CF2 · Materi 4.2

Distribusi Sampel

2026-02-21 Hard Bobot: 20–30% Hogg-Tanis-Zimmerman (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5

CF2InferensStatistikDistribusiSampelChiKuadratTDistribusiFDistribusiNormalSampelTopikEmpat

📊 4.2 — Distribusi Sampel

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Distribusi Sampel — Chi-Kuadrat, $t$ , dan $F$ dari Sampel Normal | Bobot: ~20–30% | Difficulty: Hard Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5 | Prereq: 2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 4.1 Penarikan Sampel Acak

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 4: Inferensi Statistik	4.2	Menurunkan dan menggunakan distribusi Chi-Kuadrat $\chi^2(\nu)$ , distribusi- $t$ Student $t(\nu)$ , dan distribusi- $F$ $F(\nu_1,\nu_2)$ ; menghubungkan distribusi-distribusi ini dengan sampel dari populasi Normal; menghitung probabilitas menggunakan sifat dan tabel distribusi sampel; membuktikan distribusi $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ ; mengidentifikasi kebebasan $\bar{X}$ dari $S^2$ untuk populasi Normal; menggunakan relasi antar-distribusi ( $t^2 \sim F$ , $\chi^2$ sebagai Gamma khusus)	20–30%	Hard	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 4.1 Penarikan Sampel Acak	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT), 4.5 Estimasi Parameter, 4.7 Pengujian Hipotesis, 4.8 Interval Kepercayaan	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5

Section 1 — Intuisi

Saat bekerja dengan sampel dari populasi Normal, tiga distribusi baru muncul secara alami dari statistik sampel yang paling fundamental — mean sampel $\bar{X}$ , variansi sampel $S^2$ , dan rasio keduanya. Distribusi-distribusi ini bukan sekadar kurva matematis abstrak: masing-masing adalah jawaban atas satu pertanyaan aktuaria yang konkret.

Distribusi Chi-Kuadrat $\chi^2(\nu)$ menjawab: “Bagaimana distribusi jumlah kuadrat dari $\nu$ variabel Normal standar independen?” Ia muncul secara alami dari $(n-1)S^2/\sigma^2$ — rasio yang mengukur seberapa jauh variansi sampel dari variansi populasi. Jika $\sigma^2$ diketahui, $\chi^2$ digunakan langsung; jika tidak, ia adalah fondasi untuk interval kepercayaan variansi dan uji kecocokan distribusi.

Distribusi- $t$ Student $t(\nu)$ menjawab: “Bagaimana mendistribusikan $\bar{X}$ jika $\sigma^2$ tidak diketahui dan harus diestimasi dari data?” Dalam praktik, $\sigma^2$ populasi hampir tidak pernah diketahui — kita hanya punya $S^2$ . Maka daripada $Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ (yang memerlukan $\sigma$ diketahui), kita gunakan $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$ . Distribusi ini memiliki ekor lebih tebal dari Normal standar, mencerminkan ketidakpastian tambahan karena estimasi $\sigma^2$ .

Distribusi- $F$ $F(\nu_1,\nu_2)$ menjawab: “Bagaimana membandingkan variansi dari dua populasi Normal yang berbeda?” Ia adalah rasio dua Chi-Kuadrat independen yang dibagi derajat kebebasannya masing-masing — alat statistik untuk uji homogenitas variansi antara dua kelompok, misalnya membandingkan risiko dua portofolio asuransi.

Ketiga distribusi ini saling terhubung erat: $t^2(\nu) = F(1,\nu)$ ; $\chi^2(\nu) = \Gamma(\nu/2, 2)$ ; $F(\nu_1,\nu_2)$ diturunkan dari dua $\chi^2$ independen. Memahami jaring hubungan ini memungkinkan penyelesaian soal dari berbagai arah — dan kerap menjadi shortcut paling efisien di ujian.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Misalkan $Z, Z_1, Z_2, \ldots$ adalah variabel acak $N(0,1)$ independen, dan $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ .

Distribusi Chi-Kuadrat: $\chi^2(\nu) = \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2, \quad Z_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0,1)$

Distribusi- $t$ Student: $T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}} \quad \text{di mana } Z \sim N(0,1),\; V \sim \chi^2(\nu),\; Z \perp V$

Distribusi- $F$ : $F = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2} \quad \text{di mana } U \sim \chi^2(\nu_1),\; V \sim \chi^2(\nu_2),\; U \perp V$

Teorema Sampel Normal (Fisher’s Theorem): Untuk $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ : $\bar{X} \sim N\!\left(\mu, \frac{\sigma^2}{n}\right), \qquad \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1), \qquad \bar{X} \perp S^2$

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$\nu$	Derajat kebebasan (degrees of freedom) distribusi $\chi^2$ dan $t$	Parameter positif; untuk sampel: $\nu = n-1$
$\nu_1, \nu_2$	Derajat kebebasan numerator dan denominator distribusi $F$	Keduanya positif; urutan penting: $F(\nu_1,\nu_2) \neq F(\nu_2,\nu_1)$
$\chi^2_\alpha(\nu)$	Persentil ke- $(1-\alpha)$ dari $\chi^2(\nu)$	$P(\chi^2(\nu) > \chi^2_\alpha(\nu)) = \alpha$
$t_\alpha(\nu)$	Persentil ke- $(1-\alpha)$ dari $t(\nu)$	$P(t(\nu) > t_\alpha(\nu)) = \alpha$ ; simetris: $t_{1-\alpha}(\nu) = -t_\alpha(\nu)$
$F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$	Persentil ke- $(1-\alpha)$ dari $F(\nu_1,\nu_2)$	$P(F > F_\alpha(\nu_1,\nu_2)) = \alpha$
$S^2$	Variansi sampel	$\frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$ ; estimator tak-bias $\sigma^2$
$S_p^2$	Variansi pooled (dua sampel)	$S_p^2 = \frac{(n_1-1)S_1^2+(n_2-1)S_2^2}{n_1+n_2-2}$

Rumus Utama — Chi-Kuadrat $\chi^2(\nu)$

\chi^2(\nu) = \sum_{i=1}^{\nu} Z_i^2, \quad Z_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0,1)

Label: Definisi via Normal Standar — penjumlahan $\nu$ kuadrat Normal standar independen.

f(x;\nu) = \frac{1}{2^{\nu/2}\,\Gamma(\nu/2)}\, x^{\nu/2-1}\, e^{-x/2}, \quad x > 0

Label: PDF Chi-Kuadrat — ini adalah Gamma $(\alpha = \nu/2,\; \beta = 2)$ dalam parametrisasi skala; berlaku $\chi^2(\nu) = \Gamma(\nu/2, 2)$ .

