📊 1.4 — Tail Characteristics

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Tail Characteristics | Bobot: ~5–10% | Difficulty: Hard Ref: Klugman et al. (2019) Loss Models 5th ed., Bab 3–5 | Prereq: 1.1 Moment and Probability Generating Functions, 1.2 Distribution Classes and Extreme Value

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Besar Klaim	1.4	Menghitung dan menginterpretasikan momen, rasio momen, limiting tail behaviour, hazard rate, dan mean excess loss function; membandingkan dua distribusi berdasarkan berat ekor	5–10%	Hard	1.1 Moment and Probability Generating Functions, 1.2 Distribution Classes and Extreme Value, 1.3 Techniques for Creating New Distributions	3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency, 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation, 5.2 VaR and TVaR	KPW (2019) Bab 3–5

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan reasuransi sedang mengevaluasi dua portofolio asuransi properti di Indonesia — satu dari wilayah Jakarta Pusat dengan profil klaim yang relatif stabil, dan satu lagi dari kawasan industri di pesisir Cilegon yang rentan terhadap klaim besar akibat bencana. Secara rata-rata, kedua portofolio mungkin memiliki ekspektasi klaim yang serupa. Namun bagi reasuradur, yang jauh lebih penting adalah apa yang terjadi di ekor distribusi — seberapa sering dan seberapa besar klaim-klaim ekstrem yang bisa terjadi? Inilah yang dijawab oleh karakteristik ekor (tail characteristics).

Konsep pertama adalah hazard rate (atau failure rate). Fungsi ini menjawab pertanyaan: “Jika sebuah klaim sudah mencapai nilai $x$, seberapa cepat peluang terjadinya klaim yang lebih besar dari $x$ menurun?” Distribusi dengan hazard rate yang menurun artinya makin besar klaim yang sudah terjadi, makin besar pula kemungkinan klaim akan terus bertumbuh — inilah tanda distribusi heavy-tail yang berbahaya. Sebaliknya, hazard rate yang meningkat mengindikasikan distribusi light-tail yang “aman”. Distribusi Eksponensial adalah kasus unik dengan hazard rate konstan, mencerminkan sifat memoryless-nya.

Konsep kedua yang sangat praktis di aktuaria adalah mean excess loss function (MEL), yang menjawab: “Jika sebuah klaim sudah diketahui melebihi deductible sebesar $d$, berapa ekspektasi kelebihan klaim di atas $d$ itu?” Fungsi ini secara langsung terhubung dengan penetapan premi reasuransi excess-of-loss. Jika MEL suatu distribusi naik seiring $d$, distribusi tersebut heavy-tailed — semakin besar deductible yang diterapkan, semakin besar pula ekspektasi kelebihan yang harus ditanggung reasuradur. Memahami karakteristik ekor bukan hanya soal akademis; ia adalah kompas yang digunakan aktuaris untuk menentukan berapa premi layak dikenakan untuk perlindungan terhadap risiko katastrofi.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Lima Karakteristik Ekor›

Misalkan $X$ adalah variabel acak kontinu non-negatif dengan PDF $f(x)$, CDF $F(x)$, dan survival function $S(x) = 1 - F(x)$.

Hazard Rate (Force of Mortality / Failure Rate):

$$h(x) = \frac{f(x)}{S(x)} = \frac{f(x)}{1 - F(x)}, \quad x > 0$$

Mean Excess Loss Function (MEL):

$$e(d) = E[X - d \mid X > d] = \frac{\int_d^\infty S(x)\, dx}{S(d)}, \quad d \geq 0$$

Limited Expected Value (LEV):

$$E[X \wedge u] = \int_0^u S(x)\, dx = \int_0^u [1 - F(x)]\, dx$$

Simbol	Makna	Catatan
$S(x)$	Survival function: $P(X > x)$	$S(x) = 1 - F(x)$; selalu monotone turun
$h(x)$	Hazard rate / force of mortality	$h(x) \geq 0$; mengukur laju “kepunahan” distribusi
$H(x)$	Cumulative hazard function	$H(x) = \int_0^x h(t)\, dt = -\ln S(x)$
$e(d)$	Mean excess loss function di $d$	Ekspektasi kelebihan klaim di atas threshold $d$
$e(0)$	Mean excess loss di $d=0$	$e(0) = E[X]$ — mean unconditional
$E[X \wedge u]$	Limited Expected Value (LEV)	Ekspektasi $X$ yang di-cap pada nilai $u$
$\mu_k'$	Raw moment ke-$k$	$E[X^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} S(x)\, dx$
$CV$	Coefficient of Variation	$CV = \sigma / \mu$; ukuran dispersi relatif
$\gamma_1$	Skewness (momen ke-3 yang distandarisasi)	$\gamma_1 = \mu_3' / \sigma^3$; positif = right-skewed

Rumus Utama

Hubungan fundamental: hazard rate ↔ survival function:

$$S(x) = \exp\!\left(-\int_0^x h(t)\, dt\right) = e^{-H(x)}$$

Label: Jika diketahui $h(x)$, distribusi sepenuhnya ditentukan — ini adalah representasi alternatif yang ekuivalen.

