📊 7.4 — Empirical Bayesian Methods

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Empirical Bayesian Methods | Bobot: ~20–25% (Topik 7 keseluruhan) | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Klugman et al. (2019) Bab 16–18; Tse (2009) Bab 6–9 | Prereq: 7.2 Bühlmann and Bühlmann-Straub Models, 7.3 Bayesian Credibility

---

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik TA2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Teori Kredibilitas	7.4	Estimasi $\mu$, $v$, $a$ dari data; hitung premi kredibilitas empiris (nonparametrik & semiparametrik)	20–25% (Topik 7)	Calculation-Intensive	7.2 Bühlmann and Bühlmann-Straub Models, 7.3 Bayesian Credibility	7.1 Classical Credibility, 7.4 Empirical Bayesian Methods	Klugman et al. (2019) Bab 16–18; Tse (2009) Bab 6–9

---

Section 1 — Intuisi

Dalam model Bühlmann dan Bühlmann-Straub yang telah kita pelajari, formula premi kredibilitas $Z\bar{X} + (1-Z)\mu$ memerlukan tiga besaran: mean kolektif $\mu$, expected value of process variance $v$, dan variance of hypothetical means $a$. Masalahnya: dalam praktik asuransi nyata, kita tidak tahu nilai $\mu$, $v$, dan $a$ — parameter-parameter ini bergantung pada distribusi prior $\pi(\theta)$ yang tidak pernah kita observasi secara langsung.

Di sinilah Empirical Bayesian Methods hadir sebagai jembatan antara teori Bayesian yang ideal dan realitas data. Ide dasarnya sederhana namun kuat: jika kita punya data dari banyak tertanggung atau kelompok dalam portofolio yang sama, kita bisa mengestimasi $\mu$, $v$, dan $a$ langsung dari data tersebut — tanpa perlu menentukan distribusi prior secara eksplisit. Data dari seluruh portofolio berperan sebagai cerminan empiris dari distribusi prior yang tak terobservasi.

Terdapat dua pendekatan dalam metode ini. Pendekatan nonparametrik tidak mengasumsikan bentuk distribusi apapun — ia mengestimasi $\mu$, $v$, $a$ murni dari momen-momen data. Ini seperti membiarkan data berbicara sendiri tanpa prasangka. Pendekatan semiparametrik lebih efisien: ia mengasumsikan bentuk distribusi likelihood (misalnya Poisson untuk frekuensi), tetapi tetap membiarkan distribusi prior bebas tanpa asumsi parametrik. Dengan kombinasi ini, estimator menjadi lebih tajam karena struktur model dimanfaatkan sebaik mungkin.

---

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis — Masalah Inti Empirical Bayes›

Premi kredibilitas Bühlmann membutuhkan $\mu$, $v$, $a$ yang tidak diketahui. Empirical Bayes menggantikannya dengan estimator yang dihitung dari data portofolio:

$$\hat{P}_i = \hat{Z}_i \bar{X}_i + (1 - \hat{Z}_i)\hat{\mu}, \qquad \hat{Z}_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{k}}, \qquad \hat{k} = \frac{\hat{v}}{\hat{a}}$$

di mana $\hat{\mu}$, $\hat{v}$, $\hat{a}$ adalah estimator yang dihitung dari data seluruh portofolio.

---

Tabel Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$r$	Jumlah kelompok / tertanggung dalam portofolio	Indeks $i = 1, \ldots, r$
$n_i$	Jumlah periode observasi untuk kelompok $i$	Bisa berbeda antar kelompok
$m_i$	Bobot eksposur kelompok $i$ (Bühlmann-Straub)	Untuk Bühlmann standar: $m_i = n_i$
$X_{ij}$	Kerugian per eksposur kelompok $i$ pada periode $j$	Data observasi mentah
$\bar{X}_i$	Rata-rata tertimbang kelompok $i$	$\bar{X}_i = \frac{1}{m_i}\sum_j m_{ij} X_{ij}$ (Bühlmann-Straub)
$\bar{X}$	Grand mean seluruh portofolio	Rata-rata tertimbang dari $\bar{X}_i$
$\mu$	$E[\mu(\Theta)]$ — mean kolektif	Diestimasi oleh $\hat{\mu}$
$v$	$E[v(\Theta)]$ — EVPV (expected value of process variance)	Diestimasi oleh $\hat{v}$
$a$	$\text{Var}(\mu(\Theta))$ — VHM (variance of hypothetical means)	Diestimasi oleh $\hat{a}$
$k$	$v/a$ — rasio Bühlmann	Diestimasi oleh $\hat{k} = \hat{v}/\hat{a}$
$m$	$\sum_{i=1}^r m_i$ — total eksposur portofolio	Untuk Bühlmann-Straub
$c$	$m - \sum m_i^2 / m$ — faktor koreksi dalam estimasi $a$	Selalu $c < m$