E[\chi^2(\nu)] = \nu, \qquad \text{Var}(\chi^2(\nu)) = 2\nu

Label: Mean dan Variansi Chi-Kuadrat — mean = derajat kebebasan; variansi = dua kali derajat kebebasan.

M_{\chi^2(\nu)}(t) = (1-2t)^{-\nu/2}, \quad t < \frac{1}{2}

Label: MGF Chi-Kuadrat — bentuk Gamma $(\ nu/2, \beta=2)$ ; sifat aditif: $\chi^2(\nu_1) + \chi^2(\nu_2) \sim \chi^2(\nu_1+\nu_2)$ untuk variabel independen.

\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)

Label: Distribusi Variansi Sampel — hasil kunci dari Fisher’s Theorem; derajat kebebasan $n-1$ , bukan $n$ , karena satu derajat kebebasan “digunakan” untuk mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$ .

Rumus Utama — Distribusi- $t$ Student $t(\nu)$

T = \frac{Z}{\sqrt{V/\nu}}, \quad Z \sim N(0,1),\; V \sim \chi^2(\nu),\; Z \perp V

Label: Definisi Distribusi- $t$ — rasio Normal standar dengan akar Chi-Kuadrat yang dinormalisasi.

f(t;\nu) = \frac{\Gamma\!\left(\frac{\nu+1}{2}\right)}{\sqrt{\nu\pi}\;\Gamma\!\left(\frac{\nu}{2}\right)} \left(1+\frac{t^2}{\nu}\right)^{-(\nu+1)/2}, \quad t \in \mathbb{R}

Label: PDF Distribusi- $t$ — simetris di nol; ekor lebih tebal dari Normal standar; mendekati $N(0,1)$ saat $\nu \to \infty$ .

E[T] = 0\; (\nu > 1), \qquad \text{Var}(T) = \frac{\nu}{\nu-2}\; (\nu > 2)

Label: Mean dan Variansi Distribusi- $t$ — mean nol (simetris); variansi $> 1$ (ekor lebih tebal dari Normal); untuk $\nu \leq 2$ variansi tidak terdefinisi.

T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)

Label: Statistik- $t$ Sampel — digunakan saat $\sigma^2$ tidak diketahui; penyebut menggunakan $S$ (standar deviasi sampel), bukan $\sigma$ (standar deviasi populasi).

Rumus Utama — Distribusi- $F$ $F(\nu_1,\nu_2)$

F = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2}, \quad U \sim \chi^2(\nu_1),\; V \sim \chi^2(\nu_2),\; U \perp V

Label: Definisi Distribusi- $F$ — rasio dua Chi-Kuadrat independen yang masing-masing dibagi derajat kebebasannya.

E[F] = \frac{\nu_2}{\nu_2 - 2}\; (\nu_2 > 2), \qquad \text{Var}(F) = \frac{2\nu_2^2(\nu_1+\nu_2-2)}{\nu_1(\nu_2-2)^2(\nu_2-4)}\; (\nu_2 > 4)

Label: Mean dan Variansi Distribusi- $F$ — mean bergantung hanya pada $\nu_2$ (derajat kebebasan denominator).

\frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,\; n_2-1)

Label: Statistik- $F$ Dua Sampel — digunakan untuk membandingkan variansi dua populasi Normal independen.

Relasi Antar-Distribusi

\chi^2(\nu) = \Gamma\!\left(\frac{\nu}{2},\; \beta=2\right)

t^2(\nu) \sim F(1, \nu)

F(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F(\nu_2,\nu_1)} \quad \text{(invers distribusi)}

F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_\alpha(\nu_2,\nu_1)}

t(\nu) \xrightarrow{\nu \to \infty} N(0,1), \qquad \chi^2(\nu)/\nu \xrightarrow{\nu \to \infty} 1

Asumsi Eksplisit

Chi-Kuadrat: Setiap $Z_i$ harus $N(0,1)$ dan independen. Sifat aditif mensyaratkan independensi.
Distribusi- $t$ : $Z$ dan $V$ harus independen. Ini terpenuhi secara otomatis untuk statistik $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$ dari sampel Normal karena Fisher’s Theorem menjamin $\bar{X} \perp S^2$ .
Distribusi- $F$ : $U$ dan $V$ harus independen. Untuk uji dua sampel, dua sampel harus independen satu sama lain.
Populasi Normal: Distribusi $\chi^2$ , $t$ , dan $F$ berlaku eksak hanya untuk sampel dari populasi Normal. Untuk populasi non-Normal, distribusi ini hanya pendekatan (valid untuk $n$ besar via CLT untuk distribusi $t$ ).
Fisher’s Theorem: Kebebasan $\bar{X}$ dan $S^2$ adalah properti eksklusif distribusi Normal — untuk distribusi lain, $\bar{X}$ dan $S^2$ umumnya berkorelasi.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Mengapa $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ bukan $\chi^2(n)$ ?

Kita mulai dari identitas: $\sum_{i=1}^n \left(\frac{X_i - \mu}{\sigma}\right)^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} + \left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2$

Ruas kiri adalah jumlah $n$ kuadrat Normal standar independen → $\chi^2(n)$ .

Suku kedua ruas kanan: $\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2 \sim \chi^2(1)$ karena $\bar{X} \sim N(\mu,\sigma^2/n)$ .

Dari Fisher’s Theorem, $\bar{X}$ dan $S^2$ independen, sehingga dua suku di ruas kanan independen. Maka berdasarkan sifat aditif $\chi^2$ (terbalik): $\chi^2(n) = \chi^2_{\text{kiri}} + \chi^2(1) \implies \chi^2_{\text{kiri}} = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$

Kehilangan satu derajat kebebasan (dari $n$ ke $n-1$ ) mencerminkan bahwa mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$ mengimposes satu kendala linear pada deviasi $X_i - \bar{X}$ : $\sum(X_i - \bar{X}) = 0$ selalu.

