📊 4.3 — Mean Variance and Stop-Loss

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Mean & Variansi Model Risiko Kolektif/Individual; Ekspektasi Asuransi Stop-Loss | Bobot: ~10–15% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019), Bab 9; Tse (2009), Bab 3 | Prereq: 4.1 Individual and Collective Risk Models, 4.2 Compound Distributions

---

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Agregat	4.3	Menghitung $E[S]$, $\text{Var}(S)$ untuk model kolektif dan individual; menghitung ekspektasi asuransi stop-loss $E[(S-d)_+]$ dan $E[\min(S,d)]$; menurunkan relasi antar kuantitas tersebut	10–15%	Calculation-Intensive	4.1 Individual and Collective Risk Models, 4.2 Compound Distributions	4.4 Aggregate Distribution Approximation, 4.5 Panjer Recursive Formula, 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models, 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency	Klugman et al. (2019), Bab 9; Tse (2009), Bab 3

---

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan reasuransi yang menanggung klaim agregat (total klaim) dari sebuah portofolio asuransi kendaraan bermotor selama satu tahun. Klaim total $S$ adalah jumlah semua klaim individual yang terjadi dalam periode tersebut — bisa nol bila tidak ada klaim sama sekali, bisa sangat besar bila terjadi banyak klaim besar secara bersamaan. Perusahaan reasuransi perlu menjawab dua pertanyaan mendasar: berapa rata-rata kerugian yang akan ditanggung? dan seberapa besar ketidakpastian di sekitar rata-rata itu? Inilah mengapa kita perlu menghitung mean dan variansi dari distribusi agregat $S$.

Namun ada satu produk asuransi yang sangat bergantung pada pemahaman distribusi $S$ ini, yaitu asuransi Stop-Loss. Dalam kontrak stop-loss, penanggung (atau reasuradur) berjanji untuk membayar seluruh kelebihan klaim agregat di atas suatu batas (deductible) $d$. Artinya, jika total klaim $S$ ternyata kurang dari $d$, reasuradur tidak membayar apa-apa. Tetapi jika $S$ melampaui $d$, reasuradur membayar selisihnya $S - d$. Berapa yang harus reasuradur cadangkan sebagai ekspektasi pembayaran? Inilah yang dihitung melalui net stop-loss premium $E[(S-d)_+]$.

Konsep ini sangat penting dalam praktik karena stop-loss melindungi penanggung primer dari bencana keuangan akibat tahun yang “buruk”. Seorang aktuaris harus mampu menghitung ekspektasi pembayaran stop-loss ini dengan tepat — baik ketika distribusi $S$ diketahui secara analitik, maupun ketika hanya mean dan variansi $S$ yang tersedia (untuk aproksimasi Normal/Lognormal di Topik 4.4). Topik 4.3 adalah fondasi matematis untuk semua itu.

---

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Kerugian Agregat dan Stop-Loss›

Misalkan $S$ adalah total kerugian agregat dalam satu periode. Asuransi Stop-Loss dengan deductible $d \geq 0$ membayar:

$$(S - d)_+ = \max(S - d,\; 0) = \begin{cases} 0 & \text{jika } S \leq d \\ S - d & \text{jika } S > d \end{cases}$$

Net stop-loss premium (ekspektasi pembayaran):

$$E[(S-d)_+] = \int_d^{\infty} (s - d)\, f_S(s)\, ds = \int_d^{\infty} [1 - F_S(s)]\, ds$$

Simbol	Makna	Catatan
$S$	Total kerugian agregat $= \sum_{i=1}^{N} X_i$	Model kolektif; $S=0$ jika $N=0$
$N$	Jumlah klaim (frekuensi)	Variabel acak diskrit non-negatif
$X_i$	Besar klaim ke-$i$ (severity)	i.i.d., independen dari $N$
$\mu_X = E[X]$	Mean besar klaim individual	$> 0$
$\sigma_X^2 = \text{Var}(X)$	Variansi besar klaim individual	$> 0$
$\mu_N = E[N]$	Mean frekuensi klaim	$> 0$
$\sigma_N^2 = \text{Var}(N)$	Variansi frekuensi klaim	$> 0$
$d$	Deductible stop-loss (retensi)	$d \geq 0$
$(S-d)_+$	Pembayaran stop-loss	$\max(S-d, 0)$
$e_S(d)$	Mean excess loss function agregat	$= E[S-d \;\|\; S>d]$
$F_S(d)$	CDF distribusi agregat di $d$	$P(S \leq d)$

Rumus Utama

Mean model kolektif (formula paling mendasar):

$$E[S] = E[N] \cdot E[X]$$

Label: Mean agregat = rata-rata frekuensi × rata-rata severity. Berlaku tanpa syarat selama $N$ dan $X_i$ independen.

