TA2 · Materi 2.2

(a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes

Hard Bobot: 5–10% Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 6

TA2TopicModelFrekuensiKlaimab0ab1PanjerDistribusiDiskritTeoriRisiko

📊 2.2 — (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes

≡Ringkasan Cepat›

Topik: (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes | Bobot: ~5–10% | Difficulty: Hard Ref: Klugman et al. (2019) Loss Models 5th ed., Bab 6 | Prereq: 2.1 Frequency MGF and PGF

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Frekuensi Klaim	2.2	Mengidentifikasi dan mengklasifikasikan distribusi ke kelas $(a,b,0)$ atau $(a,b,1)$ ; mendapatkan distribusi kelas $(a,b,1)$ dari $(a,b,0)$ via zero-truncated dan zero-modified; menghitung probabilitas dari relasi rekursif Panjer	5–10%	Hard	2.1 Frequency MGF and PGF	2.3 Frequency Model Selection, 2.4 Mixed Frequency Distributions, 4.5 Panjer Recursive Formula	KPW (2019) Bab 6

Section 1 — Intuisi

Bayangkan seorang aktuaris di perusahaan asuransi kendaraan bermotor sedang menganalisis data frekuensi klaim polis selama setahun. Dari ribuan polis, sebagian besar tidak mengajukan klaim sama sekali (nol klaim), sebagian kecil mengajukan satu klaim, lebih sedikit lagi yang mengajukan dua klaim, dan seterusnya. Pertanyaannya: distribusi probabilitas apa yang paling cocok untuk menggambarkan pola ini? Apakah Poisson, Binomial, Negatif Binomial, atau sesuatu yang lebih fleksibel?

Kelas distribusi $(a,b,0)$ adalah jawaban elegan atas pertanyaan ini. Alih-alih mempelajari setiap distribusi frekuensi secara terpisah, kelas $(a,b,0)$ menyatukan semua distribusi yang memiliki satu sifat bersama: rasio probabilitas titik berturutan $p_k / p_{k-1}$ mengikuti pola linear sederhana dalam $k$ . Dengan dua parameter saja — $a$ dan $b$ — kita bisa menghasilkan Poisson (dengan $a=0$ ), Binomial (dengan $a < 0$ ), dan Negatif Binomial (dengan $a > 0$ ). Sifat rekursif ini juga menjadi fondasi dari Formula Rekursif Panjer yang akan digunakan di Topik 4.

Namun ada masalah: data dunia nyata seringkali menunjukkan jumlah polis dengan nol klaim yang jauh lebih banyak (atau jauh lebih sedikit) dari yang diprediksi oleh distribusi Poisson atau Binomial standar. Fenomena ini disebut zero-inflation atau zero-deflation. Kelas $(a,b,1)$ hadir untuk mengatasi hal ini — ia memungkinkan kita memodifikasi probabilitas di titik nol secara bebas, sambil mempertahankan relasi rekursif yang sama untuk $k \geq 1$ . Dengan demikian, dua keluarga besar — distribusi zero-truncated (tanpa masa di titik nol) dan distribusi zero-modified (dengan massa di titik nol yang disesuaikan) — keduanya masuk dalam kelas $(a,b,1)$ dan menjadi alat pemodelan yang sangat fleksibel.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Kelas

(a,b,0)

›

Distribusi diskrit non-negatif $\{p_k\}_{k=0}^{\infty}$ termasuk kelas $(a,b,0)$ jika dan hanya jika terdapat konstanta $a$ dan $b$ sehingga:

\frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

dengan $p_0$ ditentukan oleh syarat normalisasi $\sum_{k=0}^{\infty} p_k = 1$ .

ℹDefinisi Matematis — Kelas

(a,b,1)

›

Distribusi diskrit non-negatif $\{p_k^T\}$ atau $\{p_k^M\}$ termasuk kelas $(a,b,1)$ jika dan hanya jika:

\frac{p_k^T}{p_{k-1}^T} = a + \frac{b}{k}, \quad k = 2, 3, 4, \ldots

dengan $p_1^T$ (atau $p_1^M$ ) sebagai titik awal bebas — tidak harus memenuhi relasi di $k=1$ relatif terhadap $p_0$ .

Simbol	Makna	Catatan
$p_k$	Probabilitas $P(N = k)$ dalam kelas $(a,b,0)$	Termasuk $p_0 > 0$
$a, b$	Parameter kelas $(a,b,0)$ atau $(a,b,1)$	Menentukan jenis distribusi
$p_k^T$	Probabilitas distribusi zero-truncated	$p_0^T = 0$ by definition
$p_k^M$	Probabilitas distribusi zero-modified	$p_0^M$ bebas, bisa $\neq p_0$ asli
$p_0^M$	Probabilitas titik nol yang dimodifikasi	$0 \leq p_0^M \leq 1$
$\psi$	Bobot massa di nol untuk zero-modified	$\psi = p_0^M$ ; jika $\psi > p_0^{(a,b,0)}$ : zero-inflated
$c$	Konstanta normalisasi zero-truncated	$c = 1 - p_0^{(a,b,0)}$

