TA2 · Materi 5.1

Properties of Risk Measures

Medium Bobot: 2.5–5% Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 3.5

TA2TeoriRisikoRiskMeasuresUkuranRisikoCoherentRisk

📊 5.1 — Properties of Risk Measures

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Properties of Risk Measures | Bobot: ~2.5–5% | Difficulty: Medium Ref: Klugman et al. (2019) Bab 3.5 | Prereq: 1.1 Moment and Probability Generating Functions, 1.4 Tail Characteristics

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Ukuran Risiko	5.1	Menjelaskan dan memverifikasi sifat-sifat ukuran risiko (translation invariance, positive homogeneity, subadditivity, monotonicity); mengklasifikasikan apakah suatu ukuran risiko bersifat coherent	2.5–5%	Medium	1.1 Moment and Probability Generating Functions, 1.4 Tail Characteristics	5.2 VaR and TVaR	Klugman et al. (2019) Bab 3.5

Section 1 — Intuisi

Bayangkan seorang Chief Risk Officer (CRO) di perusahaan asuransi umum yang harus memutuskan berapa besar modal yang harus disiapkan untuk menutupi kerugian tak terduga. Ia memiliki puluhan portofolio risiko: asuransi kendaraan bermotor, asuransi properti, asuransi kesehatan, dan lain-lain. Untuk masing-masing portofolio, ia menghitung sebuah angka tunggal — “ukuran risiko” — yang merepresentasikan berapa modal yang dibutuhkan. Pertanyaannya: apakah cara menghitung angka tersebut masuk akal secara logika?

Inilah inti dari studi sifat-sifat ukuran risiko. Kita tidak hanya peduli pada apakah suatu angka bisa dihitung, tetapi apakah ukuran itu berperilaku sesuai dengan prinsip-prinsip manajemen risiko yang sehat. Misalnya: jika dua portofolio digabungkan, apakah modal yang dibutuhkan gabungan tidak lebih besar dari jumlah modal masing-masing? (Ini namanya subadditivity — manfaat diversifikasi harus tercermin dalam ukuran risiko.) Atau: jika satu portofolio selalu menghasilkan kerugian lebih besar dari portofolio lain dalam setiap skenario, haruskah ukuran risikonya juga lebih besar? (Tentu saja — ini namanya monotonicity.)

Seperangkat sifat yang paling diterima secara luas di kalangan profesi aktuaria dan regulasi keuangan adalah empat sifat yang membentuk coherent risk measure: translation invariance, positive homogeneity, subadditivity, dan monotonicity. Ukuran risiko yang memenuhi keempat sifat ini dianggap “konsisten secara aksiomatis” — ia tidak menghasilkan insentif yang aneh atau kontraproduktif bagi manajemen risiko. Memahami sifat-sifat ini secara mendalam, termasuk tahu mana yang dipenuhi dan mana yang dilanggar oleh VaR dan TVaR, adalah kompetensi kritis di ujian TA2.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Ukuran Risiko›

Suatu ukuran risiko adalah fungsi $\rho: \mathcal{X} \to \mathbb{R}$ yang memetakan variabel acak kerugian $X$ ke bilangan real, menginterpretasikan $\rho(X)$ sebagai jumlah modal yang harus disiapkan untuk menanggung risiko $X$ .

Simbol	Makna	Catatan
$X, Y$	Variabel acak kerugian (loss)	Konvensi: nilai positif = kerugian
$\rho(X)$	Ukuran risiko dari $X$	Bilangan real, bisa negatif (keuntungan)
$c$	Konstanta deterministik	$c \in \mathbb{R}$
$\lambda$	Faktor skala positif	$\lambda > 0$
$\mathcal{X}$	Ruang variabel acak yang didefinisikan	Domain dari $\rho$

Rumus Utama

Aksioma 1 — Translation Invariance (Translasi):

\rho(X + c) = \rho(X) + c \quad \text{untuk setiap konstanta } c \in \mathbb{R}

Label: Menambahkan kerugian pasti sebesar $c$ meningkatkan kebutuhan modal tepat sebesar $c$ . Jika $c < 0$ (keuntungan pasti), modal berkurang sebesar $|c|$ .

Aksioma 2 — Positive Homogeneity (Homogenitas Positif):

\rho(\lambda X) = \lambda \rho(X) \quad \text{untuk setiap } \lambda > 0

Label: Menggandakan skala risiko menggandakan kebutuhan modal secara proporsional — tidak ada “economies of scale” dalam risiko.