Variansi model kolektif (conditional variance formula):

$$\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X) + \text{Var}(N) \cdot (E[X])^2$$

Label: Variansi agregat = komponen severity (rata-rata variansi bersyarat) + komponen frekuensi (variansi rata-rata bersyarat). Ini adalah law of total variance.

Variansi model kolektif — bentuk alternatif:

$$\text{Var}(S) = E[N] \cdot E[X^2] + (E[X])^2 \cdot [\text{Var}(N) - E[N]]$$

Label: Berguna ketika $E[X^2]$ langsung diketahui.

Momen kedua model kolektif:

$$E[S^2] = \text{Var}(S) + (E[S])^2 = E[N]\cdot\text{Var}(X) + \text{Var}(N)\cdot(E[X])^2 + (E[N])^2\cdot(E[X])^2$$

Label: Diperlukan untuk menghitung stop-loss dengan distribusi diskrit.

Mean model individual (dengan $m$ unit eksposur):

$$E[S] = \sum_{i=1}^{m} E[X_i] = \sum_{i=1}^{m} \mu_i$$

Variansi model individual (unit independen):

$$\text{Var}(S) = \sum_{i=1}^{m} \text{Var}(X_i) = \sum_{i=1}^{m} \sigma_i^2$$

Net stop-loss premium — bentuk integral:

$$E[(S-d)_+] = \int_d^{\infty} (1 - F_S(s))\, ds$$

Label: Setara dengan integral survival function $S_S(s) = 1 - F_S(s)$ dari $d$ ke $\infty$.

Net stop-loss premium — relasi fundamental:

$$E[(S-d)_+] = E[S] - d + d \cdot F_S(d) - \int_0^d s\, f_S(s)\, ds$$

Label: Diperoleh dengan memisah $E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$.

Dekomposisi kritis:

$$E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$$

Label: Total ekspektasi = porsi yang ditahan (limited expected value) + porsi stop-loss. Selalu benar.

Limited expected value:

$$E[\min(S,d)] = E[S] - E[(S-d)_+] = \int_0^d [1 - F_S(s)]\, ds$$

Label: Ekspektasi kerugian yang dibatasi di $d$; digunakan dalam penetapan premi lapisan.

Stop-loss untuk $S$ diskrit (dengan PMF $p_k = P(S=k)$):

$$E[(S-d)_+] = \sum_{k > d} (k - d)\, p_k = \sum_{k=0}^{\infty} (k-d)_+ \, p_k$$

Label: Penjumlahan eksplisit atas semua nilai $S > d$.

Asumsi Eksplisit

1. $X_1, X_2, \ldots$ adalah i.i.d. (identically and independently distributed) dengan mean $\mu_X$ dan variansi $\sigma_X^2$.
2. $N$ dan $\{X_i\}$ independen satu sama lain — frekuensi tidak bergantung pada besarnya klaim.
3. Untuk model individual: $X_i$ independen antar unit, meskipun boleh tidak identik ($\mu_i$ dan $\sigma_i^2$ boleh berbeda).
4. $E[X^2] < \infty$ (momen kedua severity terbatas) agar $\text{Var}(S)$ terdefinisi.
5. Untuk stop-loss kontinu: $F_S$ terdiferensialkan dan $\int_0^{\infty} s\, f_S(s)\, ds = E[S] < \infty$.

---

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Formula $\text{Var}(S) = E[N]\cdot\text{Var}(X) + \text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$ bukan rumus yang dihafal — ia adalah aplikasi langsung law of total variance: $\text{Var}(S) = E[\text{Var}(S|N)] + \text{Var}(E[S|N])$. Komponen pertama ($E[N]\cdot\text{Var}(X)$) muncul karena bersyarat pada $N=n$, klaim adalah jumlah $n$ variabel i.i.d. sehingga variansinya $n\sigma_X^2$, dan rata-ratanya terhadap $N$ menghasilkan $E[N]\sigma_X^2$. Komponen kedua ($\text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$) muncul karena $E[S|N=n] = n\mu_X$ adalah fungsi linear dari $n$, sehingga $\text{Var}(E[S|N]) = (E[X])^2 \cdot \text{Var}(N)$.

◈Support dan Domain›

• $S \geq 0$ selalu, dengan $P(S=0) = P(N=0) > 0$ untuk model kolektif.
• Stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ adalah fungsi menurun convex dalam $d$: semakin besar retensi $d$, semakin kecil pembayaran reasuransi.
• Di $d = 0$: $E[(S-0)_+] = E[S]$ — reasuransi menanggung seluruh klaim.
• Di $d \to \infty$: $E[(S-d)_+] \to 0$ — reasuransi tidak pernah membayar.
• Dekomposisi $E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$ berlaku untuk semua nilai $d \geq 0$.

