CF2 · Past Exam

2023 08 Cf2

No. 1

Enam orang masuk ke lift dari lantai dasar sebuah hotel yang memiliki 10 lantai diatasnya. Dengan asumsi setiap orang turun di lantai yang dipilih secara acak, tentukanlah probabilitas bahwa semua orang turun di lantai yang berbeda.

a. Kurang dari $0{,}15$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}15$ tapi kurang dari $0{,}3$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}3$ tapi kurang dari $0{,}45$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}45$ tapi kurang dari $0{,}6$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}6$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 2

Diketahui beberapa pernyataan berikut ini:

(i) Jika kejadian $A$ dan $B$ saling bebas, maka kejadian $A$ dan $B'$ juga saling bebas
(ii) Jika kejadian $A$ dan $B$ saling bebas, maka kejadian $A'$ dan $B'$ juga saling bebas
(iii) Jika kejadian $A$ dan $B$ saling bebas, maka kejadian $A \cup B$ dan $A' \cup B'$ juga saling bebas

Tentukanlah pernyataan yang mana saja yang benar.

a. Semua benar kecuali pernyataan i
b. Semua benar kecuali pernyataan ii
c. Semua benar kecuali pernyataan iii
d. Semua benar
e. Hanya pernyataan i yang benar

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 3

Dalam sebuah pertandingan sepakbola antara tim $A$ dan tim $B$ , diketahui bahwa banyaknya gol yang dicetak oleh tim $A$ dalam suatu pertandingan berdistribusi geometrik, $X_A = 0, 1, 2, \ldots$ dengan mean sebesar 3. Diketahui juga banyaknya gol yang dicetak oleh tim $B$ dalam suatu pertandingan berdistribusi geometrik, $X_B = 0, 1, 2, \ldots$ dengan mean sebesar $3{,}5$ . Asumsikan $X_A$ dan $X_B$ saling independen, maka tentukanlah probabilitas bahwa tim $B$ akan memenangkan pertandingan dengan selisih gol sekurang-kurangnya 2 gol.

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 4

Misalkan $X$ adalah variabel acak diskrit dimana

$P[X = 1] = p, \quad P[X = 2] = q, \quad P[X = 3] = r$

Diketahui juga bahwa $P_X'(0) = 0{,}25$ dimana $P_X(t)$ adalah fungsi pembangkit probabilitas dari $X$ dan $M_X'(0) = 2{,}125$ dimana $M_X(t)$ adalah fungsi pembangkit momen dari $X$ . Tentukan nilai dari $r$ .

a. $0{,}075$
b. $0{,}15$
c. $0{,}225$
d. $0{,}3$
e. $0{,}375$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 5

Misalkan $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak diskrit, dimana diketahui bahwa

$P[Y = -1] = \frac{1}{6}, \quad P[Y = 0] = \frac{1}{3}, \quad P[Y = 1] = \frac{1}{2}$

$P[X = -1 | Y = -1] = \frac{1}{3}, \quad P[X = 1 | Y = -1] = \frac{2}{3}$

$P[X = -1 | Y = 0] = \frac{1}{2}, \quad P[X = 1 | Y = 0] = \frac{1}{2}$

$P[X = -1 | Y = 1] = \frac{2}{3}, \quad P[X = 1 | Y = 1] = \frac{1}{3}$

Tentukanlah nilai dari $P[XY = 1]$ .

a. $\dfrac{1}{18}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{6}$
d. $\dfrac{2}{9}$
e. $\dfrac{5}{18}$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 6

Diketahui $X$ merupakan variabel acak berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $k > 0$ . Diketahui juga $E[X | X > k] = 2$ . Tentukanlah nilai dari $E[X | X \leq k]$ .

a. Kurang dari $0{,}25$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}25$ tapi kurang dari $0{,}5$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}5$ tapi kurang dari $0{,}75$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}75$ tapi kurang dari $1$
e. Sekurang-kurangnya $1$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 7

