CF2 · Past Exam

2022 12 Cf2

No. 1

Diketahui ada enam pasang suami istri. Dari keenam pasang suami istri tersebut akan dipilih enam orang secara acak.

Tentukan banyaknya cara untuk memilih enam orang tersebut sehingga tidak terdapat pasangan suami istri.

a. $6$
b. $64$
c. $94$
d. $544$
e. $720$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 2

Misalkan $A$ dan $B$ merupakan kejadian dimana $P[A \cup B] = 1$ .

Tentukan nilai dari $P[A' \cup B']$ .

a. $0$
b. $P[A'] + P[B'] - P[A']P[B']$
c. $P[A'] + P[B']$
d. $P[A'] + P[B'] - 1$
e. $1$

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 3

Sebuah lotere diadakan setiap minggu, dimana lotere tersebut berharga $1$ dan hadiah lotere tersebut sebesar $10$ . Probabilitas untuk menang lotere tersebut sebesar $\dfrac{1}{30}$ . Andi memutuskan untuk membeli $1$ tiket lotere setiap minggu sampai dia menang, dimana pada saat itu dia akan berhenti.

Tentukan ekspektasi keuntungan yang didapatkan Andi dari pembelian lotere-lotere tersebut.

a. $-20$
b. $-15$
c. $-10$
d. $-5$
e. $0$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 4

Fungsi pembangkit momen untuk variabel acak $X$ adalah

$M_X(t) = Ae^t + Be^{2t}$

Diketahui juga bahwa $\text{Var}[X] = \dfrac{2}{9}$ dan $A < \dfrac{1}{2}$ .

Tentukan nilai dari $E[X]$ .

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{2}{3}$
c. $1$
d. $\dfrac{4}{3}$
e. $\dfrac{5}{3}$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 5

Diberikan $X$ variabel acak diskrit dengan fungsi probabilitas $P[X = n] = a_n - a_{n+1}$ , dimana $a_i$ merupakan angka-angka yang memenuhi kondisi berikut:

(i) $a_0 = 1$
(ii) $a_0 > a_1 > a_2 > \cdots > a_k > a_{k+1} > \cdots > 0$

Tentukan probabilitas dari $P[X \leq 4 \mid X > 1]$ .

a. $1 - \dfrac{a_5}{a_2}$
b. $1 - \dfrac{a_5}{a_1}$
c. $a_1 - a_5$
d. $\dfrac{a_2}{a_1} - \dfrac{a_5}{a_2}$
e. $1 - \dfrac{a_6}{a_2}$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 6

Misalkan nilai dari suatu alat ( $v$ ) didasarkan pada jumlah tahun sejak pembelian ( $t$ ), sehingga

$v(t) = e^{(7 - 0{,}2t)}$

Jika alat itu rusak dalam 7 tahun pertama sejak alat itu dibeli, maka pembeli tersebut dapat melakukan klaim atas garansi dimana penjual akan membayarkan sejumlah uang kepada pembeli sesuai nilai dari alat tersebut ketika alat tersebut rusak. Jika setelah 7 tahun alat itu rusak maka pembeli tidak akan mendapatkan apapun. Lama hidup dari alat tersebut hingga rusak berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $10$ .

Tentukan ekspektasi pembayaran penjual atas garansi tersebut.

a. $98{,}7$
b. $109{,}66$
c. $270{,}43$
d. $320{,}78$
e. $352{,}16$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 7

Sebuah pabrik membuat tiga jenis baju yang berbeda: baju A, baju B, baju C. Pabrik memproduksi ratusan baju setiap tahun, dengan jumlah baju B dua kali lebih banyak daripada baju A. Jumlah baju C yang dibuat dua kali lipat jumlah gabungan banyaknya baju A dan baju B. Empat baju yang dibuat oleh pabrik dipilih secara acak dari semua tipe baju yang diproduksi oleh pabrik pada tahun tertentu.

Tentukan probabilitas bahwa sampel akan berisi dua baju B dan dua baju C.

a. $\dfrac{8}{243}$
b. $\dfrac{96}{625}$
c. $\dfrac{384}{2410}$
d. $\dfrac{32}{243}$
e. $\dfrac{1}{6}$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 8

Jika $X$ berdistribusi normal dengan nilai mean sebesar $1$ dan variansi sebesar $4$ , maka tentukanlah $P[X^2 - 2X \leq 8]$ .

a. $0{,}13$
b. $0{,}43$
c. $0{,}75$
d. $0{,}86$
e. $0{,}93$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 9

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama:

$f(x, y) = \begin{cases} 6x, & \text{untuk } 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Jika $E[X] = \dfrac{1}{2}$ dan $E[Y] = \dfrac{3}{4}$ , tentukanlah nilai dari $\text{Cov}[X, Y]$ .

a. $\dfrac{1}{40}$
b. $\dfrac{1}{20}$
c. $\dfrac{1}{10}$
d. $\dfrac{1}{5}$
e. $1$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 10

Sebuah dadu jika dilempar memiliki probabilitas untuk memunculkan angka $1$ sebesar $p$ , memunculkan angka $6$ sebesar $\dfrac{1}{3} - p$ dan memunculkan angka $2, 3, 4, 5$ masing-masing dengan probabilitas sebesar $\dfrac{1}{6}$ . Misalkan $X$ melambangkan angka yang muncul ketika dadu dilempar.

