📊 3.1 — Coverage Modifications on Severity and Frequency

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Coverage Modifications on Severity and Frequency | Bobot: ~5–10% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019), Loss Models 5th ed., Bab 8 | Prereq: 1.4 Tail Characteristics, 2.2 (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Besar Klaim & Frekuensi dengan Modifikasi Coverage	3.1	Menentukan distribusi besar klaim dan frekuensi klaim yang termodifikasi akibat deductible, policy limit, dan koasuransi; menghitung mean dan momen variabel yang termodifikasi	5–10%	Calculation-Intensive	1.4 Tail Characteristics, 2.2 (a,b,0) and (a,b,1) Distribution Classes	3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation, 4.3 Mean Variance and Stop-Loss, 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models	Klugman et al. (2019) Bab 8

Section 1 — Intuisi

Ketika seseorang membeli asuransi kendaraan bermotor di Indonesia, polis yang mereka dapatkan jarang sekali memberikan penggantian penuh atas seluruh kerugian tanpa syarat. Hampir selalu ada deductible — misalnya pemegang polis menanggung sendiri kerugian hingga lima juta rupiah pertama. Ada policy limit — perusahaan asuransi hanya mengganti maksimal seratus juta rupiah, berapapun kerugian sesungguhnya. Dan ada koasuransi — pemegang polis berbagi persentase tertentu dari kerugian bersama perusahaan. Semua ketentuan ini disebut coverage modifications, dan mereka mengubah secara fundamental apa yang sebenarnya dibayarkan oleh penanggung.

Dari perspektif aktuaria, coverage modifications menciptakan dua perspektif analisis yang berbeda. Perspektif “ground-up loss” ($X$) melihat besarnya kerugian aktual yang terjadi — ini adalah loss yang sesungguhnya dialami pemegang polis sebelum filter polis berlaku. Perspektif “payment variable” melihat apa yang benar-benar dibayarkan oleh penanggung — besarnya bisa lebih kecil, bisa nol, tapi tidak pernah lebih besar dari kerugian aktual. Perbedaan ini sangat krusial: seorang aktuaris harus mampu bergerak antara kedua perspektif ini dengan mulus, karena data klaim yang tersedia di perusahaan asuransi adalah data pembayaran (payment), bukan data ground-up loss yang sebenarnya.

Yang membuat topik ini calculation-intensive adalah bahwa setiap modifikasi coverage tidak hanya mengubah distribusi besar klaim (severity), tetapi juga mengubah distribusi frekuensi klaim (frequency). Deductible yang tinggi, misalnya, berarti banyak kejadian kerugian kecil yang tidak dilaporkan karena tidak memenuhi ambang deductible — frekuensi klaim yang tercatat menjadi lebih rendah dari frekuensi kejadian kerugian sesungguhnya. Memahami hubungan antara kedua efek ini adalah inti dari topik 3.1.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Tiga Jenis Coverage Modification›

Misalkan $X$ adalah ground-up loss dengan CDF $F_X(x)$ dan PDF $f_X(x)$.

Ordinary Deductible $d$: Penanggung membayar $\max(X - d,\, 0)$.

Policy Limit $u$: Penanggung membayar paling banyak $u$.

Coinsurance $\alpha$: Penanggung membayar proporsi $\alpha \in (0,1]$ dari loss yang berlaku.

Jika ketiga modifikasi diterapkan sekaligus (dengan limit $u$ pada loss setelah deductible):

$$Y^L = \alpha \cdot \min(X - d,\, u) \cdot \mathbf{1}_{X > d}$$

Simbol	Makna	Catatan
$X$	Ground-up loss (kerugian aktual)	$X \geq 0$, distribusi kontinu
$d$	Ordinary deductible	$d \geq 0$; pemegang polis menanggung kerugian $\leq d$
$u$	Maximum covered loss / policy limit	Limit pada loss setelah deductible: $0 < u \leq \infty$
$\alpha$	Coinsurance factor	$0 < \alpha \leq 1$; penanggung membayar fraksi $\alpha$
$Y^L$	Per-loss variable	Pembayaran per kejadian (termasuk kejadian dengan pembayaran nol)
$Y^P$	Per-payment variable	Pembayaran per klaim yang dilaporkan ($X > d$)
$e(d)$	Mean excess loss function	$e(d) = E(X - d \mid X > d)$
$S_X(x)$	Survival function dari $X$	$S_X(x) = 1 - F_X(x)$
$N$	Frekuensi ground-up (jumlah kejadian kerugian)	Mungkin tidak teramati seluruhnya
$N^*$	Frekuensi klaim yang dilaporkan ($X > d$)	Yang teramati oleh penanggung

