📊 2.2 — MLE for Transition Intensities

≡Ringkasan Cepat›

Topik: MLE untuk Intensitas Transisi | Bobot: ~10–20% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Dickson et al. (2009) Bab 8; London (1997) Bab 10 | Prereq: 2.1 Multiple State and Markov Models

---

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA1	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Multiple State & Markov	2.2	Menurunkan MLE untuk intensitas transisi dengan asumsi piecewise constant; menghitung estimator	10–20%	Calculation-Intensive	2.1 Multiple State and Markov Models	2.3 Age-Dependent Transition Intensities, 1.6 Maximum Likelihood Estimation for Survival	Dickson et al. (2009) Bab 8; London (1997) Bab 10

---

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan asuransi jiwa yang memantau ribuan nasabahnya setiap tahun. Setiap nasabah bisa berada dalam salah satu dari beberapa kondisi (state): aktif membayar premi, mengajukan klaim disabilitas, atau telah meninggal. Dari waktu ke waktu, nasabah berpindah dari satu state ke state lain — misalnya dari aktif menjadi disabilitas, atau dari disabilitas menjadi meninggal. Laju perpindahan ini disebut intensitas transisi.

Masalahnya: intensitas transisi yang sesungguhnya tidak kita ketahui. Yang kita miliki hanyalah data observasi — berapa lama nasabah berada di suatu state, dan kapan mereka berpindah. Dari data inilah kita ingin mengestimasi seberapa cepat rata-rata perpindahan terjadi. Inilah inti dari topik ini: menggunakan Maximum Likelihood Estimation (MLE) untuk mendapatkan taksiran terbaik dari intensitas transisi.

Pendekatan yang digunakan adalah asumsi piecewise constant: kita asumsikan bahwa dalam satu interval waktu tertentu (misalnya satu tahun), intensitas transisi dari state $i$ ke state $j$ adalah konstan. Ini mirip dengan asumsi constant force of mortality dalam analisis survival, tetapi diperluas ke banyak state. Dengan asumsi ini, fungsi likelihood menjadi cukup sederhana sehingga MLE-nya punya bentuk analitik yang elegan: estimator MLE untuk intensitas transisi $\mu_{ij}$ adalah jumlah transisi yang terjadi dari $i$ ke $j$, dibagi dengan total waktu observasi di state $i$.

---

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Diberikan model multiple state dengan himpunan state $\mathcal{S} = \{0, 1, 2, \ldots\}$ dan intensitas transisi piecewise constant $\mu_{ij}$ (untuk $i \neq j$) pada interval $[a, b)$. Log-likelihood total untuk semua individu adalah:

$$\ell(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{i \neq j} \left[ d_{ij} \ln \mu_{ij} - \mu_{ij} \cdot v_i \right]$$

di mana $d_{ij}$ adalah jumlah transisi terobservasi dari $i$ ke $j$, dan $v_i$ adalah total waktu observasi di state $i$.

Simbol	Makna	Catatan
$\mu_{ij}$	Intensitas transisi dari state $i$ ke state $j$	Konstan dalam interval (asumsi piecewise constant)
$d_{ij}$	Jumlah transisi terobservasi dari $i$ ke $j$	Bilangan bulat non-negatif
$v_i$	Total waktu yang dihabiskan di state $i$ (semua individu)	Central exposed to risk dari state $i$
$\mu_{i\cdot}$	Total intensitas keluar dari state $i$ = $\sum_{j \neq i} \mu_{ij}$	Intensitas exit total
$p_{ii}(t)$	Probabilitas tetap di state $i$ selama $t$ waktu	$p_{ii}(t) = e^{-\mu_{i\cdot} t}$ dengan asumsi konstan
$\ell(\boldsymbol{\mu})$	Log-likelihood	Fungsi yang dimaksimalkan
$\hat{\mu}_{ij}$	Estimator MLE untuk $\mu_{ij}$	$\hat{\mu}_{ij} = d_{ij} / v_i$

Rumus Utama

Kontribusi likelihood satu individu yang memulai di state $i$ pada waktu $s$, berpindah ke state $j$ pada waktu $t$, dan tidak berpindah sebelumnya:

$$L_{\text{individu}} = \mu_{ij} \cdot \exp\!\left(-\mu_{i\cdot} \cdot (t - s)\right)$$

