📊 5.2 — VaR and TVaR

≡Ringkasan Cepat›

Topik: VaR and TVaR | Bobot: ~2.5–5% | Difficulty: Hard Ref: Klugman et al. (2019), Loss Models 5th ed., Bab 3.5 | Prereq: 5.1 Properties of Risk Measures, 1.4 Tail Characteristics

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Ukuran Risiko	5.2	Menghitung VaR dan TVaR untuk distribusi kontinu dan diskrit; membandingkan sifat keduanya; menjelaskan penggunaan dan keterbatasan masing-masing; menghubungkan TVaR dengan stop-loss premium	2.5–5%	Hard	5.1 Properties of Risk Measures, 1.4 Tail Characteristics	4.3 Mean Variance and Stop-Loss, 4.4 Aggregate Distribution Approximation, 1.2 Distribution Classes and Extreme Value	Klugman et al. (2019) Bab 3.5

Section 1 — Intuisi

Bayangkan seorang Direktur Keuangan perusahaan asuransi umum Indonesia harus menjawab pertanyaan regulator OJK: “Berapa cadangan modal minimum yang dibutuhkan agar perusahaan Anda dapat bertahan menghadapi skenario klaim terburuk?” Pertanyaan ini membutuhkan ukuran yang merangkum risiko ekor distribusi klaim — bukan hanya rata-rata, bukan hanya variance, tetapi sesuatu yang secara eksplisit mengkuantifikasi “seberapa parah kondisi terburuk itu.” Di sinilah Value-at-Risk (VaR) dan Tail Value-at-Risk (TVaR) berperan sebagai dua ukuran risiko paling penting dalam manajemen risiko aktuaria modern.

VaR pada tingkat kepercayaan $p$ menjawab pertanyaan: “Berapa nilai $x$ sedemikian sehingga kita yakin $p\times100\%$ bahwa kerugian tidak akan melebihi $x$?” Secara geometris, VaR adalah persentil ke-$p$ dari distribusi kerugian. Ini sangat intuitif dan mudah dikomunikasikan — regulator, direksi, dan bahkan auditor non-aktuaria dapat memahaminya. Namun, VaR memiliki kelemahan fundamental: ia tidak memberitahu apa yang terjadi di luar ambang batas tersebut. Dua portofolio bisa memiliki VaR yang identik di $p = 95\%$ tetapi salah satunya memiliki ekor yang jauh lebih destruktif dari yang lain — dan VaR tidak membedakan keduanya.

TVaR (Tail Value-at-Risk), yang juga dikenal sebagai Conditional Tail Expectation (CTE) atau Expected Shortfall, menyempurnakan kelemahan VaR tersebut. TVaR pada tingkat kepercayaan $p$ bertanya: “Jika kerugian sudah melewati VaR — yaitu sudah berada di skenario terburuk $1-p$ fraksi — berapa rata-rata kerugian di wilayah gelap itu?” TVaR selalu lebih besar atau sama dengan VaR, mencerminkan risiko tambahan dari ekor yang tebal. Dalam kerangka risk measure formal, TVaR adalah ukuran risiko yang coherent (memenuhi sifat subadditivitas) sedangkan VaR tidak — inilah mengapa TVaR semakin diutamakan dalam regulasi modal berbasis risiko seperti Solvency II dan IFRS 17.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — VaR dan TVaR›

Misalkan $X$ adalah variabel acak kerugian dengan CDF $F_X(x)$ dan survival function $S_X(x) = 1 - F_X(x)$.

Value-at-Risk (VaR) pada level $p$ ($0 < p < 1$):

$$\text{VaR}_p(X) = \pi_p = F_X^{-1}(p) = \inf\{x : F_X(x) \geq p\}$$

Tail Value-at-Risk (TVaR) pada level $p$ (untuk distribusi kontinu):

$$\text{TVaR}_p(X) = E[X \mid X > \text{VaR}_p(X)] = \frac{E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}]}{1 - p}$$

Simbol	Makna	Catatan
$X$	Variabel acak kerugian (loss)	$X \geq 0$ dalam konteks asuransi
$p$	Tingkat kepercayaan (confidence level)	$p \in (0,1)$; biasanya $p = 0.90, 0.95, 0.99$
$\pi_p$	VaR pada level $p$	Persentil ke-$p$ dari distribusi $X$
$F_X^{-1}(p)$	Fungsi invers CDF (quantile function)	Untuk distribusi kontinu: unik dan well-defined
$\text{TVaR}_p(X)$	Tail Value-at-Risk pada level $p$	Juga disebut CTE, CVaR, Expected Shortfall
$e(\pi_p)$	Mean excess loss di $\pi_p$	$e(\pi_p) = E[X - \pi_p \mid X > \pi_p]$ dari 1.4 Tail Characteristics
$S_X(\pi_p)$	Survival function di $\pi_p$	$S_X(\pi_p) = 1 - F_X(\pi_p) = 1 - p$ untuk distribusi kontinu
$E[X \wedge \pi_p]$	Limited expected value di $\pi_p$	$E[X \wedge \pi_p] = \int_0^{\pi_p} S_X(x)\,dx$

Rumus Utama

VaR untuk distribusi kontinu (invers CDF langsung):

$$\text{VaR}_p(X) = \pi_p = F_X^{-1}(p)$$

Label: Untuk distribusi kontinu, cukup selesaikan $F_X(\pi_p) = p$ untuk $\pi_p$.