Rumus Utama

Per-loss variable (dengan ordinary deductible $d$ saja):

$$Y^L = \begin{cases} 0 & X \leq d \\ X - d & X > d \end{cases}$$

Label: $Y^L$ memiliki massa probabilitas di nol sebesar $F_X(d)$; distribusi campuran (mixed).

Per-payment variable (excess loss variable):

$$Y^P = X - d \mid X > d$$

Label: $Y^P$ adalah distribusi bersyarat — hanya mengamati loss yang melebihi deductible.

Hubungan mean $Y^L$ dan $Y^P$:

$$E(Y^L) = S_X(d) \cdot E(Y^P) = S_X(d) \cdot e(d)$$

Label: $E(Y^L)$ adalah limited expected value dikurangi penyesuaian; gunakan $E(X \wedge d) = \int_0^d S_X(x)\,dx$.

Ekspresi eksplisit mean per-loss:

$$E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d) = \int_d^\infty S_X(x)\,dx$$

Label: Selisih antara mean ground-up loss dan limited expected value di $d$.

Mean per-payment (mean excess loss):

$$E(Y^P) = e(d) = \frac{E(X) - E(X \wedge d)}{S_X(d)} = \frac{\int_d^\infty S_X(x)\,dx}{S_X(d)}$$

Label: Rata-rata klaim yang dibayarkan, diberikan bahwa klaim melebihi deductible.

Limited expected value (LEV):

$$E(X \wedge u) = \int_0^u S_X(x)\,dx$$

Label: Fundamental untuk menghitung mean pembayaran dengan policy limit $u$.

Per-payment variable dengan deductible $d$ dan limit $u$ (pada loss):

$$Y^P = \min(X - d,\, u) \mid X > d$$ $$E(Y^P) = \frac{E(X \wedge (d+u)) - E(X \wedge d)}{S_X(d)}$$

Label: Limit $u$ pada pembayaran ekuivalen dengan limit $d + u$ pada loss ground-up.

Dengan koasuransi $\alpha$:

$$E(Y^P) = \alpha \cdot \frac{E(X \wedge (d+u)) - E(X \wedge d)}{S_X(d)}$$

Label: Faktor koasuransi $\alpha$ hanya mengskala pembayaran secara proporsional.

Efek deductible pada frekuensi:

$$E(N^*) = E(N) \cdot S_X(d) = E(N) \cdot P(X > d)$$

Label: Hanya klaim yang melewati deductible yang dilaporkan; frekuensi efektif berkurang.

Variance frekuensi klaim yang dilaporkan (jika $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$):

$$N^* \sim \text{Poisson}(\lambda \cdot S_X(d))$$

Label: Poisson thinning — subset dari proses Poisson tetap Poisson dengan rate yang dikurangi.

Variance frekuensi klaim yang dilaporkan (jika $N \sim \text{NegBin}(r, \beta)$):

$$N^* \sim \text{NegBin}\!\left(r,\, \beta \cdot S_X(d)\right)$$

Label: Negative Binomial juga closed under thinning dengan cara ini.

Asumsi Eksplisit

1. Ground-up loss $X$ adalah variabel acak kontinu dengan $X > 0$.
2. Deductible bersifat ordinary (pemegang polis menanggung $d$ penuh, bukan franchise).
3. Semua kejadian kerugian dengan $X > d$ dilaporkan dan teramati oleh penanggung.
4. Penanggung dan pemegang polis mengikuti ketentuan polis secara tepat — tidak ada adverse selection post-deductible.
5. Koasuransi, deductible, dan limit berlaku secara berurutan: pertama deductible, lalu limit, lalu koasuransi (atau sesuai definisi polis).

