📘 3.5 — Immunization

Section 0 — Pemetaan Topik

Section 1 — Intuisi

Bayangkan sebuah perusahaan asuransi jiwa yang menjanjikan membayar Rp 10 miliar kepada nasabahnya 15 tahun dari sekarang. Perusahaan itu menginvestasikan premi yang diterima hari ini dalam obligasi. Masalahnya: jika suku bunga naik, nilai obligasi turun — dan uang yang terkumpul mungkin tidak cukup untuk membayar klaim. Sebaliknya, jika suku bunga turun, dana yang terkumpul dari reinvestasi coupon juga lebih kecil. Dalam kedua kasus, ada risiko bahwa nilai aset tidak cukup menutup nilai liabilitas. Immunization adalah strategi untuk menghilangkan risiko ini — atau setidaknya memastikan bahwa nilai aset selalu ≥ nilai liabilitas, tidak peduli ke mana suku bunga bergerak.

Redington Immunization (Frank Redington, 1952) adalah solusi elegan: jika kamu menyusun portofolio aset sedemikian rupa sehingga (1) nilai sekarang aset = nilai sekarang liabilitas, (2) durasi aset = durasi liabilitas, dan (3) konveksitas aset > konveksitas liabilitas — maka untuk pergeseran yield yang kecil, nilai surplus (aset minus liabilitas) akan selalu naik atau tetap nol. Kondisi (1) dan (2) memastikan bahwa titik awal surplus = 0 dan kemiringan awal kurva surplus = 0. Kondisi (3) memastikan kurva surplus melengkung ke atas — seperti mangkuk terbalik yang selalu positif di sekitar titik awal.

Full Immunization melangkah lebih jauh: dengan mengapit setiap liabilitas di antara dua arus kas aset (satu sebelum, satu sesudah), surplus dijamin non-negatif untuk semua pergeseran yield, bukan hanya yang kecil. Sedangkan Cash Flow Matching adalah pendekatan paling konservatif: cocokkan setiap arus kas aset dengan setiap arus kas liabilitas secara eksak, sehingga tidak ada risiko suku bunga sama sekali. Di CF1, ketiga pendekatan ini diuji — dengan penekanan terbesar pada Redington karena paling kaya secara matematis.

Section 2 — Definisi Formal

Variabel & Parameter

Rumus Utama

Surplus setelah pergeseran yield (aproksimasi Taylor orde-2):

Jika syarat Redington terpenuhi: $S(i_0) = 0$, $dS/di = 0$, sehingga:

Label: Surplus bersifat kuadratik terhadap $\Delta i$ — selalu non-negatif selama $CX_A > CX_L$.

Syarat duration matching — sistem dua instrumen:

Jika portofolio terdiri dari dua instrumen dengan duration $D_1$ dan $D_2$ ($D_1 < D_L < D_2$):

Solusi:

Label: “Lever rule” — bobot berbanding terbalik dengan jarak dari target duration.

Convexity surplus — formula cepat:

Untuk dua ZCB dengan maturity $n_1$ dan $n_2$ vs liabilitas ZCB dengan maturity $n_L$:

Label: Selalu positif untuk portofolio barbell ($n_1 < n_L < n_2$) karena $n(n+1)$ adalah fungsi konveks.

Full Immunization — syarat per pasang liabilitas:

Untuk setiap liabilitas $L_s$ pada waktu $s$, terdapat dua arus kas aset $A_{t_1}$ pada $t_1 < s$ dan $A_{t_2}$ pada $t_2 > s$ yang memenuhi:

Label: Full immunization menjamin $S \geq 0$ untuk semua $\Delta i$, bukan hanya $\Delta i$ kecil.

Cash Flow Matching:

Label: Tidak ada risiko suku bunga sama sekali — aset dan liabilitas cocok persis di setiap periode.

Asumsi Eksplisit

• Flat Yield Curve: Semua arus kas didiskonto pada yield tunggal $i$ yang bergerak secara seragam.
• Parallel Yield Shift: Pergeseran $\Delta i$ seragam untuk semua maturitas — tidak berlaku untuk perubahan bentuk kurva.
• Sekali Rebalancing: Immunization dibangun sekali dan diasumsikan bertahan. Dalam praktik, perlu rebalancing periodik karena duration berubah seiring waktu dan pergerakan yield.
• Fixed Cash Flows: Arus kas aset tidak berubah ketika $i$ berubah (tidak ada embedded options).
• Small $\Delta i$ untuk Redington: Aproksimasi orde-2 hanya akurat untuk $|\Delta i|$ kecil hingga sedang. Full immunization tidak memiliki batasan ini.
• $PV_A = PV_L$ pada $i_0$: Redington dimulai dari surplus nol. Jika $PV_A > PV_L$ awal, syarat menjadi lebih longgar.