---

Rumus Utama

Estimator $\hat{\mu}$ (mean kolektif):

$$\hat{\mu} = \bar{X} = \frac{\sum_{i=1}^r m_i \bar{X}_i}{\sum_{i=1}^r m_i} = \frac{\sum_{i=1}^r m_i \bar{X}_i}{m}$$

Label: Grand mean tertimbang oleh eksposur masing-masing kelompok

---

Estimator $\hat{v}$ (EVPV) — Nonparametrik:

$$\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^r (n_i - 1)} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{n_i} (X_{ij} - \bar{X}_i)^2$$

Label: Rata-rata variansi within-group; pooled sample variance di seluruh kelompok

---

Estimator $\hat{v}$ (EVPV) — Bühlmann-Straub (bobot berbeda):

$$\hat{v} = \frac{1}{\sum_{i=1}^r (n_i - 1)} \sum_{i=1}^r \sum_{j=1}^{n_i} m_{ij}(X_{ij} - \bar{X}_i)^2$$

Label: Versi tertimbang untuk kasus Bühlmann-Straub di mana eksposur $m_{ij}$ berbeda per observasi

---

Estimator $\hat{a}$ (VHM) — Nonparametrik:

$$\hat{a} = \frac{1}{c}\left[\sum_{i=1}^r m_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (r-1)\hat{v}\right]$$ $$c = m - \frac{\sum_{i=1}^r m_i^2}{m}$$

Label: Variansi between-group setelah dikoreksi untuk komponen within-group

---

Estimator $\hat{a}$ (VHM) — Bühlmann standar ($m_i = n_i$, semua eksposur = 1):

Untuk Bühlmann standar di mana setiap observasi memiliki bobot sama ($m_{ij} = 1$):

$$c = n - \frac{\sum_{i=1}^r n_i^2}{n}, \qquad n = \sum_{i=1}^r n_i$$

Label: Formula $c$ menjadi lebih sederhana ketika tidak ada perbedaan eksposur antar periode

---

Estimator semiparametrik — Kasus Poisson:

Untuk model frekuensi $X_{ij} \mid \Theta_i = \theta_i \sim \text{Poisson}(\theta_i)$:

$$\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X} \quad \text{(karena } v(\theta) = \theta = \mu(\theta) \text{ untuk Poisson)}$$

Label: Efisiensi semiparametrik: gunakan struktur model Poisson untuk menghubungkan $v$ dan $\mu$

---

Premi kredibilitas empiris akhir:

$$\hat{P}_i = \hat{Z}_i \bar{X}_i + (1 - \hat{Z}_i)\hat{\mu}, \qquad \hat{Z}_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{k}}, \qquad \hat{k} = \frac{\hat{v}}{\hat{a}}$$

Label: Substitusi estimator empiris ke formula Bühlmann — premi dapat langsung dihitung dari data

---

Asumsi Eksplisit

1. Independensi antar kelompok: Kelompok $i$ dan $j$ ($i \neq j$) memiliki parameter risiko $\Theta_i$ dan $\Theta_j$ yang independen satu sama lain.
2. Kondisional i.i.d. dalam kelompok: Diberikan $\Theta_i = \theta_i$, observasi $X_{i1}, \ldots, X_{in_i}$ saling independen dan memiliki distribusi yang sama.
3. Proses stasioner: Distribusi $X_{ij} \mid \Theta_i$ tidak berubah antar periode $j$ — profil risiko individu tetap konstan.
4. Representativitas portofolio: Data dari $r$ kelompok dianggap sebagai sampel acak dari distribusi prior $\pi(\theta)$ yang sama — portofolio merepresentasikan populasi.
5. $\hat{a} \geq 0$: Jika estimator $\hat{a}$ menghasilkan nilai negatif (yang mungkin terjadi secara aljabar), maka konvensi standar adalah set $\hat{a} = 0$, yang berarti $\hat{k} \to \infty$ dan $Z = 0$ — semua kelompok mendapat premi grand mean $\hat{\mu}$.

---

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari “Parameter Tidak Diketahui” ke “Estimasi dari Data”›

Masalah fundamental Bühlmann adalah: premi $Z\bar{X} + (1-Z)\mu$ membutuhkan $\mu$, $v$, $a$ yang semuanya bergantung pada distribusi prior $\pi(\theta)$ yang tidak pernah kita ketahui secara eksplisit. Empirical Bayes memecahkan ini dengan observasi kunci: momen data dari seluruh portofolio adalah estimator konsisten dari momen prior. Total variansi data dapat didekomposisi menjadi komponen within-group ($\approx v$) dan between-group ($\approx a + v/n$) — dari sini kita dapat memisahkan $v$ dan $a$ secara empiris.

◈Dekomposisi Variansi — Jantung Metode›

Identitas kunci yang mendasari semua estimator empiris adalah dekomposisi:

$$\text{Var}(X_{ij}) = \underbrace{E[v(\Theta)]}_{v} + \underbrace{\text{Var}(\mu(\Theta))}_{a}$$

Variansi total data = EVPV (within-group) + VHM (between-group). Estimator $\hat{v}$ menangkap komponen within-group (variansi di dalam satu kelompok). Estimator $\hat{a}$ menangkap komponen between-group (variansi antar kelompok), dikoreksi agar tidak terdistorsi oleh komponen within-group.