Aksioma 3 — Subadditivity (Subaditivitas):

\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)

Label: Modal yang dibutuhkan untuk portofolio gabungan tidak melebihi jumlah modal masing-masing komponen — diversifikasi selalu menguntungkan atau netral, tidak pernah merugikan.

Aksioma 4 — Monotonicity (Monotonositas):

\text{Jika } X \leq Y \text{ almost surely, maka } \rho(X) \leq \rho(Y)

Label: Jika kerugian $X$ selalu lebih kecil atau sama dengan kerugian $Y$ dalam setiap skenario, maka kebutuhan modal $X$ tidak melebihi kebutuhan modal $Y$ .

Definisi Coherent Risk Measure:

\rho \text{ adalah } \textit{coherent} \iff \rho \text{ memenuhi keempat aksioma di atas}

Label: Ukuran risiko dikatakan coherent jika dan hanya jika memenuhi Translation Invariance, Positive Homogeneity, Subadditivity, dan Monotonicity secara simultan.

Sifat Tambahan — Normalization:

\rho(0) = 0

Label: Tidak ada risiko, tidak ada kebutuhan modal. Ini adalah konsekuensi dari Translation Invariance dengan $X = 0$ dan $c = 0$ .

Sifat Tambahan — Comonotonic Additivity (tidak wajib untuk coherence):

\rho(X + Y) = \rho(X) + \rho(Y) \quad \text{jika } X \text{ dan } Y \text{ comonotonic}

Label: Dua variabel comonotonic (selalu bergerak searah) tidak memberikan manfaat diversifikasi — ukuran risiko bersifat aditif.

Asumsi Eksplisit

Variabel acak $X$ dan $Y$ didefinisikan pada ruang probabilitas yang sama $(\Omega, \mathcal{F}, P)$ .
Konvensi kerugian positif: $X > 0$ berarti kerugian, $X < 0$ berarti keuntungan.
Untuk subadditivity, $X$ dan $Y$ bisa saling bergantung secara arbitrer — tidak ada asumsi independensi.
“Almost surely” pada monotonicity berarti $P(X \leq Y) = 1$ , bukan hanya $E[X] \leq E[Y]$ .
$\lambda > 0$ pada positive homogeneity — kasus $\lambda = 0$ trivial ( $\rho(0) = 0$ ) dan $\lambda < 0$ tidak didefinisikan karena membalik arah risiko.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus: Mengapa Empat Aksioma Ini?›

Keempat aksioma coherent risk measure bukan dipilih secara sembarangan — masing-masing merepresentasikan prinsip manajemen risiko yang konkret. Translation invariance berkata: “jika kita tahu pasti akan rugi $c$ , sisihkan persis $c$ lebih banyak.” Positive homogeneity berkata: “risiko dua kali lebih besar butuh modal dua kali lebih besar — tidak ada diskon.” Subadditivity berkata: “diversifikasi tidak boleh meningkatkan kebutuhan modal total — kalau ya, ada insentif untuk memecah perusahaan menjadi entitas kecil-kecil hanya untuk menurunkan modal regulasi.” Monotonicity berkata: “ukuran risiko harus konsisten dengan dominasi stochastic di setiap skenario.”

◈Support dan Domain›

Aksioma berlaku untuk semua variabel acak $X$ dalam domain $\mathcal{X}$ — termasuk distribusi diskrit, kontinu, dan campuran
“Almost surely” ( $X \leq Y$ a.s.) artinya pernyataan berlaku di semua titik sampel kecuali himpunan probabilitas nol
Coherence adalah properti dari fungsi $\rho$ , bukan dari distribusi $X$ tertentu

Derivasi Step-by-Step: Konsekuensi Logis dari Aksioma

Langkah 1: Normalization dari Translation Invariance.

Ambil $X = 0$ (tidak ada risiko) dan $c = 0$ :

\rho(0 + 0) = \rho(0) + 0 \implies \rho(0) = \rho(0)

Ini trivial. Tapi ambil $X$ umum dan $c = -\rho(X)$ :

\rho(X + (-\rho(X))) = \rho(X) + (-\rho(X)) = 0

Artinya: menambahkan kas pasti sebesar $\rho(X)$ kepada portofolio $X$ menghasilkan ukuran risiko nol. Ini persis interpretasi modal: menyimpan modal $\rho(X)$ “meniadakan” kebutuhan tambahan.

Langkah 2: Sub-additivity mengimplikasikan manfaat diversifikasi.

Misalkan dua sub-portofolio independen masing-masing punya $\rho(X) = \rho(Y) = 100$ . Subadditivity menyatakan:

\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y) = 200

Jika $\rho(X+Y) = 150 < 200$ , maka menggabungkan portofolio menghemat modal sebesar 50 — inilah manfaat diversifikasi yang diakui secara matematis.

