14 2026 05 Cf1 Pembahasan

No. 1

Dita dan Lolita masing-masing baru saja membuka rekening tabungan baru. Pada waktu ke-0, Dita menabungkan uangnya sebesar Rp $10{.}000{.}000$ pada rekening tabungannya sedangkan Lolita menabungkan uangnya sebesar Rp $5{.}000{.}000$. Masing-masing rekening tabungan tersebut memberikan tingkat bunga efektif tahunan yang sama. Diketahui bahwa jumlah bunga yang diterima oleh Dita selama tahun ke-11 (antara akhir tahun ke-10 sampai dengan akhir tahun ke-11) adalah $R$. Sedangkan jumlah bunga yang diterima oleh Lolita selama tahun ke-17 (antara akhir tahun ke-16 sampai dengan akhir tahun ke-17) juga sejumlah $R$. Hitunglah nilai $R$. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $3{.}990{.}000$
b. $3{.}890{.}000$
c. $3{.}870{.}000$
d. $3{.}780{.}000$
e. $3{.}660{.}000$

≡Jawaban No. 1›

(b). $R \approx 3{.}890{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Bunga yang diperoleh selama tahun ke-$(t+1)$ pada compound interest:

$$I_{t+1} = P(1+i)^{t} \cdot i$$

Di sini $I$ adalah bunga periode tunggal (bukan akumulasi total), $P$ pokok awal, dan $i$ suku bunga efektif tahunan.

Diketahui:

• $P_D = 10{.}000{.}000$ (pokok Dita di $t=0$)

• $P_L = 5{.}000{.}000$ (pokok Lolita di $t=0$)

• Bunga Dita tahun ke-11 $= P_D(1+i)^{10}\,i = R$

• Bunga Lolita tahun ke-17 $= P_L(1+i)^{16}\,i = R$

• Target: nilai $R$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis bunga satu periode untuk masing-masing Bunga “selama tahun ke-$k$” = saldo di awal tahun tersebut dikali $i$. Awal tahun ke-11 adalah $t=10$, awal tahun ke-17 adalah $t=16$.

$$R = 10{.}000{.}000\,(1+i)^{10}\,i, \qquad R = 5{.}000{.}000\,(1+i)^{16}\,i$$

Langkah 2: Samakan kedua ekspresi Karena keduanya sama dengan $R$ dan $i \neq 0$, faktor $i$ dapat dicoret:

$$10{.}000{.}000\,(1+i)^{10} = 5{.}000{.}000\,(1+i)^{16}$$ $$2 = (1+i)^{6} \;\Rightarrow\; 1+i = 2^{1/6} \;\Rightarrow\; i = 0{,}122462$$

Langkah 3: Substitusi balik untuk dapat $R$ Gunakan persamaan Dita, dengan $(1+i)^{10} = 2^{10/6} = 3{,}174802$:

$$R = 10{.}000{.}000 \times 3{,}174802 \times 0{,}122462 = 3{.}887{.}928$$

Hasil Akhir: (b). $R \approx 3{.}890{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

“Bunga selama tahun ke-11” memakai saldo awal tahun ke-11, yaitu di $t=10$ — bukan $t=11$. Salah pakai $(1+i)^{11}$ akan menggeser jawaban.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira yang dibandingkan adalah akumulasi total (memakai $s$ atau $(1+i)^t$ saja) padahal yang diminta adalah bunga satu periode tunggal $= \text{saldo awal} \times i$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Lupa bahwa faktor $i$ identik di kedua sisi sehingga dapat dicoret — banyak yang memaksa mencari $i$ dulu padahal cukup rasio pokok dan eksponennya.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “bunga selama tahun ke-$k$” → gunakan saldo awal periode ($t=k-1$) dikali $i$, bukan akumulasi.

---

No. 2

Diketahui $m$ adalah bilangan bulat positif dan tingkat bunga efektif tahunan $i > 0$. Jika diberikan pernyataan berikut:

(1) $\delta = \ln(1 - d)$
(2) $e^{\delta} = \dfrac{i}{d}$
(3) $1 - d = v$
(4) $i^{(m)} = \dfrac{1}{m}\left[(1+i)^{\frac{1}{m}} - 1\right]$

Berapakah jumlah pernyataan yang salah dari keempat pernyataan di atas?

a. $0$
b. $1$
c. $2$
d. $3$
e. $4$

≡Jawaban No. 2›

(c). $2$ pernyataan salah

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 1

ℹRumus›

Relasi inti antar ukuran bunga:

$$1+i = e^{\delta} = (1-d)^{-1} = v^{-1}, \qquad d = \frac{i}{1+i}, \qquad i^{(m)} = m\!\left[(1+i)^{1/m}-1\right]$$

Diketahui:

• $m \in \mathbb{Z}^+$, $i > 0$

• Target: hitung berapa dari 4 pernyataan yang salah

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Uji pernyataan (1) $\;\delta = \ln(1-d)$ Identitas benar adalah $\delta = \ln(1+i) = -\ln(v) = -\ln(1-d)$. Ada tanda minus yang hilang.

$$\delta = -\ln(1-d) \neq \ln(1-d) \;\Rightarrow\; \textbf{SALAH}$$

Langkah 2: Uji pernyataan (2) $\;e^{\delta} = \dfrac{i}{d}$ Karena $d = \dfrac{i}{1+i}$, maka $\dfrac{i}{d} = 1+i = e^{\delta}$.

$$e^{\delta} = 1+i = \frac{i}{d} \;\Rightarrow\; \textbf{BENAR}$$

Langkah 3: Uji pernyataan (3) $\;1-d = v$ Definisi diskonto: $d = 1-v \Rightarrow v = 1-d$.

$$1-d = v \;\Rightarrow\; \textbf{BENAR}$$

Langkah 4: Uji pernyataan (4) $\;i^{(m)} = \dfrac{1}{m}\left[(1+i)^{1/m}-1\right]$ Definisi nominal yang benar memakai pengali $m$, bukan $\dfrac{1}{m}$.

$$i^{(m)} = m\!\left[(1+i)^{1/m}-1\right] \neq \frac{1}{m}\!\left[(1+i)^{1/m}-1\right] \;\Rightarrow\; \textbf{SALAH}$$

Langkah 5: Hitung yang salah Yang salah: (1) dan (4) → total $2$.

Hasil Akhir: (c). $2$ pernyataan salah

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pada pernyataan (4), pengali $m$ vs pembagi $\tfrac{1}{m}$ adalah perangkap klasik — $i^{(m)}$ adalah laju tahunan yang dikalikan $m$ atas bunga per sub-periode.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa tanda minus pada $\delta = -\ln(1-d)$. Karena $1-d = v < 1$, maka $\ln(1-d) < 0$, sehingga $\ln(1-d)$ saja akan memberi $\delta$ negatif — mustahil untuk $i>0$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal menanyakan yang SALAH, bukan yang benar — gampang kebalik saat menghitung.

▲Red Flags›

Jika muncul $\ln(1-d)$ tanpa tanda minus → langsung curiga, hampir selalu salah tanda.

---

No. 3

Radit menginvestasikan uangnya sebesar $A$ pada tingkat bunga efektif tahunan $4\%$ dan Ferry menginvestasikan uangnya sebesar $B$ pada tingkat bunga efektif tahunan $3{,}65\%$. Diketahui bahwa pada akhir tahun ke-25, jumlah gabungan dari uang Radit dan Ferry adalah $14{.}000$. Berikutnya, diketahui pula bahwa pada akhir tahun ke-40, total tabungan Radit adalah $1{,}8$ kali lipat dari total tabungan Ferry. Berapakah total gabungan uang Ferry dan Radit pada akhir tahun ke-15? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $9{.}157$
b. $9{.}255$
c. $9{.}457$
d. $9{.}558$
e. $9{.}578$

≡Jawaban No. 3›

(e). $\approx 9{.}578$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 1; Kellison Bab 1

ℹRumus›

Akumulasi compound:

$$\text{AV}(t) = X(1+i)^{t}$$

Dua persamaan dari dua kondisi → selesaikan sistem untuk $A$ dan $B$.

Diketahui:

• $A$ tumbuh pada $i_A = 4\%$, $B$ tumbuh pada $i_B = 3{,}65\%$

• $$A(1{,}04)^{25} + B(1{,}0365)^{25} = 14{.}000$$
• $$A(1{,}04)^{40} = 1{,}8 \cdot B(1{,}0365)^{40}$$

• Target: $A(1{,}04)^{15} + B(1{,}0365)^{15}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Rasio $A/B$ dari kondisi tahun ke-40 Bagi kedua sisi persamaan tahun ke-40:

$$\frac{A}{B} = 1{,}8 \left(\frac{1{,}0365}{1{,}04}\right)^{40} = 1{,}8 \times 0{,}87385 = 1{,}57294$$

Langkah 2: Selesaikan $A$ dan $B$ dari kondisi tahun ke-25 Substitusi $A = 1{,}57294\,B$ ke persamaan tahun ke-25, dengan $(1{,}04)^{25} = 2{,}665836$ dan $(1{,}0365)^{25} = 2{,}450355$:

$$B\big(1{,}57294 \times 2{,}665836 + 2{,}450355\big) = 14{.}000 \;\Rightarrow\; B \times 6{,}64350 = 14{.}000$$ $$B = 2{.}107{,}30, \qquad A = 1{,}57294 \times 2{.}107{,}30 = 3{.}314{,}65$$

Langkah 3: Hitung gabungan pada tahun ke-15 Dengan $(1{,}04)^{15} = 1{,}800944$ dan $(1{,}0365)^{15} = 1{,}712120$:

$$A(1{,}04)^{15} + B(1{,}0365)^{15} = 3.314{,}65 \times 1{,}800944 + 2.107{,}30 \times 1{,}712120 = 9{.}577{,}5$$

Hasil Akhir: (e). $\approx 9{.}578$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menyamakan eksponen — Radit dan Ferry punya rate berbeda, jadi $(1{,}04)^t$ dan $(1{,}0365)^t$ tidak bisa digabung ke satu basis.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mencoba mencari nilai $A$ dan $B$ secara absolut sebelum membentuk rasio — lebih efisien ambil rasio $A/B$ dulu dari kondisi ke-40 yang faktor $1{,}8$-nya bersih.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Radit $1{,}8$ kali Ferry” → $A(1{,}04)^{40} = 1{,}8\,B(1{,}0365)^{40}$, jangan kebalik menjadi Ferry $1{,}8$ kali Radit.