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci topik ini adalah memahami dua perspektif yang berbeda: per-loss dan per-payment. Per-loss melihat semua kejadian (termasuk yang tidak dibayar), sedangkan per-payment hanya melihat yang dibayar. Hubungan antara keduanya adalah: $E(Y^L) = E(Y^P) \times P(X > d)$, yang secara intuitif berarti “rata-rata pembayaran per kejadian = rata-rata pembayaran per klaim × probabilitas klaim dilaporkan.” Ini adalah versi aktuarial dari expected value law: $E[\text{pembayaran}] = E[\text{pembayaran} \mid \text{klaim}] \times P(\text{klaim})$.

◈Support dan Domain›

• Ground-up loss $X$: support $(0, \infty)$ atau $(0, \omega)$ untuk distribusi bounded.
• $Y^L$: support $\{0\} \cup (0, \infty)$ — mixed distribution dengan point mass di 0.
• $Y^P$: support $(0, \infty)$ — distribusi murni kontinu (bersyarat $X > d$), tidak ada massa di 0.
• Untuk distribusi dengan limit $u$: $Y^P$ memiliki point mass di $u$ jika $P(X > d + u) > 0$.

Derivasi Mean Per-Loss — Step by Step:

Step 1 — Tuliskan $Y^L$ secara eksplisit:

$$Y^L = (X - d)_+ = \max(X - d,\, 0)$$

Step 2 — Hitung $E(Y^L)$ via integrasi:

$$E(Y^L) = \int_0^\infty (x-d)_+ f_X(x)\,dx = \int_d^\infty (x-d) f_X(x)\,dx$$

Step 3 — Ubah variabel: substitusi $y = x - d$:

$$= \int_0^\infty y \cdot f_X(y+d)\,dy$$

Step 4 — Identitas integral survival function:

$$E(Y^L) = \int_d^\infty S_X(x)\,dx$$

Justifikasi: Untuk variabel non-negatif $Z$, $E(Z) = \int_0^\infty P(Z > z)\,dz = \int_0^\infty S_Z(z)\,dz$. Terapkan untuk $Z = (X-d)_+$ dengan $S_{(X-d)_+}(z) = P(X - d > z) = P(X > d+z) = S_X(d+z)$, sehingga:

$$E(Y^L) = \int_0^\infty S_X(d+z)\,dz = \int_d^\infty S_X(x)\,dx$$

Step 5 — Hubungkan dengan Limited Expected Value:

$$E(X \wedge d) = \int_0^d S_X(x)\,dx, \quad E(X) = \int_0^\infty S_X(x)\,dx$$

Sehingga:

$$E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d)$$

Derivasi Poisson Thinning — Step by Step:

Step 1 — Setup: $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$ adalah jumlah ground-up losses. Setiap loss secara independen melebihi deductible dengan probabilitas $p = S_X(d) = P(X > d)$.

Step 2 — PGF $N^*$: Jumlah klaim yang dilaporkan $N^*$ adalah binomial thinning dari $N$. PGF dari $N^*$:

$$P_{N^*}(z) = P_N(1 - p + pz) = e^{\lambda(1-p+pz - 1)} = e^{\lambda p(z-1)}$$

Step 3 — Identifikasi: $P_{N^*}(z) = e^{\lambda p(z-1)}$ adalah PGF Poisson dengan parameter $\lambda p = \lambda S_X(d)$.

Kesimpulan:

$$N^* \sim \text{Poisson}(\lambda \cdot S_X(d))$$

✘Dilarang›

1. Jangan gunakan $E(Y^P)$ sebagai mean pembayaran per kejadian — $E(Y^P)$ adalah mean per klaim yang dilaporkan, bukan per kejadian. Untuk menghitung ekspektasi total pembayaran, gunakan $E(Y^L) = E(Y^P) \times S_X(d)$.
2. Jangan konfusikan limit $u$ dengan maximum covered loss $d + u$ — Policy limit $u$ biasanya adalah limit pada pembayaran (setelah deductible), sehingga loss maksimum yang menghasilkan pembayaran penuh adalah $d + u$, bukan $u$.
3. Jangan asumsikan semua distribusi frekuensi closed under thinning dengan NegBin — Poisson dan NegBin memang closed under thinning, tetapi distribusi lain seperti Binomial dan Geometric memerlukan pengecekan tersendiri menggunakan PGF.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal: Ground-up loss $X \sim \text{Exponential}(\theta = 1000)$. Polis memiliki ordinary deductible $d = 500$. Hitung $E(Y^L)$ (mean per-loss) dan $E(Y^P)$ (mean per-payment).