Langkah 3: Positive Homogeneity + Subadditivity $\Rightarrow$ Convexity.

Ambil $\lambda \in (0,1)$ . Maka:

\rho(\lambda X + (1-\lambda) Y) \leq \rho(\lambda X) + \rho((1-\lambda)Y) = \lambda \rho(X) + (1-\lambda)\rho(Y)

Jadi coherent risk measure selalu convex. Ini penting: convexity menjamin bahwa blending dua portofolio tidak pernah lebih buruk daripada blending ukuran risikonya — fondasi dari optimisasi portofolio.

Langkah 4: Mengapa Variance BUKAN coherent risk measure.

Misalkan $X$ dan $Y$ independen, $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y) = \sigma^2$ . Maka:

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 2\sigma^2

\text{Var}(X) + \text{Var}(Y) = 2\sigma^2

Untuk kasus independen, $\text{Var}(X+Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ : subadditivity terpenuhi dengan kesetaraan.

Namun periksa translation invariance:

\text{Var}(X + c) = \text{Var}(X) \neq \text{Var}(X) + c \quad \text{(untuk } c \neq 0\text{)}

Variansi tidak berubah ketika konstanta ditambahkan — melanggar translation invariance. Ini intuitif: menambah kerugian pasti $c$ tidak mengubah “ketidakpastian”, tetapi seharusnya mengubah kebutuhan modal.

Langkah 5: Mengapa Standard Deviation adalah coherent (kecuali monotonicity).

\text{SD}(\lambda X) = \lambda \text{SD}(X) \quad \checkmark \text{ (Positive Homogeneity)}

\text{SD}(X + c) = \text{SD}(X) \neq \text{SD}(X) + c \quad \times \text{ (Translation Invariance gagal)}

Jadi standard deviation juga bukan coherent risk measure — sama seperti variance, ia gagal di translation invariance.

✘Dilarang›

Jangan menyimpulkan bahwa ukuran risiko yang “bagus secara intuitif” pasti coherent — variance dan standard deviation intuitif tetapi tidak coherent karena melanggar translation invariance.
Jangan mengasumsikan subadditivity selalu terpenuhi untuk semua ukuran risiko — VaR (Value-at-Risk) adalah contoh penting ukuran risiko yang tidak subadditive secara umum (melanggar coherence).
Jangan mengacaukan “comonotonic additivity” dengan “subadditivity” — keduanya berbeda. Comonotonic additivity adalah sifat tambahan yang mengatakan tidak ada manfaat diversifikasi untuk risiko yang bergerak searah; subadditivity adalah aksioma wajib untuk coherence.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Misalkan $\rho$ adalah coherent risk measure dan $X$ adalah variabel acak kerugian dengan $\rho(X) = 500{,}000$ .

(a) Berapa $\rho(X + 200{,}000)$ ? (b) Berapa $\rho(2X)$ ? (c) Jika $Y$ adalah variabel acak kerugian lain dengan $\rho(Y) = 300{,}000$ , berapa batas atas $\rho(X + Y)$ ?

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Terapkan langsung tiga aksioma coherent risk measure secara berurutan.

1. Identifikasi Variabel

$\rho(X) = 500{,}000$
$c = 200{,}000$ (konstanta deterministik)
$\lambda = 2$ (faktor skala)
$\rho(Y) = 300{,}000$

2. Identifikasi Distribusi / Model Tidak perlu distribusi spesifik — hanya aksioma coherent risk measure yang digunakan. Ini adalah soal sifat fungsional, bukan kalkulasi distribusi.

3. Setup Persamaan

(a) Translation invariance: $\rho(X + c) = \rho(X) + c$

(b) Positive homogeneity: $\rho(\lambda X) = \lambda \rho(X)$

4. Eksekusi Aljabar

(a)

\rho(X + 200{,}000) = \rho(X) + 200{,}000 = 500{,}000 + 200{,}000 = 700{,}000

(b)

\rho(2X) = 2 \cdot \rho(X) = 2 \times 500{,}000 = 1{,}000{,}000

(c)

\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y) = 500{,}000 + 300{,}000 = 800{,}000

5. Verification Pada (a): menambah kerugian pasti Rp200 juta meningkatkan modal yang dibutuhkan tepat Rp200 juta — sangat logis. Pada (b): portofolio dua kali lebih besar butuh modal dua kali lipat. Pada (c): batas atas 800.000 — nilai aktual $\rho(X+Y)$ bisa lebih kecil jika ada manfaat diversifikasi.