▲Red Flags›

Jika dua akun beda rate dengan dua kondisi pada dua waktu → bentuk sistem 2 persamaan, selesaikan rasio dulu.

---

No. 4

Suatu Perusahaan Asuransi merencanakan proyek untuk membangun kantor Cabang di Kota Lama. Usulan proyek ini akan dikerjakan selama 5 tahun. Berikut adalah perencanaan arus kas selama periode pengerjaan proyek.

Tahun	Cash Flow (dalam juta rupiah)
$0$	$-4{.}500$
$1$	$1{.}500$
$2$	$-500$
$3$	$X$
$4$	$2{.}500$
$5$	$4X$

Apabila perkiraan nilai dari internal rate of return (IRR) selama masa periode tersebut adalah sebesar $1{,}6\%$, hitunglah selisih nilai cashflow pada tahun ketiga dan kelima. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Rp $750{.}000{.}000$
b. Rp $500{.}000{.}000$
c. Rp $250{.}000{.}000$
d. Rp $125{.}000{.}000$
e. Rp $75{.}000{.}000$

≡Jawaban No. 4›

(a). Rp $750{.}000{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

IRR adalah tingkat $i$ yang membuat NPV $=0$:

$$\text{NPV} = \sum_{t=0}^{n} \text{CF}_t \, v^{t} = 0, \qquad v = \frac{1}{1+i}$$

Diketahui:

• Arus kas (juta): $-4{.}500,\,1{.}500,\,-500,\,X,\,2{.}500,\,4X$ pada $t=0,\dots,5$

• IRR $= i = 1{,}6\%$, sehingga $v = 1/1{,}016$

• Target: selisih CF tahun ke-3 dan ke-5, yaitu $4X - X = 3X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun persamaan NPV $=0$ Dengan $v = 0{,}984252$ dan pangkatnya:

$$-4{.}500 + 1{.}500v - 500v^2 + Xv^3 + 2{.}500v^4 + 4X v^5 = 0$$

Langkah 2: Pisahkan suku konstan dan suku ber-$X$ Suku konstan: $-4{.}500 + 1{.}476{,}38 - 484{,}38 + 2{.}346{,}21 = -1{.}161{,}79$. Koefisien $X$: $v^3 + 4v^5 = 0{,}953497 + 3{,}694816 = 4{,}648313$.

$$4{,}648313\,X = 1{.}161{,}79 \;\Rightarrow\; X = 249{,}94 \approx 250 \text{ juta}$$

Langkah 3: Hitung selisih CF tahun ke-3 dan ke-5 CF tahun ke-3 $= X = 250$ juta, CF tahun ke-5 $= 4X = 1.000$ juta.

$$4X - X = 3X = 3 \times 250 = 750 \text{ juta} = \text{Rp } 750{.}000{.}000$$

Hasil Akhir: (a). Rp $750{.}000{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Salah memetakan eksponen — CF tahun ke-3 didiskon $v^3$, tahun ke-5 didiskon $v^5$, bukan sebaliknya.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa $X$ muncul di dua tempat ($t=3$ dan $t=5$ sebagai $4X$), sehingga koefisien $X$ harus menggabung $v^3 + 4v^5$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Selisih CF tahun ke-3 dan ke-5” adalah $|4X - X| = 3X$, jawaban final dalam rupiah penuh (juta → satuan).

▲Red Flags›

Jika soal memberi IRR dan minta parameter cash flow → set NPV $=0$ dan selesaikan linear terhadap parameter tersebut.

---

No. 5

Diberikan dua buah informasi dari dua akun investasi seperti tertera pada tabel.

Selama tahun 2025, nilai dollar-weighted rate of return dari investasi di akun A sama dengan time-weighted rate of return di akun B, yaitu sebesar $i$. Tentukan nilai $X$. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

Akun A

Tanggal	Nilai akun sebelum aktivitas	Aktivitas deposit	Aktivitas penarikan (withdrawal)
1 Januari 2025	$100$
1 Juli 2025	$150$		$2X$
1 Oktober 2025	$120$	$X$
31 Desember 2025	$150$

Akun B

Tanggal	Nilai akun sebelum aktivitas	Aktivitas deposit	Aktivitas penarikan (withdrawal)
1 Januari 2025	$100$
1 Juli 2025	$150$		$X$
1 Oktober 2025	$120$		$X$
31 Desember 2025	$100$

a. $87{,}4$
b. $98{,}4$
c. $100{,}4$
d. $136{,}4$
e. $180{,}4$

≡Jawaban No. 5›

(d). $X \approx 136{,}4$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

Dollar-weighted (bunga sederhana, eksposur tertimbang waktu):

$$i_{DW} = \frac{\text{Akhir} - \text{Awal} - \sum \text{CF}}{\text{Awal} + \sum \text{CF}_t \,(1-t)}$$

Time-weighted (perkalian faktor pertumbuhan antar tanggal aktivitas):

$$1 + i_{TW} = \prod_k \frac{\text{Nilai sebelum aktivitas}_k}{\text{Nilai sesudah aktivitas}_{k-1}}$$

Diketahui:

• Akun A: awal $100$, akhir $150$; CF: $-2X$ di $t=0{,}5$, $+X$ di $t=0{,}75$

• Akun B: nilai sebelum aktivitas $100,150,120,100$; penarikan $X$ pada 1 Jul dan 1 Okt

• Syarat: $i_{DW}^{A} = i_{TW}^{B} = i$

• Target: nilai $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: DWRR Akun A (bunga sederhana) Bunga $= 150 - 100 - (X - 2X) = 50 + X$. Eksposur $= 100 + (-2X)(1-0{,}5) + X(1-0{,}75) = 100 - 0{,}75X$.

$$i_{DW}^{A} = \frac{50 + X}{100 - 0{,}75X}$$

Langkah 2: TWRR Akun B Setelah penarikan $X$ tiap kali, nilai sesudah aktivitas adalah $150-X$ lalu $120-X$:

$$1 + i_{TW}^{B} = \frac{150}{100}\cdot\frac{120}{150-X}\cdot\frac{100}{120-X} = \frac{18000}{(150-X)(120-X)}$$

Langkah 3: Samakan dan selesaikan Set $i_{DW}^{A} = i_{TW}^{B}$ dan cari akar yang cocok dengan opsi:

$$\frac{50+X}{100-0{,}75X} = \frac{18000}{(150-X)(120-X)} - 1$$

Akar yang relevan terhadap opsi adalah $X \approx 136{,}38$ (di sana $i_{DW}^{A} \approx i_{TW}^{B} \approx -81{,}7$, keduanya konsisten).

Hasil Akhir: (d). $X \approx 136{,}4$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pada DWRR, bobot eksposur adalah $(1-t)$ dengan $t$ dalam tahun: $1 \text{ Jul} \to t=0{,}5$, $1 \text{ Okt} \to t=0{,}75$. Salah waktu → eksposur salah.

⬡Kesalahan Konseptual›

TWRR memakai nilai sebelum/sesudah aktivitas (butuh nilai antara), sedangkan DWRR tidak memakai nilai antara — hanya awal, akhir, dan arus kas. Jangan tertukar input.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Akun A: penarikan $2X$ (Jul) lalu deposit $X$ (Okt); Akun B: penarikan $X$ pada kedua tanggal. Salah membaca tanda/jumlah membuat persamaan berbeda total.

▲Red Flags›

Jika soal menyetarakan DWRR satu akun dengan TWRR akun lain → susun dua ekspresi $i$ secara terpisah, lalu samakan dan akar-kan terhadap opsi.

---

No. 6

Seorang pengusaha menginvestasikan uang sebesar 1 miliar pada suatu bank hari ini dan berharap ia dapat menarik uang dengan nominal $X$ selamanya setiap awal tahun dimulai dari awal tahun depan. Akan tetapi, pada awal tahun keenam pengusaha tersebut menarik uang sebesar 200 juta dari hasil investasinya (bukan lagi sebesar $X$ seperti pada awal tahun sebelumnya) dikarenakan ada hutang yang harus ia bayarkan. Dengan demikian, nominal uang yang dapat ia tarik untuk tahun-tahun berikutnya akan lebih kecil dari $X$. Apabila tingkat suku bunga efektif tahunan pada bank tersebut adalah $4\%$, berapakah nominal maksimum yang dapat ditarik pengusaha tersebut setiap awal tahun, dimulai pada awal tahun ketujuh dan seterusnya? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $30{,}3$ juta
b. $31{,}4$ juta
c. $32{,}5$ juta
d. $33{,}6$ juta
e. $34{,}7$ juta

≡Jawaban No. 6›

(d). $33{,}6$ juta

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Perpetuitas akhir (immediate), pembayaran pertama satu periode dari sekarang:

$$\text{PV} = \frac{P}{i}$$

Selisih penarikan dibanding payment kesetimbangan menggerus saldo pokok.

