📊 4.6 — Coverage Modifications on Aggregate Models

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Coverage Modifications on Aggregate Models | Bobot: ~10–15% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009) Bab 3 | Prereq: 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency, 4.2 Compound Distributions, 4.3 Mean Variance and Stop-Loss

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Model Agregat	4.6	Menentukan dampak deductible agregat, limit agregat, koasuransi, dan inflasi pada distribusi $S$; menghitung $E(S^A)$, $\text{Var}(S^A)$ setelah modifikasi; menganalisis efek inflasi pada momen agregat	10–15%	Calculation-Intensive	3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency, 4.2 Compound Distributions, 4.3 Mean Variance and Stop-Loss	4.3 Mean Variance and Stop-Loss, 4.4 Aggregate Distribution Approximation, 3.2 Loss Elimination Ratio and Inflation	Klugman et al. (2019) Bab 9; Tse (2009) Bab 3

Section 1 — Intuisi

Dalam dunia asuransi korporasi Indonesia, sebuah perjanjian reasuransi stop-loss yang khas tidak hanya membatasi satu klaim individual, tetapi membatasi total klaim agregat selama satu periode polis. Misalkan sebuah perusahaan asuransi umum memiliki perjanjian dengan reasuradur: penanggung menanggung sendiri total klaim hingga 50 miliar rupiah, dan segala sesuatu di atasnya ditanggung oleh reasuradur hingga batas tertentu. Batas 50 miliar ini adalah aggregate deductible — sepenuhnya berbeda dari deductible individual per klaim yang dipelajari di topik 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency.

Perbedaan fundamental antara modifikasi per-klaim dan modifikasi agregat adalah level di mana filter berlaku. Deductible per-klaim bekerja satu per satu — setiap klaim difilter sebelum masuk ke tumpukan. Deductible agregat bekerja pada hasil akhir — seluruh tumpukan klaim dijumlahkan dulu, baru kemudian dipotong. Ini menciptakan interaksi yang jauh lebih kompleks, karena distribusi $S$ yang sudah berbentuk campuran dari frekuensi dan severity kini mendapat lapisan filter lagi di atasnya.

Sumber komplikasi ketiga yang sering diuji adalah inflasi. Jika klaim tahun depan mengalami inflasi sebesar $r$% dari tahun ini, setiap klaim individual $X_i$ menjadi $(1+r)X_i$. Efek ini merambat ke seluruh distribusi agregat $S$ secara sistematis: mean terskala dengan $(1+r)$, tetapi variance terskala dengan $(1+r)^2$, dan bila ada deductible tetap (fixed aggregate deductible), fraksi distribusi yang di atas deductible berubah dengan cara yang non-trivial. Memahami bagaimana inflasi, deductible agregat, dan limit agregat berinteraksi adalah inti topik ini.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Aggregate Payment Variable›

Misalkan $S$ adalah aggregate ground-up loss dengan $E(S) = \mu_S$ dan $\text{Var}(S) = \sigma_S^2$. Dengan aggregate deductible $d^A$ dan aggregate limit $u^A$ (limit pada pembayaran agregat), variabel pembayaran agregat yang sebenarnya dilakukan oleh reasuradur atau penanggung lapis kedua adalah:

$$S^A = \min\!\left(\max(S - d^A,\, 0),\, u^A\right) = \min(S - d^A,\, u^A)_+$$

dengan konvensi $(x)_+ = \max(x, 0)$.

Simbol	Makna	Catatan
$S$	Aggregate ground-up loss	Total klaim sebelum modifikasi agregat
$d^A$	Aggregate deductible	Ditanggung sendiri oleh cedant/penanggung pertama
$u^A$	Aggregate limit (pada pembayaran)	Maksimum yang dibayar reasuradur; batas atas $= d^A + u^A$ pada $S$
$S^A$	Aggregate payment variable	Yang benar-benar dibayar oleh lapisan teratas
$\alpha$	Aggregate coinsurance factor	Fraksi dari $(S - d^A)_+$ yang ditanggung reasuradur
$r$	Tingkat inflasi	Inflasi uniform pada setiap klaim individual
$S^{(r)}$	Aggregate loss setelah inflasi $r$	$S^{(r)} = (1+r)S$ jika tidak ada per-klaim deductible tetap
$E(S^A)$	Mean aggregate payment	Sama dengan stop-loss premium $E[(S-d^A)_+]$ jika tidak ada limit
$F_S(\cdot)$	CDF dari $S$	Digunakan untuk menghitung peluang dan momen $S^A$
$d^A + u^A$	Maximum covered aggregate loss	Batas atas loss yang menghasilkan pembayaran penuh $u^A$

Rumus Utama

Mean aggregate payment variable (dengan deductible $d^A$, tanpa limit):

$$E(S^A) = E[(S - d^A)_+] = E(S) - E(S \wedge d^A) = \int_{d^A}^{\infty} [1 - F_S(s)]\,ds$$

Label: Identik dengan stop-loss premium dari 4.3 Mean Variance and Stop-Loss; integral survival function di atas $d^A$.

Mean aggregate payment variable (dengan deductible $d^A$ dan limit $u^A$ pada pembayaran):

$$E(S^A) = E(S \wedge (d^A + u^A)) - E(S \wedge d^A)$$

Label: Selisih dua limited expected value dari $S$; analogus dengan formula per-klaim di 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency.

