2022 04 Cf2

No. 1

Sebuah kotak terdiri atas $30$ bola merah dan $70$ bola hijau.

Tentukan probabilitas peluang terambilnya $8$ bola merah tepat dalam sampel berukuran $20$, jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian (pengulangan tidak diperbolehkan).

a. $0{,}12$
b. $0{,}24$
c. $0{,}36$
d. $0{,}48$
e. $0{,}6$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 2

Perusahaan asuransi membayar klaim rumah sakit. Jumlah klaim yang berisikan biaya IGD atau biaya operasi adalah $85\%$ dari total jumlah klaim. Jumlah klaim yang tidak termasuk biaya IGD adalah $25\%$ dari total jumlah klaim. Terjadinya biaya IGD tidak tergantung pada terjadinya biaya operasi pada klaim rumah sakit.

Tentukan probabilitas bahwa klaim yang diajukan ke perusahaan asuransi termasuk biaya operasi.

a. $0{,}8$
b. $0{,}4$
c. $0{,}25$
d. $0{,}2$
e. $0{,}1$

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 3

Seorang aktuaris sedang mempelajari tiga penyakit, dilambangkan dengan $A$, $B$, dan $C$. Untuk masing-masing dari ketiga penyakit tersebut, probabilitasnya adalah $0{,}1$ bahwa seseorang dalam populasi hanya memiliki penyakit tersebut (dan tidak ada penyakit lain). Untuk setiap dua dari tiga penyakit, probabilitasnya adalah $0{,}12$ bahwa dia memiliki tepat dua penyakit tersebut. Probabilitas bahwa seseorang memiliki ketiga penyakit, dengan diketahui bahwa dia memiliki $A$ dan $B$ adalah $\dfrac{1}{3}$.

Tentukan probabilitas bahwa seseorang tidak memiliki salah satu dari ketiga penyakit tersebut, dengan diketahui dia tidak memiliki penyakit $A$.

a. $0{,}280$
b. $0{,}311$
c. $0{,}467$
d. $0{,}584$
e. $0{,}700$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 4

Diberikan moment generating function untuk fungsi gabungan dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$M_{X,Y}(t_1, t_2) = \frac{1}{3(1-t_2)} + \frac{2}{3}e^{t_1} \times \frac{2}{(2-t_2)}, \quad \text{untuk } t_2 < 1$

Tentukan $\text{Var}[X]$.

a. $\dfrac{1}{18}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{6}$
d. $\dfrac{2}{9}$
e. $\dfrac{2}{3}$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 5

Misalkan $X$ menyatakan status kesehatan seseorang ($0$ = tidak terkena kanker, $1$ = terkena kanker) dan $Y$ menyatakan hasil diagnosa pada orang tersebut ($0$ = hasil negatif, $1$ = hasil positif). Diketahui fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$P[X=0, Y=0] = 0{,}77 \qquad P[X=1, Y=0] = 0{,}2$ $P[X=0, Y=1] = 0{,}01 \qquad P[X=1, Y=1] = 0{,}02$

Tentukan $\text{Var}(Y \mid X = 1)$.

a. $0{,}08$
b. $0{,}13$
c. $0{,}17$
d. $0{,}2$
e. $0{,}25$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 6

Misalkan terdapat variabel acak $X$ yang berdistribusi eksponensial sedemikian sehingga $P[X \leq 2] = 2\, P[X > 4]$.

Tentukan $\text{Var}[X]$.

a. $\dfrac{2}{\ln 2}$
b. $\dfrac{2}{(\ln 2)^2}$
c. $\dfrac{4}{\ln 2}$
d. $\dfrac{4}{(\ln 2)^2}$
e. $\dfrac{4}{\ln 4}$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 7

Jika $E_1, E_2, E_3$ merupakan kejadian dimana $P[E_i]$ dilambangkan sebagai peluang terjadinya kejadian $E_i$. Diketahui juga bahwa:

$P[E_1 | E_2] = P[E_2 | E_3] = P[E_3 | E_2] = p$ $P[E_1 \cap E_2] = P[E_2 \cap E_3] = P[E_3 \cap E_1] = r$ $P[E_1 \cap E_2 \cap E_3] = s$

Tentukan probabilitas bahwa setidaknya satu dari ketiga kejadian tersebut terjadi.

a. $\dfrac{3r}{p} - 3r + s$
b. $\dfrac{3p}{r} - r + s$
c. $1 - \dfrac{r^3}{p^3}$
d. $\dfrac{3p}{r} - 6r + s$
e. $\dfrac{3r}{p} - r + s$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 8

Misalkan terdapat variabel acak $X$ yang berdistribusi normal sedemikian sehingga $P[X < 500] = 0{,}5$ dan $P[X > 650] = 0{,}0228$.

