2022 08 Cf2

No. 1

Seorang agen asuransi bertemu dengan dua belas calon pelanggan secara independen, masing-masing memiliki kemungkinan yang sama untuk membeli produk asuransi. $6$ dari $12$ orang hanya tertarik pada asuransi mobil, $4$ orang lainnya hanya tertarik pada asuransi kesehatan, dan $2$ orang tersisa hanya tertarik pada asuransi jiwa. Diketahui agen membuat delapan penjualan. Tentukan probabilitas bahwa dari $8$ penjualan tersebut, $3$ untuk asuransi mobil, $3$ untuk asuransi kesehatan, dan $2$ untuk asuransi jiwa.

a. $0{,}001$
b. $0{,}024$
c. $0{,}069$
d. $0{,}097$
e. $0{,}162$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 2

Misalkan $A$ dan $B$ merupakan kejadian dimana $P[A] = 0{,}7$ dan $P[B] = 0{,}9$. Tentukan nilai terbesar yang mungkin dari $P[A \cup B] - P[A \cap B]$.

a. $0{,}2$
b. $0{,}34$
c. $0{,}4$
d. $0{,}6$
e. $1{,}6$

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 3

Pada suatu karnival, Andi sedang memainkan permainan menembak dengan membayar $100{.}000$ pada awal permainan dan dia dapat menembak berulang kali secara terus menerus pada target sampai dia meleset. Setiap tembakan yang mengenai sasaran, maka dia akan mendapatkan $30{.}000$. Permainan selesai ketika ia gagal menembak target. Probabilitas Andi dapat menembak mengenai target sebesar $p$ untuk setiap tembakan yang ia lakukan. Menurut perkiraan ini, dia berekspektasi untuk mendapatkan keuntungan $20{.}000$ dalam sekali main, maka tentukanlah nilai dari $p$.

a. $0{,}5$
b. $0{,}6$
c. $0{,}7$
d. $0{,}8$
e. $0{,}9$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 4

Sebuah agen asuransi dapat menjual $0$, $1$, atau $2$ polis setiap hari. Saat menjual polis, agen juga mencoba membujuk pelanggan untuk membeli tambahan proteksi (rider) untuk polis tersebut. Misalkan $X$ menunjukkan jumlah polis yang terjual pada hari tertentu, dan misalkan $Y$ menunjukkan banyaknya tambahan proteksi (rider) yang terjual.

$P[X=0, Y=0] = \frac{1}{4}$

$P[X=1, Y=0] = \frac{1}{8}$

$P[X=1, Y=1] = \frac{1}{4}$

$P[X=2, Y=0] = \frac{1}{12}$

$P[X=2, Y=1] = \frac{1}{6}$

$P[X=2, Y=2] = \frac{1}{8}$

Tentukanlah variansi dari $X$.

a. $0{,}47$
b. $0{,}61$
c. $0{,}83$
d. $1{,}42$
e. $2{,}58$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 5

Diberikan $X$ variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas $P[X = n] = a_n - a_{n+1}$, dimana $a_i$ merupakan angka-angka yang memenuhi kondisi berikut:

(i) $a_0 = 1$
(ii) $a_0 > a_1 > a_2 > \cdots > a_k > a_{k+1} > \cdots > 0$

Tentukan probabilitas dari $P[X \leq 5 \mid X > 1]$.

a. $1 - \dfrac{a_5}{a_2}$
b. $1 - \dfrac{a_5}{a_1}$
c. $a_1 - a_5$
d. $\dfrac{a_2}{a_1} - \dfrac{a_5}{a_2}$
e. $1 - \dfrac{a_6}{a_2}$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 6

Misalkan terdapat variabel acak $X$ yang berdistribusi eksponensial sedemikian sehingga $P[X \leq 2] = \frac{1}{2} P[X > 4]$. Tentukan $\text{Var}[X]$.

a. $\dfrac{2}{\ln 2}$
b. $\dfrac{1}{(\ln 2)^2}$
c. $\dfrac{2}{(\ln 2)^2}$
d. $\dfrac{4}{(\ln 2)^2}$
e. $\dfrac{4}{\ln 4}$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 7

Diberikan $30$ angka yang berbeda yang disusun dalam tabel $6 \times 5$ seperti berikut:

$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$
$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$
$A_{16}$	$A_{17}$	$A_{18}$	$A_{19}$	$A_{20}$
$A_{21}$	$A_{22}$	$A_{23}$	$A_{24}$	$A_{25}$
$A_{26}$	$A_{27}$	$A_{28}$	$A_{29}$	$A_{30}$

Tentukan banyak cara untuk memilih sebuah set berisi empat angka yang berbeda sehingga tidak ada dua angka yang dipilih dalam set tersebut berada di baris yang sama atau kolom yang sama.