VaR untuk distribusi diskrit (smallest value dengan CDF $\geq p$):

$$\text{VaR}_p(X) = \min\{x : F_X(x) \geq p\}$$

Label: Untuk distribusi diskrit, VaR mungkin tidak unik; gunakan definisi infimum.

TVaR untuk distribusi kontinu — bentuk bersyarat:

$$\text{TVaR}_p(X) = E[X \mid X > \pi_p] = \pi_p + e(\pi_p)$$

Label: TVaR = VaR ditambah mean excess loss di titik VaR; hubungan fundamental ini menghubungkan 1.4 Tail Characteristics dengan ukuran risiko.

TVaR untuk distribusi kontinu — bentuk integral:

$$\text{TVaR}_p(X) = \frac{1}{1-p} \int_{\pi_p}^{\infty} x\, f_X(x)\,dx = \frac{1}{1-p} \int_{\pi_p}^{\infty} S_X(x)\,dx + \pi_p$$

Label: Integral diatas $\pi_p$ dinormalisasi oleh probabilitas ekor $(1-p)$.

TVaR — hubungan dengan Limited Expected Value dan stop-loss:

$$\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \frac{E[(X - \pi_p)_+]}{1 - p} = \pi_p + \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1 - p}$$

Label: Stop-loss premium $E[(X-\pi_p)_+]$ pada deductible $\pi_p$ muncul secara alami dalam TVaR; hubungan kritis dengan 4.3 Mean Variance and Stop-Loss.

TVaR — bentuk kompak:

$$\text{TVaR}_p(X) = \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1 - p} + \pi_p = \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p(1-p)}{1-p}$$

Label: Seluruh formula TVaR dalam satu ekspresi menggunakan LEV.

TVaR untuk distribusi diskrit (formula umum):

$$\text{TVaR}_p(X) = \frac{1}{1-p}\left[E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p \cdot (F_X(\pi_p) - p)\right]$$

Label: Koreksi term $\pi_p(F_X(\pi_p) - p)$ muncul karena distribusi diskrit memiliki point mass di $\pi_p$ sehingga $F_X(\pi_p)$ bisa $> p$.

TVaR untuk distribusi Normal $X \sim N(\mu, \sigma^2)$:

$$\text{TVaR}_p(X) = \mu + \sigma \cdot \frac{\phi(z_p)}{1-p}$$

di mana $z_p = (\pi_p - \mu)/\sigma = \Phi^{-1}(p)$ dan $\phi(\cdot)$ adalah PDF Normal standar.

Label: Formula closed-form untuk Normal — sangat sering diuji bersama aproksimasi agregat dari 4.4 Aggregate Distribution Approximation.

TVaR untuk distribusi Exponential $X \sim \text{Exp}(\theta)$:

$$\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \theta = -\theta \ln(1-p) + \theta = \theta[1 - \ln(1-p)]$$

Label: Memanfaatkan memoryless property: $e(\pi_p) = \theta$ selalu, sehingga TVaR = VaR + $\theta$.

TVaR untuk distribusi Pareto $(\alpha, \theta)$:

$$\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + e(\pi_p) = \frac{\theta + \pi_p}{\alpha - 1} + \pi_p \quad \text{dengan } \pi_p = \theta\left[(1-p)^{-1/\alpha} - 1\right]$$

Label: Mean excess loss Pareto: $e(d) = (\theta + d)/(\alpha-1)$; meningkat dengan $d$ (heavy tail).

Asumsi Eksplisit

1. Untuk distribusi kontinu: $F_X(\pi_p) = p$ secara tepat (tidak ada point mass), sehingga $S_X(\pi_p) = 1 - p$.
2. Untuk distribusi diskrit: $F_X(\pi_p) \geq p$ dan mungkin $F_X(\pi_p) > p$; koreksi diskret diperlukan dalam formula TVaR.
3. $E(X) < \infty$ — mean harus ada agar TVaR terdefinisi.
4. Untuk formula TVaR Normal: $X$ sudah diaproksimasikan Normal, bukan distribusi aslinya.
5. VaR dan TVaR keduanya law-invariant — hanya bergantung pada distribusi $X$, bukan pada representasi spesifik variabel acaknya.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Kunci untuk memahami TVaR adalah menghubungkannya dengan dua konsep yang sudah dikenal: (1) mean excess loss $e(d)$ dari 1.4 Tail Characteristics, dan (2) stop-loss premium $E[(X-d)_+]$ dari 4.3 Mean Variance and Stop-Loss. Ketiganya terhubung dalam satu rantai: $\text{TVaR}_p = \pi_p + e(\pi_p) = \pi_p + E[(X-\pi_p)_+]/(1-p)$. Dengan mengenali rantai ini, soal TVaR tidak perlu dihitung dari nol — cukup hitung VaR terlebih dahulu, lalu tambahkan mean excess loss (atau stop-loss premium yang dinormalisasi).