---

Derivasi Estimator $\hat{a}$ — Langkah demi Langkah

Konteks: Bühlmann standar — $r$ kelompok, masing-masing $n_i$ periode, eksposur per observasi = 1.

Langkah 1 — Hitung expected value dari statistik between-group:

$$E\left[\sum_{i=1}^r n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2\right]$$

Kembangkan kuadrat dan ambil ekspektasinya. Gunakan fakta bahwa:

$$E[\bar{X}_i^2] = \text{Var}(\bar{X}_i) + (E[\bar{X}_i])^2 = \frac{v}{n_i} + a + \mu^2$$ $$E[\bar{X}^2] = \text{Var}(\bar{X}) + \mu^2 = \frac{v}{m} + a + \mu^2 - \frac{\sum n_i^2 \cdot a}{m^2} + \cdots$$

Langkah 2 — Hasil ekspektasi:

Setelah aljabar yang panjang (lihat Klugman Bab 17), diperoleh:

$$E\left[\sum_{i=1}^r n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2\right] = (r-1)v + c \cdot a$$

di mana $c = m - \dfrac{\sum n_i^2}{m}$.

Langkah 3 — Isolasi $a$:

$$c \cdot a = E\left[\sum_{i=1}^r n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2\right] - (r-1)v$$

Langkah 4 — Substitusi estimator untuk mendapat $\hat{a}$:

$$\hat{a} = \frac{1}{c}\left[\sum_{i=1}^r n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (r-1)\hat{v}\right]$$

Langkah 5 — Interpretasi $c$:

$c$ adalah faktor koreksi yang menghilangkan bias dari bobot eksposur yang tidak seimbang. Perhatikan bahwa $c < m$ selalu berlaku (karena $\sum n_i^2/m > 0$). Jika semua $n_i$ sama ($n_i = n_0$ untuk semua $i$), maka:

$$c = rn_0 - \frac{r \cdot n_0^2}{rn_0} = rn_0 - n_0 = n_0(r-1)$$

✘Dilarang›

1. Jangan menggunakan $c = m - r$ sebagai rumus universal — formula $c$ bergantung pada distribusi $n_i$ antar kelompok. Hanya jika semua $n_i$ sama dan $m_{ij} = 1$ maka $c = n_0(r-1)$.
2. Jangan menganggap $\hat{a}$ selalu positif — secara aljabar $\hat{a}$ bisa negatif. Jika itu terjadi, set $\hat{a} = 0$ (bukan abaikan atau gunakan nilai negatifnya).
3. Jangan menggunakan $\hat{v} = \hat{\mu}$ di luar konteks Poisson — persamaan $v = \mu$ hanya berlaku untuk distribusi Poisson (di mana mean = variance). Untuk distribusi lain, $\hat{v}$ harus dihitung dari variansi within-group.

---

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah portofolio asuransi terdiri dari $r = 3$ kelompok. Data frekuensi klaim tahunan (setiap observasi berbobot 1):

Kelompok	$n_i$	Observasi $X_{ij}$	$\bar{X}_i$
1	2	3, 5	4
2	3	2, 4, 3	3
3	2	6, 8	7

Hitung estimator nonparametrik $\hat{\mu}$, $\hat{v}$, dan $\hat{a}$.

✓Solusi Soal A›

Pendekatan: Hitung grand mean, lalu within-group variance ($\hat{v}$), lalu between-group variance dikoreksi ($\hat{a}$).

1. Identifikasi Variabel

• $r = 3$, $n_1 = 2$, $n_2 = 3$, $n_3 = 2$
• $$m = n_1 + n_2 + n_3 = 7$$
• $\bar{X}_1 = 4$, $\bar{X}_2 = 3$, $\bar{X}_3 = 7$

2. Identifikasi Distribusi / Model Bühlmann standar, eksposur per observasi = 1. Estimator nonparametrik — tidak ada asumsi distribusi.

3. Setup Persamaan

$$\hat{\mu} = \frac{\sum n_i \bar{X}_i}{m}, \quad \hat{v} = \frac{\sum_i \sum_j (X_{ij} - \bar{X}_i)^2}{\sum_i(n_i - 1)}, \quad \hat{a} = \frac{1}{c}\left[\sum_i n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2 - (r-1)\hat{v}\right]$$

4. Eksekusi Aljabar

$\hat{\mu}$:

$$\hat{\mu} = \frac{2(4) + 3(3) + 2(7)}{7} = \frac{8 + 9 + 14}{7} = \frac{31}{7} \approx 4{,}429$$

$\hat{v}$ — hitung SS within-group:

Kelompok 1: $(3-4)^2 + (5-4)^2 = 1 + 1 = 2$

Kelompok 2: $(2-3)^2 + (4-3)^2 + (3-3)^2 = 1 + 1 + 0 = 2$

Kelompok 3: $(6-7)^2 + (8-7)^2 = 1 + 1 = 2$

$$\hat{v} = \frac{2 + 2 + 2}{(2-1)+(3-1)+(2-1)} = \frac{6}{1+2+1} = \frac{6}{4} = 1{,}5$$

$\hat{a}$ — hitung $c$ dan SS between-group:

$$c = m - \frac{\sum n_i^2}{m} = 7 - \frac{4 + 9 + 4}{7} = 7 - \frac{17}{7} = \frac{49 - 17}{7} = \frac{32}{7}$$

SS between-group:

$$\sum n_i(\bar{X}_i - \bar{X})^2 = 2\!\left(4 - \tfrac{31}{7}\right)^2 + 3\!\left(3 - \tfrac{31}{7}\right)^2 + 2\!\left(7 - \tfrac{31}{7}\right)^2$$ $$= 2\!\left(\tfrac{28-31}{7}\right)^2 + 3\!\left(\tfrac{21-31}{7}\right)^2 + 2\!\left(\tfrac{49-31}{7}\right)^2$$ $$= 2 \cdot \frac{9}{49} + 3 \cdot \frac{100}{49} + 2 \cdot \frac{324}{49} = \frac{18 + 300 + 648}{49} = \frac{966}{49}$$ $$\hat{a} = \frac{1}{32/7}\left[\frac{966}{49} - (3-1)(1{,}5)\right] = \frac{7}{32}\left[\frac{966}{49} - 3\right] = \frac{7}{32} \cdot \frac{966 - 147}{49} = \frac{7}{32} \cdot \frac{819}{49} = \frac{819}{224} \approx 3{,}656$$

5. Verification $\hat{v} = 1{,}5 > 0$ ✓. $\hat{a} \approx 3{,}656 > 0$ ✓. Nilai $\hat{a}$ jauh lebih besar dari $\hat{v}$, mencerminkan heterogenitas besar antar kelompok ($\bar{X}_3 = 7$ vs $\bar{X}_2 = 3$).

Hasil: $\hat{\mu} = 31/7 \approx 4{,}429$; $\hat{v} = 1{,}5$; $\hat{a} \approx 3{,}656$

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 4 menit. Common trap: Membagi SS between-group dengan $(r-1)$ tanpa faktor koreksi $c$ — ini salah. Faktor $c$ selalu berbeda dari $(r-1)$ kecuali kasus khusus. Shortcut: Hitung $c$ pertama kali sebelum apapun — ini sering menjadi sumber kesalahan utama.

---

Soal B — Exam-Typical

Lanjutan Soal A. Hitung premi kredibilitas empiris Bühlmann untuk masing-masing kelompok pada tahun berikutnya.

✓Solusi Soal B›

Pendekatan: Gunakan $\hat{\mu}$, $\hat{v}$, $\hat{a}$ dari Soal A untuk menghitung $\hat{k}$, $\hat{Z}_i$, dan premi $\hat{P}_i$.

1. Identifikasi Variabel Dari Soal A: $\hat{\mu} = 31/7$, $\hat{v} = 1{,}5$, $\hat{a} = 819/224$

2. Identifikasi Distribusi / Model Bühlmann standar. Premi = $\hat{Z}_i \bar{X}_i + (1-\hat{Z}_i)\hat{\mu}$.

3. Setup Persamaan

$$\hat{k} = \frac{\hat{v}}{\hat{a}}, \qquad \hat{Z}_i = \frac{n_i}{n_i + \hat{k}}, \qquad \hat{P}_i = \hat{Z}_i \bar{X}_i + (1-\hat{Z}_i)\hat{\mu}$$

4. Eksekusi Aljabar

$\hat{k}$:

$$\hat{k} = \frac{1{,}5}{819/224} = \frac{1{,}5 \times 224}{819} = \frac{336}{819} = \frac{112}{273} \approx 0{,}4103$$

Kelompok 1 ($n_1 = 2$, $\bar{X}_1 = 4$):

$$\hat{Z}_1 = \frac{2}{2 + 0{,}4103} = \frac{2}{2{,}4103} \approx 0{,}8296$$ $$\hat{P}_1 = 0{,}8296 \times 4 + 0{,}1704 \times 4{,}429 \approx 3{,}318 + 0{,}755 = 4{,}073$$

Kelompok 2 ($n_2 = 3$, $\bar{X}_2 = 3$):

$$\hat{Z}_2 = \frac{3}{3 + 0{,}4103} = \frac{3}{3{,}4103} \approx 0{,}8797$$ $$\hat{P}_2 = 0{,}8797 \times 3 + 0{,}1203 \times 4{,}429 \approx 2{,}639 + 0{,}533 = 3{,}172$$