Diketahui:

• Pokok awal $= 1.000$ juta, $i = 4\%$

• Penarikan kesetimbangan $X$ memenuhi $1.000 = X/i \Rightarrow X = 40$ juta

• Di awal tahun ke-6 ditarik $200$ juta (bukan $40$)

• Target: penarikan tetap $Y$ mulai awal tahun ke-7 dan seterusnya (perpetuitas)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan $X$ awal Agar $X$ bisa ditarik selamanya dari $1.000$ juta, $X$ adalah pembayaran perpetuitas:

$$1.000 = \frac{X}{0{,}04} \;\Rightarrow\; X = 40 \text{ juta}$$

Langkah 2: Lacak saldo sampai awal tahun ke-6 Karena $X=40$ tepat sama dengan bunga $1.000 \times 0{,}04 = 40$, saldo selalu kembali ke $1.000$ tiap setelah penarikan. Di awal tahun ke-6 saldo sebelum penarikan $= 1.000 \times 1{,}04 = 1.040$ juta.

$$\text{Saldo setelah tarik } 200 = 1.040 - 200 = 840 \text{ juta}$$

Langkah 3: Perpetuitas baru dari saldo $840$ Mulai awal tahun ke-7, $Y$ adalah perpetuitas atas saldo $840$ juta (pembayaran satu periode setelah $t=6$):

$$840 = \frac{Y}{0{,}04} \;\Rightarrow\; Y = 840 \times 0{,}04 = 33{,}6 \text{ juta}$$

Hasil Akhir: (d). $33{,}6$ juta

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Saldo “awal tahun ke-6” adalah setelah bunga setahun: $1.000 \times 1{,}04 = 1.040$, bukan $1.000$. Lupa menumbuhkan satu periode menggeser jawaban.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira penarikan $X$ menggerus pokok padahal $X=40$ tepat menyerap bunga sehingga saldo stabil $1.000$ — kuncinya pemahaman perpetuitas.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Penarikan ekstra $200$ (vs $40$) menurunkan saldo permanen → semua penarikan berikutnya mengecil; targetnya $Y$, bukan $X$.

▲Red Flags›

Jika “tarik selamanya setiap awal tahun mulai tahun depan” → perlakukan sebagai perpetuitas dengan PV $=P/i$ (pembayaran pertama di $t=1$).

---

No. 7

Diberikan 4 pernyataan berikut ini:

(i) $\ddot{a}_{\overline{n}|} \neq (1 + d + i \cdot d) a_{\overline{n}|}$
(ii) $\ddot{a}_{\overline{n}|} = d + v + a_{\overline{n-1}|}$
(iii) $\ddot{s}_{\overline{n}|} \neq \dfrac{s_{\overline{n}|}}{1 - i \cdot v}$
(iv) $\ddot{s}_{\overline{n}|} \neq s_{\overline{n+1}|} - \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{i}$

Berapakah jumlah pernyataan yang salah dari keempat pernyataan di atas?

a. $4$
b. $3$
c. $2$
d. $1$
e. $0$

≡Jawaban No. 7›

(b). $3$ pernyataan salah

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Identitas dasar anuitas:

$$\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+i)\,a_{\overline{n}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|}, \qquad \ddot{s}_{\overline{n}|} = (1+i)\,s_{\overline{n}|} = s_{\overline{n+1}|} - 1$$

Plus: $d+v=1$, $\;1-iv=v$, dan $\tfrac{1}{d}-\tfrac{1}{i}=1$.

Diketahui:

• Empat pernyataan berbentuk pertidaksamaan ($\neq$) atau persamaan ($=$)

• Sebuah pernyataan "$\neq$" bernilai SALAH jika kedua sisi ternyata sama

• Target: jumlah pernyataan yang salah

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Uji (i) Karena $d + id = d(1+i) = i$ maka $1+d+id = 1+i$, sehingga $(1+d+id)a_{\overline{n}|} = (1+i)a_{\overline{n}|} = \ddot{a}_{\overline{n}|}$. Jadi kedua sisi sama, padahal (i) mengklaim "$\neq$".

$$\ddot{a}_{\overline{n}|} = (1+d+id)\,a_{\overline{n}|} \;\Rightarrow\; \text{(i) } \textbf{SALAH}$$

Langkah 2: Uji (ii) Karena $d+v=1$, maka $d+v+a_{\overline{n-1}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|} = \ddot{a}_{\overline{n}|}$ — pernyataan berbentuk "$=$" dan memang benar.

$$\ddot{a}_{\overline{n}|} = d+v+a_{\overline{n-1}|} \;\Rightarrow\; \text{(ii) } \textbf{BENAR}$$

Langkah 3: Uji (iii) Karena $1-iv = v$, maka $\dfrac{s_{\overline{n}|}}{1-iv} = \dfrac{s_{\overline{n}|}}{v} = (1+i)s_{\overline{n}|} = \ddot{s}_{\overline{n}|}$. Kedua sisi sama, sedangkan (iii) mengklaim "$\neq$".

$$\ddot{s}_{\overline{n}|} = \frac{s_{\overline{n}|}}{1-iv} \;\Rightarrow\; \text{(iii) } \textbf{SALAH}$$

Langkah 4: Uji (iv) Karena $\dfrac{1}{d}-\dfrac{1}{i} = 1$, maka $-\dfrac{1}{d}+\dfrac{1}{i} = -1$, sehingga $s_{\overline{n+1}|} - \dfrac{1}{d} + \dfrac{1}{i} = s_{\overline{n+1}|} - 1 = \ddot{s}_{\overline{n}|}$. Kedua sisi sama, sedangkan (iv) mengklaim "$\neq$".

$$\ddot{s}_{\overline{n}|} = s_{\overline{n+1}|} - \frac{1}{d} + \frac{1}{i} \;\Rightarrow\; \text{(iv) } \textbf{SALAH}$$

Langkah 5: Hitung yang salah Salah: (i), (iii), (iv) → total $3$.

Hasil Akhir: (b). $3$ pernyataan salah

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Identitas $\ddot{a}_{\overline{n}|} = 1 + a_{\overline{n-1}|}$ vs $a_{\overline{n}|} = v + a_{\overline{n-1}|}$ — indeks $n-1$ mudah keliru.

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak menyadari trio identitas mini: $d+v=1$, $1-iv=v$, $\tfrac1d-\tfrac1i=1$. Ketiganya yang “menutup” semua pernyataan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Pernyataan ber-"$\neq$" itu SALAH kalau ruas kiri ternyata sama dengan ruas kanan. Logika negasi gampang kebalik.

▲Red Flags›

Jika soal penuh tanda "$\neq$" → uji apakah kedua sisi sebenarnya identik; kalau identik, pernyataan "$\neq$" otomatis salah.

---

No. 8

Misalkan diketahui bahwa tingkat suku bunga efektif tahunan adalah $5\%$. Berapakah nilai kini dari anuitas yang melakukan pembayaran di setiap akhir tahun dengan pembayaran pertama sebesar $4$, pembayaran kedua sebesar $6$, pembayaran ketiga sebesar $8$, dan seterusnya hingga pembayaran terakhir adalah $20$? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $67{,}8$
b. $78{,}6$
c. $80{,}7$
d. $86{,}7$
e. $89{,}6$

≡Jawaban No. 8›

(c). $\approx 80{,}7$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Anuitas naik aritmatika dapat dipecah menjadi level + increasing:

$$\text{PV} = \sum_{k=1}^{n}\big(2 + 2k\big)v^{k} = 2\,a_{\overline{n}|} + 2\,(Ia)_{\overline{n}|}, \qquad (Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - n v^{n}}{i}$$

Diketahui:

• $i = 5\%$ (efektif tahunan), pembayaran akhir tahun

• Pembayaran: $4, 6, 8, \dots, 20$ → naik $2$ tiap tahun

• Jumlah pembayaran $n = \frac{20-4}{2}+1 = 9$

• Target: PV anuitas

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis pembayaran sebagai fungsi $k$ Pembayaran ke-$k$ $= 4 + 2(k-1) = 2 + 2k$ untuk $k=1,\dots,9$.

$$\text{PV} = \sum_{k=1}^{9}(2+2k)v^{k} = 2\,a_{\overline{9}|} + 2\,(Ia)_{\overline{9}|}$$

Langkah 2: Hitung komponen pada $i=5\%$ Dengan $v^{9} = 0{,}644609$:

$$a_{\overline{9}|} = \frac{1-v^{9}}{0{,}05} = 7{,}10782, \qquad (Ia)_{\overline{9}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{9}|} - 9v^{9}}{0{,}05} = 33{,}23465$$

Langkah 3: Gabungkan

$$\text{PV} = 2(7{,}10782) + 2(33{,}23465) = 14{,}2156 + 66{,}4693 = 80{,}685$$

Hasil Akhir: (c). $\approx 80{,}7$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Salah menghitung $n$. Dari $4$ ke $20$ dengan langkah $2$ ada $9$ pembayaran, bukan $8$ — pakai $\frac{20-4}{2}+1$.

⬡Kesalahan Konseptual›

Memakai $(Ia)$ murni (pembayaran $1,2,3,\dots$) tanpa menyesuaikan base $4$ dan increment $2$. Dekomposisi $2\,a + 2\,(Ia)$ menjaga base dan increment benar.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran terakhir $20$” menentukan $n$, bukan durasi yang diberikan eksplisit — harus dihitung dari pola.

▲Red Flags›

Jika pembayaran membentuk deret aritmatika $a, a+D, \dots$ → tulis $\text{PV} = a\,a_{\overline{n}|} + D\,(Ia)_{\overline{n}|}$ atau langsung $\sum (\text{base}+\text{incr}\cdot k)v^k$.

---

No. 9

Diketahui bahwa tingkat suku bunga efektif tahunan adalah $i = 6\%$. Selanjutnya diberikan beberapa pernyataan sebagai berikut (Bulatkan jawaban anda hingga dua tempat desimal).

(i) $\ddot{a}_{\overline{20}|} = 11{,}57$
(ii) $a_{\overline{20}|} = 10{,}78$
(iii) $(Ia)_{\overline{20}|} = 98{,}70$
(iv) $(I\ddot{a})_{\overline{20}|} = 101{,}73$
(v) $(Da)_{\overline{20}|} = 142{,}17$
(vi) $(Is)_{\overline{20}|} = 316{,}54$
(vii) $(I\ddot{s})_{\overline{20}|} = 321{,}54$
(viii) $(D\ddot{a})_{\overline{20}|} = 170{,}89$

Berapakah jumlah pernyataan yang benar dari delapan pernyataan di atas?

a. $7$
b. $6$
c. $5$
d. $4$
e. $3$

≡Jawaban No. 9›

(e). $3$ pernyataan benar

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Pada $i=6\%$, $d = \tfrac{i}{1+i} = 0{,}056604$, $v^{20} = 0{,}311805$:

$$(Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - n v^{n}}{i}, \quad (I\ddot a)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|}-nv^n}{d}, \quad (Da)_{\overline{n}|} = \frac{n - a_{\overline{n}|}}{i}$$ $$(Is)_{\overline{n}|} = (Ia)_{\overline{n}|}(1+i)^{n} = \frac{\ddot{s}_{\overline{n}|}-n}{i}, \quad (I\ddot s)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot s_{\overline{n}|}-n}{d}, \quad (D\ddot a)_{\overline{n}|} = \frac{n-a_{\overline{n}|}}{d}$$

Diketahui:

• $i = 6\%$, $n = 20$, pembulatan 2 desimal

• Target: jumlah pernyataan benar

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nilai dasar Hitung anuitas pokok:

$$a_{\overline{20}|} = \frac{1-v^{20}}{i} = 11{,}47, \qquad \ddot{a}_{\overline{20}|} = (1+i)a_{\overline{20}|} = 12{,}16$$

Maka (i) $11{,}57$ → SALAH ($12{,}16$); (ii) $10{,}78$ → SALAH ($11{,}47$).

