CF2 · Materi 4.8

Uji Hipotesis

2026-02-21 Hard Bobot: 25–35% Hogg-Tanis-Zimmerman (2015) Bab 6.1–6.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.4–4.6; Miller et al. (2014) Bab 9.1–9.5; Walpole et al. (2012) Bab 10.1–10.5

CF2InferensStatistikUjiHipotesisHypothesisTestingZTestTTestChiKuadratFTestPValueErrorTipeIErrorTipeIIPowerTopikEmpat

📊 4.8 — Uji Hipotesis

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Uji Hipotesis — Kerangka Umum, Z-test, t-test, $\chi^2$ -test, F-test | Bobot: ~25–35% | Difficulty: Hard Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 6.1–6.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.4–4.6; Miller et al. (2014) Bab 9.1–9.5; Walpole et al. (2012) Bab 10.1–10.5 | Prereq: 4.1 Penarikan Sampel Acak, 4.2 Distribusi Sampel, 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT), 4.7 Interval Kepercayaan

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 4: Inferensi Statistik	4.8	Merumuskan $H_0$ dan $H_1$ (satu sisi & dua sisi); mendefinisikan dan menghitung statistik uji $Z$ , $t$ , $\chi^2$ , $F$ ; menentukan wilayah penolakan (rejection region) dari level signifikansi $\alpha$ ; menghitung dan menginterpretasikan $p$ -value; membedakan Tipe I error ( $\alpha$ ), Tipe II error ( $\beta$ ), dan daya uji (power $= 1-\beta$ ); melaksanakan uji satu sampel untuk $\mu$ ( $\sigma^2$ diketahui/tidak), untuk $\sigma^2$ , uji dua sampel untuk $\mu_1-\mu_2$ (independen & berpasangan), dan uji $F$ untuk $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ ; mengaitkan uji hipotesis dengan interval kepercayaan	25–35%	Hard	4.1 Penarikan Sampel Acak, 4.2 Distribusi Sampel, 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT), 4.7 Interval Kepercayaan	4.7 Interval Kepercayaan, 4.9 Uji Goodness-of-Fit, 4.10 Regresi Linear Sederhana	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 6.1–6.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.4–4.6; Miller et al. (2014) Bab 9.1–9.5; Walpole et al. (2012) Bab 10.1–10.5

Section 1 — Intuisi

Seorang aktuaris menduga bahwa rata-rata klaim dari polis asuransi jiwa baru lebih rendah dari Rp 150 juta — nilai historis perusahaan. Ia mengambil sampel 40 polis, menghitung $\bar{x} = 143$ juta, dan bertanya: “Apakah perbedaan ini cukup besar untuk menyimpulkan bahwa mean populasi benar-benar berubah, ataukah hanya fluktuasi acak sampel?” Inilah pertanyaan inti uji hipotesis (hypothesis testing): membedakan sinyal nyata dari kebisingan acak (noise).

Kerangka uji hipotesis bekerja dengan logika bukti ex contrario — mirip dengan pembuktian dalam hukum. Kita mulai dengan hipotesis nol $H_0$ yang menyatakan “tidak ada perubahan” atau “tidak ada efek” — anggap ini sebagai “praduga tak bersalah”. Kemudian data memberikan bukti berupa statistik uji. Jika bukti cukup ekstrem (probabilitasnya kecil di bawah $H_0$ ), kita tolak $H_0$ dan menerima hipotesis alternatif $H_1$ . Jika tidak cukup ekstrem, kita gagal menolak $H_0$ — bukan berarti $H_0$ terbukti benar, hanya saja bukti tidak cukup kuat untuk menolaknya.

Dua jenis kesalahan bisa terjadi: Tipe I (menolak $H_0$ yang sebenarnya benar — false positive) dan Tipe II (gagal menolak $H_0$ yang sebenarnya salah — false negative). Level signifikansi $\alpha$ adalah batas maksimum yang kita toleransi untuk Tipe I — biasanya 0,01, 0,05, atau 0,10. Daya uji (power) $= 1 - \beta$ mengukur kemampuan mendeteksi efek nyata. Ada trade-off inheren: untuk ukuran sampel tetap, memperkecil $\alpha$ (lebih ketat) akan memperbesar $\beta$ (lebih sering gagal mendeteksi efek nyata). Satu-satunya cara memperkecil keduanya sekaligus adalah memperbesar $n$ .

$p$ -value adalah probabilitas mendapat statistik uji se-ekstrem atau lebih ekstrem dari yang terobservasi, jika $H_0$ benar. $p$ -value kecil berarti data sangat tidak konsisten dengan $H_0$ — semakin kecil $p$ -value, semakin kuat bukti melawan $H_0$ . Keputusan: tolak $H_0$ jika $p \leq \alpha$ .

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Hipotesis Statistik: Pernyataan tentang parameter populasi $\theta$ : $H_0: \theta \in \Theta_0 \quad \text{(hipotesis nol)}, \qquad H_1: \theta \in \Theta_1 \quad \text{(hipotesis alternatif)}$ di mana $\Theta_0 \cap \Theta_1 = \emptyset$ dan $\Theta_0 \cup \Theta_1 = \Theta$ (semua nilai yang mungkin).

Tipe Hipotesis Alternatif: $H_1: \theta \neq \theta_0 \quad \text{(dua sisi)}, \quad H_1: \theta > \theta_0 \quad \text{(satu sisi kanan)}, \quad H_1: \theta < \theta_0 \quad \text{(satu sisi kiri)}$

Statistik Uji (Test Statistic): Fungsi dari data sampel $T = T(X_1,\ldots,X_n)$ yang digunakan untuk mengambil keputusan. Distribusi $T$ di bawah $H_0$ diketahui dan digunakan untuk menentukan wilayah penolakan.

$p$ -value: $p\text{-value} = P(T \text{ se-ekstrem atau lebih} \mid H_0 \text{ benar})$

Dua sisi: $p = P(|T| \geq |t_{\text{obs}}| \mid H_0)$
Satu sisi kanan: $p = P(T \geq t_{\text{obs}} \mid H_0)$
Satu sisi kiri: $p = P(T \leq t_{\text{obs}} \mid H_0)$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$H_0$	Hipotesis nol	Pernyataan “status quo”; ditolak atau gagal ditolak (tidak pernah “diterima”)
$H_1$ (atau $H_a$ )	Hipotesis alternatif	Yang ingin dibuktikan; satu sisi atau dua sisi
$\alpha$	Level signifikansi	$= P(\text{Tipe I error}) = P(\text{tolak }H_0 \mid H_0 \text{ benar})$ ; dipilih sebelum uji
$\beta$	Probabilitas Tipe II error	$= P(\text{gagal tolak }H_0 \mid H_1 \text{ benar})$ ; bergantung pada nilai $\theta$ di bawah $H_1$
$1-\beta$	Daya uji (power)	Probabilitas mendeteksi efek nyata; idealnya mendekati 1
$t_{\text{obs}}$	Nilai statistik uji terobservasi	Bilangan tetap dihitung dari data; dibandingkan dengan nilai kritis
$z_\alpha$	Nilai kritis $N(0,1)$ ekor kanan $\alpha$	$P(Z > z_\alpha) = \alpha$ ; contoh: $z_{0{,}05} = 1{,}645$ , $z_{0{,}025} = 1{,}96$
$t_\alpha(\nu)$	Nilai kritis $t(\nu)$ ekor kanan $\alpha$	$P(t(\nu) > t_\alpha(\nu)) = \alpha$
$\chi^2_\alpha(\nu)$	Nilai kritis $\chi^2(\nu)$ ekor kanan $\alpha$	$P(\chi^2(\nu) > \chi^2_\alpha(\nu)) = \alpha$
$F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$	Nilai kritis $F(\nu_1,\nu_2)$ ekor kanan $\alpha$	$P(F(\nu_1,\nu_2) > F_\alpha(\nu_1,\nu_2)) = \alpha$
$S_p^2$	Variansi pooled	$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$ ; digunakan saat $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ diasumsikan