Section 3 — Jembatan Logika

Derivasi tiga syarat dari ekspansi Taylor:

Ekspansi $S(i)$ di sekitar $i_0$:

Untuk $S(i_0 + \Delta i) \geq 0$ di sekitar $i_0$:

• Jika $S(i_0) > 0$: sudah aman untuk $\Delta i$ kecil, tetapi buang modal yang tak perlu.
• Jika $S(i_0) = 0$ dan $S'(i_0) \neq 0$: surplus negatif untuk salah satu arah $\Delta i$ (linear term dominan). Buruk.
• Jika $S(i_0) = 0$ dan $S'(i_0) = 0$ dan $S''(i_0) > 0$: surplus $\approx \frac{1}{2}S''(i_0)(\Delta i)^2 \geq 0$. ✓

Tiga syarat Redington adalah kondisi minimal yang memastikan skenario ketiga.

Menurunkan ekuivalensi Syarat 2 dengan duration matching:

Dari definisi Modified Duration:

Dengan $PV_A = PV_L$ (Syarat 1):

Agar $S'(i_0) = 0$: $D_{\text{Mod},A} = D_{\text{Mod},L}$, yang ekuivalen dengan $D_{\text{Mac},A} = D_{\text{Mac},L}$ (karena keduanya dibagi $(1+i)$ yang sama).

Menurunkan ekuivalensi Syarat 3 dengan convexity:

Dengan $PV_A = PV_L$:

Agar $S''(i_0) > 0$: $CX_A > CX_L$. Q.E.D.

Mengapa barbell selalu punya $CX_A > CX_L$ vs bullet:

Untuk portofolio barbell ZCB ($n_1 < n_L < n_2$) vs liabilitas ZCB ($n_L$), dengan duration matching $w_1 n_1 + w_2 n_2 = n_L$:

Definisikan $f(n) = n(n+1)$. Karena $f$ adalah fungsi konveks terhadap $n$ (turunan kedua $f''(n) = 2 > 0$):

(Jensen’s inequality untuk fungsi konveks.) Sehingga $CX_A > CX_L$ selalu berlaku. Q.E.D.

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Sebuah perusahaan memiliki satu liabilitas: membayar Rp 500.000.000 tepat 5 tahun dari sekarang. Yield pasar saat ini $i_0 = 7\%$ per tahun efektif.

Perusahaan mempertimbangkan dua portofolio aset:

• Portofolio I: ZCB tunggal maturity 5 tahun, face value $F_I$ dipilih sehingga $PV_I = PV_L$.
• Portofolio II: 40% (nilai) pada ZCB maturity 2 tahun + 60% (nilai) pada ZCB maturity 9 tahun.

(a) Hitung $PV_L$ dan $D_{\text{Mac},L}$. (b) Untuk masing-masing portofolio, verifikasi tiga syarat Redington immunization. (c) Portofolio mana yang lebih baik untuk immunization, dan mengapa?

Liabilitas:
t=0                    t=5
 |----------------------|
                    −500.000.000

Portofolio I:
t=0             t=5
 |---------------|
 PV_I         +F_I

Portofolio II:
t=0    t=2              t=5    t=9
 |------|---------------|------|
 PV_II +40% nilai           +60% nilai

Soal B — Exam-Typical

Sebuah dana pensiun memiliki liabilitas berikut: Rp 200.000.000 pada $t = 3$ dan Rp 500.000.000 pada $t = 8$. Yield pasar saat ini $i_0 = 6\%$ per tahun efektif.

Dana tersebut akan di-immunize menggunakan dua ZCB:

• ZCB Alpha: maturity 1 tahun
• ZCB Beta: maturity 12 tahun

(a) Hitung $PV_L$ total dan $D_{\text{Mac},L}$ dari portofolio liabilitas. (b) Tentukan bobot nilai pasar $w_\alpha$ dan $w_\beta$ sehingga memenuhi Syarat 1 dan 2. (c) Hitung $CX_A$ dan verifikasi Syarat 3. (d) Estimasi surplus jika yield turun ke $i = 4\%$ ($\Delta i = -0.02$).

t=0   t=1      t=3           t=8        t=12
 |----|--------|-------------|----------|
      +A_α   −200M         −500M      +A_β
 PV_A                                        ← invest hari ini

Soal C — Challenging

Seorang manajer ALM sedang mengevaluasi apakah portofolio berikut sudah ter-immunize terhadap liabilitas tunggal Rp 1.000.000.000 yang jatuh tempo 10 tahun dari sekarang. Yield pasar $i_0 = 5\%$.

Portofolio aset yang dipegang:

• Aset 1: Obligasi coupon, $F = C = \text{Rp } 400.000.000$, $r = 8\%$ (tahunan), maturity 7 tahun. $D_{\text{Mac},1} = 5.5348$ tahun, $P_1 = 479{,}025{,}600$ (sudah diberikan).
• Aset 2: ZCB, face value Rp 700.000.000, maturity 14 tahun. $P_2 = 700{,}000{,}000 \times (1.05)^{-14}$.

