📘 5.1 — Bond Pricing

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Bayangkan pemerintah atau perusahaan butuh pinjam uang Rp 100 miliar untuk 10 tahun. Daripada pinjam ke satu bank, mereka menerbitkan obligasi (bond): surat utang yang bisa diperdagangkan. Investor yang beli obligasi ini adalah “pemberi pinjaman”—mereka bayar harga tertentu hari ini, terima pembayaran berkala (coupon), dan di akhir periode dapat kembali nilai nominal (face value).

Bond pricing menjawab pertanyaan kritis: “Berapa harga fair obligasi ini hari ini?” Jawabannya bergantung pada tiga faktor utama: (1) coupon rate (berapa besar pembayaran berkala), (2) yield rate atau required return investor (opportunity cost), dan (3) time to maturity (berapa lama sampai jatuh tempo). Jika coupon rate lebih tinggi dari yield yang investor minta, obligasi dijual di atas par (premium). Jika sebaliknya, dijual di bawah par (discount).

Intuisi paling penting: obligasi adalah bundle dari dua cash flow streams—(1) anuitas coupon payments, dan (2) lump sum redemption value di akhir. Present value obligasi adalah sum dari PV kedua komponen ini. Jika market interest rates naik setelah obligasi diterbitkan, PV turun (obligasi existing jadi kurang menarik karena ada alternatif dengan yield lebih tinggi), sehingga harga obligasi turun. Sebaliknya jika rates turun, harga naik—ini adalah inverse relationship antara interest rates dan bond prices.

Formula pricing obligasi di CF1 ada dua bentuk: Basic Formula (menjumlahkan PV semua coupon individual + PV redemption) dan Makeham Formula (shortcut elegant yang memisahkan redemption value dan “modified coupon”). Keduanya mathematically equivalent, tetapi Makeham sering lebih efisien untuk soal exam karena mengurangi computational steps.

Section 2 — Definisi Formal

Variabel & Parameter

Rumus Utama

Label: Basic bond pricing formula (PV of coupons + PV of redemption).

Label: Annuity-immediate factor untuk coupon stream.

Label: Makeham Formula (algebraic rearrangement, useful saat $C \neq F$).

Label: Bond price dalam bentuk modified coupon rate $g$ (dengan $Fr = Cg$).

Premium, Par, Discount:

Label: Relationship antara coupon rate, yield, dan price.

Asumsi Eksplisit

• Discrete Coupon Payments: Coupon dibayar di akhir setiap period (annuity-immediate), bukan continuous atau beginning-of-period.
• Constant Yield Rate: Yield $i$ konstan selama life of bond (flat term structure).
• No Default Risk: Issuer pasti bayar semua coupons dan redemption value (risk-free or investment-grade).
• No Transaction Costs: Investor bisa buy/sell bonds tanpa fees atau taxes.
• Reinvestment at Yield: Coupon payments bisa di-reinvest di rate $i$ (implicit dalam annuity formula).

Section 3 — Jembatan Logika

t=0         t=1      t=2            t=n-1    t=n
|-----------|--------|--...---------|--------|
P (price)   Fr       Fr             Fr       Fr + C

Derivasi Makeham Formula dari Basic Formula:

Mulai dari Basic Formula:

Tambah dan kurangi $C \cdot a_{\overline{n}|i}$:

Regroup:

Factor out $a_{\overline{n}|i}$:

Wait, let me redo this more carefully. The standard derivation:

Start:

Add and subtract $Ci \cdot a_{\overline{n}|i}$:

Factor first two terms:

Use identity $a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}$, so $i \cdot a_{\overline{n}|i} = 1 - v^n$:

Substitute:

The $C \cdot v^n$ terms cancel:

This is Makeham Formula!

Intuisi Makeham:

• $C$ adalah redemption value di akhir (tetapi evaluated at $t=0$, ini seperti “base price”)
• $(Fr - Ci)$ adalah “excess coupon”—selisih antara actual coupon $Fr$ dan “theoretical coupon if bond priced at par” which would be $Ci$
• $a_{\overline{n}|i}$ mengkonversi excess coupon stream ke present value

Premium vs Discount Analysis:

Jika $r > i$: $Fr > Ci \Rightarrow Fr - Ci > 0 \Rightarrow P > C$ (Premium)

Jika $r = i$: $Fr = Ci \Rightarrow Fr - Ci = 0 \Rightarrow P = C$ (Par)

Jif $r < i$: $Fr < Ci \Rightarrow Fr - Ci < 0 \Rightarrow P < C$ (Discount)

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Obligasi dengan face value Rp 1.000.000 dan coupon rate 8% per tahun (dibayar annually) akan mature dalam 5 tahun. Redemption value sama dengan face value. Jika yield rate yang required investor adalah 10% per tahun, hitunglah: (a) Harga obligasi menggunakan Basic Formula (b) Harga obligasi menggunakan Makeham Formula (c) Apakah obligasi dijual premium, par, atau discount?

Data yang diberikan:

• Face value $F = 1.000.000$
• Coupon rate $r = 0.08$ (annually)
• $n = 5$ years
• Redemption value $C = F = 1.000.000$
• Yield rate $i = 0.10$

t=0         t=1       t=2       t=3       t=4       t=5
|-----------|---------|---------|---------|---------|
P=?         80,000    80,000    80,000    80,000    80,000 + 1,000,000

Soal B — Exam-Typical

Obligasi dengan face value Rp 5.000.000, coupon rate 6% (paid semiannually), maturity 10 tahun. Redemption value 105% of face value (Rp 5.250.000). Yield rate 7% per tahun (convertible semiannually). Hitunglah harga obligasi.

