2025 05 Cf2

No. 1

Kerugian yang disebabkan oleh kebakaran pada gedung komersial dimodelkan dengan menggunakan variabel acak $X$ dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} 0{,}005(20 - x), & \text{untuk } 0 < x < 20 \text{ miliar} \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Jika diketahui kerugian akibat kebakaran melebihi 8 miliar, berapakah peluang kerugian tersebut melebihi 16 miliar?

a. $\dfrac{1}{25}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{8}$
d. $\dfrac{1}{3}$
e. $\dfrac{3}{7}$

≡Jawaban No. 1 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 2

Portofolio kerugian asuransi kebakaran, dinyatakan dengan variabel acak $X$, memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{(2{,}5)(200)^{2{,}5}}{x^{3{,}5}}, & \text{untuk } x > 200 \text{ juta} \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Hitunglah perbedaan persentil ke-30 dan persentil ke-70 dari $X$! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. 35 juta
b. 93 juta
c. 124 juta
d. 231 juta
e. 298 juta

≡Jawaban No. 2 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 3

Anda diberikan informasi sebagai berikut:

(i) $P(A \cup B) = 0{,}7$
(ii) $P(A \cup B^C) = 0{,}9$

Tentukan $P(A)$!

a. $0{,}2$
b. $0{,}3$
c. $0{,}4$
d. $0{,}6$
e. $0{,}8$

≡Jawaban No. 3 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 4

Suatu perusahaan manufaktur yang memproduksi bohlam lampu dengan umur hidup yang diukur dalam bulan, diketahui mengikuti distribusi normal dengan mean sebesar 3 dan varians sebesar 1. Krisna membeli beberapa bohlam lampu untuk menggantikan bohlam-bohlam yang rusak. Bohlam lampu memiliki umur hidup yang saling bebas.

Berapakah minimum banyaknya bohlam yang harus dibeli oleh Krisna agar dapat digunakan setidaknya 40 bulan dengan peluang setidaknya $0{,}9772$?

a. 14
b. 16
c. 20
d. 40
e. 55

≡Jawaban No. 4 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 5

Rumah Sakit Sumber Sehat menerima $\frac{1}{5}$ dari keseluruhan pengiriman vaksin flu dari perusahaan farmasi X dan sisanya dari perusahaan farmasi selainnya. Setiap pengiriman memuat vial vaksin dengan jumlah yang sangat banyak. Untuk pengiriman yang dilakukan oleh farmasi X, 10% vial dinyatakan tidak efektif. Untuk setiap perusahaan farmasi yang lainnya, 2% vial dinyatakan tidak efektif. Pihak rumah sakit melakukan pengujian terhadap 30 vial yang diambil secara acak dari vial-vial yang dikirimkan oleh seluruh perusahaan farmasi dan menemukan bahwa 1 vial tidak efektif.

Tentukan peluang bahwa 1 vial yang tidak efektif tersebut berasal dari Perusahaan farmasi X! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}10$
b. $0{,}14$
c. $0{,}37$
d. $0{,}63$
e. $0{,}86$

≡Jawaban No. 5 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 6

Suatu perusahaan elektronik memberikan garansi mesin yang menyatakan bahwa mesin akan digantikan jika terjadi kerusakan atau jika mesin sudah berusia 4 tahun, yang mana yang terlebih dahulu terjadi. Usia mesin pada saat terjadi kegagalan, $X$, memiliki fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{5}, & \text{untuk } 0 < x < 5 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

$Y$ merupakan usia dari mesin pada saat penggantian. Tentukan varians dari $Y$! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $1{,}3$
b. $1{,}4$
c. $1{,}7$
d. $2{,}1$
e. $7{,}5$

≡Jawaban No. 6 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 7

Suatu pengujian diagnostik mengenai pendeteksian suatu penyakit memiliki 2 kemungkinan: 1 jika terdapat penyakit dan 0 jika tidak terdapat penyakit.