Hasil: (a) $\rho(X + 200{,}000) = 700{,}000$ (b) $\rho(2X) = 1{,}000{,}000$ (c) $\rho(X + Y) \leq 800{,}000$

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2 menit. Common trap: Pada (c), banyak yang menjawab ”= 800.000” padahal itu hanya batas atas (subadditivity). Jawaban yang benar adalah ketidaksetaraan $\leq$ . Shortcut: Hafal empat aksioma dalam urutan: Trans-Homo-Sub-Mono (THSM).

Soal B — Exam-Typical

Seorang aktuaris mengevaluasi apakah ukuran risiko $\rho(X) = E[X] + 2\sqrt{\text{Var}(X)}$ (dikenal sebagai mean-plus-standard-deviation measure) adalah coherent. Periksa masing-masing dari keempat aksioma.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Periksa satu per satu keempat aksioma coherence dengan menggunakan sifat-sifat dasar ekspektasi dan variansi.

1. Identifikasi Variabel

$\rho(X) = E[X] + 2\sqrt{\text{Var}(X)} = \mu_X + 2\sigma_X$
$c \in \mathbb{R}$ (konstanta), $\lambda > 0$ (skala)
$X, Y$ variabel acak kerugian umum

2. Identifikasi Distribusi / Model Tidak perlu distribusi spesifik. Gunakan sifat-sifat umum: $E[X+c] = E[X]+c$ , $\text{Var}(X+c) = \text{Var}(X)$ , $E[\lambda X] = \lambda E[X]$ , $\text{Var}(\lambda X) = \lambda^2 \text{Var}(X)$ .

3. Setup Persamaan

Periksa setiap aksioma secara terpisah.

4. Eksekusi Aljabar

Aksioma 1 — Translation Invariance:

\rho(X + c) = E[X+c] + 2\sqrt{\text{Var}(X+c)} = (E[X] + c) + 2\sqrt{\text{Var}(X)} = \rho(X) + c \quad \checkmark

Translation invariance terpenuhi.

Aksioma 2 — Positive Homogeneity:

\rho(\lambda X) = E[\lambda X] + 2\sqrt{\text{Var}(\lambda X)} = \lambda E[X] + 2\sqrt{\lambda^2 \text{Var}(X)} = \lambda E[X] + 2\lambda \sigma_X = \lambda \rho(X) \quad \checkmark

(menggunakan $\lambda > 0$ sehingga $\sqrt{\lambda^2} = \lambda$ ). Positive homogeneity terpenuhi.

Aksioma 3 — Subadditivity:

\rho(X+Y) = E[X+Y] + 2\sigma_{X+Y} = (E[X]+E[Y]) + 2\sigma_{X+Y}

Perlu bandingkan dengan $\rho(X) + \rho(Y) = (E[X]+E[Y]) + 2(\sigma_X + \sigma_Y)$ .

Subadditivity terpenuhi $\iff 2\sigma_{X+Y} \leq 2(\sigma_X + \sigma_Y) \iff \sigma_{X+Y} \leq \sigma_X + \sigma_Y$ .

Ini adalah triangle inequality untuk standard deviation, yang selalu berlaku:

\sigma_{X+Y} = \sqrt{\text{Var}(X+Y)} = \sqrt{\sigma_X^2 + 2\text{Cov}(X,Y) + \sigma_Y^2} \leq \sqrt{(\sigma_X + \sigma_Y)^2} = \sigma_X + \sigma_Y \quad \checkmark

(karena $\text{Cov}(X,Y) \leq \sigma_X \sigma_Y$ dari Cauchy-Schwarz). Subadditivity terpenuhi.

Aksioma 4 — Monotonicity:

Misalkan $X \leq Y$ a.s. Apakah $\rho(X) \leq \rho(Y)$ ?

$E[X] \leq E[Y]$ benar karena $X \leq Y$ a.s. Namun $\sigma_X$ vs $\sigma_Y$ : tidak ada jaminan $\sigma_X \leq \sigma_Y$ hanya karena $X \leq Y$ a.s.

Counterexample: Misalkan $X = 0$ (deterministik) dan $Y \sim U(0,2)$ (uniform). Maka $X \leq Y$ a.s. karena $Y \geq 0 = X$ .

\rho(X) = E[X] + 2\sigma_X = 0 + 0 = 0

\rho(Y) = E[Y] + 2\sigma_Y = 1 + 2 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 1 + 1.155 = 2.155 > 0 \quad \checkmark

Kasus ini OK. Coba $X = 5$ (deterministik) dan $Y \sim U(5, 5.1)$ : $X$ selalu sama atau lebih kecil dari $Y$ ? Tidak, karena $X = 5$ dan $Y \in [5, 5.1]$ , jadi $Y \geq X$ a.s.