◈Tabel Perbandingan Tiga Distribusi Sampel›

Properti	$\chi^2(\nu)$	$t(\nu)$	$F(\nu_1,\nu_2)$
Support	$(0,\infty)$	$(-\infty,\infty)$	$(0,\infty)$
Simetri	Tidak simetris (right-skewed)	Simetris di nol	Tidak simetris
Mean	$\nu$	$0$ ( $\nu>1$ )	$\nu_2/(\nu_2-2)$ ( $\nu_2>2$ )
Variansi	$2\nu$	$\nu/(\nu-2)$ ( $\nu>2$ )	Kompleks ( $\nu_2>4$ )
Limit Normal	$\chi^2(\nu)/\nu \to 1$	$t(\nu) \to N(0,1)$	$F(1,\nu) \to \chi^2(1)$
Konteks sampel	$(n-1)S^2/\sigma^2$	$(\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$	$S_1^2/S_2^2$ (jika $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ )
df sampel	$n-1$	$n-1$	$n_1-1$ , $n_2-1$

Derivasi Distribusi- $t$ dari Komponen:

T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}

Tulis ulang dalam bentuk standar. Bagi pembilang dan penyebut dengan $\sigma/\sqrt{n}$ :

T = \frac{(\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})}{\sqrt{S^2/\sigma^2}} = \frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}}

di mana $Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n}) \sim N(0,1)$ dan $V = (n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ .

Karena $Z \perp V$ (Fisher’s Theorem), ini tepat memenuhi definisi $t(n-1)$ :

T = \frac{Z}{\sqrt{V/(n-1)}} \sim t(n-1)

Derivasi Distribusi- $F$ untuk Dua Sampel:

Untuk $X_1^{(1)},\ldots,X_{n_1}^{(1)} \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu_1,\sigma_1^2)$ dan $X_1^{(2)},\ldots,X_{n_2}^{(2)} \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu_2,\sigma_2^2)$ independen:

U = \frac{(n_1-1)S_1^2}{\sigma_1^2} \sim \chi^2(n_1-1), \quad V = \frac{(n_2-1)S_2^2}{\sigma_2^2} \sim \chi^2(n_2-1), \quad U \perp V

F = \frac{U/(n_1-1)}{V/(n_2-1)} = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,\, n_2-1)

Jika $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ maka $F = S_1^2/S_2^2 \sim F(n_1-1, n_2-1)$ di bawah $H_0$ .

Relasi Persentil $F$ dan Invers:

F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_\alpha(\nu_2,\nu_1)}

Ini berguna ketika tabel hanya menyediakan nilai $\alpha$ kecil (ekor kanan) dan kita membutuhkan persentil ekor kiri. Contoh: $F_{0{,}95}(5,10) = 1/F_{0{,}05}(10,5)$ .

✘Dilarang›

Dilarang menggunakan distribusi- $t$ tanpa asumsi populasi Normal (atau $n$ besar). Statistik $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$ hanya mengikuti distribusi $t(n-1)$ eksak untuk populasi Normal. Untuk populasi non-Normal dengan $n$ kecil, distribusinya bukan $t$ — gunakan metode non-parametrik atau bootstrap.
Dilarang mencampur derajat kebebasan. Untuk $\chi^2$ : df $= n-1$ (bukan $n$ ). Untuk $t$ : df $= n-1$ (bukan $n$ ). Untuk $F$ dua sampel: df numerator $= n_1-1$ , df denominator $= n_2-1$ — urutan momennen dan denominator harus konsisten dengan statistik yang dihitung.
Dilarang mengasumsikan $\bar{X}$ dan $S^2$ independen untuk populasi non-Normal. Kebebasan $\bar{X} \perp S^2$ adalah properti eksklusif distribusi Normal. Untuk distribusi lain (Eksponensial, Gamma, dll.), $\bar{X}$ dan $S^2$ berkorelasi.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Dari sampel acak $X_1,\ldots,X_{16}$ dari $N(\mu=50,\;\sigma^2=25)$ , definisikan $\bar{X}$ dan $S^2$ sebagai mean dan variansi sampel.

(a) Nyatakan distribusi $\bar{X}$ secara eksak. (b) Hitung $P(48 \leq \bar{X} \leq 52{,}5)$ . (c) Nyatakan distribusi $\frac{15S^2}{25}$ dan hitung $E\!\left[\frac{15S^2}{25}\right]$ serta $\text{Var}\!\left(\frac{15S^2}{25}\right)$ . (d) Hitung $P(S^2 \leq 40)$ , yaitu probabilitas bahwa variansi sampel tidak melampaui 40. (e) Nyatakan distribusi statistik $T = \dfrac{\bar{X}-50}{S/4}$ dan jelaskan mengapa dapat menggunakan distribusi ini.

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

$X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu=50,\, \sigma^2=25)$ , sehingga $\sigma=5$
$n = 16$ ; df $= n-1 = 15$
$\bar{X}$ = mean sampel; $S^2$ = variansi sampel

2. Identifikasi Distribusi / Model Populasi Normal eksak → distribusi $\bar{X}$ Normal eksak; $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ ; $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$ .

3. Setup Persamaan

Fisher’s Theorem: $\bar{X} \sim N(\mu, \sigma^2/n)$ dan $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ , $\bar{X} \perp S^2$ .

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi $\bar{X}$ : $\bar{X} \sim N\!\left(50,\; \frac{25}{16}\right) = N\!\left(50,\; 1{,}5625\right)$ Standar error: $\text{SE}(\bar{X}) = \sigma/\sqrt{n} = 5/4 = 1{,}25$ .

(b) $P(48 \leq \bar{X} \leq 52{,}5)$ :

Standarisasi dengan $\text{SE} = 1{,}25$ : $z_1 = \frac{48 - 50}{1{,}25} = \frac{-2}{1{,}25} = -1{,}60, \qquad z_2 = \frac{52{,}5 - 50}{1{,}25} = \frac{2{,}5}{1{,}25} = 2{,}00$

$P(48 \leq \bar{X} \leq 52{,}5) = \Phi(2{,}00) - \Phi(-1{,}60)$ $= \Phi(2{,}00) - [1-\Phi(1{,}60)] = 0{,}9772 - (1 - 0{,}9452) = 0{,}9772 - 0{,}0548 = 0{,}9224$

(c) Distribusi, Mean, dan Variansi dari $\frac{15S^2}{25}$ :

Dari Fisher’s Theorem dengan $n=16$ , $\sigma^2=25$ : $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} = \frac{15\,S^2}{25} \sim \chi^2(15)$

Menggunakan properti $\chi^2(\nu)$ : $E\!\left[\frac{15S^2}{25}\right] = \nu = 15$ $\text{Var}\!\left(\frac{15S^2}{25}\right) = 2\nu = 30$

(d) $P(S^2 \leq 40)$ :

Konversikan ke $\chi^2$ : $P(S^2 \leq 40) = P\!\left(\frac{15S^2}{25} \leq \frac{15 \times 40}{25}\right) = P(\chi^2(15) \leq 24)$

Dari tabel $\chi^2$ : $P(\chi^2(15) \leq 24{,}996) \approx 0{,}95$ , sehingga $P(\chi^2(15) \leq 24) \approx 0{,}945$ .

