CF2 · Past Exam

2024 10 Cf2

No. 1

Ada dua puluh empat angka 4-digit yang menggunakan masing-masing dari empat digit 2, 4, 5, dan 7 tepat satu kali. Diurutkan berdasarkan urutan angka dari yang terkecil hingga terbesar, tentukanlah angka pada posisi ke-17 dalam daftar.

a. $4{.}527$
b. $5{.}724$
c. $5{.}742$
d. $7{.}245$
e. $7{.}524$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 2

Seorang aktuaris sedang mempelajari prevalensi tiga faktor risiko kesehatan, yang dilambangkan dengan $A$ , $B$ , dan $C$ , dalam suatu populasi wanita. Diketahui bahwa:

(i) Untuk masing-masing dari tiga faktor tersebut, probabilitasnya adalah $0{,}07$ bahwa seorang wanita dalam populasi tersebut hanya memiliki faktor risiko ini (dan tidak ada yang lain).
(ii) Untuk dua dari tiga faktor tersebut, probabilitasnya adalah $0{,}09$ bahwa ia memiliki tepat dua faktor risiko ini (tetapi tidak yang lain).
(iii) Probabilitas bahwa seorang wanita memiliki ketiga faktor risiko tersebut, diketahui dia memiliki faktor risiko $A$ dan $B$ , adalah $\dfrac{1}{3}$ .

Tentukan probabilitas bahwa seorang wanita tidak memiliki satu pun dari tiga faktor risiko tersebut, diketahui ia tidak memiliki faktor risiko $A$ .

a. $0{,}573$
b. $0{,}785$
c. $0{,}65$
d. $0{,}443$
e. $0{,}674$

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 3

Dalam pemodelan jumlah klaim yang diajukan oleh seorang individu berdasarkan polis asuransi mobil selama periode tiga tahun, seorang aktuaris membuat asumsi penyederhanaan bahwa untuk semua bilangan bulat $n \geq 0$ , $p_{n+1} = \dfrac{1}{5} p_n$ , dimana $p_n$ mewakili probabilitas bahwa pemegang polis mengajukan $n$ klaim selama periode tersebut. Berdasarkan asumsi ini, tentukan probabilitas bahwa seorang pemegang polis mengajukan lebih dari satu klaim selama periode tersebut.

a. Kurang dari $0{,}02$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}02$ tapi kurang dari $0{,}04$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}04$ tapi kurang dari $0{,}06$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}06$ tapi kurang dari $0{,}08$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}08$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 4

Diberikan variabel acak $X$ berdistribusi normal dengan $\mu = 2$ , $\sigma^2 = 9$ . Misalkan $Y = e^X$ , tentukanlah nilai dari $E[Y^{12}]$ .

a. $e^{72}$
b. $e^{672}$
c. $e^{674}$
d. $e^{667}$
e. $e^{685}$

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 5

Diberikan $n$ buah dadu bersisi enam, yang dilempar secara independen satu sama lainnya. Tentukanlah probabilitas bahwa jumlah angka yang muncul dari semua dadu tersebut merupakan angka genap.

a. $\dfrac{1}{2} - \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6n^3}$
b. $\dfrac{1}{2} - \dfrac{(n-1)(n-2)}{6n^2}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6n^3}$
e. $\dfrac{1}{2} + \dfrac{(n-1)(n-2)}{6n^2}$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 6

Misalkan $W(t)$ adalah suatu fungsi yang didefinisikan sebagai berikut:

$W(t) = \begin{cases} e^{8-0{,}2t}, & 0 < t < 8 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Diketahui $T$ berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $13$ . Tentukan nilai dari $E[W(t)]$ (dalam pembulatan terdekat).

a. $705$
b. $823$
c. $741$
d. $738$
e. $735$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 7

Andi menggunakan prosedur berikut untuk menuliskan deretan angka. Pertama, ia memilih suku pertama yang bernilai 6. Untuk menghasilkan setiap suku berikutnya, ia melempar koin. Jika muncul gambar, ia menggandakan suku sebelumnya lalu menguranginya dengan 1. Jika muncul angka, ia mengambil setengah dari suku sebelumnya lalu menguranginya dengan 1. Tentukanlah peluang suku keempat dalam deretan angka Andi adalah bilangan bulat.

a. $\dfrac{1}{6}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{5}{8}$
e. $\dfrac{3}{4}$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 8

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah dua variabel berdistribusi normal yang saling independen dengan mean sebesar $0$ dan standar deviasi sebesar $1$ . Tentukanlah nilai dari $P[X^2 + Y^2 \leq 1{,}2]$ .

