📘 5.3 — Yield Rate and Coupon Calculations

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Bayangkan kamu menemukan obligasi di pasar sekunder yang dijual seharga Rp 950.000, padahal face value-nya Rp 1.000.000 dan coupon rate-nya 8% per tahun dengan maturity 5 tahun. Pertanyaan alami: “Berapa return sesungguhnya yang akan saya dapatkan jika beli obligasi ini hari ini?” Ini adalah pertanyaan tentang Yield to Maturity (YTM)—return efektif yang memperhitungkan harga beli, semua coupon yang akan diterima, dan redemption value di akhir.

YTM berbeda dari coupon rate karena YTM memperhitungkan capital gain atau loss. Jika beli obligasi di bawah par (discount), kamu akan mendapat capital gain saat redemption—sehingga YTM lebih tinggi dari coupon rate. Sebaliknya, jika beli di atas par (premium), ada capital loss, sehingga YTM lebih rendah dari coupon rate. Inilah mengapa obligasi dengan coupon rate sama bisa punya YTM berbeda tergantung harga pasar.

Masalah inverse problem ini—mencari $i$ dari $P$ yang diketahui—tidak punya solusi closed-form algebrais. Berbeda dengan mencari $P$ dari $i$ (langsung substitusi), mencari $i$ dari $P$ membutuhkan iterasi atau interpolasi. Di ujian CF1, metode yang paling umum adalah linear interpolation antara dua trial rates. Selain YTM, soal CF1 juga menguji kemampuan mencari coupon rate $r$ yang membuat harga obligasi mencapai nilai tertentu (ini punya solusi langsung karena $r$ muncul linear dalam pricing formula), dan kadang mencari maturity $n$ (yang juga membutuhkan iterasi atau logaritma).

Section 2 — Definisi Formal

Variabel & Parameter

Rumus Utama

Label: Pricing equation — the fundamental equation to solve for unknown parameter.

Label: Linear interpolation for YTM (approximate, valid when $i_2 - i_1$ small).

Label: Coupon rate given price, yield, and maturity (direct solution).

Label: Coupon payment given price, yield, and maturity (direct solution).

Label: Current yield (simpler measure, ignores capital gain/loss and time value).

Asumsi Eksplisit

• Constant Yield: YTM diasumsikan konstan selama life of bond (flat term structure).
• Coupons Reinvested at YTM: Implicit assumption bahwa coupon payments di-reinvest di rate $i$ (YTM).
• No Default: Issuer membayar semua cash flows sesuai jadwal.
• Linear Interpolation Accuracy: Interpolasi linear adalah approximation—semakin kecil interval $[i_1, i_2]$, semakin akurat.

Section 3 — Jembatan Logika

Derivasi Interpolation Formula:

Pricing function $f(i) = Fr \cdot a_{\overline{n}|i} + C \cdot v^n$ adalah strictly decreasing dalam $i$ (karena higher discount rate → lower PV).

Jika $P_1 = f(i_1) > P > P_2 = f(i_2)$ dengan $i_1 < i_2$, maka true $i$ berada di antara $i_1$ dan $i_2$.

Linear interpolation mengasumsikan $f$ linear di interval $[i_1, i_2]$:

Solve untuk $i$:

Intuisi: Kita interpolate secara proporsional. Jika $P$ lebih dekat ke $P_1$, maka $i$ lebih dekat ke $i_1$.

Monotonicity of Bond Price:

Karena $dP/di < 0$, fungsi $P(i)$ strictly decreasing. Ini menjamin:

• $i_1 < i_{\text{true}} \Leftrightarrow P_1 > P$
• $i_2 > i_{\text{true}} \Leftrightarrow P_2 < P$

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Obligasi dengan face value Rp 1.000.000, coupon rate 8% annually, maturity 5 tahun, redeemed at par. Obligasi dijual seharga Rp 960.000. Hitunglah: (a) Apakah YTM lebih besar atau lebih kecil dari 8%? (b) Gunakan trial rates $i_1 = 9\%$ dan $i_2 = 10\%$ untuk estimate YTM dengan linear interpolation.

Data yang diberikan:

• $F = C = 1.000.000$
• $r = 0.08$, $Fr = 80.000$
• $n = 5$
• $P = 960.000$ (market price)

t=0         t=1       t=2       t=3       t=4       t=5
|-----------|---------|---------|---------|---------|
P=960,000   80,000    80,000    80,000    80,000    80,000 + 1,000,000

Investor bayar 960,000 < par → discount → YTM > coupon rate

Soal B — Exam-Typical

Obligasi dengan face value Rp 2.000.000, maturity 8 tahun, redeemed at par, yield rate 7% annually. Investor ingin membeli obligasi ini seharga tepat Rp 2.100.000 (premium). Hitunglah coupon rate $r$ (annual) yang harus dimiliki obligasi agar harga tersebut terpenuhi.

Data yang diberikan:

• $F = C = 2.000.000$
• $n = 8$
• $i = 0.07$
• Target $P = 2.100.000$
• Dicari: $r$ (coupon rate)

t=0         t=1       ...       t=8
|-----------|---------|---------|
2,100,000   Fr        ...       Fr + 2,000,000

P > C → premium bond → r > i = 7%

Soal C — Challenging

Obligasi dengan face value Rp 3.000.000, coupon rate 6% annually, redeemed at par. Obligasi dijual seharga Rp 2.750.000. Yield rate yang diinginkan investor adalah 8% annually.

