TA3 – Matematika Aktuaria: Index Materi

Ujian: 3 jam | 30 soal pilihan ganda Referensi Utama: Dickson, Hardy & Waters (2016), Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.)

---

Topik 1: Model Survival (10–15%)

• 1.1 Future Lifetime Random Variable — Variabel acak sisa usia $T_x$; konsep model survival
• 1.2 Survival and Mortality Probability Functions — Probabilitas survival $_tp_x$, probabilitas mortalitas $_tq_x$, dan force of mortality $\mu_x$; hubungan antar fungsi
• 1.3 Curtate Future Lifetime — Variabel acak sisa usia diskrit $K_x$; nilai harapan hidup lengkap $\mathring{e}_x$ dan diskrit $e_x$
• 1.4 Moments of Future Lifetime — Mean, variansi, dan persentil pada variabel acak sisa usia
• 1.5 Select and Ultimate Survival Models — Konstruksi dan interpretasi model survival seleksi dan ultima
• 1.6 Fractional Age Assumptions — Metode perkiraan untuk usia pecahan: asumsi distribusi kematian seragam (UDD) dan force of mortality konstan
• 1.7 Survival Model Application to Loan Defaults — Aplikasi model survival untuk menghitung potensi gagal bayar pada pinjaman di bank

Hasil Pembelajaran

• Memahami variabel acak sisa usia.
• Menjelaskan konsep mengenai model survival.
• Menghitung dan menginterpretasikan fungsi probabilitas standar, meliputi probabilitas survival dan mortalitas, serta force of mortality.
• Memahami variabel acak sisa usia diskrit (curtate).
• Menghitung dan menginterpretasikan nilai harapan hidup lengkap dan diskrit (curtate).
• Menghitung dan menginterpretasikan mean, variansi, dan persentil pada variabel acak sisa usia.
• Mengkonstruksi dan menginterpretasikan model survival seleksi dan ultima.
• Melakukan penghitungan dengan metode perkiraan yang tepat untuk usia pecahan berdasarkan asumsi distribusi kematian seragam atau force of mortality konstan.
• Mengaplikasikan model survival untuk menghitung potensi gagal bayar pada pinjaman di bank.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 2–3.

---

Topik 2: Manfaat Asuransi (10–15%)

• 2.1 Present Value Random Variable for Future Benefits — Variabel acak nilai sekarang dari pembayaran manfaat di masa depan (PVRV-FB)
• 2.2 Whole Life and Term Life Insurance — Probabilitas, momen, dan kuantil PVRV-FB untuk asuransi jiwa seumur hidup dan berjangka (kontinu $\bar{A}_x$, akhir tahun $A_x$, dan akhir setiap $1/m$ periode $A_x^{(m)}$)
• 2.3 Pure Endowment and Endowment Insurance — Asuransi dwiguna murni $_nE_x$ dan asuransi dwiguna $A_{x:\overline{n}|}$
• 2.4 Deferred Insurance — Asuransi jiwa tertunda; probabilitas, momen, dan kuantil
• 2.5 UDD and Claims Acceleration Approaches — Hubungan antara $\bar{A}_x$, $A_x$, dan $A_x^{(m)}$ menggunakan asumsi UDD dan pendekatan percepatan klaim

Hasil Pembelajaran

• Memahami variabel acak nilai sekarang dari pembayaran (manfaat) di masa depan (PVRV-FB).
• Menghitung probabilitas, momen dan kuantil dari PVRV-FB, serta menginterpretasikan hasilnya, termasuk:
  • Asuransi jiwa seumur hidup dan berjangka (manfaat dibayarkan secara kontinu, akhir tahun, dan akhir setiap $1/m$ periode).
  • Asuransi dwiguna murni dan dwiguna.
  • Asuransi jiwa tertunda.
• Menghubungkan $\bar{A}_x$, $A_x$, dan $A_x^{(m)}$ dengan menggunakan asumsi UDD dan pendekatan percepatan klaim.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 4.

---

Topik 3: Anuitas Jiwa (10–15%)

• 3.1 Discrete Life Annuities — Momen PVRV anuitas jiwa seumur hidup dan berjangka awal ($\ddot{a}_x$, $\ddot{a}_{x:\overline{n}|}$) dan akhir ($a_x$, $a_{x:\overline{n}|}$)
• 3.2 Continuous Life Annuities — Momen PVRV anuitas jiwa kontinu seumur hidup $\bar{a}_x$ dan berjangka $\bar{a}_{x:\overline{n}|}$
• 3.3 m-thly Life Annuities — Momen PVRV anuitas jiwa yang dibayarkan setiap $1/m$ periode $\ddot{a}_x^{(m)}$
• 3.4 Advanced Annuity Types — Momen PVRV anuitas tertunda, tergaransi, dan anuitas dengan pembayaran meningkat
• 3.5 Approximation of EPV for Annuities — Taksiran ekspektasi nilai kini (EPV) anuitas $1/m$ dan kontinu berdasarkan EPV anuitas integer

Hasil Pembelajaran

• Menghitung momen PVRV dari anuitas jiwa seumur hidup dan berjangka (awal dan akhir).
• Menghitung momen PVRV dari anuitas jiwa kontinu (seumur hidup dan berjangka).
• Menghitung momen PVRV dari anuitas jiwa yang dibayarkan setiap $1/m$ periode.
• Menghitung momen PVRV dari anuitas yang lebih kompleks, seperti tertunda, tergaransi, dan anuitas yang pembayarannya meningkat.
• Menaksir ekspektasi nilai kini (EPV) dari anuitas yang dibayarkan setiap $1/m$ periode dan anuitas kontinu berdasarkan informasi dari EPV anuitas jiwa untuk usia integer.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 4 (kecuali 5.11.3).