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Gunakan memoryless property Exponential untuk $e(d)$, lalu hubungkan $E(Y^L)$ dan $E(Y^P)$ via survival function.

1. Identifikasi Variabel

• $X \sim \text{Exp}(\theta = 1000)$, sehingga $f_X(x) = \frac{1}{1000}e^{-x/1000}$, $S_X(x) = e^{-x/1000}$
• $$E(X) = \theta = 1000$$
• $$d = 500$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Distribusi Exponential memiliki memoryless property: $X - d \mid X > d \sim \text{Exp}(\theta)$, sehingga $e(d) = \theta = 1000$ untuk semua $d$ (mean excess loss konstan).

3. Setup Persamaan

$$E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d)$$ $$E(X \wedge d) = \int_0^d S_X(x)\,dx = \int_0^{500} e^{-x/1000}\,dx$$

4. Eksekusi Aljabar

$$E(X \wedge 500) = \left[-1000 e^{-x/1000}\right]_0^{500} = -1000e^{-0.5} + 1000 = 1000(1 - e^{-0.5})$$ $$= 1000(1 - 0.60653) = 393.47$$ $$E(Y^L) = 1000 - 393.47 = 606.53$$ $$S_X(500) = e^{-500/1000} = e^{-0.5} = 0.60653$$ $$E(Y^P) = \frac{E(Y^L)}{S_X(d)} = \frac{606.53}{0.60653} = 1000$$

5. Verification $E(Y^P) = 1000 = \theta$ ✓ — ini memang hasil yang diharapkan dari memoryless property Exponential. $E(Y^L) = 606.53 < E(X) = 1000$ ✓ — masuk akal karena deductible mengurangi mean pembayaran. Relasi $E(Y^L) = S_X(d) \cdot E(Y^P)$: $0.60653 \times 1000 = 606.53$ ✓.

Hasil: $E(Y^L) = 1000(1 - e^{-0.5}) \approx 606.53$ dan $E(Y^P) = 1000$.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 3 menit. Common trap: Menjawab $E(Y^P) = E(X) - d = 500$ — ini salah; mean excess loss Exponential adalah $\theta$, bukan $\theta - d$. Shortcut: Untuk Exponential, $e(d) = \theta$ selalu — hafal ini.

---

Soal B — Exam-Typical

Soal: Ground-up loss $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3,\, \theta = 2000)$ dengan $E(X) = \theta/(\alpha-1) = 1000$. Polis memiliki ordinary deductible $d = 500$ dan policy limit pada pembayaran $u = 2000$. Hitung $E(Y^P)$, rata-rata pembayaran per klaim yang dilaporkan.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Gunakan $E(Y^P) = [E(X \wedge (d+u)) - E(X \wedge d)] / S_X(d)$. Hitung tiga komponen: $E(X \wedge 2500)$, $E(X \wedge 500)$, dan $S_X(500)$.

1. Identifikasi Variabel

• $$X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 2000)$$
• $$F_X(x) = 1 - \left(\frac{\theta}{\theta + x}\right)^\alpha = 1 - \left(\frac{2000}{2000+x}\right)^3$$
• $$S_X(x) = \left(\frac{2000}{2000+x}\right)^3$$
• LEV: $E(X \wedge c) = \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+c}\right)^{\alpha-1}\right] = \frac{2000}{2}\left[1 - \left(\frac{2000}{2000+c}\right)^2\right]$
• $d = 500$, $u = 2000$ (limit pada pembayaran), sehingga maximum covered loss $= d + u = 2500$

2. Identifikasi Distribusi / Model Pareto $(\alpha, \theta)$ dengan LEV formula standar. Limit $u$ pada pembayaran dikonversi ke limit $d + u$ pada loss.

