TA2 · Materi 4.4

Aggregate Distribution Approximation

Calculation-Intensive Bobot: 10–15% Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009) Bab 3

TA2AgregatModelNormalApproximationLognormalApproximationSkewnessMomenMatching

📊 4.4 — Aggregate Distribution Approximation

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Aggregate Distribution Approximation | Bobot: ~10–15% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009) Bab 3 | Prereq: 4.2 Compound Distributions, 4.3 Mean Variance and Stop-Loss

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Agregat	4.4	Memperkirakan distribusi agregat $S$ menggunakan pendekatan Normal dan Lognormal; menghitung probabilitas, persentil, dan stop-loss premium menggunakan aproksimasi; membandingkan kualitas dua pendekatan	10–15%	Calculation-Intensive	4.2 Compound Distributions, 4.3 Mean Variance and Stop-Loss	4.3 Mean Variance and Stop-Loss, 4.5 Panjer Recursive Formula, 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models	Klugman et al. (2019) Bab 9; Tse (2009) Bab 3

Section 1 — Intuisi

Seorang kepala aktuaris di perusahaan asuransi umum Indonesia perlu menjawab pertanyaan yang sangat konkret menjelang akhir tahun: “Berapa probabilitas total klaim tahun ini melebihi cadangan yang sudah kami siapkan?” atau “Di angka berapa total klaim agar kami hanya punya 5% peluang terlampaui?” Secara teoritis, distribusi agregat $S$ bisa dihitung tepat menggunakan konvolusi atau formula rekursif Panjer — tetapi untuk portofolio besar dengan ratusan ribu polis, komputasi eksak bisa sangat mahal atau bahkan tidak praktis. Di sinilah pendekatan distribusi Normal dan Lognormal berperan: keduanya memberikan jawaban yang cukup akurat dengan hanya membutuhkan beberapa momen dari $S$ .

Pendekatan Normal bekerja berdasarkan Central Limit Theorem (CLT): saat jumlah klaim sangat banyak, distribusi total $S$ cenderung mendekati Normal. Cukup cocokkan mean dan variance $S$ ke parameter Normal, lalu gunakan tabel $z$ -standar biasa. Masalahnya, distribusi agregat hampir selalu positively skewed — ekor kanannya lebih panjang dari yang diprediksi Normal — sehingga pendekatan Normal cenderung meremehkan probabilitas di ekor kanan yang justru paling kritis bagi manajemen risiko.

Pendekatan Lognormal mengatasi kelemahan ini. Karena Lognormal selalu positif dan positively skewed, ia jauh lebih cocok untuk meniru bentuk distribusi agregat klaim yang sesungguhnya. Kita cocokkan mean dan variance $S$ ke parameter Lognormal $(\mu, \sigma^2)$ menggunakan method of moments, lalu semua probabilitas dan persentil dihitung via transformasi logaritmik ke distribusi Normal standar. Dalam praktik aktuaria, Lognormal umumnya memberikan aproksimasi yang lebih konservatif dan lebih baik di ekor kanan — inilah yang dibutuhkan untuk penetapan cadangan dan pricing yang prudent.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Dua Pendekatan Aproksimasi›

Diberikan aggregate loss $S$ dengan mean $\mu_S = E(S)$ dan variance $\sigma_S^2 = \text{Var}(S)$ yang diketahui.

Aproksimasi Normal: $S \approx N(\mu_S,\, \sigma_S^2)$

Aproksimasi Lognormal: $S \approx \text{Lognormal}(\mu,\, \sigma^2)$ di mana parameter $\mu$ dan $\sigma^2$ ditentukan dengan mencocokkan dua momen pertama dari $S$ .

Simbol	Makna	Catatan
$S$	Aggregate loss yang diaproksimasikan	Variabel acak kontinu non-negatif
$\mu_S$	$E(S) = E(N)\,E(X)$	Mean agregat dari 4.3 Mean Variance and Stop-Loss
$\sigma_S^2$	$\text{Var}(S)$	Variance agregat; untuk Poisson: $\lambda E(X^2)$
$\sigma_S$	$\sqrt{\text{Var}(S)}$	Standar deviasi agregat
$\mu$	Parameter lokasi Lognormal	$\mu = \ln(\mu_S) - \tfrac{1}{2}\sigma^2$ ; bukan mean dari $S$
$\sigma^2$	Parameter skala Lognormal	$\sigma^2 = \ln\!\left(1 + \tfrac{\sigma_S^2}{\mu_S^2}\right)$
$\Phi(\cdot)$	CDF distribusi Normal standar	Dari tabel $z$
$z_p$	Persentil ke- $p$ dari Normal standar	$\Phi(z_p) = p$
$\text{CV}$	Coefficient of variation dari $S$	$\text{CV} = \sigma_S / \mu_S$
$\gamma_S$	Koefisien skewness dari $S$	$\gamma_S = E[(S-\mu_S)^3]/\sigma_S^3$ ; positif untuk klaim

