CF2 · Materi 2.6

Distribusi Kontinu Umum

2026-02-21 Calculation-Intensive Bobot: 25–35% Hogg-Tanis-Zimmerman (2015) Bab 3.1–3.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.6–1.7; Miller et al. (2014) Bab 6.1–6.5, 7.1–7.3, 7.5–7.6

CF2ProbabilitasStatistikaVariabelAcakKontinuUniformEksponensialGammaNormalDistribusiUmumCalculation-Intensive

📊 2.6 — Distribusi Kontinu Umum

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Distribusi Kontinu Umum (Uniform, Eksponensial, Gamma, Normal) | Bobot: ~25–35% | Difficulty: Calculation-Intensive Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 3.1–3.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.6–1.7; Miller et al. (2014) Bab 6.1–6.5, 7.1–7.3, 7.5–7.6 | Prereq: 2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.3 Fungsi Pembangkit, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 2: Variabel Acak Univariat	2.6	Mengidentifikasi dan menggunakan distribusi Uniform, Eksponensial, Gamma, dan Normal; menghitung PDF, CDF, $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ untuk keempat distribusi; menggunakan sifat memoryless Eksponensial; menurunkan distribusi Gamma dari penjumlahan Eksponensial i.i.d.; menerapkan transformasi standarisasi Normal dan tabel $\Phi$ ; mengenali hubungan antar-distribusi (Eksponensial↔Gamma, Normal↔Chi-Kuadrat); menangani dua parametrisasi Gamma (laju vs skala)	25–35%	Calculation-Intensive	2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.3 Fungsi Pembangkit, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 3.5 Independensi dan Korelasi, 4.2 Distribusi Sampel, 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 3.1–3.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.6–1.7; Miller et al. (2014) Bab 6.1–6.5, 7.1–7.3, 7.5–7.6

Section 1 — Intuisi

Dunia aktuaria dipenuhi dengan besaran kontinu — waktu tunggu hingga klaim, besarnya kerugian, skor kredit, tingkat imbal hasil aset. Keempat distribusi di topik ini bukan sekadar formula: masing-masing adalah model matematika dari mekanisme alam yang berbeda, dan memahami mekanismenya memudahkan identifikasi dan penggunaan yang tepat.

Uniform adalah distribusi “tidak tahu apa-apa” — semua nilai dalam interval $(a,b)$ sama-sama mungkin, tanpa informasi tambahan apapun. Eksponensial adalah distribusi waktu tunggu antara kejadian yang terjadi secara acak dengan laju konstan — ia adalah padanan kontinu dari distribusi Geometrik diskrit, dan seperti Geometrik, memiliki sifat memoryless yang istimewa: jika mesin belum rusak setelah $t$ jam, distribusi waktu hingga kerusakan berikutnya persis sama seolah mesin baru saja dinyalakan. Gamma menggeneralisasi Eksponensial: ia memodelkan waktu tunggu hingga kejadian ke- $\alpha$ (dengan $\alpha$ integer) atau, secara umum, jumlah dari variabel Eksponensial i.i.d. — sangat berguna untuk memodelkan aggregate claims atau loss severity. Normal adalah distribusi paling universal: ia muncul sebagai limit penjumlahan variabel acak i.i.d. apapun (Teorema Limit Pusat), membuat hampir seluruh statistika inferensial berpusat padanya.

Hubungan antar-distribusi ini bukan sekadar trivia — ia adalah alat kerja aktif di exam. Eksponensial adalah kasus khusus Gamma ( $\alpha=1$ ). Penjumlahan $n$ Eksponensial i.i.d. adalah Gamma( $n$ , $\beta$ ). Kuadrat Normal standar adalah Chi-Kuadrat(1). Penjumlahan kuadrat $n$ Normal standar independen adalah Chi-Kuadrat( $n$ ). Menguasai jaring hubungan ini memungkinkan identifikasi distribusi penjumlahan menggunakan MGF tanpa derivasi panjang — dan ini persis yang sering diuji di CF2.

Section 2 — Definisi Formal

ℹRingkasan Empat Distribusi Kontinu›

Tabel master — semua formula PDF, CDF, mean, variansi, dan MGF untuk referensi cepat.

Tabel Master Distribusi Kontinu

Distribusi	Notasi	PDF $f(x)$	Support	$E[X]$	$\text{Var}(X)$	$M_X(t)$
Uniform	$U(a,b)$	$\dfrac{1}{b-a}$	$(a,b)$	$\dfrac{a+b}{2}$	$\dfrac{(b-a)^2}{12}$	$\dfrac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)}$ , $t\neq 0$
Eksponensial (laju $\lambda$ )	$\text{Exp}(\lambda)$	$\lambda e^{-\lambda x}$	$(0,\infty)$	$\dfrac{1}{\lambda}$	$\dfrac{1}{\lambda^2}$	$\dfrac{\lambda}{\lambda-t}$ , $t<\lambda$
Eksponensial (skala $\beta$ )	$\text{Exp}(\beta)$	$\dfrac{1}{\beta}e^{-x/\beta}$	$(0,\infty)$	$\beta$	$\beta^2$	$\dfrac{1}{1-\beta t}$ , $t<1/\beta$
Gamma (laju $\lambda$ )	$\Gamma(\alpha,\lambda)$	$\dfrac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\lambda x}$	$(0,\infty)$	$\dfrac{\alpha}{\lambda}$	$\dfrac{\alpha}{\lambda^2}$	$\left(\dfrac{\lambda}{\lambda-t}\right)^\alpha$ , $t<\lambda$
Gamma (skala $\beta$ )	$\Gamma(\alpha,\beta)$	$\dfrac{1}{\beta^\alpha\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-x/\beta}$	$(0,\infty)$	$\alpha\beta$	$\alpha\beta^2$	$(1-\beta t)^{-\alpha}$ , $t<1/\beta$
Normal	$N(\mu,\sigma^2)$	$\dfrac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}$	$(-\infty,\infty)$	$\mu$	$\sigma^2$	$e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Rentang Valid
$a, b$	Batas bawah dan atas distribusi Uniform	$a < b$ , keduanya real
$\lambda$	Parameter laju (rate) Eksponensial/Gamma	$\lambda > 0$
$\beta$	Parameter skala (scale) Eksponensial/Gamma; $\beta = 1/\lambda$	$\beta > 0$
$\alpha$	Parameter bentuk (shape) Gamma	$\alpha > 0$ ; untuk $\alpha \in \mathbb{Z}^+$ disebut Erlang
$\mu$	Mean (parameter lokasi) Normal	$\mu \in \mathbb{R}$
$\sigma^2$	Variansi (parameter skala) Normal	$\sigma^2 > 0$
$\sigma$	Standar deviasi Normal	$\sigma > 0$
$\Gamma(\alpha)$	Fungsi Gamma: $\int_0^\infty t^{\alpha-1}e^{-t}\,dt$	$\alpha > 0$
$Z$	Variabel Normal standar: $Z \sim N(0,1)$	Hasil standarisasi $Z = (X-\mu)/\sigma$
$\Phi(z)$	CDF Normal standar: $P(Z \leq z)$	Dibaca dari tabel atau dihitung
$z_\alpha$	Persentil ke- $(1-\alpha)$ dari $N(0,1)$	$P(Z > z_\alpha) = \alpha$