Log-likelihood total (setelah mengambil logaritma dan menjumlahkan semua individu):

$$\ell(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{i \neq j} d_{ij} \ln \mu_{ij} - \sum_i \mu_{i\cdot} \cdot v_i$$

Estimator MLE (diperoleh dari syarat $\partial \ell / \partial \mu_{ij} = 0$):

$$\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}$$

Kovarians estimator MLE (berdasarkan informasi Fisher):

$$\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{ij}) = \frac{\hat{\mu}_{ij}}{v_i} = \frac{d_{ij}}{v_i^2}$$

Kovarians silang untuk pasangan transisi berbeda dari state yang sama:

$$\widehat{\text{Cov}}(\hat{\mu}_{ij}, \hat{\mu}_{ik}) = -\frac{\hat{\mu}_{ij} \cdot \hat{\mu}_{ik}}{v_i \cdot \mu_{i\cdot}} \approx 0 \quad \text{(biasanya diabaikan)}$$

Asumsi Eksplisit

1. Proses Markov: probabilitas transisi masa depan hanya bergantung pada state saat ini, bukan riwayat sebelumnya.
2. Intensitas piecewise constant: dalam setiap interval analisis, $\mu_{ij}$ konstan terhadap waktu.
3. Independensi antar individu: setiap individu merupakan observasi independen.
4. Observasi lengkap atau tersensor administratif: sensor hanya terjadi karena akhir periode pengamatan, bukan informative censoring.
5. Distribusi waktu tahan (sojourn time): waktu di state $i$ mengikuti distribusi Eksponensial dengan parameter $\mu_{i\cdot}$.

---

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci memahami MLE di sini adalah menyadari bahwa proses Markov continuous-time dengan intensitas konstan menghasilkan distribusi waktu tahan Eksponensial. Jika seseorang berada di state $i$ dan intensitas total keluarnya adalah $\mu_{i\cdot}$, maka waktu hingga transisi pertama berdistribusi $\text{Exp}(\mu_{i\cdot})$. Ketika akhirnya terjadi transisi, probabilitas tujuannya ke state $j$ adalah $\mu_{ij}/\mu_{i\cdot}$. Dua komponen ini — waktu tahan dan tujuan transisi — bersama-sama membentuk likelihood kontribusi setiap individu.

◈Pemisahan Likelihood Log-likelihood total bisa didekomposisi menjadi penjumlahan per pasangan $(i,j)$:›

$$\ell(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{i \neq j} \left[ d_{ij} \ln \mu_{ij} - \mu_{ij} \cdot v_i \right]$$

Perhatikan bahwa suku untuk $\mu_{ij}$ dan $\mu_{ik}$ (dengan $j \neq k$) terpisah dalam log-likelihood. Ini berarti MLE untuk setiap $\mu_{ij}$ bisa diturunkan secara independen satu sama lain.

Derivasi step-by-step MLE $\hat{\mu}_{ij}$:

Langkah 1 — Tulis kontribusi satu individu.

Seorang individu masuk ke state $i$ pada waktu $s$. Misalkan dia berpindah ke state $j$ pada waktu $t$ (transition observed). Kontribusi likelihood-nya adalah:

$$L = \underbrace{\mu_{ij}}_{\text{tujuan } j} \cdot \underbrace{e^{-\mu_{i\cdot}(t-s)}}_{\text{tetap di } i \text{ selama } (t-s)}$$

Langkah 2 — Pertimbangkan individu yang tersensor.

Jika individu meninggalkan observasi tanpa transisi terobservasi (tersensor pada waktu $t^*$), kontribusinya hanya:

$$L_{\text{sensor}} = e^{-\mu_{i\cdot}(t^* - s)}$$

Langkah 3 — Himpun semua individu.

Misalkan ada $n$ individu. Total likelihood:

$$L(\boldsymbol{\mu}) = \prod_{k=1}^{n} L_k$$

Langkah 4 — Ambil logaritma.

Untuk semua individu yang mengalami transisi $i \to j$:

$$\ell(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{i \neq j} d_{ij} \ln \mu_{ij} - \sum_i \mu_{i\cdot} \cdot v_i$$

di mana $v_i = \sum_k (\text{waktu individu } k \text{ di state } i)$ adalah total exposed to risk.

Langkah 5 — Maksimalkan terhadap $\mu_{ij}$.

