CF2 · Materi 2.3

Fungsi Pembangkit

2026-02-21 Hard Bobot: 25–35% Hogg-Tanis-Zimmerman (2015) Bab 2.4–2.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.7, 1.9; Miller et al. (2014) Bab 4.5, 5.7, 6.5

CF2ProbabilitasStatistikaVariabelAcakFungsiPembangkitMGFPGFKumulanMomenGeneratingCF2Hard

📊 2.3 — Fungsi Pembangkit

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Fungsi Pembangkit (PGF, MGF, Fungsi Pembangkit Kumulan) | Bobot: ~25–35% | Difficulty: Hard Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 2.4–2.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.7, 1.9; Miller et al. (2014) Bab 4.5, 5.7, 6.5 | Prereq: 2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.2 Variabel Acak Kontinu

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 2: Variabel Acak Univariat	2.3	Mendefinisikan dan menghitung PGF $G_X(t)$ serta MGF $M_X(t)$ ; menurunkan momen ke- $k$ dari MGF via diferensiasi; mengidentifikasi distribusi dari bentuk MGF; menggunakan sifat MGF untuk distribusi penjumlahan variabel acak independen; memahami fungsi pembangkit kumulan dan hubungannya dengan momen sentral	25–35%	Hard	2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.2 Variabel Acak Kontinu	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 2.5 Distribusi Diskrit Umum, 2.6 Distribusi Kontinu Umum, 3.5 Independensi dan Korelasi, 3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)	Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 2.4–2.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.7, 1.9; Miller et al. (2014) Bab 4.5, 5.7, 6.5

Section 1 — Intuisi

Bayangkan kamu diminta menghitung rata-rata, variansi, dan momen ketiga dari suatu distribusi yang rumit secara langsung — setiap kali harus mengerjakan integral atau penjumlahan dari nol. Ini bisa sangat melelahkan. Fungsi Pembangkit Momen (MGF) adalah semacam “mesin pabrik momen”: kamu cukup membangun mesin ini sekali dari distribusinya, kemudian setiap kali perlu momen ke- $k$ , kamu cukup menekan tombol (mendifferensiasikan sebanyak $k$ kali dan evaluasi di nol) — momen ke- $k$ langsung keluar tanpa integral baru. Analogi lebih konkret: MGF adalah versi “transformasi” distribusi ke domain $t$ yang mengemas seluruh informasi tentang momen distribusi tersebut.

Selain sebagai mesin pabrik momen, MGF memiliki kekuatan yang lebih mendasar: ia mengidentifikasi distribusi secara unik. Artinya, jika dua variabel acak memiliki MGF yang sama, distribusinya pasti identik — ini disebut uniqueness theorem. Dalam praktik aktuaria, ini sangat berguna saat menganalisis distribusi penjumlahan klaim independen: MGF dari jumlah variabel acak independen adalah perkalian MGF masing-masingnya. Menemukan bahwa hasil perkalian MGF tersebut cocok dengan MGF distribusi yang sudah dikenal langsung memberitahu kita distribusi total klaim tanpa perlu konvolusi yang rumit.

Fungsi Pembangkit Probabilitas (PGF) adalah sepupu MGF yang khusus dirancang untuk variabel acak diskrit non-negatif — ia mengemas seluruh PMF dalam satu fungsi polinom atau deret pangkat. Sementara fungsi pembangkit kumulan (logaritma alami dari MGF) menghasilkan kumulan: besaran-besaran yang lebih “murni” daripada momen biasa karena kumulan dari penjumlahan variabel independen bersifat aditif. Dalam pemodelan risiko, kumulan pertama adalah mean, kedua adalah variansi, ketiga berkaitan dengan kemiringan (skewness) — ketiganya langsung tersedia begitu kita punya fungsi pembangkit kumulan.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Fungsi Pembangkit Momen (MGF):

M_X(t) = E\!\left[e^{tX}\right] = \begin{cases} \displaystyle\sum_{x \in \mathcal{X}} e^{tx}\, p(x) & \text{(diskrit)} \\[8pt] \displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}\, f(x)\, dx & \text{(kontinu)} \end{cases}

terdefinisi untuk semua $t$ dalam suatu interval terbuka $(-h, h)$ dengan $h > 0$ .

Fungsi Pembangkit Probabilitas (PGF):

G_X(t) = E\!\left[t^X\right] = \sum_{x=0}^{\infty} t^x\, p(x), \quad |t| \leq 1

khusus untuk variabel acak diskrit dengan support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ .

Fungsi Pembangkit Kumulan:

K_X(t) = \ln M_X(t) = \ln E\!\left[e^{tX}\right]

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$M_X(t)$	Fungsi pembangkit momen (MGF)	$E[e^{tX}]$ ; terdefinisi pada $t \in (-h, h)$
$G_X(t)$	Fungsi pembangkit probabilitas (PGF)	$E[t^X]$ ; khusus diskrit non-negatif; $
$K_X(t)$	Fungsi pembangkit kumulan	$\ln M_X(t)$
$t$	Variabel parameter fungsi pembangkit	Bukan variabel acak; $t$ adalah variabel real bebas
$\mu_k'$	Momen ke- $k$ tentang nol	$E[X^k] = M_X^{(k)}(0)$
$\kappa_r$	Kumulan ke- $r$	$\kappa_r = K_X^{(r)}(0)$
$\kappa_1$	Kumulan pertama	$= E[X] = \mu$
$\kappa_2$	Kumulan kedua	$= \text{Var}(X) = \sigma^2$
$\kappa_3$	Kumulan ketiga	$= \mu_3$ (momen sentral ke-3)
$h$	Radius konvergensi MGF	MGF terdefinisi pada $

Rumus Utama

E[X^k] = \mu_k' = M_X^{(k)}(0) = \left.\frac{d^k}{dt^k} M_X(t)\right|_{t=0}

Label: Ekstraksi Momen dari MGF — turunkan MGF sebanyak $k$ kali terhadap $t$ , kemudian evaluasi di $t = 0$ ; menghasilkan momen ke- $k$ tentang nol.