Sebuah dadu bersisi 6 dengan sisi bernomor 1 sampai 6 dilempar secara berulang. Setiap lemparan saling independen. Lemparan dadu akan berulang dilakukan hingga jumlah angka-angka yang keluar dari setiap lemparan dadu tersebut sedikitnya berjumlah 14. Tentukanlah probabilitas sehingga diperlukan paling sedikit 4 kali lemparan untuk mencapai hal tersebut.

a. Kurang dari $0{,}2$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}8$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}8$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 8

Andi ingin pergi mendaki gunung, maka dari itu dia ingin membawa sebuah senter yang dapat menyala minimal selama 48 jam. Sebuah senter dapat menyala hanya dengan menggunakan sebuah baterai. Untuk sebuah baterai memiliki lama hidup berdistribusi normal dengan mean sebesar 8 jam dan standar deviasi sebesar 2 jam. Diasumsikan lama hidup baterai saling independen satu sama lain.

Tentukanlah jumlah minimal baterai yang harus dibawa Andi agar ia memiliki probabilitas sebesar 99% bahwa senter tersebut akan menyala minimal selama 48 jam.

a. $6$
b. $7$
c. $8$
d. $9$
e. $10$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 9

Lama waktu yang diperlukan seorang teknisi untuk memperbaiki perangkat mekanis tertentu yang tidak berfungsi berdistribusi seragam antara 3 dan 6 jam. Misalkan dua perangkat gagal secara bersamaan, dan pekerjaan perbaikan dimulai secara bersamaan oleh dua teknisi yang saling independen.

Tentukan lama waktu yang diharapkan hingga terdapat satu perangkat yang selesai diperbaiki.

a. $3{,}25$
b. $3{,}5$
c. $3{,}75$
d. $4$
e. $4{,}25$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 10

Diketahui variabel acak $X$ memiliki fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = x, \quad \text{untuk } 0 < x < 1$

$P[X = 0] = a \quad \text{dan} \quad P[X = 1] = b$

$P[X < 0] = P[X > 1] = 0$

Tentukan nilai dari $a$ sedemikian sehingga nilai dari $Var[X]$ maksimal.

a. $0 \leq a < 0{,}1$
b. $0{,}1 \leq a < 0{,}2$
c. $0{,}2 \leq a < 0{,}3$
d. $0{,}3 \leq a < 0{,}4$
e. $a \geq 0{,}4$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 11

Diketahui $X$ memiliki distribusi bernilai bilangan bulat non-negatif diskrit dengan mean 3 dan variansi sebesar 10. Dua distribusi baru dibuat dari $X$ . $Y$ memiliki fungsi probabilitas yang sama dengan $X$ untuk $Y = 2, 3, 4, \ldots$ tetapi $P[Y = 0] = 0$ dan $P[Y = 1] = P[X = 0] + P[X = 1]$ . $Z$ memiliki fungsi probabilitas yang sama dengan $X$ untuk $Z = 3, 4, \ldots$ tetapi $P[Z = 0] = P[Z = 1] = 0$ dan $P[Z = 2] = P[X = 0] + P[X = 1] + P[X = 2]$ . Diketahui bahwa mean dari $Y$ adalah $3{,}2$ dan mean dari $Z$ adalah $3{,}7$ .

Tentukanlah variansi dari $Z$ . (Pilihlah jawaban terdekat)

a. $7$
b. $7{,}2$
c. $7{,}4$
d. $7{,}6$
e. $7{,}8$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 12

Perusahaan asuransi mengasuransikan 800 kerugian yang saling independen. Dari 800 kerugian tersebut, terdapat 400 kerugian masing-masing berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 1, dan 400 kerugian lainnya masing-masing berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 2. Perusahaan asuransi menggunakan aproksimasi normal untuk menemukan setiap hal berikut:

(i) persentil ke-95 dari agregat 400 kerugian pertama masing-masing dengan rata-rata sebesar 1, misalkan $A$ ,
(ii) persentil ke-95 dari agregat 400 kerugian pertama masing-masing dengan rata-rata sebesar 2, misalkan $B$ , dan
(iii) persentil ke-95 dari keseluruhan 800 kerugian, misalkan $C$ .