Tabel Master: Semua Uji Hipotesis Utama

Uji	Parameter	$H_0$	Statistik Uji	Distribusi di bawah $H_0$	Asumsi
Z-test satu sampel	$\mu$	$\mu = \mu_0$	$Z = \dfrac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}}$	$N(0,1)$	$\sigma^2$ diketahui; Normal atau $n$ besar
t-test satu sampel	$\mu$	$\mu = \mu_0$	$T = \dfrac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$\sigma^2$ tidak diketahui; populasi Normal
$\chi^2$ -test variansi	$\sigma^2$	$\sigma^2 = \sigma_0^2$	$\chi^2 = \dfrac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2}$	$\chi^2(n-1)$	Populasi Normal
t-test dua sampel independen (variansi sama)	$\mu_1-\mu_2$	$\mu_1=\mu_2$	$T = \dfrac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{S_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}}$	$t(n_1+n_2-2)$	Populasi Normal, $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ , independen
t-test dua sampel independen (variansi beda)	$\mu_1-\mu_2$	$\mu_1=\mu_2$	$T = \dfrac{\bar{X}_1-\bar{X}_2}{\sqrt{S_1^2/n_1+S_2^2/n_2}}$	$t(\nu^*)$ Welch	Populasi Normal, $\sigma_1^2\neq\sigma_2^2$
t-test berpasangan	$\mu_D = \mu_1-\mu_2$	$\mu_D=0$	$T = \dfrac{\bar{D}}{S_D/\sqrt{n}}$	$t(n-1)$	$D_i = X_{1i}-X_{2i}$ Normal; data berpasangan
F-test variansi	$\sigma_1^2/\sigma_2^2$	$\sigma_1^2=\sigma_2^2$	$F = S_1^2/S_2^2$	$F(n_1-1,n_2-1)$	Populasi Normal, dua sampel independen

Wilayah Penolakan per Tipe Alternatif

$H_1$	Wilayah Penolakan	$p$ -value
$\theta \neq \theta_0$ (dua sisi)	$\\|T\\| > c_{\alpha/2}$	$2P(T \geq \\|t_{\text{obs}}\\|)$
$\theta > \theta_0$ (satu sisi kanan)	$T > c_\alpha$	$P(T \geq t_{\text{obs}})$
$\theta < \theta_0$ (satu sisi kiri)	$T < -c_\alpha$	$P(T \leq t_{\text{obs}})$

di mana $c_\alpha$ adalah nilai kritis distribusi yang sesuai pada level $\alpha$ .

Rumus Utama — Kerangka Pengambilan Keputusan

\text{Tolak } H_0 \iff p\text{-value} \leq \alpha \iff |T_{\text{obs}}| > c_{\alpha/2} \text{ (dua sisi)}

Label: Kesetaraan Keputusan — tiga cara pengambilan keputusan yang selalu konsisten: via $p$ -value, via wilayah penolakan, dan via interval kepercayaan.

\alpha = P(\text{Tipe I}) = P(\text{tolak } H_0 \mid H_0 \text{ benar}), \qquad \beta = P(\text{Tipe II}) = P(\text{gagal tolak } H_0 \mid H_1 \text{ benar})

Label: Dua Jenis Kesalahan — $\alpha$ dikendalikan oleh pemilihan level signifikansi; $\beta$ bergantung pada nilai $\theta$ yang sebenarnya di bawah $H_1$ .

\text{Power}(\theta) = 1 - \beta(\theta) = P(\text{tolak } H_0 \mid \theta \text{ adalah nilai sebenarnya})

Label: Fungsi Daya Uji — probabilitas mendeteksi bahwa $H_0$ salah ketika nilai parameter sesungguhnya adalah $\theta$ ; fungsi dari $\theta$ , $n$ , $\alpha$ , dan statistik uji.

\text{df Welch} = \nu^* = \frac{(S_1^2/n_1 + S_2^2/n_2)^2}{\dfrac{(S_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(S_2^2/n_2)^2}{n_2-1}}

Label: Derajat Kebebasan Welch (t-test Dua Sampel Variansi Berbeda) — aproksimasi df untuk uji Welch-Satterthwaite; selalu dibulatkan ke bawah ke integer.

\text{Hubungan IC dan Uji}: \quad \theta_0 \notin \text{IC}_{1-\alpha}(\theta) \iff \text{tolak } H_0: \theta = \theta_0 \text{ pada level } \alpha

Label: Dualitas Interval Kepercayaan dan Uji Hipotesis — IC dua sisi $1-\alpha$ dan uji dua sisi pada level $\alpha$ selalu menghasilkan keputusan yang sama; interval kepercayaan memberikan informasi lebih kaya daripada keputusan biner.

Asumsi Eksplisit

Z-test: $\sigma^2$ diketahui dan populasi Normal (eksak) atau $n \geq 30$ (aproksimasi CLT). Dalam praktik sangat jarang karena $\sigma^2$ hampir tidak pernah diketahui.
t-test satu sampel: Populasi Normal dengan $\sigma^2$ tidak diketahui. Robust terhadap deviasi ringan dari normalitas untuk $n \geq 15$ .
t-test dua sampel pooled: Kedua populasi Normal dengan variansi sama ( $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ ); dua sampel independen. Sebaiknya lakukan F-test terlebih dahulu untuk memeriksa asumsi variansi sama.
t-test berpasangan: Perbedaan $D_i = X_{1i} - X_{2i}$ harus Normal (atau $n$ cukup besar); data harus berpasangan secara natural (pengukuran sebelum-sesudah, atau pasangan yang cocok).
$\chi^2$ -test variansi: Populasi Normal — uji ini sangat tidak robust terhadap deviasi normalitas; bahkan deviasi ringan dapat memengaruhi validitasnya secara signifikan.
F-test variansi: Kedua populasi Normal, dua sampel independen — seperti $\chi^2$ -test, sangat sensitif terhadap asumsi normalitas.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Mengapa statistik uji terdistribusi seperti yang dinyatakan di bawah $H_0$ ?

Untuk Z-test: jika $H_0: \mu = \mu_0$ benar dan $X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu_0, \sigma^2)$ , maka: $\bar{X} \sim N\!\left(\mu_0, \frac{\sigma^2}{n}\right) \implies Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$

Untuk t-test: mengganti $\sigma$ dengan $S$ menghasilkan $T = (\bar{X}-\mu_0)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$ (Fisher’s Theorem). Distribusi- $t$ berlaku eksak untuk populasi Normal; untuk populasi non-Normal dengan $n$ besar, CLT memastikan $T$ mendekati $N(0,1)$ .

Untuk $\chi^2$ -test: dari Fisher’s Theorem, $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ . Jika $H_0: \sigma^2 = \sigma_0^2$ benar: $(n-1)S^2/\sigma_0^2 \sim \chi^2(n-1)$ .

