📊 4.3 — Teorema Limit Pusat (CLT)

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem) — Aproksimasi Normal untuk $\bar{X}$ dan $S_n$ | Bobot: ~15–25% | Difficulty: Medium Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.1–4.2; Miller et al. (2014) Bab 8.6–8.7; Walpole et al. (2012) Bab 8.3 | Prereq: 2.3 Fungsi Pembangkit, 2.6 Distribusi Kontinu Umum, 4.1 Penarikan Sampel Acak, 4.2 Distribusi Sampel

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 4: Inferensi Statistik	4.3	Menyatakan CLT secara formal untuk $\bar{X}$ dan $S_n = \sum X_i$; menerapkan aproksimasi Normal untuk berbagai distribusi populasi (Binomial, Poisson, Gamma, Uniform); menentukan ukuran sampel minimal untuk validitas aproksimasi; menghitung probabilitas aproksimasi menggunakan tabel $\Phi$ dengan standarisasi yang benar; memahami koreksi kontinuitas untuk aproksimasi distribusi diskrit ke Normal; menyatakan dan menggunakan Hukum Bilangan Besar (LLN) sebagai hasil terkait CLT	15–25%	Medium	2.3 Fungsi Pembangkit, 2.6 Distribusi Kontinu Umum, 4.1 Penarikan Sampel Acak, 4.2 Distribusi Sampel	4.1 Penarikan Sampel Acak, 4.2 Distribusi Sampel, 4.4 Hukum Bilangan Besar (LLN), 4.5 Estimasi Parameter, 4.8 Interval Kepercayaan	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.1–4.2; Miller et al. (2014) Bab 8.6–8.7; Walpole et al. (2012) Bab 8.3

Section 1 — Intuisi

Ada satu hasil dalam teori probabilitas yang lebih menakjubkan dari hampir semua yang lain: apapun bentuk distribusi populasi asal — miring kanan, miring kiri, diskrit, kontinu, bimodal — jika kita mengambil rata-rata dari sampel yang cukup besar, distribusi dari rata-rata itu akan mendekati distribusi Normal. Ini bukan kebetulan atau aproksimasi kasar: ini adalah Teorema Limit Pusat, salah satu teorema paling fundamental dalam matematika.

Bayangkan klaim asuransi tunggal $X$ berdistribusi Eksponensial — miring kanan ekstrem, tidak simetris sama sekali. Namun, jika perusahaan asuransi menanggung 500 polis, total klaim $S_{500} = \sum X_i$ dan rata-rata klaim $\bar{X}_{500}$ akan mengikuti distribusi yang hampir persis Normal. Mengapa? Secara intuitif: fluktuasi di satu arah dari satu polis cenderung diimbangi oleh fluktuasi berlawanan dari polis lain. Semakin banyak polis, semakin sempurna keseimbangan ini, dan distribusi rata-rata semakin simetris dan berbentuk lonceng.

Implikasi aktuaria sangat luas. CLT adalah justifikasi teoritis mengapa pendekatan Normal digunakan secara universal dalam portofolio besar — untuk menghitung modal berbasis risiko (risk-based capital), value at risk, dan premi kolektif. Tanpa CLT, setiap distribusi klaim yang berbeda akan membutuhkan metode komputasi yang berbeda. Dengan CLT, kita memiliki satu alat pemersatu: selama $n$ cukup besar dan distribusi asal memiliki momen terbatas, semuanya bermuara ke Normal.

Yang tidak kalah pentingnya adalah apa yang tidak dijamin CLT. Ia hanya berbicara tentang distribusi limit — seberapa cepat konvergensi ke Normal bergantung pada bentuk distribusi asal. Untuk distribusi simetris dan “ringan ekor” (seperti Uniform), $n = 10$ sudah cukup. Untuk distribusi sangat miring atau “berat ekor” (seperti distribusi dengan variansi besar), mungkin dibutuhkan $n = 100$ atau lebih. Mengenali batas-batas berlakunya CLT adalah keterampilan kritis yang membedakan penggunaan yang tepat dari yang keliru.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Teorema Limit Pusat (Versi Standar): Misalkan $X_1, X_2, \ldots, X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} f(x)$ dengan $E[X_i] = \mu < \infty$ dan $\text{Var}(X_i) = \sigma^2 < \infty$. Definisikan: $\bar{X}_n = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i, \qquad S_n = \sum_{i=1}^n X_i$

Maka untuk setiap bilangan real $z$: $\lim_{n \to \infty} P\!\left(\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z)$

atau ekuivalen: $\lim_{n \to \infty} P\!\left(\frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \leq z\right) = \Phi(z)$

Notasi Konvergensi dalam Distribusi: $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad \text{saat } n \to \infty$

Aproksimasi Praktis (untuk $n$ cukup besar): $\bar{X}_n \overset{\text{approx}}{\sim} N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{n}\right), \qquad S_n \overset{\text{approx}}{\sim} N(n\mu,\; n\sigma^2)$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$\mu = E[X_i]$	Mean populasi	Harus terbatas — syarat eksistensi CLT
$\sigma^2 = \text{Var}(X_i)$	Variansi populasi	Harus terbatas dan positif — syarat kritis CLT; distribusi Cauchy tidak memenuhi
$\bar{X}_n$	Mean sampel berukuran $n$	Variabel acak dengan distribusi mendekati $N(\mu, \sigma^2/n)$
$S_n = \sum X_i$	Jumlah sampel	Variabel acak dengan distribusi mendekati $N(n\mu, n\sigma^2)$
$Z_n = (\bar{X}_n - \mu)/(\sigma/\sqrt{n})$	Statistik CLT terstandarisasi	Konvergen ke $N(0,1)$ dalam distribusi
$\xrightarrow{d}$	Konvergensi dalam distribusi (convergence in distribution)	Bukan konvergensi nilai; distribusi CDF konvergen ke $\Phi$
$n_{\min}$	Ukuran sampel minimal untuk validitas aproksimasi	Bergantung distribusi asal: $\approx 30$ untuk simetris; lebih besar untuk skewed
CC	Koreksi kontinuitas (continuity correction)	$\pm 0{,}5$ untuk aproksimasi distribusi diskrit dengan Normal

Rumus Utama

$$Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma / \sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad (n \to \infty)$$

