TA2 · Materi 2.5

Exposure Effect on Frequency

Medium Bobot: 5–10% Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 6 & 7.3–7.5

TA2FrequencyModelExposurePoissonNegativeBinomialTeoriRisiko

📊 2.5 — Exposure Effect on Frequency

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Exposure Effect on Frequency | Bobot: ~5–10% | Difficulty: Medium Ref: Klugman et al. (2019), Bab 6, 7.3–7.5 | Prereq: 2.1 Frequency MGF and PGF, 2.2 (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Frekuensi Klaim	2.5	Menjelaskan dan menghitung dampak exposure pada parameter distribusi frekuensi klaim	5–10%	Medium	2.1 Frequency MGF and PGF, 2.2 (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes	2.3 Frequency Model Selection, 2.4 Mixed Frequency Distributions, 4.1 Individual and Collective Risk Models	Klugman et al. (2019) Bab 6, 7.3–7.5

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan asuransi kendaraan bermotor. Polis pertama menanggung 1 unit motor selama 1 tahun penuh. Polis kedua menanggung 5 unit motor. Polis ketiga hanya menanggung 1 unit motor selama 6 bulan karena polisnya baru mulai pertengahan tahun. Apakah ketiga polis ini layak diperlakukan sama ketika kita memodelkan frekuensi klaim? Tentu tidak — jumlah klaim yang wajar diharapkan dari polis kedua jauh lebih tinggi dari polis pertama, dan polis ketiga hanya punya setengah tahun “kesempatan” untuk menghasilkan klaim.

Konsep exposure menangkap ukuran risiko yang sebenarnya ditanggung oleh setiap polis atau portofolio. Exposure bisa berupa jumlah kendaraan, jumlah karyawan, volume premi, atau durasi waktu tanggungan — intinya, satuan yang mengukur seberapa besar “ladang” tempat klaim bisa tumbuh. Semakin besar exposure, semakin banyak klaim yang diharapkan.

Pertanyaan inti topik ini adalah: jika kita tahu distribusi frekuensi klaim untuk satu unit exposure selama satu periode, bagaimana distribusi frekuensi berubah ketika exposure-nya berubah menjadi $m$ kali lipat? Jawabannya sangat elegan untuk distribusi Poisson, dan masih bisa dikelola untuk distribusi Negatif Binomial — dua workhorse utama pemodelan frekuensi dalam aktuaria nonlife.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Misalkan $N$ adalah jumlah klaim untuk satu unit exposure dalam satu periode referensi, dengan parameter distribusi $\boldsymbol{\theta}$ . Jika exposure aktual adalah $m > 0$ , maka distribusi frekuensi untuk exposure $m$ adalah distribusi dari variabel acak $N_m$ — yaitu total klaim dari $m$ unit exposure independen dan identik.

Simbol	Makna	Catatan
$N$	Jumlah klaim untuk 1 unit exposure	Variabel acak dasar
$m$	Besarnya exposure	$m > 0$ , bisa non-integer (misal 0.5 tahun)
$N_m$	Jumlah klaim untuk exposure $m$	$N_m = N_1 + N_2 + \cdots + N_m$ (untuk $m$ integer)
$\lambda$	Parameter rate Poisson per unit exposure	$\lambda > 0$
$r$	Parameter dispersi Negatif Binomial	$r > 0$
$\beta$	Parameter skala Negatif Binomial	$\beta > 0$
$P_N(z)$	PGF dari $N$	$P_N(z) = E[z^N]$

Rumus Utama

Kasus 1: Poisson dengan Parameter $\lambda$

Jika $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$ , maka untuk exposure $m$ :

N_m \sim \text{Poisson}(m\lambda)

Label: Parameter Poisson berskala linear dengan exposure.

Kasus 2: Negatif Binomial dengan Parameter $(r, \beta)$

Jika $N \sim \text{NegBin}(r, \beta)$ , maka untuk exposure $m$ :

N_m \sim \text{NegBin}(mr, \beta)

Label: Parameter $r$ berskala linear dengan exposure; $\beta$ tetap.