Untuk F-test: $F = S_1^2/S_2^2 = [(n_1-1)S_1^2/\sigma_1^2/(n_1-1)] / [(n_2-1)S_2^2/\sigma_2^2/(n_2-1)]$ . Jika $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ benar, faktor $\sigma^2$ hilang dan $F \sim F(n_1-1, n_2-1)$ .

◈Lima Langkah Baku Uji Hipotesis›

Setiap soal uji hipotesis harus diselesaikan dengan urutan langkah yang sama:

Langkah 1 — Rumuskan Hipotesis: Nyatakan $H_0$ dan $H_1$ secara eksplisit dalam bentuk parameter ( $\mu$ , $\sigma^2$ , dsb.), bukan dalam kata-kata saja. Tentukan apakah uji satu sisi atau dua sisi berdasarkan konteks soal.

Langkah 2 — Pilih Statistik Uji dan Distribusinya di bawah $H_0$ : Identifikasi uji yang sesuai dari tabel master (Z, $t$ , $\chi^2$ , $F$ ). Sebutkan distribusi di bawah $H_0$ beserta derajat kebebasannya.

Langkah 3 — Tentukan Wilayah Penolakan atau Nilai Kritis: Dari level signifikansi $\alpha$ dan distribusi di langkah 2, tentukan nilai kritis $c_\alpha$ atau $c_{\alpha/2}$ . Wilayah penolakan bergantung pada arah $H_1$ .

Langkah 4 — Hitung Statistik Uji dari Data: Substitusikan nilai sampel ( $\bar{x}$ , $s$ , $n$ , dsb.) ke formula statistik uji. Ini menghasilkan satu bilangan $t_{\text{obs}}$ .

Langkah 5 — Ambil Keputusan dan Interpretasikan: Bandingkan $t_{\text{obs}}$ dengan nilai kritis (atau hitung $p$ -value). Nyatakan keputusan dalam konteks masalah asli — bukan hanya “tolak” atau “gagal tolak” secara abstrak.

Derivasi Daya Uji untuk Z-test Satu Sisi:

Untuk uji satu sisi kanan $H_1: \mu > \mu_0$ dengan statistik $Z = (\bar{X}-\mu_0)/(\sigma/\sqrt{n})$ :

Wilayah penolakan: $Z > z_\alpha$ , ekuivalen dengan $\bar{X} > \mu_0 + z_\alpha \cdot \sigma/\sqrt{n} := c$ .

Daya pada nilai alternatif $\mu_1 > \mu_0$ :

\text{Power}(\mu_1) = P(\bar{X} > c \mid \mu = \mu_1) = P\!\left(Z > \frac{c - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\right) = 1 - \Phi\!\left(\frac{c - \mu_1}{\sigma/\sqrt{n}}\right)

Substitusi $c = \mu_0 + z_\alpha \cdot \sigma/\sqrt{n}$ :

\text{Power}(\mu_1) = 1 - \Phi\!\left(z_\alpha - \frac{(\mu_1-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{(\mu_1-\mu_0)\sqrt{n}}{\sigma} - z_\alpha\right)

Untuk dua sisi ( $H_1: \mu \neq \mu_0$ ), aproksimasi yang biasa digunakan: $\text{Power}(\mu_1) \approx \Phi\!\left(\frac{|\mu_1-\mu_0|\sqrt{n}}{\sigma} - z_{\alpha/2}\right)$

Ukuran Sampel untuk Daya Target:

Untuk mencapai $\text{Power}(\mu_1) \geq 1-\beta$ pada uji satu sisi:

n \geq \left(\frac{(z_\alpha + z_\beta)\,\sigma}{\mu_1 - \mu_0}\right)^2

Untuk uji dua sisi, ganti $z_\alpha$ dengan $z_{\alpha/2}$ .

Hubungan IC dengan Uji Hipotesis (Dualitas):

IC dua sisi $1-\alpha$ untuk $\mu$ : $\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot s/\sqrt{n}$ .

Tolak $H_0: \mu = \mu_0$ pada level $\alpha$ $\iff$ $\mu_0$ berada di luar IC $1-\alpha$ $\iff$ $|t_{\text{obs}}| > t_{\alpha/2}(n-1)$ .

Dualitas ini berarti IC memberikan semua informasi yang diberikan uji hipotesis ditambah ukuran efek — IC selalu lebih informatif dari sekadar keputusan biner.

✘Dilarang›

Dilarang menyimpulkan ” $H_0$ terbukti benar” atau ” $H_0$ diterima” ketika gagal menolak $H_0$ . Ketidakmampuan menolak $H_0$ tidak berarti $H_0$ benar — hanya berarti bukti tidak cukup kuat. Frasa yang benar: “gagal menolak $H_0$ ” atau “tidak cukup bukti untuk menolak $H_0$ ”.
Dilarang mengubah level signifikansi $\alpha$ setelah melihat data. $\alpha$ harus dipilih sebelum pengumpulan data. Menyesuaikan $\alpha$ agar keputusan sesuai harapan adalah manipulasi statistik (p-hacking).
Dilarang menginterpretasikan $p$ -value sebagai probabilitas bahwa $H_0$ benar. $p$ -value adalah $P(\text{data se-ekstrem} \mid H_0 \text{ benar})$ — bukan $P(H_0 \text{ benar} \mid \text{data})$ . Keduanya sangat berbeda (Teorema Bayes diperlukan untuk yang kedua).

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah perusahaan asuransi mengklaim bahwa rata-rata waktu penyelesaian klaim adalah $\mu_0 = 14$ hari. Seorang regulator mengambil sampel acak $n = 25$ klaim dan memperoleh $\bar{x} = 15{,}8$ hari dan $s = 4{,}5$ hari. Asumsikan waktu penyelesaian berdistribusi Normal.

(a) Rumuskan $H_0$ dan $H_1$ untuk menguji apakah rata-rata berbeda dari 14 hari. Tentukan level signifikansi $\alpha = 0{,}05$ . (b) Identifikasi statistik uji yang sesuai beserta distribusinya di bawah $H_0$ . Jelaskan mengapa $t$ -test, bukan $Z$ -test. (c) Hitung nilai statistik uji $t_{\text{obs}}$ dan tentukan wilayah penolakan. (d) Hitung $p$ -value dan ambil keputusan. (e) Bangun IC $95\%$ untuk $\mu$ dan verifikasi konsistensinya dengan keputusan uji hipotesis.

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

$n = 25$ ; $\bar{x} = 15{,}8$ ; $s = 4{,}5$ ; $\mu_0 = 14$
$\sigma^2$ tidak diketahui; populasi Normal
df $= n-1 = 24$

2. Identifikasi Distribusi / Model $\sigma^2$ tidak diketahui → t-test satu sampel. Statistik $T = (\bar{X}-\mu_0)/(S/\sqrt{n}) \sim t(24)$ di bawah $H_0$ .

3. Setup Persamaan

Lima langkah baku:

4. Eksekusi Aljabar

(a) Hipotesis: $H_0: \mu = 14 \quad \text{vs} \quad H_1: \mu \neq 14 \quad (\text{dua sisi}), \quad \alpha = 0{,}05$

(b) Statistik uji dan justifikasi:

Gunakan t-test karena $\sigma^2$ tidak diketahui dan diestimasi dengan $s^2$ . Jika digunakan Z-test, kita perlu $\sigma$ (diketahui), yang tidak diberikan dalam soal. Substitusi $s$ ke formula Z-test menghasilkan distribusi $t$ , bukan Normal standar (Fisher’s Theorem).