PDF dari hazard rate:

$$f(x) = h(x) \cdot S(x) = h(x)\, e^{-H(x)}$$

Label: Berguna untuk mengidentifikasi distribusi dari bentuk hazard rate yang diberikan.

Momen via survival function (alternatif integrasi langsung):

$$E[X^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} S(x)\, dx$$

Label: Seringkali lebih mudah dihitung daripada $\int_0^\infty x^k f(x)\, dx$, khususnya untuk distribusi heavy-tail.

Mean excess loss function — bentuk integral:

$$e(d) = \frac{\int_d^\infty S(x)\, dx}{S(d)} = \frac{E[X] - E[X \wedge d]}{S(d)}$$

Label: Hubungan MEL dengan LEV sangat penting — soal sering memberikan $E[X \wedge d]$ dan meminta $e(d)$.

Hubungan MEL dengan mean unconditional:

$$e(0) = E[X] = \int_0^\infty S(x)\, dx$$

Label: Kasus khusus $d=0$: MEL di threshold nol adalah mean distribusi.

Rasio momen (moment ratio) ke-$k$:

$$\frac{E[X^k]}{(E[X])^k}$$

Label: Digunakan untuk membandingkan berat ekor dua distribusi dengan mean yang berbeda; rasio lebih besar = ekor lebih berat.

Hazard rate distribusi-distribusi penting:

Distribusi	Hazard Rate $h(x)$	Sifat Ekor
Eksponensial$(\theta)$	$1/\theta$ (konstan)	Memoryless; benchmark light-tail
Weibull$(\tau, \theta)$	$(\tau/\theta)(x/\theta)^{\tau-1}$	$\tau > 1$: naik (light-tail); $\tau < 1$: turun (heavy-tail)
Gamma$(\alpha, \theta)$	Meningkat ke $1/\theta$	Light-tail untuk $\alpha > 1$; mendekati Eksponensial
Pareto$(\alpha, \theta)$	$\alpha/(x + \theta)$	Selalu menurun — heavy-tail kanonik
Lognormal$(\mu, \sigma^2)$	Berbentuk unimodal, lalu turun	Heavy-tail (ekor lebih berat dari Eksponensial)

MEL distribusi-distribusi penting:

Distribusi	MEL $e(d)$	Sifat MEL
Eksponensial$(\theta)$	$\theta$ (konstan)	Memoryless: MEL tidak bergantung $d$
Pareto$(\alpha, \theta)$	$(d + \theta)/(\alpha - 1)$	Naik linear — bukti heavy-tail
Gamma$(\alpha, \theta)$	Menurun ke $\theta$	Light-tail: semakin besar $d$, MEL mendekati $\theta$

Asumsi Eksplisit

1. $X$ adalah variabel acak kontinu non-negatif dengan $F(0) = 0$.
2. $S(d) > 0$ untuk semua $d$ dalam domain yang relevan (agar MEL terdefinisi).
3. MEL $e(d)$ terdefinisi hanya jika $E[X] < \infty$ — distribusi yang tidak memiliki momen pertama tidak memiliki MEL yang bermakna.
4. Untuk limiting tail behaviour, perbandingan dilakukan pada $x \to \infty$ — rasio $S_1(x)/S_2(x)$ atau perbandingan $h_1(x)$ vs $h_2(x)$.
5. Distribusi dikatakan heavy-tailed relatif satu sama lain — “berat” dan “ringan” adalah konsep komparatif, bukan absolut.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus — Tiga Cara Membaca Ekor›

Ada tiga “lensa” yang saling melengkapi untuk mengkarakterisasi ekor distribusi:

Lensa 1 — Hazard rate $h(x)$: Melihat laju “peluruhan” distribusi secara lokal di titik $x$. Analoginya: seberapa cepat intensitas hujan melemah ketika curah hujan sudah mencapai tingkat $x$? Hazard rate menurun berarti distribusi “semakin lambat melemah” — tanda heavy-tail.

Lensa 2 — MEL $e(d)$: Melihat ekspektasi kelebihan, kondisional pada sudah melampaui $d$. Analoginya: “klaim sudah melebihi Rp500 juta — berapa lagi yang harus kita cadangkan?” MEL yang naik berarti semakin besar threshold, semakin besar ekspektasi tambahan — juga tanda heavy-tail.