Variance aggregate payment variable (deductible $d^A$ saja, tanpa limit):

$$\text{Var}(S^A) = \text{Var}[(S - d^A)_+] = E[(S - d^A)_+^2] - \{E[(S - d^A)_+]\}^2$$ $$E[(S-d^A)_+^2] = E[S^2 \cdot \mathbf{1}_{S>d^A}] - 2d^A \cdot E[S \cdot \mathbf{1}_{S>d^A}] + (d^A)^2 \cdot P(S > d^A)$$

Label: Membutuhkan $E(S^2)$ dan momen parsial; umumnya diselesaikan dengan aproksimasi Normal/Lognormal.

Dengan koasuransi agregat $\alpha$:

$$E(\alpha \cdot S^A) = \alpha \cdot E(S^A), \qquad \text{Var}(\alpha \cdot S^A) = \alpha^2 \cdot \text{Var}(S^A)$$

Label: Koasuransi mengskala pembayaran secara linear — mean dan standar deviasi dikalikan $\alpha$, variance dikalikan $\alpha^2$.

Efek inflasi uniform $r$ pada aggregate loss (tanpa per-klaim deductible tetap):

$$S^{(r)} = (1+r)\,S$$ $$E(S^{(r)}) = (1+r)\,E(S), \qquad \text{Var}(S^{(r)}) = (1+r)^2\,\text{Var}(S)$$

Label: Jika setiap $X_i \to (1+r)X_i$ dan tidak ada per-klaim threshold tetap, $S$ terskala sepenuhnya oleh $(1+r)$.

Efek inflasi pada compound Poisson dengan per-klaim deductible tetap $d$:

Setelah inflasi, threshold tetap $d$ menjadi efektif lebih rendah relatif terhadap klaim: $P(X^{(r)} > d) = P(X > d/(1+r)) = 1 - F_X(d/(1+r))$.

$$\lambda^{(r)} = \lambda \cdot [1 - F_X(d/(1+r))]$$

Label: Inflasi meningkatkan frekuensi klaim yang dilaporkan karena lebih banyak klaim yang melewati deductible tetap.

Mean aggregate setelah inflasi dan per-klaim deductible $d$ (per-loss perspektif):

$$E(S^{(r)}) = \lambda \cdot E\!\left[(1+r)X - d\right]_+\Big]$$

Label: Setiap klaim ground-up diinflasikan menjadi $(1+r)X$, lalu dipotong deductible tetap $d$.

Efek inflasi pada stop-loss premium (aggregate deductible $d^A$ tetap):

$$E[(S^{(r)} - d^A)_+] = \int_{d^A}^{\infty} [1 - F_{S^{(r)}}(s)]\,ds = \int_{d^A}^{\infty} \left[1 - F_S\!\left(\frac{s}{1+r}\right)\right]ds$$

Label: CDF dari $S^{(r)}$ adalah $F_{S^{(r)}}(s) = F_S(s/(1+r))$; stop-loss premium selalu meningkat saat inflasi dengan aggregate deductible tetap.

Asumsi Eksplisit

1. Aggregate deductible $d^A$ berlaku atas total loss $S$ — bukan atas klaim individual.
2. Inflasi uniform: setiap klaim $X_i$ naik sebesar faktor $(1+r)$ yang sama — tidak ada inflasi selektif.
3. Jika terdapat per-klaim deductible $d$ tetap (tidak diindekskan terhadap inflasi), efek inflasi pada frekuensi dan severity harus dihitung terpisah sebelum dikombinasikan.
4. $E(S \wedge c) = \int_0^c [1 - F_S(s)]\,ds$ — limited expected value dari distribusi agregat $S$; untuk aproksimasi Normal dan Lognormal, gunakan rumus dari 4.4 Aggregate Distribution Approximation.
5. Variance dari $S^A$ membutuhkan $E(S^2)$ atau aproksimasi — dalam ujian biasanya diminta $E(S^A)$ saja, atau variance dihitung via aproksimasi Normal.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci topik ini adalah menyadari bahwa modifikasi agregat bekerja identik secara matematis dengan modifikasi per-klaim di 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency, hanya saja objeknya berubah dari variabel acak $X$ (klaim individual) menjadi variabel acak $S$ (total agregat). Rumus $E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d)$ menjadi $E(S^A) = E(S) - E(S \wedge d^A)$. Seluruh intuisi, rumus, dan jebakan yang sama berlaku — bedanya hanya distribusi yang digunakan. Dengan pemahaman ini, topik 4.6 bukan materi baru, melainkan aplikasi mekanis dari framework 3.1 ke level agregat.

◈Support dan Domain›

• $S^A \in [0, u^A]$ — pembayaran agregat dibatasi oleh limit $u^A$.
• $P(S^A = 0) = P(S \leq d^A) = F_S(d^A)$ — probabilitas tidak ada pembayaran agregat sama dengan probabilitas total klaim di bawah aggregate deductible.
• $P(S^A = u^A) = P(S \geq d^A + u^A) = 1 - F_S(d^A + u^A)$ — probabilitas pembayaran penuh.
• Untuk $s \in (0, u^A)$: $f_{S^A}(s) = f_S(s + d^A)$ — distribusi bersyarat yang digeser.
• $S^{(r)} = (1+r)S$: support identik dengan $S$ dikalikan $(1+r)$; $F_{S^{(r)}}(s) = F_S(s/(1+r))$.