Label: CLT untuk Mean Sampel — standarisasi menggunakan $\sigma/\sqrt{n}$ (standar error), bukan $\sigma$; ini adalah bentuk CLT yang paling sering digunakan di soal CF2.

$$Z_n = \frac{S_n - n\mu}{\sigma\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad (n \to \infty)$$

Label: CLT untuk Jumlah Sampel — ekuivalen dengan CLT untuk mean; digunakan ketika soal melibatkan total (penjumlahan) bukan rata-rata.

$$P(a \leq \bar{X}_n \leq b) \approx \Phi\!\left(\frac{b - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - \mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)$$

Label: Aproksimasi Probabilitas via CLT — formula kerja untuk menghitung probabilitas menggunakan aproksimasi Normal; valid untuk $n$ cukup besar.

$$P(a \leq S_n \leq b) \approx \Phi\!\left(\frac{b - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\right) - \Phi\!\left(\frac{a - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\right)$$

Label: Aproksimasi Probabilitas untuk Jumlah — untuk total klaim, total skor, dsb.; standarisasi menggunakan $\sigma\sqrt{n}$ (bukan $\sigma/\sqrt{n}$).

$$P(X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k + 0{,}5 - \mu}{\sigma}\right) \quad \text{(koreksi kontinuitas, distribusi diskrit)}$$

Label: Koreksi Kontinuitas — saat mengaproksimasi distribusi diskrit (Binomial, Poisson) dengan Normal; $\pm 0{,}5$ mengkompensasi transisi dari diskrit ke kontinu; meningkatkan akurasi aproksimasi secara signifikan.

Asumsi Eksplisit

• i.i.d.: Variabel acak $X_1,\ldots,X_n$ harus independen dan identik terdistribusi — syarat paling mendasar. CLT umum (Lindeberg-Lévy) dapat melonggarkan ini, tetapi di CF2 asumsi i.i.d. selalu berlaku.
• Momen terbatas: $\mu = E[X] < \infty$ dan $\sigma^2 = \text{Var}(X) < \infty$ — kedua syarat ini wajib. Distribusi Cauchy ($f(x) \propto 1/(1+x^2)$) tidak memiliki mean terbatas dan CLT tidak berlaku untuknya.
• $n$ cukup besar: CLT adalah pernyataan limit ($n \to \infty$). Untuk penggunaan praktis: aturan umum $n \geq 30$ untuk distribusi mendekati simetris; $n \geq 50$ hingga $n \geq 100$ untuk distribusi sangat miring (highly skewed). Ini bukan aturan absolut — distribusi Normal menghasilkan aproksimasi sempurna untuk $n$ berapapun.
• Tidak memerlukan distribusi populasi Normal: Ini adalah kekuatan CLT — ia bekerja untuk distribusi apapun selama dua syarat momen di atas terpenuhi.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Mengapa CLT bekerja — Sketsa Bukti via MGF:

Misalkan $Y_i = (X_i - \mu)/\sigma$ sehingga $E[Y_i] = 0$ dan $\text{Var}(Y_i) = 1$. Maka: $Z_n = \frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} = \frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n Y_i$

MGF dari $Z_n$ (menggunakan independensi): $M_{Z_n}(t) = \left[M_Y\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right)\right]^n$

Ekspansi Taylor $M_Y(s) = 1 + E[Y]s + E[Y^2]s^2/2 + O(s^3) = 1 + 0 + s^2/2 + O(s^3)$ (karena $E[Y]=0$, $E[Y^2]=1$): $M_Y\!\left(\frac{t}{\sqrt{n}}\right) = 1 + \frac{t^2}{2n} + O\!\left(n^{-3/2}\right)$

Maka: $M_{Z_n}(t) = \left[1 + \frac{t^2}{2n} + O(n^{-3/2})\right]^n \xrightarrow{n\to\infty} e^{t^2/2}$

(menggunakan $(1 + a/n)^n \to e^a$)

Karena $e^{t^2/2}$ adalah MGF $N(0,1)$, dan MGF mengkarakterisasi distribusi (Uniqueness Theorem): $Z_n \xrightarrow{d} N(0,1) \quad \checkmark$

Kunci: Konvergensi MGF ke MGF Normal mengimplikasikan konvergensi distribusi. Bukti ini valid selama MGF $X_i$ terdefinisi pada suatu lingkungan $t = 0$ — kondisi yang lebih kuat dari sekadar variansi terbatas, tetapi cukup untuk sebagian besar distribusi yang digunakan di CF2.

◈CLT untuk Distribusi Spesifik›

Distribusi Asal	$\mu$	$\sigma^2$	Aproksimasi $S_n$	Catatan
$B(1,p)$ (Bernoulli)	$p$	$p(1-p)$	$S_n = X \sim B(n,p) \approx N(np, np(1-p))$	CLT menjelaskan aproksimasi Normal-Binomial
$\text{Poisson}(\lambda)$ individual	$\lambda$	$\lambda$	$S_n \approx N(n\lambda, n\lambda)$	$S_n \sim \text{Poisson}(n\lambda)$ eksak; CLT digunakan untuk $n\lambda$ besar
$\text{Exp}(\beta)$	$\beta$	$\beta^2$	$S_n \approx N(n\beta, n\beta^2)$	$S_n$ eksak $\Gamma(n,\beta)$; CLT digunakan untuk $n$ besar
$U(a,b)$	$(a+b)/2$	$(b-a)^2/12$	Konvergensi cepat, $n \geq 5$ cukup	Distribusi simetris, konvergensi sangat cepat
$\Gamma(\alpha,\beta)$	$\alpha\beta$	$\alpha\beta^2$	Aproksimasi lebih baik untuk $\alpha$ besar	$\alpha$ besar → distribusi lebih simetris

Aproksimasi Normal-Binomial (kasus khusus penting): Jika $X \sim B(n,p)$, maka untuk $n$ besar: $X \approx N(np,\; np(1-p))$ Aturan praktis: valid jika $np \geq 5$ dan $n(1-p) \geq 5$.