Derivasi 1: Variansi Model Kolektif via Law of Total Variance

Langkah 1 — Terapkan law of total variance:

$$\text{Var}(S) = E[\text{Var}(S \mid N)] + \text{Var}(E[S \mid N])$$

Langkah 2 — Hitung $E[S|N=n]$: Bersyarat pada $N=n$, $S = X_1 + \cdots + X_n$ dengan $X_i$ i.i.d.

$$E[S \mid N=n] = n \cdot \mu_X \quad \Rightarrow \quad E[S \mid N] = N \cdot \mu_X$$

Langkah 3 — Hitung $\text{Var}(S|N=n)$:

$$\text{Var}(S \mid N=n) = n \cdot \sigma_X^2 \quad \Rightarrow \quad \text{Var}(S \mid N) = N \cdot \sigma_X^2$$

Langkah 4 — Substitusi ke law of total variance:

$$\text{Var}(S) = E[N \cdot \sigma_X^2] + \text{Var}(N \cdot \mu_X)$$

Langkah 5 — Sederhanakan (konstanta keluar dari ekspektasi dan variansi):

$$\text{Var}(S) = \sigma_X^2 \cdot E[N] + \mu_X^2 \cdot \text{Var}(N)$$ $$\boxed{\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X) + \text{Var}(N) \cdot (E[X])^2}$$

Derivasi 2: Net Stop-Loss Premium via Integral Survival Function

Langkah 1 — Mulai dari definisi:

$$E[(S-d)_+] = \int_0^{\infty} (s-d)_+ f_S(s)\, ds = \int_d^{\infty} (s-d) f_S(s)\, ds$$

Langkah 2 — Substitusi $u = s - d$, sehingga $s = u + d$, $ds = du$, batas: $u$ dari $0$ ke $\infty$:

$$= \int_0^{\infty} u\, f_S(u+d)\, du$$

Langkah 3 — Integrasikan per bagian (alternatif lebih elegan): langsung dari integral asal,

$$\int_d^{\infty}(s-d) f_S(s)\, ds = \left[(s-d)(-(1-F_S(s)))\right]_d^{\infty} + \int_d^{\infty} (1-F_S(s))\, ds$$

Langkah 4 — Evaluasi batas: suku pertama $= 0$ di $s=d$ (karena $s-d=0$) dan $\to 0$ di $s \to \infty$ (asumsi $E[S] < \infty$). Tersisa:

$$E[(S-d)_+] = \int_d^{\infty} [1 - F_S(s)]\, ds$$

Derivasi 3: Dekomposisi $E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$

Langkah 1 — Identitas aljabar: untuk setiap $s \geq 0$ dan $d \geq 0$,

$$s = \min(s, d) + (s-d)_+$$

Langkah 2 — Ambil ekspektasi kedua sisi:

$$E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$$

Ini langsung dari linearitas ekspektasi. ∎

✘Dilarang›

1. Jangan gunakan $\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X)$ saja — ini hanya benar jika $N$ deterministik (konstan), bukan variabel acak. Suku $\text{Var}(N) \cdot (E[X])^2$ wajib disertakan.
2. Jangan tukar $E[(S-d)_+]$ dengan $E[S] - d$ — yang benar adalah $E[(S-d)_+] = E[S] - E[\min(S,d)]$, bukan $E[S] - d$.
3. Jangan lupa $P(S=0) > 0$ ketika menghitung stop-loss untuk distribusi diskrit campuran — distribusi $S$ memiliki massa di titik nol yang harus diperhitungkan.

---

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Model risiko kolektif: jumlah klaim $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 4)$ dan besar klaim individual $X \sim \text{Exponential}$ dengan mean $E[X] = 500$.

(a) Hitung $E[S]$ dan $\text{Var}(S)$. (b) Hitung $E[S^2]$. (c) Hitung net stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ untuk $d = 2500$ menggunakan integrasi (gunakan fakta bahwa untuk model Poisson-Eksponensial, distribusi $S$ dapat dianalisis secara langsung).

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Terapkan formula mean dan variansi kolektif langsung. Untuk stop-loss Poisson-Eksponensial, gunakan dekomposisi $E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$ dengan hasil analitik.

1. Identifikasi Variabel

• $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 4)$: $E[N] = \text{Var}(N) = 4$
• $X \sim \text{Exp}(\theta = 500)$: $E[X] = 500$, $E[X^2] = 2\theta^2 = 500{,}000$, $\text{Var}(X) = \theta^2 = 250{,}000$
• $$d = 2500$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Model kolektif standar: $S = X_1 + \cdots + X_N$, $N$ independen dari $\{X_i\}$. Poisson-Eksponensial adalah pasangan klasik dalam teori risiko.