a. $0{,}518$
b. $0{,}451$
c. $0{,}384$
d. $0{,}551$
e. $0{,}351$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 9

Suatu perusahaan asuransi mengasuransikan sejumlah besar pengemudi. Misalkan $X$ adalah variabel acak yang mewakili kerugian perusahaan berdasarkan asuransi tabrakan, dan misalkan $Y$ mewakili kerugian perusahaan berdasarkan asuransi kewajiban. $X$ dan $Y$ memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{6x + 4 - y}{180}, & 0 < x < 3;\ 0 < y < 6 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukanlah probabilitas bahwa kerugian totalnya paling sedikit sebesar $3$ (dalam pembulatan terdekat).

a. $0{,}98$
b. $0{,}93$
c. $0{,}88$
d. $0{,}78$
e. $0{,}68$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 10

Diketahui $X$ dan $Y$ adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} c(y - x), & \text{untuk } 0 < x < y < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukan mean dari distribusi marginal $X$ .

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{3}{8}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{5}{8}$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 11

Suatu variabel acak $X$ mempunyai massa probabilitas $0{,}1$ pada $X = 0$ dan massa probabilitas $0{,}5$ pada $X = 1$ . Fungsi densitas $X$ untuk semua nilai lainnya adalah

$f(x) = \begin{cases} 0{,}8x, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Tentukanlah nilai dari $E[X]$ .

a. $1{,}03$
b. $0{,}77$
c. $0{,}39$
d. $1{,}16$
e. $0{,}51$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 12

Klaim yang diajukan berdasarkan polis asuransi mobil mengikuti distribusi normal dengan rata-rata $71{.}700$ dan deviasi standar $18{.}000$ . Tentukanlah probabilitas bahwa rata-rata dari $36$ klaim yang dipilih secara acak melebihi $72{.}000$ .

a. $0{,}61$
b. $0{,}31$
c. $0{,}46$
d. $0{,}56$
e. $0{,}36$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 13

Suatu polis asuransi dibuat untuk menanggung kerugian $X$ , di mana $X$ memiliki distribusi seragam pada $[0, 3300]$ . Misalkan variabel acak lain $Y$ dimana

$Y = \begin{cases} 0, & 0 \leq X < D \\ X - D, & D < X \leq 3300 \end{cases}$

Tentukanlah nilai $D$ agar $E[Y] = \dfrac{1}{9} E[X]$ .

a. $2{.}200$
b. $4{.}400$
c. $1{.}100$
d. $2{.}100$
e. $2{.}400$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 14

Perusahaan asuransi kesehatan menjual polis kepada penduduk wilayah $X$ dan wilayah $Y$ . Pengalaman klaim di masa lalu menunjukkan hal berikut:

(i) $30\%$ dari total pemegang polis dari gabungan wilayah $X$ dan wilayah $Y$ tidak mengajukan klaim.
(ii) $15\%$ pemegang polis dari wilayah $X$ tidak mengajukan klaim.
(iii) $40\%$ pemegang polis dari wilayah $Y$ tidak mengajukan klaim.

Tentukanlah probabilitas bahwa pemegang polis yang dipilih secara acak adalah penduduk wilayah $X$ , diketahui pemegang polis tersebut tidak mengajukan klaim.

a. $0{,}1$
b. $0{,}2$
c. $0{,}5$
d. $0{,}6$
e. $0{,}8$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 15

Sebuah perusahaan menetapkan dana sebesar $120$ yang akan digunakan untuk membayar uang sebesar $C$ , kepada $20$ karyawannya yang dapat mencapai tingkat kinerja tinggi pada tahun mendatang. Setiap karyawan memiliki peluang $2{,}5\%$ untuk mencapai tingkat kinerja tinggi di tahun mendatang. Peristiwa di mana karyawan yang berbeda mencapai tingkat kinerja tinggi pada tahun mendatang bersifat independen satu sama lain. Tentukanlah nilai maksimum $C$ , sehingga probabilitas bahwa dana tersebut tidak akan cukup untuk menutupi seluruh pembayaran untuk seluruh karyawan berkinerja tinggi, kurang dari $1\%$ .

a. $24$
b. $30$
c. $40$
d. $60$
e. $120$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 16

Diketahui variabel acak $X$ dan $Y$ memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \frac{2x + y}{12} \quad \text{untuk } 0 \leq x \leq 2 \text{ dan } 0 \leq y \leq 2$

Tentukanlah nilai dari $P(X + Y \geq 1{,}5 \mid X \leq 1)$ .