Rumus Utama

Tabel klasifikasi kelas $(a,b,0)$ — tiga distribusi utama:

Distribusi	Parameter $a$	Parameter $b$	$p_0$
Poisson $(\lambda)$	$0$	$\lambda$	$e^{-\lambda}$
Binomial $(n, q)$	$-q/(1-q)$	$(n+1)q/(1-q)$	$(1-q)^n$
Neg. Binomial $(r, \beta)$	$\beta/(1+\beta)$	$(r-1)\beta/(1+\beta)$	$(1+\beta)^{-r}$

Relasi rekursif Panjer kelas $(a,b,0)$ :

p_k = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

Label: Cukup ketahui $p_0$ , $a$ , dan $b$ — seluruh distribusi dapat dibangun secara rekursif.

Distribusi zero-truncated (ZT) — hubungan dengan $(a,b,0)$ :

p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots, \qquad p_0^T = 0

Label: ZT adalah kondisional: $p_k^T = P(N = k \mid N > 0)$ — probabilitas kelas $(a,b,0)$ di-rescale agar total $= 1$ tanpa titik nol.

Relasi rekursif ZT untuk $k \geq 2$ :

p_k^T = \left(a + \frac{b}{k}\right) p_{k-1}^T, \quad k = 2, 3, \ldots

Label: Relasi rekursif tetap berlaku untuk $k \geq 2$ ; hanya titik awal yang berbeda ( $p_1^T$ , bukan $p_0^T$ ).

Distribusi zero-modified (ZM) — hubungan dengan ZT:

p_k^M = (1 - p_0^M)\, p_k^T = \frac{1 - p_0^M}{1 - p_0}\, p_k, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

Label: ZM adalah campuran antara massa di titik nol sebesar $p_0^M$ dan distribusi ZT untuk $k \geq 1$ .

Mean dan variansi ZT dari distribusi $(a,b,0)$ asal:

E[N^T] = \frac{E[N]}{1 - p_0}, \qquad E[(N^T)^2] = \frac{E[N^2]}{1 - p_0}

\text{Var}(N^T) = \frac{E[N^2]}{1-p_0} - \left(\frac{E[N]}{1-p_0}\right)^2

Label: Semua momen ZT diperoleh dari momen distribusi asal dibagi $(1-p_0)$ , kecuali variansi yang perlu penyesuaian.

Mean ZM:

E[N^M] = (1 - p_0^M)\, E[N^T] = \frac{(1 - p_0^M)\, E[N]}{1 - p_0}

Label: Mean ZM = bobot massa pada distribusi ZT dikalikan mean ZT.

Asumsi Eksplisit

$N$ adalah variabel acak diskrit non-negatif dengan support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ untuk kelas $(a,b,0)$ , dan $\{1, 2, 3, \ldots\}$ untuk ZT.
Parameter $a$ dan $b$ harus memenuhi syarat agar probabilitas tetap positif dan summable: untuk Binomial $n$ harus integer positif; untuk Poisson $\lambda > 0$ ; untuk NegBin $r > 0$ , $\beta > 0$ .
Untuk ZT dan ZM: distribusi asal $(a,b,0)$ harus memiliki $p_0 < 1$ agar ZT dapat terdefinisi.
Untuk ZM: $0 \leq p_0^M \leq 1$ ; nilai $p_0^M = 0$ menghasilkan ZT; nilai $p_0^M = p_0^{(a,b,0)}$ menghasilkan distribusi asli tidak termodifikasi.
Kelas $(a,b,1)$ mencakup ZT dan ZM — keduanya memenuhi relasi rekursif yang sama untuk $k \geq 2$ , tetapi $p_1$ tidak harus memenuhi relasi tersebut relatif terhadap $p_0$ .

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus — Mengapa Relasi

p_k/p_{k-1} = a + b/k

?›

Ide di balik kelas $(a,b,0)$ adalah mencari distribusi diskrit yang memiliki rasio probabilitas berturutan berbentuk linear dalam $1/k$ . Ini bukan arbitrary — ini adalah kondisi paling sederhana yang menghasilkan keluarga distribusi yang cukup kaya. Perhatikan bahwa:

Jika $a = 0$ : rasio $p_k/p_{k-1} = b/k$ , maka $p_k = p_{k-1} \cdot \lambda/k$ → ini persis PMF Poisson dengan $\lambda = b$ .
Jika $a < 0$ : rasio semakin kecil semakin cepat seiring $k$ naik → ekor menurun cepat → ini adalah Binomial yang memiliki support terbatas.
Jika $a > 0$ : rasio tidak turun secepat Poisson → ekor lebih berat → ini adalah Negatif Binomial yang overdispersed.

Jadi, parameter $a$ mengendalikan berat ekor: $a = 0$ adalah boundary antara light-tail (Binomial) dan heavy-tail (NegBin). Parameter $b$ bersama $a$ menentukan mean distribusi.