M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mu_k'}{k!}\, t^k = 1 + \mu t + \frac{E[X^2]}{2!}t^2 + \frac{E[X^3]}{3!}t^3 + \cdots

Label: Ekspansi Deret Taylor MGF — koefisien $t^k$ adalah $\mu_k' / k!$ ; berguna untuk mengidentifikasi momen dari bentuk deret MGF yang diberikan.

M_{aX+b}(t) = e^{bt}\, M_X(at)

Label: MGF Transformasi Linear — untuk $Y = aX + b$ ; berguna untuk standarisasi dan transformasi afin.

M_{X_1 + X_2 + \cdots + X_n}(t) = \prod_{i=1}^{n} M_{X_i}(t), \quad X_1, X_2, \ldots, X_n \text{ independen}

Label: MGF Penjumlahan Independen — MGF dari jumlah variabel acak independen adalah perkalian MGF individual; hanya berlaku jika independen.

G_X'(1) = E[X], \qquad G_X''(1) = E[X(X-1)]

Label: Momen dari PGF — turunan pertama PGF di $t=1$ menghasilkan $E[X]$ ; turunan kedua di $t=1$ menghasilkan momen faktorial $E[X(X-1)]$ , sehingga $\text{Var}(X) = G_X''(1) + G_X'(1) - [G_X'(1)]^2$ .

\kappa_1 = K_X'(0) = E[X], \qquad \kappa_2 = K_X''(0) = \text{Var}(X)

Label: Kumulan Pertama dan Kedua — kumulan pertama adalah mean; kumulan kedua adalah variansi; lebih mudah dihitung untuk distribusi tertentu dibanding momen sentral langsung.

K_{X_1 + X_2}(t) = K_{X_1}(t) + K_{X_2}(t), \quad X_1, X_2 \text{ independen}

Label: Aditivitas Kumulan — kumulan dari penjumlahan variabel independen bersifat aditif; ini tidak berlaku untuk momen biasa.

Asumsi Eksplisit

Existensi MGF: $M_X(t)$ terdefinisi (bernilai hingga) jika dan hanya jika $E[e^{tX}] < \infty$ untuk semua $t$ dalam suatu interval terbuka di sekitar 0. Tidak semua distribusi memiliki MGF yang terdefinisi di sekitar $t = 0$ (contoh: distribusi Cauchy tidak memiliki MGF).
Keunikan MGF: Jika $M_X(t) = M_Y(t)$ untuk semua $t \in (-h, h)$ dengan $h > 0$ , maka $X$ dan $Y$ memiliki distribusi yang sama (Uniqueness Theorem).
PGF hanya untuk diskrit non-negatif: $G_X(t) = E[t^X]$ hanya terdefinisi dengan baik untuk variabel acak diskrit dengan support $\{0, 1, 2, \ldots\}$ .
Independensi untuk perkalian MGF: Sifat $M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)$ hanya berlaku jika $X$ dan $Y$ independen — ini syarat yang sering dilupakan.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Mengapa $e^{tX}$ ? Kunci ada pada ekspansi deret Taylor dari fungsi eksponensial: $e^{tX} = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(tX)^k}{k!} = 1 + tX + \frac{t^2 X^2}{2!} + \frac{t^3 X^3}{3!} + \cdots$ Ambil nilai harapan dari kedua sisi (dengan asumsi pertukaran $E$ dan $\sum$ diizinkan): $M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{E[X^k]}{k!}\, t^k = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mu_k'}{k!}\, t^k$ Ini adalah deret pangkat dalam $t$ di mana koefisien $t^k$ tepat sama dengan $\mu_k' / k!$ . Diferensiasikan $k$ kali terhadap $t$ dan evaluasi di $t = 0$ → koefisien lainnya hilang dan tersisa $\mu_k'$ . Inilah mengapa diferensiasi MGF di $t = 0$ menghasilkan momen. Untuk PGF: ganti $e^t$ dengan $t$ saja — jadilah $G_X(t) = E[t^X] = \sum p(x) t^x$ , deret pembangkit koefisien yang tepat adalah PMF $p(x)$ .

◈Support dan Domain›

MGF: $t$ adalah bilangan real pada interval $(-h, h)$ untuk suatu $h > 0$ — bukan variabel acak. Nilai $M_X(0) = E[e^0] = E[1] = 1$ selalu berlaku untuk distribusi apapun.
PGF: $|t| \leq 1$ ; nilai $G_X(1) = E[1^X] = \sum p(x) = 1$ selalu berlaku. Nilai $G_X(0) = P(X = 0) = p(0)$ .
Radius konvergensi: MGF mungkin tidak terdefinisi untuk $|t|$ terlalu besar. Untuk distribusi dengan ekor berat (heavy-tailed), MGF mungkin hanya terdefinisi di $t = 0$ saja.