(Nilai eksak: persentil ke-94,5 distribusi $\chi^2(15)$ adalah sekitar 24.)

(e) Distribusi $T = (\bar{X}-50)/(S/4)$ :

Tulis ulang: $T = \dfrac{\bar{X}-50}{S/\sqrt{16}} = \dfrac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$

Dari Fisher’s Theorem:

Pembilang standarisasi: $Z = (\bar{X}-50)/(5/4) \sim N(0,1)$
$(n-1)S^2/\sigma^2 = 15S^2/25 \sim \chi^2(15)$ , dan $\bar{X} \perp S^2$

Maka $T = Z/\sqrt{(15S^2/25)/15} = Z/\sqrt{S^2/25} = Z/(S/5)$ — dan:

$T = \frac{\bar{X}-50}{S/4} \sim t(15)$

Justifikasi: Distribusi $t(n-1)$ berlaku karena: (1) populasi Normal sehingga $\bar{X}$ Normal, (2) $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ , dan (3) $\bar{X} \perp S^2$ (Fisher’s Theorem untuk populasi Normal).

5. Verification

$\text{SE}(\bar{X}) = 5/4 = 1{,}25$ : lebih kecil dari $\sigma=5$ karena rata-rata 16 pengamatan lebih stabil ✓
$E[15S^2/25] = 15 = \nu$ : konsisten dengan properti $\chi^2(\nu)$ ✓
$P(S^2 \leq 40) \approx 0{,}945$ : dengan $E[S^2] = \sigma^2 = 25$ dan nilai 40 cukup di atas mean, probabilitas kumulatif mendekati 1 masuk akal ✓
Derajat kebebasan $t$ : $n-1 = 15$ , bukan $n = 16$ ✓

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 10–12 menit Common trap 1: Standar error $\bar{X}$ adalah $\sigma/\sqrt{n} = 5/4 = 1{,}25$ — bukan $\sigma = 5$ . Standarisasi harus menggunakan $\text{SE}$ , bukan $\sigma$ . Common trap 2: Untuk konversi ke $\chi^2$ di bagian (d): $P(S^2 \leq 40) = P(\chi^2(15) \leq 15\times40/25) = P(\chi^2(15) \leq 24)$ — kalikan dengan $(n-1)/\sigma^2$ , bukan hanya dibagi $\sigma^2$ . Common trap 3: Derajat kebebasan $t$ dan $\chi^2$ adalah $n-1 = 15$ , bukan $n = 16$ . Satu derajat kebebasan “hilang” karena mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$ .

Soal B — Exam-Typical

Seorang aktuaris mengambil sampel $n = 10$ polis asuransi dan memperoleh $\bar{x} = 42$ juta rupiah dan $s = 8$ juta rupiah. Diasumsikan nilai klaim mengikuti distribusi Normal dengan mean $\mu$ yang tidak diketahui.

(a) Bangun statistik $T$ yang berdistribusi $t(9)$ menggunakan $\bar{X}$ , $S$ , $\mu$ , dan $n$ . (b) Hitung $P\!\left(T \leq 1{,}833\right)$ di mana $T \sim t(9)$ (nilai tabel). (c) Hitung $P\!\left(|\bar{X} - \mu| \leq 4{,}634\right)$ menggunakan distribusi $t(9)$ dan $s=8$ . (d) Misalkan aktuaris kedua mengambil sampel independen $n_2 = 8$ polis dari populasi yang sama dan memperoleh $s_2 = 6$ . Bangun statistik $F$ yang membandingkan kedua variansi sampel dan tentukan distribusinya. (e) Gunakan relasi $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = 1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$ untuk mencari $F_{0{,}95}(9,7)$ jika diketahui $F_{0{,}05}(7,9) = 3{,}29$ .

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

Sampel 1: $n_1=10$ , $\bar{x}=42$ , $s_1=8$ ; $\sigma^2$ tidak diketahui
Sampel 2: $n_2=8$ , $s_2=6$ ; dari populasi sama (diasumsikan $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ )
Populasi Normal

2. Identifikasi Distribusi / Model Karena $\sigma^2$ tidak diketahui: gunakan distribusi $t$ . Perbandingan variansi: distribusi $F$ .

3. Setup Persamaan

Statistik- $t$ : $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$

Statistik- $F$ : $F = S_1^2/S_2^2$ (jika $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ )

4. Eksekusi Aljabar

(a) Statistik $T \sim t(9)$ : $T = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{n}} = \frac{\bar{X} - \mu}{S/\sqrt{10}} \sim t(9)$

Derajat kebebasan: $n - 1 = 10 - 1 = 9$ .

(b) $P(T \leq 1{,}833)$ untuk $T \sim t(9)$ :

Dari tabel distribusi- $t$ : $t_{0{,}05}(9) = 1{,}833$ berarti $P(T > 1{,}833) = 0{,}05$ .

$P(T \leq 1{,}833) = 1 - 0{,}05 = 0{,}95$

Interpretasi: nilai 1,833 adalah persentil ke-95 dari $t(9)$ .

(c) $P(|\bar{X}-\mu| \leq 4{,}634)$ :

Konversikan ke statistik $T$ menggunakan $s = 8$ dan $n = 10$ : $P(|\bar{X}-\mu| \leq 4{,}634) = P\!\left(\left|\frac{\bar{X}-\mu}{8/\sqrt{10}}\right| \leq \frac{4{,}634}{8/\sqrt{10}}\right)$

Hitung penyebut: $8/\sqrt{10} = 8/3{,}162 = 2{,}530$ .

$\frac{4{,}634}{2{,}530} = 1{,}831 \approx 1{,}833$

$P(|\bar{X}-\mu| \leq 4{,}634) = P(|T| \leq 1{,}833) = P(-1{,}833 \leq T \leq 1{,}833)$ $= 2\Phi_{t(9)}(1{,}833) - 1 = 2(0{,}95) - 1 = 0{,}90$

(menggunakan simetri $t$ di nol dan hasil bagian (b))

(d) Statistik $F$ dan distribusinya:

Karena diasumsikan $\sigma_1^2 = \sigma_2^2$ (populasi sama): $F = \frac{S_1^2}{S_2^2} = \frac{8^2}{6^2} = \frac{64}{36} = \frac{16}{9} \approx 1{,}778$

Distribusi: $F \sim F(n_1-1,\, n_2-1) = F(9,\, 7)$ .

Catatan: nilai $f_{\text{obs}} = 1{,}778$ adalah realisasi terobservasi dari statistik $F$ .