Tentukan standar deviasi dari $X$.

a. $75$
b. $150$
c. $300$
d. $5{.}625$
e. $2{.}500$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 9

Ketika suatu bencana terjadi, sebuah perusahaan asuransi melakukan estimasi klaim awal $X$, sebagai perkiraan besaran klaim yang akan diberikan. Akan tetapi ketika proses klaim telah diselesaikan, perusahaan asuransi akhirnya membayar klaim sebesar $Y$ kepada tertanggung. Jika fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$f(x, y) = \frac{2}{x^2(x-1)}\, y^{-(2x-1)/(x-1)}, \quad x > 1,\ y > 1$

Diberikan bahwa estimasi klaim awal yang diperkirakan sebesar $2$, tentukan probabilitas bahwa besar klaim yang dibayarkan berada di antara $1$ dan $3$.

a. $\dfrac{1}{9}$
b. $\dfrac{6}{9}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{8}{9}$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 10

Misalkan harga sebuah mobil setelah pemakaian selama 3 tahun, sebesar $100(0{,}5)^X$ dimana $X$ merupakan variabel acak yang memiliki MGF $M_X(t) = \dfrac{1}{1-2t}$ untuk $t < \dfrac{1}{2}$.

Tentukan ekspektasi harga mobil tersebut setelah pemakaian selama 3 tahun.

a. $12{,}5$
b. $25$
c. $41{,}9$
d. $83{,}8$
e. $88{,}9$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 11

Diberikan distribusi $Z$ pada interval $[0, 1)$ dan memiliki fungsi densitas kumulatif sebagai berikut:

$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \\ 0{,}5, & z = 0 \\ 0{,}5 + \dfrac{1}{2}z^2, & 0 < z < 1 \\ 1, & z \geq 1 \end{cases}$

Tentukan $E[Z]$.

a. $0$
b. $\dfrac{1}{2}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{1}{4}$
e. $1$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 12

Dua buah alat digunakan untuk mengukur tinggi sebuah bangunan $h$. Eror (ralat) yang dihasilkan alat I memiliki distribusi normal dengan mean $0$ dan standar deviasi $0{,}0056h$. Eror (ralat) yang dihasilkan alat II memiliki distribusi normal dengan mean $0$ dan standar deviasi $0{,}0044h$. Misalkan kedua alat tersebut saling independen, tentukanlah probabilitas bahwa rata-rata eror (ralat) dari kedua alat tersebut memiliki maksimal eror (ralat) sebesar $0{,}005h$.

a. $0{,}38$
b. $0{,}47$
c. $0{,}68$
d. $0{,}84$
e. $0{,}90$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 13

Jika $X$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 10)$, tentukanlah probabilitas $P\left[X + \dfrac{10}{X} > 7\right]$.

a. $\dfrac{3}{10}$
b. $\dfrac{31}{70}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{39}{70}$
e. $\dfrac{7}{10}$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 14

Diketahui statistik pasien pada suatu rumah sakit sebagai berikut:

Umur Pasien	Probabilitas seseorang terkena kanker	Distribusi Pasien
$1$-$20$	$0{,}06$	$0{,}04$
$21$-$40$	$0{,}03$	$0{,}23$
$41$-$60$	$0{,}02$	$0{,}25$
$61$-$99$	$0{,}04$	$0{,}48$

Seorang pasien yang terkena kanker akan dipilih secara acak. Tentukanlah probabilitas pasien tersebut berumur $21$-$40$.

a. $0{,}04$
b. $0{,}07$
c. $0{,}15$
d. $0{,}21$
e. $0{,}54$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 15

Sebuah soal ujian berisikan $10$ pertanyaan, dimana setiap pertanyaan memiliki $5$ pilihan jawaban (hanya terdapat $1$ jawaban yang benar). Seorang peserta menebak jawaban secara acak pada semua pertanyaan ujian. Misalkan ekspektasi banyak jawaban yang benar jika ditebak secara acak adalah $E[N]$.