Tentukanlah nilai dari $\dfrac{C}{A + B}$ .

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 13

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak yang saling independen dan masing-masing berdistribusi seragam pada interval $[0, 1]$ . Diketahui $U = \min\{X, Y\}$ dan $W = \max\{X, Y\}$ .

Tentukan nilai dari $Cov(U, W)$ .

a. $\dfrac{1}{2}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{1}{16}$
d. $\dfrac{1}{24}$
e. $\dfrac{1}{36}$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 14

Seorang dokter hewan melakukan studi kematian selama 3 tahun pada kucing dan diabetes. Dalam studi tersebut, 60% kucing sehat, 30% menderita pra-diabetes, dan 10% menderita diabetes. Dalam periode tiga tahun ditemukan bahwa kucing pra-diabetes dua kali lebih mungkin mati daripada kucing sehat dan $0{,}5$ kali lebih mungkin mati daripada kucing diabetes. Seekor kucing yang dipilih secara acak dari kelompok studi ditemukan telah mati selama periode tiga tahun.

Tentukanlah probabilitas bahwa kucing yang dipilih tersebut menderita diabetes.

a. $\dfrac{1}{2}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{1}{4}$
d. $\dfrac{1}{5}$
e. $\dfrac{1}{6}$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 15

Sebuah koin memiliki kemungkinan dua kali lipat untuk memunculkan angka dibandingkan gambar. Jika koin dilempar secara terpisah, tentukanlah probabilitas munculnya gambar ketiga kalinya pada lemparan keenam.

a. $\dfrac{8}{81}$
b. $\dfrac{40}{243}$
c. $\dfrac{40}{729}$
d. $\dfrac{80}{243}$
e. $\dfrac{80}{729}$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 16

Diketahui fungsi densitas bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$f(x, y) = 2e^{-(x+y)} \quad \text{untuk } 0 < x < y < \infty$

Tentukan nilai dari $Cov(X + Y, X - Y)$ .

a. $-2$
b. $-1$
c. $0$
d. $1$
e. $2$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 17

Diketahui fungsi kumulatif bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$F(x, y) = y(x^2 + xy - y^2) \quad \text{untuk } 0 \leq y \leq x \leq 1$

Tentukan $E[Y | X = 0{,}5]$ .

a. $\dfrac{1}{18}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{6}$
d. $\dfrac{2}{9}$
e. $\dfrac{5}{18}$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 18

Messi sedang mempertimbangkan program amal untuk memberikan sumbangan ke rumah sakit. Donasi akan dikaitkan dengan berapa banyak gol yang ia cetak di pertandingan berikutnya. Ahli statistik tim telah menentukan bahwa jumlah gol yang dicetak oleh Messi dalam sebuah pertandingan memiliki distribusi Poisson dengan mean sebesar 3. Messi berencana menyumbangkan $K$ untuk setiap gol yang mereka cetak hingga maksimal 3 gol.

Untuk sebuah pertandingan tentukanlah nilai $K$ yang akan membuat donasi Messi yang diharapkan menjadi 5000.

a. Kurang dari $2{.}000$
b. Sekurang-kurangnya $2{.}000$ tapi kurang dari $2{.}100$
c. Sekurang-kurangnya $2{.}100$ tapi kurang dari $2{.}200$
d. Sekurang-kurangnya $2{.}200$ tapi kurang dari $2{.}300$
e. Sekurang-kurangnya $2{.}300$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 19

Lama waktu $T$ yang diperlukan bakteri tertentu untuk menggandakan ukurannya adalah variabel acak dengan $f_T(t) = e^{1-t}$ , $t > 1$ , dimana $t$ diukur dalam jam. Setelah ukuran bakteri menjadi dua kali lipat, jumlah waktu tambahan yang dibutuhkan, misalkan $U$ (dalam jam), untuk menggandakan ukurannya lagi (empat kali lipat dari ukuran aslinya) memiliki distribusi yang sama dengan $T$ dan saling independen dengan $T$ .