Derivasi Rumus Ekstraksi Momen dari MGF:

Mulai dari deret Taylor MGF:

M_X(t) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{\mu_k'}{k!}\, t^k = \mu_0' + \mu_1' t + \frac{\mu_2'}{2!} t^2 + \frac{\mu_3'}{3!} t^3 + \cdots

Diferensiasikan sekali terhadap $t$ :

M_X'(t) = \mu_1' + \mu_2' t + \frac{\mu_3'}{2!} t^2 + \cdots

Evaluasi di $t = 0$ :

M_X'(0) = \mu_1' = E[X]

Diferensiasikan dua kali:

M_X''(t) = \mu_2' + \mu_3' t + \cdots \implies M_X''(0) = \mu_2' = E[X^2]

Secara umum, diferensiasi ke- $k$ dan evaluasi di $t = 0$ :

\boxed{M_X^{(k)}(0) = \mu_k' = E[X^k]}

Derivasi Sifat MGF untuk Penjumlahan Independen:

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ independen. Definisikan $S = X_1 + X_2$ .

M_S(t) = E[e^{tS}] = E[e^{t(X_1 + X_2)}] = E[e^{tX_1} \cdot e^{tX_2}]

Karena $X_1$ dan $X_2$ independen, $e^{tX_1}$ dan $e^{tX_2}$ juga independen, sehingga:

E[e^{tX_1} \cdot e^{tX_2}] = E[e^{tX_1}] \cdot E[e^{tX_2}] = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t)

Ini hanya valid karena independensi memungkinkan faktorisasi nilai harapan produk.

Hubungan Kumulan dengan Momen:

Dari $K_X(t) = \ln M_X(t)$ , ekspansi deret Taylor:

K_X(t) = \kappa_1 t + \frac{\kappa_2}{2!} t^2 + \frac{\kappa_3}{3!} t^3 + \cdots

Diferensiasi $r$ kali dan evaluasi di $t = 0$ menghasilkan kumulan ke- $r$ : $\kappa_r = K_X^{(r)}(0)$ .

Hubungan kumulan dengan momen sentral:

\kappa_1 = \mu, \quad \kappa_2 = \sigma^2, \quad \kappa_3 = \mu_3 = E[(X-\mu)^3]

✘Dilarang›

Dilarang menggunakan sifat $M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)$ tanpa terlebih dahulu memverifikasi bahwa $X$ dan $Y$ independen. Untuk variabel yang tidak independen, sifat ini tidak berlaku dan akan menghasilkan distribusi yang salah.
Dilarang mengidentifikasi distribusi hanya dari satu atau dua momen saja. Dua distribusi berbeda bisa memiliki mean dan variansi yang sama — identifikasi distribusi dari keseluruhan bentuk MGF menggunakan Uniqueness Theorem.
Dilarang mengasumsikan MGF selalu terdefinisi. Beberapa distribusi (seperti distribusi Cauchy atau Log-Normal ekor berat tertentu) tidak memiliki MGF yang terdefinisi untuk $t \neq 0$ . Selalu periksa apakah $E[e^{tX}] < \infty$ sebelum menggunakan MGF.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Variabel acak diskrit $X$ memiliki PMF:

p(x) = \frac{e^{-2} \cdot 2^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \ldots

(a) Tentukan MGF $M_X(t)$ . (b) Gunakan MGF untuk menghitung $E[X]$ dan $\text{Var}(X)$ . (c) Tentukan nilai $M_X(0)$ dan berikan interpretasinya.

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

PMF: $p(x) = e^{-2} \cdot 2^x / x!$ untuk $x = 0, 1, 2, \ldots$
Ini adalah PMF distribusi Poisson dengan $\lambda = 2$ , sehingga $X \sim \text{Poisson}(2)$
Target: $M_X(t)$ , $E[X]$ , $\text{Var}(X)$ , interpretasi $M_X(0)$

2. Identifikasi Distribusi / Model $X \sim \text{Poisson}(\lambda)$ dengan $\lambda = 2$ . Derivasi MGF dilakukan dari definisi untuk menunjukkan proses umumnya, sekaligus memverifikasi formula baku.

3. Setup Persamaan

MGF dari definisi: $M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{e^{-2} \cdot 2^x}{x!}$

Turunan pertama dan kedua untuk momen: $E[X] = M_X'(0), \qquad E[X^2] = M_X''(0)$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Menurunkan $M_X(t)$ : $M_X(t) = \sum_{x=0}^{\infty} e^{tx} \cdot \frac{e^{-2} \cdot 2^x}{x!} = e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(e^t \cdot 2)^x}{x!} = e^{-2} \sum_{x=0}^{\infty} \frac{(2e^t)^x}{x!}$

Kenali deret: $\sum_{x=0}^{\infty} \frac{u^x}{x!} = e^u$ dengan $u = 2e^t$ : $M_X(t) = e^{-2} \cdot e^{2e^t} = e^{2e^t - 2} = e^{2(e^t - 1)}$

Ini adalah bentuk MGF Poisson baku: $M_X(t) = e^{\lambda(e^t - 1)}$ dengan $\lambda = 2$ . ✓

(b) Menghitung $E[X]$ dan $\text{Var}(X)$ :

Turunan pertama: $M_X'(t) = e^{2(e^t - 1)} \cdot 2e^t$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[X] = M_X'(0) = e^{2(1-1)} \cdot 2e^0 = 1 \cdot 2 = 2$

Turunan kedua (gunakan aturan perkalian pada $M_X'(t) = 2e^t \cdot e^{2(e^t-1)}$ ): $M_X''(t) = 2e^t \cdot e^{2(e^t-1)} + 2e^t \cdot e^{2(e^t-1)} \cdot 2e^t = e^{2(e^t-1)}(2e^t + 4e^{2t})$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[X^2] = M_X''(0) = e^0(2 \cdot 1 + 4 \cdot 1) = 6$

Variansi: $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 6 - 4 = 2$

(c) Interpretasi $M_X(0)$ : $M_X(0) = e^{2(e^0 - 1)} = e^{2(1-1)} = e^0 = 1$ Ini selalu berlaku untuk setiap distribusi: $M_X(0) = E[e^{0 \cdot X}] = E[1] = 1$ . Nilai ini adalah syarat normalisasi — menjadi cara cepat untuk memverifikasi bahwa MGF yang diturunkan benar.

