CF1 · Materi 2.1

Annuity-Immediate and Annuity-Due

2026-02-18 Medium Bobot: 20–30% Vaaler Bab 3–4, Kellison Bab 3–4

CF1MatematikaKeuanganAnnuityAnnuityImmediateAnnuityDuePresentValueFutureValue

📘 2.1 — Annuity-Immediate and Annuity-Due

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Annuity-Immediate and Annuity-Due | Bobot: ~20–30% | Difficulty: Medium Ref: Vaaler Bab 3–4, Kellison Bab 3–4 | Prereq: 1.1 Interest Rates and Discount Rates, 1.4 Accumulation and Present Value

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF1	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 2: Anuitas dan Nilai Arus Kas	2.1	Menghitung $a_{\overline{n}\\|}$ , $\ddot{a}_{\overline{n}\\|}$ , $s_{\overline{n}\\|}$ , $\ddot{s}_{\overline{n}\\|}$ ; hubungan antar keempat simbol; solve unknown $n$ , $i$ , atau payment; aplikasi pada pinjaman, tabungan, dan obligasi	20–30%	Medium	1.1 Interest Rates and Discount Rates, 1.4 Accumulation and Present Value	2.2 Perpetuity, 2.3 Varying Annuities, 2.5 Deferred Annuities, 4.2 Amortization Method, 5.1 Bond Pricing	Vaaler Bab 3–4, Kellison Bab 3–4

Section 1 — Intuisi

Bayangkan kamu menabung Rp 1.000.000 setiap bulan selama 5 tahun untuk membeli rumah. Pertanyaan pertama: berapa total nilai tabungan kamu di akhir tahun ke-5 (termasuk bunga)? Pertanyaan kedua: berapa nilai sekarang dari seluruh rencana tabungan itu? Dua pertanyaan ini adalah inti dari konsep anuitas—serangkaian pembayaran yang sama besar, dibuat secara periodik, dan kita ingin tahu nilai totalnya baik di masa depan maupun di masa kini.

Perbedaan antara annuity-immediate dan annuity-due terletak pada kapan pembayaran pertama dilakukan. Jika kamu membayar cicilan KPR di akhir setiap bulan (seperti kebanyakan cicilan bank), itu adalah annuity-immediate. Jika kamu membayar sewa apartemen di awal setiap bulan (seperti kebanyakan kontrak sewa), itu adalah annuity-due. Perbedaan satu periode ini terlihat kecil, tetapi berdampak signifikan pada nilai present value dan future value—karena uang yang diterima lebih awal punya lebih banyak waktu untuk berbunga.

Keempat simbol anuitas— $a_{\overline{n}|}$ , $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ , $s_{\overline{n}|}$ , $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ —adalah fondasi dari hampir semua kalkulasi keuangan di CF1. Obligasi menggunakan $a_{\overline{n}|}$ untuk menghitung PV coupon stream. Pinjaman menggunakan $a_{\overline{n}|}$ untuk menentukan cicilan bulanan. Tabungan pensiun menggunakan $s_{\overline{n}|}$ untuk menghitung akumulasi. Menguasai keempat simbol ini—dan hubungan di antara mereka—adalah kunci untuk menyelesaikan soal-soal Topik 2 dengan cepat dan akurat.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Annuity-Immediate: $n$ pembayaran sebesar 1 unit, masing-masing di akhir periode 1, 2, …, $n$ .

Present Value (PV):

a_{\overline{n}|i} = v + v^2 + \cdots + v^n = \frac{1 - v^n}{i}

Future Value (FV) di $t = n$ :

s_{\overline{n}|i} = 1 + (1+i) + \cdots + (1+i)^{n-1} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Annuity-Due: $n$ pembayaran sebesar 1 unit, masing-masing di awal periode 1, 2, …, $n$ (yaitu di $t = 0, 1, \ldots, n-1$ ).