Kelompok 3 ($n_3 = 2$, $\bar{X}_3 = 7$):

$$\hat{Z}_3 = \frac{2}{2 + 0{,}4103} \approx 0{,}8296 \quad \text{(sama dengan kelompok 1)}$$ $$\hat{P}_3 = 0{,}8296 \times 7 + 0{,}1704 \times 4{,}429 \approx 5{,}807 + 0{,}755 = 6{,}562$$

5. Verification Semua premi berada di antara $\hat{\mu} \approx 4{,}429$ dan $\bar{X}_i$. Kelompok 2 ($\bar{X}_2 = 3 < \hat{\mu}$) mendapat premi di bawah $\hat{\mu}$; kelompok 3 ($\bar{X}_3 = 7 > \hat{\mu}$) mendapat premi di atas $\hat{\mu}$ ✓. $\hat{k}$ kecil ($\approx 0{,}41$) berarti $Z$ tinggi — data individu sangat dominan.

Hasil: $\hat{P}_1 \approx 4{,}073$; $\hat{P}_2 \approx 3{,}172$; $\hat{P}_3 \approx 6{,}562$

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 3 menit (setelah Soal A selesai). Common trap: Lupa bahwa $\hat{k}$ kecil berarti $Z$ besar (data lebih dominan dari grand mean), bukan sebaliknya. Shortcut: Jika $n_i$ sama untuk beberapa kelompok, $\hat{Z}_i$ identik — cukup hitung sekali.

---

Soal C — Challenging

Sebuah perusahaan asuransi memiliki $r = 4$ agen dengan data klaim per polis (Bühlmann-Straub — eksposur berbeda):

Agen $i$	Tahun 1: $(m_{i1}, X_{i1})$	Tahun 2: $(m_{i2}, X_{i2})$	Tahun 3: $(m_{i3}, X_{i3})$
1	(100, 0{,}04)	(150, 0{,}06)	(200, 0{,}05)
2	(200, 0{,}08)	(200, 0{,}07)	—
3	(50, 0{,}02)	(100, 0{,}03)	(150, 0{,}04)
4	(300, 0{,}05)	—	—

Hitung $\hat{\mu}$, $\hat{v}$, $\hat{a}$ menggunakan estimator Bühlmann-Straub nonparametrik, kemudian hitung premi kredibilitas untuk Agen 1 dan 2.

✓Solusi Soal C›

Pendekatan: Bühlmann-Straub dengan eksposur berbeda. Hitung $\bar{X}_i$ tertimbang per agen, lalu grand mean, lalu $\hat{v}$ dan $\hat{a}$ versi Bühlmann-Straub.

1. Identifikasi Variabel

Agen 1: $m_1 = 100+150+200 = 450$, $n_1 = 3$

Agen 2: $m_2 = 200+200 = 400$, $n_2 = 2$

Agen 3: $m_3 = 50+100+150 = 300$, $n_3 = 3$

Agen 4: $m_4 = 300$, $n_4 = 1$

Total: $m = 450 + 400 + 300 + 300 = 1450$

2. Identifikasi Distribusi / Model Bühlmann-Straub nonparametrik: $\bar{X}_i = \frac{\sum_j m_{ij} X_{ij}}{m_i}$; $\hat{v}$ menggunakan SS tertimbang.

3. Setup Persamaan

$$\bar{X}_i = \frac{\sum_j m_{ij} X_{ij}}{m_i}, \quad \hat{\mu} = \frac{\sum_i m_i \bar{X}_i}{m}$$ $$\hat{v} = \frac{\sum_i \sum_j m_{ij}(X_{ij} - \bar{X}_i)^2}{\sum_i(n_i - 1)}, \quad c = m - \frac{\sum_i m_i^2}{m}$$

4. Eksekusi Aljabar

Rata-rata tertimbang per agen $\bar{X}_i$:

$$\bar{X}_1 = \frac{100(0{,}04)+150(0{,}06)+200(0{,}05)}{450} = \frac{4+9+10}{450} = \frac{23}{450} \approx 0{,}05111$$ $$\bar{X}_2 = \frac{200(0{,}08)+200(0{,}07)}{400} = \frac{16+14}{400} = \frac{30}{400} = 0{,}075$$ $$\bar{X}_3 = \frac{50(0{,}02)+100(0{,}03)+150(0{,}04)}{300} = \frac{1+3+6}{300} = \frac{10}{300} \approx 0{,}03333$$ $$\bar{X}_4 = 0{,}05 \quad (n_4 = 1, \text{ hanya satu observasi})$$

Grand mean $\hat{\mu}$:

$$\hat{\mu} = \frac{450(0{,}05111) + 400(0{,}075) + 300(0{,}03333) + 300(0{,}05)}{1450}$$ $$= \frac{23 + 30 + 10 + 15}{1450} = \frac{78}{1450} \approx 0{,}05379$$

$\hat{v}$ — SS tertimbang within-group (Agen 4 dikecualikan karena $n_4 - 1 = 0$):