(a) Hitung $PV_L$ dan verifikasi apakah Syarat 1 terpenuhi. (b) Hitung $D_{\text{Mac},A}$ portofolio dan verifikasi apakah Syarat 2 terpenuhi. (c) Hitung $CX_A$ dan $CX_L$, lalu verifikasi Syarat 3. (d) Jika salah satu syarat tidak terpenuhi, tentukan perubahan minimal pada alokasi aset untuk memperbaikinya — tanpa menambah modal baru (Syarat 1 harus tetap terpenuhi).

t=0  t=1...t=7  t=10   t=14
 |----|--------|--------|
      Aset1    −Liab.   Aset2
      coupon+C          ZCB
 P_A = P_1+P_2

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

Metode Alternatif

Cash Flow Matching — Alternatif tanpa risiko suku bunga:

Untuk setiap liabilitas $L_t$ pada waktu $t$, beli ZCB dengan face value $= L_t$ dan maturity $= t$. Tidak perlu menghitung duration atau convexity — arus kas cocok secara langsung. Kelebihan: nol risiko suku bunga. Kekurangan: memerlukan instrumen yang tersedia di setiap maturity yang dibutuhkan, dan biasanya lebih mahal (tidak bisa memanfaatkan yield curve).

Redington dengan $PV_A > PV_L$ (Surplus Awal Positif):

Jika $S_0 = PV_A - PV_L > 0$, Redington masih bisa diterapkan dengan syarat yang sedikit berbeda:

Syarat 1 tidak lagi $PV_A = PV_L$ tetapi cukup $PV_A \geq PV_L$. Dalam praktik, manajer sering mengizinkan sedikit surplus awal sebagai “bantal” keamanan.

Full Immunization — Penjaminan untuk semua $\Delta i$:

Untuk setiap liabilitas tunggal $L_s$ di $t = s$, pilih aset $A_{t_1}$ (di $t_1 < s$) dan $A_{t_2}$ (di $t_2 > s$) yang memenuhi:

Surplus $S(i) \geq 0$ untuk semua $i > 0$, bukan hanya $i$ dekat $i_0$.

Section 6 — Visualisasi Mental

Kurva Surplus $S(i)$ — Profil Immunization:

Bayangkan grafik dengan sumbu X = yield $i$ dan sumbu Y = surplus $S = PV_A - PV_L$.

Untuk portofolio yang memenuhi tiga syarat Redington:

• Kurva $S(i)$ melewati titik $(i_0, 0)$ — Syarat 1.
• Kurva $S(i)$ memiliki kemiringan nol di $i_0$ (tangent horizontal) — Syarat 2.
• Kurva $S(i)$ melengkung ke atas di $i_0$ (cekungan ke atas, seperti mangkuk) — Syarat 3.

Kombinasi tiga kondisi ini berarti $i_0$ adalah minimum lokal dari $S(i)$ dengan nilai minimum = 0. Karena kurva melengkung ke atas, $S(i) \geq 0$ untuk semua $i$ dekat $i_0$.

Perbedaan profil tiga strategi:

• Redington: $S(i)$ berbentuk parabola ke atas, menyentuh sumbu X hanya di $i_0$. Aman untuk $\Delta i$ kecil.
• Full Immunization: $S(i) \geq 0$ untuk semua $i > 0$ — kurva seluruhnya di atas sumbu X.
• Cash Flow Matching: $S(i) = 0$ untuk semua $i$ — garis horizontal tepat di sumbu X (nol risiko, nol surplus).
• Tidak ter-immunize (duration mismatch): $S(i)$ adalah garis miring yang bisa negatif di salah satu sisi — berbahaya.

Diagram “Timbangan Duration”:

Garis waktu horizontal. Liabilitas sebagai beban di $t = s$. Portofolio barbell menempatkan dua beban aset di $t_1 < s$ dan $t_2 > s$. Syarat 2 (duration matching) adalah kondisi keseimbangan timbangan. Syarat 3 (convexity) adalah kondisi bahwa “jepit” dari kedua sisi lebih lebar dari lebar liabilitas.

Mengapa $CX_A > CX_L$ untuk barbell:

Grafik $f(n) = n(n+1)$ vs $n$ — parabola ke atas (konveks). Barbell mengambil dua titik di $n_1$ dan $n_2$ dan rata-rata weightednya. Karena parabola konveks, rata-rata dua titik selalu di atas nilai parabola di rata-rata argumen ($n_L$). Ini adalah Jensen’s inequality secara visual.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Parabola $S(i)$ minimum di $i_0$ = tiga kondisi Taylor:

Ketinggian parabola surplus = perbedaan convexity:

Jensen’s inequality untuk $f(n) = n(n+1)$:

Section 7 — Jebakan Umum

Section 8 — Ringkasan Eksekutif