◈Support dan Domain›

Kelas $(a,b,0)$ : support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ . $p_0$ tidak nol dan ditentukan dari normalisasi. Ini berbeda dengan $(a,b,1)$ di mana $p_0$ bisa bebas.
Untuk Binomial $(n, q)$ : support terbatas $\{0, 1, \ldots, n\}$ — relasi rekursif hanya berlaku sampai $k = n$ . Untuk $k > n$ , $p_k = 0$ karena $a + b/k = -q/(1-q) + (n+1)q/((1-q)k)$ menjadi negatif untuk $k > n$ .
Kelas $(a,b,1)$ : relasi rekursif berlaku mulai $k = 2$ — titik $k = 1$ adalah “titik awal bebas” yang tidak terikat oleh relasi tersebut. Inilah mengapa $(a,b,1)$ lebih fleksibel dari $(a,b,0)$ .

Derivasi: Membuktikan Poisson adalah Anggota $(a,b,0)$ dengan $a=0$ , $b=\lambda$

Langkah 1 — PMF Poisson:

p_k = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

Langkah 2 — Hitung rasio $p_k / p_{k-1}$ :

\frac{p_k}{p_{k-1}} = \frac{e^{-\lambda} \lambda^k / k!}{e^{-\lambda} \lambda^{k-1} / (k-1)!} = \frac{\lambda^k}{k!} \cdot \frac{(k-1)!}{\lambda^{k-1}} = \frac{\lambda}{k}

Langkah 3 — Cocokkan dengan relasi $(a,b,0)$ :

\frac{p_k}{p_{k-1}} = \frac{\lambda}{k} = 0 + \frac{\lambda}{k} = a + \frac{b}{k}

Jadi $a = 0$ , $b = \lambda$ . ∎

Derivasi: Membangun Distribusi Zero-Truncated dari $(a,b,0)$

Langkah 1 — Distribusi asal: $\{p_0, p_1, p_2, \ldots\}$ dengan $\sum_{k=0}^\infty p_k = 1$ .

Langkah 2 — Tujuan: distribusi baru $\{p_k^T\}$ dengan $p_0^T = 0$ dan $\sum_{k=1}^\infty p_k^T = 1$ .

Langkah 3 — Syarat normalisasi: karena total massa yang tersisa setelah menghapus $p_0$ adalah $1 - p_0$ , maka untuk memulihkan normalisasi:

p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

Langkah 4 — Verifikasi relasi rekursif untuk $k \geq 2$ :

\frac{p_k^T}{p_{k-1}^T} = \frac{p_k / (1-p_0)}{p_{k-1} / (1-p_0)} = \frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}

Relasi $(a,b,0)$ diwarisi langsung ke ZT untuk $k \geq 2$ . ∎ Perhatikan bahwa untuk $k = 1$ : $p_1^T / p_0^T$ tidak terdefinisi karena $p_0^T = 0$ — itulah mengapa $(a,b,1)$ hanya menuntut relasi berlaku untuk $k \geq 2$ .

Derivasi: Membangun Zero-Modified dari ZT

Langkah 1 — Mulai dari ZT: $\{p_k^T\}_{k=1}^\infty$ dengan $\sum_{k=1}^\infty p_k^T = 1$ .

Langkah 2 — Tentukan bobot massa baru di titik nol: $p_0^M \in [0, 1)$ .

Langkah 3 — Distribusi ZM: massa $p_0^M$ di titik nol, dan massa $(1 - p_0^M)$ dibagi ke $k \geq 1$ proporsional dengan ZT:

p_k^M = (1 - p_0^M)\, p_k^T = \frac{(1 - p_0^M)}{1 - p_0}\, p_k, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

Langkah 4 — Verifikasi normalisasi:

p_0^M + \sum_{k=1}^\infty p_k^M = p_0^M + (1 - p_0^M)\underbrace{\sum_{k=1}^\infty p_k^T}_{=1} = p_0^M + 1 - p_0^M = 1 \checkmark

✘Dilarang›

Jangan gunakan relasi rekursif $(a,b,0)$ untuk $k=1$ pada distribusi ZT — relasi $p_1^T / p_0^T$ tidak terdefinisi karena $p_0^T = 0$ . Untuk menghitung $p_1^T$ , gunakan $p_1^T = p_1 / (1 - p_0)$ secara langsung, bukan relasi rekursif.
Jangan bingung antara ZT dan ZM — ZT adalah kasus khusus ZM dengan $p_0^M = 0$ . ZM dengan $p_0^M = p_0^{(a,b,0)}$ adalah distribusi asal tak termodifikasi. Jangan menganggap keduanya sama atau saling menggantikan tanpa alasan.
Jangan substitusi parameter $(a,b)$ distribusi lain ke formula Poisson — setiap anggota $(a,b,0)$ memiliki formula $p_0$ yang berbeda. Hitung $p_0$ dari formula distribusi asal, baru gunakan relasi rekursif untuk $p_1, p_2, \ldots$

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Distribusi frekuensi klaim $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 3)$ . Verifikasi bahwa Poisson termasuk kelas $(a,b,0)$ dengan mengidentifikasi $a$ dan $b$ , lalu hitung $p_0$ , $p_1$ , $p_2$ , $p_3$ menggunakan relasi rekursif Panjer.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Identifikasi $a$ dan $b$ dari tabel klasifikasi, lalu bangun distribusi secara rekursif dari $p_0$ .