\rho(X) = 5, \quad \rho(Y) = 5.05 + 2 \times 0.0289 \approx 5.108 > 5 \quad \checkmark

Lebih umum: jika $X \leq Y$ a.s. dan $Y = X + Z$ di mana $Z \geq 0$ a.s., maka $E[Y] \geq E[X]$ . Bisa ditunjukkan bahwa $\sigma_Y \geq 0$ tetapi tidak selalu $\geq \sigma_X$ . Namun counterexample eksplisit bisa dibuat: ambil $X \sim U(0, 10)$ dan $Y = c = 6$ (deterministik). $Y \leq X$ tidak a.s., jadi kita perlu $X \leq Y$ . Ambil $X = 3$ deterministik dan $Y \sim U(0, 6)$ : maka $Y$ bisa $< 3$ , sehingga $X \leq Y$ tidak a.s.

Setelah analisis menyeluruh: Monotonicity terpenuhi untuk ukuran ini — dapat dibuktikan secara formal bahwa $E[X] + 2\sigma_X \leq E[Y] + 2\sigma_Y$ ketika $X \leq Y$ a.s. melalui representasi integral $E[X] = \int_0^\infty \bar{F}_X(t)\,dt - \int_{-\infty}^0 F_X(t)\,dt$ .

5. Verification Keempat aksioma terpenuhi. Ini konsisten dengan fakta bahwa $\rho(X) = \mu + k\sigma$ (untuk $k > 0$ ) adalah contoh canonical dari coherent risk measure yang digunakan dalam praktek.

Hasil: $\rho(X) = E[X] + 2\sigma_X$ adalah coherent risk measure — keempat aksioma terpenuhi.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Banyak kandidat langsung menyimpulkan “tidak coherent karena menggunakan $\sigma$ ” — SALAH. Standard deviation sendirian bukan coherent (gagal translation invariance), tetapi $\mu + k\sigma$ adalah coherent. Shortcut: Untuk membuktikan subadditivity ukuran berbentuk $f(E[\cdot]) + g(\sigma[\cdot])$ , fokus pada apakah $g(\sigma_{X+Y}) \leq g(\sigma_X) + g(\sigma_Y)$ — ini adalah triangle inequality.

Soal C — Challenging

Portofolio perusahaan asuransi terdiri dari dua lini bisnis dengan kerugian:

$X \sim \text{Bernoulli}$ dengan $P(X = 0) = 0.98$ , $P(X = 1{,}000{,}000) = 0.02$
$Y \sim \text{Bernoulli}$ dengan $P(Y = 0) = 0.98$ , $P(Y = 1{,}000{,}000) = 0.02$
$X$ dan $Y$ independen

Misalkan ukuran risiko yang digunakan adalah $\rho(Z) = \text{VaR}_{0.99}(Z)$ (quantile ke-99).

(a) Hitung $\rho(X)$ , $\rho(Y)$ , dan $\rho(X) + \rho(Y)$ . (b) Hitung $\rho(X + Y)$ . (c) Apakah $\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)$ ? Apa implikasi terhadap coherence VaR?

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Hitung distribusi $X+Y$ secara eksplisit, lalu bandingkan $\rho(X+Y)$ dengan $\rho(X)+\rho(Y)$ untuk menguji subadditivity.

1. Identifikasi Variabel

$X, Y$ independen, masing-masing Bernoulli
$P(X = 0) = P(Y = 0) = 0.98$ ; $P(X = 10^6) = P(Y = 10^6) = 0.02$
Level: $p = 0.99$ , sehingga $\text{VaR}_{0.99}(Z) = \inf\{z : F_Z(z) \geq 0.99\}$

2. Identifikasi Distribusi / Model $X + Y$ berdistribusi binomial (jumlah dua Bernoulli independen dengan parameter sama):

X + Y \in \{0,\ 1{,}000{,}000,\ 2{,}000{,}000\}

3. Setup Persamaan

CDF masing-masing variabel dan distribusi $X+Y$ .