5. Verification

$M_X(0) = 1$ ✓ (syarat universal)
$E[X] = 2 = \lambda$ dan $\text{Var}(X) = 2 = \lambda$ : konsisten dengan properti distribusi Poisson ( $E[X] = \text{Var}(X) = \lambda$ ) ✓
MGF berbentuk $e^{\lambda(e^t - 1)}$ : cocok dengan MGF Poisson standar ✓

▲Exam Tips — Soal A›

Target waktu: 6–8 menit Common trap: Lupa memfaktorkan $e^{-\lambda}$ keluar dari penjumlahan sebelum mengenali deret $e^u$ . Jika terlupa, penjumlahan tampak tidak dapat dikenali. Shortcut: Jika PMF dikenali sebagai distribusi standar (Poisson, Binomial, Eksponensial, dll.), langsung gunakan MGF baku dari tabel — tidak perlu menurunkan dari deret setiap kali. Namun untuk soal pembuktian, derivasi penuh tetap diperlukan.

Soal B — Exam-Typical

Misalkan $X_1 \sim \text{Poisson}(3)$ dan $X_2 \sim \text{Poisson}(5)$ , keduanya independen. Definisikan $S = X_1 + X_2$ . (a) Gunakan MGF untuk menentukan distribusi $S$ . (b) Hitung $P(S = 0)$ dan $E[S]$ . (c) Misalkan $Y = 2X_1 - 3$ . Tentukan $M_Y(t)$ dan gunakan untuk menghitung $E[Y]$ dan $\text{Var}(Y)$ .

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

$X_1 \sim \text{Poisson}(3)$ , $X_2 \sim \text{Poisson}(5)$ , independen
$S = X_1 + X_2$ ; $Y = 2X_1 - 3$
MGF Poisson baku: $M_{X_i}(t) = e^{\lambda_i(e^t - 1)}$

2. Identifikasi Distribusi / Model Menggunakan dua properti MGF: (1) perkalian MGF untuk penjumlahan independen, dan (2) MGF transformasi linear. Dengan Uniqueness Theorem, bentuk MGF yang cocok dengan distribusi dikenal mengidentifikasi distribusinya.

3. Setup Persamaan

MGF penjumlahan: $M_S(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t)$

MGF transformasi linear $Y = aX + b$ : $M_Y(t) = e^{bt} M_X(at)$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Distribusi $S$ : $M_S(t) = M_{X_1}(t) \cdot M_{X_2}(t) = e^{3(e^t - 1)} \cdot e^{5(e^t - 1)} = e^{(3+5)(e^t - 1)} = e^{8(e^t - 1)}$

Ini adalah MGF distribusi $\text{Poisson}(8)$ . Oleh Uniqueness Theorem: $\boxed{S = X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(8)}$

(b) $P(S = 0)$ dan $E[S]$ : $P(S = 0) = \frac{e^{-8} \cdot 8^0}{0!} = e^{-8} \approx 0{,}000335$

$E[S] = \lambda_S = 8 = E[X_1] + E[X_2] = 3 + 5$

(c) $M_Y(t)$ untuk $Y = 2X_1 - 3$ :

Gunakan $M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)$ dengan $a = 2$ , $b = -3$ , $X = X_1$ : $M_Y(t) = e^{-3t} \cdot M_{X_1}(2t) = e^{-3t} \cdot e^{3(e^{2t} - 1)} = e^{-3t + 3e^{2t} - 3} = e^{3e^{2t} - 3t - 3}$

Turunan pertama: $M_Y'(t) = e^{3e^{2t} - 3t - 3} \cdot (6e^{2t} - 3)$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[Y] = M_Y'(0) = e^{3-0-3}(6 \cdot 1 - 3) = e^0 \cdot 3 = 3$

Verifikasi via linieritas: $E[Y] = 2E[X_1] - 3 = 2(3) - 3 = 3$ ✓

Turunan kedua (diferensiasikan $M_Y'(t) = (6e^{2t} - 3) \cdot e^{3e^{2t} - 3t - 3}$ ): $M_Y''(t) = 12e^{2t} \cdot e^{3e^{2t}-3t-3} + (6e^{2t}-3)^2 \cdot e^{3e^{2t}-3t-3}$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[Y^2] = M_Y''(0) = e^0[12 + (6-3)^2] = 12 + 9 = 21$

$\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 21 - 9 = 12$

Verifikasi: $\text{Var}(Y) = \text{Var}(2X_1 - 3) = 4\,\text{Var}(X_1) = 4 \times 3 = 12$ ✓

5. Verification

$M_S(0) = e^{8(1-1)} = 1$ ✓
$S \sim \text{Poisson}(8)$ : penjumlahan dua Poisson independen adalah Poisson dengan parameter jumlah — ini adalah properti baku yang harus diingat ✓
$E[Y] = 3$ dan $\text{Var}(Y) = 12$ konsisten dengan sifat transformasi linear ✓

▲Exam Tips — Soal B›

Target waktu: 9–12 menit Common trap 1: Lupa menyebutkan bahwa identifikasi distribusi $S$ menggunakan Uniqueness Theorem — di soal proof-based, langkah ini harus eksplisit disebutkan. Common trap 2: Pada bagian (c), menggunakan $M_Y(t) = M_{X_1}(2t - 3)$ — ini salah. Formula yang benar adalah $M_{aX+b}(t) = e^{bt} M_X(at)$ : argumen $t$ di dalam $M_X$ dikalikan $a$ , dan $e^{bt}$ dikali dari luar. Shortcut: Untuk $E[Y]$ dan $\text{Var}(Y)$ dari transformasi linear $Y = aX + b$ , gunakan langsung $E[Y] = aE[X] + b$ dan $\text{Var}(Y) = a^2 \text{Var}(X)$ — lebih cepat daripada menurunkan $M_Y$ dua kali. MGF transformasi berguna jika diminta bentuk $M_Y(t)$ eksplisit atau untuk distribusi $Y$ .

