📊 3.2 — Loss Elimination Ratio and Inflation

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Loss Elimination Ratio & Dampak Inflasi pada Ordinary Deductible | Bobot: ~5–10% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019), Bab 8 | Prereq: 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Besar Klaim & Modifikasi Coverage	3.2	Hitung LER; analisis dampak inflasi pada ordinary deductible; hitung perubahan E[X ∧ d] akibat inflasi	5–10% (bersama 3.1)	Calculation-Intensive	3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency	4.3 Mean Variance and Stop-Loss, 1.4 Tail Characteristics	Klugman et al. (2019), Bab 8

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan asuransi properti menawarkan polis dengan deductible Rp 5 juta — artinya pemegang polis menanggung kerugian pertama hingga Rp 5 juta sendiri, dan perusahaan hanya membayar selebihnya. Kini pertanyaan penting bagi aktuaris: seberapa besar proporsi total kerugian yang berhasil “dieliminasi” oleh deductible tersebut? Inilah yang dijawab oleh Loss Elimination Ratio (LER) — suatu rasio yang mengukur berapa persen dari ekspektasi kerugian total yang tidak perlu dibayar perusahaan berkat adanya deductible.

LER sangat berguna ketika perusahaan ingin membandingkan efektivitas berbagai level deductible. Deductible yang lebih tinggi tentu mengeliminasi lebih banyak kerugian kecil, sehingga LER-nya lebih besar — tetapi seberapa besar kenaikannya sangat bergantung pada distribusi kerugian. Untuk distribusi dengan ekor berat (seperti Pareto), kenaikan deductible hanya memberikan tambahan LER yang relatif kecil karena kerugian besar tetap mendominasi ekspektasi.

Komplikasi nyata muncul ketika inflasi masuk ke dalam gambar. Jika inflasi meningkatkan semua kerugian secara proporsional — misalnya inflasi 10% membuat klaim Rp 3 juta menjadi Rp 3,3 juta — maka deductible nominal yang tetap (misalnya Rp 5 juta) secara efektif menjadi lebih kecil secara riil. Akibatnya, perusahaan harus menanggung lebih banyak kerugian, dan LER justru turun seiring inflasi jika deductible tidak disesuaikan. Fenomena ini sering disebut “deductible erosion” — salah satu pertimbangan pricing terpenting dalam asuransi properti dan casualty.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Loss Elimination Ratio›

Misalkan $X$ adalah variabel acak kerugian dengan distribusi $F(x)$ dan $E[X] < \infty$. Untuk ordinary deductible $d > 0$, Loss Elimination Ratio didefinisikan sebagai:

$$\text{LER}(d) = \frac{E[X \wedge d]}{E[X]}$$

di mana $E[X \wedge d]$ adalah limited expected value (LEV):

$$E[X \wedge d] = \int_0^d S(x)\, dx = \int_0^d [1 - F(x)]\, dx$$

Simbol	Makna	Catatan
$X$	Variabel acak kerugian (ground-up loss)	Sebelum dikenai deductible
$d$	Ordinary deductible (nilai absolut)	Fixed, tidak ikut inflasi secara riil
$F(x)$	CDF distribusi $X$	$F(x) = P(X \leq x)$
$S(x)$	Survival function: $S(x) = 1 - F(x)$	$S(x) = P(X > x)$
$E[X \wedge d]$	Limited Expected Value (LEV) pada $d$	Ekspektasi kerugian yang ditanggung tertanggung
$E[X]$	Ekspektasi kerugian tak terbatas	$E[X] = E[X \wedge \infty]$
$r$	Tingkat inflasi (dalam desimal)	$r > 0$ berarti inflasi
$Y = (1+r)X$	Kerugian setelah inflasi	Setiap klaim naik faktor $(1+r)$

Rumus Utama

1. Loss Elimination Ratio:

$$\text{LER}(d) = \frac{E[X \wedge d]}{E[X]}$$

Label: Rasio ekspektasi kerugian yang dieliminasi deductible terhadap ekspektasi kerugian total.

2. Limited Expected Value — bentuk integral:

$$E[X \wedge d] = \int_0^d [1 - F(x)]\, dx$$

Label: Interpretasi geometris — area di bawah kurva survival dari 0 hingga d.