◈Support dan Domain›

• VaR: $\pi_p \in$ support dari $X$; untuk distribusi kontinu pada $(0,\infty)$, VaR selalu positif dan terdefinisi unik.
• TVaR: selalu $\text{TVaR}_p(X) \geq \text{VaR}_p(X) = \pi_p$ — TVaR tidak pernah lebih kecil dari VaR pada level yang sama.
• Untuk distribusi dengan ekor berat (Pareto $\alpha \leq 1$): $E(X) = \infty$, sehingga TVaR tidak terdefinisi! VaR tetap terdefinisi meskipun mean tidak ada.
• Saat $p \to 1$: $\text{VaR}_p \to \infty$ dan $\text{TVaR}_p \to \infty$ untuk distribusi unbounded.
• Saat $p \to 0$: $\text{VaR}_p \to \inf(\text{support})$ dan $\text{TVaR}_p \to E(X)$.

Derivasi Rumus TVaR — Bentuk LEV — Step by Step:

Ingin membuktikan $\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1-p}$.

Step 1 — Mulai dari definisi:

$$\text{TVaR}_p(X) = E[X \mid X > \pi_p] = \frac{E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}]}{P(X > \pi_p)} = \frac{E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}]}{1 - p}$$

Step 2 — Pecah ekspektasi parsial:

$$E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}] = E(X) - E[X \cdot \mathbf{1}_{X \leq \pi_p}]$$

Step 3 — Hubungkan dengan LEV. Ingat $E(X \wedge \pi_p) = E[X \cdot \mathbf{1}_{X \leq \pi_p}] + \pi_p \cdot P(X > \pi_p)$ (definisi LEV), sehingga:

$$E[X \cdot \mathbf{1}_{X \leq \pi_p}] = E(X \wedge \pi_p) - \pi_p(1-p)$$

Step 4 — Substitusi:

$$E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}] = E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p(1-p)$$

Step 5 — Bagi dengan $(1-p)$:

$$\text{TVaR}_p(X) = \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p(1-p)}{1-p} = \pi_p + \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1-p}$$

Step 6 — Kenali stop-loss premium: $E(X) - E(X \wedge \pi_p) = E[(X - \pi_p)_+]$, sehingga:

$$\boxed{\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \frac{E[(X-\pi_p)_+]}{1-p}}$$

Derivasi TVaR Normal — Step by Step:

Untuk $X \sim N(\mu, \sigma^2)$, dengan $z_p = \Phi^{-1}(p)$ dan $\pi_p = \mu + \sigma z_p$.

Step 1: $E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}] = \int_{\pi_p}^\infty x \cdot \frac{1}{\sigma}\phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)dx$

Step 2 — Substitusi $u = (x-\mu)/\sigma$:

$$= \int_{z_p}^\infty (\mu + \sigma u)\phi(u)\,du = \mu(1-p) + \sigma\int_{z_p}^\infty u\phi(u)\,du$$

Step 3 — Gunakan $u\phi(u) = -\phi'(u)$ (karena $\phi'(u) = -u\phi(u)$):

$$\int_{z_p}^\infty u\phi(u)\,du = \left[-\phi(u)\right]_{z_p}^\infty = \phi(z_p)$$

Step 4 — Substitusi kembali:

$$\text{TVaR}_p(X) = \frac{\mu(1-p) + \sigma\phi(z_p)}{1-p} = \mu + \sigma\cdot\frac{\phi(z_p)}{1-p}$$

✘Dilarang›

1. Jangan gunakan $\text{TVaR}_p(X) = E[X \mid X > \pi_p]$ langsung untuk distribusi diskrit tanpa koreksi — untuk distribusi diskrit, formula bersyarat harus memperhitungkan bahwa $P(X = \pi_p) > 0$. Gunakan formula diskrit dengan koreksi $\pi_p(F_X(\pi_p) - p)$.
2. Jangan asumsikan TVaR terdefinisi untuk semua distribusi — distribusi dengan ekor sangat berat (Pareto dengan $\alpha \leq 1$) tidak memiliki mean, sehingga TVaR tidak terdefinisi. VaR selalu terdefinisi selama CDF ada.
3. Jangan konfusikan level $p$ untuk VaR dan TVaR — VaR$_{0.95}$ dan TVaR$_{0.95}$ menggunakan $p$ yang sama (0.95), tetapi TVaR selalu lebih besar. Jangan menaikan $p$ untuk VaR agar setara dengan TVaR pada $p$ yang berbeda tanpa justifikasi.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal: $X \sim \text{Exponential}(\theta = 1{,}000)$. Hitung $\text{VaR}_{0.95}(X)$ dan $\text{TVaR}_{0.95}(X)$.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: VaR: invers CDF Exponential. TVaR: gunakan memoryless property, $e(\pi_p) = \theta$, sehingga TVaR = VaR + $\theta$.