Koreksi Kontinuitas — Mengapa dan Bagaimana:

Distribusi Binomial dan Poisson adalah diskrit: $P(X = k)$ adalah probabilitas titik. Distribusi Normal adalah kontinu: $P(X = k) = 0$. Koreksi kontinuitas menjembatani ini dengan memperlakukan nilai diskrit $k$ sebagai interval kontinu $[k-0{,}5,\; k+0{,}5]$:

$P(X = k) \approx P\!\left(k-0{,}5 \leq Z_{\text{Normal}} \leq k+0{,}5\right)$

$P(X \leq k) \approx P\!\left(Z_{\text{Normal}} \leq k+0{,}5\right) = \Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$

$P(X \geq k) \approx P\!\left(Z_{\text{Normal}} \geq k-0{,}5\right) = 1 - \Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$

$P(j \leq X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{j-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$

Aturan arah $+0{,}5$ atau $-0{,}5$: Sisi yang “lebih inklusif” mendapatkan tanda yang “memperlebar” interval:

• $\leq k$ (inklusif atas) → $k + 0{,}5$ (perlebar ke atas)
• $< k$ (eksklusif atas) → $k - 0{,}5$ (persempit ke atas)
• $\geq k$ (inklusif bawah) → $k - 0{,}5$ (perlebar ke bawah)
• $> k$ (eksklusif bawah) → $k + 0{,}5$ (persempit ke bawah)

Hukum Bilangan Besar (LLN) — Hasil Terkait:

LLN adalah pernyataan yang lebih lemah dari CLT namun lebih mendasar. CLT mengatakan distribusi $\bar{X}_n$ mendekati Normal; LLN mengatakan nilai $\bar{X}_n$ mendekati $\mu$:

$\bar{X}_n \xrightarrow{P} \mu \quad (n \to \infty) \qquad \text{(LLN Lemah)}$

$P(|\bar{X}_n - \mu| > \varepsilon) \to 0 \text{ untuk setiap } \varepsilon > 0$

LLN hanya memerlukan $E[X] < \infty$ (tidak perlu variansi terbatas); CLT memerlukan $\text{Var}(X) < \infty$. Setiap distribusi yang memenuhi syarat CLT juga memenuhi LLN, tetapi tidak sebaliknya.

✘Dilarang›

1. Dilarang menerapkan CLT untuk distribusi dengan variansi tidak terbatas (misalnya Pareto dengan ekor sangat berat, atau Cauchy). Syarat $\sigma^2 < \infty$ adalah wajib. Untuk distribusi berat ekor yang relevan di aktuaria (misalnya distribusi dengan $\alpha < 2$ untuk distribusi stabil), CLT tidak berlaku dalam bentuk standar.
2. Dilarang menggunakan aproksimasi Normal tanpa koreksi kontinuitas untuk distribusi diskrit (Binomial, Poisson) jika presisi diperlukan. Tanpa koreksi kontinuitas, kesalahan aproksimasi bisa signifikan terutama untuk $n$ yang tidak terlalu besar.
3. Dilarang mengabaikan arah koreksi kontinuitas. Untuk $P(X \leq k)$: gunakan $k + 0{,}5$ (bukan $k - 0{,}5$). Terbalik arahnya menghasilkan kesalahan aproksimasi yang lebih buruk daripada tanpa koreksi sama sekali.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah perusahaan asuransi menanggung $n = 100$ polis secara independen. Nilai klaim masing-masing polis berdistribusi dengan $\mu = 500$ ribu rupiah dan $\sigma = 200$ ribu rupiah (distribusi populasi tidak diketahui bentuknya).

(a) Nyatakan distribusi aproksimasi dari $\bar{X}_{100}$ menggunakan CLT. (b) Hitung $P(480 \leq \bar{X} \leq 530)$. (c) Nyatakan distribusi aproksimasi dari $S_{100} = \sum_{i=1}^{100} X_i$ (total klaim). (d) Hitung $P(S_{100} > 52.000)$ (dalam satuan ribu rupiah). (e) Tentukan batas $c$ sehingga $P(\bar{X} \leq c) = 0{,}99$.

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

• $X_i$ i.i.d.; $\mu = 500$, $\sigma = 200$ (satuan: ribu rupiah)
• $n = 100$; distribusi asal tidak diketahui
• $\text{SE}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n} = 200/\sqrt{100} = 200/10 = 20$

2. Identifikasi Distribusi / Model CLT berlaku karena $\mu$ dan $\sigma^2$ terbatas dan $n = 100 \geq 30$. Distribusi populasi tidak perlu diketahui.

3. Setup Persamaan

CLT: $\bar{X} \overset{\text{approx}}{\sim} N(500, 20^2)$ dan $S_{100} \overset{\text{approx}}{\sim} N(100 \times 500,\; 100 \times 200^2) = N(50.000,\; 4.000.000)$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi aproksimasi $\bar{X}$: $\bar{X} \overset{\text{approx}}{\sim} N\!\left(500,\; \frac{200^2}{100}\right) = N(500,\; 400)$ Standar error: $\text{SE}(\bar{X}) = \sqrt{400} = 20$ ribu rupiah.

(b) $P(480 \leq \bar{X} \leq 530)$:

Standarisasi: $z_1 = \frac{480 - 500}{20} = \frac{-20}{20} = -1{,}00, \qquad z_2 = \frac{530 - 500}{20} = \frac{30}{20} = 1{,}50$

$P(480 \leq \bar{X} \leq 530) \approx \Phi(1{,}50) - \Phi(-1{,}00) = 0{,}9332 - (1 - 0{,}8413)$ $= 0{,}9332 - 0{,}1587 = 0{,}7745$

(c) Distribusi aproksimasi $S_{100}$: $S_{100} \overset{\text{approx}}{\sim} N(n\mu,\; n\sigma^2) = N(100 \times 500,\; 100 \times 200^2)$ $= N(50.000,\; 4.000.000)$ Standar deviasi $S_{100}$: $\sigma_{S} = \sigma\sqrt{n} = 200\sqrt{100} = 2.000$ ribu rupiah.