Hitung probabilitas bahwa bakteri tersebut tumbuh hingga empat kali ukuran aslinya dalam waktu tidak lebih dari 4 jam.

a. Kurang dari $0{,}6$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}7$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}7$ tapi kurang dari $0{,}8$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}8$ tapi kurang dari $0{,}9$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}9$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 20

Diketahui $X_1, X_2$ dan $X_3$ merupakan variabel acak bebas yang masing-masing terdistribusi seragam pada interval $[0, 1]$ . Misalkan ketiga variabel disusun dalam urutan meningkat $Y_1 \leq Y_2 \leq Y_3$ ( $Y_1$ adalah yang terkecil dari ketiga $X$ ).

Tentukanlah variansi dari $Y_2$ .

a. $\dfrac{1}{20}$
b. $\dfrac{1}{10}$
c. $\dfrac{1}{5}$
d. $\dfrac{1}{4}$
e. $\dfrac{1}{3}$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 21

Diketahui fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} c(y - x), & \text{untuk } 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{untuk lainnya} \end{cases}$

Tentukan mean dari distribusi marginal dari $X$ .

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{3}{8}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{5}{8}$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 22

Sebuah tim bisbol akan menyumbangkan $100{.}000$ untuk setiap pukulan home run setelah home run ke-3 dalam suatu permainan. Diketahui bahwa banyak home run yang dicapai dalam suatu permainan berdistribusi Poisson dengan rata-rata sebesar 4.

Tentukanlah besar uang yang diharapkan akan disumbangkan oleh tim tersebut.

a. Kurang dari $150{.}000$
b. Sekurang-kurangnya $150{.}000$ tapi kurang dari $175{.}000$
c. Sekurang-kurangnya $175{.}000$ tapi kurang dari $200{.}000$
d. Sekurang-kurangnya $200{.}000$ tapi kurang dari $225{.}000$
e. Sekurang-kurangnya $225{.}000$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 23

Banyaknya angin topan $X$ yang menyerang pulau tertentu dalam satu bulan memiliki distribusi sebagai berikut:

$P(X = k) = 0{,}9 \times 0{,}1^k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$

Hal ini berlaku untuk setiap bulan Juni, Juli dan Agustus. Diasumsikan bahwa jumlah angin topan di bulan tertentu tidak bergantung pada jumlah di bulan lainnya.

Tentukanlah probabilitas paling sedikit tiga angin topan terjadi untuk periode tiga bulan Juni, Juli dan Agustus.

a. Kurang dari $0{,}1$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}1$ tapi kurang dari $0{,}125$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}125$ tapi kurang dari $0{,}15$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}15$ tapi kurang dari $0{,}175$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}175$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 24

Dalam sebuah survei, diketahui bahwa:

(i) $80\%$ orang yang disurvei memiliki motor atau sepeda (bisa jadi memiliki kedua kendaraan tersebut)
(ii) $\dfrac{1}{3}$ orang yang memiliki motor, juga memiliki sepeda
(iii) $\dfrac{1}{2}$ orang yang memiliki sepeda, juga memiliki motor

Dari orang yang tidak memiliki sepeda, tentukanlah proporsi orang yang tidak memiliki motor.

a. $\dfrac{1}{3}$
b. $\dfrac{4}{9}$
c. $\dfrac{5}{9}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{7}{9}$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 25

Diketahui $X$ dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} x - \dfrac{x^2}{2}, & \text{untuk } 0 < x \leq 1 \\ \dfrac{x^2}{2} - x + 1, & \text{untuk } 1 < x < 2 \\ 0, & \text{untuk lainnya} \end{cases}$

Misalkan $Y = X^2$ . Tentukan nilai dari $F_Y(2)$ . (Pilihlah jawaban terdekat)

a. $0{,}33$
b. $0{,}48$
c. $0{,}55$
d. $0{,}67$
e. $0{,}8$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 26

Dua bola dijatuhkan sedemikian rupa sehingga setiap bola memiliki kemungkinan yang sama untuk jatuh ke salah satu dari empat lubang yang ada. Kedua bola dapat jatuh ke dalam lubang yang sama. Misalkan $X$ adalah banyaknya lubang kosong di akhir percobaan.