Rumus Utama per Distribusi

Uniform $U(a,b)$

f(x) = \frac{1}{b-a}, \quad a < x < b

F(x) = \frac{x-a}{b-a}, \quad a \leq x \leq b

E[X] = \frac{a+b}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{(b-a)^2}{12}, \qquad M_X(t) = \frac{e^{tb}-e^{ta}}{t(b-a)},\; t \neq 0

Persentil ke- $p$ : $x_p = a + p(b-a)$

Eksponensial

Dua parametrisasi yang digunakan di silabus CF2:

Parametrisasi Laju ( $\lambda$ ) — digunakan di Hogg-Tanis-Zimm:

f(x) = \lambda e^{-\lambda x}, \quad x > 0

F(x) = 1 - e^{-\lambda x}, \quad x > 0

E[X] = \frac{1}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}, \qquad M_X(t) = \frac{\lambda}{\lambda - t},\; t < \lambda

Parametrisasi Skala ( $\beta = 1/\lambda$ ) — digunakan di Miller:

f(x) = \frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}, \quad x > 0

F(x) = 1 - e^{-x/\beta}, \quad x > 0

E[X] = \beta, \qquad \text{Var}(X) = \beta^2, \qquad M_X(t) = \frac{1}{1 - \beta t},\; t < \frac{1}{\beta}

Sifat Memoryless (Tanpa Ingatan):

P(X > s + t \mid X > s) = P(X > t) \quad \text{untuk semua } s, t \geq 0

Ekuivalen: $P(X > s+t) = P(X > s) \cdot P(X > t)$ . Ini adalah satu-satunya distribusi kontinu yang bersifat memoryless.

Sifat Aditif (via MGF): Jika $X_1, \ldots, X_n \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(\lambda)$ , maka $\sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma(n, \lambda)$ .

Gamma $\Gamma(\alpha, \lambda)$

Parametrisasi Laju ( $\lambda$ ):

f(x) = \frac{\lambda^\alpha}{\Gamma(\alpha)}\, x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}, \quad x > 0

E[X] = \frac{\alpha}{\lambda}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2}, \qquad M_X(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^\alpha,\; t < \lambda

Parametrisasi Skala ( $\beta = 1/\lambda$ ):

f(x) = \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)}\, x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}, \quad x > 0

E[X] = \alpha\beta, \qquad \text{Var}(X) = \alpha\beta^2, \qquad M_X(t) = (1-\beta t)^{-\alpha},\; t < \frac{1}{\beta}

Sifat Aditif: Jika $X \sim \Gamma(\alpha_1, \lambda)$ dan $Y \sim \Gamma(\alpha_2, \lambda)$ independen (parameter $\lambda$ harus sama), maka:

X + Y \sim \Gamma(\alpha_1 + \alpha_2,\, \lambda)

Kasus Khusus:

$\Gamma(1, \lambda) = \text{Exp}(\lambda)$
$\Gamma(n, \lambda)$ dengan $n \in \mathbb{Z}^+$ disebut distribusi Erlang
$\Gamma(\nu/2, 1/2)$ dengan parametrisasi skala $\beta=2$ adalah Chi-Kuadrat $\chi^2(\nu)$

Fungsi Gamma — Sifat Kunci:

\Gamma(\alpha) = \int_0^\infty t^{\alpha-1} e^{-t}\, dt

\Gamma(\alpha+1) = \alpha\,\Gamma(\alpha) \quad \text{(sifat rekursi)}

\Gamma(n) = (n-1)! \quad \text{untuk } n \in \mathbb{Z}^+

\Gamma\!\left(\tfrac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}

Normal $N(\mu, \sigma^2)$

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}\, \exp\!\left(-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right), \quad x \in \mathbb{R}

E[X] = \mu, \qquad \text{Var}(X) = \sigma^2, \qquad M_X(t) = \exp\!\left(\mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}\right)

Standarisasi:

Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)

Probabilitas via tabel $\Phi$ :

P(X \leq x) = P\!\left(Z \leq \frac{x-\mu}{\sigma}\right) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)

P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\frac{b-\mu}{\sigma}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-\mu}{\sigma}\right)

Simetri $\Phi$ :

\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)

Sifat Aditif: Jika $X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ dan $Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$ independen, maka:

X + Y \sim N(\mu_1 + \mu_2,\; \sigma_1^2 + \sigma_2^2)

Transformasi Linear: Jika $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ dan $Y = aX + b$ , maka:

Y \sim N(a\mu + b,\; a^2\sigma^2)

Aturan Empiris:

P(\mu - \sigma < X < \mu + \sigma) \approx 0{,}6827

P(\mu - 2\sigma < X < \mu + 2\sigma) \approx 0{,}9545

P(\mu - 3\sigma < X < \mu + 3\sigma) \approx 0{,}9973

Asumsi Eksplisit

Uniform: Semua nilai dalam $(a,b)$ sama-sama mungkin — tidak ada kecenderungan ke nilai tertentu. PDF konstan.
Eksponensial: Kejadian terjadi dengan laju konstan $\lambda$ ; waktu antar-kejadian independen. Sifat memoryless adalah konsekuensi dari asumsi laju konstan ini.
Gamma: Penjumlahan $\alpha$ waktu tunggu Eksponensial i.i.d. dengan laju $\lambda$ (interpretasi untuk $\alpha \in \mathbb{Z}^+$ ); untuk $\alpha > 0$ real, definisi diberikan via PDF dengan fungsi Gamma.
Normal: Tidak ada asumsi mekanistik khusus — universalitasnya dijamin oleh CLT. PDF simetris, unimodal, dengan ekor yang menurun lebih cepat dari distribusi lainnya.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Mengapa $E[\text{Exp}(\lambda)] = 1/\lambda$ ? Intuisinya: jika rata-rata 3 kejadian per jam ( $\lambda=3$ ), waktu rata-rata antar-kejadian adalah $1/3$ jam. Secara formal: $E[X] = \int_0^\infty x \cdot \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda \int_0^\infty x e^{-\lambda x}\,dx$ Integrasi per bagian ( $u=x$ , $dv=\lambda e^{-\lambda x}dx$ ) menghasilkan $1/\lambda$ .