Present Value (PV):

\ddot{a}_{\overline{n}|i} = 1 + v + v^2 + \cdots + v^{n-1} = \frac{1 - v^n}{d}

Future Value (FV) di $t = n$ :

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = (1+i) + (1+i)^2 + \cdots + (1+i)^n = \frac{(1+i)^n - 1}{d}

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$n$	Jumlah periode pembayaran	Integer positif
$i$	Suku bunga efektif per periode	Decimal, $i > 0$
$d$	Tingkat diskonto efektif $= i/(1+i) = 1 - v$	Decimal
$v$	Faktor diskonto $= 1/(1+i)$	$0 < v < 1$
$a_{\overline{n}\\|i}$	PV annuity-immediate (pembayaran di akhir periode)	Dibaca: “a angle n at i”
$s_{\overline{n}\\|i}$	FV annuity-immediate di $t = n$	Dibaca: “s angle n at i”
$\ddot{a}_{\overline{n}\\|i}$	PV annuity-due (pembayaran di awal periode)	Dibaca: “a-double-dot angle n at i”
$\ddot{s}_{\overline{n}\\|i}$	FV annuity-due di $t = n$	Dibaca: “s-double-dot angle n at i”

Rumus Utama

a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}

Label: PV annuity-immediate — present value dari $n$ pembayaran unit di akhir setiap periode.

s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Label: FV annuity-immediate — accumulated value di $t=n$ dari $n$ pembayaran unit di akhir setiap periode.

\ddot{a}_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{d} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|i}

Label: PV annuity-due — present value dari $n$ pembayaran unit di awal setiap periode.

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{d} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|i}

Label: FV annuity-due — accumulated value di $t=n$ dari $n$ pembayaran unit di awal setiap periode.

Hubungan Kritis antara Simbol:

\ddot{a}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|i}

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|i}

s_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)^n

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = \ddot{a}_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)^n

\frac{1}{a_{\overline{n}|i}} = \frac{1}{s_{\overline{n}|i}} + i

Label: Relasi antar keempat simbol—annuity-due selalu $(1+i)$ kali annuity-immediate; FV adalah PV dikalikan $(1+i)^n$ .

Asumsi Eksplisit

Constant Interest Rate: $i$ konstan selama seluruh $n$ periode.
Level Payments: Setiap pembayaran sama besar (1 unit dalam notasi standar; kalikan dengan $R$ untuk pembayaran $R$ ).
End-of-Period (Immediate): Pembayaran pertama di $t=1$ untuk annuity-immediate.
Beginning-of-Period (Due): Pembayaran pertama di $t=0$ untuk annuity-due.
No Default: Semua pembayaran dilakukan sesuai jadwal.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Time Diagram ke Equation of Value›

Annuity-Immediate: Pembayaran di $t=1, 2, \ldots, n$ . Setiap pembayaran 1 unit di-discount ke $t=0$ :

Pembayaran di $t=1$ : PV $= v^1$
Pembayaran di $t=2$ : PV $= v^2$
…
Pembayaran di $t=n$ : PV $= v^n$

Total PV $= v + v^2 + \cdots + v^n$ — ini adalah deret geometri dengan rasio $v$ dan $n$ suku.

Annuity-Due: Pembayaran di $t=0, 1, \ldots, n-1$ . Pembayaran pertama di $t=0$ tidak perlu di-discount (PV $= 1$ ). Sisanya sama seperti annuity-immediate tetapi “dimajukan” satu periode. Sehingga $\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|}$ —annuity-due selalu lebih besar karena pembayaran lebih awal.

◈Focal Date›

PV ( $a$ dan $\ddot{a}$ ): Focal date di $t=0$ (satu periode sebelum pembayaran pertama untuk annuity-immediate; tepat saat pembayaran pertama untuk annuity-due).
FV ( $s$ dan $\ddot{s}$ ): Focal date di $t=n$ (tepat saat pembayaran terakhir untuk annuity-immediate; satu periode setelah pembayaran terakhir untuk annuity-due).

Derivasi $a_{\overline{n}|i}$ dari Deret Geometri:

a_{\overline{n}|i} = v + v^2 + \cdots + v^n = v \cdot \frac{1 - v^n}{1 - v}

Gunakan $v = 1/(1+i)$ dan $1 - v = d = i \cdot v$ :

a_{\overline{n}|i} = v \cdot \frac{1 - v^n}{i \cdot v} = \frac{1 - v^n}{i}

Derivasi $s_{\overline{n}|i}$ dari Deret Geometri:

s_{\overline{n}|i} = 1 + (1+i) + (1+i)^2 + \cdots + (1+i)^{n-1}

Deret geometri dengan rasio $(1+i)$ dan $n$ suku:

s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{(1+i) - 1} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Hubungan FV dan PV:

s_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)^n

Ini masuk akal: PV di-accumulate selama $n$ periode menghasilkan FV.