a. $200$
b. $600$
c. $1{.}200$
d. $1{.}800$
e. $7{.}200$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 8

Sebuah perusahaan memproduksi sebuah merek bohlam dengan masa pakai (dalam bulan) yang berdistribusi normal dengan mean $3$ dan variansi $1$. Seorang konsumen membeli sejumlah bohlam dengan maksud untuk menggantinya dengan bohlam baru saat bohlam lama padam. Bola lampu memiliki masa hidup yang saling independen. Tentukanlah jumlah bohlam terkecil yang harus dibeli agar rangkaian bohlam menghasilkan cahaya paling sedikit selama $40$ bulan dengan peluang paling sedikit $0{,}9772$.

a. $14$
b. $16$
c. $20$
d. $40$
e. $55$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 9

Lama waktu hidup $2$ komponen pada suatu peralatan elektronik hingga rusak, masing-masing berdistribusi kontinu $X$ dan $Y$ secara berturut. Kedua komponen akan rusak pada waktu $t = 1$, tetapi jika lama waktu hidup kedua komponen tersebut digabung akan lebih kecil dari $1$, sedemikian sehingga distribusi gabungan dari lama waktu hidup kedua komponen tersebut harus memenuhi $0 < x + y < 1$. Tentukan berapa banyak fungsi gabungan berikut yang memiliki ekspektasi lama waktu hidup hingga rusak kurang dari $\dfrac{1}{2}$ untuk kedua komponen tersebut, yaitu $E[X + Y] < \dfrac{1}{2}$.

(I) $f(x, y) = 2$
(II) $f(x, y) = 3(x + y)$
(III) $f(x, y) = 6x$
(IV) $f(x, y) = 6y$

a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
e. $4$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 10

Misalkan $X$ variabel acak kontinu yang memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \frac{(k+1)x^k}{c^{k+1}} \quad \text{untuk } 0 < x < c \text{ dimana } k > 0$

Tentukan nilai dari $\dfrac{\sqrt{\text{variansi}}}{\text{mean}}$.

a. $\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(k+2)}}$
b. $\dfrac{1}{\sqrt{(k+2)(k+3)}}$
c. $\dfrac{1}{\sqrt{(k+1)(k+3)}}$
d. $\dfrac{1}{k+1}$
e. $\dfrac{1}{k+3}$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 11

Diberikan variabel acak $X$ yang memiliki fungsi massa probabilitas (pmf) sebesar $0{,}2$ pada $X = 0$ dan fungsi massa probabilitas (pmf) sebesar $0{,}1$ pada $X = 1$. Untuk semua nilai lainnya, $X$ memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

$f_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ x, & 0 < x < 1 \\ 2x, & 1 < x < c \\ 0, & x \geq c \end{cases}$

dimana $c$ merupakan suatu konstanta. Tentukan $P(X < 1 \mid X > 0{,}5)$.

a. Kurang dari $0{,}6$
b. Paling sedikit $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}7$
c. Paling sedikit $0{,}7$ tapi kurang dari $0{,}8$
d. Paling sedikit $0{,}8$ tapi kurang dari $0{,}9$
e. Paling sedikit $0{,}9$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 12

Andi dan Budi mengikuti perlombaan lari $100$ m. Lama waktu lari Andi berdistribusi normal dengan mean sebesar $10$ detik, sedangkan lama waktu lari Budi berdistribusi normal dengan mean sebesar $9{,}9$ detik. Keduanya memiliki standar deviasi waktu lari yang sama yaitu sebesar $\sigma$. Asumsikan lama waktu lari mereka berdua saling independen dan diketahui juga bahwa probabilitas Budi mengalahkan Andi sebesar $0{,}95$, tentukan besar dari $\sigma$.

a. $0{,}040$
b. $0{,}041$
c. $0{,}042$
d. $0{,}043$
e. $0{,}044$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 13

Misalkan $X_1, X_2, X_3$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 1)$ dengan $\text{Cov}(X_i, X_j) = \dfrac{1}{24}$ untuk $i, j = 1, 2, 3,\; i \neq j$. Tentukan variansi dari $X_1 + 2X_2 - X_3$.

a. $\dfrac{1}{6}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{5}{12}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{11}{12}$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 14

Misalkan kita memiliki $3$ kartu yang bentuknya sama kecuali kedua sisi kartu pertama berwarna merah, kedua sisi kartu kedua berwarna hitam, dan satu sisi kartu ketiga berwarna merah dan sisi lainnya berwarna hitam. Kemudian $3$ kartu dicampur dalam topi, dan $1$ kartu akan dipilih secara acak dan diletakkan di tanah. Jika sisi atas kartu yang dipilih berwarna merah, berapa peluang terambilnya sisi lain dari kartu tersebut berwarna hitam?