$T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(24) \quad \text{di bawah } H_0$

(c) Nilai kritis, wilayah penolakan, dan $t_{\text{obs}}$ :

Nilai kritis (dua sisi, $\alpha = 0{,}05$ , df $= 24$ ): $t_{\alpha/2}(24) = t_{0{,}025}(24) = 2{,}064$

Wilayah penolakan: $|T| > 2{,}064$ , yaitu $T < -2{,}064$ atau $T > 2{,}064$ .

Hitung $t_{\text{obs}}$ : $t_{\text{obs}} = \frac{15{,}8 - 14}{4{,}5/\sqrt{25}} = \frac{1{,}8}{4{,}5/5} = \frac{1{,}8}{0{,}9} = 2{,}00$

(d) $p$ -value dan keputusan:

Karena uji dua sisi dan $t_{\text{obs}} = 2{,}00$ : $p\text{-value} = 2\,P(t(24) \geq 2{,}00) = 2 \times P(t(24) > 2{,}00)$

Dari tabel $t(24)$ : $P(t(24) > 2{,}064) = 0{,}025$ dan $P(t(24) > 1{,}711) = 0{,}05$ . Karena $t_{\text{obs}} = 2{,}00$ berada di antara keduanya: $0{,}05 < p\text{-value} < 0{,}10$

Lebih tepatnya: $p\text{-value} \approx 2 \times 0{,}029 = 0{,}058$ .

Keputusan: Karena $p\text{-value} \approx 0{,}058 > \alpha = 0{,}05$ , gagal menolak $H_0$ .

Juga: $|t_{\text{obs}}| = 2{,}00 < 2{,}064 = t_{0{,}025}(24)$ — tidak masuk wilayah penolakan.

Interpretasi: Pada level signifikansi 5%, tidak terdapat cukup bukti statistik bahwa rata-rata waktu penyelesaian klaim berbeda dari 14 hari. Namun, $p$ -value $\approx 0{,}058$ cukup dekat dengan 0,05 — hasil ini bersifat marginal dan mungkin signifikan pada $\alpha = 0{,}10$ .

(e) IC 95% dan dualitas:

$\text{IC}_{95\%}(\mu) = \bar{x} \pm t_{0{,}025}(24) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 15{,}8 \pm 2{,}064 \times 0{,}9 = 15{,}8 \pm 1{,}858 = (13{,}942;\; 17{,}658)$

Verifikasi dualitas: $\mu_0 = 14$ berada di dalam interval $(13{,}942;\; 17{,}658)$ → gagal menolak $H_0$ ✓. Konsisten dengan keputusan via $p$ -value.

5. Verification

$t_{\text{obs}} = 2{,}00$ : hitung ulang $(15{,}8 - 14)/(4{,}5/5) = 1{,}8/0{,}9 = 2{,}00$ ✓
$p$ -value $> \alpha$ : gagal tolak $H_0$ ; $\mu_0 \in$ IC: gagal tolak $H_0$ — kedua metode konsisten ✓
IC mencakup 14: $(13{,}94; 17{,}66)$ — 14 berada sangat dekat batas bawah, menjelaskan hasil marginal ✓

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 10–12 menit Common trap 1: $t_{\text{obs}} = 2{,}00 < t_{0{,}025}(24) = 2{,}064$ → gagal tolak. Banyak kandidat salah karena membandingkan $t_{\text{obs}}$ dengan $z_{0{,}025} = 1{,}96$ (menggunakan nilai kritis Normal, bukan $t$ ). Untuk $n=25$ dengan $\sigma$ tidak diketahui, selalu gunakan nilai kritis $t$ , bukan $z$ . Common trap 2: $p$ -value untuk uji dua sisi = dua kali probabilitas ekor satu sisi. Jangan lupa faktor 2. Shortcut: IC dan uji hipotesis selalu konsisten — jika IC dua sisi $1-\alpha$ sudah dihitung, cukup periksa apakah $\mu_0$ ada di dalam IC untuk keputusan tanpa perlu menghitung statistik uji secara terpisah.

Soal B — Exam-Typical

Sebuah perusahaan re-asuransi mengklaim bahwa variansi kerugian klaim dari dua lini bisnis (Lini A: $n_1=16$ sampel, $s_1^2 = 120$ ; Lini B: $n_2=21$ sampel, $s_2^2 = 45$ ) adalah sama. Diasumsikan kerugian berdistribusi Normal secara independen.

(a) Lakukan F-test untuk menguji $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ pada $\alpha = 0{,}10$ . (b) Hitung $p$ -value (pendekatan via tabel $F$ ). (c) Jika kesimpulan dari (a) adalah variansi berbeda, lakukan uji $H_0: \mu_1 = \mu_2$ menggunakan t-test Welch. Data tambahan: $\bar{x}_1 = 85$ , $\bar{x}_2 = 72$ . Hitung df Welch $\nu^*$ (pembulatan ke bawah). (d) Jika sebaliknya variansi sama, hitung statistik uji $t$ pooled dan tentukan distribusinya. (e) Sebuah auditor mengambil sampel $n=20$ klaim dari Lini A dan menguji $H_0: \sigma_1^2 = 100$ vs $H_1: \sigma_1^2 > 100$ pada $\alpha = 0{,}05$ . Data: $s^2 = 147$ . Lakukan uji $\chi^2$ lengkap.

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

Lini A: $n_1=16$ , $\bar{x}_1=85$ , $s_1^2=120$ ; df $_1 = 15$
Lini B: $n_2=21$ , $\bar{x}_2=72$ , $s_2^2=45$ ; df $_2 = 20$
Kedua populasi Normal, independen

2. Identifikasi Distribusi / Model F-test untuk variansi; t-test (pooled atau Welch) untuk mean tergantung hasil F-test; $\chi^2$ -test untuk variansi satu sampel.

3. Setup Persamaan

F-test: $F = S_1^2/S_2^2$ (peletakan numerator: variansi lebih besar di atas untuk kemudahan)

4. Eksekusi Aljabar

(a) F-test $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ :

$H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ vs $H_1: \sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ , $\alpha = 0{,}10$ .

Letakkan variansi lebih besar di numerator (konvensi umum untuk uji dua sisi): $F_{\text{obs}} = \frac{s_1^2}{s_2^2} = \frac{120}{45} = \frac{8}{3} \approx 2{,}667, \quad F \sim F(15, 20) \text{ di bawah } H_0$

Nilai kritis (dua sisi, $\alpha/2 = 0{,}05$ untuk ekor kanan karena $s_1^2 > s_2^2$ ): $F_{0{,}05}(15, 20) \approx 2{,}20$

Wilayah penolakan (ekor kanan karena $s_1^2 > s_2^2$ diletakkan di numerator): $F > F_{0{,}05}(15,20) = 2{,}20$ .

Keputusan: $F_{\text{obs}} = 2{,}667 > 2{,}20$ → Tolak $H_0$ .

Kesimpulan: Cukup bukti bahwa variansi kedua lini bisnis berbeda pada $\alpha = 0{,}10$ .

(b) $p$ -value F-test:

$p\text{-value} = 2 \times P(F(15,20) \geq 2{,}667)$ (karena dua sisi).

Dari tabel: $F_{0{,}05}(15,20) = 2{,}20$ dan $F_{0{,}025}(15,20) \approx 2{,}57$ . Karena $F_{\text{obs}} = 2{,}667 > 2{,}57$ : $P(F(15,20) \geq 2{,}667) < 0{,}025$

Maka $p\text{-value} = 2 \times P(\ldots) < 0{,}05$ . Lebih tepatnya: $p$ -value $\approx 2 \times 0{,}020 = 0{,}040$ .