(a) Berapa maturity $n$ yang diperlukan agar harga obligasi tepat Rp 2.750.000 pada yield 8%? (b) Gunakan trial values $n_1 = 8$ dan $n_2 = 10$ untuk estimate $n$ dengan interpolation. (c) Jika maturity harus integer, pilih $n = 8$ atau $n = 10$? Jelaskan.

Data yang diberikan:

• $F = C = 3.000.000$
• $r = 0.06$, $Fr = 180.000$
• $i = 0.08$
• Target $P = 2.750.000$
• Dicari: $n$

t=0         t=1       ...       t=n
|-----------|---------|---------|
2,750,000   180,000   ...       180,000 + 3,000,000

P < C → discount bond → r < i ✓ (6% < 8%)
Longer maturity → lower price (more discounting of redemption)

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

Makeham Form untuk Solve Coupon:

Solve untuk $Fr$:

Lebih efisien karena langsung isolate $Fr$.

Newton-Raphson untuk YTM [BEYOND CF1]:

di mana $f(i) = P(i) - P_{\text{target}}$ dan $f'(i) = dP/di$. Converges faster than interpolation but requires calculus.

Approximate YTM Formula [Shortcut]:

Rough approximation: (annual coupon + annual capital gain/loss) / (average of price and redemption). Useful for quick sanity check, not for exact answer.

Section 6 — Visualisasi Mental

Bond Price vs Yield (P-i curve):

Grafik dengan sumbu X = yield rate $i$, sumbu Y = bond price $P$.

Kurva convex, strictly decreasing:

• Saat $i = r$ (coupon rate): $P = C$ (par)
• Saat $i < r$: $P > C$ (premium)
• Saat $i > r$: $P < C$ (discount)

Interpolation visualization:

• Plot dua titik $(i_1, P_1)$ dan $(i_2, P_2)$ pada kurva
• Tarik garis lurus (chord) antara dua titik
• Interpolated $i$ adalah titik di mana chord memotong horizontal line $P = P_{\text{target}}$
• True $i$ adalah titik di mana kurva memotong $P = P_{\text{target}}$
• Karena kurva convex, interpolated $i$ sedikit underestimate true $i$ (chord di bawah kurva)

Bond Price vs Maturity (P-n curve):

Grafik dengan sumbu X = maturity $n$, sumbu Y = bond price $P$.

• Premium bond ($r > i$): Kurva menurun dari $P_0 > C$ menuju $C$ saat $n \to \infty$
• Discount bond ($r < i$): Kurva menurun dari $P_0 < C$ menuju… wait, actually for discount bonds, as $n$ increases, price decreases toward $C$ from below
• Par bond: Horizontal line di $P = C$

Untuk discount bond: semakin panjang maturity, semakin banyak “kerugian” dari coupon yang terlalu kecil, sehingga harga semakin rendah.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Slope P-i curve:

Negative slope → interpolation dengan $P_1 > P > P_2$ corresponds ke $i_1 < i < i_2$.

Convexity of P-i curve:

Positive convexity → linear interpolation underestimates true $i$ (chord below curve).

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “find the yield,” “yield to maturity,” “what coupon rate,” “find the maturity,” “interpolation,” “what rate of return.”
• Tipe skenario soal:
  • Hitung YTM dari market price (interpolation).
  • Hitung coupon rate untuk achieve target price (direct solve).
  • Hitung maturity untuk achieve target price (interpolation in $n$).
  • Compare YTM vs current yield.
  • Determine if bond is premium/discount/par from YTM vs coupon rate.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika harga obligasi yang dicari (bukan yield): Gunakan 5.1 Bond Pricing langsung—tidak perlu interpolation.
• Jika book value di periode tertentu yang dicari: Gunakan 5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization.
• Jika yield curve tidak flat: Standard YTM assume flat term structure. Spot rate pricing dibahas di 3.1 Spot Rates and Forward Rates.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Bond problem:<br>what is unknown?"] --> B["Price P?"]
    A --> C["Yield rate i?"]
    A --> D["Coupon rate r?"]
    A --> E["Maturity n?"]
    B --> F["Direct: P = Fr*a(n,i) + C*v^n<br>See 5.1 Bond Pricing"]
    C --> G["Interpolation needed<br>(nonlinear in i)"]
    D --> H["Direct solve:<br>Fr = (P - C*v^n) / a(n,i)"]
    E --> I["Interpolation needed<br>(nonlinear in n)"]
    G --> J["Choose i1 < i2<br>Compute P1 and P2"]
    J --> K["Verify P1 > P > P2"]
    K --> L["i = i1 + (P1-P)/(P1-P2) * (i2-i1)"]
    I --> M["Check: premium or discount?"]
    M --> N["Both: P decreasing in n<br>Choose bracket accordingly"]

📖 Ref: Vaaler Bab 6, Kellison Bab 6 | 🗓️ 2026-02-18 | #CF1 #YieldRate #YTM #CouponRate #Interpolation