(d) $P(S_{100} > 52.000)$:

Standarisasi menggunakan $\sigma_S = 2.000$: $z = \frac{52.000 - 50.000}{2.000} = \frac{2.000}{2.000} = 1{,}00$

$P(S_{100} > 52.000) \approx 1 - \Phi(1{,}00) = 1 - 0{,}8413 = 0{,}1587$

(e) Nilai $c$ sehingga $P(\bar{X} \leq c) = 0{,}99$:

$P\!\left(\frac{\bar{X}-500}{20} \leq \frac{c-500}{20}\right) = 0{,}99 \implies \Phi\!\left(\frac{c-500}{20}\right) = 0{,}99$

Dari tabel: $\Phi(z) = 0{,}99 \implies z = 2{,}326$: $\frac{c - 500}{20} = 2{,}326 \implies c = 500 + 20 \times 2{,}326 = 500 + 46{,}52 = 546{,}52 \text{ ribu rupiah}$

5. Verification

• Standar deviasi $\bar{X} = 20$ vs $\sigma = 200$: pengambilan rata-rata 100 pengamatan mengurangi variabilitas oleh faktor $\sqrt{100} = 10$ ✓
• $P(480 \leq \bar{X} \leq 530) = 0{,}775$: interval mencakup $\mu = 500$ dan selebar $[-1\sigma_{\bar{X}}, +1{,}5\sigma_{\bar{X}}]$ — probabilitas sekitar 77% wajar ✓
• $c = 546{,}52$: persentil ke-99 dari $N(500,400)$ — selisih dari mean adalah $46{,}52 = 2{,}326 \times 20$ ✓
• Hubungan $\bar{X}$ dan $S_{100}$: $P(S_{100} > 52.000) = P(\bar{X} > 520) = P(Z > 1{,}00) = 0{,}1587$ — konsisten dengan bagian (d) karena $S_{100} = 100 \bar{X}$ ✓

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 10–12 menit Common trap 1: Standar error untuk $\bar{X}$ adalah $\sigma/\sqrt{n}$, bukan $\sigma/n$ dan bukan $\sigma$. Untuk $n=100$: $\text{SE} = 200/10 = 20$, bukan $200/100 = 2$. Common trap 2: Standar deviasi untuk $S_n$ adalah $\sigma\sqrt{n}$ (bukan $\sigma/\sqrt{n}$). Untuk $n=100$: $\sigma_S = 200\sqrt{100} = 2.000$, bukan 20. Shortcut: Verifikasi konsistensi: $P(S_n > c_S) = P(\bar{X} > c_S/n)$ — selalu periksa bahwa jawaban bagian $S_n$ konsisten dengan bagian $\bar{X}$ ketika keduanya ada dalam soal.

---

Soal B — Exam-Typical

Suatu perusahaan asuransi menerbitkan 200 polis. Probabilitas setiap polis mengajukan klaim dalam setahun adalah $p = 0{,}3$, independen satu sama lain. Misalkan $X$ = jumlah polis yang mengajukan klaim.

(a) Identifikasi distribusi eksak $X$ dan nyatakan $E[X]$ serta $\text{Var}(X)$. (b) Gunakan CLT (tanpa koreksi kontinuitas) untuk mengaproksimasi $P(X \leq 55)$. (c) Ulangi bagian (b) dengan koreksi kontinuitas dan bandingkan hasilnya. (d) Gunakan CLT untuk mengaproksimasi $P(50 \leq X \leq 70)$ dengan koreksi kontinuitas. (e) Tentukan nilai $k$ terkecil sehingga $P(X \leq k) \geq 0{,}90$ menggunakan aproksimasi Normal dengan koreksi kontinuitas.

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

• $X = \sum_{i=1}^{200} B_i$ di mana $B_i \sim \text{Bern}(0{,}3)$ i.i.d. → $X \sim B(200, 0{,}3)$
• $\mu_X = np = 200 \times 0{,}3 = 60$
• $\sigma_X^2 = np(1-p) = 200 \times 0{,}3 \times 0{,}7 = 42$; $\sigma_X = \sqrt{42} \approx 6{,}481$
• Cek validitas CLT: $np = 60 \geq 5$ ✓ dan $n(1-p) = 140 \geq 5$ ✓

2. Identifikasi Distribusi / Model Distribusi eksak: $B(200, 0{,}3)$. CLT berlaku karena $n=200$ besar dan $p$ tidak ekstrem. Aproksimasi Normal: $X \approx N(60, 42)$.

3. Setup Persamaan

Standarisasi: $Z = (X - 60)/\sqrt{42}$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi eksak, $E[X]$, $\text{Var}(X)$: $X \sim B(200, 0{,}3), \quad E[X] = 60, \quad \text{Var}(X) = 42$

(b) $P(X \leq 55)$ tanpa koreksi kontinuitas:

$z = \frac{55 - 60}{\sqrt{42}} = \frac{-5}{6{,}481} = -0{,}7715$

$P(X \leq 55) \approx \Phi(-0{,}772) = 1 - \Phi(0{,}772) \approx 1 - 0{,}7801 = 0{,}2199$

(c) $P(X \leq 55)$ dengan koreksi kontinuitas:

Karena $\leq 55$ (inklusif), gunakan batas atas $55 + 0{,}5 = 55{,}5$:

$z_{\text{CC}} = \frac{55{,}5 - 60}{\sqrt{42}} = \frac{-4{,}5}{6{,}481} = -0{,}6943$

$P(X \leq 55) \approx \Phi(-0{,}694) = 1 - \Phi(0{,}694) \approx 1 - 0{,}7561 = 0{,}2439$

Nilai eksak (Binomial): $P(X \leq 55) \approx 0{,}2443$.

Perbandingan:

Metode	Nilai	Kesalahan vs Eksak
Normal tanpa CC	0{,}2199	$-0{,}0244$ (2,44%)
Normal dengan CC	0{,}2439	$-0{,}0004$ (0,04%)
Eksak (Binomial)	0{,}2443	—

Koreksi kontinuitas meningkatkan akurasi dari 2,44% menjadi 0,04%.

(d) $P(50 \leq X \leq 70)$ dengan koreksi kontinuitas:

Interval inklusif di kedua sisi: gunakan $49{,}5$ hingga $70{,}5$:

$z_1 = \frac{49{,}5 - 60}{\sqrt{42}} = \frac{-10{,}5}{6{,}481} = -1{,}620$ $z_2 = \frac{70{,}5 - 60}{\sqrt{42}} = \frac{10{,}5}{6{,}481} = 1{,}620$

$P(50 \leq X \leq 70) \approx \Phi(1{,}620) - \Phi(-1{,}620) = 2\Phi(1{,}620) - 1$ $= 2(0{,}9474) - 1 = 0{,}8948$

(e) $k$ terkecil sehingga $P(X \leq k) \geq 0{,}90$:

Dengan koreksi kontinuitas, $P(X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-60}{\sqrt{42}}\right) \geq 0{,}90$:

$\frac{k + 0{,}5 - 60}{\sqrt{42}} \geq z_{0{,}10} = 1{,}282$

$k + 0{,}5 - 60 \geq 1{,}282 \times 6{,}481 = 8{,}307$

$k \geq 60 - 0{,}5 + 8{,}307 = 67{,}807$

Karena $k$ harus integer: $k_{\min} = 68$.

