2025 08 Cf2

No. 1

PT Asuransi Gemilang Sejahtera memiliki suatu produk asuransi kendaraan bermotor yang memberikan perlindungan kepada pengendara hingga usia 65 tahun. Seorang analis aktuaria melakukan studi pengalaman mengenai peluang kecelakaan dalam suatu tahun kalender dan diperoleh statistik sebagai berikut:

Rentang Usia Pengendara	Peluang Kecelakaan	Porsi Pengendara
$18$-$20$	$0{,}06$	$0{,}08$
$21$-$30$	$0{,}03$	$0{,}15$
$31$-$50$	$0{,}02$	$0{,}49$
$51$-$65$	$0{,}04$	$0{,}28$

Seorang pengendara yang mengalami suatu kecelakaan diambil secara acak dari perusahaan tersebut. Tentukan peluang bahwa pengendara tersebut berada pada rentang usia 18-20! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}13$
b. $0{,}16$
c. $0{,}19$
d. $0{,}23$
e. $0{,}40$

≡Jawaban No. 1 b. $0{,}16$›

ℹRumus›

---

No. 2

Wadah A memuat 10 bola yang terdiri dari 4 bola berwarna merah dan 6 bola berwarna biru. Wadah B memuat 16 bola berwarna merah dan $x$ bola berwarna biru. Satu bola diambil dari masing-masing wadah. Peluang kedua bola tersebut berwarna sama sebesar $0{,}44$. Tentukan banyaknya bola yang terdapat pada Wadah B!

a. $4$
b. $20$
c. $24$
d. $44$
e. $64$

≡Jawaban No. 2 b. 20›

ℹRumus›

---

No. 3

Suatu kelas terdiri dari 8 laki-laki dan 7 perempuan. Seorang guru mengambil 3 siswa secara acak tanpa pemulihan. Hitunglah peluang banyaknya laki-laki yang terpilih melebihi banyaknya perempuan yang terpilih!

a. $\dfrac{512}{3375}$
b. $\dfrac{28}{65}$
c. $\dfrac{8}{15}$
d. $\dfrac{1856}{3375}$
e. $\dfrac{36}{65}$

≡Jawaban No. 3 e. $\dfrac{36}{65}$›

ℹRumus›

---

No. 4

Misal $X$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepadatan peluang:

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{|x|}{10}, & \text{untuk } -2 \leq x \leq 4 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Hitunglah nilai harapan dari $X$!

a. $\dfrac{1}{5}$
b. $\dfrac{3}{5}$
c. $1$
d. $\dfrac{28}{15}$
e. $\dfrac{12}{5}$

≡Jawaban No. 4 **d. $\dfrac{28}{15}$ **›

ℹRumus›

---

No. 5

Suatu tim bisbol telah menjadwalkan pembukaan gim pada 1 April. Jika hari hujan pada 1 April, permainan akan ditunda dan akan dijadwalkan pada keesokan harinya jika hari tidak hujan. Tim tersebut membeli asuransi yang memberikan penggantian kerugian ketika terjadi hujan. Polis tersebut akan memberikan manfaat sebesar 1 juta untuk setiap harinya, hingga dua hari, ketika pembukaan gim ditunda. Perusahaan asuransi menentukan bahwa banyaknya jumlah hari hujan yang dimulai 1 April berdistribusi Poisson dengan rataan $0{,}6$. Berapa deviasi standar dari besarnya manfaat asuransi yang Perusahaan asuransi harus bayarkan? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $668$ ribu
b. $699$ ribu
c. $775$ ribu
d. $817$ ribu
e. $904$ ribu

≡Jawaban No. 5 b. $699$ ribu›

ℹRumus›

---

No. 6

Misal $X$ dan $Y$ merupakan dua variabel acak kontinu dengan fungsi peluang bersama:

$f(x, y) = \begin{cases} 15y, & \text{untuk } x^2 \leq y \leq x \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Misal $g$ merupakan fungsi kepadatan dari $Y$. Manakah dari pilihan jawaban berikut yang merepresentasikan $g$?

a. $g(y) = \begin{cases} 15y, & \text{untuk } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$
b. $g(y) = \begin{cases} \dfrac{15y^2}{2}, & \text{untuk } x^2 \leq y \leq x \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$
c. $g(y) = \begin{cases} \dfrac{15y^2}{2}, & \text{untuk } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$
d. $g(y) = \begin{cases} 15y^{3/2}\left(1 - y^{1/2}\right), & \text{untuk } x^2 \leq y \leq x \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$
e. $g(y) = \begin{cases} 15y^{3/2}\left(1 - y^{1/2}\right), & \text{untuk } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