Lensa 3 — Limiting tail behaviour: Membandingkan survival function dua distribusi saat $x \to \infty$. Jika $S_1(x)/S_2(x) \to \infty$, distribusi 1 jauh lebih heavy-tailed. Eksponensial memiliki ekor seperti $e^{-x/\theta}$, sedangkan Pareto seperti $x^{-\alpha}$ — untuk $x$ besar, $x^{-\alpha}$ jauh lebih besar dari $e^{-x/\theta}$, sehingga Pareto selalu heavy-tailed relatif terhadap Eksponensial.

◈Support dan Domain›

• Hazard rate $h(x)$ terdefinisi hanya di mana $S(x) > 0$. Untuk distribusi dengan support $(0, \omega)$ terbatas (seperti Uniform), $h(x) \to \infty$ saat $x \to \omega^-$.
• MEL $e(d)$ terdefinisi hanya jika $S(d) > 0$ dan $E[X] < \infty$. Distribusi Pareto dengan $\alpha \leq 1$ tidak memiliki $E[X]$ yang finite — MEL tidak terdefinisi!
• Untuk limiting tail comparison: selalu bandingkan survival function (bukan PDF) saat $x \to \infty$ — perbandingan PDF bisa menyesatkan karena PDF bisa kecil di ekor tapi integral-nya (yaitu probabilitas ekor) masih besar.

Derivasi: Rumus MEL via Integrasi by Parts

Ini adalah derivasi paling sering diuji — menunjukkan mengapa $e(d) = \frac{\int_d^\infty S(x)\, dx}{S(d)}$.

Langkah 1 — Definisi ekspektasi bersyarat:

$$e(d) = E[X - d \mid X > d] = \frac{E[(X-d)\,\mathbf{1}_{X>d}]}{P(X > d)} = \frac{\int_d^\infty (x-d)\, f(x)\, dx}{S(d)}$$

Langkah 2 — Fokus pada pembilang; substitusi $u = x - d$, $du = dx$:

$$\int_d^\infty (x-d)\, f(x)\, dx = \int_0^\infty u\, f(u+d)\, du$$

Langkah 3 — Integrasi by parts pada pembilang asli: $u_{\text{parts}} = x - d$, $dv = f(x)\,dx$:

$$\int_d^\infty (x-d)\, f(x)\, dx = \Big[(x-d)(-S(x))\Big]_d^\infty + \int_d^\infty S(x)\, dx$$

Langkah 4 — Evaluasi batas: jika momen pertama finite, maka $(x-d)S(x) \to 0$ saat $x \to \infty$ (distribusi tidak memiliki massa di $\infty$), dan di $x = d$: $(d-d)S(d) = 0$. Sehingga suku pertama gugur:

$$\int_d^\infty (x-d)\, f(x)\, dx = \int_d^\infty S(x)\, dx$$

Langkah 5 — Bagi dengan $S(d)$:

$$e(d) = \frac{\int_d^\infty S(x)\, dx}{S(d)}$$

∎ Inilah bentuk yang paling berguna secara komputasi.

Derivasi: MEL Pareto dan Sifat Heavy-Tail-nya

Misalkan $X \sim \text{Pareto}(\alpha, \theta)$ dengan $S(x) = \left(\frac{\theta}{\theta + x}\right)^\alpha$.

Langkah 1 — Hitung $\int_d^\infty S(x)\, dx$:

$$\int_d^\infty \left(\frac{\theta}{\theta+x}\right)^\alpha dx$$

Substitusi $t = \theta + x$, $dt = dx$, batas $t: \theta+d \to \infty$:

$$= \theta^\alpha \int_{\theta+d}^\infty t^{-\alpha}\, dt = \theta^\alpha \cdot \frac{t^{-\alpha+1}}{-\alpha+1}\Bigg|_{\theta+d}^\infty = \frac{\theta^\alpha (\theta+d)^{1-\alpha}}{\alpha - 1} \quad (\alpha > 1)$$

Langkah 2 — Hitung $S(d)$:

$$S(d) = \left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^\alpha$$

Langkah 3 — Bagi:

$$e(d) = \frac{\theta^\alpha (\theta+d)^{1-\alpha}/(\alpha-1)}{\theta^\alpha (\theta+d)^{-\alpha}} = \frac{(\theta+d)^{1-\alpha}}{(\alpha-1)(\theta+d)^{-\alpha}} = \frac{\theta + d}{\alpha - 1}$$

Kesimpulan: $e(d) = \frac{d + \theta}{\alpha - 1}$ adalah fungsi linear naik dalam $d$ — ini adalah bukti formal bahwa Pareto heavy-tailed. Semakin besar deductible, semakin besar ekspektasi kelebihan yang harus dibayar reasuradur.