Mengapa Gamma adalah penjumlahan Eksponensial? MGF $\text{Exp}(\lambda)$ adalah $\lambda/(\lambda-t)$ . Untuk penjumlahan $\alpha$ buah Eksponensial i.i.d.: $[\lambda/(\lambda-t)]^\alpha$ — ini persis MGF $\Gamma(\alpha,\lambda)$ . Uniqueness Theorem memastikan distribusinya adalah Gamma.

Mengapa Normal memiliki MGF $e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$ ? Ini diturunkan dari integral Gaussian: $\int_{-\infty}^\infty e^{tx} \cdot \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}e^{-(x-\mu)^2/(2\sigma^2)}dx$ . Lengkapkan kuadrat di eksponen: $tx - (x-\mu)^2/(2\sigma^2) = -\frac{(x-\mu-\sigma^2 t)^2}{2\sigma^2} + \mu t + \frac{\sigma^2 t^2}{2}$ . Faktor $e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$ keluar dari integral; sisa integral adalah PDF Normal yang terintegrasi ke 1.

◈Support dan Domain›

Uniform $U(a,b)$ : Support terbatas $(a,b)$ ; PDF $= 0$ di luar. Persentil ke- $p$ adalah $a + p(b-a)$ — rumus linear sederhana.
Eksponensial dan Gamma: Support $(0,\infty)$ ; tidak mungkin bernilai negatif — cocok untuk waktu, biaya, kerugian. PDF dimulai dari $f(0^+) = \lambda$ (Eksponensial) atau $0$ (Gamma dengan $\alpha > 1$ ) atau $\infty$ (Gamma dengan $\alpha < 1$ ).
Normal: Support $(-\infty,\infty)$ ; bisa negatif — tidak cocok untuk besaran yang harus non-negatif (waktu, kerugian) kecuali sebagai aproksimasi jika $\mu \gg \sigma$ .
Konvergensi MGF: Eksponensial dan Gamma hanya konvergen untuk $t < \lambda$ (atau $t < 1/\beta$ ); Normal konvergen untuk semua $t \in \mathbb{R}$ .

Derivasi Sifat Memoryless Eksponensial:

P(X > s+t \mid X > s) = \frac{P(X > s+t)}{P(X > s)} = \frac{e^{-\lambda(s+t)}}{e^{-\lambda s}} = e^{-\lambda t} = P(X > t)

Jadi kondisional tidak bergantung pada $s$ — “mesin tidak mengingat sudah beroperasi selama $s$ jam”.

Derivasi Sifat Aditif Gamma via MGF:

Untuk $X \sim \Gamma(\alpha_1, \lambda)$ dan $Y \sim \Gamma(\alpha_2, \lambda)$ independen:

M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^{\alpha_1} \cdot \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^{\alpha_2} = \left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^{\alpha_1+\alpha_2}

Ini adalah MGF $\Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \lambda)$ . Oleh Uniqueness Theorem: $X+Y \sim \Gamma(\alpha_1+\alpha_2, \lambda)$ .

Catatan kritis: Sifat aditif hanya berlaku jika parameter $\lambda$ (atau $\beta$ ) identik. $\Gamma(2,3) + \Gamma(4,3) = \Gamma(6,3)$ ✓, tetapi $\Gamma(2,3) + \Gamma(4,5) \neq \Gamma(6,\cdot)$ ✗.

Derivasi Standarisasi Normal:

Jika $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ dan $Z = (X-\mu)/\sigma$ , maka via MGF transformasi linear $Y = aX+b$ dengan $a=1/\sigma$ , $b=-\mu/\sigma$ :

M_Z(t) = e^{-(\mu/\sigma)t} \cdot M_X(t/\sigma) = e^{-\mu t/\sigma} \cdot e^{\mu(t/\sigma) + \sigma^2(t/\sigma)^2/2} = e^{t^2/2}

Ini adalah MGF $N(0,1)$ — maka $Z \sim N(0,1)$ oleh Uniqueness Theorem.

Jaring Hubungan Antar-Distribusi:

\text{Exp}(\lambda) = \Gamma(1,\lambda) \xrightarrow{\text{jumlah } n \text{ iid}} \Gamma(n,\lambda)

N(0,1) \xrightarrow{X^2} \chi^2(1) = \Gamma\!\left(\tfrac{1}{2},\, 2\right) \xrightarrow{\text{jumlah } n \text{ iid}} \chi^2(n) = \Gamma\!\left(\tfrac{n}{2},\, 2\right)

N(\mu,\sigma^2) \xrightarrow{(X-\mu)/\sigma} N(0,1) \xrightarrow{\text{CLT}} \text{limit penjumlahan iid apapun}

✘Dilarang›

Dilarang mencampur parametrisasi laju ( $\lambda$ ) dan skala ( $\beta = 1/\lambda$ ) dalam satu perhitungan tanpa konversi eksplisit. Menulis $E[X] = \lambda$ untuk Eksponensial dengan parametrisasi laju adalah kesalahan — yang benar $E[X] = 1/\lambda$ . Selalu nyatakan parametrisasi yang digunakan di awal solusi.
Dilarang menerapkan sifat aditif Gamma untuk variabel dengan parameter $\lambda$ (atau $\beta$ ) yang berbeda. $\Gamma(\alpha_1,\lambda_1) + \Gamma(\alpha_2,\lambda_2)$ tidak terdistribusi Gamma jika $\lambda_1 \neq \lambda_2$ — distribusi penjumlahannya tidak memiliki bentuk tertutup yang sederhana.
Dilarang menggunakan $\Phi(z)$ tanpa standarisasi terlebih dahulu. Untuk $X \sim N(\mu,\sigma^2)$ , $P(X \leq x) \neq \Phi(x)$ — harus dikonversi ke $\Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$ . Lupa membagi dengan $\sigma$ adalah kesalahan paling sering di soal Normal.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Waktu pelayanan seorang nasabah di loket asuransi berdistribusi Eksponensial dengan rata-rata 5 menit.

(a) Tentukan PDF dan CDF dengan parametrisasi laju $\lambda$ . (b) Hitung probabilitas pelayanan selesai dalam 3 menit pertama. (c) Diketahui pelayanan sudah berlangsung 3 menit. Berapa probabilitas pelayanan akan selesai dalam 2 menit ke depan? Gunakan sifat memoryless. (d) Hitung median dan persentil ke-90 dari waktu pelayanan. (e) Hitung $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ , dan $\text{SD}(X)$ .