Verifikasi: $\Phi\!\left(\frac{68{,}5 - 60}{6{,}481}\right) = \Phi(1{,}311) \approx 0{,}905 \geq 0{,}90$ ✓

Cek $k=67$: $\Phi\!\left(\frac{67{,}5-60}{6{,}481}\right) = \Phi(1{,}157) \approx 0{,}876 < 0{,}90$ ✗

5. Verification

• Cek CLT valid: $np = 60 \geq 5$ dan $nq = 140 \geq 5$ ✓
• Koreksi kontinuitas drastis meningkatkan akurasi (error 2,44% → 0,04%) ✓
• $P(50 \leq X \leq 70)$: interval simetris sekitar $\mu = 60$ dengan lebar $\pm 10 \approx \pm 1{,}54\sigma$ → probabilitas sekitar 87-88% wajar ✓
• $k_{\min} = 68 > \mu = 60$: persentil ke-90 di atas mean untuk distribusi yang tidak terlalu skewed ✓

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 14–16 menit Common trap 1: Arah koreksi kontinuitas paling sering salah. Hafal aturan: $P(X \leq k)$ → gunakan $k + 0{,}5$; $P(X \geq k)$ → gunakan $k - 0{,}5$. Bayangkan bahwa $\leq k$ “mencakup” hingga tepat sebelum $k+1$, yaitu $k+0{,}5$. Common trap 2: Untuk $P(50 \leq X \leq 70)$ dengan CC: batas bawah inklusif menggunakan $50 - 0{,}5 = 49{,}5$ (perlebar ke bawah), batas atas inklusif menggunakan $70 + 0{,}5 = 70{,}5$ (perlebar ke atas). Common trap 3: Untuk bagian (e), setelah mendapat $k \geq 67{,}807$, bulatkan ke atas ke 68 karena $k$ adalah integer dan harus memenuhi $\geq 0{,}90$.

---

Soal C — Challenging

Waktu proses setiap klaim di sebuah perusahaan asuransi berdistribusi $\text{Exp}(\beta = 4)$ (rata-rata 4 hari per klaim, parametrisasi skala). Ada $n = 36$ klaim independen yang harus diproses.

(a) Nyatakan distribusi eksak dari total waktu proses $S_{36} = \sum_{i=1}^{36} X_i$ dan hitung $E[S_{36}]$ serta $\text{Var}(S_{36})$. (b) Gunakan CLT untuk mengaproksimasi $P(130 \leq S_{36} \leq 160)$ dan bandingkan dengan nilai dari distribusi Gamma eksak. (c) Hitung $P(\bar{X}_{36} > 5)$ menggunakan CLT dan interpretasikan hasilnya dalam konteks aktuaria. (d) Tentukan nilai $t_0$ sehingga $P(S_{36} \leq t_0) = 0{,}95$ menggunakan aproksimasi CLT. (e) Untuk ukuran sampel $n$ berapakah aproksimasi Normal untuk $\bar{X}$ dari distribusi $\text{Exp}(\beta)$ dianggap “cukup baik”? Diskusikan faktor yang memengaruhi laju konvergensi CLT untuk distribusi Eksponensial.

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

• $X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} \text{Exp}(\beta=4)$: $\mu = \beta = 4$, $\sigma^2 = \beta^2 = 16$, $\sigma = 4$
• $n = 36$; $\text{SE}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n} = 4/6 = 2/3$

2. Identifikasi Distribusi / Model Distribusi eksak $S_{36}$: penjumlahan 36 Eksponensial i.i.d. $\to \Gamma(36, \beta=4)$.

Aproksimasi CLT: $S_{36} \approx N(n\mu, n\sigma^2) = N(144, 576)$; $\sigma_{S} = 24$.

3. Setup Persamaan

Standarisasi $S_{36}$: $Z = (S_{36} - 144)/24$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi eksak, $E[S_{36}]$, $\text{Var}(S_{36})$:

Penjumlahan 36 Eksponensial i.i.d. $\to \Gamma(36, \beta=4)$: $S_{36} \sim \Gamma(\alpha=36,\;\beta=4)$ $E[S_{36}] = \alpha\beta = 36 \times 4 = 144 \text{ hari}$ $\text{Var}(S_{36}) = \alpha\beta^2 = 36 \times 16 = 576, \quad \sigma_{S} = 24 \text{ hari}$

(b) $P(130 \leq S_{36} \leq 160)$ — CLT vs Gamma eksak:

Via CLT: $z_1 = \frac{130 - 144}{24} = \frac{-14}{24} = -0{,}583$ $z_2 = \frac{160 - 144}{24} = \frac{16}{24} = 0{,}667$

$P(130 \leq S_{36} \leq 160) \approx \Phi(0{,}667) - \Phi(-0{,}583)$ $= 0{,}7476 - (1 - 0{,}7202) = 0{,}7476 - 0{,}2798 = 0{,}4678$

Via Gamma eksak (hubungan Gamma–Poisson, $\alpha=36 \in \mathbb{Z}^+$, $\lambda = 1/\beta = 1/4$):

$P(S_{36} \leq s) = P\!\left(\text{Poisson}\!\left(\frac{s}{\beta}\right) \leq \alpha - 1\right) = P(\text{Poisson}(s/4) \leq 35)$

$P(130 \leq S_{36} \leq 160) = P(S_{36}\leq 160) - P(S_{36} \leq 130)$ $= P(\text{Poisson}(40) \leq 35) - P(\text{Poisson}(32{,}5) \leq 35)$

Untuk Poisson dengan $\lambda$ besar, via CLT Poisson: $P(\text{Poisson}(40) \leq 35) \approx \Phi\!\left(\frac{35{,}5-40}{\sqrt{40}}\right) = \Phi(-0{,}711) \approx 0{,}239$ $P(\text{Poisson}(32{,}5) \leq 35) \approx \Phi\!\left(\frac{35{,}5-32{,}5}{\sqrt{32{,}5}}\right) = \Phi(0{,}526) \approx 0{,}701$

$P(130 \leq S_{36} \leq 160) \approx 0{,}701 - 0{,}239 = 0{,}462$

Perbandingan: CLT ($0{,}468$) vs Gamma eksak via Poisson ($0{,}462$) — perbedaan kecil, menunjukkan CLT cukup akurat untuk $n=36$ dari Eksponensial.