✘Dilarang›

1. Jangan menghitung $e(d)$ dengan formula Pareto untuk $\alpha \leq 1$ — MEL tidak terdefinisi karena $E[X] = \infty$ untuk $\alpha \leq 1$. Ini bukan hanya kesalahan teknis; secara aktuaria artinya distribusi tersebut tidak dapat di-insurance-kan dengan cara konvensional.
2. Jangan membandingkan berat ekor hanya dari nilai PDF — PDF distribusi heavy-tail bisa sangat kecil di titik tertentu namun memiliki probabilitas ekor yang jauh lebih besar daripada distribusi light-tail. Selalu gunakan survival function $S(x)$, hazard rate $h(x)$, atau MEL $e(d)$ untuk perbandingan ekor.
3. Jangan gunakan formula $e(d) = \frac{E[X] - E[X \wedge d]}{S(d)}$ tanpa menghitung $E[X \wedge d]$ terlebih dahulu — LEV $E[X \wedge d]$ memerlukan perhitungan tersendiri; jangan substitusi $E[X \wedge d] = d \cdot F(d)$ (ini salah kecuali $X$ deterministik).

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Variabel acak $X \sim \text{Eksponensial}(\theta = 2000)$ merepresentasikan besar klaim asuransi kendaraan (dalam ribuan rupiah). Hitung: (a) hazard rate $h(x)$, (b) MEL $e(d)$ untuk $d = 3000$, dan (c) interpretasikan hasil secara aktuaria.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Gunakan formula langsung hazard rate dan MEL untuk distribusi Eksponensial. Sifat memoryless akan terkonfirmasi.

1. Identifikasi Variabel

• $$X \sim \text{Eksponensial}(\theta = 2000)$$
• $$f(x) = \frac{1}{2000} e^{-x/2000}$$
• $$S(x) = e^{-x/2000}$$
• $$d = 3000$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Eksponensial adalah distribusi memoryless benchmark — hazard rate konstan dan MEL konstan. Distribusi ini sering digunakan sebagai distribusi klaim dasar sebelum dilakukan pemilihan model yang lebih kompleks.

3. Setup Persamaan

$$h(x) = \frac{f(x)}{S(x)}, \qquad e(d) = \frac{\int_d^\infty S(x)\,dx}{S(d)}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Hazard rate:

$$h(x) = \frac{\frac{1}{2000}e^{-x/2000}}{e^{-x/2000}} = \frac{1}{2000}$$

Konstan untuk semua $x > 0$ — tidak bergantung pada $x$.

(b) MEL dengan formula integral:

$$\int_{3000}^\infty e^{-x/2000}\, dx = \Big[-2000\, e^{-x/2000}\Big]_{3000}^\infty = 2000\, e^{-3000/2000} = 2000\, e^{-1.5}$$ $$S(3000) = e^{-3000/2000} = e^{-1.5}$$ $$e(3000) = \frac{2000\, e^{-1.5}}{e^{-1.5}} = 2000$$

5. Verification $e(d) = \theta = 2000$ untuk semua $d$ — ini membuktikan sifat memoryless: apapun threshold deductible yang diterapkan, ekspektasi kelebihan klaim selalu sama dengan mean distribusi. Juga: $e(0) = E[X] = 2000$ ✓.

Hasil: $h(x) = 1/2000$ (konstan), $e(3000) = 2000$. Interpretasi aktuaria: meskipun deductible Rp3 juta diterapkan, reasuradur masih menghadapi ekspektasi klaim tambahan Rp2 juta — sama persis seperti tanpa deductible. Ini mencerminkan sifat memoryless Eksponensial.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2–3 menit. Common trap: Beberapa kandidat mencoba menghitung $E[X - d \mid X > d]$ langsung dari definisi bersyarat — ini benar tapi lebih panjang. Gunakan formula $e(d) = \int_d^\infty S(x)\,dx / S(d)$ yang lebih efisien. Shortcut: Untuk Eksponensial, langsung tulis $h(x) = 1/\theta$ dan $e(d) = \theta$ tanpa perhitungan — ini adalah fakta yang wajib dihafal.

---

Soal B — Exam-Typical

Distribusi klaim $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 6000)$. Sebuah polis memiliki deductible biasa $d = 2000$. Hitung: (a) MEL $e(2000)$, (b) $E[X \wedge 2000]$ (LEV), dan (c) verifikasi hubungan $e(d) = \frac{E[X] - E[X \wedge d]}{S(d)}$.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Gunakan formula MEL Pareto untuk (a), hitung LEV dari definisi untuk (b), lalu verifikasi konsistensi keduanya.