Derivasi Mean $E(S^A)$ dengan Aggregate Deductible — Step by Step:

Step 1 — Tulis $S^A$ secara eksplisit:

$$S^A = (S - d^A)_+ = \max(S - d^A,\, 0)$$

Step 2 — Gunakan identitas umum (analogus dengan derivasi di 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency):

$$E[(S - d^A)_+] = E(S) - E(S \wedge d^A)$$

di mana $E(S \wedge d^A) = \int_0^{d^A} [1 - F_S(s)]\,ds$ adalah limited expected value dari $S$ di $d^A$.

Step 3 — Alternatif: integral langsung atas survival function:

$$E(S^A) = \int_0^\infty P(S^A > t)\,dt = \int_0^\infty P(S > d^A + t)\,dt = \int_{d^A}^\infty [1 - F_S(s)]\,ds$$

Perubahan variabel $s = d^A + t$ memberikan batas integrasi dari $d^A$ ke $\infty$.

Step 4 — Tambahkan limit $u^A$:

$$E(S^A) = \int_0^{u^A} P(S > d^A + t)\,dt = \int_{d^A}^{d^A + u^A} [1 - F_S(s)]\,ds$$ $$= E(S \wedge (d^A + u^A)) - E(S \wedge d^A)$$

Derivasi Efek Inflasi pada Aggregate Stop-Loss — Step by Step:

Ingin menghitung $E[(S^{(r)} - d^A)_+]$ di mana $S^{(r)} = (1+r)S$ dan $d^A$ tetap.

Step 1 — Substitusi $S^{(r)} = (1+r)S$:

$$E[(S^{(r)} - d^A)_+] = E[((1+r)S - d^A)_+]$$

Step 2 — Faktorkan $(1+r)$:

$$= (1+r) \cdot E\!\left[\left(S - \frac{d^A}{1+r}\right)_+\right]$$

Step 3 — Kenali bentuk stop-loss premium dengan deductible yang diringankan:

$$= (1+r) \cdot E\!\left[\left(S - \tilde{d}\right)_+\right], \quad \tilde{d} = \frac{d^A}{1+r} < d^A$$

Step 4 — Interpretasi: Inflasi $r$ memiliki efek ganda pada stop-loss premium dengan deductible tetap: (1) mengskala pembayaran dengan $(1+r)$, dan (2) secara efektif menurunkan aggregate deductible riil menjadi $\tilde{d} = d^A/(1+r)$ — sehingga lebih banyak klaim agregat yang melewati threshold. Kedua efek menyebabkan stop-loss premium meningkat lebih dari proporsional terhadap inflasi.

✘Dilarang›

1. Jangan mengaplikasikan aggregate deductible ke klaim individual — $d^A$ berlaku atas $S$, bukan atas setiap $X_i$. Memotong masing-masing klaim dengan $d^A$ sebelum menjumlahkan adalah kesalahan fatal.
2. Jangan mengasumsikan $E(S^{(r)}) = (1+r) \cdot E(S^A)$ secara langsung jika ada deductible tetap — inflasi mengubah $\tilde{d}$ efektif, sehingga $E(S^{(r)})$ dengan deductible tetap $d^A$ tidak sekadar $(1+r)$ kali $E(S^A)$ dengan deductible $d^A$ yang sama. Gunakan $E[(S^{(r)} - d^A)_+] = (1+r)\,E[(S - d^A/(1+r))_+]$.
3. Jangan mengkonfusikan aggregate deductible dengan per-klaim deductible — keduanya berbeda level, berbeda formula, dan berbeda dampak pada frekuensi. Aggregate deductible tidak mengubah distribusi frekuensi $N$.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal: Aggregate loss $S$ mengikuti aproksimasi Normal dengan $E(S) = 8{,}000$ dan $\sigma_S = 2{,}000$. Perjanjian reasuransi stop-loss memiliki aggregate deductible $d^A = 9{,}000$. Hitung stop-loss premium $E(S^A) = E[(S - 9000)_+]$ menggunakan aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Gunakan formula stop-loss Normal: $E[(S - d^A)_+] = \sigma_S \phi(z) - (d^A - \mu_S)[1 - \Phi(z)]$ dengan $z = (d^A - \mu_S)/\sigma_S$.

1. Identifikasi Variabel

• $$\mu_S = E(S) = 8{,}000$$
• $$\sigma_S = 2{,}000$$
• $$d^A = 9{,}000$$
• $$z = (9000 - 8000)/2000 = 0.50$$

2. Identifikasi Distribusi / Model Aggregate loss $S \approx N(8000, 2000^2)$. Stop-loss premium dengan aggregate deductible — gunakan formula Normal dari 4.4 Aggregate Distribution Approximation.