(c) $P(\bar{X}_{36} > 5)$:

$\bar{X}_{36} \overset{\text{approx}}{\sim} N\!\left(4,\; \frac{16}{36}\right) = N\!\left(4,\; \frac{4}{9}\right), \quad \text{SE} = \frac{2}{3}$

$P(\bar{X} > 5) \approx P\!\left(Z > \frac{5-4}{2/3}\right) = P(Z > 1{,}5) = 1 - \Phi(1{,}5) = 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668$

Interpretasi aktuaria: Hanya sekitar 6,7% kemungkinan bahwa rata-rata waktu proses dari 36 klaim melebihi 5 hari (padahal rata-rata populasi hanya 4 hari). Ini menunjukkan bahwa dengan 36 klaim, rata-rata waktu proses cukup stabil di sekitar mean populasi — risiko keterlambatan sistemik relatif kecil.

(d) $t_0$ sehingga $P(S_{36} \leq t_0) = 0{,}95$:

$P\!\left(Z \leq \frac{t_0 - 144}{24}\right) = 0{,}95 \implies \frac{t_0 - 144}{24} = z_{0{,}05} = 1{,}645$

$t_0 = 144 + 24 \times 1{,}645 = 144 + 39{,}48 = 183{,}48 \text{ hari}$

Interpretasi: dengan probabilitas 95%, 36 klaim akan selesai diproses dalam 183,5 hari.

(e) Ukuran sampel minimal dan laju konvergensi:

Distribusi Eksponensial memiliki koefisien kemiringan (skewness) yang tinggi: $\gamma_1 = 2$ (bandingkan dengan Normal: $\gamma_1 = 0$). Berry-Esseen Theorem menyatakan bahwa kecepatan konvergensi CLT bergantung pada $\rho = E[|X-\mu|^3]/\sigma^3$. Untuk Eksponensial: $\rho = 2\sigma^3/\sigma^3 = 2$, mengimplikasikan error aproksimasi $O(1/\sqrt{n})$.

Panduan praktis untuk Eksponensial:

• $n \geq 30$: aproksimasi Normal sudah cukup baik untuk sebagian besar kebutuhan
• $n \geq 50$: aproksimasi sangat baik, error $< 1\%$ untuk probabilitas di sekitar mean
• Untuk ekor ekstrem ($z > 2$): butuh $n$ lebih besar karena ekor kanan Eksponensial lebih tebal dari Normal

Faktor yang memengaruhi laju konvergensi:

1. Kemiringan (skewness) distribusi asal — semakin miring, konvergensi lebih lambat
2. Kurtosis (kurtosis) — ekor lebih tebal → konvergensi lebih lambat
3. Probabilitas yang dihitung — aproksimasi lebih baik di sekitar mean daripada di ekor
4. Apakah $n$ cukup untuk $np \geq 5$ (untuk Binomial) atau $\lambda n$ cukup besar (untuk Poisson)

5. Verification

• $E[S_{36}] = 144$, $\sigma_S = 24$: konsisten dengan $\Gamma(36,4)$ via formula $E = \alpha\beta$ dan $\text{SD} = \sqrt{\alpha}\beta = 6\times4=24$ ✓
• CLT ($0{,}468$) vs Gamma eksak ($0{,}462$): perbedaan $< 1{,}5\%$, aproksimasi baik untuk $n=36$ ✓
• $P(\bar{X} > 5) = 6{,}7\%$: 5 hari adalah $(\mu + \sigma_{\bar{X}} \cdot 1{,}5) = 4 + 1 = 5$ — berada 1,5 SE di atas mean, probabilitas 6,7% sesuai ✓

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 18–22 menit Common trap 1: Untuk $S_n = \sum X_i$: standar deviasi adalah $\sigma\sqrt{n}$, bukan $\sigma/\sqrt{n}$. Keduanya $= 24$ untuk kasus ini karena $\sigma\sqrt{n} = 4\times6 = 24$ — kebetulan numeriknya sama dengan $\sigma/\sqrt{n}$ untuk parameter berbeda, sehingga ini adalah soal yang perlu waspada. Common trap 2: Jangan bingung antara standarisasi $\bar{X}$ (bagi dengan $\sigma/\sqrt{n}$) dan standarisasi $S_n$ (bagi dengan $\sigma\sqrt{n}$). Keduanya berbeda arah perpangkatan $n$. Shortcut: Untuk persentil $t_0$ pada bagian (d): $t_0 = n\mu + z_\alpha \cdot \sigma\sqrt{n}$ — rumus langsung untuk persentil ke-$(1-\alpha)$ dari distribusi $S_n$.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi Penerapan CLT›

Sebelum menggunakan CLT:

1. Distribusi asal: $E[X] < \infty$ dan $\text{Var}(X) < \infty$ — wajib diperiksa ✓
2. $n$ cukup besar: $n \geq 30$ untuk distribusi simetris ringan; $n \geq 50$–$100$ untuk distribusi skewed ✓
3. Variabel i.i.d.: independen dan identik terdistribusi ✓
4. Untuk Binomial: $np \geq 5$ dan $n(1-p) \geq 5$ ✓

✓Validasi Standarisasi›

Dua kesalahan paling sering dalam standarisasi:

1. Untuk $\bar{X}$: standar deviasi adalah $\sigma/\sqrt{n}$ (dibagi akar $n$) ✓
2. Untuk $S_n$: standar deviasi adalah $\sigma\sqrt{n}$ (dikali akar $n$) ✓
3. Kedua rumus menghasilkan statistik yang sama: $(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) = (S_n - n\mu)/(\sigma\sqrt{n})$ ✓

✓Validasi Koreksi Kontinuitas›

Untuk distribusi diskrit:

1. $P(X \leq k)$: gunakan $k + 0{,}5$ di pembilang ✓
2. $P(X \geq k)$: gunakan $k - 0{,}5$ di pembilang ✓
3. $P(j \leq X \leq k)$: gunakan $j - 0{,}5$ (bawah) dan $k + 0{,}5$ (atas) ✓
4. $P(X = k)$: gunakan interval $[k - 0{,}5,\; k + 0{,}5]$ ✓

Metode Alternatif

CLT via MGF (untuk verifikasi distribusi penjumlahan): Jika distribusi $X_i$ memiliki MGF yang diketahui, ekspansi Taylor MGF di $t/\sqrt{n}$ memberikan konvergensi eksplisit ke $e^{t^2/2}$. Lebih rigorous dari pendekatan intuitif namun memberikan insight mendalam tentang laju konvergensi.