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{1}{6}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{2}{9}$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 15

Setiap kali seorang pemain bola melakukan tendangan, maka dia memiliki kemungkinan $0{,}3$ untuk memasukkan bola ke dalam gawang lawan (mencetak gol). Gol yang tercipta dari tendangan yang berbeda saling independen. Jika $X$ adalah variabel acak jumlah tendangan yang dibutuhkan untuk mencetak $2$ gol, tentukanlah modus dari $X$.

a. $2$
b. $3$
c. $4$
d. $5$
e. $6$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 16

Diketahui klaim-klaim yang diterima perusahaan asuransi saling bebas dan berdistribusi sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{x^3}, & x > 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Misalkan $3$ klaim terjadi, tentukan nilai harapan (ekspektasi) dari klaim terbesar di antara $3$ klaim tersebut.

a. $2$
b. $2{,}7$
c. $3{,}2$
d. $3{,}4$
e. $4{,}5$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 17

$X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x, y) = 2 \quad \text{untuk } 0 \leq x \leq y \leq 1$

Tentukan $E[Y \mid X = x]$.

a. $\dfrac{1}{2}$
b. $\dfrac{x}{2}$
c. $\dfrac{x+1}{2}$
d. $\dfrac{1-x}{2}$
e. $x$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 18

Banyaknya klaim yang diterima perusahaan asuransi pada masing-masing hari berdistribusi Poisson. Klaim yang diterima pada hari yang berbeda akan saling independen satu sama yang lain. Pada hari Senin, perusahaan asuransi berekspektasi mendapatkan $2$ klaim, tetapi pada hari lainnya perusahaan asuransi berekspektasi hanya mendapatkan $1$ klaim per hari. Tentukan probabilitas bahwa perusahaan asuransi tersebut mendapat minimal $3$ klaim selama $5$ hari dari hari Senin hingga hari Jumat.

a. $0{,}5$
b. $0{,}7$
c. $0{,}9$
d. $0{,}94$
e. $0{,}98$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 19

Misalkan penghasilan toko Andi selama sebulan adalah $X$ dan penghasilan toko Budi selama sebulan adalah $Y$, dimana $X$ dan $Y$ memiliki fungsi densitas bersama yaitu

$f(x, y) = \frac{2}{3}(x + 2y) \quad \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 1$

Mereka melakukan kontes dimana jika selama sebulan, penghasilan toko Andi lebih besar dari penghasilan toko Budi, maka Budi harus membayar sebesar $1{.}000$ kepada Andi. Tentukan $C$, dimana $C$ merupakan banyaknya uang yang harus dibayar Andi kepada Budi jika penghasilan toko Andi lebih rendah dari toko Budi, sehingga ekspektasi hasil yang didapatkan Andi dari kontes ini adalah $0$.

a. $400$
b. $800$
c. $1{.}200$
d. $1{.}600$
e. $2{.}000$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 20

$X$ dan $Y$ adalah variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen yang sama yaitu

$M(t) = \exp\!\left(\frac{t^2}{2}\right)$

Misalkan $W = X + Y$ dan $Z = Y - X$. Tentukan fungsi pembangkit momen bersama, $M(t_1, t_2)$ dari $W$ dan $Z$.

a. $\exp\!\left(2t_1^2 + 2t_2^2\right)$
b. $\exp\!\left([t_1 - t_2]^2\right)$
c. $\exp\!\left([t_1 + t_2]^2\right)$
d. $\exp\!\left(2t_1 t_2\right)$
e. $\exp\!\left(t_1^2 + t_2^2\right)$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 21

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = e^{-(x+y)} \quad \text{untuk } x > 0 \text{ dan } y > 0$

Sebuah polis asuransi mengajukan klaim sebesar $X + Y$. Tentukan probabilitas klaim tersebut kurang dari $1$.

a. $e^{-2}$
b. $e^{-1}$
c. $1 - e^{-1}$
d. $1 - 2e^{-1}$
e. $1 - 2e^{-2}$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 22

Sebuah dadu sama sisi dilempar hingga terdapat suatu angka yang keluar sebanyak dua kali berturut-turut. Setiap lemparan yang dilakukan saling independen. Misalkan $X$ banyak lemparan yang dibutuhkan sehingga hal itu terjadi, maka $X \geq 2$. Tentukan $F(x)$ atau fungsi densitas kumulatif dari $X$.

a. $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{x-1}$
b. $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^x$
c. $1 - \left(\dfrac{1}{6}\right)^{x-1}$
d. $1 - \left(\dfrac{1}{6}\right)^x$
e. $\left(\dfrac{5}{6}\right)^x$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 23