1. Identifikasi Variabel

• $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 6000)$; $\alpha > 1$ sehingga $E[X]$ finite ✓
• $$S(x) = \left(\frac{6000}{6000+x}\right)^3$$
• $$E[X] = \frac{\theta}{\alpha - 1} = \frac{6000}{2} = 3000$$
• $$d = 2000$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Pareto adalah distribusi heavy-tail kanonik. MEL-nya naik linear — makin besar deductible, makin besar ekspektasi kelebihan. Ini berbanding terbalik dengan Eksponensial (MEL konstan).

3. Setup Persamaan

$$e(d) = \frac{d + \theta}{\alpha - 1}, \qquad E[X \wedge u] = \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+u}\right)^{\alpha-1}\right]$$ $$e(d) = \frac{E[X] - E[X \wedge d]}{S(d)}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) MEL Pareto:

$$e(2000) = \frac{2000 + 6000}{3 - 1} = \frac{8000}{2} = 4000$$

(b) LEV Pareto pada $u = 2000$:

$$E[X \wedge 2000] = \frac{6000}{2}\left[1 - \left(\frac{6000}{8000}\right)^{2}\right] = 3000\left[1 - \left(\frac{3}{4}\right)^2\right] = 3000\left[1 - \frac{9}{16}\right] = 3000 \times \frac{7}{16} = 1312.5$$

(c) Verifikasi hubungan:

$$S(2000) = \left(\frac{6000}{8000}\right)^3 = \left(\frac{3}{4}\right)^3 = \frac{27}{64}$$ $$\frac{E[X] - E[X \wedge 2000]}{S(2000)} = \frac{3000 - 1312.5}{27/64} = \frac{1687.5}{\,27/64\,} = 1687.5 \times \frac{64}{27} = \frac{108000}{27} = 4000 \checkmark$$

5. Verification $e(2000) = 4000 > E[X] = 3000$: MEL melebihi mean unconditional — ini adalah bukti heavy-tail. Untuk Eksponensial, $e(d) = E[X]$ selalu; untuk Pareto, $e(d) > E[X]$ segera saat $d > 0$.

Hasil: $e(2000) = 4000$, $E[X \wedge 2000] = 1312.5$, keduanya konsisten via hubungan LEV–MEL.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4–5 menit. Common trap: Formula LEV Pareto sering disalahtulis — perhatikan bahwa eksponen di LEV adalah $\alpha - 1$, bukan $\alpha$. Shortcut: Hafal formula LEV Pareto: $E[X \wedge u] = \frac{\theta}{\alpha-1}\!\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+u}\right)^{\alpha-1}\right]$. Ini muncul sangat sering di soal modifikasi coverage (Topik 3).

---

Soal C — Challenging

Dua model sedang dibandingkan untuk distribusi klaim asuransi kebakaran: Model A adalah $X_A \sim \text{Pareto}(\alpha = 4, \theta = 9000)$ dan Model B adalah $X_B \sim \text{Eksponensial}(\theta = 3000)$. Keduanya memiliki mean yang sama. Bandingkan: (a) hazard rate kedua model untuk $x$ besar, (b) MEL $e(d)$ untuk $d = 0, 3000, 9000$, dan (c) tentukan model mana yang lebih konservatif untuk penetapan premi reasuransi excess-of-loss dengan attachment point $d = 9000$.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Bandingkan hazard rate dan MEL secara sistematis; gunakan perilaku ekor untuk menarik kesimpulan aktuaria.

1. Identifikasi Variabel

• Model A: $X_A \sim \text{Pareto}(4, 9000)$; $E[X_A] = 9000/(4-1) = 3000$
• Model B: $X_B \sim \text{Eksponensial}(3000)$; $E[X_B] = 3000$
• Kedua model memiliki mean $= 3000$ ✓ — perbandingan fair
• Attachment point reasuransi: $d = 9000$

2. Identifikasi Distribusi / Model Pareto: heavy-tail, hazard rate menurun. Eksponensial: light-tail (memoryless), hazard rate konstan. Dengan mean sama, perbedaan sepenuhnya terletak pada perilaku ekor. Ini adalah soal perbandingan ekor klasik.

3. Setup Persamaan

Hazard rate:

$$h_A(x) = \frac{\alpha}{\theta + x} = \frac{4}{9000 + x}, \qquad h_B(x) = \frac{1}{3000}$$

MEL:

$$e_A(d) = \frac{d + 9000}{3}, \qquad e_B(d) = 3000$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Perbandingan hazard rate:

Titik persilangan: $h_A(x) = h_B(x)$ saat $\frac{4}{9000+x} = \frac{1}{3000}$, yaitu $x = 3000$.