≡Jawaban No. 6 e. $g(y) = \begin{cases} 15y^{3/2}\left(1 - y^{1/2}\right), & \text{untuk } 0 \leq y \leq 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$›

ℹRumus›

---

No. 7

Suatu perangkat berfungsi hingga salah satu dari dua komponen berhenti bekerja. Fungsi peluang bersama dari masa hidup kedua komponen yang diukur dalam jam diberikan sebagai berikut:

$f(x, y) = \frac{x + y}{27}, \quad \text{untuk } 0 < x < 3 \text{ dan } 0 < y < 3$

Hitunglah peluang perangkat mengalami kegagalan dalam satu jam pertama pengoperasian! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}04$
b. $0{,}41$
c. $0{,}44$
d. $0{,}59$
e. $0{,}96$

≡Jawaban No. 7 b. $0{,}41$›

ℹRumus›

---

No. 8

Misal $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi peluang bersama sebagai berikut:

$f(x, y) = \begin{cases} 24xy, & \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 1 - x \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

Hitunglah peluang $P\!\left(Y < X \mid X = \dfrac{1}{3}\right)$!

a. $\dfrac{1}{27}$
b. $\dfrac{2}{27}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{4}{9}$
e. $\dfrac{1}{4}$

≡Jawaban No. 8 e. $\dfrac{1}{4}$›

ℹRumus›

---

No. 9

$X$ dan $Y$ merupakan variabel acak yang saling bebas dengan fungsi pembangkit momen $M(t) = e^{\frac{t^2}{2}}$. Misal $W = X + Y$ dan $Z = Y - X$. Tentukan fungsi pembangkit momen bersama $M(t_1, t_2)$ dari $W$ dan $Z$!

a. $e^{2t_1^2 + 2t_2^2}$
b. $e^{(t_1 - t_2)^2}$
c. $e^{(t_1 + t_2)^2}$
d. $e^{2t_1 t_2}$
e. $e^{t_1^2 + t_2^2}$

≡Jawaban No. 9 e. $e^{t_1^2 + t_2^2}$›

ℹRumus›

---

No. 10

Ketika pemegang polis melakukan klaim akibat suatu kebakaran yang terjadi kepada suatu perusahaan asuransi kebakaran, maka perusahaan tersebut akan menentukan estimasi awal besaran klaim yang akan dibayarkan kepada penerima manfaat sebesar $X$. Ketika klaim tersebut disetujui, Perusahaan membayarkan manfaat sebesar $Y$.

Perusahaan asuransi menentukan $X$ dan $Y$ memiliki fungsi peluang bersama:

$f(x, y) = \frac{2}{x^2(x-1)} \cdot y^{-\frac{2x-1}{x-1}}, \quad \text{untuk } x > 1,\ y > 1$

Jika diketahui estimasi klaim awal sebesar 2, tentukan peluang bahwa besaran klaim yang disetujui oleh perusahaan asuransi di antara 1 dan 3!

a. $\dfrac{1}{9}$
b. $\dfrac{2}{9}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{8}{9}$

≡Jawaban No. 10 e. $\dfrac{8}{9}$›

ℹRumus›

---

No. 11

Suatu Perusahaan asuransi menawarkan produk asuransi kesehatan kepada para karyawan di suatu Perusahaan besar. Sebagai bagian dari rencana ini, setiap karyawan dapat menambahkan tepat dua dari asuransi tambahan A, B, dan C, atau mereka dapat memilih untuk tidak menambahkan asuransi tambahan apapun dari ketiganya. Proporsi dari karyawan Perusahaan yang memilih asuransi tambahan A, B, dan C yaitu $\dfrac{1}{4}$, $\dfrac{1}{3}$, dan $\dfrac{5}{12}$, secara berurutan. Tentukan peluang seorang karyawan yang diambil secara acak akan memilih tidak dengan asuransi tambahan!

a. $0$
b. $\dfrac{47}{144}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{97}{144}$
e. $\dfrac{7}{9}$

≡Jawaban No. 11 **c. $\dfrac{1}{2}$ **›

ℹRumus›

---

No. 12

Suatu perusahaan transportasi memiliki bus yang dapat mengakomodasi 20 orang turis. Berdasarkan pengalaman, perusahaan menduga beberapa turis akan tidak datang, sehingga perusahaan tersebut menjual 21 tiket. Peluang turis tidak datang sebesar $0{,}02$ dan saling bebas dengan turis-turis lainnya. Setiap tiket dijual seharga 50 ribu dan tidak ada pengembalian uang jika turis tidak datang. Jika turis datang dan kursi tidak tersedia, maka perusahaan harus membayar kerugian sebesar 100 ribu (yaitu sebesar harga tiket dan penalti sebesar 50 ribu). Berapakah ekspektasi pendapatan yang diterima oleh operator? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $935{.}000$
b. $950{.}000$
c. $967{.}000$
d. $976{.}000$
e. $985{.}000$