Mean dan Variansi setelah Scaling Exposure:

E[N_m] = m \cdot E[N], \qquad \text{Var}(N_m) = m \cdot \text{Var}(N)

Label: Untuk Poisson, mean = variansi = $m\lambda$ . Untuk NegBin, mean = $mr\beta$ , variansi = $mr\beta(1+\beta)$ .

Sifat PGF di bawah Scaling Exposure (untuk $m$ integer):

P_{N_m}(z) = \left[P_N(z)\right]^m

Label: PGF dari jumlah $m$ variabel iid adalah pangkat $m$ dari PGF tunggal.

Perluasan untuk $m$ non-integer (Poisson):

P_{N_m}(z) = e^{m\lambda(z-1)}

Label: Untuk Poisson, rumus ini berlaku untuk semua $m > 0$ real, bukan hanya integer.

Asumsi Eksplisit

Klaim dari setiap unit exposure bersifat independen satu sama lain.
Setiap unit exposure mengikuti distribusi frekuensi yang identik (homogen).
Exposure $m$ diasumsikan diketahui dengan pasti (non-stochastic), bukan variabel acak.
Untuk distribusi Negatif Binomial: perluasan ke $m$ non-integer dimungkinkan karena parameter $r$ menjadi $mr$ yang tetap positif real untuk semua $m > 0$ .
Distribusi Binomial tidak stabil terhadap perubahan exposure dalam cara yang sama — perlu hati-hati.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci seluruh topik ini adalah sifat reproductive (closure under convolution) dari distribusi Poisson dan Negatif Binomial. Jika $X_1, X_2, \ldots, X_m$ iid dengan distribusi tertentu, maka jumlah $S = X_1 + \cdots + X_m$ mengikuti distribusi dari famili yang sama — hanya parameternya yang berubah. Properti inilah yang membuat dua distribusi ini sangat berguna dalam pemodelan frekuensi: exposure bisa kita ubah-ubah tanpa harus keluar dari famili distribusi yang sama.

◈Support dan Domain›

$N_m$ memiliki support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ untuk semua $m > 0$ .
Untuk $m$ non-integer, definisi $N_m$ melalui PGF adalah yang paling umum digunakan, bukan melalui konvolusi fisik sejumlah variabel acak.
Negatif Binomial dengan $r$ non-integer tetap valid sebagai distribusi probabilitas yang proper.

Derivasi: Mengapa Poisson $(m\lambda)$ untuk Exposure $m$ ?

Langkah 1 — PGF Poisson dasar:

P_N(z) = E[z^N] = e^{\lambda(z-1)}

Langkah 2 — PGF untuk jumlah $m$ variabel Poisson iid (m integer):

Karena $N_m = N_1 + N_2 + \cdots + N_m$ dengan $N_i$ iid Poisson $(\lambda)$ :

P_{N_m}(z) = \prod_{i=1}^{m} P_{N_i}(z) = \left[e^{\lambda(z-1)}\right]^m = e^{m\lambda(z-1)}

Langkah 3 — Identifikasi distribusi:

PGF $e^{m\lambda(z-1)}$ adalah PGF dari distribusi Poisson dengan parameter $m\lambda$ . Oleh karena itu:

N_m \sim \text{Poisson}(m\lambda)

Langkah 4 — Perluasan ke $m$ non-integer:

Karena $e^{m\lambda(z-1)}$ adalah PGF yang valid untuk semua $m > 0$ real (menghasilkan probabilitas non-negatif yang berjumlah 1), kita dapat mendefinisikan distribusi frekuensi untuk exposure $m$ non-integer melalui PGF ini.

Derivasi: Mengapa NegBin $(mr, \beta)$ untuk Exposure $m$ ?

Langkah 1 — PGF Negatif Binomial $(r, \beta)$ :

P_N(z) = \left(\frac{1}{1 - \beta(z-1)}\right)^r = \left(\frac{1}{1+\beta-\beta z}\right)^r

Langkah 2 — PGF untuk jumlah $m$ variabel iid:

P_{N_m}(z) = \left[P_N(z)\right]^m = \left(\frac{1}{1+\beta-\beta z}\right)^{mr}

Langkah 3 — Identifikasi:

PGF $\left(\frac{1}{1+\beta-\beta z}\right)^{mr}$ adalah PGF dari NegBin $(mr, \beta)$ . Parameter $\beta$ tidak berubah; hanya $r$ yang berskala dengan $m$ .