3. Setup Persamaan

$$E[S] = E[N] \cdot E[X], \qquad \text{Var}(S) = E[N]\cdot\text{Var}(X) + \text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$$

4. Eksekusi Aljabar

(a):

$$E[S] = 4 \times 500 = 2{,}000$$ $$\text{Var}(S) = 4 \times 250{,}000 + 4 \times (500)^2 = 1{,}000{,}000 + 1{,}000{,}000 = 2{,}000{,}000$$

(b):

$$E[S^2] = \text{Var}(S) + (E[S])^2 = 2{,}000{,}000 + 4{,}000{,}000 = 6{,}000{,}000$$

(c) Untuk Poisson($\lambda$)-Eksponensial($\theta$), diketahui bahwa $S$ memiliki distribusi campuran: massa di $s=0$ sebesar $e^{-\lambda}$, dan untuk $s > 0$ distribusi kontinu. Net stop-loss premium dapat dihitung via survival integral. Karena $E[S] = \lambda\theta = 2000$ dan $d = 2500 > E[S]$, gunakan relasi:

$$E[(S-d)_+] = E[S] - d + E[\max(d-S, 0)]$$

Lebih langsung: gunakan $E[(S-d)_+] = E[S] - E[\min(S,d)]$.

Untuk Poisson-Eksponensial: $E[\min(S,d)] = E[S]\left(1 - e^{-d/(\lambda\theta)} \cdot \text{(koreksi)}\right)$. Karena distribusi $S$ Poisson-Eksponensial kompleks, gunakan batas bawah: $E[(S-d)_+] \geq (E[S] - d)_+ = (2000 - 2500)_+ = 0$.

Untuk nilai eksak, gunakan formula rekursif atau aproksimasi Normal (lihat Topik 4.4): $S \approx N(\mu=2000, \sigma^2=2{,}000{,}000)$, $\sigma = \sqrt{2{,}000{,}000} \approx 1{,}414.2$.

$$E[(S-d)_+] \approx \sigma \cdot \phi\left(\frac{d-\mu}{\sigma}\right) - (d-\mu)\left[1 - \Phi\left(\frac{d-\mu}{\sigma}\right)\right]$$ $$z = \frac{2500 - 2000}{1414.2} = \frac{500}{1414.2} \approx 0.354$$ $$\phi(0.354) \approx 0.3752, \quad \Phi(0.354) \approx 0.6384$$ $$E[(S-d)_+] \approx 1414.2 \times 0.3752 - 500 \times (1-0.6384) = 530.6 - 500 \times 0.3616 = 530.6 - 180.8 = 349.8$$

5. Verification $E[S] = 2000$; $E[(S-d)_+] = 349.8 < E[S]$ ✓. Dekomposisi: $E[\min(S,d)] = 2000 - 349.8 = 1650.2$; dan $1650.2 < d = 2500$ ✓ (limited expected value selalu $\leq d$).

Hasil: $E[S]=2{,}000$; $\text{Var}(S)=2{,}000{,}000$; $E[S^2]=6{,}000{,}000$; $E[(S-2500)_+] \approx 349.8$ (aproksimasi Normal).

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 3 menit. Common trap: Untuk Poisson, $\text{Var}(N) = E[N] = \lambda$ — jangan gunakan nilai berbeda. Akibatnya $\text{Var}(S) = \lambda(E[X^2]) = \lambda \cdot E[X^2]$, yang merupakan shortcut khusus Poisson. Shortcut Poisson: $\text{Var}(S) = E[N] \cdot E[X^2]$ karena $E[N] = \text{Var}(N)$ untuk Poisson.

---

Soal B — Exam-Typical

Model risiko kolektif dengan frekuensi $N \sim \text{NegBin}(r=3, \beta=2)$ dan severity $X$ berdistribusi Gamma dengan mean $E[X] = 1{,}000$ dan $\text{Var}(X) = 500{,}000$.

(a) Hitung $E[S]$, $\text{Var}(S)$, dan standar deviasi $S$. (b) Hitung net stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ untuk $d = 7{,}000$ menggunakan aproksimasi Normal. (c) Berapakah nilai $E[\min(S, 7000)]$?

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Hitung momen NegBin terlebih dahulu, terapkan formula variansi kolektif, lalu gunakan formula stop-loss Normal.

1. Identifikasi Variabel

• $N \sim \text{NegBin}(r=3, \beta=2)$: $E[N] = r\beta = 6$, $\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta) = 3 \times 2 \times 3 = 18$
• $X$: $E[X] = 1{,}000$, $\text{Var}(X) = 500{,}000$, sehingga $E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 500{,}000 + 1{,}000{,}000 = 1{,}500{,}000$
• $$d = 7{,}000$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Model kolektif dengan frekuensi NegBin (overdispersi) dan severity Gamma (skewed kanan). Variasi frekuensi yang besar (Var$(N) = 18 \gg E[N] = 6$) akan mendominasi variansi agregat.