Menggunakan distribusi eksak sebagai benchmark: Untuk distribusi yang distribusi penjumlahannya diketahui ($\text{Exp} \to \Gamma$; $\text{Bern} \to \text{Binomial}$; $\text{Poisson}$ individual $\to \text{Poisson}$ total), selalu bandingkan aproksimasi CLT dengan nilai eksak untuk memverifikasi akurasi.

Section 6 — Visualisasi Mental

CLT sebagai “Perataan Distribusi”:

Bayangkan satu variabel acak $X$ dengan distribusi miring kanan (seperti Eksponensial). Ambil rata-rata dari 2 variabel — distribusi mulai lebih simetris. Ambil rata-rata dari 10 — sudah tampak seperti lonceng kasar. Ambil rata-rata dari 30 — hampir tidak bisa dibedakan dari Normal. Ini bukan keajaiban: fluktuasi positif di satu variabel cenderung diimbangi oleh fluktuasi negatif di variabel lain; semakin banyak variabel, semakin sempurna penyeimbangan ini.

Koreksi Kontinuitas sebagai “Pikselasi”:

Distribusi diskrit seperti Binomial adalah “piksel” di integer. Distribusi Normal adalah “kurva halus”. Koreksi kontinuitas adalah cara mengonversi antara keduanya: setiap piksel integer $k$ direpresentasikan sebagai interval $[k-0{,}5, k+0{,}5]$ dalam kurva halus. Tanpa koreksi, kita memotong kurva Normal tepat di titik integer; dengan koreksi, kita mengambil seluruh “pixel” yang sesuai.

Lebar Distribusi $\bar{X}$ vs $S_n$:

Distribusi $\bar{X}$ semakin sempit saat $n$ bertambah ($\sigma/\sqrt{n} \to 0$): rata-rata semakin terkonsentrasi di $\mu$ — ini adalah manifestasi LLN. Distribusi $S_n$ semakin lebar saat $n$ bertambah ($\sigma\sqrt{n} \to \infty$): total klaim semakin tersebar. Namun keduanya semakin Normal-shaped — ini adalah CLT.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Penyempitan distribusi $\bar{X}$ berkorespondensi dengan:

$$\text{SE}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \to 0 \text{ saat } n \to \infty \longleftrightarrow \text{distribusi semakin terkonsentrasi di } \mu$$

Koreksi kontinuitas $+0{,}5$ berkorespondensi dengan:

$$P(X \leq k) = P(\text{Normal} \leq k+0{,}5) \longleftrightarrow \text{memasukkan seluruh "piksel" ke-}k$$

Konvergensi MGF ke Normal berkorespondensi dengan:

$$\left[1 + \frac{t^2}{2n} + O(n^{-3/2})\right]^n \to e^{t^2/2} \longleftrightarrow \text{MGF Normal standar}$$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Jebakan utama — Mencampur SE untuk $\bar{X}$ dan SD untuk $S_n$:

	$\bar{X}$	$S_n = \sum X_i$
Mean	$\mu$	$n\mu$
Standar deviasi	$\sigma/\sqrt{n}$	$\sigma\sqrt{n}$
Standarisasi	$({\bar{X}-\mu})/(\sigma/\sqrt{n})$	$(S_n - n\mu)/(\sigma\sqrt{n})$

Keduanya menghasilkan statistik yang identik secara aljabar: $(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) = (S_n-n\mu)/(\sigma\sqrt{n})$ karena $\bar{X} = S_n/n$. Kesalahan adalah menggunakan $\sigma/\sqrt{n}$ sebagai SD untuk $S_n$, atau $\sigma\sqrt{n}$ sebagai SE untuk $\bar{X}$.

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Mengira CLT menyatakan distribusi $X_i$ mendekati Normal. CLT berbicara tentang distribusi $\bar{X}_n$ atau $S_n$ — bukan distribusi populasi $X_i$. Setiap $X_i$ tetap terdistribusi seperti populasinya; hanya rata-ratanya yang mendekati Normal.
2. Mengaplikasikan CLT tanpa memeriksa syarat variansi terbatas. Untuk distribusi berat ekor (heavy-tailed) dengan variansi tak terbatas, CLT tidak berlaku. Di konteks aktuaria, distribusi seperti Pareto dengan $\alpha \leq 2$ tidak memiliki variansi terbatas.
3. Mengira $n \geq 30$ adalah batas absolut. Ini adalah aturan praktis, bukan matematis. Untuk distribusi simetris ringan (Uniform), $n = 10$ sudah cukup. Untuk distribusi sangat skewed atau heavy-tailed, $n = 30$ mungkin tidak cukup.
4. Melupakan koreksi kontinuitas untuk distribusi diskrit. Untuk Binomial dan Poisson, koreksi kontinuitas secara signifikan meningkatkan akurasi aproksimasi, terutama saat menghitung probabilitas ekor atau probabilitas titik.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Gunakan CLT untuk mengaproksimasi”: Ini secara implisit meminta menggunakan $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ atau $S_n \approx N(n\mu, n\sigma^2)$ — pilih sesuai dengan statistik yang ditanya.
• ”$X$ adalah jumlah” (bukan rata-rata): Jika soal menyatakan $X = \sum X_i$, gunakan CLT untuk $S_n$ (standar deviasi $\sigma\sqrt{n}$), bukan untuk $\bar{X}$ (standar deviasi $\sigma/\sqrt{n}$).
• Persentil dari distribusi aproksimasi: Untuk mencari $c$ sehingga $P(S_n \leq c) = p$: gunakan $c = n\mu + z_p \cdot \sigma\sqrt{n}$ di mana $z_p = \Phi^{-1}(p)$ — ingat standar deviasi $S_n$ adalah $\sigma\sqrt{n}$, bukan $\sigma/\sqrt{n}$.