Tentukanlah fungsi pembangkit momen dari $X$ .

a. $\dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}t$ , jika $t = 2, 3$ dan $0$ , untuk $t$ lainnya
b. $\dfrac{9}{4}t + \dfrac{21}{8}t^2$
c. $\dfrac{1}{4}(3e^{2t} + e^{3t})$
d. $\dfrac{1}{4}(e^{2t} + e^{3t})$
e. $\dfrac{1}{4}(e^{3t/4} + 3e^{t/4})$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 27

Akan dilakukan pengujian kualitas produk jadi yang dipilih secara acak. Hasil tes akan menunjukkan bahwa produk tersebut cacat sebesar 98% dari produk yang benar-benar cacat. Hasil tes akan menunjukkan bahwa produk tidak cacat sebesar 100% dari produk yang memang tidak cacat. Diperkirakan persentase produk yang benar-benar cacat dari semua total produksi adalah $\frac{1}{2}\%$ . Misalkan sebuah produk jadi yang dipilih secara acak diuji dan ternyata hasil tes menunjukkan tidak cacat.

Tentukanlah probabilitas bahwa produk tersebut itu benar-benar cacat.

a. Kurang dari $0{,}0001$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}0001$ tapi kurang dari $0{,}00013$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}00013$ tapi kurang dari $0{,}00015$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}00015$ tapi kurang dari $0{,}00017$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}00017$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 28

Andi memiliki dua pemasok pakaian, yaitu Pabrik A dan Pabrik B. Dia mendapatkan jumlah baju yang sama dari setiap pemasok dan memperkirakan bahwa rata-rata, 10% baju dari Pabrik A rusak dan 20% baju dari Pabrik B rusak. Andi memeriksa 10 baju dari suatu pengiriman baru-baru ini dari suatu pemasok tetapi tidak tahu siapa pemasoknya. Dia menemukan 2 baju yang rusak dari total 10 baju dalam pengiriman tersebut.

Tentukanlah probabilitas pemasok baju tersebut adalah Pabrik A.

a. Kurang dari $0{,}11$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}11$ tapi kurang dari $0{,}22$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}22$ tapi kurang dari $0{,}33$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}33$ tapi kurang dari $0{,}44$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}44$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 29

Andi, Budi, dan Chandra adalah pelari marathon yang masing-masing memiliki waktu lari yang berdistribusi normal, sebagai berikut:

(i) Andi: Rata-rata sebesar $2{,}3$ dan variansi sebesar $0{,}04$
(ii) Budi: Rata-rata sebesar $2{,}41$ dan variansi sebesar $0{,}04$
(iii) Chandra: Rata-rata sebesar $2{,}7$ dan variansi sebesar $0{,}16$

Asumsikan waktu lari mereka saling bebas, tentukanlah probabilitas bahwa pada lomba marathon berikutnya waktu lari Budi kurang dari rata-rata waktu lari Andi dan Chandra.

a. Kurang dari $0{,}5$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}5$ tapi kurang dari $0{,}6$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}7$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}7$ tapi kurang dari $0{,}8$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}8$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 30

Misalkan variabel acak kontinu $X$ dan $Y$ berdistribusi bivariat normal dengan $E[X] = E[Y] = 0$ dan $Var[X] = Var[Y] = 1$ . Diketahui juga bahwa persentil ke-95 dari $W = X + Y$ adalah $2{,}8491$ .

Tentukanlah nilai dari $Cov(X, Y)$ .

a. $-1$
b. $-0{,}5$
c. $0$
d. $0{,}5$
e. $1$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›