Tentukan peluang peserta tersebut akan mendapatkan jawaban benar paling sedikit sebesar $E[N]$.

a. $0{,}624$
b. $0{,}591$
c. $0{,}430$
d. $0{,}322$
e. $0{,}302$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 16

Diketahui bahwa:

$\text{Var}[X] = 25, \quad \text{Var}[Y] = 100$ $\text{Cov}(X, Y) = -10, \quad \text{Cov}(X, Z) = 2{,}5$

Misalkan $Z = X + cY$, tentukanlah nilai dari $c$.

a. $2$
b. $2{,}25$
c. $2{,}5$
d. $-2$
e. $-2{,}25$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 17

Sebuah kotak berisikan $10$ kelereng putih dan $15$ kelereng hitam. Misalkan $X$ merupakan banyaknya kelereng putih yang diambil, ketika dari kotak tersebut diambil $10$ kelereng secara acak dan tanpa pengembalian.

Tentukan $\dfrac{\text{Var}(X)}{E(X)}$. (Gunakan distribusi hipergeometrik)

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{3}{16}$
c. $\dfrac{2}{8}$
d. $\dfrac{5}{16}$
e. $\dfrac{3}{8}$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 18

Misalkan $X$ merupakan banyaknya pelanggan yang datang pada pagi hari dan $Y$ merupakan banyaknya pelanggan yang datang pada siang hari. Diberikan juga informasi berikut:

• $X$ dan $Y$ berdistribusi Poisson.
• Momen pertama dari $X$ lebih kecil dari momen pertama dari $Y$ sebesar $8$.
• Momen kedua dari $X$ sebesar $60\%$ dari momen kedua $Y$.

Tentukan variansi dari $Y$.

a. $4$
b. $12$
c. $16$
d. $27$
e. $35$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 19

Diketahui bahwa $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak yang memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{2x + 2 - y}{4}, & \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 2 \\ 0, & \text{untuk lainnya} \end{cases}$

Tentukan $P[X + Y \geq 1]$.

a. $0{,}75$
b. $0{,}71$
c. $0{,}41$
d. $0{,}38$
e. $0{,}33$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 20

Diberikan fungsi densitas bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$:

$f(x, y) = \begin{cases} x + y, & 0 < x < 1,\ 0 < y < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan probabilitas jika besar $X$ lebih kecil dari $2$ kali lipat besar $Y$.

a. $\dfrac{7}{32}$
b. $\dfrac{1}{12}$
c. $\dfrac{3}{4}$
d. $\dfrac{19}{24}$
e. $\dfrac{7}{8}$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 21

Misalkan $T_1$ dan $T_2$ merepresentasikan lama waktu hidup (dalam jam) dari $2$ komponen dalam suatu peralatan elektronik. Fungsi densitas bersama dari $T_1$ dan $T_2$ berdistribusi seragam dalam suatu wilayah (region) $0 \leq t_1 \leq t_2 \leq L$ dimana $L$ merupakan suatu konstanta real positif.

Tentukan nilai ekspektasi dari $T_1^2 + T_2^2$.

a. $\dfrac{L^2}{3}$
b. $\dfrac{L^2}{2}$
c. $\dfrac{2L^2}{3}$
d. $\dfrac{3L^2}{4}$
e. $L^2$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 22

Sebuah asuransi kesehatan untuk $3$ orang dalam suatu keluarga, dapat mencakup hingga $2$ klaim per orang dalam setahun. Fungsi densitas gabungan untuk banyak klaim dari $3$ anggota keluarga adalah $f(x, y, z) = \dfrac{6 - x - y - z}{81}$ dimana masing-masing $x, y, z$ hanya bisa bernilai $0, 1, 2$ dan $X, Y, Z$ merupakan banyak klaim dari orang pertama, kedua, dan ketiga dalam keluarga tersebut.