1. Identifikasi Variabel

• $X \sim \text{Exp}(\theta = 1000)$: $F_X(x) = 1 - e^{-x/1000}$, $S_X(x) = e^{-x/1000}$
• $p = 0.95$, sehingga $1 - p = 0.05$
• $e(d) = \theta = 1000$ untuk semua $d$ (memoryless property)

2. Identifikasi Distribusi / Model Exponential — CDF invertibel secara analitik. Memoryless property memberikan shortcut langsung untuk TVaR.

3. Setup Persamaan

$$F_X(\pi_p) = p \implies 1 - e^{-\pi_p/1000} = 0.95$$ $$\text{TVaR}_{0.95}(X) = \pi_p + e(\pi_p) = \pi_p + \theta$$

4. Eksekusi Aljabar

$$e^{-\pi_p/1000} = 0.05 \implies -\pi_p/1000 = \ln(0.05) = -2.9957$$ $$\pi_p = \text{VaR}_{0.95} = 1000 \times 2.9957 = 2{,}995.7$$ $$\text{TVaR}_{0.95} = 2{,}995.7 + 1{,}000 = 3{,}995.7$$

Verifikasi via formula LEV: $E(X \wedge \pi_p) = \theta(1 - e^{-\pi_p/\theta}) = 1000(1-0.05) = 950$

$$\text{TVaR} = \pi_p + \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1-p} = 2995.7 + \frac{1000 - 950}{0.05} = 2995.7 + 1000 = 3995.7 \checkmark$$

5. Verification $\text{TVaR} = 3{,}995.7 > \text{VaR} = 2{,}995.7$ ✓. Selisih TVaR $-$ VaR $= \theta = 1{,}000$ — konstan untuk Exponential (konsekuensi memoryless property) ✓. $\text{TVaR}/\text{VaR} \approx 1.33$ — TVaR 33% lebih tinggi dari VaR ✓.

Hasil: $\text{VaR}_{0.95} \approx 2{,}996$ dan $\text{TVaR}_{0.95} \approx 3{,}996$.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2 menit. Common trap: Lupa bahwa $\text{VaR}_{0.95} = -\theta\ln(0.05) = \theta\ln(20)$ — jangan hitung $-\theta\ln(0.95)$ (itu VaR$_{0.05}$, bukan VaR$_{0.95}$). Shortcut: Untuk Exponential, TVaR $=$ VaR $+ \theta$ selalu — tidak perlu integrasi apapun.

---

Soal B — Exam-Typical

Soal: $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 2{,}000)$, sehingga $E(X) = \theta/(\alpha-1) = 1{,}000$ dan $e(d) = (\theta + d)/(\alpha - 1) = (2000+d)/2$. Hitung $\text{VaR}_{0.90}(X)$ dan $\text{TVaR}_{0.90}(X)$.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: VaR: invers survival function Pareto. TVaR: gunakan $\text{TVaR}_p = \pi_p + e(\pi_p)$ dengan mean excess loss Pareto yang meningkat linear.

1. Identifikasi Variabel

• $X \sim \text{Pareto}(\alpha = 3, \theta = 2000)$: $S_X(x) = \left(\frac{2000}{2000+x}\right)^3$
• $E(X) = 1000$, $E(X \wedge d) = \frac{\theta}{\alpha-1}\left[1 - \left(\frac{\theta}{\theta+d}\right)^{\alpha-1}\right] = 1000\left[1-\left(\frac{2000}{2000+d}\right)^2\right]$
• $$e(d) = \frac{\theta + d}{\alpha - 1} = \frac{2000 + d}{2}$$
• $p = 0.90$, $1-p = 0.10$

2. Identifikasi Distribusi / Model Pareto dengan $\alpha = 3 > 1$ sehingga $E(X)$ terdefinisi dan TVaR ada. Mean excess loss Pareto meningkat linear — ini adalah ciri khas ekor berat (heavy tail).

3. Setup Persamaan

$$S_X(\pi_p) = 1 - p \implies \left(\frac{2000}{2000 + \pi_p}\right)^3 = 0.10$$ $$\text{TVaR}_{0.90} = \pi_p + e(\pi_p) = \pi_p + \frac{2000 + \pi_p}{2}$$

4. Eksekusi Aljabar

$$\frac{2000}{2000 + \pi_p} = (0.10)^{1/3} = 0.46416$$ $$2000 + \pi_p = \frac{2000}{0.46416} = 4{,}308.9$$ $$\pi_p = \text{VaR}_{0.90} = 4{,}308.9 - 2{,}000 = 2{,}308.9$$ $$e(\pi_p) = \frac{2000 + 2308.9}{2} = \frac{4{,}308.9}{2} = 2{,}154.5$$ $$\text{TVaR}_{0.90} = 2{,}308.9 + 2{,}154.5 = 4{,}463.4$$