Karena $\mu_{i\cdot} = \sum_{j \neq i} \mu_{ij}$, substitusikan:

$$\frac{\partial \ell}{\partial \mu_{ij}} = \frac{d_{ij}}{\mu_{ij}} - v_i = 0$$

Langkah 6 — Selesaikan.

$$\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}$$

Ini adalah maximum likelihood estimator untuk intensitas transisi dari $i$ ke $j$.

Langkah 7 — Verifikasi second-order condition.

$$\frac{\partial^2 \ell}{\partial \mu_{ij}^2} = -\frac{d_{ij}}{\mu_{ij}^2} < 0 \quad (\text{titik maksimum})$$

✘Dilarang›

1. Jangan membagi $d_{ij}$ dengan $v_j$ (waktu di state tujuan) — penyebutnya adalah waktu di state asal $v_i$.
2. Jangan menggunakan $d_{i\cdot}$ (total semua transisi keluar dari $i$) sebagai pembilang untuk $\hat{\mu}_{ij}$ — pembilangnya hanya transisi spesifik $i \to j$.
3. Jangan lupa bahwa $v_i$ mencakup semua individu yang pernah berada di state $i$, termasuk yang tersensor.

---

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah model multiple state terdiri dari 3 state: Sehat (0), Sakit (1), Meninggal (2). Selama periode pengamatan satu tahun, dicatat data berikut:

• Transisi $0 \to 1$: $d_{01} = 20$ kasus
• Transisi $0 \to 2$: $d_{02} = 5$ kasus
• Total waktu observasi di state 0: $v_0 = 500$ orang-tahun
• Transisi $1 \to 0$: $d_{10} = 8$ kasus
• Transisi $1 \to 2$: $d_{12} = 12$ kasus
• Total waktu observasi di state 1: $v_1 = 200$ orang-tahun

Hitung estimator MLE untuk semua intensitas transisi.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Terapkan rumus $\hat{\mu}_{ij} = d_{ij} / v_i$ secara langsung untuk setiap pasangan $(i, j)$.

1. Identifikasi Variabel

• $d_{01} = 20$, $d_{02} = 5$, $v_0 = 500$
• $d_{10} = 8$, $d_{12} = 12$, $v_1 = 200$

2. Identifikasi Model Model continuous-time Markov dengan asumsi intensitas piecewise constant dalam satu tahun. Tidak ada transisi dari state 2 (absorbing state).

3. Setup Persamaan

$$\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}, \quad i \neq j$$

4. Eksekusi Aljabar

$$\hat{\mu}_{01} = \frac{20}{500} = 0{,}040 \text{ per tahun}$$ $$\hat{\mu}_{02} = \frac{5}{500} = 0{,}010 \text{ per tahun}$$ $$\hat{\mu}_{10} = \frac{8}{200} = 0{,}040 \text{ per tahun}$$ $$\hat{\mu}_{12} = \frac{12}{200} = 0{,}060 \text{ per tahun}$$

5. Verification Intensitas total keluar: $\hat{\mu}_{0\cdot} = 0{,}040 + 0{,}010 = 0{,}050$ dan $\hat{\mu}_{1\cdot} = 0{,}040 + 0{,}060 = 0{,}100$. Nilai positif dan masuk akal secara aktuaria.

Hasil: $\hat{\mu}_{01} = 0{,}04$; $\hat{\mu}_{02} = 0{,}01$; $\hat{\mu}_{10} = 0{,}04$; $\hat{\mu}_{12} = 0{,}06$ (semua per tahun).

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2 menit. Common trap: Menggunakan $v_1$ sebagai penyebut untuk $\hat{\mu}_{01}$ (salah — $v_0$ adalah penyebutnya). Shortcut: Tulis tabel 2 kolom: kiri $d_{ij}$, kanan $v_i$, bagi langsung.

---

Soal B — Exam-Typical

Dalam sebuah studi asuransi jiwa dengan manfaat disabilitas, model multiple state memiliki 4 state: Aktif (0), Disabilitas Ringan (1), Disabilitas Berat (2), Meninggal (3). Intensitas transisi diasumsikan konstan selama periode pengamatan. Data berikut dikumpulkan:

Transisi	Jumlah Transisi ($d_{ij}$)	Waktu di State Asal ($v_i$, orang-tahun)
$0 \to 1$	15	1.200
$0 \to 2$	4	1.200
$0 \to 3$	6	1.200
$1 \to 0$	10	300
$1 \to 2$	5	300
$1 \to 3$	3	300
$2 \to 3$	8	80

(a) Hitung semua estimator MLE $\hat{\mu}_{ij}$.