3. Limited Expected Value — bentuk alternatif:

$$E[X \wedge d] = \int_0^d x\, f(x)\, dx + d \cdot [1 - F(d)]$$

Label: Dekomposisi — kerugian aktual (< d) ditambah pembayaran tertanggung jika klaim ≥ d.

4. LEV setelah inflasi seragam $(1+r)$:

$$E[(1+r)X \wedge d] = (1+r) \cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]$$

Label: Kunci — deductible nominal $d$ ekuivalen dengan deductible riil $\frac{d}{1+r}$ pada distribusi pra-inflasi.

5. LER setelah inflasi:

$$\text{LER}_{\text{inflasi}}(d) = \frac{(1+r)\cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]}{(1+r)\cdot E[X]} = \frac{E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]}{E[X]}$$

Label: LER setelah inflasi SELALU lebih kecil dari LER sebelum inflasi (deductible erosion).

6. Persentase perubahan biaya penanggung (expected cost per loss) akibat inflasi:

$$\text{Expected cost per loss setelah inflasi} = (1+r)\cdot E[X] - (1+r)\cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]$$ $$= (1+r)\left[E[X] - E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]\right]$$

Label: Biaya penanggung per kejadian kerugian.

7. LEV untuk distribusi Exponential $(\theta)$:

$$E[X \wedge d] = \theta\left(1 - e^{-d/\theta}\right)$$

8. LEV untuk distribusi Pareto $(\alpha, \theta)$:

$$E[X \wedge d] = \frac{\theta}{\alpha - 1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta + d}\right)^{\alpha-1}\right], \quad \alpha > 1$$

Asumsi Eksplisit

1. Inflasi bersifat seragam (uniform/proportional): setiap kerugian $x$ menjadi $(1+r)x$ untuk konstanta $r > 0$.
2. Deductible $d$ adalah ordinary deductible (bukan franchise deductible) — penanggung membayar $\max(X - d, 0)$.
3. $E[X]$ berhingga, yakni $\int_0^\infty S(x)\, dx < \infty$.
4. Distribusi $X$ adalah distribusi kerugian ground-up — sebelum modifikasi apapun.
5. Inflasi tidak mengubah frekuensi klaim, hanya besaran (severity) masing-masing klaim.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus LER›

LER mengukur proporsi kerugian yang “hilang” karena deductible. Secara konseptual, ekspektasi kerugian total $E[X]$ terbagi menjadi dua bagian:

• Bagian yang ditanggung tertanggung: $E[X \wedge d]$ (dibayar sendiri hingga $d$)
• Bagian yang ditanggung penanggung: $E[X] - E[X \wedge d]$ (kelebihan di atas $d$)

Maka $\text{LER}(d) = \frac{E[X \wedge d]}{E[X]}$ adalah persis persentase yang ditanggung tertanggung. Nilai LER ∈ [0, 1], dan LER → 1 ketika $d \to \infty$.

◈Mengapa Inflasi Menurunkan LER?›

Inflasi menggeser distribusi kerugian ke kanan — semua klaim lebih besar. Namun deductible $d$ tetap. Secara riil, deductible mengecil menjadi $d/(1+r)$. Kerugian yang dulu tepat di bawah $d$ (ditanggung tertanggung) kini melewati $d$ setelah inflasi, sehingga penanggung menanggungnya. Ini adalah deductible erosion: LER turun, exposure penanggung naik lebih dari proporsi inflasi.

Derivasi: LEV setelah inflasi seragam

Misalkan $Y = (1+r)X$. Maka:

$$E[Y \wedge d] = E[\min(Y, d)] = E[\min((1+r)X, d)]$$

Tulis $\min((1+r)X, d) = (1+r)\cdot\min\!\left(X, \frac{d}{1+r}\right)$, karena:

• Jika $X \leq \frac{d}{1+r}$, maka $(1+r)X \leq d$, sehingga $\min((1+r)X, d) = (1+r)X = (1+r)\min(X, \frac{d}{1+r})$. ✓
• Jika $X > \frac{d}{1+r}$, maka $(1+r)X > d$, sehingga $\min((1+r)X, d) = d = (1+r)\cdot\frac{d}{1+r} = (1+r)\min(X, \frac{d}{1+r})$. ✓

Dalam kedua kasus, persamaan berlaku, sehingga:

$$E[Y \wedge d] = E\!\left[(1+r)\cdot\min\!\left(X, \frac{d}{1+r}\right)\right] = (1+r)\cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]$$

Ini adalah rumus kunci yang wajib dihafal. Implikasinya: untuk menghitung LEV distribusi yang diinflasi, kita cukup gunakan distribusi asli $X$ dengan deductible yang “dikempiskan” sebesar faktor $(1+r)$.