Soal C — Challenging

Misalkan $X_1, X_2, \ldots, X_n$ adalah variabel acak independen dan identik terdistribusi (i.i.d.) dengan $X_i \sim \text{Exp}(\lambda)$ , di mana MGF-nya adalah $M_X(t) = \dfrac{\lambda}{\lambda - t}$ untuk $t < \lambda$ .

Definisikan $S_n = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ .

(a) Tentukan $M_{S_n}(t)$ dan identifikasi distribusi $S_n$ . (b) Gunakan MGF untuk menghitung $E[S_n]$ dan $\text{Var}(S_n)$ langsung dari $M_{S_n}(t)$ . (c) Definisikan $\bar{X} = S_n / n$ . Tentukan $M_{\bar{X}}(t)$ dan hitung $E[\bar{X}]$ serta $\text{Var}(\bar{X})$ . (d) Tentukan fungsi pembangkit kumulan $K_{S_n}(t)$ dan gunakan untuk mengkonfirmasi $E[S_n]$ dan $\text{Var}(S_n)$ .

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

$X_i \sim \text{Exp}(\lambda)$ i.i.d.; MGF: $M_X(t) = \lambda/(\lambda - t)$ , $t < \lambda$
$S_n = \sum_{i=1}^n X_i$ ; $\bar{X} = S_n/n$
Target: $M_{S_n}$ , distribusi $S_n$ , $E[S_n]$ , $\text{Var}(S_n)$ , $M_{\bar{X}}$ , $K_{S_n}$

2. Identifikasi Distribusi / Model Penjumlahan variabel Eksponensial i.i.d. — diharapkan menghasilkan distribusi Gamma. Ini adalah aplikasi klasik Uniqueness Theorem MGF.

3. Setup Persamaan

MGF penjumlahan i.i.d.: $M_{S_n}(t) = \left[M_X(t)\right]^n$

MGF rata-rata $\bar{X} = S_n/n = (1/n) S_n$ : $M_{\bar{X}}(t) = M_{S_n}(t/n) = \left[M_X(t/n)\right]^n$

Fungsi pembangkit kumulan: $K_{S_n}(t) = \ln M_{S_n}(t)$

4. Eksekusi Aljabar

(a) $M_{S_n}(t)$ dan distribusi $S_n$ : $M_{S_n}(t) = \left[M_X(t)\right]^n = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^n = \frac{\lambda^n}{(\lambda - t)^n}, \quad t < \lambda$

MGF distribusi Gamma $\Gamma(\alpha, \beta)$ (dengan parametrisasi skala $\beta = 1/\lambda$ , laju $\lambda$ ): $M_{\Gamma(\alpha, 1/\lambda)}(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^\alpha, \quad t < \lambda$

Cocokkan: $\alpha = n$ . Oleh Uniqueness Theorem: $\boxed{S_n \sim \Gamma(n, 1/\lambda)}$ (Distribusi Gamma dengan parameter bentuk $\alpha = n$ dan parameter skala $\beta = 1/\lambda$ , atau ekuivalen parameter laju $\lambda$ .)

(b) $E[S_n]$ dan $\text{Var}(S_n)$ dari $M_{S_n}(t)$ :

Tulis $M_{S_n}(t) = \lambda^n (\lambda - t)^{-n}$ .

Turunan pertama: $M_{S_n}'(t) = \lambda^n \cdot (-n)(\lambda - t)^{-n-1} \cdot (-1) = n\lambda^n (\lambda - t)^{-n-1}$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[S_n] = M_{S_n}'(0) = n\lambda^n \cdot \lambda^{-n-1} = n\lambda^n \cdot \frac{1}{\lambda^{n+1}} = \frac{n}{\lambda}$

Turunan kedua: $M_{S_n}''(t) = n\lambda^n \cdot (-(n+1))(\lambda-t)^{-n-2} \cdot (-1) = n(n+1)\lambda^n(\lambda-t)^{-n-2}$

Evaluasi di $t = 0$ : $E[S_n^2] = M_{S_n}''(0) = n(n+1)\lambda^n \cdot \lambda^{-n-2} = \frac{n(n+1)}{\lambda^2}$

Variansi: $\text{Var}(S_n) = E[S_n^2] - (E[S_n])^2 = \frac{n(n+1)}{\lambda^2} - \frac{n^2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n - n^2}{\lambda^2} = \frac{n}{\lambda^2}$

(c) $M_{\bar{X}}(t)$ , $E[\bar{X}]$ , $\text{Var}(\bar{X})$ :

$\bar{X} = S_n/n = (1/n)S_n$ , gunakan $M_{aX}(t) = M_X(at)$ dengan $a = 1/n$ : $M_{\bar{X}}(t) = M_{S_n}(t/n) = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t/n}\right)^n = \left(\frac{n\lambda}{n\lambda - t}\right)^n$

Untuk momen, gunakan sifat transformasi linear langsung (lebih efisien): $E[\bar{X}] = \frac{1}{n} E[S_n] = \frac{1}{n} \cdot \frac{n}{\lambda} = \frac{1}{\lambda}$