(b) Hitung estimasi standar deviasi $\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{01})$ dan $\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{12})$.

(c) Berikan interpretasi aktuaria untuk $\hat{\mu}_{23}$.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Terapkan $\hat{\mu}_{ij} = d_{ij}/v_i$ untuk semua pasangan, lalu hitung varians menggunakan $\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{ij}) = d_{ij}/v_i^2$.

1. Identifikasi Variabel Dari tabel: $v_0 = 1200$, $v_1 = 300$, $v_2 = 80$. State 3 adalah absorbing state.

2. Identifikasi Model Continuous-time Markov chain, 4 state, asumsi konstan. State 3 tidak ada intensitas keluar.

3. Setup Persamaan

$$\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}, \quad \widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{ij}) = \frac{d_{ij}}{v_i^2}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Semua MLE:

$$\hat{\mu}_{01} = \frac{15}{1200} = 0{,}0125, \quad \hat{\mu}_{02} = \frac{4}{1200} = 0{,}0033, \quad \hat{\mu}_{03} = \frac{6}{1200} = 0{,}0050$$ $$\hat{\mu}_{10} = \frac{10}{300} = 0{,}0333, \quad \hat{\mu}_{12} = \frac{5}{300} = 0{,}0167, \quad \hat{\mu}_{13} = \frac{3}{300} = 0{,}0100$$ $$\hat{\mu}_{23} = \frac{8}{80} = 0{,}1000$$

(b) Standar Deviasi:

$$\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{01}) = \frac{15}{1200^2} = \frac{15}{1{,}44 \times 10^6} = 1{,}0417 \times 10^{-5}$$ $$\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{01}) = \sqrt{1{,}0417 \times 10^{-5}} = 0{,}003228$$ $$\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{12}) = \frac{5}{300^2} = \frac{5}{90000} = 5{,}556 \times 10^{-5}$$ $$\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{12}) = \sqrt{5{,}556 \times 10^{-5}} = 0{,}007454$$

5. Verification $\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{12}) / \hat{\mu}_{12} = 0{,}007454 / 0{,}0167 \approx 44\%$ — koefisien variasi cukup besar, wajar karena $d_{12} = 5$ sangat kecil.

(c) Interpretasi $\hat{\mu}_{23} = 0{,}10$: Seseorang yang berada dalam kondisi Disabilitas Berat diperkirakan mengalami transisi ke state Meninggal dengan laju 0,10 per orang per tahun. Artinya, secara rata-rata, harapan hidup seseorang dalam kondisi Disabilitas Berat (tanpa kemungkinan pemulihan) adalah sekitar $1/0{,}10 = 10$ tahun.

Hasil: Semua estimator tersebut di atas; SD: $\hat{\sigma}_{01} \approx 0{,}00323$, $\hat{\sigma}_{12} \approx 0{,}00745$.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Menghitung varians dengan formula $\hat{\mu}_{ij}/v_i$ — ingat, rumus benar adalah $d_{ij}/v_i^2 = \hat{\mu}_{ij}/v_i$, keduanya ekuivalen tapi jangan tertukar dengan $\hat{\mu}_{ij}^2/d_{ij}$. Shortcut: Untuk varians, ingat saja bahwa koefisien variasi $= 1/\sqrt{d_{ij}}$.

---

Soal C — Challenging

Seorang aktuaris sedang mengestimasi model multiple state untuk portofolio asuransi kesehatan. Model memiliki state: Sehat (0), Sakit Ringan (1), Sakit Berat (2), Meninggal (3). Diasumsikan intensitas piecewise constant.

Dari data pengamatan selama 2 tahun terakhir:

• $v_0 = 800$ orang-tahun, $d_{01} = 40$, $d_{02} = 8$, $d_{03} = 2$
• $v_1 = 120$ orang-tahun, $d_{10} = 30$, $d_{12} = 18$, $d_{13} = 6$
• $v_2 = 50$ orang-tahun, $d_{20} = 5$, $d_{21} = 10$, $d_{23} = 15$

(a) Hitung semua estimator MLE $\hat{\mu}_{ij}$.