Langkah 2: Increasing immediate & due

$$(Ia)_{\overline{20}|} = \frac{12{,}16 - 20(0{,}311805)}{0{,}06} = 98{,}70 \;\Rightarrow\; \text{(iii) } \textbf{BENAR}$$ $$(I\ddot a)_{\overline{20}|} = \frac{12{,}16 - 6{,}2361}{0{,}056604} = 104{,}62 \;\Rightarrow\; \text{(iv) } 101{,}73 \textbf{ SALAH}$$

Langkah 3: Decreasing immediate

$$(Da)_{\overline{20}|} = \frac{20 - 11{,}47}{0{,}06} = 142{,}17 \;\Rightarrow\; \text{(v) } \textbf{BENAR}$$

Langkah 4: Increasing accumulated Dengan $\ddot{s}_{\overline{20}|} = 38{,}9927$:

$$(Is)_{\overline{20}|} = \frac{38{,}9927 - 20}{0{,}06} = 316{,}545 \approx 316{,}54 \;\Rightarrow\; \text{(vi) } \textbf{BENAR}$$ $$(I\ddot s)_{\overline{20}|} = \frac{38{,}9927-20}{0{,}056604} = 335{,}54 \;\Rightarrow\; \text{(vii) } 321{,}54 \textbf{ SALAH}$$

Langkah 5: Decreasing due

$$(D\ddot a)_{\overline{20}|} = \frac{20 - 11{,}47}{0{,}056604} = 150{,}70 \;\Rightarrow\; \text{(viii) } 170{,}89 \textbf{ SALAH}$$

Langkah 6: Hitung benar Benar: (iii), (v), (vi) → total $3$.

Hasil Akhir: (e). $3$ pernyataan benar

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Versi due membagi dengan $d$, versi immediate membagi dengan $i$. Tertukar $i \leftrightarrow d$ adalah sumber error paling sering di sini.

⬡Kesalahan Konseptual›

$(Is)$ = accumulated dari $(Ia)$: $(Is)_{\overline{n}|} = (Ia)_{\overline{n}|}(1+i)^n$. Jangan mencampur formula PV dan FV.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal minta yang BENAR (bukan salah). Nilai (vi) $316{,}545$ membulat ke $316{,}54$ sesuai pembulatan dua desimal yang dipakai PAI.

▲Red Flags›

Jika muncul deretan varian $(Ia),(I\ddot a),(Is),(I\ddot s),(Da),(D\ddot a)$ → buat tabel pembagi ($i$ untuk immediate, $d$ untuk due) sebelum menghitung.

---

No. 10

Zaza membeli sebuah perpetuitas akhir (perpetuity immediate) tahunan dari perusahaan investasi Mantapu seharga $7{.}200$ dengan pembayaran pertama sebesar $300$ dan pembayaran berikutnya lebih tinggi $18$ dari pembayaran sebelumnya pada tingkat bunga efektif tahunan sebesar $j$, di mana $j > 0$. Pada tingkat suku bunga yang sama, Dina membeli sebuah anuitas dari perusahaan yang sama dengan pembayaran setiap akhir tahun, di mana pembayaran pertama adalah sebesar $500$, dan pembayaran-pembayaran berikutnya lebih tinggi $20$ dari pembayaran sebelumnya hingga pembayaran terakhir mencapai $1{.}000$. Berapa harga anuitas yang dibeli oleh Dina, jika harga anuitas merupakan nilai kini dari seluruh pembayaran yang dilakukan oleh perusahaan investasi? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $7{.}605$
b. $7{.}705$
c. $8{.}605$
d. $8{.}805$
e. $10{.}905$

≡Jawaban No. 10›

(a). $\approx 7{.}605$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.2 Perpetuity
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Vaaler Bab 4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Perpetuitas naik aritmatika (immediate):

$$\text{PV} = \frac{P}{j} + \frac{Q}{j^{2}}$$

Anuitas naik aritmatika berhingga:

$$\text{PV} = \sum_{k=1}^{n}\big(\text{base}+\text{incr}\cdot(k-1)\big)v^{k}$$

Diketahui:

• Zaza: perpetuitas immediate, $P=300$, increment $Q=18$, harga $7.200$ → cari $j$

• Dina: anuitas, base $500$, increment $20$, sampai $1.000$ → $n=\frac{1000-500}{20}+1 = 26$

• Target: harga (PV) anuitas Dina

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $j$ dari perpetuitas Zaza Susun $7.200 = \frac{300}{j} + \frac{18}{j^{2}}$, kalikan $j^2$:

$$7200 j^{2} - 300 j - 18 = 0 \;\Rightarrow\; 1200 j^{2} - 50 j - 3 = 0$$ $$j = \frac{50 + \sqrt{2500 + 14400}}{2400} = \frac{50+130}{2400} = 0{,}075$$

Langkah 2: Komponen anuitas Dina pada $j=7{,}5\%$ Dengan $v^{26} = 0{,}152543$:

$$a_{\overline{26}|} = \frac{1-v^{26}}{0{,}075} = 11{,}29943, \qquad (Ia)_{\overline{26}|} = \frac{\ddot a_{\overline{26}|} - 26v^{26}}{0{,}075} = 109{,}0770$$

Langkah 3: PV anuitas Dina Pembayaran ke-$k$ $= 500 + 20(k-1) = 480 + 20k$:

$$\text{PV} = 480\,a_{\overline{26}|} + 20\,(Ia)_{\overline{26}|} = 5.423{,}73 + 2.181{,}54 = 7.605{,}3$$

Hasil Akhir: (a). $\approx 7{.}605$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Jumlah pembayaran Dina $n=26$ (dari $500$ ke $1.000$ langkah $20$), bukan $25$ — pakai $\frac{1000-500}{20}+1$.

⬡Kesalahan Konseptual›

Rumus perpetuitas naik adalah $\frac{P}{j}+\frac{Q}{j^2}$ (dua suku). Lupa suku $\frac{Q}{j^2}$ memberi $j$ yang salah.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Perpetuitas Zaza hanya alat untuk menemukan $j$; yang ditanya harga anuitas Dina. Jangan berhenti di $j$.

▲Red Flags›

Jika harga perpetuitas naik diberikan → bentuk kuadratik dalam $j$ dan ambil akar positif.

---

No. 11

Indra membeli sebuah anuitas pada perusahaan Donev dengan pembayaran Rp $500{.}000$ setiap akhir bulan selama 10 tahun dan tingkat suku bunga efektif per tahun adalah sebesar $5\%$. Akan tetapi karena adanya persaingan di pasar, tepat setelah pembayaran di akhir tahun ke-5, perusahaan Donev mengubah tingkat suku bunga efektif tahunan dari anuitas menjadi $6\%$. Berapakah perbedaan nilai akumulasi di akhir tahun ke-10 dari anuitas yang mengalami perubahan tingkat suku bunga efektif dan yang tidak mengalami perubahan? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Rp $2{.}100{.}000$
b. Rp $2{.}390{.}000$
c. Rp $2{.}690{.}000$
d. Rp $2{.}940{.}000$
e. Rp $2{.}960{.}000$

≡Jawaban No. 11›

(d). Rp $\approx 2{.}940{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas & Penilaian Arus Kas
Sub-topik	2.3 Accumulated Value of Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

Suku bunga efektif bulanan dari efektif tahunan $i$:

$$j = (1+i)^{1/12} - 1$$

Nilai akumulasi anuitas akhir (annuity-immediate) di akhir periode pembayaran:

$$\text{AV} = R \cdot s_{\overline{n}|j} = R \cdot \frac{(1+j)^n - 1}{j}$$

Diketahui:

• $R = 500{.}000$ per bulan, total $120$ pembayaran (10 tahun)

• Skenario tetap: $i = 5\%$ sepanjang 10 tahun

• Skenario berubah: $5\%$ untuk 60 bulan pertama, lalu $6\%$ untuk 60 bulan berikutnya

• $j_1 = 1{,}05^{1/12}-1 = 0{,}0040741$, $\;j_2 = 1{,}06^{1/12}-1 = 0{,}0048676$

• Target: selisih kedua nilai akumulasi di $t=10$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nilai akumulasi tanpa perubahan Seluruh 120 pembayaran terakumulasi pada $j_1$ hingga akhir tahun ke-10.

$$\text{AV}_{\text{tetap}} = 500{.}000 \cdot s_{\overline{120}|j_1} = 77{.}181{.}581$$

Langkah 2: Nilai akumulasi dengan perubahan — pecah dua blok Blok 1 (60 bulan pertama) terakumulasi pada $j_1$ sampai akhir tahun ke-5, lalu dibungakan lagi selama 5 tahun pada $6\%$. Blok 2 (60 bulan terakhir) terakumulasi pada $j_2$ sampai akhir tahun ke-10.

$$\text{AV}_{\text{ubah}} = 500{.}000\, s_{\overline{60}|j_1}\,(1{,}06)^5 + 500{.}000\, s_{\overline{60}|j_2}$$ $$\text{AV}_{\text{ubah}} = 80{.}117{.}932$$

Langkah 3: Selisih

$$\Delta = 80{.}117{.}932 - 77{.}181{.}581 = 2{.}936{.}352$$

Hasil Akhir: (d). Rp $\approx 2{.}940{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Bunga tahunan WAJIB dikonversi ke bunga bulanan dulu ($j=(1+i)^{1/12}-1$), bukan dibagi 12. Membagi 12 memberi tingkat yang salah.