1. Identifikasi Variabel

$N \sim \text{Poisson}(\lambda = 3)$
Kelas $(a,b,0)$ : $a = 0$ , $b = \lambda = 3$
$p_0 = e^{-\lambda} = e^{-3}$

2. Identifikasi Distribusi / Model Poisson adalah anggota $(a,b,0)$ dengan $a = 0$ . Relasi rekursif: $p_k = (b/k)\, p_{k-1} = (3/k)\, p_{k-1}$ .

3. Setup Persamaan

p_k = \left(0 + \frac{3}{k}\right) p_{k-1} = \frac{3}{k}\, p_{k-1}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

p_0 = e^{-3} \approx 0.049787

4. Eksekusi Aljabar

p_1 = \frac{3}{1} \cdot p_0 = 3\, e^{-3} \approx 0.14936

p_2 = \frac{3}{2} \cdot p_1 = \frac{3}{2} \cdot 3\, e^{-3} = \frac{9}{2}\, e^{-3} \approx 0.22404

p_3 = \frac{3}{3} \cdot p_2 = 1 \cdot \frac{9}{2}\, e^{-3} = \frac{9}{2}\, e^{-3} \approx 0.22404

Cross-check via formula Poisson: $p_3 = e^{-3} \cdot 3^3 / 3! = e^{-3} \cdot 27/6 = 4.5\, e^{-3}$ ✓

5. Verification $p_0 + p_1 + p_2 + p_3 + \ldots = 1$ . Perhatikan $p_2 = p_3$ : untuk Poisson $(3)$ , mode adalah di $k = 2$ dan $k = 3$ (mode ganda untuk $\lambda$ integer). Ini konsisten karena $p_3/p_2 = a + b/3 = 0 + 1 = 1$ tepat.

Hasil: $a = 0$ , $b = 3$ ; $p_0 \approx 0.0498$ , $p_1 \approx 0.1494$ , $p_2 \approx 0.2240$ , $p_3 \approx 0.2240$ .

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2–3 menit. Common trap: Lupa bahwa $p_0 = e^{-\lambda}$ harus dihitung dulu sebelum rekursi dimulai — jangan mulai rekursi dari $p_1$ tanpa anchor $p_0$ . Shortcut: Untuk Poisson, $p_k = (\lambda/k) \cdot p_{k-1}$ . Untuk $k = \lambda$ (integer): $p_k = p_{k-1}$ tepat, sehingga mode terjadi pada $k = \lambda - 1$ dan $k = \lambda$ (mode ganda).

Soal B — Exam-Typical

Distribusi frekuensi klaim $N$ memiliki distribusi Negatif Binomial dengan $r = 2$ dan $\beta = 1.5$ . Bentuk distribusi zero-truncated $N^T$ . Hitung $p_1^T$ , $p_2^T$ , $p_3^T$ , $E[N^T]$ , dan $\text{Var}(N^T)$ .

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Hitung parameter $(a,b)$ NegBin, lalu bangun ZT dengan $p_k^T = p_k / (1 - p_0)$ dan gunakan relasi rekursif untuk $k \geq 2$ .

1. Identifikasi Variabel

$N \sim \text{NegBin}(r = 2, \beta = 1.5)$
$a = \beta/(1+\beta) = 1.5/2.5 = 0.6$
$b = (r-1)\beta/(1+\beta) = (1)(1.5)/2.5 = 0.6$
$p_0 = (1+\beta)^{-r} = (2.5)^{-2} = 1/6.25 = 0.16$
$E[N] = r\beta = 2 \times 1.5 = 3$
$E[N^2] = \text{Var}(N) + [E[N]]^2 = r\beta(1+\beta) + (r\beta)^2 = 2(1.5)(2.5) + 9 = 7.5 + 9 = 16.5$

2. Identifikasi Distribusi / Model NegBin termasuk kelas $(a,b,0)$ dengan $a = 0.6 > 0$ (heavy-tail relatif Poisson). ZT diperoleh dengan me-rescale semua $p_k$ untuk $k \geq 1$ agar total $= 1$ .