≡Jawaban No. 12 e. $985{.}000$›

ℹRumus›

---

No. 13

Seorang peneliti kesehatan masyarakat meneliti rekam medis dari suatu grup yang terdiri dari 937 laki-laki yang meninggal di tahun 1997 dan menemukan fakta bahwa 210 diantaranya meninggal akibat penyakit jantung. Selain itu, 312 dari 937 laki-laki memiliki setidaknya satu orang tua (ayah atau ibu) yang juga meninggal karena penyakit jantung. Dari 312 orang ini, sebanyak 102 laki-laki meninggal karena penyakit jantung. Tentukanlah peluang seorang laki-laki yang diambil secara acak dari grup ini meninggal karena penyakit jantung, jika diketahui tidak ada satupun dari orangtuanya yang meninggal karena penyakit jantung! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}115$
b. $0{,}173$
c. $0{,}224$
d. $0{,}327$
e. $0{,}514$

≡Jawaban No. 13 b. $0{,}173$›

ℹRumus›

---

No. 14

Suatu Perusahaan asuransi menerbitkan 1250 polis produk kesehatan mata. Banyaknya klaim yang diajukan oleh pemegang polis dari polis produk ini dalam setahun diketahui mengikuti distribusi Poisson dengan rataan 2. Asumsikan bahwa banyaknya klaim yang diajukan oleh setiap pemegang polis saling bebas antara satu sama lain. Berapakah peluang aproksimasi dari banyaknya klaim yang diajukan dalam satu tahun berada di antara 2450 dan 2600 klaim? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}68$
b. $0{,}82$
c. $0{,}87$
d. $0{,}95$
e. $1{,}00$

≡Jawaban No. 14 b. $0{,}82$›

ℹRumus›

---

No. 15

Suatu polis asuransi kumpulan memberikan proteksi kesehatan kepada para karyawan di suatu perusahaan mikro. Nilai klaim dalam setahun yang dinyatakan oleh $V$ didefinisikan sebagai $V = 100{.}000 \cdot Y$ dengan $Y$ merupakan variabel random dengan fungsi kepadatan peluang:

$f(y) = \begin{cases} k(1 - y)^4, & \text{untuk } 0 < y < 1 \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

dengan $k$ merupakan suatu konstanta. Berapakah peluang bersyarat dari $V$ melebihi 40.000, jika diketahui $V$ melebihi 10.000? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}08$
b. $0{,}13$
c. $0{,}17$
d. $0{,}20$
e. $0{,}51$

≡Jawaban No. 15 b. $0{,}13$›

ℹRumus›

---

No. 16

Seorang dokter melakukan studi mengenai hubungan antara tekanan darah dan ketidaknormalan detak jantung pada para pasiennya. Ia melakukan pengujian secara acak kepada para pasiennya dan mencatat tekanan darah mereka (tinggi, rendah, atau normal) dan detak jantungnya (normal atau tidak normal). Berdasarkan hasil riset yang ia lakukan, didapatkan informasi sebagai berikut:

(i) $14\%$ memiliki tekanan darah tinggi
(ii) $22\%$ memiliki tekanan darah rendah
(iii) $15\%$ memiliki detak jantung tidak normal
(iv) Bagi mereka yang memiliki detak jantung tidak normal, sepertiganya memiliki tekanan darah tinggi
(v) Bagi mereka yang memiliki tekanan darah normal, seperdelapannya memiliki detak jantung tidak normal

Berapakah porsi dari pasien yang terpilih dalam pengujian memiliki detak jantung normal dan tekanan darah rendah?

a. $2\%$
b. $5\%$
c. $8\%$
d. $9\%$
e. $20\%$

≡Jawaban No. 16 e. $20\%$›

ℹRumus›

---

No. 17

Misal $X$ dan $Y$ merupakan profit bulanan Perusahaan I dan II, secara berurutan. Profit bulanan dari Perusahaan I dapat dimodelkan dengan menggunakan variabel acak kontinu dengan fungsi kepekatan $f_X(x)$. Perusahaan II memiliki profit bulanan senilai dua kali Perusahaan I. Tentukan fungsi kepekatan peluang dari profit bulanan Perusahaan II!

a. $\dfrac{1}{2} f_X\!\left(\dfrac{y}{2}\right)$
b. $f_X\!\left(\dfrac{y}{2}\right)$
c. $2 f_X\!\left(\dfrac{y}{2}\right)$
d. $2 f_X(y)$
e. $2 f_X(2y)$