3. Setup Persamaan

$$E(S^A) = \sigma_S \phi(z) - (d^A - \mu_S)[1 - \Phi(z)]$$

dengan $z = \frac{d^A - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{9000 - 8000}{2000} = 0.50$

4. Eksekusi Aljabar

Dari tabel Normal standar:

$$\phi(0.50) = 0.35207, \quad \Phi(0.50) = 0.69146, \quad 1 - \Phi(0.50) = 0.30854$$ $$E(S^A) = 2000 \times 0.35207 - (9000 - 8000) \times 0.30854$$ $$= 704.14 - 1000 \times 0.30854 = 704.14 - 308.54 = 395.60$$

5. Verification $E(S^A) = 395.60 > 0$ ✓. Cek batas: $E(S^A) \leq E(S) - d^A + d^A \cdot P(S > d^A) = \ldots$ — lebih mudah: $E(S^A)$ harus $< E(S) = 8000$ ✓ dan $< d^A = 9000$ secara logis ✓ (tidak ada yang membayar lebih dari deductible). Alternatif: $E(S^A) \approx (E(S) - d^A) \cdot P(S > d^A) + \text{partial}$; order of magnitude benar ✓.

Hasil: Stop-loss premium $E(S^A) \approx 395.60$.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 3 menit. Common trap: Menggunakan $\phi(z)$ sebagai CDF (mengambil nilai $\Phi$) — $\phi$ adalah PDF, nilainya di $z=0.5$ sekitar $0.35$, bukan $0.69$. Shortcut: Hafalkan $\phi(0) = 0.3989$, $\phi(0.5) \approx 0.352$, $\phi(1.0) \approx 0.242$, $\phi(1.5) \approx 0.130$; nilai ini sering digunakan langsung di soal.

---

Soal B — Exam-Typical

Soal: $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 50)$. Besar klaim individual $X \sim \text{Exponential}(\theta = 200)$, sehingga $E(X) = 200$ dan $E(X^2) = 80{,}000$. Semua klaim mengalami inflasi uniform sebesar $r = 20\%$. Aggregate deductible $d^A = 12{,}000$ (tetap, tidak diindekskan terhadap inflasi). (a) Hitung $E(S)$, $\text{Var}(S)$, $E(S^{(r)})$, dan $\text{Var}(S^{(r)})$ setelah inflasi. (b) Hitung $E[(S^{(r)} - d^A)_+]$ menggunakan aproksimasi Normal dengan deductible efektif $\tilde{d} = d^A/(1+r)$.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: (a) Skala momen dengan $(1+r)$ dan $(1+r)^2$. (b) Transformasi ke stop-loss ekuivalen: $E[(S^{(r)} - d^A)_+] = (1+r)\,E[(S - \tilde{d})_+]$ dengan $\tilde{d} = d^A/(1+r)$; lalu gunakan formula stop-loss Normal pada $S$ (sebelum inflasi).

1. Identifikasi Variabel

• $\lambda = 50$, $E(X) = 200$, $E(X^2) = 80{,}000$
• $r = 0.20$, $d^A = 12{,}000$
• $(1+r) = 1.20$, $\tilde{d} = 12{,}000/1.20 = 10{,}000$

2. Identifikasi Distribusi / Model Compound Poisson sebelum inflasi; setelah inflasi setiap $X_i \to 1.2 X_i$, sehingga $S^{(r)} = 1.2 S$. Gunakan sifat skalabilitas dan formula stop-loss Normal pada distribusi $S$ asli.

3. Setup Persamaan

$$E(S) = \lambda E(X), \quad \text{Var}(S) = \lambda E(X^2)$$ $$E(S^{(r)}) = (1+r)\,E(S), \quad \text{Var}(S^{(r)}) = (1+r)^2\,\text{Var}(S)$$ $$E[(S^{(r)} - d^A)_+] = (1+r)\,E[(S - \tilde{d})_+]$$ $$E[(S - \tilde{d})_+] = \sigma_S \phi(z_{\tilde{d}}) - (\tilde{d} - \mu_S)[1 - \Phi(z_{\tilde{d}})]$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Momen sebelum dan sesudah inflasi:

$$E(S) = 50 \times 200 = 10{,}000$$ $$\text{Var}(S) = 50 \times 80{,}000 = 4{,}000{,}000 \implies \sigma_S = 2{,}000$$ $$E(S^{(r)}) = 1.2 \times 10{,}000 = 12{,}000$$ $$\text{Var}(S^{(r)}) = (1.2)^2 \times 4{,}000{,}000 = 1.44 \times 4{,}000{,}000 = 5{,}760{,}000$$ $$\sigma_{S^{(r)}} = \sqrt{5{,}760{,}000} = 2{,}400$$

(b) Stop-loss premium setelah inflasi:

Gunakan formula pada $S$ asli dengan $\tilde{d} = 10{,}000$:

$$z_{\tilde{d}} = \frac{\tilde{d} - \mu_S}{\sigma_S} = \frac{10{,}000 - 10{,}000}{2{,}000} = 0.00$$ $$\phi(0.00) = 0.39894, \quad 1 - \Phi(0.00) = 0.50000$$ $$E[(S - 10{,}000)_+] = 2{,}000 \times 0.39894 - (10{,}000 - 10{,}000) \times 0.50 = 797.88 - 0 = 797.88$$ $$E[(S^{(r)} - 12{,}000)_+] = 1.2 \times 797.88 = 957.46$$

5. Verification $E(S^{(r)}) = 12{,}000 = d^A$ — deductible tepat di mean setelah inflasi, jadi stop-loss premium harus sekitar $\sigma_{S^{(r)}} \times \phi(0) / 2 \approx 2400 \times 0.399 / 2 \approx 479$ bila dihitung langsung pada distribusi $S^{(r)}$. Cross-check: $1.2 \times 797.88 = 957.46$; cek langsung menggunakan $\sigma_{S^{(r)}} = 2400$ dan $z = (12000 - 12000)/2400 = 0$: $E[(S^{(r)} - 12000)_+] = 2400 \times 0.39894 = 957.46$ ✓ — konsisten!