Rumus Utama

Parameter Lognormal dari momen $S$ (method of moments):

\sigma^2 = \ln\!\left(1 + \frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2}\right) = \ln\!\left(1 + \text{CV}^2\right)

\mu = \ln(\mu_S) - \frac{\sigma^2}{2}

Label: Dua persamaan ini adalah jantung aproksimasi Lognormal — selalu hitung $\sigma^2$ dulu, baru $\mu$ .

CDF aproksimasi Normal:

P(S \leq x) \approx \Phi\!\left(\frac{x - \mu_S}{\sigma_S}\right)

Label: Standarisasi langsung ke $z$ -score; gunakan tabel Normal standar.

CDF aproksimasi Lognormal:

P(S \leq x) \approx \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)

Label: Transformasi logaritmik ke Normal standar; valid hanya untuk $x > 0$ .

Persentil ke- $p$ — aproksimasi Normal:

x_p \approx \mu_S + z_p \cdot \sigma_S

Label: Persentil diperoleh langsung dari $z_p$ tabel Normal standar.

Persentil ke- $p$ — aproksimasi Lognormal:

x_p \approx e^{\mu + z_p \cdot \sigma}

Label: Back-transform dari Normal standar; hasilnya selalu positif.

Stop-Loss premium — aproksimasi Normal:

E[(S - d)_+] \approx \sigma_S \cdot \phi(z_d) - (d - \mu_S)\cdot[1 - \Phi(z_d)]

di mana $z_d = (d - \mu_S)/\sigma_S$ dan $\phi(\cdot)$ adalah PDF Normal standar.

Label: Digunakan untuk menghitung harga asuransi stop-loss dengan deductible $d$ atas distribusi agregat.

Stop-Loss premium — aproksimasi Lognormal:

E[(S - d)_+] \approx \mu_S \cdot \Phi\!\left(\frac{\mu + \sigma^2 - \ln d}{\sigma}\right) - d \cdot \Phi\!\left(\frac{\mu - \ln d}{\sigma}\right)

Label: Formula lengkap untuk stop-loss premium di bawah model Lognormal; dua suku masing-masing dari momen pertama Lognormal yang dipotong.

Asumsi Eksplisit

$\mu_S = E(S)$ dan $\sigma_S^2 = \text{Var}(S)$ telah dihitung secara eksak dari model frekuensi dan severity (via rumus dari 4.2 Compound Distributions dan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss).
Normal: Distribusi $S$ cukup simetris dan frekuensi klaim cukup besar agar CLT berlaku secara memadai.
Lognormal: $S > 0$ hampir pasti; distribusi $S$ positively skewed dan lebih cocok dengan bentuk Lognormal.
Hanya dua momen pertama ( $\mu_S$ dan $\sigma_S^2$ ) yang digunakan untuk fitting — momen ketiga (skewness) tidak dicocokkan secara eksplisit.
Aproksimasi memberikan nilai perkiraan, bukan nilai eksak — selalu ada aproksimasi error, terutama di ekor distribusi.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci dari kedua aproksimasi adalah method of moments — cocokkan parameter distribusi aproksimasi dengan momen yang sudah kita ketahui dari $S$ . Untuk Normal, parameternya adalah $(\mu_S, \sigma_S^2)$ secara langsung. Untuk Lognormal, jika $S \sim \text{Lognormal}(\mu, \sigma^2)$ , maka $E(S) = e^{\mu + \sigma^2/2}$ dan $\text{Var}(S) = e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)$ . Kita selesaikan sistem dua persamaan ini untuk mendapatkan $\mu$ dan $\sigma^2$ dalam bentuk $\mu_S$ dan $\sigma_S^2$ .