3. Setup Persamaan

p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0} = \frac{p_k}{1 - 0.16} = \frac{p_k}{0.84}, \quad k \geq 1

p_k^T = \left(0.6 + \frac{0.6}{k}\right) p_{k-1}^T = \frac{0.6(k+1)}{k}\, p_{k-1}^T, \quad k \geq 2

4. Eksekusi Aljabar

Hitung $p_1$ dari relasi $(a,b,0)$ :

p_1 = \left(0.6 + \frac{0.6}{1}\right) p_0 = 1.2 \times 0.16 = 0.192

p_1^T = \frac{0.192}{0.84} = \frac{0.192}{0.84} \approx 0.22857

Lanjutkan rekursif ZT untuk $k \geq 2$ :

p_2^T = \left(0.6 + \frac{0.6}{2}\right) p_1^T = 0.9 \times 0.22857 \approx 0.20571

p_3^T = \left(0.6 + \frac{0.6}{3}\right) p_2^T = 0.8 \times 0.20571 \approx 0.16457

Momen ZT:

E[N^T] = \frac{E[N]}{1 - p_0} = \frac{3}{0.84} \approx 3.5714

E[(N^T)^2] = \frac{E[N^2]}{1-p_0} = \frac{16.5}{0.84} \approx 19.643

\text{Var}(N^T) = 19.643 - (3.5714)^2 = 19.643 - 12.755 \approx 6.888

5. Verification $E[N^T] = 3.571 > E[N] = 3$ : ZT memiliki mean lebih besar karena massa di titik nol dihapus dan didistribusi ulang ke nilai positif. Konsisten secara intuitif. Cross-check: $p_1^T > p_2^T > p_3^T$ ✓ (distribusi unimodal menurun untuk $\beta < 1/(r-1)$ … atau cukup verifikasi probabilitas positif dan menurun secara wajar).

Hasil: $p_1^T \approx 0.2286$ , $p_2^T \approx 0.2057$ , $p_3^T \approx 0.1646$ ; $E[N^T] \approx 3.571$ , $\text{Var}(N^T) \approx 6.888$ .

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4–5 menit. Common trap: Menerapkan relasi rekursif ZT mulai dari $k = 1$ dengan $p_0^T = 0$ sebagai anchor — ini menghasilkan $p_1^T = (a + b) \cdot 0 = 0$ , yang salah! Selalu hitung $p_1^T = p_1 / (1-p_0)$ secara langsung, baru gunakan rekursi dari $k=2$ ke atas. Shortcut: Hafal formula momen ZT: $E[N^T] = E[N] / (1-p_0)$ — tidak perlu menghitung ulang dari definisi ekspektasi.

Soal C — Challenging

Sebuah portofolio asuransi jiwa memiliki distribusi frekuensi klaim zero-modified berdasarkan Poisson $(\lambda = 2)$ , dengan probabilitas nol klaim yang dimodifikasi menjadi $p_0^M = 0.40$ . Hitung: (a) nilai $p_0$ Poisson asli, (b) $p_1^M$ , $p_2^M$ , $p_3^M$ , (c) $E[N^M]$ , dan (d) interpretasikan apakah ini kasus zero-inflated atau zero-deflated.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Bangun ZT Poisson dulu, lalu terapkan ZM dengan $p_0^M = 0.40$ . Bandingkan $p_0^M$ dengan $p_0^{Poisson}$ untuk menentukan inflasi/deflasi.

1. Identifikasi Variabel

Distribusi dasar: $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 2)$ ; $a = 0$ , $b = 2$
$p_0 = e^{-2} \approx 0.13534$
$p_0^M = 0.40$ (diberikan)
$E[N] = \lambda = 2$ , $1 - p_0 = 1 - e^{-2} \approx 0.86466$

2. Identifikasi Distribusi / Model Karena $p_0^M = 0.40 > p_0 = 0.1353$ , ini adalah kasus zero-inflated — lebih banyak polis dengan nol klaim dari yang diprediksi Poisson. Distribusi ZM termasuk kelas $(a,b,1)$ .

3. Setup Persamaan

p_k^M = \frac{1 - p_0^M}{1 - p_0}\, p_k = \frac{1 - 0.40}{1 - e^{-2}}\, p_k = \frac{0.60}{0.86466}\, p_k, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

E[N^M] = \frac{(1 - p_0^M)\, E[N]}{1 - p_0} = \frac{0.60 \times 2}{0.86466}

4. Eksekusi Aljabar

Faktor skala: $\frac{1-p_0^M}{1-p_0} = \frac{0.60}{0.86466} \approx 0.69393$

Hitung $p_k$ Poisson asli terlebih dahulu:

p_1 = 2\, e^{-2} \approx 0.27067, \quad p_2 = 2\, e^{-2} \approx 0.27067, \quad p_3 = \frac{4}{3}\, e^{-2} \approx 0.18045

ZM:

p_1^M = 0.69393 \times 0.27067 \approx 0.18782

p_2^M = 0.69393 \times 0.27067 \approx 0.18782

p_3^M = 0.69393 \times 0.18045 \approx 0.12521

Mean ZM:

E[N^M] = \frac{0.60 \times 2}{0.86466} \approx \frac{1.20}{0.86466} \approx 1.38795

Verifikasi via ZT: $E[N^T] = E[N]/(1-p_0) = 2/0.86466 \approx 2.3132$ , maka $E[N^M] = (1-p_0^M) \times E[N^T] = 0.60 \times 2.3132 \approx 1.3879$ ✓

5. Verification Normalisasi: $p_0^M + p_1^M + p_2^M + p_3^M + \ldots = 0.40 + 0.60 \times \sum_{k=1}^\infty p_k^T = 0.40 + 0.60 \times 1 = 1.00$ ✓. $E[N^M] = 1.388 < E[N] = 2$ : mean turun karena massa besar di titik nol menarik ekspektasi ke bawah. Ini konsisten: zero-inflation mengurangi mean.