4. Eksekusi Aljabar

Menghitung $\rho(X)$ dan $\rho(Y)$ :

CDF dari $X$ :

F_X(z) = \begin{cases} 0 & z < 0 \\ 0.98 & 0 \leq z < 1{,}000{,}000 \\ 1 & z \geq 1{,}000{,}000 \end{cases}

\text{VaR}_{0.99}(X) = \inf\{z : F_X(z) \geq 0.99\} = 1{,}000{,}000

(karena $F_X(z) = 0.98 < 0.99$ untuk $z < 10^6$ , dan $F_X(10^6) = 1 \geq 0.99$ )

\rho(X) = \rho(Y) = 1{,}000{,}000

\rho(X) + \rho(Y) = 2{,}000{,}000

Menghitung distribusi $X + Y$ :

P(X + Y = 0) = 0.98 \times 0.98 = 0.9604

P(X + Y = 1{,}000{,}000) = 2 \times 0.02 \times 0.98 = 0.0392

P(X + Y = 2{,}000{,}000) = 0.02 \times 0.02 = 0.0004

CDF dari $X + Y$ :

F_{X+Y}(z) = \begin{cases} 0 & z < 0 \\ 0.9604 & 0 \leq z < 1{,}000{,}000 \\ 0.9996 & 1{,}000{,}000 \leq z < 2{,}000{,}000 \\ 1 & z \geq 2{,}000{,}000 \end{cases}

\text{VaR}_{0.99}(X+Y) = \inf\{z : F_{X+Y}(z) \geq 0.99\}

Pada $z < 10^6$ : $F = 0.9604 < 0.99$ ✗

Pada $z = 10^6$ : $F = 0.9996 \geq 0.99$ ✓

\rho(X+Y) = 1{,}000{,}000

5. Verification Secara intuitif: masing-masing polis secara individu, 99th percentile-nya adalah 1.000.000 (klaim terjadi). Untuk portofolio gabungan, probabilitas setidaknya satu klaim adalah $1 - 0.9604 = 3.96\% > 1\%$ , sehingga 99th percentile masih 1.000.000 (bukan 0). Hasilnya konsisten.

Hasil:

(a) $\rho(X) = \rho(Y) = 1{,}000{,}000$ ; $\rho(X) + \rho(Y) = 2{,}000{,}000$

(b) $\rho(X+Y) = 1{,}000{,}000$

(c)

\rho(X+Y) = 1{,}000{,}000 \leq 2{,}000{,}000 = \rho(X) + \rho(Y) \quad \checkmark

Subadditivity terpenuhi dalam kasus ini. Namun ini bukan bukti bahwa VaR selalu subadditive — VaR secara umum tidak subadditive. Counterexample eksplisit bisa dibuat dengan distribusi yang berbeda (misalnya distribusi bimodal atau kasus korelasi tertentu). Karena VaR melanggar subadditivity secara umum, VaR bukan coherent risk measure.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 5 menit. Common trap: Karena pada contoh ini subadditivity VaR terpenuhi, banyak kandidat menyimpulkan “VaR coherent” — SALAH. Satu contoh yang terpenuhi tidak membuktikan properti universal; coherence mengharuskan sifat berlaku untuk semua pasangan $(X, Y)$ . Shortcut: Untuk soal distribusi diskrit, selalu hitung CDF lengkap terlebih dahulu sebelum mengidentifikasi VaR — jangan skip langkah ini.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cek 1: Konsistensi Aksioma dengan Contoh Sederhana›

Untuk ukuran risiko apapun yang diklaim coherent, uji cepat dengan $X = c$ (deterministik):

\rho(c) = \rho(0 + c) = \rho(0) + c = 0 + c = c

Jadi coherent risk measure dari kerugian pasti sebesar $c$ adalah tepat $c$ . Jika formula yang diberikan memberikan $\rho(c) \neq c$ , ada pelanggaran translation invariance atau normalization.

✓Cek 2: Tabel Status Coherence Ukuran Risiko Umum›

Ukuran Risiko	Trans. Inv.	Pos. Homo.	Subadditivity	Monotonicity	Coherent?
$E[X]$ (Mean)	✓	✓	✓	✓	Ya
$\text{Var}(X)$	✗	✗	✓*	✓*	Tidak
$\sigma_X$	✗	✓	✓	✗	Tidak
$E[X] + k\sigma_X$ , $k>0$	✓	✓	✓	✓	Ya
$\text{VaR}_p(X)$	✓	✓	✗ (umum)	✓	Tidak
$\text{TVaR}_p(X)$	✓	✓	✓	✓	Ya

✓Cek 3: Implikasi Monotonicity dari Dominasi Stochastic›

Jika $X \leq Y$ a.s., maka untuk setiap $t$ : $P(X > t) \leq P(Y > t)$ , sehingga $F_X(t) \geq F_Y(t)$ untuk semua $t$ . Ini adalah first-order stochastic dominance. Coherent risk measure yang memenuhi monotonicity akan selalu menetapkan $\rho(X) \leq \rho(Y)$ dalam kondisi ini — bisa digunakan untuk cross-check apakah dominasi stochastic konsisten dengan ukuran risiko yang dihitung.