◈Support dan Domain›

Normal: Support $(-\infty, \infty)$ — secara teknis bisa negatif! Untuk $S$ dengan $P(S < 0) = 0$ , aproksimasi Normal valid hanya jika $\mu_S \gg \sigma_S$ (yaitu $\text{CV} \ll 1$ ). Jika $\text{CV}$ besar, probabilitas massa di negatif menjadi signifikan dan aproksimasi rusak.
Lognormal: Support $(0, \infty)$ — selalu positif, konsisten dengan nature $S$ . Valid untuk semua CV tetapi lebih baik saat distribusi mempunyai ekor kanan yang panjang.
$z_d = (d - \mu_S)/\sigma_S$ : perhatikan bahwa $z_d$ bisa negatif jika $d < \mu_S$ (deductible di bawah mean), dan ini valid secara matematis.

Derivasi Parameter Lognormal — Step by Step:

Misalkan $S \sim \text{Lognormal}(\mu, \sigma^2)$ , sehingga $\ln S \sim N(\mu, \sigma^2)$ .

Step 1 — Tulis momen Lognormal:

E(S) = e^{\mu + \sigma^2/2} = \mu_S

E(S^2) = e^{2\mu + 2\sigma^2}

\text{Var}(S) = E(S^2) - [E(S)]^2 = e^{2\mu + 2\sigma^2} - e^{2\mu + \sigma^2} = e^{2\mu + \sigma^2}\!\left(e^{\sigma^2} - 1\right) = \sigma_S^2

Step 2 — Bentuk rasio $\text{Var}(S)/[E(S)]^2$ :

\frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2} = \frac{e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1)}{e^{2\mu + \sigma^2}} = e^{\sigma^2} - 1

Step 3 — Selesaikan untuk $\sigma^2$ :

e^{\sigma^2} = 1 + \frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2} = 1 + \text{CV}^2

\sigma^2 = \ln\!\left(1 + \text{CV}^2\right)

Step 4 — Selesaikan untuk $\mu$ dari persamaan mean:

e^{\mu + \sigma^2/2} = \mu_S \implies \mu + \frac{\sigma^2}{2} = \ln(\mu_S) \implies \mu = \ln(\mu_S) - \frac{\sigma^2}{2}

Derivasi Persentil Lognormal — Step by Step:

Ingin mencari $x_p$ sehingga $P(S \leq x_p) = p$ .

Step 1: $P(S \leq x_p) = P(\ln S \leq \ln x_p) = P\!\left(\frac{\ln S - \mu}{\sigma} \leq \frac{\ln x_p - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{\ln x_p - \mu}{\sigma}\right) = p$

Step 2: $\frac{\ln x_p - \mu}{\sigma} = z_p$ (persentil Normal standar)

Step 3: $\ln x_p = \mu + z_p \sigma \implies x_p = e^{\mu + z_p \sigma}$

✘Dilarang›

Jangan hitung $\mu$ sebelum $\sigma^2$ — urutan wajib: $\sigma^2$ dulu dari formula $\ln(1 + \text{CV}^2)$ , baru $\mu = \ln(\mu_S) - \sigma^2/2$ . Membalik urutan menghasilkan jawaban yang tidak konsisten.
Jangan gunakan $\mu$ Lognormal sebagai mean dari $S$ — $\mu$ adalah mean dari $\ln S$ , bukan mean dari $S$ itu sendiri. Mean $S$ adalah $e^{\mu + \sigma^2/2} = \mu_S$ .
Jangan gunakan aproksimasi Normal untuk menghitung probabilitas di ekor kanan yang jauh — Normal sangat underestimate $P(S > x)$ untuk $x$ jauh di atas mean ketika $S$ skewed. Untuk pertanyaan tentang ekor kanan (nilai risiko tinggi, stop-loss di atas mean), Lognormal hampir selalu lebih tepat.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal: Aggregate loss $S$ memiliki $E(S) = 10{,}000$ dan $\text{Var}(S) = 4{,}000{,}000$ (sehingga $\sigma_S = 2{,}000$ ). (a) Hitung $P(S > 12{,}000)$ menggunakan aproksimasi Normal. (b) Tentukan persentil ke-95 dari $S$ menggunakan aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Standarisasi langsung ke $z$ -score menggunakan $\mu_S$ dan $\sigma_S$ , lalu baca tabel Normal standar.

1. Identifikasi Variabel

$\mu_S = E(S) = 10{,}000$
$\sigma_S^2 = \text{Var}(S) = 4{,}000{,}000$ , sehingga $\sigma_S = 2{,}000$
Aproksimasi: $S \approx N(10000, 2000^2)$

2. Identifikasi Distribusi / Model Aproksimasi Normal langsung — transformasi ke $z$ -score standar, gunakan $\Phi(\cdot)$ dari tabel.