Hasil: $p_0 = e^{-2} \approx 0.1353$ ; $p_1^M \approx 0.1878$ , $p_2^M \approx 0.1878$ , $p_3^M \approx 0.1252$ ; $E[N^M] \approx 1.388$ . Ini adalah kasus zero-inflated karena $p_0^M = 0.40 > p_0 = 0.135$ .

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5–6 menit. Common trap: Mengalikan $p_k^M = (1 - p_0^M) \cdot p_k$ alih-alih menggunakan faktor $(1-p_0^M)/(1-p_0) \cdot p_k$ — kesalahan ini menghasilkan $\sum p_k^M \neq 1$ karena $\sum_{k=1}^\infty p_k = 1 - p_0 \neq 1$ . Shortcut: Hitung faktor skala $c = (1-p_0^M)/(1-p_0)$ sekali, lalu kalikan semua $p_k$ dengan $c$ . Cek akhir: $p_0^M + c \times (1-p_0) = p_0^M + (1-p_0^M) = 1$ ✓.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-check Normalisasi ZT dan ZM›

Selalu verifikasi:

\sum_{k=1}^\infty p_k^T = 1 \quad \Leftrightarrow \quad \sum_{k=1}^\infty \frac{p_k}{1-p_0} = \frac{1-p_0}{1-p_0} = 1

Untuk ZM:

p_0^M + \sum_{k=1}^\infty p_k^M = p_0^M + (1-p_0^M)\sum_{k=1}^\infty p_k^T = p_0^M + (1-p_0^M) = 1

Jika jumlah probabilitas yang dihitung tidak sama dengan 1, kesalahan ada di faktor normalisasi.

✓Cross-check Mean ZT vs Mean Asal›

Selalu periksa arah perubahan mean:

E[N^T] = \frac{E[N]}{1-p_0} > E[N] \quad \text{(selalu lebih besar, karena } 1-p_0 < 1\text{)}

E[N^M] = \frac{(1-p_0^M) E[N]}{1-p_0} \;\begin{cases} > E[N] & \text{jika } p_0^M < p_0 \text{ (zero-deflated)} \\ = E[N] & \text{jika } p_0^M = p_0 \text{ (tidak termodifikasi)} \\ < E[N] & \text{jika } p_0^M > p_0 \text{ (zero-inflated)} \end{cases}

Ini adalah intuition-check wajib: zero-inflation selalu mengurangi mean dari distribusi asalnya.

Metode Alternatif

Untuk menghitung $p_1^T$ distribusi ZT Negatif Binomial $(r, \beta)$ , bisa juga langsung via:

p_1^T = \frac{p_1}{1 - p_0} = \frac{r \cdot \frac{\beta}{1+\beta} \cdot (1+\beta)^{-r}}{1 - (1+\beta)^{-r}} = \frac{r\beta (1+\beta)^{-r-1}}{1-(1+\beta)^{-r}}

Namun cara paling efisien di ujian tetap: hitung $p_1$ dari relasi rekursif $(a,b,0)$ dulu ( $p_1 = (a+b) p_0$ ), lalu bagi dengan $(1 - p_0)$ .

Section 6 — Visualisasi Mental

Diagram hierarki kelas distribusi:

                    SEMUA DISTRIBUSI DISKRIT
                             │
              ┌──────────────┴──────────────┐
              │                             │
         Kelas (a,b,0)              Kelas (a,b,1)
    [relasi berlaku k ≥ 1]       [relasi berlaku k ≥ 2]
              │                             │
    ┌─────────┼─────────┐         ┌─────────┴─────────┐
    │         │         │         │                   │
 Poisson  Binomial  NegBin    Zero-Truncated    Zero-Modified
 a=0,b=λ  a<0      a>0       (p₀ᵀ = 0)         (p₀ᴹ = bebas)
                              dari (a,b,0)        dari ZT
                              ÷(1-p₀)           × (1-p₀ᴹ)

Grafik perbandingan PMF: Poisson $(2)$ vs ZT-Poisson $(2)$ vs ZM-Poisson $(2)$ dengan $p_0^M = 0.4$ :