Tentukan nilai dari $p$ sedemikian sehingga nilai dari variansi $X$ akan maksimal.

a. $0$
b. $\dfrac{1}{12}$
c. $\dfrac{1}{6}$
d. $\dfrac{1}{4}$
e. $\dfrac{1}{3}$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 11

Sebuah perusahaan asuransi mengetahui bahwa waktu hingga terjadinya sebuah klaim dari kecelakaan mobil berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $1$ dan waktu hingga terjadinya sebuah klaim dari kematian seseorang berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $2$ . Klaim yang terjadi antara kecelakaan mobil dan kematian seseorang saling independen.

Tentukan ekspektasi waktu hingga terjadinya klaim pertama kali (tidak bergantung pada jenis klaim mana yang terjadi terlebih dahulu).

a. $\dfrac{1}{6}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{5}{6}$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 12

Dalam suatu sekolah diketahui tinggi badan pria dan wanita berdistribusi normal dengan mean dan standar deviasi sebesar $(180, 20)$ dan $(130, 15)$ secara berturut-turut. Jika seorang pria dan seorang wanita dipilih secara acak, tentukan probabilitas dimana jumlah tinggi kedua orang tersebut kurang dari $280$ .

a. $0{,}1587$
b. $0{,}1151$
c. $0{,}0548$
d. $0{,}0359$
e. $0{,}0228$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 13

Misalkan $X_1, X_2, X_3$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 1)$ dengan $\text{Cov}(X_i, X_j) = \dfrac{1}{12}$ untuk $i, j = 1, 2, 3$ , $i \neq j$ .

Tentukan variansi dari $X_1 + 2X_2 - X_3$ .

a. $\dfrac{1}{6}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{5}{12}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{11}{12}$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 14

Misalkan sebuah perusahaan asuransi mengetahui proporsi perokok sebanyak $0{,}3$ dari populasi umum dan mengasumsikan bahwa hal ini merepresentasikan proporsi calon pembeli polis (nasabah) yang merupakan perokok. Diketahui juga:

$40\%$ dari calon nasabah yang sebenarnya adalah perokok tetapi mengatakan bukan perokok pada formulir aplikasi.
Tidak ada calon nasabah yang sebenarnya bukan perokok yang berbohong pada formulir aplikasinya.

Tentukanlah proporsi calon nasabah yang mengisi formulir aplikasi sebagai bukan perokok adalah orang yang sebenarnya bukan perokok.

a. $0$
b. $\dfrac{6}{41}$
c. $\dfrac{12}{41}$
d. $\dfrac{35}{41}$
e. $1$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 15

Sebuah toko kopi akan memberikan uang sebesar $100$ kepada seseorang yang memiliki stampel hadiah pada kupon dari $5$ hari secara berturut dari hari Senin sampai Jumat. Stampel hadiah hanya akan diberikan secara acak kepada $10\%$ dari total pembeli pada hari tersebut. Jika Andi membeli kopi di toko tersebut setiap harinya selama $4$ minggu berturut-turut dan probabilitas untuk mendapatkan stampel hadiah independen setiap harinya, tentukan standar deviasi dari $X$ dimana $X$ adalah total hadiah yang dimenangkan oleh Andi selama periode $4$ minggu tersebut.

a. $0{,}61$
b. $0{,}62$
c. $0{,}63$
d. $0{,}64$
e. $0{,}65$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 16

Sebuah asuransi menanggung kerugian yang dialami oleh Andi dan Budi. Masing-masing dari Andi dan Budi memiliki probabilitas sebesar $0{,}4$ untuk mengalami kerugian dan kerugian mereka saling independen. Andi hanya boleh mengajukan klaim setahun sekali, begitu juga dengan Budi. Asuransi tersebut akan menanggung semua kerugian selama total kerugian dari Andi dan Budi tidak melebihi $8{.}000$ . Jika Andi mengalami kerugian, maka besar kerugian tersebut berdistribusi seragam pada $[1{.}000, 5{.}000]$ , begitu juga dengan Budi.