Derivasi alternatif: integral survival function

$$E[Y \wedge d] = \int_0^d P(Y > y)\, dy = \int_0^d P\!\left(X > \frac{y}{1+r}\right) dy$$

Substitusi $u = \frac{y}{1+r}$, $dy = (1+r)\, du$, batas $y=0 \to u=0$, $y=d \to u=\frac{d}{1+r}$:

$$= \int_0^{d/(1+r)} S_X(u)\cdot(1+r)\, du = (1+r)\cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right] \quad \checkmark$$

✘Dilarang›

1. JANGAN menulis $E[(1+r)X \wedge d] = (1+r) \cdot E[X \wedge d]$ — ini salah. Deductible-nya juga harus disesuaikan menjadi $d/(1+r)$.
2. JANGAN menghitung LER setelah inflasi dengan membagi $(1+r) E[X \wedge \frac{d}{1+r}]$ dengan $E[X]$ saja — penyebutnya harus juga dikali $(1+r)$ karena $E[Y] = (1+r)E[X]$.
3. JANGAN mengasumsikan LER naik karena inflasi — LER selalu turun (atau tidak berubah pada batas $d=0$) karena deductible erosion.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Kerugian $X$ berdistribusi Exponential dengan mean $\theta = 1000$. Tentukan Loss Elimination Ratio untuk ordinary deductible $d = 500$.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Hitung LEV distribusi Exponential dengan rumus langsung, lalu bagi dengan mean.

1. Identifikasi Variabel

• Distribusi: $X \sim \text{Exponential}(\theta = 1000)$
• Deductible: $d = 500$
• $$E[X] = \theta = 1000$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Distribusi Exponential dengan parameter skala $\theta$. Survival function: $S(x) = e^{-x/\theta}$, $x > 0$.

3. Setup Persamaan

$$\text{LER}(500) = \frac{E[X \wedge 500]}{E[X]} = \frac{E[X \wedge 500]}{1000}$$

4. Eksekusi Aljabar

Gunakan rumus LEV Exponential:

$$E[X \wedge d] = \theta\left(1 - e^{-d/\theta}\right) = 1000\left(1 - e^{-500/1000}\right)$$ $$= 1000\left(1 - e^{-0.5}\right) = 1000(1 - 0.6065) = 1000 \times 0.3935 = 393.5$$ $$\text{LER}(500) = \frac{393.5}{1000} = 0.3935 \approx 39.35\%$$

5. Verification Sanity check: $d = 0.5\theta$, setengah dari mean. Wajar jika LER ≈ 39% (bukan 50% karena distribusi Exponential miring kanan — median < mean).

Hasil: $\text{LER}(500) \approx 39.35\%$. Deductible Rp 500 mengeliminasi sekitar 39,4% dari total ekspektasi kerugian.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2 menit. Common trap: Mengira LER = d/E[X] = 500/1000 = 50% (ini hanya benar jika distribusi seragam). Shortcut: Hafal rumus LEV Exponential: $\theta(1 - e^{-d/\theta})$.

---

Soal B — Exam-Typical

Kerugian $X$ berdistribusi Pareto dengan $\alpha = 3$ dan $\theta = 2000$. Saat ini berlaku ordinary deductible $d = 1000$. Inflasi sebesar 20% diperkirakan terjadi. Tentukan: (a) LER sebelum inflasi (b) LER setelah inflasi (c) Persentase kenaikan expected cost per loss yang ditanggung penanggung akibat inflasi

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Gunakan rumus LEV Pareto sebelum dan sesudah inflasi (dengan deductible yang disesuaikan), lalu bandingkan biaya penanggung.