a. Kurang dari $0{,}2$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}8$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}8$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 17

Diketahui kerugian akibat banjir di rumah sakit dimodelkan oleh variabel acak $X$ dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{42 - x}{882}, & x < 42 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

Diketahui kerugian akibat banjir lebih besar dari $11$ , tentukanlah probabilitas kerugian akibat banjir tersebut lebih besar dari $26$ .

a. $0{,}52$
b. $0{,}2$
c. $0{,}27$
d. $0{,}24$
e. $0{,}34$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 18

Sebuah tim bisbol telah menjadwalkan pertandingan pembukaannya pada tanggal 1 April. Jika hujan turun pada tanggal 1 April, pertandingan ditunda dan akan dimainkan pada hari berikutnya saat tidak hujan. Tim tersebut membeli asuransi terhadap hujan. Polis tersebut akan membayar $3{.}000$ untuk setiap hari, hingga $3$ hari, saat pertandingan pembukaan ditunda. Perusahaan asuransi menentukan bahwa jumlah hari hujan berturut-turut yang dimulai pada tanggal 1 April adalah variabel acak Poisson dengan rata-rata sebesar $0{,}5$ . Tentukanlah standar deviasi dari jumlah yang harus dibayarkan oleh perusahaan asuransi.

a. $2{.}096$
b. $3{.}144$
c. $1{.}048$
d. $2{.}795$
e. $1{.}397$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 19

Diketahui $X$ dan $Y$ adalah variabel acak kontinu dengan fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \frac{2x + y}{12} \quad \text{untuk } 0 \leq x \leq 2 \text{ dan } 0 \leq y \leq 2$

Tentukan probabilitas bersyarat dari $P(X + Y \geq 2 \mid X \leq 1)$ .

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{3}{8}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{5}{8}$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 20

Misalkan $S$ dan $T$ mewakili masa pakai (dalam jam) dari dua komponen yang terhubung dalam perangkat elektronik. Fungsi densitas bersama untuk $S$ dan $T$ seragam di wilayah yang ditentukan oleh $0 \leq s \leq t \leq L$ , dimana $L$ adalah konstanta positif. Tentukan ekspektasi dari $7S^2 + 8T^2$ .

a. $\dfrac{5L^2}{1}$
b. $\dfrac{31L^2}{7}$
c. $\dfrac{31L^2}{6}$
d. $\dfrac{31L}{7}$
e. $\dfrac{11L^2}{2}$

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 21

Jumlah mobil yang melintasi persimpangan selama periode satu menit memiliki distribusi Poisson dengan rata-rata sebesar $4$ . Setiap mobil yang melintasi persimpangan adalah mobil buatan dalam negeri atau mobil buatan luar negeri. Jenis mobil-mobil yang berurutan bersifat independen satu sama lain, dengan probabilitas $0{,}75$ bahwa setiap mobil yang melintasi persimpangan adalah buatan dalam negeri. Tentukanlah probabilitas bahwa selama periode satu menit tertentu, empat mobil melintasi persimpangan dan tepat tiga di antaranya adalah buatan dalam negeri.

a. Kurang dari $0{,}075$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}075$ tapi kurang dari $0{,}1$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}1$ tapi kurang dari $0{,}125$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}125$ tapi kurang dari $0{,}15$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}15$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 22

Berdasarkan polis tertentu, jumlah klaim yang diajukan memiliki distribusi Poisson. Diketahui bahwa pemegang polis yang mengajukan $5$ klaim memiliki kemungkinan $6$ kali lebih besar untuk mengajukan klaim dibandingkan mereka yang mengajukan $7$ klaim. Tentukanlah variansi dari jumlah klaim yang diajukan.

a. $5$
b. $7$
c. $\sqrt{5}$
d. $\sqrt{6}$
e. $\sqrt{7}$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 23

Suatu perusahaan memiliki lima karyawan dalam program asuransi kesehatannya. Setiap tahun, setiap karyawan secara independen memiliki peluang $80\%$ untuk tidak dirawat di rumah sakit. Jika seorang karyawan memerlukan satu atau lebih perawatan di rumah sakit, jumlah perawatan dimodelkan oleh distribusi geometrik dengan rata-rata sebesar $1{,}50$ . Jumlah perawatan di rumah sakit dari berbagai karyawan saling independen. Setiap perawatan di rumah sakit menghabiskan biaya $20{.}000$ . Tentukanlah probabilitas bahwa total biaya rumah sakit perusahaan dalam setahun kurang dari $50{.}000$ .