Agen 1: $\sum_j m_{1j}(X_{1j}-\bar{X}_1)^2$:

$$100(0{,}04-0{,}05111)^2 + 150(0{,}06-0{,}05111)^2 + 200(0{,}05-0{,}05111)^2$$ $$= 100(0{,}01111)^2 + 150(0{,}00889)^2 + 200(0{,}00111)^2$$ $$\approx 100(0{,}0001235) + 150(0{,}0000790) + 200(0{,}0000012)$$ $$\approx 0{,}01235 + 0{,}01185 + 0{,}00024 = 0{,}02444$$

Agen 2: $\sum_j m_{2j}(X_{2j}-\bar{X}_2)^2$:

$$200(0{,}08-0{,}075)^2 + 200(0{,}07-0{,}075)^2 = 200(0{,}005)^2 + 200(0{,}005)^2$$ $$= 200(0{,}000025) + 200(0{,}000025) = 0{,}01$$

Agen 3: $\sum_j m_{3j}(X_{3j}-\bar{X}_3)^2$:

$$50(0{,}02-0{,}03333)^2 + 100(0{,}03-0{,}03333)^2 + 150(0{,}04-0{,}03333)^2$$ $$= 50(0{,}01333)^2 + 100(0{,}00333)^2 + 150(0{,}00667)^2$$ $$\approx 50(0{,}0001777) + 100(0{,}0000111) + 150(0{,}0000444)$$ $$\approx 0{,}008885 + 0{,}001110 + 0{,}006660 = 0{,}016655$$

Total SS within: $0{,}02444 + 0{,}01 + 0{,}016655 = 0{,}051095$

$$\sum_i(n_i - 1) = 2 + 1 + 2 + 0 = 5$$ $$\hat{v} = \frac{0{,}051095}{5} \approx 0{,}010219$$

Faktor $c$:

$$c = 1450 - \frac{450^2 + 400^2 + 300^2 + 300^2}{1450} = 1450 - \frac{202500+160000+90000+90000}{1450}$$ $$= 1450 - \frac{542500}{1450} = 1450 - 374{,}138 = 1075{,}862$$

$\hat{a}$ — SS between-group:

$\sum_i m_i(\bar{X}_i - \hat{\mu})^2$:

$$450(0{,}05111-0{,}05379)^2 + 400(0{,}075-0{,}05379)^2 + 300(0{,}03333-0{,}05379)^2 + 300(0{,}05-0{,}05379)^2$$ $$= 450(0{,}00268)^2 + 400(0{,}02121)^2 + 300(0{,}02046)^2 + 300(0{,}00379)^2$$ $$\approx 450(7{,}18\times10^{-6}) + 400(4{,}50\times10^{-4}) + 300(4{,}19\times10^{-4}) + 300(1{,}44\times10^{-5})$$ $$\approx 0{,}003231 + 0{,}179928 + 0{,}125676 + 0{,}004314 = 0{,}313149$$ $$\hat{a} = \frac{1}{1075{,}862}\left[0{,}313149 - (4-1)(0{,}010219)\right] = \frac{0{,}313149 - 0{,}030657}{1075{,}862} = \frac{0{,}282492}{1075{,}862} \approx 0{,}0002626$$

Premi kredibilitas Agen 1 dan 2:

$$\hat{k} = \frac{\hat{v}}{\hat{a}} = \frac{0{,}010219}{0{,}0002626} \approx 38{,}91$$ $$\hat{Z}_1 = \frac{m_1}{m_1 + \hat{k}} = \frac{450}{450 + 38{,}91} \approx \frac{450}{488{,}91} \approx 0{,}9204$$ $$\hat{P}_1 = 0{,}9204(0{,}05111) + 0{,}0796(0{,}05379) \approx 0{,}04703 + 0{,}00428 = 0{,}05131$$ $$\hat{Z}_2 = \frac{400}{400 + 38{,}91} \approx \frac{400}{438{,}91} \approx 0{,}9114$$ $$\hat{P}_2 = 0{,}9114(0{,}075) + 0{,}0886(0{,}05379) \approx 0{,}06836 + 0{,}00477 = 0{,}07312$$

5. Verification $\hat{P}_1 \approx 0{,}0513$ berada antara $\hat{\mu} = 0{,}0538$ dan $\bar{X}_1 = 0{,}0511$ ✓. $\hat{P}_2 \approx 0{,}0731$ berada antara $\hat{\mu}$ dan $\bar{X}_2 = 0{,}075$ ✓. $\hat{k}$ besar ($\approx 39$) menunjukkan $v \gg a$ — heterogenitas antar agen relatif kecil dibanding noise dalam kelompok, sehingga $Z$ tidak setinggi yang diperkirakan meski $m_i$ besar.

Hasil: $\hat{P}_1 \approx 0{,}0513$ per polis; $\hat{P}_2 \approx 0{,}0731$ per polis.