Hasil: (a) $E(S^{(r)}) = 12{,}000$, $\text{Var}(S^{(r)}) = 5{,}760{,}000$; (b) $E[(S^{(r)} - 12{,}000)_+] \approx 957.46$.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 6 menit. Common trap: Menghitung stop-loss premium langsung pada distribusi $S^{(r)}$ tanpa sadar bahwa cara termudah adalah via transformasi $\tilde{d} = d^A/(1+r)$ pada distribusi $S$ asli. Kedua cara memberi hasil sama, tapi transformasi biasanya lebih cepat. Shortcut: $z_{\tilde{d}} = 0$ saat $\tilde{d} = \mu_S$, yaitu saat deductible efektif tepat di mean — $\phi(0) = 0.3989$ dan $1-\Phi(0) = 0.5$ langsung dari ingatan.

---

Soal C — Challenging

Soal: $N \sim \text{Poisson}(\lambda = 200)$. Besar klaim $X \sim \text{Exponential}(\theta = 500)$, dengan per-klaim deductible tetap $d = 100$ (tidak diindekskan). Terdapat inflasi $r = 10\%$ pada setiap klaim individual. Selanjutnya, reasuransi stop-loss memiliki aggregate deductible $d^A = 90{,}000$. (a) Hitung $E(S)$ dan $\text{Var}(S)$ sebelum inflasi (di mana $S$ sudah memperhitungkan per-klaim deductible $d = 100$). (b) Setelah inflasi $r = 10\%$, hitung $\lambda^{(r)}$, $E(X^{(r)} - d)_+$ dan $E(S^{(r)})$. (c) Hitung stop-loss premium $E[(S^{(r)} - d^A)_+]$ menggunakan aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Tiga tahap: (a) momen $S$ setelah per-klaim deductible menggunakan per-loss variables. (b) setelah inflasi, per-klaim deductible tetap mengubah $\lambda$ efektif dan mean per-loss. (c) stop-loss Normal pada distribusi $S^{(r)}$ yang baru.

1. Identifikasi Variabel

• $\lambda = 200$, $X \sim \text{Exp}(\theta = 500)$: $S_X(x) = e^{-x/500}$
• Per-klaim deductible $d = 100$; $S_X(100) = e^{-0.2} = 0.81873$
• Inflasi $r = 0.10$, sehingga $X^{(r)} = 1.1X$; deductible tetap $d = 100$
• Aggregate deductible $d^A = 90{,}000$

2. Identifikasi Distribusi / Model Model dua-layer: (1) per-klaim deductible pada severity → frekuensi dan mean per-loss berubah; (2) inflasi → threshold efektif turun, frekuensi naik lagi; (3) aggregate deductible → stop-loss premium pada distribusi $S^{(r)}$ yang sudah termodifikasi.

3. Setup Persamaan

$$E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge d), \quad E(Y^L{}^2) = E[(X-d)_+^2]$$ $$E(S) = \lambda \cdot E(Y^L), \quad \text{Var}(S) = \lambda \cdot E(Y^{L2})$$ $$\lambda^{(r)} = \lambda \cdot P(X^{(r)} > d) = \lambda \cdot S_X(d/(1+r))$$ $$E[(X^{(r)} - d)_+] = (1+r)\,E(X) - E(X \wedge d/(1+r)) \cdot (1+r)/1$$

Menggunakan: $E[(1+r)X - d]_+ = (1+r)E[X - d/(1+r)]_+$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Momen $S$ sebelum inflasi (dengan per-klaim deductible $d = 100$):

$$E(X \wedge 100) = 500(1 - e^{-100/500}) = 500(1 - e^{-0.2}) = 500(0.18127) = 90.63$$ $$E(Y^L) = E(X) - E(X \wedge 100) = 500 - 90.63 = 409.37$$

Untuk $\text{Var}(S) = \lambda E(Y^{L2})$, perlu $E[(X-100)_+^2]$:

$$E[(X-d)_+^2] = 2\int_d^\infty (x-d) S_X(x)\,dx = 2\int_{100}^\infty (x-100)e^{-x/500}\,dx$$

Gunakan: untuk Exponential, $E[(X-d)_+^2] = 2\theta \cdot E[(X-d)_+] = 2\theta \cdot \theta S_X(d) = 2\theta^2 S_X(d)$

$$= 2 \times 500^2 \times e^{-0.2} = 500{,}000 \times 0.81873 = 409{,}365$$ $$E(S) = 200 \times 409.37 = 81{,}874$$ $$\text{Var}(S) = 200 \times 409{,}365 = 81{,}873{,}000 \implies \sigma_S = \sqrt{81{,}873{,}000} = 9{,}048.4$$

(b) Setelah inflasi $r = 10\%$, deductible tetap $d = 100$:

Threshold efektif pada $X$: $d/(1+r) = 100/1.1 = 90.909$

$$\lambda^{(r)} = 200 \times S_X(90.909) = 200 \times e^{-90.909/500} = 200 \times e^{-0.18182}$$ $$= 200 \times 0.83375 = 166.75$$

Mean per-loss setelah inflasi:

$$E[(1.1X - 100)_+] = 1.1 \times E[(X - 90.909)_+] = 1.1 \times \theta \cdot S_X(90.909)$$ $$= 1.1 \times 500 \times 0.83375 = 458.56$$ $$E(S^{(r)}) = \lambda^{(r)} \times \frac{E[(1.1X-100)_+]}{S_X(90.909)} \times S_X(90.909)$$

Lebih langsung: $E(S^{(r)}) = \lambda \cdot E[(1.1X - 100)_+] = 200 \times 458.56 = 91{,}712$

(c) Stop-loss premium $E[(S^{(r)} - 90{,}000)_+]$:

Perlu $\text{Var}(S^{(r)})$: gunakan $\text{Var}(S^{(r)}) = \lambda \cdot E[(1.1X-100)_+^2]$

$$E[(1.1X - 100)_+^2] = (1.1)^2 \cdot E[(X - 90.909)_+^2] = 1.21 \times 2\theta^2 S_X(90.909)$$ $$= 1.21 \times 2 \times 250{,}000 \times 0.83375 = 1.21 \times 416{,}875 = 504{,}419$$ $$\text{Var}(S^{(r)}) = 200 \times 504{,}419 = 100{,}883{,}800 \implies \sigma_{S^{(r)}} = 10{,}044.1$$ $$z = \frac{90{,}000 - 91{,}712}{10{,}044.1} = \frac{-1{,}712}{10{,}044.1} = -0.1705$$ $$\phi(-0.1705) = \phi(0.1705) \approx 0.3932, \quad 1 - \Phi(-0.1705) = \Phi(0.1705) \approx 0.5677$$ $$E[(S^{(r)} - 90{,}000)_+] = 10{,}044.1 \times 0.3932 - (90{,}000 - 91{,}712) \times 0.5677$$ $$= 3{,}949.3 - (-1{,}712) \times 0.5677 = 3{,}949.3 + 971.9 = 4{,}921.2$$

5. Verification $E(S^{(r)}) = 91{,}712 > E(S) = 81{,}874$ ✓ — inflasi meningkatkan mean agregat. $d^A = 90{,}000 < E(S^{(r)}) = 91{,}712$, sehingga $z < 0$ — stop-loss premium harus relatif besar karena deductible di bawah mean ✓. $E(S^A) = 4{,}921 \approx 5.4\%$ dari $E(S^{(r)})$ — masuk akal untuk deductible yang hanya sedikit di bawah mean ✓.

Hasil: (a) $E(S) = 81{,}874$, $\sigma_S = 9{,}048$; (b) $\lambda^{(r)} = 166.75$, $E(S^{(r)}) = 91{,}712$; (c) $E[(S^{(r)} - 90{,}000)_+] \approx 4{,}921$.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 12 menit. Common trap terbesar: Melupakan bahwa inflasi dengan per-klaim deductible tetap mengubah frekuensi efektif $\lambda^{(r)}$ — jangan hanya mengalikan mean per-klaim dengan $(1+r)$ tanpa menyesuaikan $\lambda$. Shortcut: Untuk Exponential, $E[(X-d)_+^2] = 2\theta^2 S_X(d)$ — hafal formula ini karena sangat sering digunakan dalam soal variance stop-loss.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-Check 1 — Batas Stop-Loss Premium›

Selalu periksa hierarki berikut:

$$0 \leq E(S^A) \leq E(S) \quad \text{(secara umum)}$$

Lebih khusus: jika $d^A > E(S)$, maka $E(S^A) < E(S) - d^A + \text{correction} < E(S)$. Jika $d^A < E(S)$, stop-loss premium bisa mendekati $E(S) - d^A$. Jika $d^A = 0$ (tidak ada deductible agregat), $E(S^A) = E(S)$.

✓Cross-Check 2 — Efek Inflasi Selalu Meningkatkan Stop-Loss Premium›

Untuk deductible agregat tetap $d^A$, inflasi $r > 0$ selalu meningkatkan stop-loss premium:

$$E[(S^{(r)} - d^A)_+] > E[(S - d^A)_+] \quad \text{untuk } r > 0$$

karena $\tilde{d} = d^A/(1+r) < d^A$ — deductible riil efektif turun. Jika hasil Anda menunjukkan stop-loss premium turun setelah inflasi, ada kesalahan.

✓Cross-Check 3 — Konsistensi via Linearitas Mean›

Tanpa deductible agregat:

$$E(S^{(r)}) = (1+r)\,E(S) \quad \text{(jika tidak ada per-klaim deductible tetap)}$$

Dengan per-klaim deductible tetap $d$, gunakan: $E(S^{(r)}) = \lambda \cdot E[(1+r)X - d]_+$ dan verifikasi bahwa nilainya lebih besar dari $(1+r) \cdot E[(X-d)_+] \cdot \lambda$ — inflasi meningkatkan mean per-loss lebih dari proporsional saat ada deductible tetap.