⬡Kesalahan Konseptual›

Blok 60 bulan pertama masih harus dibungakan 5 tahun lagi pada $6\%$ setelah akhir tahun ke-5. Lupa faktor $(1{,}06)^5$ ini adalah kesalahan paling umum.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Tepat setelah pembayaran akhir tahun ke-5” = setelah pembayaran ke-60. Perubahan bunga berlaku mulai bulan ke-61, bukan sebelumnya.

▲Red Flags›

Begitu ada perubahan tingkat bunga di tengah jalan → pecah menjadi blok-blok terpisah dan akumulasikan tiap blok ke titik waktu akhir.

---

No. 12

Ayu ingin menyiapkan dana darurat. Untuk itu, dia akan menabung sebesar Rp $250{.}000{,}00$ pada setiap akhir bulannya. Tepat setelah satu tahun menabung, Ayu tidak memiliki cukup dana untuk melanjutkan tabungannya. Dimulai pada bulan pertama tahun ke-2 hingga pada akhir tahun ke-3, Ayu tidak menabung. Selanjutnya ia melanjutkan proses menabungnya pada akhir bulan pertama di tahun ke-4, dan hal tersebut ia lakukan selama 2 tahun (hingga akhir tahun ke-5). Berapakah jumlah yang harus ditabung setiap akhir bulannya pada 2 tahun terakhir agar total nilai kini (present value) tetap sama dengan rencananya semula apabila diketahui tingkat suku bunga efektif tahunan sebesar $7{,}5\%$? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Rp $530{.}100{,}00$
b. Rp $532{.}300{,}00$
c. Rp $534{.}500{,}00$
d. Rp $536{.}700{,}00$
e. Rp $538{.}900{,}00$

≡Jawaban No. 12›

(e). Rp $\approx 538{.}900{,}00$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas & Penilaian Arus Kas
Sub-topik	2.4 Deferred Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Basic Annuity Valuation
Connected Topics	1.5 Equation of Value
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

Suku bunga efektif bulanan: $j = (1+i)^{1/12}-1$.

Nilai kini anuitas akhir yang ditunda $k$ periode:

$${}_{k|}a_{\overline{m}|} = v^{k}\,a_{\overline{m}|} = a_{\overline{k+m}|} - a_{\overline{k}|}$$

Persamaan nilai: $\text{PV}_{\text{rencana baru}} = \text{PV}_{\text{rencana semula}}$.

Diketahui:

• Rencana semula: $250{.}000$ tiap akhir bulan selama 5 tahun penuh ($60$ pembayaran)

• Rencana baru: tahun 1 ($60$→bulan 1–12) tetap $250{.}000$; tahun 2–3 (bulan 13–36) kosong; tahun 4–5 (bulan 37–60) sebesar $X$

• $$j = 1{,}075^{1/12}-1 = 0{,}0060449$$

• Target: nilai $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis PV rencana semula Anuitas akhir 60 bulan penuh:

$$\text{PV}_{\text{semula}} = 250{.}000 \cdot a_{\overline{60}|j}$$

Langkah 2: Tulis PV rencana baru 12 pembayaran awal masih $250{.}000$; pembayaran $X$ mengisi bulan 37–60, yaitu anuitas $a_{\overline{60}|}-a_{\overline{36}|}$.

$$\text{PV}_{\text{baru}} = 250{.}000\, a_{\overline{12}|j} + X\big(a_{\overline{60}|j}-a_{\overline{36}|j}\big)$$

Langkah 3: Samakan dan isolasi $X$

$$X = 250{.}000 \cdot \frac{a_{\overline{60}|j}-a_{\overline{12}|j}}{a_{\overline{60}|j}-a_{\overline{36}|j}}$$ $$X = 250{.}000 \cdot \frac{50{,}0379 - 11{,}5560}{50{,}0379 - 32{,}1846} = 538{.}906$$

Hasil Akhir: (e). Rp $\approx 538{.}900{,}00$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Hitung jendela bulan dengan teliti: tahun 4–5 = bulan 37 sampai 60, dimodelkan sebagai $a_{\overline{60}|}-a_{\overline{36}|}$, bukan $a_{\overline{24}|}$ langsung pada $t=0$.

⬡Kesalahan Konseptual›

“Rencana semula” adalah menabung penuh 60 bulan — itulah target PV yang harus disamai, bukan hanya 12 bulan pertama.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

12 pembayaran tahun pertama tetap ada di rencana baru dan harus dipertahankan di kedua sisi persamaan.

▲Red Flags›

Saat arus kas “berlubang” di tengah → gunakan selisih anuitas $a_{\overline{k+m}|}-a_{\overline{k}|}$ untuk menempatkan blok pembayaran pada jendela yang benar.

---

No. 13

Diberikan dua jenis anuitas sebagai berikut:

• Anuitas $X$ memberikan pembayaran sebesar $2P$ di setiap akhir tahun selama $2n$ tahun. Nilai kini (present value) dari anuitas ini pada tingkat suku bunga efektif tahunan $i$ adalah $54{,}12$.
• Anuitas $Y$ memberikan pembayaran sebesar $5P$ di setiap akhir tahun dengan pembayaran pertama dibayarkan pada akhir tahun ke-$(n+1)$. Anuitas berakhir setelah $n$ kali pembayaran. Nilai kini (present value) pada waktu ke-0 dari anuitas ini pada tingkat suku bunga efektif tahunan $i$ adalah $12{,}30$.

Dengan menggunakan tingkat suku bunga efektif tahunan yang sama sebesar $i$, sebuah anuitas $Z$ akan membayarkan uang sebesar $10$ masing-masing pada akhir tahun ke-$n$, $2n$, $\ldots$, dan $10n$. Tentukan nilai kini (pada waktu ke-0) dari anuitas $Z$ tersebut. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $1$
b. $1{,}1$
c. $1{,}3$
d. $1{,}4$
e. $1{,}6$

≡Jawaban No. 13›

(b). $\approx 1{,}1$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas & Penilaian Arus Kas
Sub-topik	2.4 Deferred Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Basic Annuity Valuation
Connected Topics	2.6 Geometric and Spaced Cash Flows
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

Substitusi $w = v^{n}$ untuk arus kas yang berjarak $n$ tahun. Anuitas $2n$ tahun terpecah:

$$a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|}\,(1 + v^{n}) = a_{\overline{n}|}(1+w)$$

Anuitas tertunda $n$ periode: ${}_{n|}a_{\overline{n}|} = v^{n} a_{\overline{n}|} = w\,a_{\overline{n}|}$.

Diketahui:

• $X$: $2P \cdot a_{\overline{2n}|} = 54{,}12 \Rightarrow P\,a_{\overline{2n}|} = 27{,}06$

• $Y$: $5P \cdot {}_{n|}a_{\overline{n}|} = 12{,}30 \Rightarrow P\,(a_{\overline{2n}|}-a_{\overline{n}|}) = 2{,}46$

• Target: PV anuitas $Z$ yang membayar $10$ pada $t=n,2n,\ldots,10n$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bentuk rasio untuk mendapatkan $w=v^n$ Karena $a_{\overline{2n}|}-a_{\overline{n}|} = w\,a_{\overline{n}|}$ dan $a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|}(1+w)$:

$$\frac{P\,a_{\overline{2n}|}}{P\,(a_{\overline{2n}|}-a_{\overline{n}|})} = \frac{a_{\overline{n}|}(1+w)}{a_{\overline{n}|}\,w} = \frac{1+w}{w} = \frac{27{,}06}{2{,}46} = 11$$

Langkah 2: Selesaikan $w$

$$1+w = 11w \;\Rightarrow\; 10w = 1 \;\Rightarrow\; w = v^{n} = 0{,}1$$

Langkah 3: Hitung PV anuitas $Z$ $Z$ membayar $10$ pada $t=n,2n,\ldots,10n$ → deret geometri dengan rasio $w$:

$$\text{PV}_Z = 10\big(w + w^2 + \cdots + w^{10}\big) = 10\cdot\frac{w(1-w^{10})}{1-w}$$ $$\text{PV}_Z = 10 \cdot \frac{0{,}1\,(1-0{,}1^{10})}{0{,}9} = 1{,}1111$$

Hasil Akhir: (b). $\approx 1{,}1$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Substitusi $w=v^n$ adalah kunci. Tanpa itu, soal terasa punya dua unknown ($n$ dan $i$) padahal hanya butuh satu besaran $w$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Anuitas $Y$ dimulai akhir tahun ke-$(n+1)$ dengan $n$ pembayaran → tertunda $n$ tahun, nilainya $w\,a_{\overline{n}|}$, persis sama dengan $a_{\overline{2n}|}-a_{\overline{n}|}$.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pembayaran $Z$ berjarak $n$ tahun (bukan tahunan), jadi rasio antar arus kas adalah $v^n=w$, bukan $v$.

▲Red Flags›

Saat arus kas berjarak seragam $n$ tahun → modelkan sebagai deret geometri rasio $v^n$ dan pakai rumus jumlah geometri.

---

No. 14

Diberikan ketiga informasi sebagai berikut:

(i) Tingkat kupon obligasi
(ii) Imbal hasil saat ini (current yield)
(iii) Imbal hasil hingga jatuh tempo (yield to maturity)

Urutan hasil dari nilai terendah hingga tertinggi dari suatu obligasi yang dijual pada nilai premi (premium bond) yang tepat adalah…

a. i, ii, iii
b. i, iii, ii
c. ii, iii, i
d. iii, i, ii
e. iii, ii, i

≡Jawaban No. 14›

(e). iii, ii, i

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.4 Bond Yields and Pricing
Difficulty	Easy
Prerequisite	5.1 Bond Pricing Basics
Connected Topics	5.2 Premium and Discount Bonds
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Untuk obligasi premi ($P > F$), berlaku urutan baku:

$$\text{YTM} \;<\; \text{Current Yield} \;<\; \text{Coupon Rate}$$

di mana current yield $= \dfrac{\text{kupon tahunan}}{\text{harga}}$ dan coupon rate $= \dfrac{\text{kupon tahunan}}{\text{nilai par}}$.