3. Setup Persamaan

$$E[S] = E[N]\cdot E[X]$$ $$\text{Var}(S) = E[N]\cdot\text{Var}(X) + \text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$$ $$E[(S-d)_+] \approx \sigma_S \cdot \phi(z) - (d - E[S]) \cdot [1 - \Phi(z)], \quad z = \frac{d - E[S]}{\sigma_S}$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Mean:

$$E[S] = 6 \times 1{,}000 = 6{,}000$$

Variansi:

$$\text{Var}(S) = 6 \times 500{,}000 + 18 \times (1{,}000)^2 = 3{,}000{,}000 + 18{,}000{,}000 = 21{,}000{,}000$$ $$\sigma_S = \sqrt{21{,}000{,}000} \approx 4{,}582.6$$

Catatan: komponen frekuensi ($18{,}000{,}000$) jauh mendominasi komponen severity ($3{,}000{,}000$) — konsisten dengan overdispersi NegBin.

(b) Stop-loss premium:

$$z = \frac{7{,}000 - 6{,}000}{4{,}582.6} = \frac{1{,}000}{4{,}582.6} \approx 0.2182$$

Dari tabel Normal standar: $\phi(0.2182) \approx 0.3885$, $\Phi(0.2182) \approx 0.5864$.

$$E[(S - 7000)_+] \approx 4{,}582.6 \times 0.3885 - 1{,}000 \times (1 - 0.5864)$$ $$= 1{,}780.3 - 1{,}000 \times 0.4136 = 1{,}780.3 - 413.6 = 1{,}366.7$$

(c) Limited expected value:

$$E[\min(S, 7000)] = E[S] - E[(S-7000)_+] = 6{,}000 - 1{,}366.7 = 4{,}633.3$$

5. Verification $E[(S-d)_+] = 1{,}366.7 > 0$ meskipun $d = 7000 > E[S] = 6000$; ini benar karena distribusi $S$ memiliki ekor kanan yang panjang. $E[\min(S,d)] = 4{,}633.3 < d = 7{,}000$ ✓. Dekomposisi: $4{,}633.3 + 1{,}366.7 = 6{,}000 = E[S]$ ✓.

Hasil: $E[S]=6{,}000$; $\text{Var}(S)=21{,}000{,}000$; $\sigma_S \approx 4{,}582.6$; $E[(S-7000)_+] \approx 1{,}366.7$; $E[\min(S,7000)] \approx 4{,}633.3$.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Menggunakan $\text{Var}(N) = E[N] = 6$ (keliru mengira NegBin seperti Poisson). Untuk NegBin, $\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta) = 18 \neq 6$ — perbedaan ini drastis dalam hasil variansi agregat. Shortcut: Selalu hitung kedua komponen variansi ($E[N]\text{Var}(X)$ dan $\text{Var}(N)(E[X])^2$) secara terpisah; bandingkan besarannya untuk cek konsistensi dengan tipe frekuensi.

---

Soal C — Challenging

Model risiko individual terdiri dari $m = 3$ polis independen dengan profil klaim sebagai berikut:

Polis $i$	$P(\text{klaim})$	Besar klaim jika ada ($X_i$)
1	$q_1 = 0.3$	Konstan $= 1{,}000$
2	$q_2 = 0.5$	Konstan $= 2{,}000$
3	$q_3 = 0.2$	Konstan $= 3{,}000$

Misalkan $L_i = X_i \cdot \mathbf{1}_{\text{klaim}_i}$ (kerugian polis $i$, nol jika tidak klaim), dan $S = L_1 + L_2 + L_3$.

(a) Hitung $E[S]$ dan $\text{Var}(S)$. (b) Tentukan distribusi lengkap $S$ (semua nilai yang mungkin dan probabilitasnya). (c) Hitung net stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ untuk $d = 2{,}000$ secara eksak menggunakan distribusi $S$.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Model individual — hitung momen tiap polis, jumlahkan. Untuk distribusi eksak, enumerate semua $2^3 = 8$ skenario klaim. Lalu hitung stop-loss langsung dari distribusi.

1. Identifikasi Variabel

• $L_i = c_i \cdot B_i$ di mana $B_i \sim \text{Bernoulli}(q_i)$ dan $c_i$ adalah besar klaim konstan
• $E[L_i] = q_i \cdot c_i$; $\text{Var}(L_i) = q_i(1-q_i) \cdot c_i^2$
• Polis 1: $c_1=1000$, $q_1=0.3$; Polis 2: $c_2=2000$, $q_2=0.5$; Polis 3: $c_3=3000$, $q_3=0.2$

2. Identifikasi Distribusi / Model Model risiko individual dengan besar klaim deterministik (Bernoulli). Distribusi $S$ adalah diskrit dengan support $\{0, 1000, 2000, 3000, 4000, 5000, 6000\}$ (beberapa nilai mungkin tidak muncul).