(b) Uji hipotesis $H_0: \mu_{03} = 0{,}004$ vs $H_1: \mu_{03} \neq 0{,}004$ menggunakan statistik Wald pada tingkat signifikansi 5%.

(c) Seseorang baru saja masuk ke state Sakit Berat (2). Gunakan estimasi Anda untuk menghitung probabilitas ia masih berada di state 2 setelah 6 bulan, dengan asumsi intensitas konstan.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: (a) MLE standar; (b) Wald test dengan $z = (\hat{\mu} - \mu_0)/\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu})$; (c) Gunakan $p_{22}(t) = e^{-\hat{\mu}_{2\cdot} t}$.

1. Identifikasi Variabel $v_0=800, v_1=120, v_2=50$. Semua transisi tersedia. $t=0{,}5$ tahun untuk bagian (c).

2. Identifikasi Model Continuous-time Markov, 4 state. State 2 bukan absorbing karena ada transisi kembali ke 0 dan 1. Probabilitas sojourn mengikuti Eksponensial dengan parameter $\mu_{2\cdot}$.

3. Setup Persamaan

$$\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}; \quad z = \frac{\hat{\mu}_{03} - 0{,}004}{\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{03})}; \quad p_{22}(t) = e^{-\hat{\mu}_{2\cdot} t}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Semua MLE:

$$\hat{\mu}_{01} = \frac{40}{800} = 0{,}050, \quad \hat{\mu}_{02} = \frac{8}{800} = 0{,}010, \quad \hat{\mu}_{03} = \frac{2}{800} = 0{,}0025$$ $$\hat{\mu}_{10} = \frac{30}{120} = 0{,}250, \quad \hat{\mu}_{12} = \frac{18}{120} = 0{,}150, \quad \hat{\mu}_{13} = \frac{6}{120} = 0{,}050$$ $$\hat{\mu}_{20} = \frac{5}{50} = 0{,}100, \quad \hat{\mu}_{21} = \frac{10}{50} = 0{,}200, \quad \hat{\mu}_{23} = \frac{15}{50} = 0{,}300$$

(b) Wald Test untuk $\mu_{03}$:

$$\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{03}) = \sqrt{\frac{d_{03}}{v_0^2}} = \sqrt{\frac{2}{800^2}} = \sqrt{\frac{2}{640000}} = \sqrt{3{,}125 \times 10^{-6}} = 0{,}001768$$ $$z = \frac{0{,}0025 - 0{,}004}{0{,}001768} = \frac{-0{,}0015}{0{,}001768} = -0{,}849$$

Nilai kritis untuk uji dua arah pada $\alpha = 5\%$: $z_{0{,}025} = 1{,}960$.

Karena $|z| = 0{,}849 < 1{,}960$, gagal tolak $H_0$. Tidak ada bukti yang cukup untuk menyatakan $\mu_{03} \neq 0{,}004$ pada level 5%.

(c) Probabilitas tetap di state 2 setelah 6 bulan:

$$\hat{\mu}_{2\cdot} = \hat{\mu}_{20} + \hat{\mu}_{21} + \hat{\mu}_{23} = 0{,}100 + 0{,}200 + 0{,}300 = 0{,}600 \text{ per tahun}$$ $$p_{22}(0{,}5) = e^{-0{,}600 \times 0{,}5} = e^{-0{,}300} = 0{,}7408$$

5. Verification $p_{22}(0{,}5) = 0{,}74$ — wajar, karena intensitas total keluar 0,6/tahun berarti rata-rata seseorang meninggalkan state 2 setelah $1/0{,}6 \approx 1{,}67$ tahun. Setelah 6 bulan masih ada ~74% yang bertahan, ini logis.

Hasil: (a) semua MLE di atas; (b) gagal tolak $H_0$, $|z|=0{,}849$; (c) $p_{22}(0{,}5) \approx 74{,}08\%$.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 6 menit. Common trap 1: Untuk $p_{22}(t)$, gunakan intensitas total keluar $\mu_{2\cdot}$, bukan satu intensitas saja. Common trap 2: Konversi satuan waktu — soal meminta 6 bulan, bukan 6 tahun. Shortcut: $e^{-0{,}3} \approx 0{,}7408$ — hafal nilai ini.