✘Dilarang›

Jangan kalikan $\beta$ dengan $m$ — yang berskala hanya $r$ (untuk NegBin) atau $\lambda$ (untuk Poisson).
Jangan asumsikan distribusi Binomial $(n, p)$ stabil terhadap exposure — untuk exposure $m$ , distribusi Binomial $(mn, p)$ hanya valid jika $mn$ integer dan konteks individual risk model terpenuhi.
Jangan lupa bahwa sifat ini hanya berlaku jika unit-unit exposure independen dan identik — jika ada heterogenitas, gunakan mixed distributions (2.4 Mixed Frequency Distributions).

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah polis asuransi kendaraan bermotor memiliki frekuensi klaim yang mengikuti distribusi Poisson dengan rata-rata 0,3 klaim per tahun per kendaraan. Sebuah perusahaan menanggung armada 20 kendaraan selama 1 tahun penuh.

(a) Tentukan distribusi jumlah total klaim armada tersebut dalam 1 tahun.

(b) Hitung $P(N_{20} = 0)$ dan $E[N_{20}]$ .

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Terapkan sifat scaling Poisson — exposure $m = 20$ unit.

1. Identifikasi Variabel

$N \sim \text{Poisson}(\lambda = 0.3)$ per kendaraan per tahun
$m = 20$ kendaraan (exposure)
Target: distribusi $N_{20}$

2. Identifikasi Distribusi / Model Poisson bersifat reproductive: jumlah 20 variabel Poisson $(0.3)$ iid adalah Poisson $(20 \times 0.3)$ .

3. Setup Persamaan

N_{20} \sim \text{Poisson}(m\lambda) = \text{Poisson}(20 \times 0.3)

4. Eksekusi Aljabar

N_{20} \sim \text{Poisson}(6)

P(N_{20} = 0) = e^{-6} \cdot \frac{6^0}{0!} = e^{-6} \approx 0.00248

E[N_{20}] = 6, \qquad \text{Var}(N_{20}) = 6

5. Verification $E[N_{20}] = 20 \times E[N] = 20 \times 0.3 = 6$ ✓. Probabilitas nol klaim sangat kecil (~0.25%), masuk akal untuk armada 20 kendaraan.

Hasil: $N_{20} \sim \text{Poisson}(6)$ ; $P(N_{20}=0) \approx 0.00248$ ; $E[N_{20}] = 6$ .

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2 menit. Common trap: Mengalikan parameter dengan $m$ untuk NegBin tapi lupa $\beta$ tetap tidak berubah. Untuk Poisson, hanya $\lambda$ yang dikalikan $m$ . Shortcut: Langsung tulis $N_m \sim \text{Poisson}(m\lambda)$ , tidak perlu derivasi PGF.

Soal B — Exam-Typical

Frekuensi klaim per polis per tahun mengikuti distribusi Negatif Binomial dengan mean 0,4 dan variansi 0,6. Sebuah kelompok terdiri dari 15 polis setara. Tentukan:

(a) Parameter $(r, \beta)$ distribusi per polis.

(b) Distribusi frekuensi total kelompok tersebut.

(c) Mean dan standar deviasi total klaim kelompok.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Identifikasi parameter NegBin dari mean dan variansi, lalu terapkan scaling exposure.

1. Identifikasi Variabel

$E[N] = r\beta = 0.4$
$\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta) = 0.6$
$m = 15$ polis

2. Identifikasi Distribusi / Model NegBin dengan parameterisasi standar: mean $= r\beta$ , variansi $= r\beta(1+\beta)$ .

3. Setup Persamaan

\frac{\text{Var}(N)}{E[N]} = \frac{r\beta(1+\beta)}{r\beta} = 1 + \beta

4. Eksekusi Aljabar

1 + \beta = \frac{0.6}{0.4} = 1.5 \implies \beta = 0.5

r = \frac{E[N]}{\beta} = \frac{0.4}{0.5} = 0.8

Jadi $N \sim \text{NegBin}(r=0.8,\ \beta=0.5)$ per polis.