3. Setup Persamaan

$$E(Y^P) = \frac{E(X \wedge 2500) - E(X \wedge 500)}{S_X(500)}$$

4. Eksekusi Aljabar

$$S_X(500) = \left(\frac{2000}{2500}\right)^3 = (0.8)^3 = 0.512$$ $$E(X \wedge 500) = 1000\left[1 - \left(\frac{2000}{2500}\right)^2\right] = 1000\left[1 - (0.8)^2\right] = 1000(1 - 0.64) = 360$$ $$E(X \wedge 2500) = 1000\left[1 - \left(\frac{2000}{4500}\right)^2\right] = 1000\left[1 - \left(\frac{4}{9}\right)^2\right] = 1000\left[1 - \frac{16}{81}\right]$$ $$= 1000 \times \frac{65}{81} = 802.47$$ $$E(Y^P) = \frac{802.47 - 360}{0.512} = \frac{442.47}{0.512} = 864.20$$

5. Verification Cek batas bawah: $E(Y^P) \geq 0$ ✓. Cek batas atas: $E(Y^P) \leq u = 2000$ ✓ (864.20 < 2000). Cek logika: tanpa limit ($u \to \infty$), $E(Y^P) = e(500) = \theta/(\alpha - 1 - 0) \ldots$ untuk Pareto $e(d) = (\theta + d)/(\alpha - 1) = 2500/2 = 1250$. Adanya limit $u = 2000$ seharusnya menurunkan $E(Y^P)$ di bawah 1250. $864.20 < 1250$ ✓.

Hasil: $E(Y^P) \approx 864.20$; rata-rata pembayaran per klaim yang dilaporkan adalah sekitar 864.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 5 menit. Common trap: Menggunakan $d + u$ sebagai limit saat menghitung LEV tetapi lupa bahwa $u$ sudah merujuk ke limit pada pembayaran (sehingga perlu ditambah $d$). Selalu klarifikasi: apakah $u$ adalah limit pada loss atau pada pembayaran. Shortcut: Untuk Pareto, LEV = $\frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+c}\right)^{\alpha-1}\right]$; hafalkan formula ini karena Pareto sangat sering muncul di soal coverage modification.

---

Soal C — Challenging

Soal: Frekuensi ground-up losses $N \sim \text{NegBin}(r = 2,\, \beta = 3)$ (sehingga $E(N) = r\beta = 6$ dan $\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta) = 24$). Ground-up loss $X \sim \text{Exponential}(\theta = 500)$. Polis memiliki ordinary deductible $d = 200$. Penanggung menerapkan koasuransi $\alpha = 0.8$ pada pembayaran setelah deductible. (a) Tentukan distribusi frekuensi klaim yang dilaporkan $N^*$. (b) Hitung $E(N^*)$ dan $\text{Var}(N^*)$. (c) Hitung $E(Y^L)$ dan $E(Y^P)$ untuk besar klaim individual.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: (a) Gunakan Poisson/NegBin thinning dengan $p = S_X(d)$. (b) Hitung momen $N^*$ dari distribusinya. (c) Gunakan formula mean per-loss untuk Exponential dengan modifikasi koasuransi.

1. Identifikasi Variabel

• $N \sim \text{NegBin}(r = 2, \beta = 3)$: $E(N) = 6$, $\text{Var}(N) = 24$
• $X \sim \text{Exp}(\theta = 500)$: $S_X(x) = e^{-x/500}$
• $d = 200$, $\alpha = 0.8$, tidak ada policy limit

2. Identifikasi Distribusi / Model NegBin thinning: jika $N \sim \text{NegBin}(r, \beta)$ dan setiap event dilaporkan dengan prob $p$ (i.i.d.), maka $N^* \sim \text{NegBin}(r, \beta \cdot p)$.

3. Setup Persamaan

$$p = S_X(200) = e^{-200/500} = e^{-0.4}$$ $$N^* \sim \text{NegBin}(r = 2,\; \beta^* = \beta \cdot p = 3 e^{-0.4})$$ $$E(Y^L) = \alpha \cdot [E(X) - E(X \wedge d)]$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi $N^*$:

$$p = e^{-0.4} = 0.67032$$ $$\beta^* = 3 \times 0.67032 = 2.01097$$ $$N^* \sim \text{NegBin}(r = 2,\; \beta^* = 3e^{-0.4} \approx 2.0110)$$