Misal $X$ merupakan kondisi keberadaan penyakit pasien saat ini dan $Y$ merupakan hasil pengecekan diagnostik. Fungsi kepadatan peluang bersama dari $X$ dan $Y$ diberikan sebagai berikut:

$P(X = 0, Y = 0) = 0{,}800$ $P(X = 0, Y = 1) = 0{,}025$ $P(X = 1, Y = 0) = 0{,}050$ $P(X = 1, Y = 1) = 0{,}125$

Hitunglah $Var(Y | X = 1)$! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}13$
b. $0{,}15$
c. $0{,}20$
d. $0{,}51$
e. $0{,}71$

≡Jawaban No. 7 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 8

Misal $X_1, X_2, X_3$ merupakan variabel acak dari sebaran diskret dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

$p(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{3}, & x = 0 \\ \dfrac{2}{3}, & x = 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Tentukanlah fungsi pembangkit momen $M(t)$ dari $Y = X_1 X_2 X_3$!

a. $\dfrac{19}{27} + \dfrac{8}{27}e^{t}$
b. $1 + 2e^{t}$
c. $\left(\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}e^{t}\right)^3$
d. $\dfrac{1}{27} + \dfrac{8}{27}e^{t}$
e. $\dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}e^{3t}$

≡Jawaban No. 8 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 9

Banyaknya hari yang dilalui di antara awal tahun kalender dan kejadian di mana pengendara berisiko tinggi terlibat dalam suatu kecelakaan diketahui mengikuti distribusi eksponensial. Perusahaan asuransi menduga 30% pengendara berisiko tinggi akan terlibat dalam suatu kecelakaan dalam 50 hari pertama pada suatu tahun kalender.

Berapa porsi pengendara berisiko tinggi yang diekspektasikan akan terlibat kecelakaan dalam 80 hari pertama dalam suatu tahun kalender? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}15$
b. $0{,}34$
c. $0{,}43$
d. $0{,}57$
e. $0{,}66$

≡Jawaban No. 9 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 10

Suatu perusahaan asuransi umum menanggung risiko pengendara dalam jumlah yang besar. Misal $X$ merepresentasikan besaran kerugian (dalam juta) yang dialami atas asuransi kecelakaan kendaraan bermotor, dan $Y$ merepresentasikan besaran kerugian (dalam juta) atas asuransi tanggung gugat. $X$ dan $Y$ memiliki fungsi kepadatan peluang bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{2x + 2 - y}{4}, & \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 2 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Berapa peluang total kerugian setidaknya 1 juta? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}33$
b. $0{,}38$
c. $0{,}41$
d. $0{,}71$
e. $0{,}75$

≡Jawaban No. 10 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 11

Suatu produk asuransi memiliki pola profit yang direpresentasikan oleh formula berikut:

$Z = 3X - Y - 5$

$X$ dan $Y$ merupakan variabel acak yang saling bebas dengan $Var(X) = 1$ dan $Var(Y) = 2$.

Berapakah varians dari $Z$?

a. $1$
b. $5$
c. $7$
d. $11$
e. $16$

≡Jawaban No. 11 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 12

Suatu perangkat terdiri dari dua sirkuit. Sirkuit kedua merupakan cadangan dari sirkuit yang pertama, sehingga sirkuit kedua hanya akan digunakan ketika sirkuit pertama mengalami kegagalan. Perangkat dinyatakan gagal jika dan hanya jika sirkuit kedua mengalami kegagalan. Misal $X$ dan $Y$ secara berurutan merupakan waktu dimana sirkuit pertama dan sirkuit kedua mengalami kegagalan.

$X$ dan $Y$ memiliki fungsi kepadatan peluang bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} 6e^{-x}e^{-2y}, & \text{untuk } 0 < x < y < \infty \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Berapakah nilai harapan waktu di mana perangkat dinyatakan gagal? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}33$
b. $0{,}50$
c. $0{,}67$
d. $0{,}83$
e. $1{,}00$

≡Jawaban No. 12 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 13

Sebaran peluang dari besaran klaim (claim severity) untuk suatu polis asuransi kendaraan bermotor diberikan oleh tabel berikut:

Besaran Klaim (dalam juta)	Peluang
$20$	$0{,}15$
$30$	$0{,}10$
$40$	$0{,}05$
$50$	$0{,}20$
$60$	$0{,}10$
$70$	$0{,}10$
$80$	$0{,}30$

Berapa persen klaim berada dalam satu deviasi standar dari rataan besaran klaim?

a. $45\%$
b. $55\%$
c. $65\%$
d. $85\%$
e. $100\%$

≡Jawaban No. 13 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 14

Total besaran klaim dari produk asuransi kesehatan mengikuti sebaran dengan fungsi kepadatan peluang (dalam ribu rupiah): $f(x) = \dfrac{1}{1{.}000}e^{-\frac{x}{1{.}000}}$ untuk $x > 0$. Premi untuk produk ini ditentukan sebesar nilai ekspektasi total besaran klaim ditambah 100 ribu rupiah.