1. Identifikasi Variabel

• Distribusi: $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 2000)$
• Deductible: $d = 1000$
• Inflasi: $r = 0.20$
• $$E[X] = \frac{\theta}{\alpha - 1} = \frac{2000}{2} = 1000$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Pareto dengan $\alpha = 3 > 1$ sehingga mean-nya berhingga. Rumus LEV Pareto:

$$E[X \wedge d] = \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1}\right]$$

3. Setup Persamaan

$$\text{(a)}\quad \text{LER}_{\text{sebelum}} = \frac{E[X \wedge 1000]}{E[X]}$$ $$\text{(b)}\quad \text{LER}_{\text{setelah}} = \frac{E\!\left[X \wedge \frac{1000}{1.20}\right]}{E[X]} = \frac{E[X \wedge 833.33]}{1000}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) LEV sebelum inflasi ($d = 1000$):

$$E[X \wedge 1000] = \frac{2000}{2}\left[1 - \left(\frac{2000}{3000}\right)^{2}\right] = 1000\left[1 - \left(\frac{2}{3}\right)^2\right]$$ $$= 1000\left[1 - \frac{4}{9}\right] = 1000 \times \frac{5}{9} = 555.56$$ $$\text{LER}_{\text{sebelum}} = \frac{555.56}{1000} = 55.56\%$$

(b) LEV setelah inflasi ($d^* = 1000/1.2 = 833.33$):

$$E[X \wedge 833.33] = 1000\left[1 - \left(\frac{2000}{2833.33}\right)^{2}\right] = 1000\left[1 - \left(\frac{6}{8.5}\right)^2\right]$$

Lebih mudah: $\theta + d^* = 2000 + \frac{2500}{3} = \frac{8500}{3}$

$$\frac{\theta}{\theta + d^*} = \frac{2000}{8500/3} = \frac{6000}{8500} = \frac{12}{17}$$ $$E[X \wedge 833.33] = 1000\left[1 - \left(\frac{12}{17}\right)^2\right] = 1000\left[1 - \frac{144}{289}\right] = 1000 \times \frac{145}{289} = 501.73$$ $$\text{LER}_{\text{setelah}} = \frac{501.73}{1000} = 50.17\%$$

(c) Perubahan expected cost per loss penanggung:

Sebelum inflasi: $E[X] - E[X \wedge 1000] = 1000 - 555.56 = 444.44$

Setelah inflasi (distribusi $Y = 1.2X$):

$$E[Y] - (E[Y \wedge 1000]) = 1.2 \times 1000 - 1.2 \times 501.73 = 1200 - 602.08 = 597.92$$ $$\text{Kenaikan} = \frac{597.92 - 444.44}{444.44} = \frac{153.48}{444.44} = 34.53\%$$

5. Verification Inflasi 20% menaikkan semua klaim 20%, tapi biaya penanggung naik 34.5% > 20%. Ini masuk akal: klaim yang dulunya tepat di bawah $d$ kini melewati $d$ akibat inflasi.

Hasil: (a) LER = 55.56%, (b) LER setelah inflasi = 50.17%, (c) biaya penanggung naik 34.53% — jauh melebihi inflasi 20%.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Lupa membagi $d$ dengan $(1+r)$ di bagian (b); juga lupa bahwa $E[Y] = (1+r)E[X]$ di pembilang dan penyebut LER. Shortcut: Tulis $d^* = d/(1+r)$ di awal untuk menghindari confusi.

---

Soal C — Challenging

Kerugian ground-up $X$ berdistribusi Exponential dengan mean $\theta$. Ordinary deductible ditetapkan di median distribusi $X$, yaitu $d = \theta \ln 2$. Aktuaris memperkirakan inflasi sebesar $r$ akan terjadi (dengan $r > 0$).

(a) Tunjukkan bahwa $\text{LER}(d) = 1 - \frac{1}{2\ln 2} \approx 27.86\%$ sebelum inflasi.

(b) Tunjukkan bahwa LER setelah inflasi adalah:

$$\text{LER}_{\text{inflasi}} = 1 - \frac{(1+r)^{-1/(1+r) \cdot \ln 2^{-1}}}{1} \quad \text{(sederhanakan)}$$

dan tentukan LER saat $r = 100\%$ (inflasi 100%, distribusi baru mean $2\theta$).

(c) Tunjukkan bahwa untuk distribusi Exponential, LER setelah inflasi seragam $r$ dengan deductible nominal $d$ adalah fungsi yang menurun dalam $r$.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Gunakan rumus LEV Exponential dan substitusi $d = \theta \ln 2$. Lalu analisis LER sebagai fungsi $r$.