Untuk $m = 15$ polis:

N_{15} \sim \text{NegBin}(mr,\ \beta) = \text{NegBin}(15 \times 0.8,\ 0.5) = \text{NegBin}(12,\ 0.5)

E[N_{15}] = mr\beta = 12 \times 0.5 = 6

\text{Var}(N_{15}) = mr\beta(1+\beta) = 12 \times 0.5 \times 1.5 = 9

\text{SD}(N_{15}) = \sqrt{9} = 3

5. Verification $E[N_{15}] = 15 \times E[N] = 15 \times 0.4 = 6$ ✓. $\text{Var}(N_{15}) = 15 \times \text{Var}(N) = 15 \times 0.6 = 9$ ✓.

Hasil: Per polis: NegBin $(0.8,\ 0.5)$ . Kelompok: NegBin $(12,\ 0.5)$ ; mean $= 6$ , SD $= 3$ .

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 3–4 menit. Common trap: Mencoba mengalikan $\beta$ dengan $m$ — ini salah. Hanya $r$ yang dikalikan. Shortcut: Setelah dapat $\beta$ dari rasio variansi/mean, langsung hitung $r$ dari mean.

Soal C — Challenging

Sebuah portofolio terdiri dari dua kelompok polis. Kelompok A: 8 polis, masing-masing dengan frekuensi Poisson $(\lambda = 0.5)$ per tahun. Kelompok B: 5 polis, masing-masing dengan frekuensi Poisson $(\lambda = 0.8)$ per tahun. Semua polis independen.

(a) Tentukan distribusi total klaim portofolio $N_{tot} = N_A + N_B$ .

(b) Hitung $P(N_{tot} \leq 2)$ .

(c) Misalkan setiap polis Kelompok A hanya aktif selama 9 bulan dalam tahun tersebut (exposure $m = 0.75$ per polis). Tentukan ulang distribusi total klaim portofolio.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Manfaatkan additivitas Poisson dan sifat linear scaling exposure.

1. Identifikasi Variabel

Kelompok A: 8 polis × Poisson $(0.5)$ , exposure penuh
Kelompok B: 5 polis × Poisson $(0.8)$ , exposure penuh
Bagian (c): Kelompok A exposure $m = 0.75$ per polis

2. Identifikasi Distribusi / Model Poisson bersifat additive: jumlah variabel-variabel Poisson independen (dengan parameter berbeda sekalipun) adalah Poisson dengan total parameter.

3. Setup Persamaan

N_A \sim \text{Poisson}(8 \times 0.5), \qquad N_B \sim \text{Poisson}(5 \times 0.8)

N_{tot} = N_A + N_B \sim \text{Poisson}(\lambda_A + \lambda_B)

4. Eksekusi Aljabar

(a) Bagian reguler:

\lambda_A = 8 \times 0.5 = 4, \qquad \lambda_B = 5 \times 0.8 = 4

N_{tot} \sim \text{Poisson}(4 + 4) = \text{Poisson}(8)

(b) $P(N_{tot} \leq 2)$ :

P(N=0) = e^{-8} \approx 0.000335

P(N=1) = e^{-8} \cdot 8 \approx 0.002684

P(N=2) = e^{-8} \cdot \frac{64}{2} \approx 0.010735

P(N_{tot} \leq 2) \approx 0.000335 + 0.002684 + 0.010735 \approx 0.01375

(c) Kelompok A dengan exposure $m = 0.75$ per polis:

\lambda_A^{*} = 8 \times (0.75 \times 0.5) = 8 \times 0.375 = 3

N_{tot}^{*} \sim \text{Poisson}(3 + 4) = \text{Poisson}(7)

5. Verification Total exposure efektif Kelompok A = $8 \times 0.75 = 6$ unit-tahun. Rate per unit-tahun = 0.5. Total klaim expected = $6 \times 0.5 = 3$ ✓. Additivitas Poisson memastikan parameter hanya dijumlahkan.

Hasil: (a) Poisson $(8)$ ; (b) $\approx 1.375\%$ ; (c) Poisson $(7)$ .