Jika 100 polis saling bebas terjual, berapakah peluang aproksimasi normal dari perusahaan asuransi akan membayarkan klaim melebihi premi yang diterima?

a. $0{,}001$
b. $0{,}159$
c. $0{,}333$
d. $0{,}407$
e. $0{,}460$

≡Jawaban No. 14 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 15

Suatu Perusahaan menawarkan produk polis asuransi jiwa dasar kepada karyawannya. Selain itu, Perusahaan juga menawarkan asuransi jiwa tambahan kepada karyawannya. Untuk membeli produk asuransi jiwa tambahan, karyawan diwajibkan membeli asuransi jiwa dasar. Misal $X$ merupakan proporsi dari total karyawan yang membeli polis asuransi jiwa dasar, dan $Y$ merupakan proporsi dari total karyawan membeli polis asuransi jiwa tambahan. Misal $X$ dan $Y$ memiliki fungsi kepadatan peluang bersama $f(x, y) = 2(x + y)$ dengan daerah di mana kepadatan (density) nya bernilai positif.

Jika diketahui 10% dari total karyawan membeli polis asuransi jiwa dasar, berapa peluang kurang dari 5% karyawan membeli polis asuransi tambahan? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}010$
b. $0{,}013$
c. $0{,}108$
d. $0{,}417$
e. $0{,}500$

≡Jawaban No. 15 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 16

Suatu polis asuransi mengganti biaya manfaat perawatan gigi, $X$, hingga maksimum benefit sebesar 250. Fungsi kepadatan peluang untuk $X$ yaitu:

$f(x) = \begin{cases} ce^{-0{,}004x}, & \text{untuk } x \geq 0 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Dengan $c$ merupakan suatu konstanta.

Hitunglah median manfaat dari produk ini! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $161$
b. $165$
c. $173$
d. $182$
e. $250$

≡Jawaban No. 16 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 17

Seorang aktuaris menentukan banyaknya tornado yang terjadi di negara P dan Q dalam satu tahun memiliki distribusi bersama sebagai berikut:

	Banyaknya tornado di negara Q dalam satu tahun
Banyaknya tornado di negara P dalam satu tahun	0	1	2	3
0	$0{,}12$	$0{,}06$	$0{,}05$	$0{,}02$
1	$0{,}13$	$0{,}15$	$0{,}12$	$0{,}03$
2	$0{,}05$	$0{,}15$	$0{,}10$	$0{,}02$

Hitunglah varians bersyarat dari banyaknya tornado yang terjadi dalam satu tahun di negara Q, jika diketahui tidak ada tornado yang terjadi di negara P! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}51$
b. $0{,}84$
c. $0{,}88$
d. $0{,}99$
e. $1{,}76$

≡Jawaban No. 17 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 18

Seorang aktuaris menemukan bahwa pemegang polis memiliki tendensi untuk klaim sebanyak 2 kali dalam suatu periode polis sebesar tiga kali lipat dibandingkan klaim sebanyak 4 kali dalam suatu periode polis.

Jika banyaknya klaim yang diajukan mengikuti sebaran Poisson, berapakah varians dari banyaknya klaim yang diajukan?

a. $\dfrac{1}{\sqrt{3}}$
b. $1$
c. $\sqrt{2}$
d. $2$
e. $4$

≡Jawaban No. 18 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 19

Suatu dealer mobil mampu menjual 0, 1 atau 2 mobil mewah setiap harinya. Saat menjual mobil, dealer juga menawarkan pelanggan untuk membeli perpanjangan garansi mobil. Misal $X$ merupakan banyaknya mobil mewah yang dijual dalam sehari, dan $Y$ merupakan banyaknya perpanjangan garansi mobil yang terjual.