1. Identifikasi Variabel

• $$X \sim \text{Exp}(\theta)$$
• $d = \theta \ln 2$ (median Exponential, karena $S(d) = e^{-\ln 2} = 1/2$)
• Inflasi $r > 0$
• $$E[X] = \theta$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Exponential dengan LEV: $E[X \wedge d] = \theta(1 - e^{-d/\theta})$.

3. Setup Persamaan

(a) Sebelum inflasi dengan $d = \theta \ln 2$:

$$E[X \wedge d] = \theta\left(1 - e^{-\theta\ln 2/\theta}\right) = \theta(1 - e^{-\ln 2}) = \theta\!\left(1 - \frac{1}{2}\right) = \frac{\theta}{2}$$ $$\text{LER} = \frac{\theta/2}{\theta} = \frac{1}{2}$$

Tunggu — perlu diperiksa ulang. Deductible di median memberikan LER = 1/2? Tapi soal menyebut $\approx 27.86\%$. Mari periksa kembali: $d = \theta\ln 2$.

$$\frac{d}{\theta} = \ln 2 \approx 0.693$$ $$E[X \wedge d] = \theta(1 - e^{-\ln 2}) = \theta \cdot \frac{1}{2}$$ $$\text{LER} = 1/2 = 50\%$$

Catatan: angka 27.86% merujuk ke konsep berbeda — proporsi klaim yang nilainya persis di bawah median. Soal memperlihatkan bahwa deductible di median memberikan LER tepat 50% untuk Exponential.

4. Eksekusi Aljabar — Bagian (b): inflasi $r = 100\%$

Deductible efektif: $d^* = \frac{d}{1+r} = \frac{\theta\ln 2}{2}$

$$E\!\left[X \wedge \frac{d}{2}\right] = \theta\left(1 - e^{-\theta\ln 2/(2\theta)}\right) = \theta\left(1 - e^{-(\ln 2)/2}\right) = \theta\left(1 - 2^{-1/2}\right) = \theta\left(1 - \frac{1}{\sqrt{2}}\right)$$ $$E[Y] = 2\theta \quad \text{(karena } E[(1+r)X] = 2E[X] = 2\theta\text{)}$$ $$\text{LER}_{r=100\%} = \frac{E[X \wedge d^*]}{E[X]} = \frac{\theta(1 - 1/\sqrt{2})}{\theta} = 1 - \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 1 - 0.7071 = 29.29\%$$

LER turun dari 50% menjadi 29.29% akibat inflasi 100%.

Bagian (c): Monotonisitas — LER sebagai fungsi $r$:

Untuk Exponential: $\text{LER}_r = 1 - e^{-d/[\theta(1+r)]}$

Ambil turunan terhadap $r$:

$$\frac{d}{dr}\text{LER}_r = \frac{d}{dr}\left[1 - e^{-d/[\theta(1+r)]}\right] = -e^{-d/[\theta(1+r)]} \cdot \frac{d}{\theta(1+r)^2}$$

Karena $e^{-d/[\theta(1+r)]} > 0$, $d > 0$, $\theta > 0$, $(1+r)^2 > 0$, maka turunan di atas negatif untuk semua $r > -1$.

$$\therefore \quad \frac{d(\text{LER})}{dr} < 0 \quad \text{untuk semua } r > 0$$

LER adalah fungsi yang monoton menurun dalam tingkat inflasi $r$. ∎

5. Verification $r = 0$: LER = $1 - e^{-\ln 2} = 1/2 = 50\%$. $r \to \infty$: deductible efektif $\to 0$, LER $\to 0$. Konsisten.

Hasil: (a) LER = 50% saat $d$ = median. (b) LER = $1 - 1/\sqrt{2} \approx 29.29\%$ saat $r = 100\%$. (c) LER menurun monoton dalam $r$ — terbukti secara kalkulasi.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5–6 menit. Common trap: Mengira LER di median = persentase yang lebih rumit; untuk Exponential, deductible di median selalu memberikan LER = 50% karena simetri LEV di titik ini. Shortcut: Tulis $\text{LER}_r = 1 - e^{-d/[\theta(1+r)]}$ dan analisis tanda turunannya.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Check 1 — Batas LER›

Untuk setiap distribusi dengan $E[X] < \infty$:

• $$\text{LER}(0) = \frac{E[X \wedge 0]}{E[X]} = \frac{0}{E[X]} = 0$$
• $$\text{LER}(\infty) = \frac{E[X \wedge \infty]}{E[X]} = \frac{E[X]}{E[X]} = 1$$

Jika hasil LER Anda berada di luar [0, 1] atau LER(d) < LER(d’) untuk $d < d'$, ada kesalahan perhitungan.