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

$E[X] = 5$ menit → parametrisasi laju: $\lambda = 1/5 = 0{,}2$ per menit
$X$ = waktu pelayanan (menit)

2. Identifikasi Distribusi / Model Waktu tunggu dengan laju konstan → $X \sim \text{Exp}(\lambda = 0{,}2)$ .

3. Setup Persamaan

PDF: $f(x) = \lambda e^{-\lambda x}$

CDF: $F(x) = 1 - e^{-\lambda x}$

Median: $F(m) = 0{,}5 \implies 1 - e^{-\lambda m} = 0{,}5$

4. Eksekusi Aljabar

(a) PDF dan CDF: $f(x) = 0{,}2\, e^{-0{,}2x}, \quad x > 0$ $F(x) = 1 - e^{-0{,}2x}, \quad x > 0$

(b) $P(X \leq 3)$ : $P(X \leq 3) = F(3) = 1 - e^{-0{,}2 \times 3} = 1 - e^{-0{,}6} = 1 - 0{,}5488 = 0{,}4512$

(c) Sifat memoryless — $P(X \leq 5 \mid X > 3)$ :

“Selesai dalam 2 menit ke depan” = $P(X \leq 3+2 \mid X > 3) = P(X \leq 2)$ (memoryless): $P(X \leq 2) = 1 - e^{-0{,}2 \times 2} = 1 - e^{-0{,}4} = 1 - 0{,}6703 = 0{,}3297$

Verifikasi langsung: $P(X \leq 5 \mid X > 3) = \frac{P(3 < X \leq 5)}{P(X > 3)} = \frac{F(5)-F(3)}{1-F(3)} = \frac{(1-e^{-1})-(1-e^{-0{,}6})}{e^{-0{,}6}} = \frac{e^{-0{,}6}-e^{-1}}{e^{-0{,}6}} = 1 - e^{-0{,}4} \;\checkmark$

(d) Median dan persentil ke-90:

Median ( $p = 0{,}5$ ): $1 - e^{-0{,}2m} = 0{,}5 \implies e^{-0{,}2m} = 0{,}5 \implies m = \frac{\ln 2}{0{,}2} = \frac{0{,}6931}{0{,}2} = 3{,}466 \text{ menit}$

Persentil ke-90 ( $p = 0{,}9$ ): $1 - e^{-0{,}2 x_{0{,}9}} = 0{,}9 \implies e^{-0{,}2 x_{0{,}9}} = 0{,}1 \implies x_{0{,}9} = \frac{\ln 10}{0{,}2} = \frac{2{,}3026}{0{,}2} = 11{,}51 \text{ menit}$

Rumus umum persentil Eksponensial (laju $\lambda$ ): $x_p = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda}$

(e) $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ , $\text{SD}(X)$ : $E[X] = \frac{1}{\lambda} = \frac{1}{0{,}2} = 5 \text{ menit}$ $\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{0{,}04} = 25 \text{ menit}^2$ $\text{SD}(X) = \sqrt{25} = 5 \text{ menit}$

5. Verification

$E[X] = \text{SD}(X) = 5$ menit: untuk Eksponensial, $\text{SD}(X) = E[X]$ selalu — koefisien variasi = 1 ✓
Median $= 3{,}466 < E[X] = 5$ : untuk distribusi right-skewed, median $<$ mean ✓
$P(X \leq 3) = 0{,}451$ : kurang dari setengah, konsisten dengan median $> 3$ ✓
Persentil ke-90 $= 11{,}51 > E[X] = 5$ : ekor kanan Eksponensial memang panjang ✓

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 8–10 menit Common trap 1: Menukar $\lambda$ dan $E[X]$ . Jika diberikan “rata-rata 5 menit”, maka $E[X] = 5$ dan $\lambda = 1/5$ — bukan $\lambda = 5$ . Common trap 2: Untuk memoryless, $P(X \leq s+t \mid X > s) = P(X \leq t)$ — yang penting adalah increment $t$ yang digunakan, bukan nilai absolut $s+t$ . Shortcut persentil: $x_p = -\ln(1-p)/\lambda$ — hafalkan formula ini; lebih cepat dari menyelesaikan $F(x) = p$ setiap kali.

Soal B — Exam-Typical

Kerugian total (dalam juta rupiah) dari sebuah portofolio asuransi dalam satu kuartal mengikuti distribusi Gamma dengan parameter bentuk $\alpha = 4$ dan parameter skala $\beta = 2$ (yaitu $\Gamma(4, \beta=2)$ ).

(a) Tentukan PDF, $E[X]$ , dan $\text{Var}(X)$ . (b) Interpretasikan distribusi ini sebagai penjumlahan variabel Eksponensial. (c) Tunjukkan menggunakan MGF bahwa $X$ dapat dinyatakan sebagai penjumlahan 4 variabel Eksponensial i.i.d. dengan rata-rata 2. (d) Jika $Y \sim \Gamma(3, \beta=2)$ independen dari $X$ , tentukan distribusi $X + Y$ . (e) Hitung $P(X > 10)$ menggunakan fakta bahwa CDF Gamma untuk $\alpha \in \mathbb{Z}^+$ dapat diekspresikan dalam bentuk tertutup via Poisson: $P(X > x) = P\!\left(\text{Poisson}\!\left(\frac{x}{\beta}\right) < \alpha\right) = \sum_{k=0}^{\alpha-1} \frac{e^{-x/\beta}(x/\beta)^k}{k!}$

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

$X \sim \Gamma(\alpha=4, \beta=2)$ (parametrisasi skala)
$\lambda = 1/\beta = 0{,}5$ (parametrisasi laju ekuivalen)
$Y \sim \Gamma(3, \beta=2)$ , independen dari $X$

2. Identifikasi Distribusi / Model Gamma dengan $\alpha$ integer (distribusi Erlang). Sifat aditif berlaku karena $Y$ memiliki $\beta$ yang sama.

3. Setup Persamaan

PDF parametrisasi skala: $f(x) = \frac{1}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-x/\beta}$

MGF parametrisasi skala: $M_X(t) = (1-\beta t)^{-\alpha}$

4. Eksekusi Aljabar

(a) PDF, $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ : $f(x) = \frac{1}{2^4 \cdot \Gamma(4)}\, x^{3}\, e^{-x/2} = \frac{1}{16 \cdot 6}\, x^3\, e^{-x/2} = \frac{x^3 e^{-x/2}}{96}, \quad x > 0$

(menggunakan $\Gamma(4) = 3! = 6$ )

$E[X] = \alpha\beta = 4 \times 2 = 8 \text{ juta rupiah}$ $\text{Var}(X) = \alpha\beta^2 = 4 \times 4 = 16 \text{ juta rupiah}^2, \quad \text{SD}(X) = 4$

(b) Interpretasi sebagai penjumlahan Eksponensial:

$\Gamma(4, \beta=2)$ adalah distribusi penjumlahan $\alpha = 4$ variabel Eksponensial i.i.d. dengan parameter skala $\beta = 2$ (yaitu rata-rata 2 per variabel). Secara konkret: jika $X_1, X_2, X_3, X_4 \overset{\text{iid}}{\sim} \text{Exp}(\beta=2)$ , maka $X_1+X_2+X_3+X_4 \sim \Gamma(4, \beta=2)$ .