a. $0{,}41$
b. $0{,}46$
c. $0{,}58$
d. $0{,}69$
e. $0{,}78$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 24

Dua polis asuransi jiwa, masing-masing dengan manfaat kematian sebesar $10{.}000$ dan premi sekali bayar sebesar $500$ , dijual kepada pasangan suami istri, satu untuk setiap orang. Polis tersebut akan berakhir pada akhir tahun kesepuluh. Peluang hanya istri yang dapat bertahan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah $0{,}025$ , peluang hanya suami yang dapat bertahan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah $0{,}02$ , dan peluang keduanya akan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah $0{,}95$ . Tentukanlah perkiraan kelebihan premi dibandingkan klaim, diketahui suami masih hidup setidaknya sepuluh tahun.

a. $897$
b. $794$
c. $397$
d. $385$
e. $294$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 25

Jumlah klaim atas kerusakan akibat angin pada rumah yang diasuransikan adalah variabel acak independen dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{5}{x^6}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$

dimana $x$ adalah jumlah klaim dalam ribuan. Misalkan tiga klaim tersebut akan dibuat, tentukanlah ekspektasi klaim terbesar dari tiga klaim tersebut.

a. $1{.}488$
b. $1{.}984$
c. $992$
d. $744$
e. $2{.}232$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 26

Diketahui variabel acak $X_1, X_2, X_3, \ldots, X_{14}$ berdistribusi identik dan saling independen. Diketahui variabel acak lain $Y$ dimana

$Y = \sum_{i=1}^{14} X_i$

yang memiliki fungsi pembangkit momen

$M(t) = e^{252e^t - 252}$

Tentukanlah nilai dari $\text{Var}(X_1)$ .

a. $\sqrt{18}$
b. $18$
c. $252$
d. $\sqrt{14}$
e. $14$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 27

Sebuah perusahaan asuransi menjual $30\%$ polis penyewanya kepada penyewa rumah dan $70\%$ sisanya kepada penyewa apartemen. Di kalangan penyewa rumah, waktu mulai pembelian polis hingga pembatalan polis berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar $4$ tahun, dan di kalangan penyewa apartemen berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar $3$ tahun. Tentukanlah probabilitas pemegang polis adalah penyewa rumah, mengingat penyewa masih mempunyai polis satu tahun setelah pembelian.

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 28

Suatu perusahaan menentukan harga asuransi badai dengan menggunakan asumsi berikut:

(i) Dalam satu tahun kalender, paling banyak ada satu badai.
(ii) Dalam satu tahun kalender, probabilitas terjadinya badai adalah $0{,}08$ .
(iii) Jumlah badai dalam satu tahun kalender tidak bergantung pada jumlah badai dalam tahun kalender lainnya.

Dengan menggunakan asumsi perusahaan, tentukanlah probabilitas terjadinya sedikitnya $5$ badai dalam jangka waktu $27$ tahun.

a. $0{,}06$
b. $0{,}08$
c. $0{,}11$
d. $0{,}21$
e. $0{,}46$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 29

Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua lini bisnis yang independen satu sama lain. Banyaknya klaim yang masuk per bulan dari Lini bisnis 1, misalkan $N_1$ mempunyai distribusi Poisson dengan mean sebesar $40$ dan banyaknya klaim yang masuk per bulan dari Lini bisnis 2, misalkan $N_2$ mempunyai distribusi binomial dengan $n = 100$ dan $p = 0{,}4$ . Dengan menggunakan distribusi normal dengan koreksi bilangan bulat, tentukanlah probabilitas $P[|N_1 - N_2| > 3]$ .

a. Kurang dari $0{,}5$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}5$ tapi kurang dari $0{,}55$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}55$ tapi kurang dari $0{,}6$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}65$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}65$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

No. 30

Diketahui variabel acak kerugian $X$ berdistribusi seragam secara kontinu pada interval $[0, 3b]$ . Ketika kerugian terjadi, polis asuransi membayar:

(i) $0$ jika kerugian kurang dari $b$ ,
(ii) $50\%$ dari kerugian jika kerugian lebih besar dari $b$ tetapi kurang dari $2b$ , dan
(iii) $100\%$ dari kerugian jika kerugian lebih besar dari $2b$ .

$Y$ menyatakan jumlah yang dibayarkan oleh polis asuransi jika terjadi kerugian. Tentukanlah persentil ke-80 dari $Y$ .

a. $1{,}2b$
b. $1{,}6b$
c. $2b$
d. $2{,}4b$
e. $2{,}8b$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›