Perusahaan asuransi mengeluarkan dua polis independen untuk individu dengan usia yang sama. Perusahaan asuransi tersebut memodelkan distribusi lama waktu hingga terjadi kematian (dalam tahun) untuk setiap individu (dimisalkan dengan $k$), dengan menggunakan distribusi geometrik $P[N = k] = (0{,}98)^k \times 0{,}02$, $k = 0, 1, 2, \ldots$ Tentukan probabilitas bahwa kedua individu akan meninggal di tahun yang sama.

a. $0{,}001$
b. $0{,}003$
c. $0{,}005$
d. $0{,}007$
e. $0{,}010$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 24

Sebuah perusahaan asuransi memiliki $5$ polis asuransi jiwa berjangka satu tahun yang saling independen. Nilai manfaat pada setiap polis adalah $100{.}000$. Probabilitas klaim yang terjadi pada suatu tahun untuk setiap polis yang diberikan adalah $0{,}3$. Tentukan probabilitas bahwa perusahaan asuransi tersebut harus membayar sekurang-kurangnya sebesar total ekspektasi klaim dalam suatu tahun.

a. $0{,}97$
b. $0{,}83$
c. $0{,}47$
d. $0{,}26$
e. $0{,}21$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 25

Misalkan $X_1, X_2, X_3$ merupakan variabel acak dari distribusi diskrit dengan fungsi probabilitas sebagai berikut:

$p(x) = \begin{cases} \dfrac{2}{3}, & x = 0 \\ \dfrac{1}{3}, & x = 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukanlah fungsi momen pembangkit (moment generating function) $M(t)$ dari $Y = X_1 X_2 X_3$.

a. $\dfrac{19}{27} + \dfrac{8}{27}e^t$
b. $\dfrac{26}{27} + \dfrac{1}{27}e^t$
c. $\dfrac{8}{27} + \dfrac{19}{27}e^t$
d. $\dfrac{1}{27} + \dfrac{26}{27}e^t$
e. $\left(\dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{3}e^t\right)^3$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 26

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak dengan fungsi pembangkit momen bersama sebagai berikut:

$M(t_1, t_2) = 0{,}3 + 0{,}1e^{t_1} + 0{,}2e^{t_2} + 0{,}4e^{t_1+t_2}$

Tentukan nilai dari $E[2X_1 - X_2]$.

a. $-0{,}1$
b. $0$
c. $0{,}4$
d. $0{,}8$
e. $0{,}2e + 0{,}4e^2$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 27

Suatu pabrik pakaian memiliki $3$ mesin tipe $A$ dan $2$ mesin tipe $B$. Mesin $A$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}6$. Mesin $B$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}8$. Jika sebuah mesin dipilih dan $5$ buah baju dihasilkan (probabilitas untuk menghasilkan setiap baju saling independen), tentukan probabilitas mesin tersebut merupakan mesin $A$, dengan diketahui $2$ dari $5$ baju yang dihasilkan adalah baju yang cacat.

a. $0{,}2048$
b. $0{,}3456$
c. $0{,}2832$
d. $0{,}6519$
e. $0{,}7168$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 28

Seorang pengemudi dan seorang penumpang mengalami kecelakaan mobil. Masing-masing secara independen memiliki probabilitas $0{,}4$ dirawat di rumah sakit. Ketika rawat inap terjadi, kerugian didistribusikan secara uniform $[0, 2]$. Ketika dua rawat inap terjadi, kerugiannya saling independen. Tentukanlah perkiraan jumlah orang di dalam mobil yang dirawat di rumah sakit, diketahui total kerugian akibat rawat inap akibat kecelakaan kurang dari $2$.

a. $0{,}696$
b. $0{,}628$
c. $0{,}600$
d. $0{,}534$
e. $0{,}500$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 29

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ berdistribusi normal dengan mean dan variansi sebesar $1$. Diketahui juga $X_1$ dan $X_2$ saling independen. Jika $c$ merupakan suatu konstanta sedemikian sehingga $E[c|X_1 - X_2|] = 1$, maka tentukanlah nilai $c$.

a. $\sqrt{\pi}$
b. $\dfrac{1}{\sqrt{\pi}}$
c. $\dfrac{\sqrt{2\pi}}{4}$
d. $\dfrac{2}{\sqrt{\pi}}$
e. $\dfrac{\sqrt{\pi}}{2}$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 30

Misalkan variabel acak $X$ dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2{,}5 \times (200)^{2{,}5}}{x^{3{,}5}}, & x \geq 200 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan selisih antara persentil ke-$40$ dan persentil ke-$80$ dari $X$.

a. $35$
b. $93$
c. $124$
d. $136$
e. $298$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---