3. Setup Persamaan

P(S > 12000) = P\!\left(Z > \frac{12000 - 10000}{2000}\right) = P(Z > 1.00) = 1 - \Phi(1.00)

x_{0.95} = \mu_S + z_{0.95} \cdot \sigma_S = 10000 + 1.645 \times 2000

4. Eksekusi Aljabar

(a)

z = \frac{12000 - 10000}{2000} = 1.00

P(S > 12000) \approx 1 - \Phi(1.00) = 1 - 0.8413 = 0.1587

(b)

x_{0.95} = 10000 + 1.645 \times 2000 = 10000 + 3290 = 13{,}290

5. Verification $P(S > 12000) = 15.87\%$ : angka berada di atas mean, sehingga probabilitasnya harus antara 0 dan 50% — $15.87\%$ ✓. Persentil ke-95 = 13,290: harus lebih besar dari mean (10,000) ✓ dan sekitar $1.645\sigma_S$ di atas mean ✓.

Hasil: (a) $P(S > 12{,}000) \approx 15.87\%$ ; (b) $x_{0.95} \approx 13{,}290$ .

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 3 menit. Common trap: Lupa bahwa $P(S > x) = 1 - \Phi(z)$ , bukan $\Phi(z)$ langsung. Shortcut: Persentil Normal selalu berbentuk $\mu_S + z_p \sigma_S$ — hafalkan $z_{0.90} = 1.282$ , $z_{0.95} = 1.645$ , $z_{0.975} = 1.960$ , $z_{0.99} = 2.326$ .

Soal B — Exam-Typical

Soal: Aggregate loss $S$ memiliki $E(S) = 5{,}000$ dan $\text{Var}(S) = 1{,}000{,}000$ (sehingga $\sigma_S = 1{,}000$ , $\text{CV} = 0.2$ ). (a) Tentukan parameter Lognormal $(\mu, \sigma^2)$ yang sesuai. (b) Hitung $P(S > 6{,}500)$ menggunakan aproksimasi Lognormal. (c) Bandingkan dengan hasil aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Hitung $\sigma^2$ dan $\mu$ dari method of moments, lalu standarisasi $\ln(6500)$ ke $z$ -score Lognormal. Bandingkan kedua $z$ -score.

1. Identifikasi Variabel

$\mu_S = 5{,}000$ , $\sigma_S = 1{,}000$
$\text{CV} = 1000/5000 = 0.2$ , $\text{CV}^2 = 0.04$

2. Identifikasi Distribusi / Model Method of moments Lognormal: dua persamaan untuk $\sigma^2$ dan $\mu$ . Kemudian standarisasi via $\ln(\cdot)$ .

3. Setup Persamaan

\sigma^2 = \ln(1 + \text{CV}^2) = \ln(1.04)

\mu = \ln(\mu_S) - \frac{\sigma^2}{2} = \ln(5000) - \frac{\sigma^2}{2}

P(S > 6500) \approx 1 - \Phi\!\left(\frac{\ln(6500) - \mu}{\sigma}\right)

4. Eksekusi Aljabar

(a) Parameter Lognormal:

\sigma^2 = \ln(1.04) = 0.039221

\sigma = \sqrt{0.039221} = 0.19804

\mu = \ln(5000) - \frac{0.039221}{2} = 8.51719 - 0.019611 = 8.49758

(b) Probabilitas Lognormal:

\ln(6500) = 8.77952

z = \frac{8.77952 - 8.49758}{0.19804} = \frac{0.28194}{0.19804} = 1.4236

P(S > 6500) \approx 1 - \Phi(1.4236) \approx 1 - 0.9227 = 0.0773

(c) Perbandingan dengan Normal:

z_\text{Normal} = \frac{6500 - 5000}{1000} = 1.500

P_\text{Normal}(S > 6500) \approx 1 - \Phi(1.500) = 1 - 0.9332 = 0.0668

Lognormal: $7.73\%$ vs. Normal: $6.68\%$ — Lognormal memberikan probabilitas ekor yang lebih besar (lebih konservatif).

5. Verification $\sigma^2 = 0.0392$ : kecil karena CV = 0.2 kecil — Lognormal mendekati Normal saat CV kecil ✓. Selisih kedua hasil ( $7.73\%$ vs $6.68\%$ ) relatif kecil karena CV rendah; saat CV besar perbedaan akan jauh lebih dramatis ✓. Lognormal selalu memberikan ekor kanan yang lebih tebal dari Normal ✓.