(c) Verifikasi via MGF:

MGF $\text{Exp}(\beta=2)$ : $M_{X_i}(t) = (1-2t)^{-1}$ , valid untuk $t < 1/2$ .

MGF penjumlahan 4 variabel i.i.d.: $M_{X_1+X_2+X_3+X_4}(t) = \left[(1-2t)^{-1}\right]^4 = (1-2t)^{-4} = (1-\beta t)^{-\alpha}\bigg|_{\alpha=4,\,\beta=2}$

Ini tepat MGF $\Gamma(4, \beta=2)$ . Oleh Uniqueness Theorem: $X_1+\cdots+X_4 \sim \Gamma(4,2)$ ✓

(d) Distribusi $X + Y$ :

$X \sim \Gamma(4, \beta=2)$ dan $Y \sim \Gamma(3, \beta=2)$ independen, $\beta$ sama: $M_{X+Y}(t) = (1-2t)^{-4} \cdot (1-2t)^{-3} = (1-2t)^{-7}$

Ini adalah MGF $\Gamma(7, \beta=2)$ . Oleh Uniqueness Theorem: $\boxed{X + Y \sim \Gamma(7,\, \beta=2)}$

(e) $P(X > 10)$ :

Gunakan hubungan Gamma–Poisson dengan $x = 10$ , $\beta = 2$ , $\alpha = 4$ : $P(X > 10) = \sum_{k=0}^{3} \frac{e^{-10/2}(10/2)^k}{k!} = \sum_{k=0}^{3} \frac{e^{-5} \cdot 5^k}{k!}$

Ini adalah $P(\text{Poisson}(5) \leq 3)$ : $= e^{-5}\left(\frac{5^0}{0!} + \frac{5^1}{1!} + \frac{5^2}{2!} + \frac{5^3}{3!}\right) = e^{-5}\left(1 + 5 + 12{,}5 + \frac{125}{6}\right)$ $= e^{-5}(1 + 5 + 12{,}5 + 20{,}833) = e^{-5} \times 39{,}333$ $= 0{,}006738 \times 39{,}333 = 0{,}2650$

5. Verification

$E[X] = 8$ dan $\text{SD}(X) = 4$ : $P(X > 10) = P(X > E[X]+0{,}5\,\text{SD}) \approx 0{,}265$ — berada di ekor kanan, nilai cukup masuk akal untuk distribusi right-skewed ✓
$\Gamma(4+3, 2) = \Gamma(7,2)$ : $\alpha$ dijumlahkan, $\beta$ tetap ✓
MGF $(1-2t)^{-7}$ dievaluasi di $t=0$ : $(1-0)^{-7} = 1$ ✓

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 12–14 menit Common trap 1: Saat menjumlah Gamma, $\alpha$ yang dijumlahkan, bukan $\beta$ . $\Gamma(4,2) + \Gamma(3,2) = \Gamma(7,2)$ — bukan $\Gamma(7,4)$ . Common trap 2: $\Gamma(4) = 3! = 6$ , bukan $4! = 24$ . Gunakan $\Gamma(n) = (n-1)!$ untuk integer. Common trap 3: Hubungan Gamma–Poisson hanya berlaku untuk $\alpha \in \mathbb{Z}^+$ . Untuk $\alpha$ non-integer, $P(X > x)$ tidak ada bentuk tertutup sederhana. Shortcut: Bagian (e) yang tampak rumit sebenarnya hanya $P(\text{Poisson}(5) \leq 3)$ — kenali ini segera dan hitung PMF Poisson standar.

Soal C — Challenging

Skor ujian aktuaria (dalam skala 0–100) dari 1.000 peserta dimodelkan dengan distribusi Normal $N(\mu = 68,\, \sigma^2 = 144)$ .

(a) Berapa proporsi peserta yang mendapat skor antara 56 dan 80? (b) Nilai minimum kelulusan ditetapkan agar tepat 15% peserta lulus. Tentukan nilai minimum tersebut. (c) Misalkan $\bar{X}$ adalah rata-rata skor 25 peserta yang dipilih acak. Tentukan distribusi $\bar{X}$ dan hitung $P(\bar{X} > 70)$ . (d) Misalkan $X_1$ dan $X_2$ adalah skor dua peserta yang dipilih secara independen. Tentukan distribusi $X_1 - X_2$ dan hitung $P(|X_1 - X_2| > 24)$ .

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

$X \sim N(\mu=68,\, \sigma^2=144)$ , sehingga $\sigma = 12$
$Z = (X-68)/12 \sim N(0,1)$
$n = 25$ untuk bagian (c)

2. Identifikasi Distribusi / Model Standarisasi ke $N(0,1)$ dan gunakan tabel $\Phi$ . Sifat aditif Normal untuk bagian (c) dan (d). Untuk (c): $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$ .

3. Setup Persamaan

Standarisasi umum: $P(a \leq X \leq b) = \Phi\!\left(\frac{b-68}{12}\right) - \Phi\!\left(\frac{a-68}{12}\right)$

4. Eksekusi Aljabar

(a) $P(56 \leq X \leq 80)$ :

Standarisasi batas: $z_1 = \frac{56-68}{12} = \frac{-12}{12} = -1{,}00, \qquad z_2 = \frac{80-68}{12} = \frac{12}{12} = 1{,}00$

$P(56 \leq X \leq 80) = \Phi(1{,}00) - \Phi(-1{,}00) = \Phi(1{,}00) - [1-\Phi(1{,}00)]$ $= 2\Phi(1{,}00) - 1 = 2(0{,}8413) - 1 = 0{,}6826$

Sekitar 68,26% peserta mendapat skor antara 56 dan 80 — ini adalah aturan $\mu \pm 1\sigma$ .

(b) Nilai minimum kelulusan (persentil ke-85):

“Tepat 15% lulus” → nilai minimum adalah persentil ke-85 (85% di bawah, 15% di atas): $P(X > c) = 0{,}15 \implies P(X \leq c) = 0{,}85 \implies \Phi\!\left(\frac{c-68}{12}\right) = 0{,}85$

Dari tabel $\Phi$ : $\Phi(1{,}04) \approx 0{,}8508$ , sehingga $z_{0{,}85} \approx 1{,}04$ : $\frac{c - 68}{12} = 1{,}04 \implies c = 68 + 12 \times 1{,}04 = 68 + 12{,}48 = 80{,}48$

Nilai minimum kelulusan adalah 80,48 (dibulatkan ke 81 jika skor harus integer).