---

Topik 4: Perhitungan Premi (20–25%)

• 4.1 Future Loss Random Variable — Definisi PVRV dari kerugian di masa depan $L$ untuk berbagai jenis kontrak asuransi
• 4.2 Moments and Quantiles of Future Loss — Probabilitas, mean, variansi, dan persentil dari variabel acak kerugian di masa depan
• 4.3 Net and Gross Premiums - Equivalence Principle — Penghitungan premi bersih dan kotor berdasarkan prinsip ekivalensi
• 4.4 Portfolio Percentile Principle — Penghitungan premi bersih dan kotor berdasarkan prinsip persentil portofolio
• 4.5 Sensitivity of Premiums to Assumption Changes — Efek perubahan manfaat atau asumsi (decrement, morbiditas, biaya, tingkat suku bunga) menggunakan model survival

Hasil Pembelajaran

• Mendefinisikan PVRV dari kerugian di masa depan untuk berbagai jenis kontrak asuransi.
• Menghitung dan menginterpretasikan probabilitas, mean, variansi, dan persentil dari variabel acak kerugian di masa depan yang berkaitan dengan premi.
• Menghitung premi bersih dan kotor berdasarkan prinsip ekivalensi.
• Menghitung premi bersih dan kotor berdasarkan prinsip persentil portofolio.
• Menghitung dan menginterpretasikan efek dari perubahan manfaat asuransi atau asumsi yang berkaitan seperti decrement, morbiditas, biaya, dan tingkat suku bunga, dengan menggunakan model survival.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 6.

---

Topik 5: Cadangan Premi (15–25%)

• 5.1 Future Loss at Time t — PVRV dari kerugian di masa depan $_tL$ pada berbagai jenis produk asuransi untuk sebarang waktu $t > 0$
• 5.2 Moments and Quantiles of Reserve Random Variable — Probabilitas, momen, dan kuantil dari variabel acak cadangan pada waktu $t$
• 5.3 Prospective and Retrospective Reserve Methods — Penghitungan cadangan premi menggunakan metode prospektif $_tV$ dan retrospektif
• 5.4 Recursive Reserve Formulas — Formula rekursif pada penghitungan cadangan premi produk asuransi
• 5.5 Profitability of Life-Contingent Contracts — Penilaian profitabilitas kontrak-kontrak yang bergantung pada kehidupan/kematian

Hasil Pembelajaran

• Memahami PVRV dari kerugian di masa depan pada berbagai jenis produk asuransi untuk sebarang waktu $t > 0$.
• Menghitung dan menginterpretasikan probabilitas, momen dan kuantil dari variabel acak pada poin (a).
• Menghitung cadangan premi menggunakan metode prospektif dan retrospektif.
• Menerapkan formula rekursif pada penghitungan cadangan premi produk asuransi.
• Menghitung profitabilitas kontrak-kontrak yang bergantung pada kehidupan/kematian.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 7 (kecuali 7.5, 7.6, 7.8, 7.9).

---

Topik 6: Model Multiple State dan Aplikasinya (15–25%)

• 6.1 Markov Process and Multiple State Models — Penerapan proses Markov dan rantai Markov pada model multiple-state
• 6.2 Multiple Decrement Tables — Pembentukan tabel multiple-decrement; probabilitas dan intensitas transisi
• 6.3 Premium and Reserve for Multiple Event Products — Penghitungan premi dan cadangan produk multiple events: long-term care, asuransi disability income, dan dana pensiun
• 6.4 Multiple Life Functions — Fungsi multiple life (joint life $T_{xy}$, last survivor $T_{\overline{xy}}$); asuransi dan anuitas jiwa untuk dua atau lebih individu
• 6.5 Pension Systems — Sistem dana pensiun: Defined Benefit (DB) dan Defined Contribution (DC)
• 6.6 Pension Plan Reserves — Penghitungan cadangan premi pada dana pensiun

Hasil Pembelajaran

• Menerapkan proses Markov dan rantai Markov pada model multiple-state.
• Membuat tabel multiple-decrement.
• Menghitung premi dan cadangan produk yang bergantung pada lebih dari satu kejadian, termasuk multiple events benefits, long-term care, asuransi disability income, dan dana pensiun.
• Memahami fungsi multiple life, dan menerapkannya pada penghitungan asuransi dan anuitas jiwa yang melibatkan dua atau lebih individu.
• Memahami sistem dana pensiun, termasuk Defined Benefit (DB), dan Defined Contribution (DC).
• Menghitung cadangan premi pada dana pensiun.

Referensi

• Dickson, D. C. M., Hardy, M. R., Waters, H. R. (2016). Actuarial Mathematics for Life Contingent Risks (2nd ed.), Bab 8–10 (kecuali 8.7, 8.12).

---

Bobot Soal

Topik	Bobot
1. Model Survival	10–15%
2. Manfaat Asuransi	10–15%
3. Anuitas Jiwa	10–15%
4. Perhitungan Premi	20–25%
5. Cadangan Premi	15–25%
6. Model Multiple State dan Aplikasinya	15–25%

Tags

#TA3 #Index #MatematikaAktuaria