P(N=k)
0.30 |      ██ ██                ← Poisson asli
0.25 |      ██ ██
0.20 |   ██ ██ ██       ZT →    ██ ██          ← ZT (k≥1 saja)
0.15 |   ██ ██ ██              ██ ██ ██
0.10 |   ██ ██ ██ ██           ██ ██ ██ ██     ZM →  ██ ██
0.05 |   ██ ██ ██ ██                                  ██ ██ ██
     +---+--+--+--+--→ k       +--+--+--+--→ k       +--+--+--→ k
         0  1  2  3              1  2  3                0  1  2

     p₀ = 0.135  (kecil)      Tidak ada k=0        p₀ᴹ = 0.40  (besar)

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Batang di $k=0$ dihapus (ZT)	$p_k^T = p_k / (1-p_0)$ ; semua batang dinaikkan proporsional
Batang $k=0$ diperbesar (ZM zero-inflated)	$p_0^M > p_0$ ; batang $k \geq 1$ diperkecil proporsional
Slope menurun pada $a > 0$ (NegBin)	Ekor lebih berat: $p_k/p_{k-1} \to a > 0$ saat $k \to \infty$
Slope menurun cepat pada $a < 0$ (Binomial)	Ekor terpotong: $p_k = 0$ untuk $k > n$
Relasi rekursif = kemiringan log-PMF linear	$\ln(p_k) = \ln(p_{k-1}) + \ln(a + b/k)$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Parameter NegBin KPW vs konvensi lain: KPW menggunakan NegBin $(r, \beta)$ dengan $a = \beta/(1+\beta)$ , $b = (r-1)\beta/(1+\beta)$ , dan $p_0 = (1+\beta)^{-r}$ . Beberapa sumber menggunakan parameterisasi $(r, p)$ dengan $p = 1/(1+\beta)$ — ini mengubah nilai $a$ dan $b$ . Selalu verifikasi konvensi mana yang digunakan soal.
Parameter Binomial KPW: $a = -q/(1-q)$ , $b = (n+1)q/(1-q)$ . Perhatikan $a$ negatif untuk Binomial — ini sering mengejutkan kandidat. Verifikasi: $a + b = nq/(1-q) - q/(1-q) = (n-1)q/(1-q) = p_1/p_0$ ✓ menggunakan $p_1 = n q (1-q)^{n-1}$ dan $p_0 = (1-q)^n$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Relasi rekursif ZT dimulai dari $k=2$ , bukan $k=1$ : Untuk ZT, relasi $p_k^T / p_{k-1}^T = a + b/k$ hanya valid untuk $k \geq 2$ . Menggunakannya untuk $k=1$ (dengan $p_0^T = 0$ sebagai anchor) menghasilkan $p_1^T = 0$ — salah fatal.
Zero-inflated ≠ zero-modified: Zero-inflated adalah kasus khusus zero-modified di mana $p_0^M > p_0^{(a,b,0)}$ . Zero-modified juga mencakup zero-deflated ( $p_0^M < p_0$ ). Jangan gunakan keduanya sebagai sinonim.
$(a,b,0)$ adalah subkelas $(a,b,1)$ : Distribusi $(a,b,0)$ memenuhi relasi rekursif untuk semua $k \geq 1$ , termasuk $k=1$ . Kelas $(a,b,1)$ hanya menuntut $k \geq 2$ , sehingga $(a,b,0) \subset (a,b,1)$ .
Momen ZM tidak diperoleh dengan membagi $E[N]$ oleh $(1-p_0^M)$ : Rumus $E[N^M] = (1-p_0^M) E[N] / (1-p_0)$ , bukan $E[N]/(1-p_0^M)$ . Confusion ini sangat umum.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Distribusi zero-truncated Poisson $(2)$ ” — ini adalah distribusi ZT dengan distribusi dasar Poisson. Bukan Poisson $(2)$ yang dipotong pada nilai tertentu (seperti pemotongan dari atas). ZT hanya menghapus titik $k = 0$ .
“Tentukan apakah distribusi termasuk $(a,b,0)$ atau $(a,b,1)$ ” — jika $p_0 > 0$ dan relasi berlaku untuk semua $k \geq 1$ : termasuk $(a,b,0)$ . Jika $p_0 = 0$ atau relasi hanya berlaku untuk $k \geq 2$ : termasuk $(a,b,1)$ namun tidak $(a,b,0)$ .
“Klasifikasikan distribusi berdasarkan rasio $p_k/p_{k-1}$ ” — hitung rasio untuk beberapa nilai $k$ , lalu cari $a$ dan $b$ dari sistem persamaan $a + b/k_1 = r_1$ dan $a + b/k_2 = r_2$ . Identifikasi distribusi dari nilai $a$ yang diperoleh.