---

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cek Konsistensi Estimator›

Jumlah seluruh estimator intensitas keluar dari state $i$ harus memenuhi:

$$\hat{\mu}_{i\cdot} = \sum_{j \neq i} \hat{\mu}_{ij} = \frac{\sum_{j \neq i} d_{ij}}{v_i} = \frac{d_{i\cdot}}{v_i}$$

Artinya, estimator intensitas total keluar sama dengan total transisi keluar dari $i$ dibagi waktu di $i$. Ini bisa dihitung dua cara dan hasilnya harus sama.

✓Cek Dimensi dan Batas›

• Estimator $\hat{\mu}_{ij}$ harus selalu positif (atau nol jika $d_{ij} = 0$).
• Satuan $\hat{\mu}_{ij}$ adalah per satuan waktu (per tahun, per bulan).
• Probabilitas sojourn $p_{ii}(t) = e^{-\hat{\mu}_{i\cdot} t}$ harus berada di $[0, 1]$ untuk semua $t \geq 0$.
• Ketika $d_{ij} = 0$: $\hat{\mu}_{ij} = 0$ — MLE memberikan nilai nol, bukan nilai positif kecil.

Metode Alternatif

Jika tersedia transition probability matrix $P(t)$ alih-alih data mentah, intensitas transisi bisa diestimasi menggunakan generator matrix $Q$ dari hubungan:

$$P(t) = e^{Qt}$$

Namun untuk ujian TA1, pendekatan MLE langsung dengan $\hat{\mu}_{ij} = d_{ij}/v_i$ adalah metode utama yang diuji.

---

Section 6 — Visualisasi Mental

Diagram State dan Aliran Transisi:

           μ₀₁ →
   [0]  ←——————  [1]
 Sehat  ——————→  Sakit   
    \   μ₁₀ ←    / 
  μ₀₂ \         / μ₁₂
      ↓         ↓
      [2] Sakit Berat
           \  μ₂₃
            ↓
           [3] Meninggal

• Setiap panah mewakili satu intensitas transisi $\mu_{ij}$.
• Waktu “terbang” di setiap state mengikuti distribusi Eksponensial.
• Data yang kita kumpulkan: berapa kali panah itu dilalui ($d_{ij}$) dan berapa lama total di tiap kotak ($v_i$).

Visualisasi Intuisi Estimator:

Bayangkan observasi 1000 orang-tahun di state 0. Jika 50 kali terjadi transisi ke state 1, estimator terbaik untuk laju transisi tersebut adalah $50/1000 = 0{,}05$ per tahun. Semakin banyak data ($v_i$ besar), estimator semakin presisi — standar deviasinya turun sebagai $1/\sqrt{d_{ij}}$.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Anak panah $i \to j$	$\mu_{ij}$ dan estimatornya $\hat{\mu}_{ij}$
Tebal anak panah (frekuensi)	$d_{ij}$ di pembilang
Lama di kotak state $i$	$v_i$ di penyebut
Distribusi Eksponensial di state $i$	$p_{ii}(t) = e^{-\mu_{i\cdot} t}$

---

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Penyebut yang tertukar: $\hat{\mu}_{ij} = d_{ij}/v_i$ — penyebutnya adalah waktu di state asal $i$, BUKAN state tujuan $j$. Kesalahan ini sangat umum ketika ada banyak state dan penyebut berbeda-beda.

Contoh salah: $\hat{\mu}_{12} = d_{12}/v_2 = 5/200$ ← SALAH (menggunakan waktu di state 2, bukan state 1)

Contoh benar: $\hat{\mu}_{12} = d_{12}/v_1 = 5/300$ ← BENAR

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Mencampurkan $d_{i\cdot}$ dan $d_{ij}$: $d_{i\cdot} = \sum_{j} d_{ij}$ adalah total transisi keluar, digunakan untuk $\hat{\mu}_{i\cdot}$, bukan untuk masing-masing $\hat{\mu}_{ij}$.
2. Lupa bahwa $v_i$ termasuk individu tersensor: Waktu individu yang tersensor sebelum mengalami transisi tetap dihitung dalam $v_i$.
3. Salah formula varians: $\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{ij}) = d_{ij}/v_i^2$, bukan $\hat{\mu}_{ij}/d_{ij}$ ataupun $d_{ij}/v_i$.
4. Salah menggunakan $p_{ii}(t)$: Untuk probabilitas sojourn, gunakan $\mu_{i\cdot}$ (total keluar dari $i$), bukan satu $\mu_{ij}$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Kata “laju transisi” atau “force of transition” → intensitas transisi $\mu_{ij}$.
• Kata “probabilitas transisi dalam $t$ tahun” → bukan $\mu_{ij}$, tetapi memerlukan solusi persamaan Kolmogorov.
• Soal yang menyebut “exposed to risk” biasanya merujuk ke $v_i$ — pastikan apakah itu central atau initial exposed to risk (untuk TA1, umumnya central = $v_i$).