Derivasi $\ddot{a}$ dari $a$ :

Annuity-due = annuity-immediate dimajukan 1 periode:

\ddot{a}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|i} = \frac{1-v^n}{d}

karena $d = i \cdot v = i/(1+i)$ , sehingga $i = d(1+i)$ dan $\frac{1-v^n}{i} \cdot (1+i) = \frac{1-v^n}{d}$ .

✘Dilarang›

Menulis $a_{\overline{n}|} = (1-v^n)/d$ (SALAH untuk annuity-immediate): Formula dengan $d$ di denominator adalah untuk annuity-due ( $\ddot{a}$ ), bukan annuity-immediate ( $a$ ). Annuity-immediate menggunakan $i$ di denominator.
Mengasumsikan FV annuity-due di $t=n$ sama dengan FV annuity-immediate: $\ddot{s}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|}$ — annuity-due FV lebih besar karena pembayaran terakhir masih berbunga satu periode ekstra.
Menggunakan $a_{\overline{n}|}$ untuk pembayaran di awal periode: Jika soal menyebut “pembayaran di awal periode” atau “beginning of period,” gunakan $\ddot{a}_{\overline{n}|}$ , bukan $a_{\overline{n}|}$ .

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Seorang investor akan menerima pembayaran sebesar Rp 500.000 setiap akhir tahun selama 8 tahun. Suku bunga efektif adalah 6% per tahun. Hitunglah: (a) Present value dari seluruh pembayaran (di $t=0$ ) (b) Future value dari seluruh pembayaran (di $t=8$ )

Data yang diberikan:

Pembayaran $R = 500.000$ per tahun, di akhir setiap tahun (annuity-immediate)
$n = 8$ tahun
$i = 6\%$ per tahun efektif

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

$R = 500.000$ , $n = 8$ , $i = 0.06$
$v = 1/1.06$
Dicari: $PV = R \cdot a_{\overline{8}|0.06}$ dan $FV = R \cdot s_{\overline{8}|0.06}$

2. Time Diagram

t=0      t=1      t=2      ...     t=7      t=8
|--------|--------|--------|--------|--------|
PV=?     500k     500k     ...     500k     500k
                                            FV=?

Pembayaran di akhir setiap tahun → annuity-immediate.

3. Equation of Value (pada Focal Date $t = 0$ untuk PV, $t = 8$ untuk FV)

PV = R \cdot a_{\overline{8}|0.06}

FV = R \cdot s_{\overline{8}|0.06}

4. Eksekusi Aljabar

(a) PV:

v^8 = (1.06)^{-8} = 1/(1.59385) = 0.627412

a_{\overline{8}|0.06} = \frac{1 - 0.627412}{0.06} = \frac{0.372588}{0.06} = 6.20979

PV = 500.000 \times 6.20979 = 3.104.895

(b) FV:

s_{\overline{8}|0.06} = \frac{(1.06)^8 - 1}{0.06} = \frac{1.59385 - 1}{0.06} = \frac{0.59385}{0.06} = 9.89747

FV = 500.000 \times 9.89747 = 4.948.735

Verify relationship:

FV = PV \times (1.06)^8 = 3.104.895 \times 1.59385 = 4.948.735 \quad \checkmark

5. Verification

Cek tanpa bunga: $8 \times 500.000 = 4.000.000$ . PV harus $< 4.000.000$ ✓ ( $3.104.895 < 4.000.000$ ). FV harus $> 4.000.000$ ✓ ( $4.948.735 > 4.000.000$ ).

Logika finansial: PV Rp 3.1M adalah jumlah yang, jika diinvestasikan hari ini pada 6%, akan cukup untuk membayar 8 kali Rp 500.000 di akhir setiap tahun. FV Rp 4.95M adalah total akumulasi jika setiap pembayaran Rp 500.000 diinvestasikan pada 6%.