(b) Momen $N^*$:

$$E(N^*) = r \beta^* = 2 \times 3e^{-0.4} = 6e^{-0.4} \approx 4.022$$

Verifikasi: $E(N^*) = E(N) \cdot p = 6 \times e^{-0.4} \approx 4.022$ ✓

$$\text{Var}(N^*) = r\beta^*(1 + \beta^*) = 2 \times 3e^{-0.4}(1 + 3e^{-0.4})$$ $$= 6e^{-0.4}(1 + 3e^{-0.4}) = 6(0.67032)(1 + 2.0110) = 4.022 \times 3.011 = 12.107$$

(c) Besar klaim individual:

$$E(X \wedge 200) = 500(1 - e^{-200/500}) = 500(1 - e^{-0.4}) = 500(1 - 0.67032) = 500(0.32968) = 164.84$$ $$E(Y^L)_{\text{tanpa }\alpha} = E(X) - E(X \wedge 200) = 500 - 164.84 = 335.16$$

Dengan koasuransi $\alpha = 0.8$:

$$E(Y^L) = 0.8 \times 335.16 = 268.13$$ $$E(Y^P) = \frac{E(Y^L)}{S_X(d)} = \frac{268.13}{e^{-0.4}} = \frac{268.13}{0.67032} = 400$$

Verifikasi: $E(Y^P) = \alpha \cdot e(d) = 0.8 \times \theta = 0.8 \times 500 = 400$ ✓ (memoryless property)

5. Verification $E(N^*) = 4.022 < E(N) = 6$ ✓ — deductible mengurangi frekuensi efektif. $\text{Var}(N^*) = 12.107 < \text{Var}(N) = 24$ ✓ — variance juga berkurang. $E(Y^P) = 400 < E(X) = 500$ ✓ — koasuransi 80% mengurangi mean pembayaran per klaim.

Hasil: (a) $N^* \sim \text{NegBin}(2,\, 3e^{-0.4})$; (b) $E(N^*) \approx 4.022$, $\text{Var}(N^*) \approx 12.11$; (c) $E(Y^L) \approx 268.13$, $E(Y^P) = 400$.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 7 menit. Common trap: Mengalikan $\alpha$ hanya pada $E(Y^P)$ lupa bahwa $E(Y^L) = \alpha \cdot S_X(d) \cdot e(d)$ — koasuransi berlaku pada pembayaran, sehingga skalakan sebelum membagi $S_X(d)$. Shortcut: Untuk Exponential, $E(Y^P) = \alpha \cdot \theta$ selalu jika tidak ada limit — langsung kalikan $\alpha$ dengan mean distribusi.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-Check 1 — Batas Mean›

Selalu verifikasi urutan berikut:

$$0 \leq E(Y^L) \leq E(Y^P) \leq E(X)$$

• $E(Y^L) \leq E(Y^P)$ karena $S_X(d) \leq 1$, sehingga $E(Y^L) = S_X(d) \cdot E(Y^P) \leq E(Y^P)$.
• $E(Y^P) \leq E(X)$ karena deductible memotong ekor bawah distribusi; mean klaim yang dilaporkan tidak melebihi mean kerugian keseluruhan (tanpa limit).
• Jika ada limit $u$: $E(Y^P) \leq u$ — mean pembayaran tidak melebihi limit.

✓Cross-Check 2 — Konsistensi Frekuensi›

Untuk Poisson thinning:

$$E(N^*) = E(N) \cdot S_X(d), \qquad \text{Var}(N^*) = \text{Var}(N) \cdot S_X(d) \quad \text{(jika Poisson)}$$

Untuk NegBin thinning, $\text{Var}(N^*) / E(N^*) = 1 + \beta^*$ harus konsisten. Hitung dispersion index sebelum dan sesudah thinning — keduanya harus $> 1$ untuk NegBin.

✓Cross-Check 3 — Relasi $E(Y^L)$ dan $E(Y^P)$ Setelah menghitung kedua nilai, verifikasi:›

$$E(Y^L) = E(Y^P) \times S_X(d)$$

Jika hasil tidak konsisten, cari sumber kesalahan (biasanya salah menghitung $S_X(d)$ atau salah batas integrasi).

Metode Alternatif

Untuk distribusi dengan tabel LEV yang tersedia (Exponential, Pareto, Gamma, Lognormal), selalu lebih efisien menggunakan formula:

$$E(Y^P) = \frac{E(X \wedge (d+u)) - E(X \wedge d)}{S_X(d)}$$

daripada menghitung integral langsung. Tabel LEV tersedia di halaman depan sebagian besar buku referensi aktuaria — manfaatkan di ujian yang mengizinkan formula sheet.