Diberikan bahwa Andi telah mengalami kerugian melebihi $2{.}000$ , tentukan probabilitas bahwa total kerugian yang dialami Andi dan Budi akan melebihi $8{.}000$ .

a. $\dfrac{1}{20}$
b. $\dfrac{1}{15}$
c. $\dfrac{1}{10}$
d. $\dfrac{1}{8}$
e. $\dfrac{1}{6}$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 17

$X$ berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $1$ . $Y$ didefinisikan sebagai distribusi bersyarat dari $X - 2$ diberikan bahwa $X > 2$ , sehingga untuk $c > 0$ , $P[Y > c] = P[X - 2 > c \mid X > 2]$ .

Tentukan distribusi dari $Y$ .

a. Eksponensial dengan mean sebesar $1$
b. Eksponensial dengan mean sebesar $2$
c. Eksponensial dengan mean sebesar $\dfrac{1}{2}$
d. Eksponensial dengan mean sebesar $e$
e. Eksponensial dengan mean sebesar $e^2$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 18

Diketahui bahwa kemungkinan seseorang membeli $2$ buku empat kali lipat dibandingkan kemungkinan seseorang membeli $4$ buku. Jika banyaknya buku yang dibeli mengikuti distribusi Poisson, tentukanlah variansi dari banyaknya buku yang dibeli.

a. $\sqrt{3}$
b. $3$
c. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
d. $2$
e. $4$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 19

Diberikan $X$ dan $Y$ memiliki fungsi densitas bersama yaitu:

$f(x, y) = x + y \quad \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 1$

Diberikan fungsi densitas bersama dari $Y$ dan $Z$ yaitu:

$g(y, z) = 3\left(y + \frac{1}{2}\right)z^2 \quad \text{untuk } 0 < y < 1 \text{ dan } 0 < z < 1$

Tentukanlah fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Z$ .

a. $x + \dfrac{3}{2}z^2$ , $\quad 0 < x < 1$ , $0 < z < 1$
b. $x + \dfrac{1}{2} + 3z^2$ , $\quad 0 < x < 1$ , $0 < z < 1$
c. $3\left(x + \dfrac{1}{2}\right)z^2$ , $\quad 0 < x < 1$ , $0 < z < 1$
d. $x + z$ , $\quad 0 < x < 1$ , $0 < z < 1$
e. $4xz$ , $\quad 0 < x < 1$ , $0 < z < 1$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 20

Dari pernyataan berikut mengenai penjumlahan dari variabel acak yang saling independen, berapa banyak yang benar?

(i) Penjumlahan dari beberapa variabel acak berdistribusi Poisson yang saling independen, akan berdistribusi Poisson juga.
(ii) Penjumlahan dari beberapa variabel acak berdistribusi eksponensial yang saling independen, akan berdistribusi eksponensial juga.
(iii) Penjumlahan dari beberapa variabel acak berdistribusi geometrik yang saling independen, akan berdistribusi geometrik juga.
(iv) Penjumlahan dari beberapa variabel acak berdistribusi normal yang saling independen, akan berdistribusi normal juga.

a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
e. $4$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 21

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = ax + by \quad \text{untuk } 0 < x < 2, \ 0 < y < 1$

Diketahui juga bahwa $P[X > Y] = \dfrac{5}{6}$ .

Tentukan nilai dari $E[X + Y]$ .

a. $\dfrac{10}{9}$
b. $\dfrac{16}{9}$
c. $\dfrac{22}{9}$
d. $\dfrac{28}{9}$
e. $\dfrac{34}{9}$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 22

Sebuah perusahaan manufaktur mengirimkan $10{.}000$ unit produk per pengiriman. Dalam setiap pengiriman tertentu ada proporsi unit yang rusak. Dalam pengiriman pertama yang memuat $25\%$ unit produksi, setiap unit produk memiliki peluang cacat sebesar $0{,}2$ dan dalam pengiriman kedua, yang memuat $75\%$ unit produksi lainnya, setiap unit produk memiliki peluang cacat sebesar $0{,}1$ . Pengiriman dipilih secara acak dan $10$ unit produk dipilih secara acak dari pengiriman itu.

Tentukan peluang bahwa paling sedikit $2$ unit dalam sampel tersebut rusak.

a. $0{,}3$
b. $0{,}35$
c. $0{,}4$
d. $0{,}45$
e. $0{,}5$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 23

Sebuah perusahaan kecil ingin mengasuransikan kerugian yang timbul dalam kasus pemogokan oleh karyawan perusahaan. Perusahaan asuransi setuju untuk membayar $100{.}000$ untuk setiap pemogokan yang terjadi dalam tahun depan, hingga pembayaran maksimum sebesar $300{.}000$ . Distribusi yang digunakan untuk memodelkan perilaku pemogokan adalah:

$P[n \text{ pemogokan dalam tahun depan}] = (0{,}8)(0{,}2)^n, \quad n \geq 0$

Perusahaan kecil tersebut mengestimasi bahwa akan ada kerugian sebesar $150{.}000$ untuk setiap pemogokan yang terjadi. Tentukan ekspektasi kerugian dari perusahaan kecil tersebut yang tidak ditanggung oleh pihak asuransi.

a. $12{.}100$
b. $12{.}300$
c. $12{.}500$
d. $12{.}700$
e. $12{.}900$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 24

Sebuah pesawat berisikan $30$ kursi. Probabilitas bahwa penumpang tertentu tidak akan muncul untuk penerbangan adalah $0{,}1$ , saling independen terhadap penumpang lainnya. Jika maskapai pesawat tersebut menjual sebanyak $32$ tiket penerbangan, tentukanlah probabilitas bahwa banyaknya penumpang yang datang melebihi kapasitas pesawat.

a. $0{,}0042$
b. $0{,}0343$
c. $0{,}0382$
d. $0{,}1221$
e. $0{,}1564$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 25

Misalkan $f_X(x) = xe^{-x^2/2}$ untuk $x > 0$ dan $Y = \ln X$ , maka tentukanlah fungsi densitas untuk $Y$ .

a. $e^{2y - \frac{1}{2}e^{2y}}$
b. $(\ln y)e^{-(\ln y)^2/2}$
c. $e^{y - \frac{1}{2}e^{2y}}$
d. $ye^{-y^2/2}$
e. $e^{-\frac{1}{2}e^{2y}}$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 26

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ merupakan variabel acak dengan fungsi pembangkit momen bersama sebagai berikut:

$M(t_1, t_2) = 0{,}3 + 0{,}1e^{t_1} + 0{,}2e^{t_2} + 0{,}4e^{t_1 + t_2}$

Tentukan nilai dari $E[X_1 - X_2]$ .

a. $-0{,}1$
b. $0$
c. $0{,}4$
d. $0{,}8$
e. $0{,}2e + 0{,}4e^2$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 27

Digit biner ditransmisikan melalui sistem komunikasi. Jika $1$ dikirim, maka akan diterima sebagai $1$ dengan probabilitas $0{,}95$ dan sebagai $0$ dengan probabilitas $0{,}05$ . Jika $0$ dikirim, itu akan diterima sebagai $0$ dengan probabilitas $0{,}99$ dan sebagai $1$ dengan probabilitas $0{,}01$ . Serangkaian $0$ dan $1$ dikirim secara acak, dengan $0$ dan $1$ masing-masing memiliki kemungkinan yang sama.

Tentukan probabilitas bahwa digit tersebut dikirim sebagai $1$ , jika diketahui suatu digit diterima sebagai $1$ .

a. Kurang dari $0{,}96$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}96$ tapi kurang dari $0{,}97$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}97$ tapi kurang dari $0{,}98$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}98$ tapi kurang dari $0{,}99$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}99$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 28

Misalkan $X$ merupakan variabel acak dengan mean sebesar $3$ dan variansi sebesar $2$ dan misalkan juga $Y$ merupakan variabel acak sedemikian sehingga untuk setiap $x$ , distribusi bersyarat dari $Y$ diketahui $X = x$ memiliki mean sebesar $x$ dan variansi sebesar $x^2$ .

Tentukan besar variansi dari $Y$ .

a. $2$
b. $4$
c. $5$
d. $11$
e. $13$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 29

Sebuah perusahaan asuransi sedang mempertimbangkan untuk mengambil alih sekelompok polis. Polis-polis dalam kelompok tersebut berdistribusi identik dan saling independen satu sama lain. Setiap polis dalam kelompok memiliki klaim yang berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $100$ dan premi untuk setiap polis sebesar $120$ . Perusahaan asuransi tersebut menginginkan probabilitas sebesar $95\%$ dimana premi yang diterima akan cukup untuk menutupi klaim.

Dengan menggunakan approksimasi normal, tentukanlah jumlah minimum polis yang diperlukan dalam kelompok tersebut agar kriteria perusahaan asuransi dipenuhi.

a. $60$
b. $62$
c. $64$
d. $66$
e. $68$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 30

Misalkan variabel acak kontinu $X$ dengan fungsi distribusi kumulatif sebagai berikut:

$F(x) = \begin{cases} 0, & \text{untuk } x < a \\ 1 - e^{-\frac{1}{2}(x-a)^2}, & \text{lainnya} \end{cases}$

Dimana $a$ merupakan suatu konstanta.

Tentukan persentil ke-75 dari $X$ .

a. $F(0{,}75)$
b. $a - \sqrt{2 \ln 2}$
c. $a + \sqrt{2 \ln 2}$
d. $a - 2\sqrt{\ln 2}$
e. $a + 2\sqrt{\ln 2}$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›