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 2–3 menit. Common trap: Lupa mengalikan $a_{\overline{n}|}$ dengan payment amount $R$ — $a_{\overline{n}|}$ adalah PV untuk pembayaran 1 unit, bukan $R$ unit. Shortcut: $FV = PV \times (1+i)^n$ lebih cepat daripada menghitung $s_{\overline{n}|}$ terpisah.

Soal B — Exam-Typical

Sebuah pinjaman sebesar Rp 50.000.000 akan dilunasi dengan 12 pembayaran bulanan yang sama besar, dibayar di awal setiap bulan (annuity-due). Suku bunga pinjaman adalah 12% per tahun nominal, convertible monthly (1% per bulan). Hitunglah besar setiap pembayaran bulanan.

Data yang diberikan:

Pinjaman $L = 50.000.000$
$n = 12$ bulan
$i_{\text{monthly}} = 12\%/12 = 1\% = 0.01$ per bulan
Pembayaran di awal setiap bulan → annuity-due
Dicari: $R$ (payment per bulan)

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

$L = 50.000.000$ , $n = 12$ , $i = 0.01$ per bulan
$d = i/(1+i) = 0.01/1.01 = 0.009901$
$v = 1/1.01$
Dicari: $R$ sehingga $L = R \cdot \ddot{a}_{\overline{12}|0.01}$

2. Time Diagram

t=0       t=1       t=2       ...      t=11      t=12
|---------|---------|---------|---------|---------|
L=50M     
R         R         R         ...      R
(awal)    (awal)    (awal)             (awal)

Pembayaran di awal setiap bulan → annuity-due. Pembayaran pertama di $t=0$ , terakhir di $t=11$ .

3. Equation of Value (pada Focal Date $t = 0$ )

L = R \cdot \ddot{a}_{\overline{12}|0.01}

R = \frac{L}{\ddot{a}_{\overline{12}|0.01}}

4. Eksekusi Aljabar

Hitung $a_{\overline{12}|0.01}$ terlebih dahulu:

v^{12} = (1.01)^{-12} = 1/(1.12683) = 0.887449

a_{\overline{12}|0.01} = \frac{1 - 0.887449}{0.01} = \frac{0.112551}{0.01} = 11.2551

Hitung $\ddot{a}_{\overline{12}|0.01}$ :

\ddot{a}_{\overline{12}|0.01} = (1+i) \cdot a_{\overline{12}|0.01} = 1.01 \times 11.2551 = 11.3677

Solve $R$ :

R = \frac{50.000.000}{11.3677} = 4.398.050

5. Verification

Cek tanpa bunga: $12 \times 4.398.050 = 52.776.600 > 50.000.000$ ✓ (total bayar lebih dari pinjaman karena bunga)

Cek annuity-due vs immediate: Jika annuity-immediate, $R = 50.000.000/11.2551 = 4.442.000$ (lebih besar). Annuity-due lebih kecil karena pembayaran lebih awal → bunga lebih sedikit. ✓

Logika finansial: Karena pembayaran dilakukan di awal bulan, setiap pembayaran “bekerja” lebih lama untuk melunasi pinjaman. Sehingga cicilan annuity-due (Rp 4.398.050) lebih kecil dari cicilan annuity-immediate (Rp 4.442.000).

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 3–4 menit. Common trap: Menggunakan $a_{\overline{12}|}$ (annuity-immediate) padahal soal menyebut “awal bulan” (annuity-due). Shortcut: $\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|}$ — hitung $a$ dulu, lalu kalikan $(1+i)$ .

Soal C — Challenging

Seorang karyawan berencana menabung Rp 2.000.000 setiap awal bulan selama $n$ bulan. Tujuannya adalah mengumpulkan Rp 100.000.000 tepat di akhir bulan ke- $n$ (yaitu satu bulan setelah setoran terakhir). Suku bunga tabungan adalah 0.5% per bulan efektif. Tentukan nilai $n$ minimum (integer) yang diperlukan.