$\text{Var}(\bar{X}) = \frac{1}{n^2}\,\text{Var}(S_n) = \frac{1}{n^2} \cdot \frac{n}{\lambda^2} = \frac{1}{n\lambda^2}$

(d) Fungsi pembangkit kumulan $K_{S_n}(t)$ : $K_{S_n}(t) = \ln M_{S_n}(t) = \ln\!\left[\left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^n\right] = n\ln\lambda - n\ln(\lambda - t)$

Turunan pertama: $K_{S_n}'(t) = -n \cdot \frac{-1}{\lambda - t} = \frac{n}{\lambda - t}$

Kumulan pertama: $\kappa_1 = K_{S_n}'(0) = \frac{n}{\lambda} = E[S_n] \quad \checkmark$

Turunan kedua: $K_{S_n}''(t) = \frac{n}{(\lambda - t)^2}$

Kumulan kedua: $\kappa_2 = K_{S_n}''(0) = \frac{n}{\lambda^2} = \text{Var}(S_n) \quad \checkmark$

5. Verification

$M_{S_n}(0) = (\lambda/\lambda)^n = 1$ ✓
$E[S_n] = n/\lambda = n \cdot E[X_i]$ : konsisten dengan linieritas nilai harapan (tidak memerlukan independensi) ✓
$\text{Var}(S_n) = n/\lambda^2 = n \cdot \text{Var}(X_i)$ : konsisten dengan aditivitas variansi untuk variabel i.i.d. ✓
$E[\bar{X}] = 1/\lambda = E[X_i]$ : mean sampel adalah estimator tak-bias dari mean populasi ✓ (preview 4.6 Sifat-Sifat Estimator)
$\text{Var}(\bar{X}) = 1/(n\lambda^2)$ : variansi mengecil seiring $n$ bertambah ✓
Hasil kumulan dari $K_{S_n}$ mengkonfirmasi $E$ dan $\text{Var}$ ✓

▲Exam Tips — Soal C›

Target waktu: 15–18 menit Common trap 1: Parametrisasi Gamma. $\Gamma(\alpha, \beta)$ di beberapa buku menggunakan $\beta$ sebagai skala ( $\beta = 1/\lambda$ ), di buku lain sebagai laju ( $\beta = \lambda$ ). Selalu nyatakan secara eksplisit MGF mana yang digunakan dan parametrisasi mana yang dicocokkan. Common trap 2: Untuk $M_{\bar{X}}(t)$ , kuncinya adalah $\bar{X} = (1/n) S_n$ , sehingga $M_{\bar{X}}(t) = M_{S_n}(t/n)$ — bukan $[M_X(t)]^n / n$ atau bentuk salah lainnya. Common trap 3: Radius konvergensi: $M_X(t)$ hanya valid untuk $t < \lambda$ . Saat menyatakan MGF, selalu sertakan syarat konvergensi. Shortcut: Kumulan jauh lebih mudah dihitung daripada momen sentral melalui $K_{S_n}(t) = \ln M_{S_n}(t)$ — diferensiasi logaritma seringkali lebih sederhana daripada diferensiasi pangkat tinggi dari MGF langsung.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi MGF›

Setiap MGF yang diturunkan harus memenuhi:

$M_X(0) = 1$ selalu berlaku tanpa pengecualian — jika tidak, ada kesalahan derivasi.
$M_X'(0) = E[X]$ harus konsisten dengan nilai harapan yang diketahui dari distribusinya.
Untuk distribusi non-negatif (support $\geq 0$ ): $M_X(t)$ harus meningkat seiring $t$ meningkat (karena $e^{tX}$ membesar untuk $X \geq 0$ dan $t > 0$ ).

✓Validasi Identifikasi Distribusi›

Saat mengidentifikasi distribusi dari MGF:

Pastikan seluruh bentuk MGF cocok, bukan hanya koefisien atau satu parameter saja.
Sebutkan secara eksplisit Uniqueness Theorem sebagai dasar identifikasi.
Periksa bahwa domain konvergensi MGF konsisten: MGF yang ditemukan harus terdefinisi pada interval terbuka yang sama.

✓Validasi Momen dari MGF›

Sebelum menyimpulkan nilai momen dari MGF:

Diferensiasikan MGF $k$ kali dan evaluasi di $t = 0$ — bukan di $t = 1$ atau nilai lain.
Bandingkan $E[X]$ dari MGF dengan nilai harapan yang dihitung langsung dari PMF/PDF — keduanya harus sama.
Variansi dari MGF: $\text{Var}(X) = M''(0) - [M'(0)]^2 \geq 0$ — jika negatif, ada kesalahan diferensiasi.

✓Validasi Aditivitas untuk Penjumlahan›

Untuk $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_n$ dengan $X_i$ i.i.d.:

$E[S] = n \cdot E[X_i]$ (linieritas, tidak perlu independensi)
$\text{Var}(S) = n \cdot \text{Var}(X_i)$ (aditivitas, perlu independensi)
MGF: $M_S(t) = [M_X(t)]^n$ (perlu independensi)

Metode Alternatif

Untuk menghitung $E[X]$ dan $\text{Var}(X)$ dari distribusi yang sudah dikenal, menggunakan tabel momen distribusi standar jauh lebih efisien daripada menurunkan MGF dan mendiferensiasikannya. MGF paling berguna ketika: (1) diminta eksplisit dalam soal, (2) digunakan untuk mengidentifikasi distribusi penjumlahan, atau (3) distribusinya tidak langsung dikenali.

Untuk menghitung kumulan, diferensiasikan $K_X(t) = \ln M_X(t)$ langsung — ini seringkali menghasilkan ekspresi yang lebih sederhana daripada diferensiasi $M_X(t)$ berkali-kali, terutama untuk $n$ besar.