Metode Alternatif

Untuk menghitung stop-loss premium saat distribusi $S$ dapat diaproksimasi dengan Lognormal, gunakan formula dari 4.4 Aggregate Distribution Approximation:

$$E[(S-d^A)_+] = \mu_S \Phi\!\left(\frac{\mu + \sigma^2 - \ln d^A}{\sigma}\right) - d^A \Phi\!\left(\frac{\mu - \ln d^A}{\sigma}\right)$$

di mana $\mu$ dan $\sigma^2$ adalah parameter Lognormal dari $S$. Metode ini lebih akurat untuk portofolio dengan CV besar.

Section 6 — Visualisasi Mental

Tiga Layer Modifikasi pada Distribusi Agregat:

Bayangkan PDF dari $S$ sebagai kurva bergelombang positively-skewed pada sumbu-X.

PDF dari S (sebelum modifikasi):

f_S(s)
  |      ____
  |    /      \
  |   /        \____
  |  /               \________
  |_/__________________________ s
  0       d^A   d^A+u^A

Layer 1 — Aggregate Deductible d^A:
  Potong semua massa di kiri d^A → jadikan point mass di S^A = 0
  [████████]___________________

Layer 2 — Aggregate Limit u^A:
  Lipat semua massa di kanan d^A+u^A → jadikan point mass di S^A = u^A
  _________[██████████]████████ → ↑ spike di u^A

Distribusi S^A:
  Spike di 0: P(S <= d^A)
  Kontinu di (0, u^A): f_S(s + d^A) untuk s ∈ (0, u^A)
  Spike di u^A: P(S > d^A + u^A)

Efek Inflasi pada Distribusi Agregat:

Inflasi $r$ menggeser seluruh kurva PDF ke kanan — kurva $S^{(r)}$ adalah versi “lebar dan tinggi” dari $S$, dengan semua titik dikalikan $(1+r)$. Aggregate deductible $d^A$ tetap di posisi lama — sehingga lebih banyak area di bawah kurva yang melewati $d^A$:

Sebelum inflasi: [···|████████████]  d^A berada di tengah
Setelah inflasi:  [·|████████████████]  kurva bergeser kanan → lebih banyak di atas d^A

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Spike di $S^A = 0$	$P(S \leq d^A) = F_S(d^A)$
Area di bawah kurva kanan dari $d^A$	$E(S^A) = \int_{d^A}^\infty [1-F_S(s)]\,ds$
Spike di $S^A = u^A$	$P(S > d^A + u^A) = 1 - F_S(d^A + u^A)$
Kurva bergeser kanan setelah inflasi	$F_{S^{(r)}}(s) = F_S(s/(1+r))$
Lebih banyak area kanan $d^A$ setelah inflasi	$E[(S^{(r)} - d^A)_+] > E[(S - d^A)_+]$ selalu

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Salah: Menggunakan $E[(S - d^A)_+] = E(S) - d^A$ (mengabaikan $F_S(d^A)$). Benar: $E[(S - d^A)_+] = E(S) - E(S \wedge d^A)$. Kecuali $d^A = 0$ (tidak ada deductible), selalu $E(S \wedge d^A) > 0$ dan harus dikurangi.

Salah: Setelah inflasi $r$, menggunakan $E(S^{(r)}) = (1+r)\,E(S)$ meskipun ada per-klaim deductible tetap. Benar: Dengan per-klaim deductible tetap $d$, gunakan $E(S^{(r)}) = \lambda \cdot E[(1+r)X - d]_+$; nilainya berbeda dari $(1+r)\,E(S)$ karena threshold tidak ikut terindekskan.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Aggregate deductible ≠ per-klaim deductible: $d^A$ berlaku atas $S$ (total), bukan atas setiap $X_i$. Mengaplikasikan $d^A$ ke masing-masing klaim mengubah makna polis secara fundamental.
2. Inflasi dengan deductible tetap meningkatkan stop-loss premium lebih dari proporsional: Stop-loss premium tidak sekadar naik $(1+r)$ kali — ia naik lebih besar karena $\tilde{d} < d^A$ efektif.
3. Aggregate limit $u^A$ adalah limit pada pembayaran, bukan pada loss: Maximum covered aggregate loss adalah $d^A + u^A$ (bukan $u^A$). Kesalahan ini mirip dengan kesalahan di 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency.
4. Variance dari $S^A$ lebih sulit dari mean: Soal ujian hampir selalu hanya meminta $E(S^A)$; jika meminta variance, biasanya diberikan $E(S^2)$ secara eksplisit atau diminta menggunakan aproksimasi Normal secara langsung.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Stop-loss reinsurance with retention $d^A$” → $d^A$ adalah aggregate deductible (cedant menanggung $\min(S, d^A)$, reasuradur menanggung $(S - d^A)_+$).
• “Aggregate limit of $u^A$” → cek apakah $u^A$ adalah limit pada pembayaran atau pada loss; biasanya limit pada pembayaran.
• “Uniform inflation of $r$” → setiap klaim individual naik $(1+r)$; cek apakah deductible (per-klaim maupun agregat) ikut terindekskan atau tetap.
• “Indexed deductible” → deductible ikut naik dengan inflasi → efek inflasi murni hanya dari scaling, tidak ada perubahan frekuensi efektif.