Data yang diberikan:

Setoran $R = 2.000.000$ per bulan, di awal setiap bulan (annuity-due)
Target FV $= 100.000.000$ di akhir bulan ke- $n$ (satu bulan setelah setoran terakhir)
$i = 0.5\% = 0.005$ per bulan
Dicari: $n$ minimum (integer)

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

$R = 2.000.000$ , $i = 0.005$ , Target $= 100.000.000$
Setoran di awal bulan → annuity-due
FV diukur satu bulan setelah setoran terakhir (di $t=n$ , jika setoran terakhir di $t=n-1$ )
Ini adalah FV annuity-due dievaluasi di $t=n$ : $\ddot{s}_{\overline{n}|0.005}$

2. Time Diagram

t=0       t=1       t=2       ...    t=n-1     t=n
|---------|---------|---------|-------|---------|
2M        2M        2M        ...    2M        ← FV = 100M
(setoran) (setoran) (setoran)       (setoran)

Setoran terakhir di $t=n-1$ (awal bulan ke- $n$ ). FV dihitung di $t=n$ .

3. Equation of Value (pada Focal Date $t = n$ )

R \cdot \ddot{s}_{\overline{n}|0.005} = 100.000.000

\ddot{s}_{\overline{n}|0.005} = \frac{100.000.000}{2.000.000} = 50

\frac{(1.005)^n - 1}{d} = 50

di mana $d = 0.005/1.005 = 0.004975$ .

4. Eksekusi Aljabar

(1.005)^n - 1 = 50 \times 0.004975 = 0.24876

(1.005)^n = 1.24876

n = \frac{\ln(1.24876)}{\ln(1.005)} = \frac{0.22218}{0.004988} = 44.55

Karena $n$ harus integer dan kita butuh FV $\geq 100.000.000$ :

Verify $n = 44$ :

(1.005)^{44} = e^{44 \times 0.004988} = e^{0.21947} = 1.24537

\ddot{s}_{\overline{44}|0.005} = \frac{1.24537 - 1}{0.004975} = \frac{0.24537}{0.004975} = 49.32

FV(n=44) = 2.000.000 \times 49.32 = 98.640.000 < 100.000.000 \quad \text{(belum cukup)}

Verify $n = 45$ :

(1.005)^{45} = 1.24537 \times 1.005 = 1.25160

\ddot{s}_{\overline{45}|0.005} = \frac{1.25160 - 1}{0.004975} = \frac{0.25160}{0.004975} = 50.57

FV(n=45) = 2.000.000 \times 50.57 = 101.140.000 > 100.000.000 \quad \checkmark

Minimum $n = 45$ bulan

5. Verification

Cek tanpa bunga: $100.000.000 / 2.000.000 = 50$ setoran. Dengan bunga, butuh lebih sedikit → $n = 45 < 50$ ✓

Cek $n=44$ tidak cukup: $98.640.000 < 100.000.000$ ✓

Logika finansial: Karyawan butuh 45 bulan setoran Rp 2M/bulan (di awal bulan) untuk mencapai Rp 100M di akhir bulan ke-45. Total setoran = $45 \times 2.000.000 = 90.000.000$ ; bunga yang diperoleh = $101.140.000 - 90.000.000 = 11.140.000$ .

[!WARNING] Exam Tips — Soal C Target waktu: 5–6 menit. Common trap: Menggunakan $s_{\overline{n}|}$ (annuity-immediate FV) padahal setoran di awal bulan → harus $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ . Shortcut: Solve $n$ dari logaritma, lalu round up (karena butuh FV $\geq$ target).

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Batas Nilai Annuity›

$a_{\overline{n}|} < n$ : PV annuity selalu lebih kecil dari jumlah pembayaran (karena discounting).
$s_{\overline{n}|} > n$ : FV annuity selalu lebih besar dari jumlah pembayaran (karena accumulation).
$\ddot{a}_{\overline{n}|} > a_{\overline{n}|}$ : Annuity-due PV selalu lebih besar (pembayaran lebih awal).
$\ddot{s}_{\overline{n}|} > s_{\overline{n}|}$ : Annuity-due FV selalu lebih besar.

✓Hubungan PV dan FV›

$s_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|} \cdot (1+i)^n$ : FV = PV × accumulation factor.
$\frac{1}{a_{\overline{n}|}} = \frac{1}{s_{\overline{n}|}} + i$ : Useful untuk verify payment calculations.
Limit check: Saat $i \to 0$ , $a_{\overline{n}|} \to n$ dan $s_{\overline{n}|} \to n$ (no interest, PV = FV = total payments).