• Untuk $x < 3000$: $h_A(x) > h_B(x)$ — Pareto memiliki hazard rate lebih tinggi (lebih “aman”) di ekor kiri
• Untuk $x > 3000$: $h_A(x) < h_B(x)$ — Pareto memiliki hazard rate lebih rendah (ekor kanan lebih berat)

Untuk $x$ besar: $h_A(x) \approx \frac{4}{x} \to 0$, sedangkan $h_B(x) = 1/3000$ tetap konstan. Pareto semakin lambat “punah” — bukti heavy-tail.

(b) Tabel MEL:

$d$	$e_A(d)$	$e_B(d)$	Selisih $e_A - e_B$
$0$	$9000/3 = 3000$	$3000$	$0$
$3000$	$12000/3 = 4000$	$3000$	$+1000$
$9000$	$18000/3 = 6000$	$3000$	$+3000$

(c) Premi reasuransi excess-of-loss di $d = 9000$:

Premi reasuransi proporsional dengan $e(d) \times S(d)$ (ekspektasi klaim yang ditanggung reasuradur):

$$S_A(9000) = \left(\frac{9000}{18000}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \frac{1}{16} = 0.0625$$ $$S_B(9000) = e^{-9000/3000} = e^{-3} \approx 0.0498$$

Ekspektasi klaim reasuransi $= e(d) \times S(d)$:

$$\text{Model A: } 6000 \times 0.0625 = 375$$ $$\text{Model B: } 3000 \times 0.0498 \approx 149.4$$

5. Verification Model A menghasilkan ekspektasi klaim reasuransi $\approx 2.5\times$ lebih besar dari Model B meskipun mean sama. Ini mengkonfirmasi bahwa Pareto jauh lebih berbahaya dari perspektif reasuransi. Fakta bahwa $e_A(d)$ naik sementara $e_B(d)$ konstan adalah tanda definitif perbedaan berat ekor.

Hasil: Model A (Pareto) secara signifikan lebih heavy-tailed — hazard rate menurun ke nol sementara Eksponensial konstan. MEL Pareto di $d = 9000$ adalah 6000 vs 3000 untuk Eksponensial. Model A menghasilkan ekspektasi klaim reasuransi 2.5× lebih besar — Model A lebih konservatif untuk penetapan premi reasuransi.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5–6 menit. Common trap: Menyimpulkan bahwa model dengan mean sama pasti “setara” untuk tujuan reasuransi — ini salah! Distribusi dengan mean sama bisa sangat berbeda perilaku ekornya. Shortcut: Untuk membandingkan dua distribusi: (1) cek apakah MEL naik atau turun/konstan, dan (2) bandingkan hazard rate di $x$ besar. Kedua tes ini sudah cukup untuk menentukan distribusi mana yang heavy-tailed.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-check MEL dengan Mean›

Selalu verifikasi bahwa $e(0) = E[X]$:

$$e(0) = \frac{\int_0^\infty S(x)\, dx}{S(0)} = \frac{E[X]}{1} = E[X]$$

Jika $e(0) \neq E[X]$ dari formula yang digunakan, ada kesalahan dalam derivasi MEL. Ini adalah sanity check paling cepat dan paling wajib dilakukan.

✓Cross-check Hazard Rate via Survival Function›

Jika hazard rate $h(x)$ telah dihitung, verifikasi via:

$$S(x) = \exp\!\left(-\int_0^x h(t)\, dt\right)$$

Misal: jika $h(x) = c$ (konstan), maka $S(x) = e^{-cx}$ — ini adalah Eksponensial dengan mean $1/c$. Jika $h(x) = \tau x^{\tau-1}/\theta^\tau$, maka $S(x) = e^{-(x/\theta)^\tau}$ — ini adalah Weibull. Jika hasil rekonstruksi $S(x)$ tidak cocok dengan $S(x)$ yang diberikan, ada kesalahan dalam $h(x)$.

Metode Alternatif

Untuk menghitung $E[X^k]$ distribusi heavy-tail, formula alternatif via survival function seringkali lebih mudah:

$$E[X^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} S(x)\, dx$$

Khususnya untuk Pareto$(\alpha, \theta)$ dengan $\alpha > k$:

$$E[X^k] = \frac{k!\, \theta^k}{\prod_{j=1}^{k}(\alpha - j)} = \frac{\theta^k \Gamma(\alpha - k) \Gamma(k+1)}{\Gamma(\alpha)}$$

Untuk $k=1$: $E[X] = \theta/(\alpha-1)$. Untuk $k=2$: $E[X^2] = 2\theta^2/((\alpha-1)(\alpha-2))$.