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5 menit. Common trap: Lupa bahwa additivitas Poisson berlaku bahkan untuk parameter yang berbeda antar kelompok — selama independen, parameternya dijumlahkan langsung. Shortcut: Hitung total $m\lambda$ per kelompok terlebih dahulu, baru jumlahkan untuk mendapat parameter total.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cek Konsistensi Mean dan Variansi›

Untuk semua distribusi (bukan hanya Poisson dan NegBin):

E[N_m] = m \cdot E[N], \qquad \text{Var}(N_m) = m \cdot \text{Var}(N)

Ini berlaku karena $N_m$ adalah jumlah $m$ variabel iid. Jika hasil perhitungan Anda tidak memenuhi ini, ada kesalahan di parameterisasi.

✓Cek Rasio Variansi-Mean (Dispersion Index)›

Untuk Poisson: dispersion index $= \frac{\text{Var}(N_m)}{E[N_m]} = \frac{m\lambda}{m\lambda} = 1$ . Nilai ini tidak berubah dengan perubahan exposure.

Untuk NegBin: dispersion index $= 1 + \beta$ . Nilai ini juga tidak berubah karena $\beta$ tetap konstan saat exposure berubah.

Gunakan ini untuk verifikasi: jika dispersion index berubah, ada kesalahan dalam penskalaan parameter.

Metode Alternatif

Untuk menghitung distribusi $N_m$ tanpa mengidentifikasi family distribusi, gunakan PGF secara langsung:

P_{N_m}(z) = [P_N(z)]^m

kemudian identifikasi distribusi dari bentuk PGF yang dihasilkan. Ini berguna ketika distribusi dasar bukan Poisson atau NegBin standar.

Section 6 — Visualisasi Mental

Distribusi Poisson $(m\lambda)$ sebagai $m$ bertambah:

Saat $m = 1$ : distribusi terkonsentrasi di sekitar $\lambda$ , right-skewed untuk $\lambda$ kecil.
Saat $m$ bertambah: pusat distribusi bergeser ke kanan sebesar $\lambda$ per unit $m$ , distribusi melebar (SD tumbuh sebagai $\sqrt{m\lambda}$ ), skewness berkurang menuju bentuk lebih simetris (mendekati Normal untuk $m\lambda$ besar).
Sumbu X: jumlah klaim $\{0, 1, 2, \ldots\}$ . Sumbu Y: probabilitas. Puncak (mode) bergeser kanan seiring $m$ naik.

Distribusi NegBin $(mr, \beta)$ sebagai $m$ bertambah:

Mean tumbuh linear: $mr\beta$ .
Variansi tumbuh linear: $mr\beta(1+\beta)$ .
Overdispersion ratio $\frac{\text{Var}}{E} = 1+\beta$ konstan — ekor distribusi tetap lebih berat dari Poisson ekuivalen, tidak peduli besar $m$ .

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Pergeseran puncak ke kanan	$E[N_m] = m \cdot E[N]$
Pelebaran distribusi	$\text{SD}(N_m) = \sqrt{m} \cdot \text{SD}(N)$
Bentuk distribusi tetap sama (Poisson tetap Poisson)	Sifat reproductive: $P_{N_m}(z) = [P_N(z)]^m$
Overdispersion index tetap	$\beta$ tidak berubah untuk NegBin

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Negatif Binomial: Banyak kandidat mengalikan $\beta$ dengan $m$ padahal yang benar adalah mengalikan $r$ dengan $m$ . Ingat: $\beta$ adalah parameter skala per klaim, bukan per unit exposure. Yang berskala dengan exposure adalah jumlah sumber klaim yang direpresentasikan oleh $r$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

“Exposure harus integer” — Salah. Exposure $m = 0.5$ (6 bulan) atau $m = 2.3$ parfaitement valid, terutama untuk Poisson dan NegBin.
“Semua distribusi stabil terhadap exposure” — Salah. Hanya distribusi dengan sifat reproductive (Poisson, NegBin, Binomial dalam konteks tertentu) yang memberikan closure di bawah scaling; distribusi seperti Geometric atau Logaritmik tidak memiliki sifat ini secara langsung.
“Scaling exposure sama dengan scaling parameter sembarangan” — Salah. Hanya parameter yang secara fisik merepresentasikan jumlah sumber klaim (yaitu $r$ di NegBin, $\lambda$ di Poisson) yang berskala. Parameter bentuk ( $\beta$ ) tidak berubah.
“Additivitas Poisson hanya berlaku untuk parameter yang sama” — Salah. Jumlah variabel Poisson independen dengan parameter berbeda ( $\lambda_1, \lambda_2, \ldots$ ) adalah Poisson $(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Per polis per tahun” vs “per tahun total” — Pastikan $\lambda$ atau $(r, \beta)$ dalam soal adalah parameter per unit exposure, bukan total. Jika soal menyebut “rata-rata portofolio”, bisa jadi sudah mencerminkan total exposure.
“Exposure dalam unit berbeda” — Jika $\lambda$ dinyatakan per kendaraan-bulan dan exposure dalam kendaraan-tahun, konversi dulu ke unit yang konsisten sebelum scaling.