Section 6 — Visualisasi Mental

MGF sebagai Transformasi Domain:

Bayangkan distribusi $X$ sebagai “profil ketinggian” di sepanjang sumbu nilai $x$ (PMF atau PDF). MGF $M_X(t)$ adalah semacam “foto” distribusi tersebut dari sudut pandang berbeda — domain $t$ — yang mengompresi seluruh informasi momen ke dalam satu fungsi. Pada $t = 0$ : foto menunjukkan nilai 1 (normalisasi). Untuk $t$ kecil positif: nilai MGF mulai naik, kecepatan naiknya ditentukan oleh mean $E[X]$ . Kelengkungan kurva $M_X(t)$ di $t = 0$ (turunan kedua) ditentukan oleh $E[X^2]$ . Semakin “lebar” distribusinya (variansi besar), semakin curam kurva MGF naik untuk $t > 0$ .

PGF sebagai Deret Pembangkit PMF:

Bayangkan PGF $G_X(t) = \sum_{x=0}^\infty p(x) t^x$ sebagai polinomial (atau deret pangkat) di mana koefisien $t^x$ tepat sama dengan $P(X = x) = p(x)$ . Grafik PGF: sumbu X adalah $t \in [0, 1]$ , sumbu Y adalah $G_X(t)$ . Di $t = 0$ : $G_X(0) = p(0) = P(X = 0)$ — tinggi PGF di nol langsung memberikan probabilitas $P(X = 0)$ . Di $t = 1$ : $G_X(1) = \sum p(x) = 1$ — selalu 1. Kemiringan kurva PGF di $t = 1$ adalah $E[X]$ .

Hubungan Visual ↔ Rumus

Tinggi lekukan (curvature) kurva $M_X(t)$ di $t = 0$ berkorespondensi dengan:

M_X''(0) = E[X^2] \longleftrightarrow \text{kelengkungan MGF di origin}

Tinggi PGF di $t = 0$ berkorespondensi langsung dengan:

G_X(0) = p(0) = P(X = 0) \longleftrightarrow \text{tinggi kurva PGF di origin}

Kemiringan $\ln M_X(t)$ (fungsi pembangkit kumulan) di $t = 0$ berkorespondensi dengan:

K_X'(0) = \kappa_1 = E[X] \longleftrightarrow \text{slope awal log-MGF}

Kelengkungan $\ln M_X(t)$ di $t = 0$ berkorespondensi dengan:

K_X''(0) = \kappa_2 = \text{Var}(X) \longleftrightarrow \text{curvature log-MGF di origin}

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Kesalahan utama — Salah parametrisasi distribusi Gamma saat mencocokkan MGF:

MGF Gamma dengan parameter bentuk $\alpha$ dan laju $\lambda$ (parametrisasi laju): $M(t) = \left(\frac{\lambda}{\lambda - t}\right)^\alpha$
MGF Gamma dengan parameter bentuk $\alpha$ dan skala $\beta = 1/\lambda$ (parametrisasi skala): $M(t) = (1 - \beta t)^{-\alpha}$
Salah: Mencocokkan $\left(\frac{3}{3-t}\right)^5$ dengan $\Gamma(3, 5)$ — ini keliru; yang benar adalah $\Gamma(\alpha=5, \lambda=3)$ atau $\Gamma(\alpha=5, \beta=1/3)$ .
Benar: Identifikasi $\alpha$ sebagai eksponen dan $\lambda$ sebagai “angka di atas” — lalu nyatakan parametrisasi yang digunakan.

Kesalahan kedua — Formulasi MGF transformasi linear:

Salah: $M_{aX+b}(t) = M_X(at + b)$ — ini salah; $b$ tidak dimasukkan ke argumen $M_X$ .
Benar: $M_{aX+b}(t) = e^{bt} \cdot M_X(at)$ — faktor $e^{bt}$ perkalian dari luar, argumen $M_X$ adalah $at$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $M_{X+Y}(t) = M_X(t) \cdot M_Y(t)$ tanpa memeriksa independensi. Sifat ini hanya berlaku untuk variabel acak independen. Untuk yang tidak independen, harus gunakan MGF gabungan atau pendekatan lain.
Mengidentifikasi distribusi hanya dari satu atau dua momen. Dua distribusi berbeda bisa memiliki mean dan variansi yang sama. Identifikasi distribusi dari seluruh bentuk MGF, bukan sebagian parameternya saja, kemudian kutip Uniqueness Theorem.
Mengira MGF selalu ada untuk semua distribusi. Distribusi Cauchy tidak memiliki MGF. Distribusi Log-Normal memiliki semua momen terdefinisi tetapi MGF-nya tidak terdefinisi untuk $t > 0$ . Selalu periksa existensi sebelum menggunakan MGF.
Mengevaluasi turunan MGF di $t = 1$ bukan di $t = 0$ untuk mendapat momen. Momen ke- $k$ adalah $M_X^{(k)}(0)$ — evaluasi di nol, bukan di satu. (PGF adalah pengecualian: untuk momen dari PGF, evaluasi di $t = 1$ .)

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Fungsi pembangkit” tanpa kualifikasi: periksa konteks — apakah PGF (untuk diskrit non-negatif, “menghasilkan probabilitas”) atau MGF (untuk semua variabel acak, “menghasilkan momen”). Keduanya berbeda.
“Tentukan distribusi $S = X_1 + X_2$ ”: soal ini hampir pasti meminta penggunaan MGF + Uniqueness Theorem — bukan konvolusi PMF/PDF secara langsung (yang jauh lebih kompleks).
“Gunakan MGF untuk menghitung variansi”: harus hitung $M''(0) - [M'(0)]^2$ , bukan $M''(0)$ saja. Kesalahan ini sangat umum di bawah tekanan waktu ujian.