(c) t-test Welch ( $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ ):

Statistik uji: $T_{\text{obs}} = \frac{\bar{x}_1 - \bar{x}_2}{\sqrt{s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2}} = \frac{85 - 72}{\sqrt{120/16 + 45/21}} = \frac{13}{\sqrt{7{,}5 + 2{,}143}} = \frac{13}{\sqrt{9{,}643}} = \frac{13}{3{,}105} = 4{,}187$

Derajat kebebasan Welch: $\nu^* = \frac{(s_1^2/n_1 + s_2^2/n_2)^2}{\dfrac{(s_1^2/n_1)^2}{n_1-1} + \dfrac{(s_2^2/n_2)^2}{n_2-1}} = \frac{(7{,}5 + 2{,}143)^2}{\dfrac{(7{,}5)^2}{15} + \dfrac{(2{,}143)^2}{20}}$

$= \frac{(9{,}643)^2}{\dfrac{56{,}25}{15} + \dfrac{4{,}592}{20}} = \frac{92{,}99}{3{,}75 + 0{,}230} = \frac{92{,}99}{3{,}980} = 23{,}37 \to \nu^* = 23$

Distribusi: $T \sim t(23)$ di bawah $H_0: \mu_1 = \mu_2$ .

Nilai kritis dua sisi $\alpha = 0{,}05$ : $t_{0{,}025}(23) = 2{,}069$ .

$T_{\text{obs}} = 4{,}187 > 2{,}069$ → Tolak $H_0$ . Cukup bukti $\mu_1 \neq \mu_2$ .

(d) t-test Pooled ( $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ — skenario alternatif):

$s_p^2 = \frac{(n_1-1)s_1^2 + (n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2} = \frac{15 \times 120 + 20 \times 45}{35} = \frac{1800 + 900}{35} = \frac{2700}{35} = 77{,}14$

$T_{\text{obs}} = \frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}} = \frac{13}{\sqrt{77{,}14}\sqrt{1/16+1/21}} = \frac{13}{8{,}783\sqrt{0{,}1101}} = \frac{13}{8{,}783 \times 0{,}3318} = \frac{13}{2{,}915} = 4{,}461$

Distribusi di bawah $H_0$ : $T \sim t(n_1+n_2-2) = t(35)$ .

(e) $\chi^2$ -test untuk $\sigma_1^2$ :

$H_0: \sigma_1^2 = 100$ vs $H_1: \sigma_1^2 > 100$ , $\alpha = 0{,}05$ , $n=20$ , $s^2=147$ .

Langkah 1: $H_0: \sigma^2 = 100$ , $H_1: \sigma^2 > 100$ (satu sisi kanan).

Langkah 2: $\chi^2 = (n-1)s^2/\sigma_0^2 \sim \chi^2(n-1) = \chi^2(19)$ di bawah $H_0$ .

Langkah 3: Nilai kritis (satu sisi kanan): $\chi^2_{0{,}05}(19) = 30{,}144$ . Wilayah penolakan: $\chi^2 > 30{,}144$ .

Langkah 4: $\chi^2_{\text{obs}} = \dfrac{(20-1) \times 147}{100} = \dfrac{19 \times 147}{100} = \dfrac{2793}{100} = 27{,}93$ .

Langkah 5: $\chi^2_{\text{obs}} = 27{,}93 < 30{,}144$ → Gagal menolak $H_0$ .

Interpretasi: Tidak cukup bukti bahwa variansi kerugian Lini A melebihi 100 pada level signifikansi 5%.

5. Verification

$F_{\text{obs}} = 120/45 = 8/3$ — pastikan pembilang adalah variansi lebih besar ✓
df Welch $\nu^* = 23$ (dibulatkan dari 23,37 ke bawah) — bukan 24 ✓
$\chi^2_{\text{obs}} = 19 \times 147/100 = 27{,}93$ : antara $\chi^2_{0{,}10}(19)=27{,}20$ dan $\chi^2_{0{,}05}(19)=30{,}14$ → $p$ -value $\approx 0{,}065$ → tidak tolak pada $\alpha=0{,}05$ ✓

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 16–19 menit Common trap 1 (F-test): Untuk uji dua sisi, nilai kritis adalah $F_{\alpha/2}(\nu_1,\nu_2)$ (bukan $F_\alpha$ ). Dengan $\alpha=0{,}10$ , gunakan $F_{0{,}05}(15,20)$ . Konvensi meletakkan variansi lebih besar di numerator memungkinkan kita hanya memeriksa ekor kanan. Common trap 2 (Welch df): Selalu bulatkan $\nu^*$ ke bawah, tidak ke atas dan tidak ke nearest integer. $23{,}37 \to 23$ , bukan 24. Common trap 3 ( $\chi^2$ -test): Statistik uji menggunakan $\sigma_0^2$ (dari $H_0$ ), bukan $s^2$ yang tidak diketahui. Formula: $(n-1)s^2/\sigma_0^2$ — bagi dengan nilai hipotesis, bukan variansi sampel.

Soal C — Challenging

Suatu studi membandingkan besarnya klaim sebelum dan sesudah implementasi program manajemen risiko baru. Sampel $n = 12$ polis yang sama diukur sebelum ( $X_{1i}$ ) dan sesudah ( $X_{2i}$ ) program, dengan data perbedaan $D_i = X_{1i} - X_{2i}$ (positif = klaim berkurang):

$d_1,\ldots,d_{12}: \quad 3, -1, 5, 2, 8, -2, 4, 6, 1, 3, 2, 5$

(a) Jelaskan mengapa harus menggunakan t-test berpasangan bukan t-test dua sampel independen. (b) Hitung $\bar{d}$ dan $s_D$ , lalu lakukan uji $H_0: \mu_D = 0$ vs $H_1: \mu_D > 0$ pada $\alpha = 0{,}05$ . (c) Hitung $p$ -value dan buat kesimpulan dalam konteks aktuaria. (d) Bangun IC $95\%$ satu sisi (batas bawah) untuk $\mu_D$ . (e) Hitung daya uji (power) jika nilai sebenarnya $\mu_D = 2$ dengan $\sigma_D \approx s_D$ yang dihitung di bagian (b). Gunakan aproksimasi Normal.

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

$n = 12$ pasangan; $D_i = X_{1i} - X_{2i}$
Data: $3, -1, 5, 2, 8, -2, 4, 6, 1, 3, 2, 5$
df $= n - 1 = 11$

2. Identifikasi Distribusi / Model t-test berpasangan: perlakukan $D_i$ sebagai satu sampel i.i.d. $\sim N(\mu_D, \sigma_D^2)$ .

3. Setup Persamaan

$T = (\bar{D} - 0)/(S_D/\sqrt{n}) \sim t(11)$ di bawah $H_0: \mu_D = 0$ .

4. Eksekusi Aljabar

(a) Justifikasi t-test berpasangan:

Data tidak independen: pengukuran sebelum dan sesudah diambil dari polis yang sama. Setiap pasangan $(X_{1i}, X_{2i})$ berkorelasi — karakteristik risiko polis memengaruhi keduanya. T-test dua sampel independen mengasumsikan $X_{1i} \perp X_{2i}$ , yang dilanggar di sini. T-test berpasangan menghilangkan variasi antar-polis dengan menganalisis perbedaan $D_i$ , menghasilkan uji yang lebih kuat (powerful).