Section 6 — Visualisasi Mental

Efek Deductible pada Distribusi Besar Klaim:

Bayangkan kurva PDF dari $X$ — bentuk lonceng atau eksponensial menurun ke kanan.

• Deductible $d$ membuat area di bawah $d$ “dipotong” dari distribusi pembayaran.
• $Y^L$ memiliki titik massa (spike) di $x = 0$ sebesar $F_X(d)$ — probabilitas tidak ada pembayaran.
• $Y^P$ adalah “sisa kurva setelah titik $d$”, digeser ke kiri sebesar $d$ dan dinormalisasi oleh $S_X(d)$ agar totalnya kembali menjadi 1.
• Policy limit $u$ membuat ekor kanan di atas $d+u$ “dilipat” menjadi titik massa di $u$ — distribusi $Y^P$ menjadi mixed dengan point mass di $u$.

Efek Deductible pada Frekuensi:

Kejadian ground-up (N total):
[●][●][●][●][●][●][●][●][●][●]   ← semua N kejadian

Filter deductible d (hanya X > d yang dilaporkan):
[●][ ][ ][●][ ][●][●][ ][ ][●]   ← N* dilaporkan (p = S_X(d))

N* = subset thinned dari N; rate dikurangi faktor p

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Spike di $Y^L = 0$	$F_X(d) = P(X \leq d)$ = probabilitas tidak ada pembayaran
Area kurva $Y^P$	$S_X(d)$ = normalisasi agar PDF $Y^P$ valid
Titik potong di $d$ pada sumbu X	Deductible sebagai threshold
Spike di $Y^P = u$	$S_X(d+u) / S_X(d)$ = probabilitas klaim mencapai limit
Panjang sumbu X yang “aktif”	$[0, u]$ untuk $Y^P$ jika ada limit
Jumlah titik hitam setelah filter	$E(N^*) = E(N) \cdot S_X(d)$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Salah: Menggunakan $E(Y^P) = E(X) - d$ (menganggap per-payment mean adalah mean dikurangi deductible). Benar: $E(Y^P) = e(d) = [E(X) - E(X \wedge d)] / S_X(d)$. Untuk Exponential memang $e(d) = \theta$, bukan $\theta - d$.

Salah: Menggunakan “policy limit $u$” langsung sebagai batas atas integrasi $\int_d^u$. Benar: Jika $u$ adalah limit pada pembayaran, batas atas integrasi pada loss adalah $d + u$. Jika $u$ adalah maximum covered loss (limit pada loss), batas atas adalah $u$.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Per-loss vs. per-payment: $E(Y^L)$ digunakan untuk menghitung ekspektasi total klaim agregat ($E(S) = E(N) \cdot E(Y^L)$, bukan $E(N^*) \cdot E(Y^P)$ — keduanya setara tetapi harus konsisten).
2. Thinning hanya berlaku untuk Poisson dan NegBin secara closed-form: Untuk distribusi lain, gunakan PGF untuk mencari distribusi $N^*$.
3. Koasuransi mengskala pembayaran, bukan loss: Jika $\alpha$ adalah koasuransi, maka LEV dan $S_X(d)$ dihitung atas $X$ yang tidak terskalakan, kemudian hasilnya dikali $\alpha$.
4. Franchise deductible berbeda dengan ordinary deductible: Franchise: jika $X > d$, penanggung membayar $X$ penuh (bukan $X - d$). Ordinary: penanggung membayar $X - d$ jika $X > d$. Soal hampir selalu menggunakan ordinary kecuali disebutkan eksplisit.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Policy limit of $u$” — di sebagian buku, ini berarti limit pada pembayaran, sehingga maximum loss = $d + u$. Di buku lain, “maximum covered loss = $u$” berarti batas pada loss, sehingga pembayaran maksimum = $u - d$. Selalu periksa konteks.
• “Coinsurance of $\alpha$” — pastikan apakah $\alpha$ adalah fraksi yang ditanggung penanggung atau fraksi yang ditanggung pemegang polis. Konvensi standar: $\alpha$ = fraksi penanggung.
• “Reported claims” atau “observed claims” — ini adalah $N^*$, bukan $N$.