▲Red Flags — Keyword di Soal›

• “Stop-loss premium / aggregate stop-loss” → gunakan $E[(S - d^A)_+]$; ini adalah tema utama topik ini
• “Aggregate deductible” + “inflasi” → dua modifikasi berlapis; selesaikan satu per satu dan jangan gabungkan langsung
• “Per-klaim deductible tetap” + “inflasi” → frekuensi efektif berubah: $\lambda^{(r)} = \lambda \cdot S_X(d/(1+r))$
• “Aggregate limit $u^A$” → gunakan selisih LEV: $E(S \wedge (d^A + u^A)) - E(S \wedge d^A)$
• “Normal approximation” untuk stop-loss → gunakan $\sigma_S \phi(z) - (d^A - \mu_S)[1-\Phi(z)]$ dengan $z = (d^A - \mu_S)/\sigma_S$

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Mean aggregate payment (deductible $d^A$ saja): $E(S^A) = E(S) - E(S \wedge d^A) = \int_{d^A}^\infty [1 - F_S(s)]\,ds$

2. Mean aggregate payment (deductible $d^A$ + limit $u^A$ pada pembayaran): $E(S^A) = E(S \wedge (d^A + u^A)) - E(S \wedge d^A)$

3. Stop-loss premium via Normal: $E[(S-d^A)_+] = \sigma_S \phi(z) - (d^A - \mu_S)[1-\Phi(z)], \quad z = \frac{d^A - \mu_S}{\sigma_S}$

4. Inflasi uniform tanpa per-klaim deductible tetap: $E(S^{(r)}) = (1+r)\,E(S), \quad \text{Var}(S^{(r)}) = (1+r)^2\,\text{Var}(S)$

5. Inflasi dengan aggregate deductible tetap $d^A$ (transformasi kunci): $E[(S^{(r)} - d^A)_+] = (1+r)\,E\!\left[\left(S - \frac{d^A}{1+r}\right)_+\right]$

6. Inflasi dengan per-klaim deductible tetap $d$: $\lambda^{(r)} = \lambda \cdot S_X\!\left(\frac{d}{1+r}\right), \quad E(S^{(r)}) = \lambda \cdot E[(1+r)X - d]_+$

Kapan Digunakan

• Soal menyebutkan stop-loss reinsurance, aggregate deductible, atau aggregate limit — ini adalah coverage modification pada level agregat.
• Soal menyebutkan inflasi dan menanyakan dampaknya pada total klaim atau pada stop-loss premium.
• Diminta menghitung berapa yang dibayar reasuradur atau lapisan asuransi kedua atas total klaim portofolio.
• Soal menggabungkan per-klaim deductible dan aggregate deductible dalam satu skenario.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika deductible berlaku per klaim (bukan atas total) — itu adalah domain 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency.
• Jika soal meminta distribusi lengkap $S^A$ secara rekursif — gunakan 4.5 Panjer Recursive Formula pada distribusi yang sudah dimodifikasi per-klaim, lalu aplikasikan aggregate deductible.
• Jika tidak ada deductible atau limit sama sekali — gunakan langsung $E(S)$ dan $\text{Var}(S)$ dari 4.2 Compound Distributions dan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal tentang coverage modification pada agregat S?"] --> B{"Jenis modifikasi?"}
    B -->|"Aggregate deductible d^A saja"| C["E(S^A) = E(S) - E(S ^ d^A)<br>Gunakan integral survival atau Normal"]
    B -->|"Aggregate deductible + limit u^A"| D["E(S^A) = E(S ^ (d^A+u^A)) - E(S ^ d^A)<br>Selisih dua LEV dari distribusi S"]
    B -->|"Inflasi r, deductible agregat d^A tetap"| E["Transformasi kunci:<br>E[(S_r - d^A)+] = (1+r) * E[(S - d^A/(1+r))+]<br>Hitung stop-loss pada tilde_d = d^A/(1+r)"]
    B -->|"Inflasi r, per-klaim deductible d tetap"| F["Hitung lambda_r = lambda * S_X(d/(1+r))<br>Hitung E[(1+r)X - d]+ per klaim<br>E(S_r) = lambda * E[(1+r)X - d]+"]
    C --> G{"Distribusi S diketahui eksak?"}
    D --> G
    E --> G
    F --> G
    G -->|"Ya / diskrit"| H["Hitung E(S ^ c) via integral atau Panjer"]
    G -->|"Aproksimasi Normal"| I["sigma_S * phi(z) - (d^A - mu_S)(1 - Phi(z))"]
    G -->|"Aproksimasi Lognormal"| J["Gunakan formula LEV Lognormal<br>dari topik 4.4"]
    H --> K["Cek: stop-loss naik setelah inflasi ✓"]
    I --> K
    J --> K

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal stop-loss premium dengan aggregate limit $u^A$ menggunakan aproksimasi Lognormal”
2. “Jelaskan hubungan 4.6 Coverage Modifications on Aggregate Models dengan 3.1 Coverage Modifications on Severity and Frequency — apa bedanya secara matematis dan aktuarial?”
3. “Buat flashcard satu halaman: tiga formula utama aggregate modification dan dua formula inflasi”
4. “Generate notes 4.5 Panjer Recursive Formula untuk menghitung distribusi $S$ eksak yang dibutuhkan dalam topik ini”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 9; Tse (2009) Bab 3 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #AgregatModel #CoverageModification #Inflasi #StopLoss