$P(X = 0, Y = 0) = \frac{1}{6}; \quad P(X = 1, Y = 0) = \frac{1}{12}; \quad P(X = 2, Y = 0) = \frac{1}{12}$ $P(X = 1, Y = 1) = \frac{1}{6}; \quad P(X = 2, Y = 1) = \frac{1}{3}; \quad P(X = 2, Y = 2) = \frac{1}{6}$

Berapakah varians dari $X$? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}47$
b. $0{,}58$
c. $0{,}83$
d. $1{,}42$
e. $2{,}58$

≡Jawaban No. 19 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 20

Suatu polis asuransi memberikan manfaat penggantian biaya kerugian hingga limit benefit 10 juta. Kerugian pemegang polis $Y$, mengikuti distribusi dengan fungsi kepadatan peluang sebagai berikut:

$f(y) = \begin{cases} \dfrac{2}{y^3}, & \text{untuk } y > 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Berapakah nilai harapan dari manfaat yang dibayarkan oleh polis asuransi tersebut?

a. $1{,}0$ juta
b. $1{,}3$ juta
c. $1{,}8$ juta
d. $1{,}9$ juta
e. $2{,}0$ juta

≡Jawaban No. 20 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 21

Suatu Perusahaan asuransi memiliki cabang di 3 kota: J, K, dan L. Karena lokasi dari ketiga cabang berada di pulau yang berbeda, maka dapat diasumsikan bahwa kerugian yang terjadi di ketiga kota tersebut saling bebas. Fungsi pembangkit momen dari sebaran kerugian di 3 kota tersebut diberikan sebagai berikut:

$M_J(t) = (1 - 2t)^{-3} \qquad M_K(t) = (1 - 2t)^{-2{,}5} \qquad M_L(t) = (1 - 2t)^{-4{,}5}$

$X$ merepresentasikan kerugian total dari 3 kota tersebut.

Tentukan nilai dari $E(X^3)$!

a. $1{.}320$
b. $2{.}082$
c. $5{.}760$
d. $8{.}000$
e. $10{.}560$

≡Jawaban No. 21 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 22

Berapakah peluang dari 5 kartu yang diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari setumpuk kartu standar yang berjumlah 52 kartu, terdiri dari 1 Raja Sekop, 1 Raja lainnya, 2 Ratu, serta 1 kartu lainnya yang bukan Raja atau Ratu?

a. $\dfrac{\dbinom{4}{2}\dbinom{4}{2}\dbinom{44}{1}}{\dbinom{52}{5}}$
b. $\dfrac{\dbinom{3}{1}\dbinom{4}{2}\dbinom{44}{1}}{\dbinom{52}{5}}$
c. $\dfrac{\dbinom{7}{3}\dbinom{44}{1}}{\dbinom{52}{5}}$
d. $\dfrac{\dbinom{3}{1}\dbinom{4}{2}\dbinom{11}{1}}{\dbinom{52}{5}}$
e. $\dfrac{\dbinom{3}{1}\dbinom{4}{2}}{\dbinom{52}{5}}$

≡Jawaban No. 22 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 23

Misal $X$ merupakan variabel acak diskret dengan fungsi peluang $P(X = x) = \dfrac{2}{3^x}$ untuk $x = 1, 2, 3, \ldots$

Berapakah peluang $X$ merupakan angka genap?

a. $\dfrac{1}{4}$
b. $\dfrac{2}{7}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{3}{4}$

≡Jawaban No. 23 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 24

Misal $X$ memiliki sebaran binomial dengan parameter $n$ dan $p$, dan distribusi bersyarat dari $Y$ jika diketahui $X = x$ mengikuti sebaran Poisson dengan rataan $x$.