Verifikasi via LEV: $E(X \wedge 2308.9) = 1000\!\left[1 - \left(\frac{2000}{4308.9}\right)^2\right] = 1000(1 - 0.21524) = 784.8$

$$\text{TVaR} = 2308.9 + \frac{1000 - 784.8}{0.10} = 2308.9 + 2152 \approx 4461 \checkmark$$

5. Verification $\text{TVaR} = 4{,}463 \approx 1.93 \times \text{VaR} = 2{,}309$ — TVaR hampir dua kali VaR untuk Pareto, mencerminkan ekor yang sangat berat ✓. Bandingkan dengan Exponential di mana TVaR/VaR $\approx 1.33$ — Pareto lebih berbahaya ✓. $e(\pi_p) = 2154 > e(0) = 1000 = E(X)$ — mean excess loss meningkat dengan $d$ untuk distribusi heavy-tailed ✓.

Hasil: $\text{VaR}_{0.90} \approx 2{,}309$ dan $\text{TVaR}_{0.90} \approx 4{,}463$.

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Salah menghitung invers Pareto — $S_X(\pi_p) = (1-p)$, bukan $F_X(\pi_p) = (1-p)$. Harus $\left(\theta/(\theta+\pi_p)\right)^\alpha = 1-p$. Shortcut: Setelah mendapat $\theta + \pi_p = \theta(1-p)^{-1/\alpha}$, langsung hitung $e(\pi_p) = (\theta + \pi_p)/(\alpha-1)$ — tidak perlu LEV terpisah.

---

Soal C — Challenging

Soal: Aggregate loss $S$ diaproksimasikan Normal dengan $E(S) = 50{,}000$ dan $\sigma_S = 8{,}000$. (a) Hitung $\text{VaR}_{0.99}(S)$ dan $\text{TVaR}_{0.99}(S)$. (b) Sebuah distribusi diskrit alternatif memiliki PMF: $P(S = 0) = 0.02$, $P(S = 40000) = 0.60$, $P(S = 60000) = 0.30$, $P(S = 100000) = 0.08$. Hitung $\text{VaR}_{0.95}$ dan $\text{TVaR}_{0.95}$ untuk distribusi diskrit ini. (c) Bandingkan kualitas kedua ukuran risiko untuk skenario regulator OJK yang memerlukan modal berbasis risiko.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: (a) Formula Normal TVaR. (b) Definisi diskrit dengan koreksi point mass. (c) Bandingkan TVaR vs. VaR dalam konteks regulasi dan coherence.

1. Identifikasi Variabel

• (a): $S \approx N(50000, 8000^2)$; $z_{0.99} = 2.326$; $\phi(2.326) = 0.02665$
• (b): PMF diskrit dengan 4 titik; CDF: $F(0) = 0.02$, $F(40000) = 0.62$, $F(60000) = 0.92$, $F(100000) = 1.00$
• Level: $p = 0.99$ (Normal), $p = 0.95$ (diskrit)

2. Identifikasi Distribusi / Model (a) Normal: gunakan formula TVaR Normal closed-form. (b) Diskrit: identifikasi VaR sebagai titik terkecil dengan $F \geq p$; TVaR dengan koreksi diskret.

3. Setup Persamaan

(a) Normal:

$$\text{VaR}_{0.99} = \mu + z_{0.99}\,\sigma_S$$ $$\text{TVaR}_{0.99} = \mu + \sigma_S\,\frac{\phi(z_{0.99})}{1-0.99}$$

(b) Diskrit: Cari $\pi_{0.95} = \min\{x : F(x) \geq 0.95\}$

$$\text{TVaR}_{0.95} = \frac{1}{1-p}\left[E(S) - E(S \wedge \pi_p) + \pi_p(F(\pi_p) - p)\right]$$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Normal:

$$\text{VaR}_{0.99} = 50{,}000 + 2.326 \times 8{,}000 = 50{,}000 + 18{,}608 = 68{,}608$$ $$\text{TVaR}_{0.99} = 50{,}000 + 8{,}000 \times \frac{0.02665}{0.01} = 50{,}000 + 8{,}000 \times 2.665 = 50{,}000 + 21{,}320 = 71{,}320$$

(b) Diskrit:

CDF: $F(0) = 0.02$, $F(40000) = 0.62$, $F(60000) = 0.92$, $F(100000) = 1.00$

$\text{VaR}_{0.95}$: cari nilai terkecil $x$ dengan $F(x) \geq 0.95$. $F(60000) = 0.92 < 0.95$; $F(100000) = 1.00 \geq 0.95$. Jadi $\pi_{0.95} = 100{,}000$.