(c) Distribusi $\bar{X}$ dan $P(\bar{X} > 70)$ :

Untuk rata-rata $n = 25$ sampel i.i.d. dari $N(68, 144)$ : $\bar{X} \sim N\!\left(68,\; \frac{144}{25}\right) = N\!\left(68,\; 5{,}76\right), \quad \sigma_{\bar{X}} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4$

$P(\bar{X} > 70) = P\!\left(Z > \frac{70-68}{2{,}4}\right) = P(Z > 0{,}833) = 1 - \Phi(0{,}833)$ $= 1 - 0{,}7977 = 0{,}2023$

(d) Distribusi $X_1 - X_2$ dan $P(|X_1-X_2| > 24)$ :

$X_1 \sim N(68,144)$ dan $X_2 \sim N(68,144)$ independen. Untuk selisih: $X_1 - X_2 \sim N(68-68,\; 144+144) = N(0,\; 288), \quad \sigma_{D} = \sqrt{288} = 12\sqrt{2}$

$P(|X_1-X_2| > 24) = P\!\left(|Z| > \frac{24}{12\sqrt{2}}\right) = P\!\left(|Z| > \frac{24}{16{,}971}\right) = P(|Z| > 1{,}414)$

$= 2[1-\Phi(1{,}414)] = 2[1-\Phi(\sqrt{2})]$

Dari tabel: $\Phi(1{,}414) \approx \Phi(\sqrt{2}) \approx 0{,}9213$ : $P(|X_1-X_2| > 24) = 2(1-0{,}9213) = 2(0{,}0787) = 0{,}1574$

5. Verification

Bagian (a): $P(\mu-\sigma < X < \mu+\sigma) = 0{,}6826$ — konsisten dengan aturan empiris 68% ✓
Bagian (b): nilai minimum $80{,}48 > \mu = 68$ dan $< \mu + 2\sigma = 92$ — masuk akal untuk persentil ke-85 ✓
$\sigma_{\bar{X}} = 2{,}4 < \sigma_X = 12$ : rata-rata 25 sampel punya variabilitas lebih kecil ✓
$\text{Var}(X_1-X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = 144+144 = 288$ (independen → variansi aditif) ✓
$P(|X_1-X_2|>24) = 0{,}157$ : sekitar 1/6 kemungkinan dua peserta berbeda lebih dari 24 poin ✓

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 14–16 menit Common trap 1: Standarisasi $\bar{X}$ : $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n} = 12/\sqrt{25} = 12/5 = 2{,}4$ , bukan $\sigma/n = 12/25$ . Selalu bagi dengan $\sqrt{n}$ , bukan $n$ . Common trap 2: Untuk $X_1 - X_2$ independen: $\text{Var}(X_1-X_2) = \text{Var}(X_1) + \text{Var}(X_2) = 288$ (variansi dijumlahkan meskipun ada tanda minus). Jangan kurangi variansi. Common trap 3: “Tepat 15% lulus” berarti 15% di atas nilai minimum, bukan di bawah — cari persentil ke-85, bukan ke-15. Shortcut: Kenali langsung bahwa $P(\mu - k\sigma < X < \mu + k\sigma)$ untuk $k=1,2,3$ adalah aturan empiris 68-95-99,7 — hemat waktu standarisasi untuk soal dengan batas tepat di $\mu \pm k\sigma$ .

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi PDF Kontinu›

Sebelum menggunakan PDF apapun:

$f(x) \geq 0$ di seluruh support — periksa semua parameter positif ✓
$\int_{\text{support}} f(x)\,dx = 1$ — untuk distribusi standar ini dijamin oleh konstruksi ✓
Support sesuai: Uniform $(a,b)$ ; Exp/Gamma $(0,\infty)$ ; Normal $(-\infty,\infty)$ ✓

✓Validasi Mean dan Variansi›

Quick-check konsistensi setelah menghitung:

Eksponensial: $\text{SD}(X) = E[X] = 1/\lambda$ — koefisien variasi selalu tepat 1 ✓
Gamma: $\text{SD}(X) = E[X]/\sqrt{\alpha}$ — semakin besar $\alpha$ , distribusi semakin simetris ✓
Normal: Mean $=$ Median $=$ Modus $= \mu$ (distribusi simetris) ✓
Uniform: Median $= (a+b)/2 = E[X]$ (distribusi simetris) ✓

✓Validasi Probabilitas Normal›

Setelah menghitung probabilitas Normal:

Verifikasi standarisasi: $z = (x-\mu)/\sigma$ — bagi dengan $\sigma$ , bukan $\sigma^2$ ✓
Untuk interval simetris di sekitar $\mu$ : gunakan $2\Phi(z_{\text{kanan}}) - 1$ ✓
Simetri $\Phi$ : $\Phi(-z) = 1 - \Phi(z)$ — cek tanda $z$ jika hasil tampak terlalu besar/kecil ✓
Sanity check aturan empiris: hasil harus mendekati 68%, 95%, 99,7% untuk $\pm 1,2,3$ SD ✓

✓Validasi Sifat Aditif Gamma›

Sebelum menerapkan sifat aditif:

Kedua variabel harus independen ✓
Parameter $\lambda$ (atau $\beta$ ) harus identik ✓
Hanya $\alpha$ yang dijumlahkan — $\lambda$ atau $\beta$ tetap tidak berubah ✓

Metode Alternatif

Teknik MGF untuk verifikasi distribusi penjumlahan: Kalikan MGF individual, cocokkan dengan MGF tabel — lebih cepat dari integral konvolusi dan dapat digunakan untuk Eksponensial, Gamma, dan Normal sekaligus.

Persentil Eksponensial closed-form: $x_p = -\ln(1-p)/\lambda$ — tidak perlu menyelesaikan $F(x) = p$ secara umum setiap kali.

Hubungan Gamma–Poisson untuk CDF: Untuk $\alpha \in \mathbb{Z}^+$ , gunakan $P(X > x) = P(\text{Poisson}(x/\beta) \leq \alpha-1)$ — mengkonversi integral Gamma yang sulit menjadi penjumlahan PMF Poisson yang mudah dihitung.

Section 6 — Visualisasi Mental

Uniform — Persegi Panjang Datar:

PDF adalah garis horizontal di ketinggian $1/(b-a)$ antara $a$ dan $b$ — bentuk persegi panjang sempurna. Luas = $1$ . CDF adalah garis lurus miring dari $(a,0)$ ke $(b,1)$ . Mean dan median keduanya tepat di tengah interval. Tidak ada ekor — probabilitas di luar $(a,b)$ persis nol.