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 8–10 menit. Common trap 1: Memasukkan Agen 4 (satu periode) ke dalam perhitungan $\hat{v}$ — agen dengan $n_i = 1$ memberikan kontribusi nol pada $\sum(n_i - 1)$ dan SS within. Common trap 2: Lupa menggunakan $m_i$ (total eksposur agen) sebagai bobot dalam SS between-group, bukan $n_i$. Shortcut: Susun tabel bantu kolom $m_i \bar{X}_i$ dan $m_i \bar{X}_i^2$ untuk efisiensi kalkulasi.

---

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Sanity Check 1 — Konsistensi Grand Mean›

Grand mean $\hat{\mu}$ harus dapat diverifikasi dua cara: (1) sebagai $\sum m_i \bar{X}_i / m$, dan (2) sebagai $\sum_i \sum_j m_{ij} X_{ij} / m$. Keduanya harus menghasilkan nilai identik. Jika berbeda, ada kesalahan di kalkulasi $\bar{X}_i$ atau $m_i$.

✓Sanity Check 2 — Premi Antara Grand Mean dan Sample Mean›

Untuk setiap kelompok $i$, premi kredibilitas $\hat{P}_i$ harus berada di antara $\hat{\mu}$ dan $\bar{X}_i$:

$$\min(\hat{\mu},\, \bar{X}_i) \leq \hat{P}_i \leq \max(\hat{\mu},\, \bar{X}_i)$$

Ini selalu berlaku karena $0 \leq \hat{Z}_i \leq 1$.

✓Sanity Check 3 — Weighted Average Premi = Grand Mean›

Total premi tertimbang harus kembali ke grand mean:

$$\frac{\sum_i m_i \hat{P}_i}{\sum_i m_i} = \hat{\mu}$$

Ini adalah properti penting: sistem premi empiris Bühlmann bersifat actuarially balanced.

Metode Alternatif — Semiparametrik Poisson

Untuk model frekuensi klaim di mana $X_{ij} \mid \Theta_i \sim \text{Poisson}(\Theta_i)$, struktur Poisson memberikan shortcut:

$$v(\theta) = \theta = \mu(\theta) \implies E[v(\Theta)] = E[\mu(\Theta)] \implies v = \mu$$

Oleh karena itu cukup gunakan:

$$\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}$$

Ini tidak perlu menghitung SS within-group — cukup baca grand mean. Efisiensi besar di exam.

---

Section 6 — Visualisasi Mental

Dekomposisi Variansi sebagai “Dua Sumber Ketidakpastian”:

Total variasi data X_ij
          │
          ├─── Within-group (variansi di dalam satu kelompok)
          │         ≈ proses acak / noise alam
          │         → estimasi v (EVPV)
          │
          └─── Between-group (variansi antar kelompok)
                    ≈ heterogenitas nyata antar profil risiko
                    → estimasi a (VHM), setelah koreksi komponen within

Pengaruh $\hat{k} = \hat{v}/\hat{a}$ terhadap premi:

Besar k (v >> a):          Kecil k (a >> v):
Homogen, noise besar       Heterogen, noise kecil

Z rendah → premi → μ̂      Z tinggi → premi → X̄ᵢ
(grand mean mendominasi)   (data individu mendominasi)

Agen yang baru (m kecil)   Agen lama (m besar)
pun ditarik ke μ̂           mendapat Z ≈ 1

Hubungan Visual ↔ Rumus

Elemen Visual	Komponen Rumus
Lebar distribusi dalam satu kelompok	$v = E[v(\Theta)]$ — EVPV
Jarak antar mean kelompok	$a = \text{Var}(\mu(\Theta))$ — VHM
Rasio $k = v/a$	Kompetisi: noise vs heterogenitas nyata
Ukuran kelompok $m_i$	Semakin besar → $Z_i$ semakin tinggi
Grand mean $\hat{\mu}$	Titik gravitasi seluruh portofolio

---

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi — Bühlmann vs Bühlmann-Straub›

Bühlmann standar: $m_{ij} = 1$ untuk semua $i, j$ (eksposur seragam). Bühlmann-Straub: $m_{ij}$ berbeda. Jika soal menyebut “eksposur” atau “jumlah polis” yang berbeda antar periode, itu pasti Bühlmann-Straub. Jangan menggunakan formula Bühlmann standar untuk data Bühlmann-Straub.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Mengira $c = r - 1$ atau $c = m - r$: Formula $c = m - \sum m_i^2/m$ berbeda dari $r-1$ kecuali dalam kasus sangat khusus. Selalu hitung $c$ dari definisinya.
2. Menggunakan $\hat{v} = \hat{\mu}$ tanpa asumsi Poisson: Identitas $v = \mu$ hanya berlaku untuk distribusi Poisson. Soal harus secara eksplisit menyebut Poisson atau memberikan $v(\theta) = \theta$.
3. Memasukkan kelompok dengan $n_i = 1$ ke $\hat{v}$: Kelompok dengan hanya satu periode observasi memberikan kontribusi nol ke $\sum(n_i - 1)$ (pembilang SS) dan nol ke denominator — abaikan dalam kalkulasi $\hat{v}$, tetapi tetap sertakan dalam $\hat{\mu}$ dan $\hat{a}$.
4. Menggunakan nilai negatif $\hat{a}$: Jika kalkulasi menghasilkan $\hat{a} < 0$, set $\hat{a} = 0$ — ini berarti tidak ada bukti heterogenitas, semua kelompok mendapat premi $\hat{\mu}$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Jika soal menyebut “nonparametrik”, hitung $\hat{v}$ dari SS within-group. Jika soal menyebut “semiparametrik dengan model Poisson”, gunakan $\hat{v} = \hat{\mu}$. Kedua pendekatan menghasilkan estimator $\hat{a}$ dengan formula yang sama — perbedaannya hanya pada cara menghitung $\hat{v}$.