Mean $E(S) = 0(0.02) + 40000(0.60) + 60000(0.30) + 100000(0.08) = 0 + 24000 + 18000 + 8000 = 50{,}000$

$E(S \wedge 100000) = E(S) = 50{,}000$ (karena $S \leq 100000$ dengan prob 1)

Koreksi diskret: $\pi_p(F(\pi_p) - p) = 100000 \times (1.00 - 0.95) = 100000 \times 0.05 = 5{,}000$

$$\text{TVaR}_{0.95} = \frac{1}{0.05}\left[50{,}000 - 50{,}000 + 5{,}000\right] = \frac{5{,}000}{0.05} = 100{,}000$$

Verifikasi: $E[S \mid S > 100000] = 100{,}000$ (tidak ada nilai di atas 100000) — TVaR = 100000 ✓.

(c) Perbandingan:

• Normal (a): VaR$_{0.99} = 68{,}608$; TVaR$_{0.99} = 71{,}320$. Selisih kecil (3.9%) karena ekor Normal tipis.
• Diskrit (b): VaR$_{0.95} = 100{,}000$; TVaR$_{0.95} = 100{,}000$. Identik karena tidak ada nilai di atas VaR.
• Untuk regulasi OJK, TVaR lebih tepat: ia mencerminkan severity rata-rata di ekor, bukan hanya threshold. Untuk distribusi yang “berakhir” di VaR (seperti distribusi diskrit ini), kedua ukuran bertemu — tetapi untuk distribusi kontinu dengan ekor berat, TVaR > VaR secara substansial.

5. Verification (a): $\text{TVaR} > \text{VaR}$ ✓. Rasio $\phi(z_p)/(1-p) = 0.02665/0.01 = 2.665$: TVaR berada $2.665\sigma$ di atas mean, sementara VaR berada $2.326\sigma$ di atas mean ✓. (b): TVaR = VaR = 100000 karena $P(S > 100000) = 0$ — tidak ada klaim di atas 100000, sehingga kondisional pada $S > \pi_p$ hanya bisa terjadi jika ada point mass tepat di 100000 ✓.

Hasil: (a) VaR$_{0.99} = 68{,}608$, TVaR$_{0.99} = 71{,}320$; (b) VaR$_{0.95} = 100{,}000$, TVaR$_{0.95} = 100{,}000$; (c) TVaR unggul untuk distribusi kontinu dengan ekor berat; untuk distribusi diskrit ini keduanya kebetulan sama.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 8 menit. Common trap terbesar di bagian (b): Menggunakan $E[S \mid S \geq \pi_p]$ langsung sebagai TVaR tanpa koreksi — formula bersyarat sederhana hanya valid untuk distribusi kontinu. Untuk diskrit, koreksi $\pi_p(F(\pi_p) - p)$ wajib. Shortcut: Untuk bagian (b), cek dulu apakah ada nilai distribusi di atas $\pi_p$. Jika tidak ada ($P(S > \pi_p) = 0$), maka TVaR = VaR = $\pi_p$ langsung.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Cross-Check 1 — Hierarki TVaR ≥ VaR›

Selalu berlaku:

$$\text{TVaR}_p(X) \geq \text{VaR}_p(X) = \pi_p$$

dengan kesetaraan ketika tidak ada distribusi di atas $\pi_p$ (distribusi bounded dengan batas atas tepat di $\pi_p$). Jika TVaR $<$ VaR dalam jawaban Anda, ada kesalahan fundamental.

✓Cross-Check 2 — Konsistensi via Stop-Loss›

Selalu berlaku:

$$\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \frac{E[(X-\pi_p)_+]}{1-p}$$

Jika sudah menghitung stop-loss premium $E[(X-d)_+]$ sebelumnya (misal dari topik 4.3 Mean Variance and Stop-Loss), TVaR dapat diperoleh langsung dengan $d = \pi_p$. Cross-check: $\text{TVaR}_p \times (1-p) = E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}]$ — ini adalah partial moment di atas $\pi_p$.

✓Cross-Check 3 — Batas TVaR›

Untuk distribusi non-negatif:

$$\pi_p \leq \text{TVaR}_p(X) \leq \sup(\text{support of } X)$$

Jika distribusi bounded di atas oleh $M$ (maksimum klaim), maka TVaR $\leq M$. Jika distribusi unbounded (Pareto, Lognormal), TVaR tidak dibatasi — seharusnya nilai yang diperoleh cukup besar untuk distribusi heavy-tailed.

Metode Alternatif

TVaR via simulasi / data empiris: Jika hanya ada data sampel $x_1 \leq x_2 \leq \cdots \leq x_n$, maka estimasi TVaR pada level $p$ adalah rata-rata dari $\lceil n(1-p) \rceil$ nilai terbesar:

$$\widehat{\text{TVaR}}_p = \frac{1}{\lceil n(1-p) \rceil} \sum_{i=\lfloor np \rfloor + 1}^{n} x_{(i)}$$

Ini adalah pendekatan empiris yang sering digunakan dalam uji stres (stress testing) portofolio asuransi tanpa asumsi parametrik.

Section 6 — Visualisasi Mental

VaR dan TVaR pada Kurva PDF:

Bayangkan PDF dari $X$ sebagai kurva positively-skewed pada sumbu-X dengan ekor kanan yang panjang.