Tentukan varians dari $Y$!

a. $x$
b. $np$
c. $np(1 - p)$
d. $np^2$
e. $np(2 - p)$

≡Jawaban No. 24 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 25

Seorang aktuaris melakukan studi pengalaman mengenai kemungkinan berbagai kategori usia pengendara yang terlibat dalam setidaknya satu kecelakaan dalam periode satu tahun. Hasil studi diberikan sebagai berikut:

Kategori Usia Pengendara	% Banyaknya Pengendara	Peluang Setidaknya Satu Kecelakaan Terjadi
Remaja	$8\%$	$0{,}15$
Dewasa Muda	$16\%$	$0{,}08$
Paruh Baya	$45\%$	$0{,}04$
Usia Tua	$31\%$	$0{,}05$
Total	$100\%$

Jika seorang pengendara diketahui terlibat dalam setidaknya satu kecelakaan di tahun lalu, berapakah peluang pengendara tersebut dari kategori Dewasa Muda? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}06$
b. $0{,}16$
c. $0{,}19$
d. $0{,}22$
e. $0{,}25$

≡Jawaban No. 25 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 26

Future lifetime (dalam bulan) dari dua komponen sebuah mesin memiliki fungsi kepadatan peluang bersama:

$f_{x,y}(x, y) = \begin{cases} \dfrac{6}{125{.}000}(50 - x - y), & \text{untuk } 0 < x < 50 - y < 50 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Tentukan peluang kedua komponen masih dapat digunakan 20 bulan dari sekarang!

a. $\dfrac{6}{125{.}000} \int_{0}^{20} \int_{0}^{20} (50 - x - y) \, dy \, dx$
b. $\dfrac{6}{125{.}000} \int_{20}^{30} \int_{20}^{50-x} (50 - x - y) \, dy \, dx$
c. $\dfrac{6}{125{.}000} \int_{20}^{30} \int_{20}^{50-x-y} (50 - x - y) \, dy \, dx$
d. $\dfrac{6}{125{.}000} \int_{20}^{50} \int_{20}^{50-x} (50 - x - y) \, dy \, dx$
e. $\dfrac{6}{125{.}000} \int_{20}^{50} \int_{20}^{50-x-y} (50 - x - y) \, dy \, dx$

≡Jawaban No. 26 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 27

Besaran klaim-klaim yang diajukan atas polis asuransi kendaraan bermotor mengikuti distribusi normal dengan mean $19{.}400$ dan deviasi standar $5{.}000$.

Berapakah peluang rata-rata dari 25 sampel yang diambil secara acak melebihi $20{.}000$? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}01$
b. $0{,}15$
c. $0{,}27$
d. $0{,}33$
e. $0{,}45$

≡Jawaban No. 27 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 28

Suatu perusahaan menentukan harga dari asuransi gempa bumi dengan menggunakan asumsi-asumsi sebagai berikut:

(i) Di setiap tahun kalender, terdapat hanya satu kali gempa bumi
(ii) Di setiap tahun kalender, peluang terjadinya gempa bumi sebesar $0{,}05$
(iii) Banyaknya gempa bumi yang terjadi di setiap tahun kalender saling bebas

Dengan menggunakan asumsi di atas, tentukan peluang terjadi kurang dari 3 gempa bumi dalam 20 tahun. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}06$
b. $0{,}19$
c. $0{,}38$
d. $0{,}62$
e. $0{,}92$

≡Jawaban No. 28 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 29

Distribusi kerugian yang disebabkan oleh kerusakan akibat kebakaran gudang diberikan sebagai berikut:

Besar Kerugian	Peluang
$0$	$0{,}900$
$500$	$0{,}060$
$1{.}000$	$0{,}030$
$10{.}000$	$0{,}008$
$50{.}000$	$0{,}001$
$100{.}000$	$0{,}001$

Jika kerugian lebih besar dari nol, tentukan nilai ekspektasi dari kerugian tersebut! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $290$
b. $322$
c. $1{.}704$
d. $2{.}900$
e. $32{.}222$

≡Jawaban No. 29 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---

No. 30

Misal $X$, $Y$, dan $Z$ memiliki nilai rataan sebesar 1, 2 dan 3 secara berturut-turut serta varians sebesar 4, 5 dan 9. Kovarians dari $X$ dan $Y$ sebesar 2, kovarians dari $X$ dan $Z$ sebesar 3, serta kovarians dari $Y$ dan $Z$ sebesar 1.

Berapakah nilai rataan dan varians, secara berurut-turut, dari variabel acak $3X + 2Y - Z$?

a. $4$ dan $31$
b. $4$ dan $65$
c. $4$ dan $67$
d. $14$ dan $13$
e. $14$ dan $65$

≡Jawaban No. 30 [Jawaban Belum Tersedia]›

ℹRumus›

---