3. Setup Persamaan

$$E[S] = \sum_{i=1}^{3} q_i c_i, \qquad \text{Var}(S) = \sum_{i=1}^{3} q_i(1-q_i)c_i^2$$ $$E[(S-d)_+] = \sum_{s > d} (s - d) \cdot P(S = s)$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Mean:

$$E[L_1] = 0.3 \times 1000 = 300$$ $$E[L_2] = 0.5 \times 2000 = 1{,}000$$ $$E[L_3] = 0.2 \times 3000 = 600$$ $$E[S] = 300 + 1{,}000 + 600 = 1{,}900$$

Variansi:

$$\text{Var}(L_1) = 0.3 \times 0.7 \times 1{,}000{,}000 = 210{,}000$$ $$\text{Var}(L_2) = 0.5 \times 0.5 \times 4{,}000{,}000 = 1{,}000{,}000$$ $$\text{Var}(L_3) = 0.2 \times 0.8 \times 9{,}000{,}000 = 1{,}440{,}000$$ $$\text{Var}(S) = 210{,}000 + 1{,}000{,}000 + 1{,}440{,}000 = 2{,}650{,}000$$

(b) Distribusi lengkap — enumerate 8 skenario (B1, B2, B3) = (klaim polis 1, 2, 3):

$(B_1, B_2, B_3)$	Probabilitas	$S$
$(0,0,0)$	$0.7 \times 0.5 \times 0.8 = 0.280$	$0$
$(1,0,0)$	$0.3 \times 0.5 \times 0.8 = 0.120$	$1{,}000$
$(0,1,0)$	$0.7 \times 0.5 \times 0.8 = 0.280$	$2{,}000$
$(0,0,1)$	$0.7 \times 0.5 \times 0.2 = 0.070$	$3{,}000$
$(1,1,0)$	$0.3 \times 0.5 \times 0.8 = 0.120$	$3{,}000$
$(1,0,1)$	$0.3 \times 0.5 \times 0.2 = 0.030$	$4{,}000$
$(0,1,1)$	$0.7 \times 0.5 \times 0.2 = 0.070$	$5{,}000$
$(1,1,1)$	$0.3 \times 0.5 \times 0.2 = 0.030$	$6{,}000$

Gabungkan nilai $S$ yang sama:

$S$	$P(S=s)$
$0$	$0.280$
$1{,}000$	$0.120$
$2{,}000$	$0.280$
$3{,}000$	$0.070 + 0.120 = 0.190$
$4{,}000$	$0.030$
$5{,}000$	$0.070$
$6{,}000$	$0.030$
Total	$1.000$ ✓

(c) Stop-loss premium untuk $d = 2{,}000$ — hanya suku dengan $S > 2000$:

$$E[(S-2000)_+] = (3000-2000)(0.190) + (4000-2000)(0.030) + (5000-2000)(0.070) + (6000-2000)(0.030)$$ $$= 1000(0.190) + 2000(0.030) + 3000(0.070) + 4000(0.030)$$ $$= 190 + 60 + 210 + 120 = 580$$

5. Verification Cek: $E[\min(S,2000)] = E[S] - E[(S-2000)_+] = 1900 - 580 = 1320$.

Verifikasi langsung: $E[\min(S,2000)] = 0(0.280) + 1000(0.120) + 2000(0.280) + 2000(0.190) + 2000(0.030) + 2000(0.070) + 2000(0.030)$ $= 0 + 120 + 560 + 380 + 60 + 140 + 60 = 1320$ ✓

Cek total prob: $0.280+0.120+0.280+0.190+0.030+0.070+0.030 = 1.000$ ✓

Hasil: $E[S]=1{,}900$; $\text{Var}(S)=2{,}650{,}000$; distribusi $S$ memiliki 7 nilai dengan probabilitas di atas; $E[(S-2000)_+] = 580$; $E[\min(S,2000)] = 1{,}320$.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5–6 menit. Common trap 1: Menghitung $P(S=3000) = 0.070$ saja — lupa ada dua skenario yang menghasilkan $S=3000$: $(0,0,1)$ dan $(1,1,0)$. Selalu cek apakah nilai $S$ bisa muncul dari lebih dari satu kombinasi. Common trap 2: Memasukkan $s=2000$ dalam penjumlahan stop-loss — hanya $s > d$, bukan $s \geq d$. Shortcut: Untuk stop-loss diskrit, tulis langsung daftar $(s-d) \times P(S=s)$ untuk $s > d$ dalam satu tabel.

---

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Sanity Check 1 — Dekomposisi Wajib›

Selalu verifikasi: $E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+] = E[S]$. Ini adalah identitas yang selalu benar — jika tidak terpenuhi, ada kesalahan kalkulasi di salah satu sisi. Gunakan nilai yang lebih mudah dihitung untuk memperoleh yang satunya.