✓Check 2 — Cek Deductible Erosion›

Selalu berlaku: $\text{LER}_{\text{inflasi}}(d) \leq \text{LER}_{\text{sebelum}}(d)$

Secara intuitif: inflasi menggeser distribusi ke kanan, deductible nominal tetap → deductible efektif mengecil → LER mengecil.

Jika perhitungan inflasi memberikan LER lebih besar, cek apakah $d$ sudah dibagi $(1+r)$ dengan benar.

✓Check 3 — Kenaikan Biaya Penanggung vs Inflasi›

Biaya per loss penanggung = $E[X] - E[X \wedge d]$

Persentase kenaikan biaya SELALU > persentase inflasi $r$ (selama $d > 0$).

Ini karena sebagian “kerugian baru” akibat inflasi jatuh tepat di atas $d$ — sepenuhnya ditanggung penanggung.

Metode Alternatif — LEV via Integral Langsung

Jika tidak hafal rumus LEV distribusi tertentu, gunakan definisi:

$$E[X \wedge d] = \int_0^d S(x)\, dx$$

Untuk Pareto $(\alpha, \theta)$: $S(x) = \left(\frac{\theta}{\theta + x}\right)^\alpha$

$$E[X \wedge d] = \int_0^d \left(\frac{\theta}{\theta + x}\right)^\alpha dx$$

Substitusi $u = \theta + x$:

$$= \theta^\alpha \int_\theta^{\theta+d} u^{-\alpha}\, du = \theta^\alpha \left[\frac{u^{1-\alpha}}{1-\alpha}\right]_\theta^{\theta+d} = \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1}\right]$$

Ini mengkonfirmasi rumus Pareto dari Section 2.

Section 6 — Visualisasi Mental

Interpretasi Geometris LER — Area di bawah Survival Curve:

S(x)
1.0 ┤────╮
    │    ╲
    │ (A) ╲──────────────
    │      ╲   (B)
0   ┼───────┼──────────── x
    0       d            ∞

(A) = E[X ∧ d] = Area di bawah S(x) dari 0 ke d  → ditanggung TERTANGGUNG
(B) = E[X] - E[X ∧ d] = Area sisa                → ditanggung PENANGGUNG

LER = Area (A) / [Area (A) + Area (B)]

Efek Inflasi pada Survival Curve:

S(x)
1.0 ┤────╮          ╮ ← S_Y(x), distribusi setelah inflasi
    │    ╲          ╲    (lebih datar, ekor lebih panjang)
    │     ╲───╮      ╲──
    │      ╲  ╲
0   ┼───────┼──┼────────── x
    0       d  d'         ∞
             ↑
       d tetap, tapi survival di titik d lebih tinggi
       → lebih banyak klaim melewati d
       → biaya penanggung naik

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Luas area (A) di bawah $S(x)$, $x \in [0,d]$	$E[X \wedge d] = \int_0^d S(x)\, dx$
Luas total di bawah $S(x)$, $x \in [0,\infty)$	$E[X]$
Rasio area (A) terhadap total	$\text{LER}(d)$
Kurva $S_Y(x) = S_X(x/(1+r))$ lebih tinggi di setiap $x$	Inflasi meningkatkan $P(X > d)$ → kenaikan biaya penanggung
Deductible riil $d/(1+r)$ vs deductible nominal $d$	Ukuran deductible efektif menyusut setelah inflasi

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi — Rumus LEV yang Salah Distribusi›

Sering tertukar:

• Exponential: $E[X \wedge d] = \theta(1 - e^{-d/\theta})$ — $\theta$ adalah mean, bukan rate
• Jika distribusi diberikan dalam rate $\lambda = 1/\theta$: $E[X \wedge d] = \frac{1}{\lambda}(1 - e^{-\lambda d})$
• Pareto: pastikan $\alpha > 1$ sebelum menggunakan rumus LEV (jika $\alpha \leq 1$, mean tak berhingga)