PDF f_X(x):

f(x)│     ╭──╮
    │    ╭╯  ╰─╮
    │   ╭╯     ╰──╮
    │  ╭╯         ╰────╮
    │ ╭╯               ╰──────────
    │╭╯                            ──────
    └─────────────────────────────────── x
    0              π_p    TVaR_p
                    ↑        ↑
                  VaR_p    TVaR_p
                  
    │←── p fraksi ──│← (1-p) fraksi →│
    
    Area merah (ekor kanan, 1-p fraksi):  TVaR = rata-rata x di area ini

Perbandingan VaR vs. TVaR untuk Distribusi Berbeda:

Untuk level $p = 0.95$ yang sama:

• Normal: TVaR sedikit lebih besar dari VaR (ekor tipis); $\phi(z_p)/(1-p) \approx 2.06$ vs $z_p = 1.645$.
• Exponential: TVaR = VaR + $\theta$ (ekor sedang, memoryless); selisih konstan.
• Pareto ($\alpha$ kecil): TVaR $\gg$ VaR (ekor berat); rasio TVaR/VaR bisa mencapai 2–5× tergantung $\alpha$.
• Bounded (uniform): TVaR mendekati VaR (ekor tidak ada).

Distribusi dengan ekor lebih berat → gap TVaR $-$ VaR semakin besar → modal risiko berbasis TVaR semakin konservatif.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Garis vertikal di $\pi_p$ (VaR)	$F_X(\pi_p) = p$; area kiri = $p$
Area merah (ekor) di kanan $\pi_p$	$P(X > \pi_p) = 1 - p$
Titik “pusat massa” ekor merah	TVaR$_p = E[X \mid X > \pi_p]$
Jarak VaR ke TVaR	$e(\pi_p) =$ mean excess loss di $\pi_p$
Luas ekor × TVaR	$= E[X \cdot \mathbf{1}_{X > \pi_p}] = (1-p) \cdot \text{TVaR}_p$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Salah: Menggunakan $S_X(\pi_p) = p$ untuk menghitung VaR. Benar: $F_X(\pi_p) = p$, bukan $S_X(\pi_p) = p$. Untuk Pareto: $S_X(\pi_p) = 1-p$, sehingga $(\theta/(\theta+\pi_p))^\alpha = 1-p$.

Salah: $\text{TVaR}_p = E[X \mid X > \pi_p]$ digunakan untuk distribusi diskrit tanpa koreksi. Benar: Untuk diskrit, gunakan: $\text{TVaR}_p = \frac{1}{1-p}[E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p(F_X(\pi_p) - p)]$.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. VaR tidak coherent: VaR tidak memenuhi sifat subadditivity — $\text{VaR}_p(X+Y)$ bisa lebih besar dari $\text{VaR}_p(X) + \text{VaR}_p(Y)$. TVaR bersifat coherent. Ini bukan kesalahan kalkulasi tetapi sering diuji sebagai pertanyaan konseptual tentang 5.1 Properties of Risk Measures.
2. TVaR tidak terdefinisi untuk ekor sangat berat: Distribusi Pareto dengan $\alpha \leq 1$ memiliki $E(X) = \infty$, sehingga TVaR tidak ada meskipun VaR ada.
3. TVaR$_p$ > VaR$_p$ bukan TVaR$_p$ > VaR$_q$ untuk $q \neq p$: Perbandingan hanya valid pada level $p$ yang sama. Jangan bandingkan TVaR$_{0.95}$ dengan VaR$_{0.99}$ tanpa konteks.
4. “Confidence level 95%” untuk VaR berarti 5% kemungkinan kerugian melebihi VaR — bukan 5% kemungkinan tidak melebihi. Banyak yang tertukar: “95% yakin kerugian tidak melebihi VaR” adalah pernyataan yang tepat.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “VaR at 95% confidence” → $p = 0.95$; cari persentil ke-95.
• “TVaR at 95%” → $p = 0.95$; ini adalah mean dari distribusi bersyarat $X > \pi_{0.95}$.
• “Expected Shortfall at 95%” → sama dengan TVaR$_{0.95}$ — istilah sinonim.
• “CTE$_{0.95}$” (Conditional Tail Expectation) → sama dengan TVaR$_{0.95}$ untuk distribusi kontinu; untuk diskrit perlu perhatikan definisi yang digunakan.
• “99th percentile” → ini adalah VaR$_{0.99}$, bukan TVaR.