Hasil: (a) $\sigma^2 = 0.03922$ , $\mu = 8.4976$ ; (b) $P_\text{LN}(S > 6500) \approx 7.73\%$ ; (c) $P_\text{Normal} \approx 6.68\%$ — Lognormal lebih konservatif.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 5 menit. Common trap: Menggunakan $\ln(\mu_S)$ sebagai $\mu$ Lognormal tanpa mengurangi $\sigma^2/2$ — ini salah. Harus: $\mu = \ln(\mu_S) - \sigma^2/2$ . Shortcut: Untuk CV kecil ( $< 0.3$ ), $\sigma^2 \approx \text{CV}^2$ (Taylor expansion $\ln(1+x) \approx x$ ) — ini mempercepat kalkulasi mental.

Soal C — Challenging

Soal: $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 100)$ . Besar klaim $X \sim \text{Lognormal}(\mu_X = 6, \sigma_X^2 = 1)$ , sehingga $E(X) = e^{6.5} = 665.14$ dan $E(X^2) = e^{14} = 1{,}202{,}604$ . (a) Hitung $E(S)$ dan $\text{Var}(S)$ . (b) Tentukan parameter $(\mu, \sigma^2)$ Lognormal untuk mengaproksimasikan $S$ . (c) Tentukan nilai deductible agregat $d$ sedemikian sehingga $P(S > d) = 5\%$ menggunakan aproksimasi Lognormal. (d) Hitung stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ menggunakan aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: (a) Gunakan momen compound Poisson. (b) Method of moments Lognormal. (c) Persentil ke-95 Lognormal. (d) Formula stop-loss Normal.

1. Identifikasi Variabel

$\lambda = 100$ , $E(X) = e^{6.5} \approx 665.14$ , $E(X^2) = e^{14} \approx 1{,}202{,}604$
$\text{Var}(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 = 1{,}202{,}604 - 665.14^2 = 1{,}202{,}604 - 442{,}411 = 760{,}193$

2. Identifikasi Distribusi / Model Compound Poisson: $\text{Var}(S) = \lambda E(X^2)$ . Lognormal approximation via method of moments. Persentil ke-95 dari Lognormal. Stop-loss Normal dengan $z_d$ dan $\phi(z_d)$ .

3. Setup Persamaan

E(S) = \lambda \cdot E(X), \quad \text{Var}(S) = \lambda \cdot E(X^2)

\sigma^2 = \ln\!\left(1 + \frac{\text{Var}(S)}{[E(S)]^2}\right), \quad \mu = \ln(E(S)) - \frac{\sigma^2}{2}

d = e^{\mu + 1.645\,\sigma}

E[(S-d)_+] = \sigma_S \phi(z_d) - (d - \mu_S)[1 - \Phi(z_d)]

4. Eksekusi Aljabar

(a) Momen $S$ :

E(S) = 100 \times 665.14 = 66{,}514

\text{Var}(S) = 100 \times 1{,}202{,}604 = 120{,}260{,}400

\sigma_S = \sqrt{120{,}260{,}400} = 10{,}966.3

\text{CV} = \frac{10{,}966.3}{66{,}514} = 0.16486

(b) Parameter Lognormal:

\sigma^2 = \ln(1 + 0.16486^2) = \ln(1.027179) = 0.026814

\sigma = \sqrt{0.026814} = 0.16375

\mu = \ln(66{,}514) - \frac{0.026814}{2} = 11.1053 - 0.013407 = 11.0919

(c) Persentil ke-95 (deductible $d$ dengan $P(S>d)=5\%$ ):

d = e^{\mu + z_{0.95} \cdot \sigma} = e^{11.0919 + 1.645 \times 0.16375}

= e^{11.0919 + 0.26937} = e^{11.3613}

= 85{,}630 \quad \text{(sekitar)}

(d) Stop-Loss premium via Normal:

z_d = \frac{85{,}630 - 66{,}514}{10{,}966.3} = \frac{19{,}116}{10{,}966.3} = 1.7432

\phi(1.7432) \approx 0.0863 \quad (\text{PDF Normal standar})

1 - \Phi(1.7432) \approx 0.0406

E[(S - 85{,}630)_+] \approx 10{,}966.3 \times 0.0863 - (85{,}630 - 66{,}514) \times 0.0406

= 946.4 - 776.3 = 170.1

5. Verification CV = 16.5%: kecil karena $\lambda = 100$ (banyak klaim), CLT bekerja dengan baik ✓. $d = 85{,}630 > E(S) = 66{,}514$ ✓ (persentil ke-95 harus di atas mean). $E[(S-d)_+] = 170 \ll E(S) = 66{,}514$ ✓ — stop-loss premium kecil relatif terhadap mean karena deductible jauh di atas mean. Cross-check: $E[(S-d)_+] = E(S) - d + d \cdot P(S \leq d) + \ldots$ — pastikan positif ✓.