Eksponensial — Penurunan Eksponensial:

PDF dimulai dari nilai tertinggi $\lambda$ di $x=0^+$ dan menurun monoton ke nol saat $x \to \infty$ . Bentuknya concave, selalu miring kanan (right-skewed). Modus ada di $x=0$ . Mean $= 1/\lambda >$ median $= \ln 2/\lambda$ — ekor kanan menarik mean ke kanan dari median. CDF: kurva cekung ke atas dari 0 menuju 1.

Gamma — Kurva Bukit Fleksibel:

Untuk $\alpha = 1$ : bentuk Eksponensial (monoton turun). Untuk $\alpha > 1$ : kurva bukit (unimodal) dengan modus di $(\alpha-1)/\lambda$ , miring kanan. Semakin besar $\alpha$ , bukit semakin simetris dan mirip Normal. Sumbu X dimulai dari 0, ekor kanan selalu ada.

Normal — Lonceng Simetris:

Kurva lonceng (bell curve) simetris sempurna terhadap $\mu$ . Titik infleksi tepat di $\mu \pm \sigma$ . PDF mencapai puncak di $x = \mu$ dengan nilai $1/(\sigma\sqrt{2\pi})$ . CDF: kurva S (sigmoid) dari 0 ke 1, titik infleksi di $(x=\mu, F=0{,}5)$ .

Hubungan Visual ↔ Rumus

Penurunan eksponensial PDF Eksponensial berkorespondensi dengan:

f(x) = \lambda e^{-\lambda x} \longleftrightarrow \text{nilai awal } f(0) = \lambda,\text{ peluruhan dengan konstanta } \lambda

Simetri PDF Normal di sekitar $\mu$ berkorespondensi dengan:

f(\mu + x) = f(\mu - x) \longleftrightarrow \Phi\!\left(\frac{(\mu+x)-\mu}{\sigma}\right) + \Phi\!\left(\frac{(\mu-x)-\mu}{\sigma}\right) = 1

Pelebaran kurva Gamma seiring bertambahnya $\alpha$ berkorespondensi dengan:

\text{Var}(X) = \frac{\alpha}{\lambda^2} \longleftrightarrow \text{kurva semakin melebar dan semakin simetris saat } \alpha \uparrow

Titik infleksi PDF Normal tepat di $\mu \pm \sigma$ berkorespondensi dengan:

f''(x)\big|_{x=\mu\pm\sigma} = 0 \longleftrightarrow \text{batas transisi dari cekung-ke-atas ke cekung-ke-bawah}

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Jebakan utama — Dua parametrisasi Eksponensial dan Gamma:

	Parametrisasi Laju	Parametrisasi Skala
Parameter	$\lambda$ (laju, rate)	$\beta = 1/\lambda$ (skala, scale)
PDF Exp	$\lambda e^{-\lambda x}$	$\frac{1}{\beta}e^{-x/\beta}$
$E[\text{Exp}]$	$1/\lambda$	$\beta$
MGF Exp	$\lambda/(\lambda-t)$	$1/(1-\beta t)$
$E[\Gamma]$	$\alpha/\lambda$	$\alpha\beta$
$\text{Var}[\Gamma]$	$\alpha/\lambda^2$	$\alpha\beta^2$

Salah: “Eksponensial dengan mean 5, maka $\lambda = 5$ ” — seharusnya $\lambda = 1/5$ .

Benar: Selalu tentukan dahulu parametrisasi yang digunakan; jika diberikan mean, hitung $\lambda = 1/\text{mean}$ (parametrisasi laju) atau $\beta = \text{mean}$ (parametrisasi skala).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menerapkan sifat aditif Gamma untuk variabel dengan parameter berbeda. $\Gamma(2,3) + \Gamma(4,5)$ tidak terdistribusi Gamma — parameter $\lambda$ (atau $\beta$ ) harus sama. Kesalahan ini sering terjadi ketika soal menyebutkan dua Gamma tanpa menegaskan parameter identik.
Salah standarisasi Normal: membagi dengan $\sigma^2$ alih-alih $\sigma$ . $z = (x-\mu)/\sigma$ , bukan $(x-\mu)/\sigma^2$ . Jika soal memberikan $\sigma^2 = 144$ , maka $\sigma = 12$ , dan standarisasinya memakai 12.
Salah menghitung $\sigma_{\bar{X}}$ untuk distribusi rata-rata sampel. $\sigma_{\bar{X}} = \sigma/\sqrt{n}$ , bukan $\sigma/n$ . Menggunakan $n$ alih-alih $\sqrt{n}$ adalah kesalahan yang sangat umum di soal CLT.
Lupa bahwa $\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y)$ untuk variabel independen. Variansi selisih sama dengan jumlah variansi (bukan selisih variansi) — tanda minus di $X-Y$ tidak memengaruhi variansi.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Rata-rata $\lambda$ kejadian per satuan waktu” dan parameter Eksponensial/Gamma: jika laju kejadian adalah $\lambda$ , waktu antar-kejadian mengikuti $\text{Exp}(\lambda)$ dengan mean $1/\lambda$ — bukan $\text{Exp}(\text{mean}=\lambda)$ .
“Tepat $p\%$ di atas nilai $c$ ” → cari persentil ke- $(100-p)$ , bukan ke- $p$ . Kata “di atas” berarti ekor kanan.
“Standar deviasi $\sigma$ ” vs “variansi $\sigma^2$ ”: notasi $N(\mu, \sigma^2)$ menggunakan variansi sebagai parameter kedua. Jika soal menyebut “standar deviasi 12”, maka $\sigma = 12$ dan $\sigma^2 = 144$ .
“Distribusi $\bar{X}$ ” untuk sampel besar tanpa distribusi Normal asal: gunakan CLT — $\bar{X} \approx N(\mu, \sigma^2/n)$ tanpa perlu asal-usul distribusi Normal. Ini berbeda dari kasus di mana $X$ sendiri Normal.