(e) $F_{0{,}95}(9,7)$ dari relasi invers:

Gunakan: $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = 1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$ dengan $\alpha=0{,}05$ , $\nu_1=9$ , $\nu_2=7$ : $F_{0{,}95}(9,7) = F_{1-0{,}05}(9,7) = \frac{1}{F_{0{,}05}(7,9)} = \frac{1}{3{,}29} \approx 0{,}304$

Interpretasi: $P(F(9,7) \leq 0{,}304) = 0{,}05$ — nilai ini adalah persentil ke-5 dari $F(9,7)$ .

5. Verification

$P(T \leq 1{,}833) = 0{,}95$ : konsisten dengan notasi $t_{0{,}05}(9) = 1{,}833$ artinya $P(T > 1{,}833) = 0{,}05$ ✓
$P(|T| \leq 1{,}833) = 0{,}90$ : interval dua sisi di tingkat 90% menggunakan persentil 95% dari masing-masing ekor ✓
$F_{0{,}95}(9,7) = 0{,}304 < 1$ : persentil ke-5 dari distribusi $F$ yang right-skewed memang $< 1$ (mean $F(9,7) = 7/5 = 1{,}4 > 1$ , persentil kecil harusnya $< 1$ ) ✓
Derajat kebebasan $F(9,7)$ : numerator $= n_1-1=9$ , denominator $= n_2-1=7$ ✓

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 12–14 menit Common trap 1: Relasi invers $F$ : $F_{0{,}95}(9,7) = 1/F_{0{,}05}(7,9)$ — urutan df terbalik di sisi kanan. Banyak kandidat salah menulis $1/F_{0{,}05}(9,7)$ (urutan tidak terbalik). Common trap 2: Untuk bagian (c), pastikan membagi $4{,}634$ dengan standar error $s/\sqrt{n}$ , bukan dengan $s$ saja. Common trap 3: Distribusi $F(9,7)$ untuk $S_1^2/S_2^2$ hanya valid di bawah $H_0: \sigma_1^2 = \sigma_2^2$ . Jika $\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2$ , statistiknya adalah $F = (S_1^2/\sigma_1^2)/(S_2^2/\sigma_2^2)$ .

Soal C — Challenging

Misalkan $X_1,\ldots,X_n \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ . Definisikan $\bar{X}$ , $S^2$ , dan $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2$ (variansi sampel dengan penyebut $n$ , bukan $n-1$ ).

(a) Tunjukkan bahwa $\displaystyle\sum_{i=1}^n\!\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} + \left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2$ dan identifikasi distribusi masing-masing suku di ruas kanan.

(b) Gunakan dekomposisi pada (a) dan kebebasan $\bar{X}$ dari $S^2$ untuk membuktikan bahwa $\dfrac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ .

(d) Misalkan $Y = c\,S^2/\sigma^2$ berdistribusi $\chi^2(\nu)$ . Tentukan nilai $c$ dan $\nu$ dari $n$ dan definisikan derajat kebebasan.

(e) Untuk $n=25$ dan $\sigma^2=9$ (diketahui), tentukan interval $[a,b]$ simetris sehingga $P(a \leq S^2 \leq b) = 0{,}90$ menggunakan persentil $\chi^2(24)$ : $\chi^2_{0{,}05}(24) = 36{,}415$ dan $\chi^2_{0{,}95}(24) = 13{,}848$ .

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

$X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2)$ ; $n$ umum
$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum(X_i-\bar{X})^2$ (tak-bias); $S_n^2 = \frac{1}{n}\sum(X_i-\bar{X})^2$ (MLE, bias)

2. Identifikasi Distribusi / Model Bukti formal Fisher’s Theorem via dekomposisi jumlah kuadrat. Hubungan $\chi^2$ , $\Gamma$ , dan variansi sampel.

3. Setup Persamaan

Identitas aljabar kunci: $\sum(X_i-\mu)^2 = \sum(X_i-\bar{X})^2 + n(\bar{X}-\mu)^2$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Dekomposisi jumlah kuadrat:

Mulai dari identitas $(X_i - \mu) = (X_i - \bar{X}) + (\bar{X} - \mu)$ :

$\sum_{i=1}^n(X_i-\mu)^2 = \sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})^2 + 2(\bar{X}-\mu)\underbrace{\sum_{i=1}^n(X_i-\bar{X})}_{=\,0} + n(\bar{X}-\mu)^2$

Suku silang hilang karena $\sum(X_i-\bar{X}) = 0$ selalu. Bagi dengan $\sigma^2$ : $\sum_{i=1}^n\!\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2 = \underbrace{\frac{\sum(X_i-\bar{X})^2}{\sigma^2}}_{=\,(n-1)S^2/\sigma^2} + \underbrace{\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2}_{}$

Identifikasi distribusi masing-masing:

Ruas kiri: $\sum Z_i^2$ di mana $Z_i = (X_i-\mu)/\sigma \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(0,1)$ → $\chi^2(n)$
Suku kedua ruas kanan: $\left(\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\right)^2 = Z_{\bar{X}}^2$ di mana $Z_{\bar{X}} \sim N(0,1)$ → $\chi^2(1)$
Suku pertama ruas kanan: $(n-1)S^2/\sigma^2$ — akan ditentukan distribusinya di bagian (b)

(b) Bukti $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ :

Dari dekomposisi di (a): $Q_n = Q_{n-1} + Q_1$ di mana:

$Q_n = \sum Z_i^2 \sim \chi^2(n)$
$Q_1 = Z_{\bar{X}}^2 \sim \chi^2(1)$
$Q_{n-1} = (n-1)S^2/\sigma^2$

Fisher’s Theorem (diterima sebagai fakta untuk populasi Normal) menyatakan $\bar{X} \perp S^2$ , sehingga $Q_1 \perp Q_{n-1}$ .

Hitung MGF $Q_{n-1}$ menggunakan sifat aditif $\chi^2$ (terbalik): jika $Q_n = Q_{n-1} + Q_1$ dan keduanya independen: $M_{Q_n}(t) = M_{Q_{n-1}}(t) \cdot M_{Q_1}(t)$ $(1-2t)^{-n/2} = M_{Q_{n-1}}(t) \cdot (1-2t)^{-1/2}$ $M_{Q_{n-1}}(t) = (1-2t)^{-n/2} / (1-2t)^{-1/2} = (1-2t)^{-(n-1)/2}$

Ini adalah MGF $\chi^2(n-1)$ . Oleh Uniqueness Theorem: $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1) \quad \checkmark$

(c) Bias $S_n^2$ dan tak-bias $S^2$ :

Karena $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ dengan $E[\chi^2(n-1)] = n-1$ : $E\!\left[\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\right] = n-1 \implies E[S^2] = \sigma^2 \quad \text{(tak-bias) ✓}$

Hubungan $S_n^2$ dan $S^2$ : $S_n^2 = \frac{n-1}{n} S^2$ , sehingga: $E[S_n^2] = \frac{n-1}{n} E[S^2] = \frac{n-1}{n}\,\sigma^2 < \sigma^2 \quad \text{(bias ke bawah) ✓}$

Bias: $E[S_n^2] - \sigma^2 = -\sigma^2/n$ (mendekati nol untuk $n$ besar).