Section 6 — Visualisasi Mental

Diagram perbandingan hazard rate empat distribusi:

h(x)
  ↑
  |  Weibull (τ>1) — naik
  |       /
  |      /
  |-----/------------- Eksponensial — konstan (1/θ)
  |    /  \
  |   /    \
  |  /      Gamma (α>1) — naik menuju 1/θ
  | /         \_______________
  |/                          ──── Pareto — turun ke 0
  +----------------------------------→ x
  0           x*
               ↑
          titik silang Pareto & Eksponensial

Diagram perbandingan MEL tiga distribusi:

e(d)
  ↑
  |                      / Pareto — naik linear
  |                    /
  |                  /
  |----------------/-------------- Eksponensial — konstan
  |               /
  |              /   Gamma — turun menuju θ
  |             /  \___________
  |            /
  +----------------------------------→ d
  0         E[X]
             ↑
         e(0) = E[X] untuk semua distribusi

Interpretasi visual:

• Titik awal semua kurva MEL: $e(0) = E[X]$ — semuanya mulai dari mean
• Pareto: kemiringan positif — setiap kenaikan threshold menambah ekspektasi kelebihan
• Eksponensial: garis horizontal — memoryless property secara visual
• Gamma: kurva menurun menuju $\theta$ — distribusi “terkendali” untuk klaim besar

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Kurva hazard rate menurun	$h'(x) < 0$ ↔ distribusi heavy-tailed
Kurva MEL naik	$e'(d) > 0$ ↔ distribusi heavy-tailed
Titik awal MEL di $E[X]$	$e(0) = E[X] = \int_0^\infty S(x)\,dx$
Kemiringan MEL Pareto $= 1/(\alpha-1)$	$\frac{d}{dd}e_{\text{Pareto}}(d) = \frac{1}{\alpha-1}$
Area bawah survival function	$\int_0^\infty S(x)\,dx = E[X]$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

• LEV Pareto: Formula $E[X \wedge u] = \frac{\theta}{\alpha-1}\!\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+u}\right)^{\alpha-1}\right]$ berlaku untuk parameterisasi KPW. Beberapa sumber menggunakan Pareto dengan parameterisasi berbeda (misal Pareto Tipe II / Lomax), menghasilkan formula berbeda. Selalu verifikasi dengan $E[X \wedge \infty] = E[X] = \theta/(\alpha-1)$.
• Weibull hazard rate: $h(x) = \frac{\tau}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{\tau-1}$ dalam parameterisasi KPW. Parameterisasi lain menggunakan $\lambda = \theta^{-\tau}$ — hasilnya berbeda. Cek: $h(1) = \tau/\theta$ vs $h(1) = \lambda\tau$.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Heavy-tail ≠ large mean: Distribusi bisa memiliki mean kecil tapi ekor sangat berat (atau sebaliknya). Sifat heavy-tail sepenuhnya ditentukan oleh bentuk ekor (hazard rate, MEL), bukan magnitude mean.
2. MEL undefined untuk $\alpha \leq 1$: Untuk Pareto$(\alpha \leq 1, \theta)$, $E[X] = \infty$, sehingga $e(d)$ tidak terdefinisi. Jangan serta-merta menghitung $e(d) = (d+\theta)/(\alpha-1)$ tanpa verifikasi $\alpha > 1$.
3. Hazard rate menurun ≠ distribusi tidak berguna: Meskipun hazard rate menurun mengindikasikan heavy-tail (yang lebih “berisiko”), distribusi ini tetap digunakan luas dalam aktuaria — justru karena lebih realistis untuk data klaim ekstrem.
4. Salah arah implikasi MEL: MEL naik → heavy-tail (benar). Tetapi bukan: heavy-tail → MEL selalu ada (salah — perlu $E[X] < \infty$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Tentukan apakah distribusi A lebih heavy-tailed dari B” → jangan hanya bandingkan mean atau variansi. Gunakan (1) perbandingan $h(x)$ untuk $x$ besar, atau (2) apakah MEL naik/turun/konstan, atau (3) rasio $S_A(x)/S_B(x)$ saat $x \to \infty$.
• “Hitung MEL pada $d$” → pastikan hitung $S(d)$ secara eksplisit, bukan asumsi $S(d) = 1$. Ini kesalahan umum ketika $d$ besar.
• “Distribusi dengan hazard rate konstan” → ini hanya Eksponensial (di antara distribusi kontinu positif umum). Jangan asumsikan distribusi lain bisa memiliki hazard rate konstan.