(b) Hitung $\bar{d}$ , $s_D$ , dan statistik uji:

$\bar{d} = \frac{3+(-1)+5+2+8+(-2)+4+6+1+3+2+5}{12} = \frac{36}{12} = 3{,}00$

Hitung $\sum d_i^2$ : $3^2+1^2+5^2+2^2+8^2+2^2+4^2+6^2+1^2+3^2+2^2+5^2 = 9+1+25+4+64+4+16+36+1+9+4+25 = 198$

$s_D^2 = \frac{\sum d_i^2 - n\bar{d}^2}{n-1} = \frac{198 - 12 \times 9}{11} = \frac{198 - 108}{11} = \frac{90}{11} = 8{,}182$

$s_D = \sqrt{8{,}182} = 2{,}860$

Statistik uji: $t_{\text{obs}} = \frac{\bar{d}}{s_D/\sqrt{n}} = \frac{3{,}00}{2{,}860/\sqrt{12}} = \frac{3{,}00}{2{,}860/3{,}464} = \frac{3{,}00}{0{,}826} = 3{,}632$

Nilai kritis satu sisi kanan, $\alpha = 0{,}05$ , df $= 11$ : $t_{0{,}05}(11) = 1{,}796$

$t_{\text{obs}} = 3{,}632 > 1{,}796$ → Tolak $H_0$ .

(c) $p$ -value dan kesimpulan:

Satu sisi kanan: $p\text{-value} = P(t(11) \geq 3{,}632)$ .

Dari tabel: $t_{0{,}005}(11) = 3{,}106$ dan $t_{0{,}0025}(11) \approx 3{,}497$ . Karena $t_{\text{obs}} = 3{,}632 > 3{,}497$ : $p\text{-value} < 0{,}005$

Lebih tepatnya: $p$ -value $\approx 0{,}002$ .

Kesimpulan aktuaria: Pada level signifikansi 5% (bahkan 0,5%), terdapat bukti statistik yang sangat kuat bahwa program manajemen risiko baru berhasil mengurangi besarnya klaim secara rata-rata. Rata-rata pengurangan klaim yang diestimasi adalah Rp 3 juta per polis ( $\bar{d} = 3$ ).

(d) IC 95% satu sisi (batas bawah) untuk $\mu_D$ :

IC satu sisi kanan (memberikan batas bawah): $\mu_D > \bar{d} - t_{0{,}05}(11) \cdot \frac{s_D}{\sqrt{n}} = 3{,}00 - 1{,}796 \times 0{,}826 = 3{,}00 - 1{,}484 = 1{,}516$

IC: $\mu_D > 1{,}516$ juta rupiah dengan kepercayaan 95%.

Interpretasi: Rata-rata pengurangan klaim akibat program manajemen risiko adalah setidaknya Rp 1,516 juta per polis dengan kepercayaan 95%.

(e) Daya uji pada $\mu_D = 2$ :

Gunakan aproksimasi Normal untuk daya uji satu sisi kanan.

Dengan $\sigma_D \approx s_D = 2{,}860$ dan $n = 12$ , standar error $\approx 2{,}860/\sqrt{12} = 0{,}826$ .

Nilai kritis dalam skala $\bar{D}$ : $c = \mu_0 + t_{0{,}05}(11) \cdot \text{SE} = 0 + 1{,}796 \times 0{,}826 = 1{,}483$ .

Daya pada $\mu_D = 2$ : $\text{Power}(2) = P(\bar{D} > 1{,}483 \mid \mu_D = 2) = P\!\left(Z > \frac{1{,}483 - 2}{0{,}826}\right) = P(Z > -0{,}626)$ $= 1 - \Phi(-0{,}626) = \Phi(0{,}626) \approx 0{,}734$

Interpretasi: Jika pengurangan rata-rata sesungguhnya adalah Rp 2 juta, uji ini memiliki daya 73,4% untuk mendeteksinya — artinya 26,6% kemungkinan gagal mendeteksi efek nyata (Tipe II error) dengan $n=12$ .

5. Verification

$\bar{d} = 36/12 = 3{,}00$ ; cek: $\sum d_i = 3-1+5+2+8-2+4+6+1+3+2+5 = 36$ ✓
$s_D^2 = 90/11 = 8{,}182$ : selalu non-negatif; $s_D = 2{,}86$ lebih kecil dari range data ( $8-(-2)=10$ ) ✓
Daya 73,4% untuk efek $\mu_D = 2$ dengan $n=12$ : wajar — efek relatif kecil ( $2/2{,}86 \approx 0{,}7$ SD) dan $n$ tidak besar ✓
IC batas bawah $> 1{,}516$ : secara praktis bermakna (pengurangan setidaknya Rp 1,5 juta) ✓

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 18–22 menit Common trap 1: Menggunakan t-test dua sampel independen untuk data berpasangan adalah kesalahan konseptual serius. Kunci identifikasi: “polis yang sama diukur dua kali”, “sebelum-sesudah”, “pasangan yang cocok” (matched pairs) → selalu t-test berpasangan. Common trap 2: Formula $s_D^2 = (\sum d_i^2 - n\bar{d}^2)/(n-1)$ lebih cepat dari menghitung $(d_i - \bar{d})^2$ satu per satu untuk $n$ besar. Hafalkan bentuk komputasi ini. Common trap 3: IC satu sisi memberikan batas bawah (untuk $H_1: \mu_D > 0$ ), bukan interval dua sisi. Gunakan $t_\alpha$ (bukan $t_{\alpha/2}$ ) untuk IC satu sisi. Common trap 4: Untuk daya uji, aproksimasi Normal menggunakan $\sigma_D \approx s_D$ — ini menghasilkan aproksimasi, bukan nilai eksak. Nilai eksak memerlukan distribusi non-central $t$ yang di luar cakupan CF2.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi Pemilihan Uji›

Sebelum menghitung statistik uji apapun, jawab empat pertanyaan ini berurutan:

Parameter apa yang diuji? $\mu$ , $\sigma^2$ , atau $\mu_1-\mu_2$ , atau $\sigma_1^2/\sigma_2^2$ ? ✓
Berapa sampel? Satu, dua independen, atau dua berpasangan? ✓
Apakah $\sigma^2$ diketahui? Ya → $Z$ ; Tidak → $t$ (untuk $\mu$ ) ✓
Apakah populasi Normal atau $n$ cukup besar? Ini menentukan apakah distribusi berlaku eksak atau hanya aproksimasi ✓

✓Validasi Arah Wilayah Penolakan›

Dua sisi ( $H_1: \theta \neq \theta_0$ ): tolak jika $|T| > c_{\alpha/2}$ ; gunakan $z_{\alpha/2}$ atau $t_{\alpha/2}(\nu)$ ✓
Satu sisi kanan ( $H_1: \theta > \theta_0$ ): tolak jika $T > c_\alpha$ ; gunakan $z_\alpha$ atau $t_\alpha(\nu)$ ✓
Satu sisi kiri ( $H_1: \theta < \theta_0$ ): tolak jika $T < -c_\alpha$ ; gunakan $-z_\alpha$ atau $-t_\alpha(\nu)$ ✓
$p$ -value untuk dua sisi = dua kali ekor satu sisi ✓

✓Validasi Derajat Kebebasan›

Uji	df
t satu sampel	$n-1$
t dua sampel pooled	$n_1+n_2-2$
t Welch	$\nu^$ (hitung dan bulatkan ke bawah*)
t berpasangan	$n-1$ (bukan $2n-2$ !)
$\chi^2$ variansi	$n-1$
$F$ dua sampel	$(n_1-1, n_2-1)$

✓Validasi Keputusan via Dua Metode›

Selalu verifikasi menggunakan minimal dua cara berbeda:

Metode wilayah penolakan: $|T_{\text{obs}}|$ vs nilai kritis $c$ ✓
Metode $p$ -value: $p$ vs $\alpha$ ✓
Metode IC (untuk uji dua sisi): apakah $\theta_0 \in$ IC $_{1-\alpha}$ ? ✓

Ketiga metode harus menghasilkan keputusan yang sama — jika tidak, ada kesalahan perhitungan.