Hasil: (a) $E(S) = 66{,}514$ , $\text{Var}(S) = 120{,}260{,}400$ ; (b) $\mu = 11.092$ , $\sigma^2 = 0.02681$ ; (c) $d \approx 85{,}630$ ; (d) $E[(S-d)_+] \approx 170$ .

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 10 menit (soal multi-bagian). Common trap: (1) Menggunakan $\text{Var}(X)$ bukan $E(X^2)$ dalam formula compound Poisson variance — ingat $\text{Var}(S) = \lambda E(X^2)$ , bukan $\lambda \text{Var}(X)$ . (2) Salah menghitung $\phi(z_d)$ — ini adalah PDF, bukan CDF. Shortcut: Dalam soal multi-bagian seperti ini, selesaikan (a) dulu dan simpan $E(S)$ , $\sigma_S$ , CV — semua bagian berikutnya bergantung pada tiga angka ini.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-Check 1 — Konsistensi Parameter Lognormal›

Setelah mendapatkan $\mu$ dan $\sigma^2$ , verifikasi bahwa momen kembali ke $\mu_S$ dan $\sigma_S^2$ :

e^{\mu + \sigma^2/2} = \mu_S \quad \text{dan} \quad e^{2\mu + \sigma^2}(e^{\sigma^2} - 1) = \sigma_S^2

Jika tidak konsisten, cari kesalahan di langkah $\sigma^2$ atau $\mu$ .

✓Cross-Check 2 — Perbandingan Normal vs. Lognormal›

Untuk probabilitas ekor kanan $P(S > x)$ dengan $x > \mu_S$ , selalu berlaku:

P_\text{Lognormal}(S > x) \geq P_\text{Normal}(S > x)

Lognormal memberikan ekor kanan yang lebih tebal. Jika hasil Anda menunjukkan Normal memberikan probabilitas lebih besar untuk ekor kanan, ada kesalahan.

✓Cross-Check 3 — Batas Stop-Loss Premium›

Stop-loss premium $E[(S-d)_+]$ harus memenuhi:

0 \leq E[(S-d)_+] \leq \max(E(S) - d, 0)

Jika $d > E(S)$ : $E[(S-d)_+] < E(S) - d + (\text{kecil})$ — premium harus kecil.

Jika $d = 0$ : $E[(S-d)_+] = E(S)$ — premium sama dengan mean total.

Metode Alternatif

Shifted Gamma Approximation (NP — Normal Power): Metode ketiga yang kadang muncul adalah aproksimasi Gamma yang digeser, menggunakan tiga momen ( $\mu_S$ , $\sigma_S^2$ , dan skewness $\gamma_S$ ). Lebih akurat dari Normal dan Lognormal untuk kasus di mana skewness $S$ tersedia secara analitik. Tidak dalam silabus utama TA2 tetapi perlu diketahui sebagai konteks.

Translasi Normal: $S \approx c + N(\mu_c, \sigma_c^2)$ dengan $c$ dipilih agar skewness cocok — alternatif lain yang mengatasi kelemahan Normal di ekor.

Section 6 — Visualisasi Mental

Perbandingan Tiga Kurva PDF pada sumbu yang sama ( $\mu_S = 10{,}000$ , $\sigma_S = 2{,}000$ ):

Distribusi $S$ sesungguhnya (eksakta, tidak diketahui): positively skewed, ekor kanan panjang, puncak di sekitar mode $< \mu_S$ .
Aproksimasi Normal $N(\mu_S, \sigma_S^2)$ : Lonceng simetris berpusat di $\mu_S = 10{,}000$ . Underestimate ekor kanan, overestimate ekor kiri.
Aproksimasi Lognormal: Puncak di bawah $\mu_S$ (di mode $= e^{\mu - \sigma^2}$ ), ekor kanan lebih panjang dari Normal, asimetris — lebih mirip distribusi klaim sesungguhnya.