▲Red Flags›

• Soal menyebut “excess-of-loss reinsurance” atau “deductible” → MEL $e(d)$ hampir pasti digunakan; lihat juga 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency
• Soal meminta “membandingkan dua distribusi” tanpa spesifikasi ukuran → kemungkinan besar meminta perbandingan berat ekor via hazard rate atau MEL
• Soal menyebut $\alpha \leq 1$ untuk Pareto → peringatan: $E[X]$ tidak finite, MEL tidak terdefinisi, banyak operasi standar gagal
• Soal memberikan $h(x)$ dan meminta distribusi → rekonstruksi $S(x) = e^{-\int h(t)\,dt}$, kemudian $f(x) = h(x) S(x)$; kenali bentuk distribusi dari hasil $S(x)$
• Soal menyebut “limiting tail behaviour” atau “ekor distribusi untuk $x$ besar” → perbandingan $S(x)$ saat $x \to \infty$; untuk Pareto $S(x) \sim x^{-\alpha}$ (power decay), untuk Eksponensial $S(x) \sim e^{-x/\theta}$ (exponential decay) — power decay selalu lebih lambat

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Hazard rate dan survival function saling menentukan:

$$h(x) = \frac{f(x)}{S(x)}, \qquad S(x) = \exp\!\left(-\int_0^x h(t)\,dt\right)$$

2. MEL via survival function (bentuk paling berguna):

$$e(d) = \frac{\int_d^\infty S(x)\,dx}{S(d)} = \frac{E[X] - E[X \wedge d]}{S(d)}$$

3. Titik awal MEL selalu mean:

$$e(0) = E[X]$$

4. Dua tanda definitif heavy-tail:

$$h(x) \text{ menurun (atau } h(x) \to 0) \iff \text{heavy-tail}$$ $$e(d) \text{ naik seiring } d \iff \text{heavy-tail}$$

5. Formula hafalan kritis:

$$e_{\text{Eksponensial}}(d) = \theta \quad \text{(konstan)}, \qquad e_{\text{Pareto}}(d) = \frac{d + \theta}{\alpha - 1} \quad \text{(naik linear)}$$

Kapan Digunakan

• Soal meminta “karakterisasi ekor”, “perbandingan distribusi”, atau “sifat distribusi” → gunakan hazard rate dan/atau MEL
• Soal menyebut “excess-of-loss” atau “deductible” dan meminta ekspektasi kelebihan klaim → langsung gunakan $e(d)$
• Soal memberikan $h(x)$ dan meminta PDF/CDF → rekonstruksi via $S(x) = e^{-\int h}$
• Soal meminta momen via survival function sebagai metode alternatif → gunakan $E[X^k] = \int_0^\infty k x^{k-1} S(x)\,dx$

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• MEL $e(d)$ tidak terdefinisi jika $E[X] = \infty$ — selalu cek $\alpha > 1$ untuk Pareto, dan $\alpha > 0$ untuk Gamma
• Hazard rate tidak dapat dibandingkan langsung antar distribusi tanpa memperhatikan domain — pastikan keduanya dievaluasi pada $x$ yang sama
• Jangan gunakan “mean sama = ekor sama” sebagai argumen — mean hanya menangkap sentral distribusi, bukan perilaku ekornya

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal tentang karakteristik ekor distribusi?"] -->|"Hitung h(x)"| B["h(x) = f(x) / S(x)<br>Rekonstruksi S(x) = exp(-integral h)"]
    A -->|"Hitung MEL e(d)"| C["Cek E[X] finite?"]
    A -->|"Bandingkan dua distribusi"| D["Bandingkan h(x) untuk x besar<br>ATAU bandingkan e(d): naik vs konstan"]
    C -->|"Ya (misal alpha > 1 untuk Pareto)"| E["e(d) = integral S / S(d)<br>ATAU = (E[X] - E[X^d]) / S(d)"]
    C -->|"Tidak (alpha <= 1)"| F["MEL tidak terdefinisi!<br>E[X] = infinity"]
    D -->|"h(x) turun ke 0"| G["Heavy-tail (Pareto, Lognormal)"]
    D -->|"h(x) konstan"| H["Eksponensial — memoryless"]
    D -->|"h(x) naik"| I["Light-tail (Gamma alpha>1, Weibull tau>1)"]
    E -->|"e(d) naik"| G
    E -->|"e(d) konstan"| H
    E -->|"e(d) turun"| I

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal variasi MEL untuk distribusi Gamma dengan perbandingan Eksponensial”
2. “Jelaskan hubungan 1.4 Tail Characteristics dengan 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation”
3. “Buat flashcard 1-halaman: hazard rate dan MEL untuk lima distribusi penting TA2”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 3–5 | 🗓️ 2026-04-16 | #TA2 #TailCharacteristics #HazardRate #MeanExcessLoss #ModelBesarKlaim