✓Sanity Check 2 — Batas Stop-Loss›

Dua batas yang selalu berlaku:

• $E[(S-d)_+] \leq E[S]$ (stop-loss tidak mungkin melebihi total klaim)
• $E[(S-d)_+] \geq (E[S] - d)_+$ (batas bawah Jensen — karena $(x-d)_+$ adalah fungsi convex)

Jika hasil kalkulasi melanggar salah satu, ada kesalahan.

✓Sanity Check 3 — Shortcut Variansi Poisson›

Khusus untuk Poisson ($E[N] = \text{Var}(N) = \lambda$):

$$\text{Var}(S) = \lambda \cdot E[X^2]$$

Ini lebih cepat dari formula umum. Berlaku hanya untuk Poisson; untuk Binomial atau NegBin gunakan formula penuh.

Metode Alternatif — Stop-Loss via Tabel Distribusi Diskrit

Untuk distribusi $S$ diskrit yang diketahui (mis. dari Panjer rekursif Topik 4.5), hitung langsung:

$$E[(S-d)_+] = \sum_{k=0}^{\infty} P(S > k+d) \cdot \mathbf{1}_{k \geq 0} = \sum_{j=d+1}^{\infty} P(S \geq j) = \sum_{j=d}^{\infty} [1 - F_S(j-1)] - [1 - F_S(d-1)]$$

Atau lebih praktis, jika PMF sudah tersedia: bangun tabel kumulatif, lalu jumlahkan $(s_k - d) \cdot p_k$ untuk semua $k$ di mana $s_k > d$.

---

Section 6 — Visualisasi Mental

Geometri asuransi stop-loss:

Pembayaran
(payoff)
    │
S-d │                              ╱ ← reasuransi membayar (S-d)
    │                            ╱
    │                          ╱
    │                        ╱
    │                      ╱
  0 │____________________╱________________________ S (total klaim)
    0          d=retensi
               ↑
        Deductible stop-loss
        E[(S-d)+] = area bayangan di atas garis d, dibobot PDF

Peran dekomposisi $E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$:

Total klaim E[S]
├──────────────────────────┬──────────────────────┤
│   E[min(S,d)]            │    E[(S-d)+]          │
│   (ditahan primer)       │    (dibayar reasuransi)│
│   = limited exp. value   │    = stop-loss premium │
└──────────────────────────┴──────────────────────┘
                           ↑
                        deductible d

Efek overdispersi pada variansi agregat:

Var(S) = E[N]·Var(X)   +   Var(N)·(E[X])²
           ↑                     ↑
    Komponen severity      Komponen frekuensi
    (selalu ada)           (hilang jika N konstan)

Poisson:   Var(N) = E[N]   → kedua suku seimbang
Binomial:  Var(N) < E[N]   → komponen severity dominan
NegBin:    Var(N) > E[N]   → komponen frekuensi dominan

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Titik patah payoff diagram di $d$	$d$ = deductible stop-loss
Area di bawah payoff × PDF	$E[(S-d)_+] = \int_d^\infty (s-d)f_S(s)\,ds$
Lebar segmen “retained”	$E[\min(S,d)] = \int_0^d [1-F_S(s)]\,ds$
Lebar total bar	$E[S]$ = jumlah kedua segmen
Tinggi komponen frekuensi	$\text{Var}(N) \cdot (E[X])^2$; makin tinggi jika NegBin

---

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

NegBin variansi: Untuk NegBin$(r, \beta)$: $\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta)$, bukan $r\beta$. Kesalahan ini menghasilkan $\text{Var}(S)$ yang salah besar. Ingat: $\text{Var}(N) = E[N] \cdot (1+\beta)$ — selalu lebih besar dari mean.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. ”$\text{Var}(S) = E[N]\cdot\text{Var}(X)$ saja” — ini hanya benar jika $N$ konstan (deterministik). Untuk $N$ acak, suku $\text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$ wajib ada.
2. "$E[(S-d)_+] = E[S] - d$" — ini salah. Yang benar: $E[(S-d)_+] = E[S] - E[\min(S,d)] \leq E[S] - d$ hanya jika $P(S \geq d) = 1$. Umumnya $E[\min(S,d)] < d$.
3. Memasukkan $s = d$ dalam penjumlahan stop-loss diskrit — stop-loss membayar hanya jika $S > d$, bukan $S \geq d$. Untuk distribusi kontinu tidak masalah, tetapi untuk diskrit, $s = d$ memberikan $(d-d) = 0$ sehingga tidak berkontribusi — tetap tak bermasalah secara numerik, tetapi konsep harus benar.
4. Lupa $P(S=0) > 0$ saat menghitung stop-loss untuk model kolektif — distribusi $S$ memiliki massa positif di nol.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Net stop-loss premium” = $E[(S-d)_+]$ — ini adalah ekspektasi pembayaran, bukan premi gross.
• “Stop-loss dengan retention $d$” dan “stop-loss dengan deductible $d$” adalah istilah yang sama — $d$ adalah ambang batas di mana reasuransi mulai membayar.
• “Limited expected value” = $E[\min(S,d)]$ — bukan $E[S \cdot \mathbf{1}_{S \leq d}]$ saja; ingat ada suku $d \cdot P(S > d)$ juga.
• Soal meminta $E[\min(S,u)]$ → gunakan dekomposisi: $E[\min(S,u)] = E[S] - E[(S-u)_+]$.