▲Red Flags›

Soal menyebutkan penjumlahan variabel acak independen dan meminta distribusi: Langsung pikirkan MGF — ini sinyal kuat bahwa perkalian MGF dan Uniqueness Theorem adalah pendekatan yang dimaksud.
MGF diberikan dalam bentuk $e^{f(t)}$ atau $(\text{sesuatu})^n$ : Ini sering merupakan MGF distribusi Poisson atau Gamma — kenali bentuk baku ini segera.
Soal meminta $E[X^k]$ untuk $k \geq 3$ : MGF seringkali lebih efisien daripada integral/penjumlahan langsung untuk momen orde tinggi.
Domain konvergensi disebut di soal (e.g., “untuk $t < \lambda$ ”): Syarat ini penting — jangan menggunakan MGF di luar domain konvergensinya.
Kata “unik” atau “uniqueness”: Soal sedang menguji apakah kamu tahu Uniqueness Theorem — kutip dan gunakan secara eksplisit.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

Definisi MGF dan selalu $M_X(0) = 1$ : $M_X(t) = E[e^{tX}], \qquad M_X(0) = 1 \text{ (universal)}$
Ekstraksi momen dari MGF (diferensiasikan dan evaluasi di nol): $E[X^k] = M_X^{(k)}(0) = \left.\frac{d^k}{dt^k}M_X(t)\right|_{t=0}$
MGF penjumlahan independen adalah perkalian MGF (wajib independen): $M_{X_1 + \cdots + X_n}(t) = \prod_{i=1}^{n} M_{X_i}(t), \quad X_i \text{ independen}$
MGF transformasi linear: $M_{aX+b}(t) = e^{bt}\, M_X(at)$
Kumulan dari fungsi pembangkit kumulan (mean dan variansi langsung): $K_X(t) = \ln M_X(t), \qquad \kappa_1 = K_X'(0) = E[X], \quad \kappa_2 = K_X''(0) = \text{Var}(X)$

Kapan Digunakan

Trigger keywords: “fungsi pembangkit momen”, “MGF”, “PGF”, “momen ke- $k$ ”, “distribusi penjumlahan”, “identifikasi distribusi”, “variabel acak independen dijumlahkan”, “kumulan”, “uniqueness”.
Tipe skenario soal:
- Turunkan MGF dari PMF/PDF distribusi yang diberikan (Poisson, Binomial, Eksponensial, Normal, Gamma).
- Hitung momen ke- $k$ dari MGF yang diberikan via diferensiasi.
- Identifikasi distribusi penjumlahan variabel i.i.d. menggunakan perkalian MGF dan Uniqueness Theorem.
- Tentukan MGF dari transformasi linear $Y = aX + b$ .
- Hitung kumulan pertama dan kedua dari $K_X(t) = \ln M_X(t)$ .

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

Jika distribusi tidak memiliki MGF yang terdefinisi (misalnya distribusi Cauchy, atau distribusi ekor sangat berat): gunakan metode langsung (integral/penjumlahan) atau fungsi karakteristik [BEYOND CF2].
Jika hanya $E[X]$ dan $\text{Var}(X)$ diperlukan dari distribusi yang sudah dikenal: lebih efisien menggunakan tabel formula dari 2.5 Distribusi Diskrit Umum atau 2.6 Distribusi Kontinu Umum secara langsung.
Jika variabel acak tidak independen dan diminta distribusi penjumlahan: perkalian MGF tidak berlaku; gunakan metode konvolusi dari 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat atau distribusi gabungan dari 3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution).
Jika diminta PMF/PDF spesifik dari penjumlahan (bukan hanya identifikasi distribusi): setelah identifikasi via MGF, gunakan distribusi yang teridentifikasi untuk menghitung PMF/PDF dengan formula baku.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Soal melibatkan fungsi pembangkit"] --> B["Apa yang diminta?"]
    B --> C["Turunkan MGF dari distribusi"]
    B --> D["Hitung momen dari MGF"]
    B --> E["Identifikasi distribusi penjumlahan"]
    B --> F["Hitung kumulan"]
    C --> C1["Gunakan definisi:<br>E[e^tX] via integral atau penjumlahan<br>Kenali deret standar"]
    D --> D1["Diferensiasikan k kali<br>Evaluasi di t = 0<br>Bukan di t = 1"]
    E --> E2["Apakah X_i independen?"]
    E2 -->|"Ya"| E3["M_S(t) = produk M_Xi(t)<br>Cocokkan bentuk<br>Kutip Uniqueness Theorem"]
    E2 -->|"Tidak"| E4["Perkalian MGF tidak valid<br>Gunakan metode konvolusi<br>lihat 2.4"]
    F --> F1["K_X(t) = ln M_X(t)<br>Diferensiasikan 1x: E[X]<br>Diferensiasikan 2x: Var(X)"]
    D --> D2["Cek: M_X(0) = 1?"]
    D2 -->|"Ya"| D3["Lanjutkan"]
    D2 -->|"Tidak"| D4["Ada kesalahan derivasi<br>Ulangi dari awal"]

❝Follow-up Options›

“Berikan tabel MGF lengkap untuk semua distribusi diskrit dan kontinu di silabus CF2”
“Jelaskan hubungan 2.3 Fungsi Pembangkit dengan 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat menggunakan teknik MGF”
“Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-Tanis-Zimm (2015) Bab 2.4–2.5; Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 1.7, 1.9; Miller et al. (2014) Bab 4.5, 5.7, 6.5 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #VariabelAcak #FungsiPembangkit #MGF #PGF #Kumulan #MomenGenerating