▲Red Flags›

Soal menyebutkan “waktu tunggu”, “waktu antar-kejadian”, atau “lifetime”: Eksponensial atau Gamma adalah kandidat utama. Periksa apakah ada satu kejadian (Eksponensial) atau ke- $\alpha$ (Gamma).
Soal menyebutkan “tidak bergantung pada histori” atau “memoryless”: Hanya Eksponensial (kontinu) yang memiliki sifat ini — Gamma dengan $\alpha > 1$ tidak memoryless.
Soal memberikan parameter dalam satuan yang berbeda (per jam vs per menit): Konversikan ke satuan yang konsisten sebelum menghitung. $\lambda = 3$ per jam $= 3/60$ per menit.
MGF yang diberikan berbentuk $(\cdot)^{-\alpha}$ atau $e^{\mu t + \sigma^2 t^2/2}$ : Kenali segera sebagai Gamma atau Normal tanpa harus menurunkan PDF.
Soal meminta $P(X > x)$ untuk Gamma dengan $\alpha$ integer: Gunakan hubungan Gamma–Poisson untuk mendapat bentuk tertutup yang bisa dihitung tanpa tabel Gamma khusus.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Eksponensial — waktu tunggu satu kejadian, memoryless, $\text{SD} = E[X]$ : $X \sim \text{Exp}(\lambda):\quad E[X]=\frac{1}{\lambda},\quad \text{Var}(X)=\frac{1}{\lambda^2},\quad F(x)=1-e^{-\lambda x},\quad x_p = -\frac{\ln(1-p)}{\lambda}$
Gamma — penjumlahan $\alpha$ Eksponensial i.i.d., sifat aditif jika $\lambda$ sama: $X \sim \Gamma(\alpha,\lambda):\quad E[X]=\frac{\alpha}{\lambda},\quad \text{Var}(X)=\frac{\alpha}{\lambda^2},\quad M_X(t)=\left(\frac{\lambda}{\lambda-t}\right)^\alpha$
Normal — simetris, standarisasi ke $N(0,1)$ , variansi aditif untuk independen: $X \sim N(\mu,\sigma^2):\quad P(X\leq x) = \Phi\!\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right),\quad \bar{X}\sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right)$
Uniform — semua nilai sama-rata, persentil linear: $X \sim U(a,b):\quad E[X]=\frac{a+b}{2},\quad \text{Var}(X)=\frac{(b-a)^2}{12},\quad x_p=a+p(b-a)$
Jaring hubungan kritis: $\text{Exp}(\lambda) = \Gamma(1,\lambda);\quad \sum_{i=1}^n\text{Exp}_i(\lambda)\sim\Gamma(n,\lambda);\quad \chi^2(\nu)=\Gamma\!\left(\tfrac{\nu}{2},\tfrac{1}{2}\right)$

Kapan Digunakan

Uniform: “Dipilih secara acak dari interval $(a,b)$ ”, “tidak ada informasi lebih lanjut tentang distribusi dalam rentang tertentu”.
Eksponensial: “Waktu tunggu”, “waktu antar-kejadian Poisson”, “lifetime dengan laju kegagalan konstan”, “memoryless”.
Gamma: “Waktu hingga kejadian ke- $\alpha$ ”, “penjumlahan $\alpha$ waktu tunggu Eksponensial”, “aggregate loss dengan $\alpha$ klaim individual Eksponensial”.
Normal: “Skor”, “pengukuran fisik”, “rata-rata sampel besar (CLT)”, ” $n$ besar apapun distribusi asalnya”.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jangan Normal untuk besaran yang harus non-negatif (waktu, biaya) kecuali $\mu \gg \sigma$ dan aproksimasi dapat dibenarkan.
Jangan Eksponensial jika laju kegagalan tidak konstan (misalnya meningkat seiring waktu — gunakan Weibull [BEYOND CF2]).
Jangan sifat aditif Gamma jika parameter $\lambda$ (atau $\beta$ ) berbeda — distribusi penjumlahannya bukan Gamma.
Jangan standarisasi Normal dengan membagi $\sigma^2$ — selalu bagi dengan $\sigma = \sqrt{\sigma^2}$ .
Untuk distribusi rata-rata sampel dari distribusi non-Normal dengan $n$ kecil: CLT belum berlaku — gunakan distribusi eksak atau teknik dari 4.2 Distribusi Sampel.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Variabel acak X kontinu<br>Identifikasi distribusinya"] --> B["Apakah support terbatas pada interval a,b?"]
    B -->|"Ya"| C["Uniform U(a,b)<br>E = (a+b)/2, Var = (b-a)^2/12"]
    B -->|"Tidak"| D["Apakah X non-negatif<br>support 0 sampai tak hingga?"]
    D -->|"Ya"| E["Waktu tunggu atau lifetime?"]
    D -->|"Tidak, support R"| F["Normal N(mu, sigma^2)<br>Standarisasi ke Z = (X-mu)/sigma"]
    E -->|"Satu kejadian atau memoryless"| G["Eksponensial Exp(lambda)<br>E = 1/lambda, Var = 1/lambda^2<br>F(x) = 1 - e^(-lambda*x)"]
    E -->|"Kejadian ke-alpha atau<br>penjumlahan Eksponensial"| H["Gamma G(alpha, lambda)<br>E = alpha/lambda, Var = alpha/lambda^2"]
    H --> I["Apakah alpha = 1?"]
    I -->|"Ya"| G
    I -->|"Tidak"| J["Gamma umum<br>Cek apakah alpha integer<br>untuk hubungan Gamma-Poisson"]
    F --> K["Standarisasi:<br>z = (x - mu) / sigma<br>Gunakan tabel Phi"]
    G --> L["Sifat memoryless:<br>P(X > s+t | X > s) = P(X > t)"]

❝Follow-up Options›

“Berikan soal variasi: identifikasi dan gunakan distribusi Gamma untuk menghitung aggregate loss dalam pemodelan klaim aktuaria”
“Jelaskan hubungan 2.6 Distribusi Kontinu Umum dengan 4.2 Distribusi Sampel (Chi-Kuadrat, $t$ , dan $F$ sebagai transformasi Normal)”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 3.1–3.4; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.6–1.7; Miller et al. (2014) Bab 6.1–6.5, 7.1–7.3, 7.5–7.6 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #VariabelAcak #Kontinu #Uniform #Eksponensial #Gamma #Normal #DistribusiUmum

Distribusi Kontinu Umum

📊 2.6 — Distribusi Kontinu Umum

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Section 2 — Definisi Formal

Tabel Master Distribusi Kontinu

Variabel & Parameter

Rumus Utama per Distribusi

Uniform U(a,b)U(a,b)U(a,b)

Eksponensial

Gamma Γ(α,λ)\Gamma(\alpha, \lambda)Γ(α,λ)

Normal N(μ,σ2)N(\mu, \sigma^2)N(μ,σ2)

Asumsi Eksplisit

Section 3 — Jembatan Logika

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal B — Exam-Typical

Soal C — Challenging

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

Section 6 — Visualisasi Mental

Hubungan Visual ↔ Rumus

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Kapan Digunakan

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Quick Decision Tree

Uniform $U(a,b)$

Gamma $\Gamma(\alpha, \lambda)$

Normal $N(\mu, \sigma^2)$