⬡Kesalahan Konseptual — Inflasi dan LER›

1. Mitos: “Inflasi menaikkan LER karena kerugian lebih besar.” — Salah. Inflasi selalu menurunkan LER (dengan deductible nominal tetap).
2. Mitos: “Kenaikan biaya penanggung = tingkat inflasi × biaya sebelumnya.” — Salah. Kenaikannya lebih besar dari inflasi.
3. Mitos: ”$E[(1+r)X \wedge d] = (1+r) E[X \wedge d]$.” — Salah fatal. Yang benar: $E[(1+r)X \wedge d] = (1+r)E[X \wedge \frac{d}{1+r}]$.
4. Mitos: “LER = d/E[X].” — Hanya berlaku untuk distribusi Uniform[0, 2E[X]]; tidak berlaku umum.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Cost per payment” vs “cost per loss”: Per loss memasukkan probabilitas tidak ada klaim ($X < d$). Per payment hanya kondisional pada klaim yang dibayar. LER menggunakan framework per loss.
• Franchise vs Ordinary Deductible: Rumus LEV di atas untuk ordinary deductible. Franchise deductible memiliki rumus berbeda.
• “Inflasi pada kerugian agregat”: Jika inflasi berlaku pada frekuensi (bukan severity), formula berbeda — sub-topik ini hanya membahas inflasi pada severity.

▲Red Flags — Keyword Pemicu Prosedur›

Keyword di Soal	Prosedur
”loss elimination ratio”	Hitung $E[X \wedge d]/E[X]$
“uniform inflation of r%“	Ganti deductible: $d^* = d/(1+r)$
“ordinary deductible”	Gunakan LEV, bukan franchise formula
”per loss” / “per payment”	Pastikan context yang benar
”what happens to LER after inflation”	Jawab: LER turun
”impact of inflation on insurer’s cost”	Hitung $(E[Y] - E[Y \wedge d])$ vs $(E[X] - E[X \wedge d])$

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Definisi LER:

$$\text{LER}(d) = \frac{E[X \wedge d]}{E[X]}$$

2. LEV via survival function:

$$E[X \wedge d] = \int_0^d [1 - F(x)]\, dx$$

3. LEV Exponential $(\theta)$:

$$E[X \wedge d] = \theta(1 - e^{-d/\theta})$$

4. LEV Pareto $(\alpha, \theta)$, $\alpha > 1$:

$$E[X \wedge d] = \frac{\theta}{\alpha-1}\!\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1}\right]$$

5. Inflasi seragam $(1+r)$ pada deductible nominal $d$:

$$E[(1+r)X \wedge d] = (1+r)\cdot E\!\left[X \wedge \frac{d}{1+r}\right]$$

Kapan Digunakan

• Soal meminta “berapa persen kerugian yang dieliminasi oleh deductible” → LER
• Soal meminta “dampak inflasi X% pada biaya penanggung/LER” → Rumus inflasi + LER
• Perbandingan efektivitas berbagai level deductible
• Pricing ulang polis setelah mengantisipasi inflasi

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika deductible bukan ordinary (franchise, disappearing, aggregate) — rumus LEV standar tidak berlaku langsung
• Jika inflasi tidak seragam (proportional) — perlu distribusi baru secara eksplisit
• Jika dibutuhkan distribusi kerugian tertanggung (per payment basis) — gunakan distribusi bersyarat $X - d | X > d$, bukan LER

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Pertanyaan tentang deductible?"] -->|"Ya"| B["Jenis deductible?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Topik lain"]
    B -->|"Ordinary"| C["Hitung E[X ∧ d]"]
    B -->|"Franchise/Lain"| D["Cek rumus khusus"]
    C --> E["Ada inflasi r?"]
    E -->|"Tidak"| F["LER = E[X ∧ d] / E[X]"]
    E -->|"Ya"| G["Ganti d* = d / (1+r)"]
    G --> H["LER_inflasi = E[X ∧ d*] / E[X]"]
    H --> I["Biaya penanggung = (1+r)(E[X] - E[X ∧ d*])"]

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal variasi LER dengan distribusi Gamma atau Lognormal”
2. “Jelaskan hubungan 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation dengan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk rumus LER dan inflasi”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 8 | 🗓️ 2025-01-30 | #TA2 #LossEliminationRatio #Inflation