(d) Nilai $c$ dan $\nu$ :

Dari hasil (b): $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$ .

Maka $Y = c\,S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(\nu)$ mensyaratkan: $c = n-1, \qquad \nu = n-1$

Derajat kebebasan $\nu = n-1$ mencerminkan bahwa dari $n$ deviasi $X_i-\bar{X}$ , hanya $n-1$ yang bebas karena kendala $\sum(X_i-\bar{X}) = 0$ .

(e) Interval $[a,b]$ untuk $P(a \leq S^2 \leq b) = 0{,}90$ dengan $n=25$ , $\sigma^2=9$ :

Konversikan ke $\chi^2(24)$ menggunakan $(n-1)S^2/\sigma^2 = 24S^2/9$ : $P(a \leq S^2 \leq b) = P\!\left(\frac{24a}{9} \leq \chi^2(24) \leq \frac{24b}{9}\right) = 0{,}90$

Pilih interval simetris dalam arti probabilitas ekor masing-masing $= 0{,}05$ : $P(\chi^2(24) \leq 24a/9) = 0{,}05 \implies \frac{24a}{9} = \chi^2_{0{,}95}(24) = 13{,}848$ $a = \frac{13{,}848 \times 9}{24} = \frac{124{,}632}{24} = 5{,}193$

$P(\chi^2(24) \leq 24b/9) = 0{,}95 \implies \frac{24b}{9} = \chi^2_{0{,}05}(24) = 36{,}415$ $b = \frac{36{,}415 \times 9}{24} = \frac{327{,}735}{24} = 13{,}655$

$\boxed{P(5{,}193 \leq S^2 \leq 13{,}655) = 0{,}90}$

5. Verification

Dekomposisi: $\chi^2(n) = \chi^2(n-1) + \chi^2(1)$ : $n = (n-1) + 1$ ✓ (derajat kebebasan aditif)
$E[S^2] = \sigma^2 = 9$ : interval $[5{,}193, 13{,}655]$ mencakup nilai $9$ di dalamnya ✓
Interval $S^2$ tidak simetris di sekitar $E[S^2]=9$ : $9-5{,}193=3{,}807$ dan $13{,}655-9=4{,}655$ — distribusi $\chi^2$ right-skewed sehingga interval $S^2$ tidak simetris ✓
Rumus: batas bawah $= \chi^2_{\alpha/2, \text{bawah}} \cdot \sigma^2/(n-1)$ ; batas atas $= \chi^2_{\alpha/2, \text{atas}} \cdot \sigma^2/(n-1)$ ✓

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 18–22 menit Common trap 1: Persentil $\chi^2$ untuk interval dua sisi: $P(a \leq \chi^2 \leq b) = 0{,}90$ menggunakan persentil ke-5 ( $\chi^2_{0{,}95}$ ) sebagai batas bawah dan persentil ke-95 ( $\chi^2_{0{,}05}$ ) sebagai batas atas — notasi $\chi^2_\alpha$ berarti $P(\chi^2 > \chi^2_\alpha) = \alpha$ . Banyak kandidat terbalik mana persentil atas dan bawah. Common trap 2: Untuk konversi $P(S^2 \leq b) \to P(\chi^2(24) \leq 24b/9)$ — kalikan $S^2$ dengan $(n-1)/\sigma^2 = 24/9$ , bukan hanya $1/\sigma^2 = 1/9$ . Common trap 3: Interval untuk $S^2$ tidak simetris di sekitar $\sigma^2$ karena distribusi $\chi^2$ right-skewed. Jangan menggunakan interval simetris $\sigma^2 \pm c$ — gunakan transformasi $\chi^2$ yang benar.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi Identifikasi Distribusi Sampel›

Sebelum menggunakan distribusi $\chi^2$ , $t$ , atau $F$ :

Populasi harus Normal (atau aproksimasi untuk $n$ besar) ✓
Derajat kebebasan harus benar: $\chi^2$ dan $t$ menggunakan $n-1$ ; $F$ menggunakan $n_1-1$ dan $n_2-1$ ✓
Independensi yang diperlukan terpenuhi: $\bar{X} \perp S^2$ (Fisher’s Theorem, hanya untuk Normal); dua sampel independen untuk $F$ ✓

✓Validasi Persentil dan Probabilitas›

Notasi $\chi^2_\alpha(\nu)$ : $P(\chi^2(\nu) > \chi^2_\alpha(\nu)) = \alpha$ — ini adalah ekor kanan; nilai lebih besar untuk $\alpha$ lebih kecil ✓
Notasi $t_\alpha(\nu)$ : $P(t(\nu) > t_\alpha(\nu)) = \alpha$ — karena simetri: $t_{1-\alpha}(\nu) = -t_\alpha(\nu)$ ✓
Untuk interval dua sisi $P(|T| \leq c) = 1-\alpha$ : gunakan $c = t_{\alpha/2}(\nu)$ ✓
Relasi invers $F$ : $F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = 1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$ — urutan df terbalik ✓

✓Validasi Konversi Statistik›

Untuk menghitung probabilitas tentang $S^2$ :

Konversikan: $P(S^2 \leq c) = P\!\left(\chi^2(n-1) \leq \frac{(n-1)c}{\sigma^2}\right)$ ✓
Untuk statistik $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$ : derajat kebebasan $= n-1$ , penyebut menggunakan $S$ (bukan $\sigma$ ) ✓
Untuk statistik $F = S_1^2/S_2^2$ (jika $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ ): df $= (n_1-1, n_2-1)$ ✓

Metode Alternatif

Menggunakan relasi $\chi^2 = \Gamma$ untuk menghitung probabilitas: $\chi^2(\nu) = \Gamma(\nu/2, \beta=2)$ , sehingga probabilitas $\chi^2$ dapat dihitung via tabel Gamma atau hubungan Gamma–Poisson untuk $\nu$ genap ( $\nu/2 \in \mathbb{Z}^+$ ).