Diketahui:

• Obligasi dijual pada premi → harga $>$ par

• (i) coupon rate, (ii) current yield, (iii) yield to maturity

• Target: urutan terendah ke tertinggi

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bandingkan coupon rate vs current yield Coupon rate membagi kupon dengan par; current yield membagi kupon dengan harga. Pada premi harga $>$ par, sehingga penyebut lebih besar → current yield $<$ coupon rate.

$$\text{Current Yield} = \frac{\text{kupon}}{P} \;<\; \frac{\text{kupon}}{F} = \text{Coupon Rate}$$

Langkah 2: Posisikan YTM YTM memperhitungkan kerugian modal dari harga premi yang turun ke par saat jatuh tempo, sehingga YTM paling rendah di antara ketiganya.

$$\text{YTM} < \text{Current Yield} < \text{Coupon Rate}$$

Langkah 3: Petakan ke label soal (iii) YTM $<$ (ii) current yield $<$ (i) coupon rate → urutan iii, ii, i.

Hasil Akhir: (e). iii, ii, i

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Untuk obligasi diskon urutannya terbalik (coupon $<$ current yield $<$ YTM). Jangan tukar antara kasus premi dan diskon.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Terendah ke tertinggi” → mulai dari YTM. Banyak yang menjawab i, ii, iii karena lupa membalik arah.

▲Red Flags›

Premi → kupon paling besar (bunga “diobral” di atas pasar). Jadikan coupon rate sebagai jangkar paling tinggi pada obligasi premi.

---

No. 15

Diberikan informasi mengenai tingkat bunga spot tahunan sebagai berikut:

Jangka Waktu (Tahun)	Tingkat Bunga Spot (Annual Spot Rates)
$1$	$4\%$
$2$	$X$
$3$	$5\%$
$4$	$6{,}3\%$
$5$	$7{,}8\%$

Dengan menggunakan forward rate, hitunglah nilai $X$ yang memenuhi, jika diketahui bahwa selisih antara nilai akumulasi pada akhir tahun ke-lima dan nilai kini dari anuitas awal tahun dengan jangka waktu 5 tahun yang dijual pada hari ini dengan pembayaran tahunan sebesar $500$ adalah $1{.}032$. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $4{,}20\%$
b. $4{,}24\%$
c. $4{,}26\%$
d. $4{,}28\%$
e. $4{,}30\%$

≡Jawaban No. 15›

(c). $X \approx 4{,}26\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Tenor / Yield Curve
Sub-topik	3.2 Spot and Forward Rates
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.1 Term Structure of Interest Rates
Connected Topics	2.2 Annuity-Due Valuation
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 9

ℹRumus›

Diskonto dengan spot rate $s_t$: $\;\text{PV} = \sum C_t (1+s_t)^{-t}$.

Akumulasi PV ke tahun ke-5 menggunakan spot 5 tahun:

$$\text{AV}_5 = \text{PV}\cdot (1+s_5)^5$$

sehingga selisihnya:

$$\text{AV}_5 - \text{PV} = \text{PV}\big[(1+s_5)^5 - 1\big]$$

Diketahui:

• Anuitas awal (annuity-due) 5 tahun, pembayaran $500$ di $t=0,1,2,3,4$

• $$s_1=4\%,\;s_2=X,\;s_3=5\%,\;s_4=6{,}3\%,\;s_5=7{,}8\%$$
• $$\text{AV}_5 - \text{PV} = 1{.}032$$

• Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Dapatkan PV dari selisih

$$\text{PV} = \frac{1{.}032}{(1{,}078)^5 - 1} = \frac{1{.}032}{0{,}45588} = 2{.}264{,}28$$

Langkah 2: Tuliskan PV anuitas-due dengan spot rate Pembayaran $t=0$ tak didiskon; sisanya didiskon dengan spot masing-masing tahun.

$$\text{PV} = 500\Big[1 + (1{,}04)^{-1} + (1+X)^{-2} + (1{,}05)^{-3} + (1{,}063)^{-4}\Big]$$

Langkah 3: Isolasi suku $(1+X)^{-2}$ Masukkan suku-suku yang diketahui ($1 + 0{,}96154 + 0{,}86384 + 0{,}78290 = 3{,}60828$):

$$\frac{2{.}264{,}28}{500} = 4{,}52856 \;\Rightarrow\; (1+X)^{-2} = 4{,}52856 - 3{,}60828 = 0{,}92028$$ $$1+X = 0{,}92028^{-1/2} = 1{,}04257 \;\Rightarrow\; X = 4{,}257\%$$

Hasil Akhir: (c). $X \approx 4{,}26\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Setiap arus kas didiskon dengan spot rate sesuai tenornya sendiri, bukan satu tingkat seragam. Spot $s_2$ hanya berlaku untuk arus kas di $t=2$.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Anuitas-AWAL: pembayaran pertama di $t=0$ (tidak didiskon). Salah memperlakukan sebagai anuitas-akhir menggeser seluruh eksponen.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Akumulasi ke tahun ke-5 menggunakan spot 5-tahun $(1{,}078)^5$, sehingga $\text{AV}-\text{PV}=\text{PV}[(1{,}078)^5-1]$ memberi PV secara langsung.

▲Red Flags›

Jika tabel spot rate diberikan dengan satu sel kosong → susun persamaan PV dan isolasi satu suku diskonto yang belum diketahui.

---

No. 16

Perusahaan XYZ mengeluarkan obligasi 10 tahun dengan nilai Par $1{.}000$, kupon $5\%$ per tahun, dan tingkat suku bunga efektif tahunan sebesar $6\%$. Catat bahwa obligasi tersebut membayarkan kupon secara tahunan. Berapakah selisih durasi Macaulay dari obligasi tersebut pada saat ini dan sesaat setelah pembayaran kupon kedua? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $0{,}70$
b. $0{,}72$
c. $1{,}28$
d. $1{,}30$
e. $2$

≡Jawaban No. 16›

(c). $\approx 1{,}28$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.5 Duration and Convexity
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing Basics
Connected Topics	5.6 Interest Rate Sensitivity
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Durasi Macaulay sebagai rata-rata tertimbang waktu arus kas:

$$D_{\text{mac}} = \frac{\sum_{t} t\, C_t\, v^{t}}{\sum_{t} C_t\, v^{t}}$$

dengan $v = (1+i)^{-1}$, $C_t$ kupon tiap periode dan kupon + nilai tebus di periode akhir.

Diketahui:

• Par $1{.}000$, kupon tahunan $50$, $i=6\%$, awalnya 10 tahun

• Setelah kupon kedua, sisa jatuh tempo 8 tahun (obligasi 8-tahun yang valuasinya pada $i=6\%$)

• Target: $D_{\text{mac}}(10\text{ thn}) - D_{\text{mac}}(8\text{ thn})$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Durasi Macaulay obligasi 10 tahun Arus kas: $50$ di $t=1..9$ dan $1.050$ di $t=10$, diskon pada $6\%$.

$$D_{\text{mac}}^{(10)} = \frac{\sum_{t=1}^{10} t\,C_t v^t}{\sum_{t=1}^{10} C_t v^t} = 8{,}0225$$

Langkah 2: Durasi Macaulay sisa 8 tahun Sesaat setelah kupon kedua, obligasi setara obligasi baru 8-tahun (kupon $50$, par $1.000$, $i=6\%$).

$$D_{\text{mac}}^{(8)} = 6{,}7404$$

Langkah 3: Selisih

$$\Delta D = 8{,}0225 - 6{,}7404 = 1{,}2821$$

Hasil Akhir: (c). $\approx 1{,}28$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Durasi Macaulay memakai BOBOT berupa nilai kini tiap arus kas — bukan sekadar rata-rata waktu biasa. Pembilang dan penyebut keduanya berbobot $v^t$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Sesaat setelah kupon kedua” → reset jam ke obligasi 8-tahun. Jangan pakai 10 tahun dikurangi 2 secara mentah pada rumus awal.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Kupon $5\%$ adalah $50$ per tahun; nilai tebus $1.000$ ditambahkan ke arus kas tahun terakhir, bukan didiskon terpisah.

▲Red Flags›

Selisih durasi sebelum/sesudah kupon → hitung dua durasi terpisah pada sisa jatuh tempo yang sesuai, lalu kurangkan.

---

No. 17

Sebuah obligasi yang dijual pada nilai par sebesar $1{.}000$ memiliki durasi termodifikasi (modified duration) $5{,}3$ tahun dan konveksitas $210$. Diketahui bahwa tingkat imbal hasil (yield rate) obligasi adalah sebesar $8\%$. Hitunglah harga obligasi pada saat ini jika terjadi perubahan tingkat imbal hasil (yield rate) menjadi $8{,}5\%$ berdasarkan aturan durasi dengan konveksitas (duration with convexity rule). Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $918$
b. $932$
c. $964$
d. $976$
e. $1{.}499$

≡Jawaban No. 17›

(d). $\approx 976$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.6 Interest Rate Sensitivity
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.5 Duration and Convexity
Connected Topics	5.1 Bond Pricing Basics
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Aturan durasi dengan konveksitas (aproksimasi orde-dua):

$$\frac{\Delta P}{P} \approx -D_{\text{mod}}\,\Delta y + \tfrac{1}{2}\,C\,(\Delta y)^2$$

Harga baru:

$$P_{\text{baru}} = P\left(1 + \frac{\Delta P}{P}\right)$$

Diketahui:

• $P = 1{.}000$ (par), $D_{\text{mod}} = 5{,}3$, $C = 210$, $y = 8\%$

• $$\Delta y = 8{,}5\% - 8\% = 0{,}005$$

• Target: $P_{\text{baru}}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Suku durasi

$$-D_{\text{mod}}\,\Delta y = -5{,}3 \times 0{,}005 = -0{,}0265$$

Langkah 2: Suku konveksitas

$$\tfrac{1}{2}\,C\,(\Delta y)^2 = 0{,}5 \times 210 \times (0{,}005)^2 = 0{,}002625$$

Langkah 3: Gabung dan hitung harga baru

$$\frac{\Delta P}{P} = -0{,}0265 + 0{,}002625 = -0{,}023875$$ $$P_{\text{baru}} = 1{.}000\,(1 - 0{,}023875) = 976{,}125$$

Hasil Akhir: (d). $\approx 976$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Suku konveksitas selalu POSITIF dan memakai $\tfrac12 C(\Delta y)^2$. Lupa faktor $\tfrac12$ atau tanda akan menggeser harga.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

$\Delta y$ dalam desimal ($0{,}005$), bukan $0{,}5$. Salah skala membuat suku konveksitas meledak.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal sudah memberi modified duration langsung — tidak perlu konversi dari Macaulay lagi.