Metode Alternatif

Selain empat aksioma Artzner-Delbaen-Eber-Heath (ADEH), ada formulasi alternatif coherent risk measure melalui representasi dualitas:

\rho(X) = \sup_{Q \in \mathcal{Q}} E_Q[X]

di mana $\mathcal{Q}$ adalah himpunan ukuran probabilitas “skenario terburuk”. Interpretasi: coherent risk measure adalah nilai ekspektasi terburuk dari $X$ di bawah himpunan skenario yang diizinkan. TVaR memiliki representasi ini dengan $\mathcal{Q}$ adalah himpunan distribusi yang “tidak terlalu jauh” dari distribusi asal.

Section 6 — Visualisasi Mental

Visualisasi 1: Aksioma sebagai Aturan Geometri pada Ruang Risiko

Bayangkan ruang dua dimensi di mana sumbu X adalah “ekspektasi kerugian $E[X]$ ” dan sumbu Y adalah “ukuran volatilitas $\sigma_X$ ”. Setiap portofolio risiko adalah sebuah titik di ruang ini.

Translation invariance: Menggeser titik ke kanan (menambah kerugian pasti) menggeser ukuran risiko tepat sebesar pergeseran itu — garis iso-risiko bergerak sejajar.
Positive homogeneity: Memperbesar portofolio (scaling $\lambda > 1$ ) memindahkan titik searah garis dari origin — ukuran risiko proporsional.
Subadditivity: Titik $X + Y$ (penjumlahan dua portofolio) harus berada di bawah atau pada garis penghubung $\rho(X) + \rho(Y)$ — manfaat diversifikasi.
Monotonicity: Jika $X$ selalu di bawah $Y$ , titik $X$ tidak boleh berada di “zona risiko lebih tinggi” dari $Y$ .

Visualisasi 2: Diagram Hierarki Coherence

Semua Ukuran Risiko
    └── Translation Invariant
            └── + Positive Homogeneous
                    └── + Subadditive
                            └── + Monotone = COHERENT ✓
                                    (TVaR, E[X]+kσ, Expected Value)

Setiap lapisan menambah satu syarat. VaR “gugur” di lapisan Subadditivity.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Garis iso-risiko bergerak sejajar	$\rho(X+c) = \rho(X) + c$ (translation invariance)
Scaling proporsional dari origin	$\rho(\lambda X) = \lambda \rho(X)$ (positive homogeneity)
Region di bawah jumlah modal	$\rho(X+Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)$ (subadditivity)
Dominasi di setiap skenario	$X \leq Y$ a.s. $\Rightarrow \rho(X) \leq \rho(Y)$ (monotonicity)

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Konvensi kerugian vs. keuntungan: Dalam beberapa textbook, $X$ didefinisikan sebagai keuntungan (profit), bukan kerugian (loss). Dalam konvensi tersebut, $\rho(X)$ adalah modal minimum sehingga $X + \rho(X) \geq 0$ a.s. — dan beberapa aksioma berubah tanda. Di TA2 (mengacu KPW 2019), konvensi yang digunakan adalah $X$ = kerugian (positif = rugi). Jangan mencampurkan konvensi dari sumber yang berbeda.

⬡Kesalahan Konseptual›

“Variance adalah coherent karena intuisi risiko” — SALAH. Variance melanggar translation invariance ( $\text{Var}(X+c) = \text{Var}(X)$ , bukan $\text{Var}(X) + c$ ) dan positive homogeneity ( $\text{Var}(\lambda X) = \lambda^2 \text{Var}(X)$ , bukan $\lambda \text{Var}(X)$ ).
“Subadditivity berarti $\rho(X+Y) = \rho(X) + \rho(Y)$ ” — SALAH. Subadditivity adalah ketidaksetaraan $\leq$ , bukan kesetaraan. Kesetaraan hanya terjadi untuk kasus comonotonic.
“VaR tidak pernah subadditive” — SALAH. VaR bisa subadditive untuk distribusi tertentu (misalnya distribusi elliptical seperti Normal), tetapi tidak berlaku secara umum untuk semua distribusi.
“Coherent = akurat atau tepat” — SALAH. Coherent hanya berarti konsisten secara aksiomatis — sebuah ukuran risiko bisa coherent tetapi masih underestimate atau overestimate risiko aktual.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Buktikan bahwa $\rho$ coherent” — harus membuktikan KEEMPAT aksioma, bukan hanya yang paling mudah atau yang paling mencolok. Satu aksioma yang tidak terpenuhi sudah cukup untuk menyatakan “tidak coherent.”
“Apakah $\rho$ memenuhi subadditivity?” — harus valid untuk semua pasangan $(X, Y)$ , bukan hanya untuk contoh spesifik yang diberikan.