Ilustrasi selisih di ekor kanan:

Probabilitas P(S > x):

                  x = mu_S + 2*sigma_S
                        ↓
Normal:    ........|██ |←── 2.28%
Lognormal: ........|████|←── lebih besar (mis. 3.5%)
Eksakta:   ........|█████|←── nilai sejati (di antara atau lebih)

Semakin jauh $x$ dari $\mu_S$ , semakin besar selisih antara Normal dan Lognormal.

Efek CV terhadap pilihan metode:

CV kecil ( $< 0.2$ ): Kedua metode hampir ekuivalen; Normal lebih mudah.
CV sedang ( $0.2$ – $0.5$ ): Lognormal mulai lebih baik di ekor kanan.
CV besar ( $> 0.5$ ): Normal sangat tidak akurat; Lognormal jauh lebih baik; pertimbangkan juga metode Gamma.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Pusat kurva (mean)	$E(S) = \mu_S$ — sama untuk keduanya (method of moments)
Lebar kurva	$\sigma_S = \sqrt{\text{Var}(S)}$ — dikocokkan ke kedua metode
Asimetri / skewness	Hanya Lognormal yang menangkap ini secara implisit via $\sigma^2$
Luas di bawah ekor kanan ( $> x$ )	$1 - \Phi(z)$ untuk Normal; $1 - \Phi(z_\text{LN})$ untuk Lognormal
Persentil (tinggi di sumbu-x)	$\mu_S + z_p \sigma_S$ (Normal) vs. $e^{\mu + z_p \sigma}$ (Lognormal)

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Salah: Menggunakan $\mu = \ln(\mu_S)$ sebagai parameter Lognormal tanpa mengurangi $\sigma^2/2$ . Benar: $\mu = \ln(\mu_S) - \sigma^2/2$ . Jika lupa $-\sigma^2/2$ , maka $e^\mu \neq E(S)/e^{\sigma^2/2}$ dan mean tidak cocok.

Salah: Menghitung $\sigma^2 = \sigma_S^2 / \mu_S^2$ (tanpa $\ln$ ). Benar: $\sigma^2 = \ln(1 + \sigma_S^2/\mu_S^2) = \ln(1 + \text{CV}^2)$ . Untuk CV kecil perbedaannya kecil, tapi untuk CV besar kesalahan ini fatal.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengklaim Normal lebih baik karena lebih sederhana: Kesederhanaan bukan kriteria akurasi. Untuk ekor kanan, Lognormal hampir selalu lebih akurat dan lebih konservatif — penting untuk cadangan asuransi.
Lupa bahwa $\mu$ Lognormal adalah mean dari $\ln S$ , bukan mean dari $S$ : $E(S) = e^{\mu + \sigma^2/2} \neq e^\mu$ .
Menggunakan $\phi(z)$ sebagai CDF: $\phi(z)$ adalah PDF Normal standar (digunakan di rumus stop-loss), bukan CDF. CDF adalah $\Phi(z)$ .
Mengasumsikan aproksimasi Lognormal selalu underestimate: Lognormal overestimate ekor kanan dibanding Normal, tetapi apakah ia over- atau under-estimate dibanding distribusi eksakta tergantung distribusi sesungguhnya.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Find the 95th percentile of $S$ ” → ini adalah $x_p$ dengan $P(S \leq x_p) = 0.95$ , bukan $P(S \leq x_p) = 0.05$ .
“Find $d$ such that $P(S > d) = 5\%$ ” → ini adalah persentil ke-95, yaitu $P(S \leq d) = 0.95$ .
“Stop-loss premium with deductible $d$ ” → ini adalah $E[(S-d)_+]$ , bukan $P(S > d)$ .
Soal meminta parameter ” $\mu$ dan $\sigma^2$ dari distribusi Lognormal” → ini adalah $\mu$ dan $\sigma^2$ dari $\ln S \sim N(\mu, \sigma^2)$ , bukan mean dan variance dari $S$ .