▲Red Flags›

• Soal menyebut “data dari beberapa kelompok/agen/tertanggung” tanpa distribusi prior → Empirical Bayes
• Soal minta “estimasi $v$, $a$, $\mu$ dari data” → nonparametrik atau semiparametrik
• Muncul kata “eksposur berbeda antar periode” → Bühlmann-Straub, bukan Bühlmann standar
• Hasil $\hat{a} < 0$ → wajib set ke 0, laporkan $Z = 0$ dan $\hat{P}_i = \hat{\mu}$ untuk semua $i$
• Kelompok dengan $n_i = 1$ → sertakan di $\hat{\mu}$ dan SS between, tapi abaikan di $\hat{v}$

---

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Grand mean (selalu langkah pertama): $\hat{\mu} = \frac{\sum_i m_i \bar{X}_i}{m}$

2. EVPV nonparametrik: $\hat{v} = \frac{\sum_i \sum_j m_{ij}(X_{ij}-\bar{X}_i)^2}{\sum_i(n_i-1)}$

3. Faktor koreksi dan VHM: $c = m - \frac{\sum_i m_i^2}{m}, \qquad \hat{a} = \frac{1}{c}\!\left[\sum_i m_i(\bar{X}_i - \hat{\mu})^2 - (r-1)\hat{v}\right]$

4. Shortcut semiparametrik Poisson: $\hat{v} = \hat{\mu} = \bar{X}$

5. Premi final: $\hat{P}_i = \hat{Z}_i \bar{X}_i + (1-\hat{Z}_i)\hat{\mu}, \qquad \hat{Z}_i = \frac{m_i}{m_i + \hat{k}}, \qquad \hat{k} = \frac{\hat{v}}{\hat{a}}$

Kapan Digunakan

• Soal memberikan data dari banyak kelompok tanpa menyebutkan distribusi prior secara eksplisit
• Soal minta mengestimasi $\mu$, $v$, $a$ dari data portofolio
• Soal menyebut “nonparametrik” atau “semiparametrik” dalam konteks kredibilitas
• Soal memberikan eksposur berbeda antar kelompok/periode → Bühlmann-Straub empiris

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Ketika distribusi prior diberikan secara eksplisit (e.g., Gamma, Beta) → gunakan 7.3 Bayesian Credibility (Bayes eksak)
• Ketika hanya ada satu kelompok (tidak ada informasi between-group untuk mengestimasi $a$)
• Ketika soal minta Bühlmann teoritis dengan $v$ dan $a$ yang sudah diberikan langsung → gunakan 7.2 Bühlmann and Bühlmann-Straub Models tanpa estimasi

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal kredibilitas dengan data portofolio?"] -->|"Ya"| B["Distribusi prior diberikan eksplisit?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Bukan topik ini"]
    B -->|"Ya: Gamma, Beta, dll"| C["Gunakan Bayesian Credibility<br>[[7.3 Bayesian Credibility]]"]
    B -->|"Tidak: hanya data"| D["Empirical Bayes<br>Estimasi mu, v, a dari data"]
    D --> E["Eksposur seragam per observasi?"]
    E -->|"Ya: m_ij = 1"| F["Bühlmann standar<br>n_i = jumlah periode"]
    E -->|"Tidak: m_ij berbeda"| G["Bühlmann-Straub<br>gunakan m_ij sebagai bobot"]
    F --> H["Model Poisson disebutkan?"]
    G --> H
    H -->|"Ya"| I["Semiparametrik:<br>v-hat = mu-hat = grand mean"]
    H -->|"Tidak"| J["Nonparametrik:<br>hitung v-hat dari SS within-group"]
    I --> K["Hitung c, a-hat, k-hat, Z-hat<br>Lalu premi final"]
    J --> K

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan contoh soal variasi semiparametrik Poisson untuk 7.4”
2. “Jelaskan perbedaan antara 7.3 Bayesian Credibility dan 7.4 Empirical Bayesian Methods secara konseptual”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk formula estimator nonparametrik di 7.4”

📖 Ref: Klugman et al. (2019) Bab 16–18; Tse (2009) Bab 6–9 | 🗓️ 2026-04-19 | #TA2 #EmpiricalBayes #TeoriRisiko