≡Jawaban No. 17 a. $\dfrac{1}{2} f_X\!\left(\dfrac{y}{2}\right)$›

ℹRumus›

---

No. 18

Masa hidup dari suatu mesin pencetak seharga 200 juta diketahui mengikuti distribusi eksponensial dengan rataan 2 tahun. Pabrik dari mesin pencetak setuju untuk memberikan pengembalian dana penuh kepada pembeli jika mesin pencetak mengalami kerusakan dalam kurun waktu satu tahun sejak pembelian dan pengembalian dana sebagian jika kerusakan terjadi di tahun kedua. Jika pabrik mencetak 100 mesin pencetak, berapakah nilai ekspektasi pengembalian dana yang dibayarkan? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $6{.}321$ juta
b. $7{.}358$ juta
c. $7{.}869$ juta
d. $10{.}256$ juta
e. $12{.}642$ juta

≡Jawaban No. 18 d. $10{.}256$ juta›

ℹRumus›

---

No. 19

Nilai klaim dalam satu bulan yang dibayarkan oleh suatu perusahaan asuransi dimodelkan dengan menggunakan variabel acak positif kontinu, $X$, dengan fungsi kepadatan peluang yang proporsional terhadap $(1 + x)^{-4}$ dengan $0 < x < \infty$. Tentukan nilai ekspektasi klaim bulanan dari perusahaan tersebut!

a. $\dfrac{1}{6}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $1$
e. $3$

≡Jawaban No. 19 c. $\dfrac{1}{2}$›

ℹRumus›

---

No. 20

Dalam suatu analisis data mengenai pelayanan kesehatan, usia dibulatkan ke kelipatan 5 tahun terdekat. Perbedaan dari usia sebenarnya dan usia yang dibulatkan diasumsikan mengikuti distribusi seragam pada selang dari $-2{,}5$ tahun hingga $2{,}5$ tahun. Data pelayanan kesehatan diambil berdasarkan pengambilan acak terhadap 48 orang. Berapakah peluang aproksimasi bahwa rataan dari usia yang dibulatkan berada dalam $0{,}25$ tahun dari rataan usia yang sebenarnya? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}14$
b. $0{,}38$
c. $0{,}57$
d. $0{,}77$
e. $0{,}88$

≡Jawaban No. 20 d. $0{,}77$›

ℹRumus›

---

No. 21

Misal $X$ dan $Y$ merupakan nilai dari 2 saham di akhir tahun. $X$ diketahui mengikuti distribusi seragam pada interval $[0, 12]$. Diberikan $X = x$, $Y$ mengikuti distribusi seragam pada interval $[0, x]$. Hitunglah $\mathrm{Cov}(X, Y)$ berdasarkan model tersebut!

a. $0$
b. $4$
c. $6$
d. $12$
e. $24$

≡Jawaban No. 21 c. $6$›

ℹRumus›

---

No. 22

Seorang aktuaris melakukan studi pengalaman mengenai besaran klaim yang dibayarkan 10 tahun kalender yang lalu pada produk asuransi properti. Dalam studinya, didapatkan hasil bahwa besaran klaim mengikuti distribusi eksponensial dan peluang kurang dari 1000 (dalam juta) sebesar $0{,}25$. Aktuaris tersebut merasa bahwa hasil studi tersebut masih valid digunakan sekarang dengan satu kondisi yaitu setiap klaim yang diajukan tahun ini memiliki besaran dua kali lipat dari klaim yang diajukan 10 tahun lalu akibat inflasi ekonomi. Hitunglah peluang suatu klaim yang diajukan tahun ini bernilai kurang dari 1000 (dalam juta)! (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $0{,}063$
b. $0{,}125$
c. $0{,}134$
d. $0{,}163$
e. $0{,}250$

≡Jawaban No. 22 c. $0{,}134$›

ℹRumus›

---

No. 23

Misal $X$ merupakan variabel acak dengan fungsi pembangkit momen $M(t) = \left(\dfrac{2 + e^t}{3}\right)^9$. Hitunglah deviasi standar dari $X$!

a. $\sqrt{2}$
b. $2$
c. $\sqrt{8}$
d. $3$
e. $4$

≡Jawaban No. 23 a. $\sqrt{2}$›

ℹRumus›

---

No. 24

Besarnya klaim untuk produk asuransi kesehatan Kumpulan yang dinotasikan dengan $X$, memiliki fungsi distribusi kumulatif:

$F_X(x) = \begin{cases} 0, & x < 0 \\ \dfrac{1}{9}\!\left(2x^2 - \dfrac{x^3}{3}\right), & 0 \leq x \leq 3 \\ 1, & x > 3 \end{cases}$

Tentukan modus dari distribusi tersebut!

a. $\dfrac{2}{3}$
b. $1$
c. $\dfrac{3}{2}$
d. $2$
e. $3$

≡Jawaban No. 24 d. $2$›

ℹRumus›

---

No. 25

Sampel yang terdiri dari 3 bilangan diambil secara acak dan tanpa pengembalian dari populasi $\{1, 2, 3, 4, 5\}$. Berapakah peluang bahwa jangkauan (range) dari sampel yang terpilih sebesar 3?

a. $\dfrac{1}{15}$
b. $\dfrac{24}{125}$
c. $\dfrac{2}{10}$
d. $\dfrac{3}{10}$
e. $\dfrac{2}{5}$

≡Jawaban No. 25 e. $\dfrac{2}{5}$›

ℹRumus›

---

No. 26

Suatu kotak memuat 35 buah permata yang berisi 10 permata asli dan 25 permata tiruan. Permata diambil secara acak dari kotak, satu permata setiap kali pengambilan, tanpa pengembalian. Berapakah peluang tepat 2 permata tiruan terpilih sebelum permata asli yang kedua terpilih?

a. $\dfrac{225}{5236}$
b. $\dfrac{675}{5236}$
c. $\dfrac{\dbinom{25}{2}\dbinom{10}{2}}{\dbinom{35}{4}}$
d. $\dbinom{3}{2}\!\left(\dfrac{10}{35}\right)^{\!2}\!\left(\dfrac{25}{35}\right)^{\!2}$
e. $\dbinom{4}{2}\!\left(\dfrac{10}{35}\right)^{\!2}\!\left(\dfrac{25}{35}\right)^{\!2}$

≡Jawaban No. 26 b. $\dfrac{675}{5236}$›

ℹRumus›

---

No. 27

Misal $X$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi peluang:

$f_X(x) = \begin{cases} \theta x + \dfrac{3}{2}\,\theta^{3/2}\,x^2, & 0 < x < \dfrac{1}{\sqrt{\theta}} \\ 0, & \text{selainnya} \end{cases}$

dengan $\theta > 0$. Tentukan nilai harapan dari $X$!

a. $\dfrac{\theta^{5/2}}{3} + \dfrac{3\theta^{7/2}}{8}$
b. $1$
c. $\dfrac{5}{2\sqrt{\theta}}$
d. $\dfrac{5}{2}$
e. $\dfrac{17}{24\sqrt{\theta}}$

≡Jawaban No. 27 e. $\dfrac{17}{24\sqrt{\theta}}$›

ℹRumus›

---

No. 28

Banyaknya lonjakan daya yang terjadi pada suatu jaringan listrik diketahui mengikuti distribusi Poisson dengan rataan 1 lonjakan daya setiap 12 jam. Berapakah peluang bahwa tidak akan terjadi lonjakan daya lebih dari satu kali dalam 24 jam?

a. $2e^{-2}$
b. $3e^{-2}$
c. $e^{-1/2}$
d. $\dfrac{3}{2}e^{-1/2}$
e. $e^{-1}$

≡Jawaban No. 28 b. $3e^{-2}$›

ℹRumus›

---

No. 29

Sebuah koin yang setimbang dilempar satu kali. Jika sisi angka muncul, maka 1 dadu setimbang digulirkan. Jika sisi gambar yang muncul, maka 2 dadu setimbang digulirkan. Jika $Y$ merupakan total angka dadu yang muncul, tentukan $P(Y = 6)$!

a. $\dfrac{1}{9}$
b. $\dfrac{5}{36}$
c. $\dfrac{11}{72}$
d. $\dfrac{1}{6}$
e. $\dfrac{11}{36}$

≡Jawaban No. 29 c. $\dfrac{11}{72}$›

ℹRumus›

---

No. 30

Misal $A$, $B$, dan $C$ merupakan kejadian sedemikian sehingga $A$ dan $B$ saling bebas, $B$ dan $C$ saling lepas, $P(A) = \dfrac{1}{4}$, $P(B) = \dfrac{1}{6}$, $P(C) = \dfrac{1}{2}$. Berapakah $P\!\left((A \cap B)^C \cup C\right)$?

a. $\dfrac{11}{24}$
b. $\dfrac{3}{4}$
c. $\dfrac{5}{6}$
d. $\dfrac{23}{24}$
e. $1$

≡Jawaban No. 30 d. $\dfrac{23}{24}$›

ℹRumus›

---