Data yang diberikan:

• $F = 5.000.000$
• $r = 0.06$ per tahun, paid semiannually → $r_{\text{semi}} = 0.06/2 = 0.03$ per semester
• $n = 10$ years = 20 semesters
• $C = 1.05 \times F = 5.250.000$
• $i = 0.07$ per tahun, convertible semiannually → $i_{\text{semi}} = 0.07/2 = 0.035$ per semester

t=0    t=1    t=2         t=19     t=20 (semesters)
|------|------|--...------|--------|
P=?    150k   150k        150k     150k + 5.25M

Soal C — Challenging

Dua obligasi dengan characteristics identik kecuali coupon rates:

• Bond X: Face value Rp 10.000.000, coupon rate 9% annually, maturity 8 tahun
• Bond Y: Face value Rp 10.000.000, coupon rate 11% annually, maturity 8 tahun
• Keduanya redeemed at par. Yield rate market saat ini 10% annually.

Hitunglah: (a) Harga Bond X dan Bond Y (b) Selisih harga antara kedua obligasi (c) Jika yield rate turun dari 10% menjadi 9%, berapa persen kenaikan harga masing-masing obligasi?

Data yang diberikan:

• Bond X: $F = 10.000.000$, $r_X = 0.09$, $n = 8$, $C = F$, $i = 0.10$
• Bond Y: $F = 10.000.000$, $r_Y = 0.11$, $n = 8$, $C = F$, $i = 0.10$

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

PV Each Coupon Individually (tanpa annuity formula):

Useful jika $n$ kecil atau jika yield rate berubah tiap period.

Modified Coupon Approach:

Jika $Fr = Cg$ (define modified coupon rate $g$):

Useful saat $C$ adalah convenient round number.

Price Change Formula (duration approximation - 3.3 Duration (Macaulay and Modified)):

Rough estimate untuk small yield changes (not exact, but exam-relevant).

Section 6 — Visualisasi Mental

Bond Price vs Yield Curve:

Grafik dengan sumbu X = yield rate $i$, sumbu Y = bond price $P$.

Kurva convex (melengkung ke atas), menurun:

• Left side (low $i$): High bond prices (steep slope)
• Right side (high $i$): Low bond prices (flatter slope)
• Crossover point: At $i = r$, price = par ($P = C$)

Key features:

• Inverse relationship: Higher yield → lower price
• Convexity: Curvature indicates that price increase when yield drops > price decrease when yield rises (by same magnitude)
• Asymptotic: As $i \to \infty$, $P \to 0$. As $i \to 0$, $P \to Fr \cdot n + C$.

Premium/Discount over Time:

Grafik dengan sumbu X = time to maturity, sumbu Y = bond price.

Premium bond ($r > i$):

• Starts above par
• Price declines over time (amortizes down)
• Converges to $C$ at maturity

Discount bond ($r < i$):

• Starts below par
• Price increases over time (accretes up)
• Converges to $C$ at maturity

Par bond ($r = i$):

• Stays at par throughout life

Hubungan Visual ↔ Rumus

Slope of price-yield curve:

Negative slope confirms inverse relationship.

Curvature (convexity):

Positive convexity berarti price increases accelerate when yields drop, price decreases decelerate when yields rise.

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “bond price,” “fair value,” “coupon,” “yield to maturity,” “face value,” “redemption value,” “premium,” “discount,” “par.”
• Tipe skenario soal:
  • Calculate fair price given coupon rate, yield, maturity.
  • Determine if bond sells at premium, par, or discount.
  • Compare prices dengan different coupon rates atau yields.
  • Analyze effect of yield changes on price.
  • Semiannual atau quarterly coupon payments (frequency mismatch).

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika yield rate berubah tiap period: Need varying interest rate methods (2.6 Varying Interest Rates).
• Jika bond callable atau putable: Standard formula assume held to maturity. Callable/putable bonds need option-adjusted pricing [BEYOND CF1].
• Jika default risk significant: Formula assume risk-free atau investment-grade. High-yield (junk) bonds need credit spread adjustment [BEYOND CF1].

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Bond pricing problem?"] -->|"Ya"| B["C = F?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Topik lain"]
    B -->|"Ya (redeemed at par)"| C["r vs i?"]
    B -->|"Tidak"| D["Gunakan Makeham:<br>P = C + (Fr - Ci)*a(n,i)"]
    C -->|"r = i"| E["Price = Par<br>(P = C = F)"]
    C -->|"r > i"| F["Premium bond<br>Gunakan Basic atau Makeham"]
    C -->|"r < i"| G["Discount bond<br>Gunakan Basic atau Makeham"]
    F --> H["P = Fr*a(n,i) + C*v^n"]
    G --> H
    D --> I["Pastikan payment<br>frequency match"]
    I --> J["Convert annual rates<br>ke per-period rates"]
    J --> K["Hitung a(n,i) dan v^n"]
    K --> L["Apply formula"]

📖 Ref: Vaaler Bab 6, Kellison Bab 6 | 🗓️ 2026-02-17 | #CF1 #BondPricing #Premium #Discount #Makeham