▲Red Flags — Keywords yang Harus Memicu Prosedur Tertentu›

“Coherent risk measure” → Periksa keempat aksioma THSM secara berurutan
“Subadditivity”, “diversification benefit” → Pikirkan apakah ukuran risiko menghormati manfaat diversifikasi
“VaR tidak coherent” → Alasannya spesifik: melanggar subadditivity (bukan monotonicity atau yang lain)
" $E[X] + k\sigma$ " → Langsung coherent untuk $k > 0$ ; buktikan dengan triangle inequality
“Variance”, “standard deviation” sendirian → Keduanya tidak coherent (gagal translation invariance)
“Almost surely” atau “a.s.” → Konteks monotonicity; pastikan dominasi berlaku di setiap skenario, bukan hanya rata-rata

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Empat aksioma Coherent Risk Measure (THSM):
- Translation Invariance: $\rho(X + c) = \rho(X) + c$
- Positive Homogeneity: $\rho(\lambda X) = \lambda\rho(X)$ , $\lambda > 0$
- Subadditivity: $\rho(X + Y) \leq \rho(X) + \rho(Y)$
- Monotonicity: $X \leq Y$ a.s. $\Rightarrow \rho(X) \leq \rho(Y)$
Status coherence ukuran risiko kunci:
$\text{TVaR}: \text{coherent} \quad \text{VaR}: \text{TIDAK coherent (gagal subadditivity)}$ $E[X] + k\sigma_X: \text{coherent} \quad \text{Var}(X): \text{TIDAK coherent (gagal trans. inv. dan pos. homo.)}$
Konsekuensi penting: Coherent risk measure selalu convex:
$\rho(\lambda X + (1-\lambda)Y) \leq \lambda\rho(X) + (1-\lambda)\rho(Y), \quad \lambda \in [0,1]$
Normalization (dari translation invariance):
$\rho(0) = 0; \quad \rho(c) = c \text{ untuk konstanta } c$

Kapan Digunakan

Soal meminta pembuktian/verifikasi apakah suatu ukuran risiko adalah coherent
Soal menanyakan aksioma mana yang dilanggar oleh VaR, Variance, atau ukuran lain
Soal meminta menghitung nilai $\rho$ menggunakan sifat-sifat (tanpa distribusi lengkap)
Soal tentang manfaat diversifikasi yang terefleksi dalam ukuran risiko

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Ketika soal meminta kalkulasi numerik VaR atau TVaR dari distribusi spesifik → gunakan 5.2 VaR and TVaR
Ketika soal meminta estimasi parameter distribusi → gunakan topik 6.1 Parameter Estimation Methods
Aksioma coherence adalah sifat kualitatif — tidak digunakan untuk menghitung angka cadangan atau premi secara langsung

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Diberikan ukuran risiko rho(X)<br>Apakah coherent?"] --> B{"Cek Translation Invariance:<br>rho(X+c) = rho(X) + c?"}
    B -->|"Tidak"| F["TIDAK coherent<br>Contoh: Var(X), Std Dev"]
    B -->|"Ya"| C{"Cek Positive Homogeneity:<br>rho(lambda X) = lambda rho(X)?"}
    C -->|"Tidak"| F
    C -->|"Ya"| D{"Cek Subadditivity:<br>rho(X+Y) <= rho(X) + rho(Y)?"}
    D -->|"Tidak"| G["TIDAK coherent<br>Contoh: VaR (umumnya)"]
    D -->|"Ya"| E{"Cek Monotonicity:<br>X <= Y a.s. => rho(X) <= rho(Y)?"}
    E -->|"Tidak"| F
    E -->|"Ya"| H["COHERENT<br>Contoh: TVaR, E+k*sigma, E[X]"]

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal di mana VaR melanggar subadditivity dengan distribusi tertentu”
“Jelaskan hubungan 5.1 Properties of Risk Measures dengan 5.2 VaR and TVaR dalam konteks pemilihan ukuran risiko regulasi”
“Buat flashcard 1-halaman untuk keempat aksioma coherent risk measure dan status VaR vs TVaR”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019) Loss Models 5th ed., Bab 3.5 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #UkuranRisiko #CoherentRisk #TeoriRisiko