Metode Alternatif

Menggunakan IC untuk keputusan uji hipotesis: Bangun IC $1-\alpha$ untuk parameter. Tolak $H_0: \theta = \theta_0$ jika $\theta_0$ berada di luar IC. Lebih informatif dari keputusan biner karena menunjukkan range nilai yang kompatibel dengan data.

Menentukan $p$ -value dari tabel: Untuk $t_{\text{obs}}$ dan df diketahui, lokasikan $t_{\text{obs}}$ di antara dua nilai kritis tabel untuk mendapat batas atas dan bawah $p$ -value. Contoh: jika $t_{\text{obs}} = 2{,}50$ dan df $= 15$ , dan $t_{0{,}025}(15) = 2{,}131$ serta $t_{0{,}01}(15) = 2{,}602$ , maka $0{,}01 < p/2 < 0{,}025$ → $0{,}02 < p < 0{,}05$ .

Section 6 — Visualisasi Mental

Distribusi Sampling di bawah $H_0$ — Kurva Standar:

Bayangkan distribusi $T$ di bawah $H_0$ sebagai kurva simetris berpusat di nol (untuk $Z$ dan $t$ ) atau kurva right-skewed berpusat di df (untuk $\chi^2$ ). Wilayah penolakan adalah ekor-ekor yang diarsir — area total = $\alpha$ . Nilai terobservasi $t_{\text{obs}}$ adalah satu titik pada kurva ini. Jika titik ini jatuh di wilayah yang diarsir, kita tolak $H_0$ . $p$ -value adalah luas area dari $t_{\text{obs}}$ ke ekor — semakin kecil area ini, semakin tidak kompatibel data dengan $H_0$ .

Trade-off $\alpha$ dan $\beta$ — Dua Kurva:

Bayangkan dua kurva distribusi: satu di bawah $H_0$ (berpusat di $\mu_0$ ) dan satu di bawah $H_1$ (berpusat di $\mu_1 > \mu_0$ ). Nilai kritis $c$ memisahkan dua wilayah. Area di bawah $H_0$ di kanan $c$ adalah $\alpha$ (Tipe I). Area di bawah $H_1$ di kiri $c$ adalah $\beta$ (Tipe II). Menggeser $c$ ke kanan (perketat $\alpha$ ) otomatis memperbesar area $\beta$ — trade-off ini hanya bisa dipecahkan dengan memperbesar $n$ (memisahkan kedua kurva lebih jauh).

Daya Uji sebagai Fungsi dari $\mu_1$ :

Kurva daya (power curve) dimulai dari $\alpha$ saat $\mu_1 = \mu_0$ (daya minimal), meningkat monoton saat $|\mu_1 - \mu_0|$ bertambah, dan mendekati 1 saat efek sangat besar. Memperbesar $n$ mengangkat seluruh kurva ke atas — daya lebih tinggi untuk semua nilai $\mu_1$ .

Hubungan Visual ↔ Rumus

Wilayah penolakan dua sisi berkorespondensi dengan:

|T_{\text{obs}}| > t_{\alpha/2}(\nu) \longleftrightarrow \text{nilai terobservasi jatuh di ekor yang diarsir}

Dualitas IC–uji hipotesis berkorespondensi dengan:

\theta_0 \notin (\bar{x} \pm t_{\alpha/2}(n-1) \cdot s/\sqrt{n}) \longleftrightarrow |\bar{x} - \theta_0| > t_{\alpha/2}(n-1) \cdot s/\sqrt{n} \longleftrightarrow |T| > t_{\alpha/2}(n-1)

Trade-off $\alpha$ - $\beta$ berkorespondensi dengan:

\text{Perkecil } \alpha \implies \text{geser } c \text{ ke kanan} \implies \text{perbesar } \beta \implies \text{kurangi power}

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Konseptual›

“Gagal tolak $H_0$ ” ≠ ” $H_0$ terbukti benar”. Ini adalah kesalahan interpretasi paling fundamental. Kegagalan menolak hanya berarti bukti tidak cukup kuat — bukan konfirmasi $H_0$ . Contoh: uji yang memiliki daya rendah ( $n$ kecil) akan sering gagal menolak bahkan ketika $H_0$ salah.
“ $p$ -value = probabilitas $H_0$ benar”. $p$ -value adalah kondisional: $P(\text{data} \mid H_0)$ , bukan $P(H_0 \mid \text{data})$ . Yang kedua memerlukan prior Bayesian — di luar cakupan CF2 tetapi sering disalahpahami.
Mengubah $H_1$ setelah melihat data (HARKing). $H_0$ dan $H_1$ harus dirumuskan sebelum melihat data. Merumuskan hipotesis setelah melihat hasil (Hypothesizing After Results are Known) menghasilkan inflasi Tipe I error yang serius.
Menggunakan Z-test saat $\sigma^2$ tidak diketahui. Mensubstitusikan $s$ ke formula Z-test tidak menghasilkan distribusi Normal standar — hasilnya adalah distribusi $t$ . Untuk $n$ besar ( $\geq 100$ ), $t$ dan $Z$ hampir identik, tetapi untuk $n$ kecil perbedaannya signifikan.

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Tabel Kesalahan Derajat Kebebasan:

Uji	df BENAR	Kesalahan Umum
t berpasangan, $n$ pasangan	$n-1$	$2n-2$ (salah anggap dua sampel bebas)
t pooled, $n_1$ dan $n_2$	$n_1+n_2-2$	$n_1+n_2-1$ atau $n_1+n_2$
$\chi^2$ variansi	$n-1$	$n$
F-test	$(n_1-1, n_2-1)$	$(n_1, n_2)$
Welch	$\nu^$ dibulatkan ke bawah*	Dibulatkan ke atas atau ke nearest

Nilai kritis F-test dua sisi:

$\alpha = 0{,}10$ → gunakan $F_{0{,}05}(\nu_1,\nu_2)$ (bukan $F_{0{,}10}$ ) karena dua sisi $\alpha/2 = 0{,}05$
Menempatkan variansi lebih besar di numerator → hanya perlu memeriksa ekor kanan

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Apakah ada perbedaan”: uji dua sisi ( $H_1: \mu \neq \mu_0$ ).
“Apakah lebih besar/lebih kecil dari”: uji satu sisi ( $H_1: \mu > \mu_0$ atau $H_1: \mu < \mu_0$ ). Identifikasi arah dari konteks soal.
“Data berpasangan”: t-test berpasangan. Kunci identifikasi: “sebelum-sesudah”, “polis yang sama”, “pasangan yang cocok”, “pengukuran ganda pada unit yang sama”.
“Apakah variansi sama”: lakukan F-test terlebih dahulu sebelum t-test dua sampel. Hasil F-test menentukan apakah menggunakan t-pooled atau t-Welch.
“Level 5%” untuk uji dua sisi: gunakan $z_{0{,}025} = 1{,}96$ atau $t_{0{,}025}(\nu)$ — bukan $z_{0{,}05} = 1{,}645$ .