▲Red Flags›

Yield NAIK → harga TURUN. Jika hasil $\Delta P/P$ positif saat yield naik, ada salah tanda di suku durasi.

---

No. 18

Melisa berhutang kepada bank sebesar Rp $100{.}000{.}000$ dengan tingkat suku bunga efektif tahunan sebesar $8\%$ pada 5 tahun pertama dan $6\%$ pada 5 tahun berikutnya. Melisa berencana melunasi hutangnya dengan pembayaran tetap sebesar $X$ setiap akhir bulan selama 10 tahun. Berapakah nilai total pembayaran yang dilakukan Melisa kepada bank selama 10 tahun tersebut? (Hitunglah nilai dari $120X$). Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Rp $141{.}105{.}000$
b. Rp $141{.}205{.}000$
c. Rp $141{.}502{.}000$
d. Rp $142{.}105{.}000$
e. Rp $142{.}205{.}000$

≡Jawaban No. 18›

(b). Rp $\approx 141{.}205{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization with Changing Rates
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Amortization Basics
Connected Topics	2.1 Basic Annuity Valuation
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Suku bunga bulanan tiap fase: $j_k = (1+i_k)^{1/12}-1$.

Persamaan nilai pada $t=0$ — pinjaman = PV seluruh cicilan, dengan fase kedua didiskon ke $t=0$:

$$L = X\,a_{\overline{60}|j_1} + (1+i_1)^{-5}\,X\,a_{\overline{60}|j_2}$$

Diketahui:

• $$L = 100{.}000{.}000$$

• Fase 1: $i_1 = 8\%$ → $j_1 = 1{,}08^{1/12}-1 = 0{,}0064340$

• Fase 2: $i_2 = 6\%$ → $j_2 = 1{,}06^{1/12}-1 = 0{,}0048676$

• Cicilan $X$ tetap selama 120 bulan; target $120X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun persamaan nilai di $t=0$ Cicilan 60 bulan pertama didiskon pada $j_1$; cicilan 60 bulan kedua didiskon pada $j_2$ lalu dibawa mundur 5 tahun pada $8\%$.

$$100{.}000{.}000 = X\,a_{\overline{60}|j_1} + (1{,}08)^{-5}\,X\,a_{\overline{60}|j_2}$$

Langkah 2: Hitung faktor anuitas

$$a_{\overline{60}|j_1} = 49{,}3184,\qquad a_{\overline{60}|j_2} = 51{,}9904,\qquad (1{,}08)^{-5} = 0{,}680583$$

Langkah 3: Selesaikan $X$ lalu kalikan 120

$$X = \frac{100{.}000{.}000}{49{,}3184 + 0{,}680583 \times 51{,}9904} = 1{.}176{.}700{,}61$$ $$120X = 141{.}204{.}074$$

Hasil Akhir: (b). Rp $\approx 141{.}205{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Konversi tiap tingkat tahunan ke bulanan via akar-12, bukan bagi 12. Cicilan bersifat bulanan sehingga seluruh diskonto harus bulanan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Cicilan $X$ TETAP sepanjang 10 tahun walau bunga berubah. Yang berbeda hanya faktor diskonto tiap fase, bukan besar cicilannya.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Fase kedua harus dibawa mundur 5 tahun ke $t=0$ memakai $(1{,}08)^{-5}$ (faktor diskonto fase pertama), bukan $(1{,}06)^{-5}$.

▲Red Flags›

Yang diminta $120X$ (total pembayaran nominal), bukan $X$ saja — jangan lupa kalikan jumlah cicilan.

---

No. 19

Sebuah hutang akan dilunasi melalui pembayaran cicilan tetap (level payment) sebesar $X$ sebanyak $n$ kali, dengan $n > 7$. Diberikan informasi sebagai berikut:

• Besar porsi bunga (interest) pada pembayaran cicilan ketiga adalah $87{,}89$.
• Besar porsi bunga (interest) pada pembayaran cicilan kelima adalah $69{,}02$.
• Besar porsi bunga (interest) pada pembayaran cicilan ketujuh adalah $48{,}22$.

Hitunglah besar pokok pinjaman (principal) pada pembayaran cicilan terakhir dari hutang tersebut. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $248$
b. $251$
c. $254$
d. $256$
e. $259$

≡Jawaban No. 19›

(e). $\approx 259$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Pinjaman
Sub-topik	4.3 Interest and Principal Split
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Amortization Basics
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Porsi bunga pada cicilan ke-$t$ dalam pinjaman level:

$$I_t = X\big(1 - v^{\,n-t+1}\big)$$

Porsi pokok: $P_t = X\,v^{\,n-t+1}$. Selisih bunga membentuk deret geometri rasio $v^2$ antar cicilan berjarak 2 periode.

Diketahui:

• $$I_3 = 87{,}89,\; I_5 = 69{,}02,\; I_7 = 48{,}22$$

• Target: pokok pada cicilan terakhir $P_n = X\,v$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $v^2$ dari rasio selisih bunga Karena $I_a - I_b = X\,(v^{n-a+1}-v^{n-b+1})$, selisih-selisih berjarak 2 periode membentuk rasio $v^2$:

$$v^2 = \frac{I_5 - I_7}{I_3 - I_5} = \frac{69{,}02-48{,}22}{87{,}89-69{,}02} = \frac{20{,}80}{18{,}87} = 1{,}10228^{-1}$$ $$v^2 = 0{,}90721 \;\Rightarrow\; v = 0{,}95248 \;\Rightarrow\; i = 4{,}9895\%$$

Langkah 2: Cari $X$ dan $n$ Dari $I_3 = X(1-v^{n-2}) = 87{,}89$ dan $I_5 = X(1-v^{n-4}) = 69{,}02$, selesaikan simultan:

$$X = 272{,}386,\qquad n = 10$$

Langkah 3: Pokok pada cicilan terakhir Cicilan terakhir ($t=n$): seluruh sisanya pokok kecuali bunga satu periode, sehingga $P_n = X\,v^{1}$.

$$P_n = 272{,}386 \times 0{,}95248 = 259{,}44$$

Hasil Akhir: (e). $\approx 259$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Porsi bunga MENURUN dan porsi pokok MENAIK seiring waktu pada pinjaman level. $I_t = X(1-v^{n-t+1})$, bukan konstan.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Cicilan ke-3, 5, 7 berjarak 2 periode → rasio antar selisih bunga adalah $v^2$, bukan $v$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Pokok pada cicilan TERAKHIR adalah $X\,v$ (bukan $X$), karena masih ada bunga satu periode pada saldo akhir sebelum pelunasan.

▲Red Flags›

Bila diberi beberapa porsi bunga di periode berbeda → bentuk rasio geometri untuk memperoleh $v$ tanpa perlu tahu pokok pinjaman dulu.

---

No. 20

Sebuah hutang sebesar 500 juta rupiah akan dilunasi dengan metode amortisasi melalui pembayaran cicilan tetap setiap akhir bulan selama 30 tahun (total 360 pembayaran cicilan). Diketahui bahwa tingkat suku bunga nominal tahunan yang dikonversikan bulanan adalah $i^{(12)} = 8{,}4\%$. Berikutnya didefinisikan:

• $K$ adalah besar pembayaran cicilan tiap bulannya.
• $L$ adalah total seluruh bunga pinjaman yang dibayarkan dalam kurun waktu 30 tahun.
• $M$ adalah sisa hutang (outstanding loan balance) pada akhir tahun ke-5.

Hitunglah nilai dari $\dfrac{L - M}{K}$. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $103{,}5$
b. $102{,}7$
c. $102{,}1$
d. $101{,}4$
e. $100{,}3$

≡Jawaban No. 20›

(a). $\approx 103{,}5$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Pinjaman
Sub-topik	4.1 Loan Amortization Basics
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Basic Annuity Valuation
Connected Topics	4.3 Interest and Principal Split
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Suku bunga bulanan: $j = i^{(12)}/12$. Cicilan tetap:

$$K = \frac{L_0}{a_{\overline{360}|j}}$$

Total bunga: $L = 360K - L_0$. Sisa hutang prospektif: $M = K\,a_{\overline{n-k}|j}$.

Diketahui:

• $L_0 = 500{.}000{.}000$, $i^{(12)} = 8{,}4\% \Rightarrow j = 0{,}007$ per bulan

• 360 cicilan; $M$ = OLB setelah 60 cicilan (akhir tahun ke-5)

• Target: $(L-M)/K$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cicilan bulanan $K$

$$K = \frac{500{.}000{.}000}{a_{\overline{360}|0{,}007}} = \frac{500{.}000{.}000}{131{,}26} = 3{.}809{.}188{,}29$$

Langkah 2: Total bunga $L$ dan sisa hutang $M$

$$L = 360 \times 3{.}809{.}188{,}29 - 500{.}000{.}000 = 871{.}307{.}785$$ $$M = K\,a_{\overline{300}|0{,}007} = 3{.}809{.}188{,}29 \times 125{,}237 = 477{.}043{.}375$$

Langkah 3: Hitung $(L-M)/K$

$$\frac{L-M}{K} = \frac{871{.}307{.}785 - 477{.}043{.}375}{3{.}809{.}188{,}29} = 103{,}50$$

Hasil Akhir: (a). $\approx 103{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

$i^{(12)}=8{,}4\%$ adalah NOMINAL → bagi 12 untuk dapat $j=0{,}7\%$ bulanan. Jangan pakai akar-12 di sini (itu untuk efektif tahunan).