Tentukan probabilitas bahwa total klaim dari keluarga tersebut sebanyak $2$ dalam tahun tersebut, dengan diketahui bahwa orang pertama tidak memiliki klaim dalam setahun itu.

a. $\dfrac{1}{2}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{12}{81}$
d. $\dfrac{1}{9}$
e. $\dfrac{36}{81}$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 23

Perusahaan asuransi mengeluarkan dua polis independen untuk individu dengan usia yang sama. Perusahaan asuransi tersebut memodelkan distribusi lama waktu hingga terjadi kematian (dalam tahun) untuk setiap individu (dimisalkan dengan $k$), dengan menggunakan distribusi geometrik $P[N = k] = (0{,}99)^k \times 0{,}01$, $k = 0, 1, 2, \ldots$

Tentukan probabilitas bahwa kedua individu akan meninggal di tahun yang sama.

a. $0{,}001$
b. $0{,}003$
c. $0{,}005$
d. $0{,}007$
e. $0{,}009$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 24

Sebuah perusahaan asuransi memiliki $5$ polis asuransi jiwa berjangka satu tahun yang saling independen. Nilai manfaat pada setiap polis adalah $100{.}000$. Probabilitas klaim yang terjadi pada suatu tahun untuk setiap polis yang diberikan adalah $0{,}2$.

Tentukan probabilitas bahwa perusahaan asuransi tersebut harus membayar lebih besar dari total ekspektasi klaim dalam suatu tahun ($E[X]$).

a. $0{,}06$
b. $0{,}11$
c. $0{,}16$
d. $0{,}21$
e. $0{,}26$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 25

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ berdistribusi binomial dan saling bebas, dengan parameter $n_1 = 7$, $p_1 = 0{,}4$ dan $n_2 = 8$, $1 - p_2 = 0{,}6$ secara berturut-turut.

Tentukan distribusi dari $Y$ dimana $Y = 15 - X_1 - X_2$.

a. Binomial dengan parameter $n_y = 1$ dan $p_y = 0{,}4$
b. Binomial dengan parameter $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}4$
c. Binomial dengan parameter $n_y = 30$ dan $p_y = 0{,}4$
d. Binomial dengan parameter $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}6$
e. Binomial dengan parameter $n_y = 30$ dan $p_y = 0{,}6$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 26

Diberikan moment generating function untuk variabel acak $X$ sebagai berikut:

$M_X(t) = \frac{1}{1+t}$

Tentukan $E[(X-2)^3]$.

a. $6$
b. $-6$
c. $25$
d. $-38$
e. $38$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 27

Suatu pabrik pakaian memiliki $3$ mesin tipe $A$ dan $2$ mesin tipe $B$. Mesin $A$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}6$. Mesin $B$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}8$. Jika sebuah mesin dipilih dan $5$ buah baju dihasilkan (probabilitas untuk menghasilkan setiap baju saling independen), tentukan probabilitas mesin tersebut merupakan mesin $B$, dengan diketahui $2$ dari $5$ baju yang dihasilkan adalah baju yang cacat.

a. $0{,}2048$
b. $0{,}3456$
c. $0{,}2832$
d. $0{,}7168$
e. $0{,}6519$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 28

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas $f_X(x) = x + \dfrac{1}{2}$, $0 < x < 1$. Diberikan juga fungsi densitas kondisional dari variabel acak kontinu $Y$, dengan diketahui $X = x$ sebagai berikut:

$f_{Y|X}(y \mid X = x) = \frac{x + y}{x + \dfrac{1}{2}} \quad \text{untuk } 0 < x < 1,\ 0 < y < 1$

Tentukan $f_Y(y)$ untuk $0 < y < 1$.

a. $y + \dfrac{1}{2}$
b. $y + 1$
c. $y$
d. $y - \dfrac{1}{2}$
e. $y - 1$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 29

Misalkan $X$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 8)$. Diberikan $X = x$, sedemikian sehingga $Y$ berdistribusi seragam pada interval $(0, x)$.

Tentukan $\text{Cov}(X, Y)$.

a. $\dfrac{4}{3}$
b. $\dfrac{8}{3}$
c. $\dfrac{12}{3}$
d. $\dfrac{24}{3}$
e. $\dfrac{32}{3}$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 30

Misalkan variabel acak $X$ dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2{,}5 \cdot (200)^{2{,}5}}{x^{3{,}5}}, & \text{untuk } x \geq 200 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan selisih antara persentil ke-30 dan persentil ke-70 dari $X$.

a. $35$
b. $93$
c. $124$
d. $131$
e. $298$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---