Menggunakan $t^2 \sim F(1,\nu)$ untuk konversi: $P(|T| > c) = P(T^2 > c^2) = P(F(1,\nu) > c^2)$ — berguna ketika tabel $F$ lebih lengkap dari tabel $t$ .

Simetri distribusi $t$ untuk probabilitas dua sisi: $P(|T| \leq c) = 2P(T \leq c) - 1 = 2\Phi_t(c) - 1$ menggunakan simetri di nol.

Section 6 — Visualisasi Mental

Chi-Kuadrat — Histogram Ekor Kanan:

PDF $\chi^2(\nu)$ adalah kurva yang mulai dari 0, naik ke modus di $\max(\nu-2, 0)$ , lalu turun dengan ekor kanan panjang. Untuk $\nu=1$ atau $\nu=2$ : modus di 0, menurun monoton. Untuk $\nu$ besar: mendekati Normal $N(\nu, 2\nu)$ . Selalu non-negatif karena merupakan jumlah kuadrat. Semakin besar $\nu$ , kurva semakin “datar” dan bergeser ke kanan.

Distribusi- $t$ — Lonceng Lebih Gemuk:

Bentuknya mirip Normal standar — lonceng simetris di nol — tetapi ekor lebih tebal. Untuk $\nu=1$ (Cauchy): ekor sangat tebal, tidak memiliki mean. Untuk $\nu=5$ : sudah cukup mirip Normal. Untuk $\nu \geq 30$ : hampir tidak bisa dibedakan dari $N(0,1)$ . Implikasi: interval kepercayaan menggunakan $t$ lebih lebar dari menggunakan $z$ — mencerminkan ketidakpastian tambahan karena $\sigma^2$ tidak diketahui.

Distribusi- $F$ — Asimetris Positif:

Support $(0,\infty)$ , right-skewed. Untuk $\nu_1,\nu_2$ besar: mendekati Normal. Perhatikan bahwa $F(\nu_1,\nu_2) = 1/F(\nu_2,\nu_1)$ — membalik distribusi berarti membalik urutan df. Kurva dimulai dari 0, naik ke modus di $(\nu_1-2)/\nu_1 \cdot \nu_2/(\nu_2+2)$ (jika $\nu_1>2$ ), lalu menurun dengan ekor kanan.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Pelebaran ekor distribusi- $t$ dibanding Normal berkorespondensi dengan:

\text{Var}(t(\nu)) = \frac{\nu}{\nu-2} > 1 \longleftrightarrow \text{ekor lebih tebal dari } N(0,1) \text{ yang Var}=1

Distribusi $\chi^2$ mendekati Normal untuk $\nu$ besar berkorespondensi dengan:

\sqrt{2\chi^2} - \sqrt{2\nu-1} \approx N(0,1) \text{ untuk } \nu \text{ besar} \longleftrightarrow \text{kurva semakin simetris}

Relasi invers distribusi- $F$ berkorespondensi dengan:

F(\nu_1,\nu_2) = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2} = \frac{1}{V/\nu_2 \div U/\nu_1} = \frac{1}{F(\nu_2,\nu_1)} \longleftrightarrow \text{balik pecahan = balik distribusi}

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Jebakan utama — Derajat kebebasan yang salah:

Statistik	df BENAR	df SALAH yang umum
$(n-1)S^2/\sigma^2$	$\chi^2(n-1)$	$\chi^2(n)$
$(\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n})$	$t(n-1)$	$t(n)$ atau $N(0,1)$
$S_1^2/S_2^2$ (jika $\sigma_1^2=\sigma_2^2$ )	$F(n_1-1, n_2-1)$	$F(n_1, n_2)$
$F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2)$	$= 1/F_\alpha(\nu_2,\nu_1)$	$= 1/F_\alpha(\nu_1,\nu_2)$ (tidak terbalik)

Penyebab: Kehilangan satu df karena mengestimasi $\mu$ dengan $\bar{X}$ ; imposes kendala $\sum(X_i-\bar{X})=0$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ saat $\sigma^2$ tidak diketahui. Jika $\sigma^2$ tidak diketahui dan diestimasi dengan $S^2$ , statistik yang benar adalah $T = (\bar{X}-\mu)/(S/\sqrt{n}) \sim t(n-1)$ — bukan $N(0,1)$ . Perbedaannya signifikan untuk $n$ kecil.
Mengasumsikan $\bar{X} \perp S^2$ untuk populasi non-Normal. Ini hanya berlaku untuk populasi Normal (Fisher’s Theorem). Untuk distribusi lain, $\bar{X}$ dan $S^2$ dapat berkorelasi.
Terbalik arah persentil $\chi^2$ untuk interval dua sisi. Untuk $P(c_1 \leq \chi^2(\nu) \leq c_2) = 1-\alpha$ : batas bawah $c_1 = \chi^2_{1-\alpha/2}(\nu)$ (persentil ke- $\alpha/2$ , nilai kecil) dan batas atas $c_2 = \chi^2_{\alpha/2}(\nu)$ (persentil ke- $(1-\alpha/2)$ , nilai besar). Notasi $\chi^2_\alpha$ adalah nilai dengan probabilitas ekor kanan $\alpha$ — bukan persentil ke- $\alpha$ .
Salah urutan df dalam relasi invers $F$ . $F_{0{,}95}(9,7) = 1/F_{0{,}05}(7,9)$ — urutan df di kedua sisi TERBALIK. Kesalahan umum: menulis $1/F_{0{,}05}(9,7)$ tanpa membalik urutan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

” $\sigma^2$ tidak diketahui”: Otomatis gunakan $t$ , bukan $Z$ . Ini adalah petunjuk wajib untuk distribusi $t$ .
“Bandingkan variansi dua populasi”: Otomatis distribusi $F$ ; pastikan identifikasi mana yang menjadi numerator/denominator karena $F(\nu_1,\nu_2) \neq F(\nu_2,\nu_1)$ .
“Interval untuk $\sigma^2$ atau $S^2$ ”: Gunakan transformasi $\chi^2$ : $P(c_1 \leq (n-1)S^2/\sigma^2 \leq c_2)$ .
“Distribusi eksak” vs “aproksimasi”: Untuk populasi Normal: $t$ , $\chi^2$ , $F$ berlaku eksak untuk $n$ berapapun. Untuk populasi non-Normal: hanya berlaku sebagai aproksimasi untuk $n$ besar (via CLT untuk $t$ ).