✓Annuity-Due vs Annuity-Immediate›

$\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|}$ : Selalu bisa verify dengan multiply.
$\ddot{a}_{\overline{n}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|}$ : Annuity-due = immediate payment + PV of $(n-1)$ -period annuity-immediate.
$s_{\overline{n}|} = \ddot{s}_{\overline{n-1}|} + 1$ : FV annuity-immediate = FV of $(n-1)$ -period annuity-due + 1.

Metode Alternatif

Recursive/Prospective Method:

a_{\overline{n}|} = 1 \cdot v + a_{\overline{n-1}|} \cdot v = v(1 + a_{\overline{n-1}|})

Berguna untuk build up annuity values secara iteratif.

Annuity-Due sebagai Annuity-Immediate + 1 Payment:

\ddot{a}_{\overline{n}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|}

Interpretasi: annuity-due adalah pembayaran sekarang (1 unit di $t=0$ ) plus annuity-immediate $(n-1)$ periode.

Section 6 — Visualisasi Mental

Time Diagram Perbandingan Annuity-Immediate vs Annuity-Due:

Annuity-Immediate (n=4):
t=0    t=1    t=2    t=3    t=4
|------|------|------|------|
       [1]    [1]    [1]    [1]   ← pembayaran di akhir periode
PV →   ↑      ↑      ↑      ↑
       v      v²     v³     v⁴

Annuity-Due (n=4):
t=0    t=1    t=2    t=3    t=4
|------|------|------|------|
[1]    [1]    [1]    [1]          ← pembayaran di awal periode
PV →   ↑      ↑      ↑      ↑
       1      v      v²     v³

PV vs $n$ curve:

Grafik dengan sumbu X = $n$ (jumlah periode), sumbu Y = $a_{\overline{n}|}$ .

Kurva meningkat dan concave (diminishing returns)
Saat $n \to \infty$ : $a_{\overline{n}|} \to 1/i$ (perpetuity value)
Semakin tinggi $i$ , kurva semakin rendah (higher discount rate → lower PV)

FV vs $n$ curve:

Grafik dengan sumbu X = $n$ , sumbu Y = $s_{\overline{n}|}$ .

Kurva meningkat dan convex (accelerating growth)
Semakin tinggi $i$ , kurva semakin curam (higher rate → faster accumulation)

Hubungan Visual ↔ Rumus

Setiap batang di time diagram = satu suku dalam deret geometri:

a_{\overline{n}|} = \underbrace{v}_{\text{t=1}} + \underbrace{v^2}_{\text{t=2}} + \cdots + \underbrace{v^n}_{\text{t=n}}

Perpindahan dari PV ke FV = geser semua cash flows ke kanan $n$ periode:

s_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|} \times (1+i)^n

Perpindahan dari annuity-immediate ke annuity-due = geser semua cash flows ke kiri 1 periode:

\ddot{a}_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|} \times (1+i)

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Contoh Salah: Pinjaman 5 tahun dengan cicilan bulanan. Menggunakan $n = 5$ (years) dan $i = 6\%$ (annual) instead of $n = 60$ (months) dan $i = 0.5\%$ (monthly).

Benar: Konversi semua ke unit yang sama. Jika cicilan bulanan, gunakan $n$ dalam bulan dan $i$ per bulan. Jika annual rate nominal convertible monthly: $i_{\text{monthly}} = i^{(12)}/12$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Annuity-immediate vs annuity-due: “Pembayaran di akhir bulan” = annuity-immediate ( $a$ ). “Pembayaran di awal bulan” = annuity-due ( $\ddot{a}$ ). Jangan tertukar.
FV annuity-due timing: $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ dievaluasi di $t=n$ (satu periode SETELAH pembayaran terakhir di $t=n-1$ ). Bukan di $t=n-1$ .
$a_{\overline{n}|}$ sudah include semua $n$ pembayaran: Tidak perlu tambah 1 atau kurangi 1 dari $n$ .
$s_{\overline{n}|}$ bukan $a_{\overline{n}|} \times (1+i)^{n+1}$ : $s_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|} \times (1+i)^n$ , bukan $(1+i)^{n+1}$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Ambiguitas: “Pembayaran pertama satu tahun dari sekarang” = annuity-immediate (pembayaran di akhir periode pertama). “Pembayaran pertama sekarang” = annuity-due.