▲Red Flags›

• Kata “stop-loss” atau “excess of loss reinsurance” → hitung $E[(S-d)_+]$; periksa apakah distribusi $S$ diketahui atau perlu aproksimasi.
• Kata “limited expected value” → hitung $E[\min(S,d)]$; gunakan dekomposisi.
• Frekuensi NegBin → pastikan $\text{Var}(N) = r\beta(1+\beta)$, bukan $r\beta$.
• Frekuensi Poisson → shortcut $\text{Var}(S) = \lambda E[X^2]$ menghemat langkah.
• Model individual dengan polis Bernoulli → enumerate semua $2^m$ skenario jika $m$ kecil ($m \leq 4$).

---

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Mean dan variansi model kolektif:

   $$E[S] = E[N]\cdot E[X], \quad \text{Var}(S) = E[N]\cdot\text{Var}(X) + \text{Var}(N)\cdot(E[X])^2$$

2. Shortcut Poisson ($E[N]=\text{Var}(N)=\lambda$):

   $$\text{Var}(S) = \lambda \cdot E[X^2]$$

3. Dekomposisi fundamental (selalu benar):

   $$E[S] = E[\min(S,d)] + E[(S-d)_+]$$

4. Net stop-loss premium via survival integral:

   $$E[(S-d)_+] = \int_d^{\infty}[1 - F_S(s)]\,ds$$

5. Stop-loss diskrit (hitung langsung dari PMF):

   $$E[(S-d)_+] = \sum_{s > d}(s - d)\cdot P(S = s)$$

Kapan Digunakan

• Soal meminta $E[S]$ dan/atau $\text{Var}(S)$ dari model kolektif atau individual.
• Soal menyebutkan stop-loss, excess of loss, atau reinsurance retention → hitung $E[(S-d)_+]$.
• Soal meminta limited expected value $E[\min(S,d)]$ → gunakan dekomposisi.
• Sebagai input untuk aproksimasi Normal/Lognormal di 4.4 Aggregate Distribution Approximation.
• Sebagai komponen dalam soal 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models yang melibatkan deductible agregat.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Formula model kolektif tidak berlaku untuk model individual dengan polis berbeda-beda — gunakan $\sum \mu_i$ dan $\sum \sigma_i^2$ untuk model individual.
• Shortcut Poisson $\text{Var}(S) = \lambda E[X^2]$ hanya untuk frekuensi Poisson — jangan gunakan untuk Binomial atau NegBin.
• Formula stop-loss kontinu $\int_d^\infty [1-F_S]\,ds$ tidak langsung berlaku untuk distribusi $S$ yang campuran (ada massa di nol) — perlu diperlakukan dengan hati-hati.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal model agregat S"] --> B{"Jenis model?"}
    B --> |"Kolektif: S = X1+...+XN"| C{"Tipe frekuensi N?"}
    B --> |"Individual: S = L1+...+Lm"| D["E[S] = sum mu_i<br>Var(S) = sum sigma_i^2"]
    C --> |"Poisson (lambda)"| E["E[S] = lambda*E[X]<br>Var(S) = lambda*E[X^2]<br>(shortcut)"]
    C --> |"NegBin atau lainnya"| F["E[S] = E[N]*E[X]<br>Var(S) = E[N]*Var(X)<br>+ Var(N)*(E[X])^2"]
    E --> G{"Ada stop-loss?"}
    F --> G
    D --> G
    G --> |"Ya, deductible d"| H{"Distribusi S diketahui?"}
    G --> |"Tidak"| I["Selesai: laporkan<br>E[S] dan Var(S)"]
    H --> |"Ya (diskrit/analitik)"| J["Hitung eksak:<br>sum (s-d)*P(S=s) untuk s > d"]
    H --> |"Tidak, gunakan aproksimasi"| K["Gunakan Normal/Lognormal<br>lihat Topik 4.4"]
    J --> L["Cek: E[min(S,d)] + E[(S-d)+] = E[S]"]
    K --> L

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal stop-loss dengan distribusi $S$ yang dihitung via Panjer rekursif”
2. “Jelaskan hubungan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss dengan 4.4 Aggregate Distribution Approximation — kapan aproksimasi Normal vs Lognormal lebih baik?”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009), Bab 3 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #ModelAgregat #StopLoss