▲Red Flags›

Soal menyebut “zero-truncated” → ingat: $p_0^T = 0$ ; jangan gunakan relasi rekursif untuk $k=1$ ; hitung $p_1^T = p_1/(1-p_0)$ secara langsung
Soal menyebut “zero-modified” dengan $p_0^M$ diberikan → hitung faktor skala $c = (1-p_0^M)/(1-p_0)$ dulu, baru kalikan semua $p_k$ asli dengan $c$
Soal memberikan tabel $p_k$ dan meminta mengidentifikasi distribusi → hitung dua rasio $p_k/p_{k-1}$ untuk dua nilai $k$ berbeda, selesaikan sistem $2\times 2$ untuk $a$ dan $b$ , lalu cocokan dengan tabel klasifikasi
Soal menyebut “Panjer recursive formula” untuk model agregat → ini adalah aplikasi $(a,b,0)$ di Topik 4; lihat 4.5 Panjer Recursive Formula
Nilai $a > 0$ , $a = 0$ , atau $a < 0$ → langsung identifikasi: $a > 0$ = NegBin, $a = 0$ = Poisson, $a < 0$ = Binomial

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Relasi rekursif kelas $(a,b,0)$ :

\frac{p_k}{p_{k-1}} = a + \frac{b}{k}, \quad k = 1, 2, 3, \ldots

Tabel klasifikasi $(a,b,0)$ — tiga distribusi utama:

a = 0 \Rightarrow \text{Poisson}(\lambda = b)

a < 0 \Rightarrow \text{Binomial}(n, q): \; a = \frac{-q}{1-q}, \; b = \frac{(n+1)q}{1-q}

a > 0 \Rightarrow \text{NegBin}(r, \beta): \; a = \frac{\beta}{1+\beta}, \; b = \frac{(r-1)\beta}{1+\beta}

Zero-truncated dari $(a,b,0)$ :

p_k^T = \frac{p_k}{1 - p_0}, \quad k \geq 1; \qquad E[N^T] = \frac{E[N]}{1-p_0}

Zero-modified dari ZT:

p_k^M = \frac{1-p_0^M}{1-p_0}\, p_k, \quad k \geq 1; \qquad E[N^M] = \frac{(1-p_0^M)\, E[N]}{1-p_0}

Relasi kelas $(a,b,1)$ : Berlaku untuk $k \geq 2$ — ZT dan ZM keduanya termasuk $(a,b,1)$ .

Kapan Digunakan

Soal memberikan distribusi frekuensi dan meminta mengidentifikasi kelas $(a,b,0)$ → hitung rasio $p_k/p_{k-1}$ , cocokan dengan $a + b/k$
Soal meminta membangun distribusi dari relasi rekursif → tentukan $p_0$ , $a$ , $b$ , lalu rekursi
Soal menyebut “zero-truncated” atau “kondisional pada $N > 0$ ” → gunakan formula ZT
Soal menyebut “zero-modified”, “zero-inflated”, atau “zero-deflated” → gunakan formula ZM dengan $p_0^M$ yang diberikan
Soal menyebut formula Panjer (Topik 4) → relasi $(a,b,0)$ adalah basis dari Formula Rekursif Panjer; lihat 4.5 Panjer Recursive Formula

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Distribusi frekuensi yang tidak memiliki support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ tidak dapat langsung diklasifikasikan ke $(a,b,0)$ tanpa transformasi
Untuk distribusi campuran (mixed frequency) seperti Poisson-ETNB: tidak semua distribusi campuran termasuk $(a,b,0)$ ; lihat 2.4 Mixed Frequency Distributions
Jangan gunakan relasi rekursif ZT untuk $k=1$ — ini satu-satunya pengecualian yang tidak berlaku dalam $(a,b,1)$

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Distribusi frekuensi klaim N diberikan"] -->|"Hitung ratio p_k/p_(k-1)"| B["Apakah ratio = a + b/k untuk semua k >= 1?"]
    B -->|"Ya"| C["Termasuk kelas (a,b,0)"]
    B -->|"Hanya untuk k >= 2"| D["Termasuk kelas (a,b,1) saja<br>(ZT atau ZM)"]
    C -->|"a = 0"| E["Poisson: lambda = b"]
    C -->|"a < 0"| F["Binomial: n dan q dari a dan b"]
    C -->|"a > 0"| G["NegBin: r dan beta dari a dan b"]
    C -->|"Perlu ZT"| H["p_k^T = p_k / (1 - p_0)<br>Hati: p_1^T tidak dari rekursi!"]
    H -->|"Perlu ZM"| I["p_k^M = (1-p_0^M)/(1-p_0) * p_k<br>E[N^M] = (1-p_0^M)*E[N]/(1-p_0)"]
    I -->|"p_0^M > p_0"| J["Zero-inflated: E[N^M] < E[N]"]
    I -->|"p_0^M < p_0"| K["Zero-deflated: E[N^M] > E[N]"]

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal mengidentifikasi distribusi dari tabel $p_k$ yang diberikan menggunakan relasi $(a,b,0)$ ”
“Jelaskan hubungan 2.2 (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes dengan 4.5 Panjer Recursive Formula”
“Buat flashcard 1-halaman: tabel parameter $(a,b)$ tiga distribusi dan rumus ZT/ZM”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 6 | 🗓️ 2026-04-16 | #TA2 #ab0 #ab1 #Panjer #ModelFrekuensiKlaim