▲Red Flags›

• Jika soal menyebutkan usia individu → kemungkinan besar topik ini berpindah ke 2.3 Age-Dependent Transition Intensities, bukan 2.2.
• Jika $d_{ij} = 0$ → $\hat{\mu}_{ij} = 0$, yang mengimplikasikan $e^{0} = 1$ dalam probabilitas sojourn untuk komponen itu.
• Jika total $v_i$ sangat kecil → estimator tidak reliabel, $\widehat{\text{SD}}$ akan besar.

---

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Estimator MLE intensitas transisi: $\hat{\mu}_{ij} = \frac{d_{ij}}{v_i}$ Transisi terobservasi $i \to j$ dibagi total waktu di state $i$.

2. Varians estimator MLE: $\widehat{\text{Var}}(\hat{\mu}_{ij}) = \frac{d_{ij}}{v_i^2} = \frac{\hat{\mu}_{ij}}{v_i}$

3. Koefisien variasi: $\frac{\widehat{\text{SD}}(\hat{\mu}_{ij})}{\hat{\mu}_{ij}} = \frac{1}{\sqrt{d_{ij}}}$ Presisi hanya bergantung pada jumlah transisi terobservasi.

4. Probabilitas sojourn di state $i$ selama $t$: $p_{ii}(t) = e^{-\hat{\mu}_{i\cdot} t}, \quad \hat{\mu}_{i\cdot} = \sum_{j \neq i} \hat{\mu}_{ij}$

5. Log-likelihood (perlu untuk LRT): $\ell(\boldsymbol{\mu}) = \sum_{i \neq j} \left[ d_{ij} \ln \mu_{ij} - \mu_{ij} \cdot v_i \right]$

Kapan Digunakan

• Soal menyebutkan model Markov atau multiple state dengan data observasi.
• Tersedia data berupa: jumlah transisi $d_{ij}$ dan waktu di state $v_i$.
• Diminta menghitung estimasi intensitas transisi atau standar errornya.
• Diminta menguji hipotesis tentang nilai suatu intensitas transisi (Wald test).
• Diminta menghitung probabilitas seseorang masih berada di suatu state setelah waktu $t$.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Data bergantung pada usia individu → gunakan 2.3 Age-Dependent Transition Intensities.
• Hanya tersedia satu state (survival biasa) → gunakan metode dari Topik 1 (1.6 Maximum Likelihood Estimation for Survival).
• Proses bukan Markov (ada memory) → asumsi Markov tidak terpenuhi.
• Diminta mencari probabilitas transisi (bukan intensitas) → perlu solusi persamaan Kolmogorov forward/backward.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Data berupa transisi antar state?"] -->|"Ya"| B["Ada data d_ij dan v_i?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Gunakan topik lain"]
    B -->|"Ya"| C["Bergantung usia individu?"]
    B -->|"Tidak"| Z2["Perlu data tambahan"]
    C -->|"Tidak"| D["Hitung MLE: mu_ij = d_ij / v_i"]
    C -->|"Ya"| E["Topik 2.3: Age-Dependent"]
    D --> F["Perlu varians?"]
    F -->|"Ya"| G["Var = d_ij / v_i^2"]
    F -->|"Tidak"| H["Selesai: laporkan mu_ij"]
    G --> I["Perlu uji hipotesis?"]
    I -->|"Ya"| J["Wald z = (mu_hat - mu_0) / SD"]
    I -->|"Tidak"| H

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal variasi 2.2 MLE for Transition Intensities dengan likelihood ratio test (LRT)”
2. “Jelaskan hubungan 2.2 MLE for Transition Intensities dengan 2.3 Age-Dependent Transition Intensities”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk topik 2.2 ini”

📖 Ref: Dickson, Hardy, Waters (2009) Bab 8; London (1997) Bab 10 | 🗓️ 2026-04-19 | #TA1 #MultipleState #MLE #TransitionIntensity