Ambiguitas FV: “Nilai di akhir tahun ke- $n$ ” bisa berarti tepat setelah pembayaran terakhir (annuity-immediate FV = $s_{\overline{n}|}$ ) atau satu periode setelah pembayaran terakhir (annuity-due FV = $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ ). Baca soal dengan teliti.

▲Red Flags›

“Pembayaran di awal periode/bulan/tahun”: Trigger untuk annuity-due ( $\ddot{a}$ atau $\ddot{s}$ ).
“Pembayaran di akhir periode/bulan/tahun”: Trigger untuk annuity-immediate ( $a$ atau $s$ ).
“Nominal rate convertible monthly”: Bagi dengan 12 untuk monthly rate sebelum gunakan formula.
“Nilai sekarang” vs “nilai di masa depan”: Tentukan apakah soal minta PV ( $a$ atau $\ddot{a}$ ) atau FV ( $s$ atau $\ddot{s}$ ).

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

PV annuity-immediate: $a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}$
FV annuity-immediate: $s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$
Annuity-due = $(1+i)$ × annuity-immediate: $\ddot{a}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|i}, \quad \ddot{s}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|i}$
FV = PV × accumulation: $s_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i} \cdot (1+i)^n$
Perpetuity limit: $a_{\overline{\infty}|i} = \frac{1}{i}, \quad \ddot{a}_{\overline{\infty}|i} = \frac{1}{d}$

Kapan Digunakan

Trigger keywords: “pembayaran periodik,” “cicilan,” “setoran rutin,” “annuity,” “present value of payments,” “accumulated value of deposits.”
Tipe skenario soal:
- Hitung PV atau FV dari serangkaian pembayaran level.
- Hitung besar pembayaran $R$ dari PV atau FV yang diketahui.
- Hitung $n$ (jumlah periode) dari PV, FV, dan $R$ yang diketahui.
- Hitung $i$ (yield) dari PV, FV, dan $R$ (membutuhkan interpolation).
- Aplikasi: cicilan pinjaman, tabungan pensiun, PV coupon stream obligasi.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jika pembayaran tidak level: Gunakan 2.3 Varying Annuities (geometric atau arithmetic).
Jika ada jeda sebelum pembayaran pertama: Gunakan 2.5 Deferred Annuities ( $_{m|}a_{\overline{n}|}$ ).
Jika pembayaran berlangsung selamanya: Gunakan 2.2 Perpetuity ( $a_{\overline{\infty}|}$ ).
Jika pembayaran lebih sering dari compounding: Gunakan annuity payable $m$ -thly [BEYOND CF1 jika $m \neq 1$ ].

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Serangkaian pembayaran<br>level periodik?"] -->|"Ya"| B["Pembayaran di awal<br>atau akhir periode?"]
    A -->|"Tidak"| Z["Lihat 2.3 Varying Annuities<br>atau 2.2 Perpetuity"]
    B -->|"Akhir periode"| C["Annuity-Immediate"]
    B -->|"Awal periode"| D["Annuity-Due"]
    C --> E["PV atau FV?"]
    D --> F["PV atau FV?"]
    E -->|"PV"| G["a(n,i) = (1-v^n)/i"]
    E -->|"FV"| H["s(n,i) = ((1+i)^n - 1)/i"]
    F -->|"PV"| I["a-due = (1+i) * a(n,i)"]
    F -->|"FV"| J["s-due = (1+i) * s(n,i)"]
    G --> K["Kalikan dengan<br>payment amount R"]
    H --> K
    I --> K
    J --> K

❝Follow-up Options›

“Berikan contoh soal variasi annuity dengan nominal rate convertible quarterly”
“Jelaskan hubungan 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due dengan 4.2 Amortization Method”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Vaaler Bab 3–4, Kellison Bab 3–4 | 🗓️ 2026-02-18 | #CF1 #Annuity #AnnuityImmediate #AnnuityDue #PresentValue #FutureValue