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 20

Besar dari sebuah klaim memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{3}{8}x^2, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Diketahui juga waktu untuk memproses klaim sebesar $x$ dimana $0 \leq x \leq 2$ , berdistribusi seragam dari interval $x$ hingga $2x$ . Tentukan probabilitas sebuah klaim diproses dalam waktu $3$ jam atau lebih.

a. $0{,}17$
b. $0{,}25$
c. $0{,}32$
d. $0{,}58$
e. $0{,}83$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 21

Mino akan pergi ke rumah neneknya. Seharusnya dia akan berangkat dari rumah antara dari jam $13{.}00$ dan $13{.}45$ . Perjalanan ke rumah neneknya akan memakan waktu sekitar $40$ hingga $50$ menit. Misalkan $X$ adalah jam keberangkatan dia dan $Y$ adalah lama waktu perjalanan. Asumsikan kedua variabel di atas saling independen dan berdistribusi seragam. Tentukan probabilitas Mino akan sampai sebelum jam $14{.}15$ .

a. $0{,}2$
b. $0{,}33$
c. $0{,}56$
d. $0{,}67$
e. $0{,}7$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 22

Misalkan $X_1, X_2, X_3$ masing-masing berdistribusi diskrit, dengan distribusi sebagai berikut:

$p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{4}, & x = 0 \\ \dfrac{3}{4}, & x = 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan moment generating function, $M_Y(t)$ dimana $Y = X_1 X_2 X_3$ .

a. $\left(\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}e^t\right)^3$
b. $1 + 2e^t$
c. $\dfrac{37}{64} + \dfrac{27}{64}e^t$
d. $\dfrac{1}{64} + \dfrac{27}{64}e^{3t}$
e. $\dfrac{1}{4} + \dfrac{3}{4}e^t$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 23

Sebuah kotak terdiri atas $10$ buah dadu. Terdapat $3$ jenis dadu di kotak tersebut:

(i) $6$ dadu $A$ dengan $\Pr(6 \mid A) = \dfrac{1}{6}$ (probabilitas mendapatkan angka $6$ ketika dadu $A$ dilempar)
(ii) $2$ dadu $B$ dengan $\Pr(6 \mid B) = 0{,}8$
(iii) $2$ dadu $C$ dengan $\Pr(6 \mid C) = 0{,}04$

Jika seseorang mengambil sebuah dadu dari kotak tersebut dan melemparnya, tentukan probabilitas dadu tersebut adalah dadu $B$ , diketahui lemparan tersebut menghasilkan angka $6$ .

a. $0{,}008$
b. $0{,}16$
c. $0{,}27$
d. $0{,}448$
e. $0{,}597$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 24

Diketahui bahwa total klaim dari suatu polis asuransi mengikuti distribusi sebagai berikut:

$f(x) = \frac{1}{1{.}000}\,e^{-x/1{.}000}, \quad x > 0$

Premium untuk polis tersebut sebesar ekspektasi total klaim ditambah $100$ . Jika terdapat $100$ polis yang terjual, tentukan probabilitas perusahaan asuransi tersebut akan memiliki klaim yang berlebih dibandingkan dengan premi yang diterima.

a. $0{,}001$
b. $0{,}159$
c. $0{,}333$
d. $0{,}407$
e. $0{,}460$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 25

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ berdistribusi binomial dan saling bebas, dengan parameter $n_1 = 7$ , $p_1 = 0{,}3$ dan $n_2 = 3$ , $1 - p_2 = 0{,}7$ secara berturut. Tentukan distribusi dari $Y$ dimana $Y = 10 - X_1 - X_2$ .

a. Binomial dengan parameter $n_y = 3$ dan $p_y = 0{,}3$
b. Binomial dengan parameter $n_y = 10$ dan $p_y = 0{,}7$
c. Binomial dengan parameter $n_y = 20$ dan $p_y = 0{,}7$
d. Binomial dengan parameter $n_y = 10$ dan $p_y = 0{,}3$
e. Binomial dengan parameter $n_y = 20$ dan $p_y = 0{,}3$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 26

Diberikan $3$ variabel acak $X$ , $Y$ , $Z$ dengan moment generating function sebagai berikut:

$M_X(t) = (1 - 2t)^{-4}, \quad M_Y(t) = (1 - 2t)^{-1{,}5}, \quad M_Z(t) = (1 - 2t)^{-3{,}5}$

Misalkan $W = X + Y + Z$ , tentukan $E(W^3)$ .

a. $1{.}320$
b. $2{.}082$
c. $5{.}760$
d. $7{.}920$
e. $10{.}560$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 27

Suatu pabrik pakaian memiliki $3$ mesin tipe $A$ dan $2$ mesin tipe $B$ . Mesin $A$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}9$ . Mesin $B$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}8$ . Jika sebuah mesin dipilih dan $5$ buah baju dihasilkan (probabilitas untuk menghasilkan setiap baju saling independen), tentukan probabilitas mesin tersebut merupakan mesin $B$ , dengan diketahui $2$ dari $5$ baju yang dihasilkan adalah baju yang cacat.

a. $0{,}0729$
b. $0{,}2048$
c. $0{,}2321$
d. $0{,}5388$
e. $0{,}6519$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 28

Misalkan variabel-variabel acak kontinu $X$ dan $Y$ memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} 2x, & 0 < x < 1,\; x < y < x + 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukanlah $E[Y \mid X = 1/3]$ .

a. $0{,}33$
b. $0{,}5$
c. $0{,}83$
d. $1$
e. $1{,}3$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 29

Misalkan $X$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 10)$ . Diberikan $X = x$ , sedemikian sehingga $Y$ berdistribusi seragam pada interval $(0, x)$ . Tentukan $\text{Cov}(X, Y)$ .

a. $2{,}5$
b. $4$
c. $4{,}2$
d. $5$
e. $6$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 30

Suatu toko menerima $2{.}025$ pembelian. Setiap pembelian dianggap saling independen dan berdistribusi identik dengan mean $3{.}125$ dan standar deviasi $250$ . Tentukan persentil ke- $90$ untuk distribusi dari total pembelian pada toko tersebut. (dalam pembulatan ribuan terdekat)

a. $6{.}328{.}000$
b. $6{.}338{.}000$
c. $6{.}343{.}000$
d. $6{.}784{.}000$
e. $6{.}977{.}000$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›