▲Red Flags — Keyword di Soal›

• “VaR” atau “Value-at-Risk at level $p$” → cari invers CDF: $F_X(\pi_p) = p$
• “TVaR”, “CTE”, “Expected Shortfall”, “Tail Conditional Expectation” → semua sinonim; gunakan $\pi_p + e(\pi_p)$ atau formula LEV
• “Coherent risk measure” → TVaR coherent; VaR tidak — ini pertanyaan konseptual
• “Heavy-tailed distribution” + VaR vs TVaR → TVaR akan jauh lebih besar; VaR underestimate risiko ekor
• Distribusi Pareto + TVaR → cek $\alpha > 1$ dulu sebelum menghitung; jika $\alpha \leq 1$, TVaR tidak ada

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. VaR (persentil ke-$p$): $\text{VaR}_p(X) = \pi_p = F_X^{-1}(p)$

2. TVaR — hubungan fundamental: $\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + e(\pi_p) = \pi_p + \frac{E[(X-\pi_p)_+]}{1-p}$

3. TVaR — bentuk LEV: $\text{TVaR}_p(X) = \pi_p + \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p)}{1-p}$

4. TVaR Normal ($X \sim N(\mu,\sigma^2)$): $\text{TVaR}_p(X) = \mu + \sigma\,\frac{\phi(z_p)}{1-p}, \quad z_p = \Phi^{-1}(p)$

5. TVaR Exponential ($X \sim \text{Exp}(\theta)$): $\text{TVaR}_p(X) = \text{VaR}_p + \theta = -\theta\ln(1-p) + \theta$

6. TVaR diskrit (koreksi wajib): $\text{TVaR}_p = \frac{E(X) - E(X \wedge \pi_p) + \pi_p(F_X(\pi_p) - p)}{1-p}$

7. Sifat kunci: $\text{TVaR}_p \geq \text{VaR}_p$; TVaR coherent, VaR tidak; TVaR tidak ada jika $E(X) = \infty$.

Kapan Digunakan

• Soal menyebutkan VaR, TVaR, CTE, Expected Shortfall, atau Tail Conditional Expectation.
• Soal meminta persentil atau ukuran risiko ekor dari distribusi klaim atau distribusi agregat.
• Soal menggabungkan TVaR dengan distribusi Normal (hasil aproksimasi agregat dari 4.4 Aggregate Distribution Approximation).
• Soal meminta perbandingan dua ukuran risiko dalam konteks regulasi atau manajemen modal.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika soal hanya meminta mean atau variance dari $S$ — itu adalah domain 4.3 Mean Variance and Stop-Loss.
• Jika distribusi Pareto dengan $\alpha \leq 1$ — TVaR tidak terdefinisi; hanya VaR yang bisa dihitung.
• Jika soal meminta “probability of ruin” — itu bukan VaR/TVaR tetapi analisis ruin theory (bukan dalam silabus TA2 utama).

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal meminta ukuran risiko ekor?"] --> B{"Ukuran apa yang diminta?"}
    B -->|"VaR / persentil ke-p"| C["Selesaikan F_X(pi_p) = p<br>untuk pi_p"]
    B -->|"TVaR / CTE / Expected Shortfall"| D{"Distribusi kontinu atau diskrit?"}
    C --> E{"Distribusi apa?"}
    E -->|"Exponential"| F["pi_p = -theta * ln(1-p)"]
    E -->|"Pareto(alpha, theta)"| G["pi_p = theta * [(1-p)^(-1/alpha) - 1]"]
    E -->|"Normal"| H["pi_p = mu + z_p * sigma"]
    E -->|"Lainnya"| I["Selesaikan F_X(pi_p) = p secara analitik atau numerik"]
    D -->|"Kontinu"| J["TVaR = pi_p + e(pi_p)<br>= pi_p + [E(X) - E(X ^ pi_p)] / (1-p)"]
    D -->|"Diskrit"| K["TVaR = [E(X) - E(X ^ pi_p) + pi_p*(F(pi_p)-p)] / (1-p)"]
    J --> L{"Distribusi spesifik?"}
    L -->|"Normal"| M["TVaR = mu + sigma * phi(z_p) / (1-p)"]
    L -->|"Exponential"| N["TVaR = pi_p + theta"]
    L -->|"Pareto"| O["TVaR = pi_p + (theta + pi_p) / (alpha-1)<br>Cek alpha > 1 dulu!"]
    L -->|"Lainnya"| P["Gunakan formula LEV atau stop-loss"]
    K --> Q["Cek TVaR >= VaR selalu"]
    M --> Q
    N --> Q
    O --> Q
    P --> Q

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal TVaR untuk distribusi Lognormal menggunakan metode LEV”
2. “Jelaskan hubungan 5.2 VaR and TVaR dengan 5.1 Properties of Risk Measures — sifat coherence mana yang dimiliki TVaR tetapi tidak dimiliki VaR?”
3. “Bandingkan VaR$_{0.99}$ dan TVaR$_{0.95}$ untuk Pareto — pada level mana TVaR$_{0.95}$ melampaui VaR$_{0.99}$?”
4. “Buat flashcard satu halaman: enam formula TVaR untuk enam distribusi berbeda”

📖 Ref: Klugman, Panjer & Willmot (2019), Loss Models 5th ed., Bab 3.5 | 🗓️ 2026-04-17 | #TA2 #UkuranRisiko #VaR #TVaR #CTE