▲Red Flags — Keyword di Soal›

• “Ordinary deductible $d$” → gunakan $(X - d)_+$; ada massa probabilitas di 0 untuk $Y^L$
• “Policy limit $u$ on payment” → maximum covered loss = $d + u$; gunakan $E(X \wedge (d+u))$ dalam numerator
• “Per-loss” vs. “per-payment” → beda perspektif; per-loss pakai $E(Y^L)$, per-payment pakai $E(Y^P)$
• “Coinsurance $\alpha$” → skalakan hasil akhir dengan $\alpha$
• “Poisson / NegBin dengan deductible” → aplikasikan Poisson/NegBin thinning; $p = S_X(d)$

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Mean per-loss: $E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d) = \int_d^\infty S_X(x)\,dx$

2. Mean per-payment (mean excess loss): $E(Y^P) = e(d) = \frac{E(X) - E(X \wedge d)}{S_X(d)}$

3. Hubungan per-loss dan per-payment: $E(Y^L) = S_X(d) \cdot E(Y^P)$

4. Dengan policy limit $u$ pada pembayaran: $E(Y^P) = \frac{E(X \wedge (d+u)) - E(X \wedge d)}{S_X(d)}$

5. Efek deductible pada frekuensi (Poisson thinning): $N^* \sim \text{Poisson}(\lambda \cdot S_X(d))$

6. Dengan koasuransi $\alpha$: skalakan $E(Y^L)$ dan $E(Y^P)$ dengan $\alpha$; distribusi frekuensi tidak berubah.

7. LEV Exponential: $E(X \wedge c) = \theta(1 - e^{-c/\theta})$; $e(d) = \theta$ (konstan).

8. LEV Pareto $(\alpha, \theta)$: $E(X \wedge c) = \frac{\theta}{\alpha-1}\!\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+c}\right)^{\alpha-1}\right]$.

Kapan Digunakan

• Soal menyebutkan deductible, policy limit, atau koasuransi pada polis asuransi.
• Diminta menghitung pembayaran rata-rata per kejadian (per-loss) atau per klaim yang dilaporkan (per-payment).
• Diminta menghitung distribusi atau momen frekuensi klaim yang teramati oleh penanggung.
• Soal menyebutkan “excess loss variable”, “left-censored and shifted”, atau “per-payment variable”.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika tidak ada modifikasi coverage — gunakan distribusi ground-up langsung.
• Jika soal meminta distribusi agregat (jumlah total klaim) — lihat 4.3 Mean Variance and Stop-Loss dan 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models.
• Jika soal meminta Loss Elimination Ratio — itu topik 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal melibatkan coverage modification?"] --> B{"Jenis modifikasi?"}
    B -->|"Hanya deductible d"| C{"Per-loss atau per-payment?"}
    B -->|"Deductible + Limit u"| D["Hitung E(X^(d+u)) - E(X^d)<br>bagi dengan S_X(d)"]
    B -->|"Tambah koasuransi alpha"| E["Skalakan hasil dengan alpha"]
    C -->|"Per-loss Y^L"| F["E(Y^L) = E(X) - E(X^d)<br>= integral_d^inf S_X(x) dx"]
    C -->|"Per-payment Y^P"| G["E(Y^P) = E(Y^L) / S_X(d)<br>= mean excess loss e(d)"]
    D --> E
    F --> H{"Ada pertanyaan frekuensi?"}
    G --> H
    H -->|"Ya, distribusi Poisson"| I["N* ~ Poisson(lambda * S_X(d))"]
    H -->|"Ya, distribusi NegBin"| J["N* ~ NegBin(r, beta * S_X(d))"]
    H -->|"Tidak"| K["Selesai — cek sanity bounds"]

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal dengan franchise deductible dan bandingkan hasilnya dengan ordinary deductible”
2. “Jelaskan hubungan 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency dengan 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation — bagaimana LER terhubung dengan $E(Y^L)$?”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk rumus LEV Exponential, Pareto, dan Gamma”
4. “Generate notes 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models sebagai kelanjutan topik ini”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 8 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #CoverageModification #Deductible #Severity #Frequency