▲Red Flags›

Soal menyebut ” $\sigma^2$ tidak diketahui” dengan populasi Normal: Distribusi $t$ wajib — bukan $Z$ .
Soal meminta interval kepercayaan atau uji untuk $\sigma^2$ : Distribusi $\chi^2$ dengan $(n-1)S^2/\sigma^2 \sim \chi^2(n-1)$ .
Soal memberikan dua variansi sampel $S_1^2$ dan $S_2^2$ : Distribusi $F$ untuk perbandingan.
Soal meminta persentil ekor kiri distribusi $F$ : Gunakan relasi invers dengan membalik df.
Soal menyebut ” $n$ kecil” (misal $n < 30$ ) dan populasi Normal: Distribusi $t$ atau $\chi^2$ berlaku eksak — jangan aproksimasi dengan Normal.
Soal meminta distribusi $T^2$ : $T^2 \sim F(1, n-1)$ — gunakan relasi $t^2 \sim F(1,\nu)$ .

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Fisher’s Theorem — fondasi semua distribusi sampel Normal: $X_i \overset{\text{i.i.d.}}{\sim} N(\mu,\sigma^2) \implies \bar{X} \sim N\!\left(\mu,\frac{\sigma^2}{n}\right),\;\; \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim\chi^2(n-1),\;\; \bar{X}\perp S^2$
Chi-Kuadrat — jumlah kuadrat Normal standar, relasi Gamma: $\chi^2(\nu) = \sum_{i=1}^\nu Z_i^2,\quad E=\nu,\quad \text{Var}=2\nu,\quad \chi^2(\nu)=\Gamma(\nu/2,\,2)$
Distribusi- $t$ — ketika $\sigma^2$ tidak diketahui: $T = \frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1),\quad \text{ekor lebih tebal dari }N(0,1),\quad t(\nu)\to N(0,1)\text{ saat }\nu\to\infty$
Distribusi- $F$ — rasio dua variansi sampel: $F = \frac{S_1^2/\sigma_1^2}{S_2^2/\sigma_2^2} \sim F(n_1-1,n_2-1),\quad F_{1-\alpha}(\nu_1,\nu_2) = \frac{1}{F_\alpha(\nu_2,\nu_1)}$
Relasi kunci antar-distribusi: $t^2(\nu) \sim F(1,\nu),\quad \chi^2(\nu_1)+\chi^2(\nu_2)\sim\chi^2(\nu_1+\nu_2)\text{ (independen)},\quad \chi^2(\nu)=\Gamma(\nu/2,2)$

Kapan Digunakan

Chi-Kuadrat: Inferensi tentang $\sigma^2$ (interval kepercayaan, uji); distribusi statistik $(n-1)S^2/\sigma^2$ ; uji kecocokan distribusi (goodness of fit); uji independensi tabel kontingensi.
Distribusi- $t$ : Inferensi tentang $\mu$ ketika $\sigma^2$ tidak diketahui; interval kepercayaan dan uji satu sampel atau dua sampel (berpasangan atau independen).
Distribusi- $F$ : Perbandingan variansi dua populasi; uji homogenitas variansi; ANOVA.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jangan $t$ atau $\chi^2$ eksak untuk populasi non-Normal dengan $n$ kecil — distribusi tidak valid. Gunakan metode non-parametrik atau bootstrap.
Jangan $Z = (\bar{X}-\mu)/(\sigma/\sqrt{n})$ jika $\sigma^2$ tidak diketahui — gunakan $t$ dengan $S$ .
Jangan $F$ jika dua sampel tidak independen (misalnya data berpasangan before-after) — gunakan uji $t$ berpasangan.
Jangan asumsikan $\bar{X} \perp S^2$ untuk populasi non-Normal — properti eksklusif Normal.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Sampel dari populasi Normal<br>n, X-bar, S^2 tersedia"] --> B["Inferensi tentang apa?"]
    B --> C["Mean mu"]
    B --> D["Variansi sigma^2"]
    B --> E["Perbandingan dua variansi"]
    C --> F["Apakah sigma^2 diketahui?"]
    F -->|"Ya"| G["Z = (X-bar - mu) / (sigma/sqrt(n))<br>~ N(0,1)"]
    F -->|"Tidak"| H["T = (X-bar - mu) / (S/sqrt(n))<br>~ t(n-1)"]
    D --> I["Chi-Kuadrat:<br>(n-1)S^2/sigma^2 ~ chi^2(n-1)<br>df = n-1"]
    E --> J["F = (S1^2/sigma1^2) / (S2^2/sigma2^2)<br>~ F(n1-1, n2-1)<br>Jika H0: sigma1^2=sigma2^2 maka F=S1^2/S2^2"]
    H --> K["df = n-1, bukan n<br>Ekor lebih tebal dari Normal<br>Untuk n besar: t approx N(0,1)"]
    I --> L["Interval untuk sigma^2:<br>Gunakan persentil chi^2<br>Interval tidak simetris di sekitar sigma^2"]
    J --> M["Persentil F ekor kiri:<br>F_{1-alpha}(v1,v2) = 1/F_alpha(v2,v1)<br>Balik KEDUA df"]

❝Follow-up Options›

“Berikan soal variasi: turunkan interval kepercayaan 95% untuk $\mu$ menggunakan distribusi $t$ dan untuk $\sigma^2$ menggunakan distribusi $\chi^2$ dari data sampel yang diberikan”
“Jelaskan hubungan 4.2 Distribusi Sampel dengan 4.7 Pengujian Hipotesis — bagaimana $\chi^2$ , $t$ , dan $F$ digunakan sebagai statistik uji”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 5.3–5.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 3.3–3.6; Miller et al. (2014) Bab 8.3–8.5; Walpole et al. (2012) Bab 8.2–8.5 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #InferensStatistik #DistribusiSampel #ChiKuadrat #TDistribusi #FDistribusi #NormalSampel

Distribusi Sampel

📊 4.2 — Distribusi Sampel

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Section 2 — Definisi Formal

Variabel & Parameter

Rumus Utama — Chi-Kuadrat χ2(ν)\chi^2(\nu)χ2(ν)

Rumus Utama — Distribusi-ttt Student t(ν)t(\nu)t(ν)

Rumus Utama — Distribusi-FFF F(ν1,ν2)F(\nu_1,\nu_2)F(ν1​,ν2​)

Relasi Antar-Distribusi

Asumsi Eksplisit

Section 3 — Jembatan Logika

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Soal B — Exam-Typical

Soal C — Challenging

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

Section 6 — Visualisasi Mental

Hubungan Visual ↔ Rumus

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

Kapan Digunakan

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Quick Decision Tree

Rumus Utama — Chi-Kuadrat $\chi^2(\nu)$

Rumus Utama — Distribusi- $t$ Student $t(\nu)$

Rumus Utama — Distribusi- $F$ $F(\nu_1,\nu_2)$