▲Red Flags›

” $\sigma^2$ tidak diketahui”: wajib t-test, bukan Z-test.
“Sebelum-sesudah” atau “polis yang sama diukur dua kali”: wajib t-test berpasangan; df $= n_{\text{pasangan}}-1$ .
Soal meminta uji dua variansi: F-test dengan df $(n_1-1, n_2-1)$ ; untuk dua sisi gunakan $\alpha/2$ di tabel.
Soal meminta uji variansi satu sampel: $\chi^2$ -test dengan $(n-1)s^2/\sigma_0^2$ .
$p$ -value $< \alpha$ tetapi “sangat sedikit”: pertimbangkan kekuatan uji — keputusan statistis tidak selalu bermakna praktis. Ukuran efek penting di samping signifikansi.
Soal menyebutkan “dua populasi Normal independen”: periksa asumsi $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ terlebih dahulu via F-test sebelum memilih antara t-pooled dan t-Welch.
Soal tentang $n$ yang diperlukan untuk daya tertentu: gunakan formula $n \geq (z_\alpha + z_\beta)^2\sigma^2/(\mu_1-\mu_0)^2$ (satu sisi) atau ganti $z_\alpha$ dengan $z_{\alpha/2}$ (dua sisi).

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Lima langkah baku — selalu ikuti urutan ini: Rumuskan $H_0$ / $H_1$ → Pilih statistik uji dan distribusinya → Tentukan nilai kritis → Hitung statistik uji dari data → Keputusan dan interpretasi konteks.
Empat uji utama dan statistiknya: $Z = \frac{\bar{X}-\mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1); \quad T = \frac{\bar{X}-\mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1); \quad \chi^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma_0^2} \sim \chi^2(n-1); \quad F = \frac{S_1^2}{S_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1)$
Tiga jenis keputusan — selalu konsisten: $\text{Tolak } H_0 \iff p\text{-value} \leq \alpha \iff |T_{\text{obs}}| > c_{\alpha/2} \iff \theta_0 \notin \text{IC}_{1-\alpha}$
Error dan daya — trade-off fundamental: $\alpha = P(\text{Tipe I}),\quad \beta = P(\text{Tipe II}),\quad \text{Power} = 1-\beta; \quad n\uparrow \implies \alpha\downarrow \text{ dan } \beta\downarrow \text{ bersamaan}$
Variansi pooled dan derajat kebebasan kritis: $S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2};\quad \nu_{\text{Welch}}^* = \text{bulatkan ke bawah};\quad \nu_{\text{pasangan}} = n-1\text{ (bukan }2n-2\text{)}$

Kapan Digunakan

Z-test: $\sigma^2$ diketahui (sangat jarang dalam praktik) atau $n$ sangat besar ( $\geq 100$ ) sehingga $s \approx \sigma$ .
t-test satu sampel: $\sigma^2$ tidak diketahui; inferensi tentang $\mu$ satu populasi Normal.
t-test dua sampel (pooled): Dua sampel independen dari populasi Normal dengan variansi sama yang terlebih dahulu diverifikasi via F-test.
t-test Welch: Dua sampel independen dari populasi Normal dengan variansi berbeda (setelah F-test signifikan).
t-test berpasangan: Data berpasangan (sebelum-sesudah, atau pasangan yang cocok) — bukan dua sampel independen.
$\chi^2$ -test: Inferensi tentang $\sigma^2$ satu populasi Normal.
F-test: Perbandingan $\sigma_1^2$ dan $\sigma_2^2$ dari dua populasi Normal independen; atau sebagai prasyarat sebelum memilih t-pooled vs t-Welch.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jangan Z-test jika $\sigma^2$ tidak diketahui — gunakan t-test.
Jangan t-pooled tanpa memeriksa asumsi $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ — lakukan F-test terlebih dahulu; jika F-test signifikan, gunakan Welch.
Jangan t-test dua sampel independen untuk data berpasangan — gunakan t-test berpasangan.
Jangan $\chi^2$ atau F-test untuk populasi non-Normal — kedua uji sangat sensitif terhadap asumsi normalitas; bahkan deviasi ringan dapat membuat hasil tidak valid.
Jangan menyimpulkan “H_0 terbukti” dari kegagalan tolak — kegagalan tolak bukan konfirmasi $H_0$ .

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Uji Hipotesis — Identifikasi Uji yang Tepat"] --> B["Parameter apa yang diuji?"]
    B --> C["Mean mu"]
    B --> D["Variansi sigma^2"]
    B --> E["Perbandingan dua mean mu1-mu2"]
    B --> F["Perbandingan dua variansi sigma1^2/sigma2^2"]
    C --> G["Apakah sigma^2 diketahui?"]
    G -->|"Ya"| H["Z-test: Z = (X-bar - mu0) / (sigma/sqrt(n))\ndistribusi N(0,1)"]
    G -->|"Tidak"| I["t-test: T = (X-bar - mu0) / (S/sqrt(n))\ndistribusi t(n-1)"]
    D --> J["Chi-kuadrat test:\nchi^2 = (n-1)S^2/sigma0^2\ndistribusi chi^2(n-1)"]
    E --> K["Apakah data berpasangan?"]
    K -->|"Ya: sebelum-sesudah\natau matched pairs"| L["t-test berpasangan:\nT = D-bar / (SD/sqrt(n))\ndistribusi t(n-1)"]
    K -->|"Tidak: dua sampel independen"| M["Lakukan F-test terlebih dahulu:\napakah sigma1^2 = sigma2^2?"]
    M -->|"Gagal tolak H0 F-test:\nsigma1^2 = sigma2^2"| N["t-test pooled:\ndf = n1+n2-2"]
    M -->|"Tolak H0 F-test:\nsigma1^2 != sigma2^2"| O["t-test Welch:\ndf = nu* (bulatkan ke bawah)"]
    F --> P["F-test:\nF = S1^2/S2^2\ndistribusi F(n1-1, n2-1)\nUji dua sisi: gunakan F_{alpha/2}"]
    H --> Q["Arah H1?"]
    I --> Q
    J --> Q
    L --> Q
    N --> Q
    O --> Q
    P --> Q
    Q -->|"mu != mu0"| R["Dua sisi:\ntolak jika |T| > c_{alpha/2}\np-value = 2P(T >= |t_obs|)"]
    Q -->|"mu > mu0"| S["Satu sisi kanan:\ntolak jika T > c_alpha\np-value = P(T >= t_obs)"]
    Q -->|"mu < mu0"| T["Satu sisi kiri:\ntolak jika T < -c_alpha\np-value = P(T <= t_obs)"]

❝Follow-up Options›

“Berikan soal variasi: uji hipotesis lengkap dari data mentah — hitung statistik uji, p-value, dan bangun IC untuk kasus t-test dua sampel independen dengan asumsi variansi sama”
“Jelaskan hubungan 4.8 Uji Hipotesis dengan 4.7 Interval Kepercayaan — turunkan IC dari prosedur inversi uji hipotesis dan tunjukkan dualitas secara matematis”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini — semua formula, nilai kritis standar, dan decision tree dalam satu halaman”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 6.1–6.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.4–4.6; Miller et al. (2014) Bab 9.1–9.5; Walpole et al. (2012) Bab 10.1–10.5 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #InferensStatistik #UjiHipotesis #ZTest #TTest #ChiKuadrat #FTest #PValue #ErrorTipeI #ErrorTipeII #Power