▲Red Flags›

Kata “armada”, “kelompok polis”, “m kendaraan”, “n pekerja” → trigger exposure scaling.
Kata “setengah tahun”, “9 bulan”, “periode tidak penuh” → exposure $m < 1$ , Poisson $(m\lambda)$ .
Soal memberikan mean dan variansi distribusi frekuensi → hitung $\beta = \frac{\text{Var}}{E} - 1$ , lalu $r = \frac{E}{\beta}$ sebelum scaling.
NegBin dengan $r$ = integer kecil (1, 2, 3) → periksa apakah ini sebenarnya distribusi Geometric ( $r=1$ ) atau distribusi lain yang memiliki nama khusus.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Poisson scaling: $N \sim \text{Poisson}(\lambda) \Rightarrow N_m \sim \text{Poisson}(m\lambda)$
NegBin scaling: $N \sim \text{NegBin}(r, \beta) \Rightarrow N_m \sim \text{NegBin}(mr, \beta)$ — hanya $r$ yang berubah
Mean dan variansi: $E[N_m] = m \cdot E[N]$ ; $\text{Var}(N_m) = m \cdot \text{Var}(N)$
PGF rule (umum): $P_{N_m}(z) = [P_N(z)]^m$ — berlaku untuk semua distribusi dengan iid unit exposure
Dispersion index tetap: $\frac{\text{Var}(N_m)}{E[N_m]}$ tidak berubah dengan perubahan $m$

Kapan Digunakan

Soal menyebutkan portofolio dengan lebih dari satu polis atau lebih dari satu unit risiko yang homogen.
Soal menyebutkan periode waktu yang berbeda dari parameter yang diberikan (e.g., parameter per bulan, tapi exposure 1 tahun).
Soal memberikan parameter per unit exposure dan meminta distribusi total untuk $m$ unit.
Konteks: armada kendaraan, grup pekerja, kumpulan properti, polis dengan berbagai durasi aktif.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Unit-unit exposure tidak identik (heterogenitas) → gunakan 2.4 Mixed Frequency Distributions.
Unit-unit exposure tidak independen → perlu model korelasi, di luar scope TA2.
Distribusi bukan Poisson atau NegBin dan soal meminta bentuk distribusi eksplisit (bukan hanya mean/variansi) → verifikasi sifat reproductive distribusi tersebut dahulu.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Ada soal frekuensi<br>dengan exposure m?"] -->|"Ya"| B["Apa distribusi<br>per unit exposure?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Topik lain"]
    B -->|"Poisson(λ)"| C["N_m ~ Poisson(mλ)<br>Kalikan λ dengan m"]
    B -->|"NegBin(r, β)"| D["N_m ~ NegBin(mr, β)<br>Kalikan r dengan m<br>β tetap"]
    B -->|"Distribusi lain"| E["Gunakan PGF:<br>P_Nm = [P_N]^m<br>Identifikasi famili"]
    C --> F["Hitung mean = mλ<br>Var = mλ"]
    D --> G["Hitung mean = mrβ<br>Var = mrβ(1+β)"]
    E --> H["Cek apakah famili<br>tertutup terhadap<br>konvolusi"]

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal variasi di mana exposure berbeda antar polis dalam satu portofolio”
“Jelaskan hubungan 2.5 Exposure Effect on Frequency dengan 2.4 Mixed Frequency Distributions dalam konteks mixed Poisson”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 6 & 7.3–7.5 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #FrequencyModel #Exposure