▲Red Flags — Keyword di Soal›

“Normal approximation” → langsung gunakan $z$ -score dari $\mu_S$ dan $\sigma_S$ ; tidak perlu hitung $\mu$ dan $\sigma^2$ Lognormal
“Lognormal approximation” → wajib hitung $\sigma^2 = \ln(1+\text{CV}^2)$ dan $\mu = \ln(\mu_S) - \sigma^2/2$ dulu sebelum bisa menjawab apapun
“95th percentile / VaR at 95%” → persentil, bukan probabilitas; gunakan $z_{0.95} = 1.645$
“Stop-loss premium at $d$ ” → gunakan formula $E[(S-d)_+]$ khusus; berbeda dari $P(S > d)$
“Compare Normal and Lognormal” → hitung keduanya, lalu nyatakan Lognormal lebih konservatif di ekor kanan

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Parameter Lognormal (urutan wajib: $\sigma^2$ dulu, lalu $\mu$ ): $\sigma^2 = \ln\!\left(1 + \frac{\sigma_S^2}{\mu_S^2}\right), \qquad \mu = \ln(\mu_S) - \frac{\sigma^2}{2}$
CDF Normal: $P(S \leq x) \approx \Phi\!\left(\frac{x - \mu_S}{\sigma_S}\right)$
CDF Lognormal: $P(S \leq x) \approx \Phi\!\left(\frac{\ln x - \mu}{\sigma}\right)$
Persentil Lognormal: $x_p = e^{\mu + z_p \sigma}$
Stop-Loss premium Normal: $E[(S-d)_+] \approx \sigma_S \phi(z_d) - (d - \mu_S)[1-\Phi(z_d)], \quad z_d = \frac{d - \mu_S}{\sigma_S}$
Aturan perbandingan: Untuk $x > \mu_S$ , selalu $P_\text{LN}(S > x) \geq P_\text{Normal}(S > x)$ — Lognormal lebih konservatif di ekor kanan.

Kapan Digunakan

Soal meminta probabilitas, persentil, atau stop-loss premium dari distribusi agregat $S$ tanpa menghitung distribusi eksak.
Soal secara eksplisit menyebutkan “Normal approximation” atau “Lognormal approximation”.
$E(S)$ dan $\text{Var}(S)$ sudah diketahui atau dapat dihitung dari parameter frekuensi dan severity.
Portofolio besar di mana distribusi eksak terlalu mahal dihitung.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jika soal meminta distribusi eksak dari $S$ untuk severity diskrit — gunakan 4.5 Panjer Recursive Formula.
Jika $\text{CV}$ sangat besar (misal $> 1$ ) dan $E(S)$ sangat kecil — aproksimasi Normal bisa memberikan massa negatif yang signifikan; pertimbangkan Gamma atau metode rekursif.
Jika soal meminta momen ketiga atau skewness dari $S$ — itu membutuhkan $E(X^3)$ dan formula tersendiri, bukan dari aproksimasi Normal/Lognormal.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal meminta P, persentil, atau stop-loss dari S?"] --> B{"Distribusi eksak diminta<br>atau aproksimasi cukup?"}
    B -->|"Eksakta / severity diskrit"| C["Panjer Recursive Formula<br>lihat topik 4.5"]
    B -->|"Aproksimasi cukup"| D{"Metode yang diminta?"}
    D -->|"Normal approximation"| E["Standarisasi:<br>z = (x - mu_S) / sigma_S<br>P(S <= x) = Phi(z)"]
    D -->|"Lognormal approximation"| F["Step 1: sigma^2 = ln(1 + CV^2)<br>Step 2: mu = ln(mu_S) - sigma^2/2<br>Step 3: z = (ln(x) - mu) / sigma"]
    D -->|"Tidak disebutkan / pilih sendiri"| G{"CV besar atau ekor kanan penting?"}
    G -->|"Ya"| F
    G -->|"Tidak / CV kecil"| E
    E --> H["Persentil: x_p = mu_S + z_p * sigma_S<br>Stop-loss: formula phi dan Phi"]
    F --> I["Persentil: x_p = exp(mu + z_p * sigma)<br>Stop-loss: formula Lognormal"]
    H --> J["Cek: LN selalu lebih konservatif di ekor kanan"]
    I --> J

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal membandingkan Normal vs. Lognormal untuk kasus CV besar (misal CV = 0.8)”
“Jelaskan hubungan 4.4 Aggregate Distribution Approximation dengan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss — bagaimana stop-loss premium eksak vs. aproksimasi Normal?”
“Buat flashcard satu halaman: parameter Lognormal, persentil, stop-loss Normal”
“Generate notes 4.5 Panjer Recursive Formula sebagai metode alternatif distribusi eksak”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009) Bab 3 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #AgregatModel #NormalApproximation #LognormalApproximation