▲Red Flags›

• Distribusi asal tidak diketahui atau non-Normal + $n$ besar: Ini adalah sinyal klasik untuk menggunakan CLT — tanpa CLT tidak mungkin menghitung probabilitas tentang $\bar{X}$ atau $S_n$.
• Soal menyebut “Binomial dengan $n$ besar” atau “Poisson dengan $\lambda$ besar”: Kemungkinan besar aproksimasi Normal + koreksi kontinuitas diminta.
• Soal meminta $P(\bar{X} > c)$ atau $P(S_n \leq c)$ dari distribusi non-Normal: Standarisasi ke $Z$ menggunakan $\text{SE} = \sigma/\sqrt{n}$ atau $\sigma\sqrt{n}$ sesuai statistik.
• Soal menyebutkan “total” atau “jumlah”: Gunakan CLT untuk $S_n$ — mean $n\mu$, SD $\sigma\sqrt{n}$.
• Soal menyebutkan “rata-rata”: Gunakan CLT untuk $\bar{X}$ — mean $\mu$, SD $\sigma/\sqrt{n}$.
• Soal tentang distribusi Cauchy atau distribusi “berat ekor” tanpa variansi terbatas: CLT tidak berlaku — sebutkan ini secara eksplisit.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. CLT — pernyataan formal: $\frac{\bar{X}_n - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \xrightarrow{d} N(0,1) \quad (n \to \infty), \quad \text{syarat: } \mu < \infty,\; \sigma^2 < \infty,\; \text{i.i.d.}$
2. Aproksimasi praktis — mean dan jumlah: $\bar{X}_n \overset{\text{approx}}{\sim} N\!\left(\mu,\; \frac{\sigma^2}{n}\right), \qquad S_n \overset{\text{approx}}{\sim} N(n\mu,\; n\sigma^2)$
3. Standar deviasi — arah $\sqrt{n}$ berbeda! $\text{SD}(\bar{X}) = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \quad (\text{bagi}), \qquad \text{SD}(S_n) = \sigma\sqrt{n} \quad (\text{kali})$
4. Koreksi kontinuitas untuk distribusi diskrit: $P(X \leq k) \approx \Phi\!\left(\frac{k+0{,}5-\mu}{\sigma}\right), \quad P(X \geq k) \approx 1 - \Phi\!\left(\frac{k-0{,}5-\mu}{\sigma}\right)$
5. Aturan validitas — Binomial: $X \sim B(n,p): \quad X \approx N(np, np(1-p)) \quad \text{jika } np \geq 5 \text{ dan } n(1-p) \geq 5$

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “aproksimasi Normal”, “CLT”, “distribusi populasi tidak diketahui tapi $n$ besar”, “Binomial $n$ besar”, “Poisson $\lambda$ besar”, “total klaim dari banyak polis”, “rata-rata sampel besar”.
• Tipe skenario soal:
  • Hitung $P(\bar{X} \in [a,b])$ atau $P(S_n \leq c)$ dari distribusi asal non-Normal.
  • Aproksimasi Binomial atau Poisson menggunakan Normal.
  • Tentukan ukuran sampel minimal untuk probabilitas tertentu.
  • Tentukan persentil dari distribusi sampel menggunakan tabel Normal standar.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika $\sigma^2$ tidak terbatas: CLT tidak berlaku — sebutkan syarat dilanggar.
• Jika $n$ kecil dan distribusi asal non-Normal: Gunakan distribusi eksak jika tersedia, atau simulasi.
• Jika populasi Normal: Distribusi $\bar{X}$ eksak Normal untuk $n$ berapapun — CLT tidak diperlukan, langsung gunakan $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$.
• Jika $\sigma^2$ tidak diketahui: Distribusi $t$ (bukan CLT langsung) saat $n$ kecil; untuk $n$ besar CLT + $S$ sebagai estimasi $\sigma$ valid (lihat 4.2 Distribusi Sampel).
• Jika diperlukan probabilitas eksak: Gunakan PMF/PDF atau CDF eksak dari distribusi yang diketahui.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Hitung probabilitas tentang<br>X-bar atau S_n dari populasi non-Normal"] --> B["Apakah sigma^2 terbatas dan n cukup besar?"]
    B -->|"Tidak: sigma^2 tak terbatas"| C["CLT TIDAK berlaku<br>Sebutkan syarat dilanggar<br>Contoh: distribusi Cauchy"]
    B -->|"Ya"| D["Statistik apa yang ditanya?"]
    D --> E["X-bar: rata-rata"]
    D --> F["S_n: jumlah / total"]
    E --> G["X-bar ~approx N(mu, sigma^2/n)<br>SE = sigma/sqrt(n)<br>Z = (X-bar - mu) / (sigma/sqrt(n))"]
    F --> H["S_n ~approx N(n*mu, n*sigma^2)<br>SD_S = sigma*sqrt(n)<br>Z = (S_n - n*mu) / (sigma*sqrt(n))"]
    G --> I["Apakah distribusi asal diskrit?<br>Binomial atau Poisson?"]
    H --> I
    I -->|"Ya"| J["Terapkan koreksi kontinuitas:<br>P(X <= k) -> pakai k + 0.5<br>P(X >= k) -> pakai k - 0.5"]
    I -->|"Tidak"| K["Gunakan aproksimasi Normal langsung<br>Standarisasi ke Z<br>Baca tabel Phi"]
    J --> L["Standarisasi dan baca tabel Phi"]
    K --> L
    L --> M["Verifikasi: apakah n cukup besar?<br>n >= 30 untuk simetris<br>n >= 50-100 untuk sangat skewed<br>np >= 5 dan nq >= 5 untuk Binomial"]

---

❝Follow-up Options›

1. “Berikan soal variasi: aproksimasi Normal untuk total klaim $n = 50$ polis dengan klaim individual berdistribusi Gamma, termasuk perbandingan dengan Gamma eksak”
2. “Jelaskan hubungan 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT) dengan 4.4 Hukum Bilangan Besar (LLN) — perbedaan formal dan implikasi masing-masing”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 4.1–4.2; Miller et al. (2014) Bab 8.6–8.7; Walpole et al. (2012) Bab 8.3 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #InferensStatistik #CLT #TeoremaLimitPusat #NormalAproksimasi #Konvergensi #DistribusiSampel