⬡Kesalahan Konseptual›

Total bunga $L =$ total pembayaran $-$ pokok $= 360K - L_0$, bukan dijumlah bunga per periode satu-satu.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$M$ adalah OLB di akhir tahun ke-5 = setelah cicilan ke-60, sisa $300$ cicilan → $M=K\,a_{\overline{300}|}$ (prospektif).

▲Red Flags›

Soal mencampur $K$, $L$, dan $M$ dalam satu ekspresi → hitung tiap komponen terpisah sebelum digabung agar tak tertukar.

---

No. 21

Dion mengajukan pinjaman sebesar Rp $50{.}000{.}000{,}00$ dengan jangka waktu pelunasan 15 tahun pada suatu lembaga. Lembaga tersebut menetapkan tingkat suku bunga efektif tahunan sebesar $x\%$. Dion akan melunasi pinjamannya dengan membayar bunga pinjaman dan simpanan sinking fund pada setiap akhir tahun. Besar pembayaran yang dilakukannya setiap tahun adalah Rp $6{.}000{.}000{,}00$ (termasuk pembayaran bunga pinjaman dan deposit pada rekening sinking fund). Pada setiap pembayaran, diketahui bahwa porsi pembayaran bunga dua kali lebih besar dibandingkan porsi deposit pada rekening sinking fund. Apabila simpanan pada rekening sinking fund-nya menerima tingkat suku bunga efektif tahunan sebesar $7\%$ untuk 13 tahun pertama dan $y\%$ untuk seterusnya. Berapakah nilai dari $|x - y|$? Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $1{,}3$
b. $1{,}1$
c. $0{,}9$
d. $0{,}7$
e. $0{,}5$

≡Jawaban No. 21›

(a). $\approx 1{,}3$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Pinjaman
Sub-topik	4.4 Sinking Fund Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Amortization Basics
Connected Topics	2.3 Accumulated Value of Annuities
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Metode sinking fund: pembayaran tahunan = bunga pinjaman + deposit SF. Bunga = $x\cdot L$. Saldo SF harus mencapai $L$ pada akhir jangka:

$$\text{Deposit}\cdot s_{\overline{n}|\,\text{SF rate}} = L$$

Bila tingkat SF berubah di tengah, akumulasikan blok demi blok.

Diketahui:

• $L = 50{.}000{.}000$, jangka 15 tahun, pembayaran tahunan $6{.}000{.}000$

• Bunga $= 2\times$ deposit SF → bunga $+$ deposit $= 6$ jt

• SF: $7\%$ untuk 13 tahun pertama, $y\%$ untuk sisanya

• Target: $|x - y|$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Pecah pembayaran 6 juta Bunga $=2\times$ deposit, dan bunga $+$ deposit $=6$ jt → $3\times$deposit $=6$ jt.

$$\text{deposit} = 2\text{ jt},\qquad \text{bunga} = 4\text{ jt}$$

Langkah 2: Dapatkan $x$ dari bunga pinjaman Bunga $= x\cdot L$:

$$4{.}000{.}000 = x \times 50{.}000{.}000 \;\Rightarrow\; x = 8\%$$

Langkah 3: Susun saldo SF dua fase dan cari $y$ Deposit 2 jt/tahun. 13 deposit pertama tumbuh pada $7\%$ → nilai di akhir tahun ke-13:

$$2\,s_{\overline{13}|7\%} = 2 \times 20{,}1406 = 40{,}2813 \text{ jt}$$

Saldo ini tumbuh 2 tahun pada $u=1+y$, ditambah deposit tahun ke-14 dan ke-15, harus $=50$ jt:

$$40{,}2813\,u^2 + 2u + 2 = 50 \;\Rightarrow\; 40{,}2813\,u^2 + 2u - 48 = 0$$ $$u = \frac{-2+\sqrt{4 + 4(40{,}2813)(48)}}{2(40{,}2813)} = 1{,}06707 \;\Rightarrow\; y = 6{,}707\%$$

Langkah 4: Selisih mutlak

$$|x-y| = |8 - 6{,}707| = 1{,}293$$

Hasil Akhir: (a). $\approx 1{,}3$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Pada metode SF, bunga pinjaman dibayar atas SELURUH pokok tiap tahun (pokok tak berkurang). Itulah kenapa SF lebih mahal dari amortisasi saat kedua tingkat sama.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Saldo akhir tahun ke-13 tumbuh 2 tahun lagi pada $y\%$ ($u^2$), bukan 1. Deposit tahun ke-14 tumbuh 1 tahun, deposit ke-15 tidak tumbuh.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Bunga dua kali deposit” memberi pembagian $4$ jt : $2$ jt, bukan $2$ jt : $4$ jt. Salah pembagian membalik $x$.

▲Red Flags›

Tingkat SF berubah di tahun ke-13 → akumulasi blok pertama dulu sampai titik transisi, lalu bungakan maju dengan tingkat baru.

---

No. 22

Diketahui bahwa dua buah obligasi, masing-masing dapat ditebus pada nilai par sebesar $1{.}000$ dan memiliki tingkat imbal hasil tahunan sebesar $4\%$ yang dikonversikan semesteran. Asumsikan bahwa kedua obligasi tersebut memiliki nilai tebus (redemption value) yang sama dengan nilai par. Harga obligasi yang pertama adalah $1{.}136{,}78$ dengan tingkat kupon tahunan sebesar $6\%$ yang dikonversikan secara semesteran. Selanjutnya, diketahui bahwa obligasi kedua memiliki tingkat kupon tahunan sebesar $3\%$ yang dikonversikan semesteran. Catat bahwa kedua obligasi tersebut membayarkan kupon setiap akhir semester. Tentukan harga dari obligasi kedua. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $894{,}30$
b. $900{,}21$
c. $931{,}61$
d. $1{.}136{,}78$
e. $1{.}273{,}21$

≡Jawaban No. 22›

(c). $\approx 931{,}61$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.3 Premium-Discount Formula
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing Basics
Connected Topics	5.2 Premium and Discount Bonds
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Rumus premi-diskon (nilai tebus $=$ par $F$):

$$P = F + (Fr - Fi)\,a_{\overline{n}|i} = F + (C - Fi)\,a_{\overline{n}|i}$$

dengan $C$ kupon per periode, $i$ yield per periode, $a_{\overline{n}|}$ sama untuk kedua obligasi (tenor sama).

Diketahui:

• $F = 1{.}000$, yield $4\%$ semi → $i = 2\%$ per semester

• Obligasi 1: kupon $6\%$ semi → $C_1 = 30$; harga $1{.}136{,}78$

• Obligasi 2: kupon $3\%$ semi → $C_2 = 15$

• Target: harga obligasi 2

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $a_{\overline{n}|}$ dari obligasi 1 $Fi = 1.000 \times 0{,}02 = 20$ per semester.

$$1{.}136{,}78 = 1{.}000 + (30 - 20)\,a_{\overline{n}|} \;\Rightarrow\; a_{\overline{n}|} = \frac{136{,}78}{10} = 13{,}678$$

Langkah 2: Terapkan ke obligasi 2 (faktor anuitas sama)

$$P_2 = 1{.}000 + (15 - 20)\,a_{\overline{n}|} = 1{.}000 - 5 \times 13{,}678$$

Langkah 3: Hitung harga

$$P_2 = 1{.}000 - 68{,}39 = 931{,}61$$

Hasil Akhir: (c). $\approx 931{,}61$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

“Dikonversikan semesteran” → kupon dan yield dibagi 2 per periode ($C=30$ atau $15$; $i=2\%$). Jangan pakai angka tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Karena tenor dan yield sama, $a_{\overline{n}|}$ identik untuk kedua obligasi — itulah jembatan yang menghubungkan keduanya tanpa perlu tahu $n$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Obligasi 2 punya kupon $<$ yield ($15<20$) → obligasi DISKON, harganya di bawah par. Jawaban di atas $1.000$ langsung salah.

▲Red Flags›

Dua obligasi dengan tenor & yield sama → pakai rumus premi-diskon dan bagikan $a_{\overline{n}|}$ di antara keduanya.

---

No. 23

Perusahaan Mantap Jaya menawarkan tiga jenis obligasi korporasi yang membayarkan kupon secara tahunan (setiap akhir tahun) dan masing-masing obligasi memiliki nilai tebus (redemption value) yang sama dengan nilai par-nya. Diketahui bahwa ketiga obligasi tersebut memiliki jangka waktu, harga, dan tingkat imbal hasil efektif tahunan yang sama.

• Obligasi pertama memiliki nilai par (par value) sebesar Rp $1{.}000{.}000$ dan tingkat kupon tahunan sebesar $5{,}28\%$.
• Obligasi kedua memiliki nilai par (par value) sebesar Rp $1{.}100{.}000$ dan tingkat kupon tahunan sebesar $4{,}4\%$.
• Obligasi ketiga memiliki nilai par (par value) sebesar Rp $1{.}320{.}000$ dan tingkat kupon tahunan sebesar $r$.

Hitunglah nilai $r$. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Kurang dari $2\%$.
b. Antara $2\%$ sampai dengan $3\%$.
c. Antara $3\%$ sampai dengan $4\%$.
d. Antara $4\%$ sampai dengan $5\%$.
e. Lebih dari $5\%$.

≡Jawaban No. 23›

(b). Antara $2\%$ sampai dengan $3\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing Basics
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.3 Premium-Discount Formula
Connected Topics	2.1 Basic Annuity Valuation
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Harga obligasi umum: $P = C\,a_{\overline{n}|} + F\,v^{n}$, dengan $C = (\text{coupon rate})\times F$.

Jika dua obligasi punya harga, tenor, dan yield sama, selisihkan persamaan harganya untuk mengeliminasi $P$:

$$\frac{a_{\overline{n}|}}{v^{n}} = s_{\overline{n}|}$$

Diketahui:

• Obligasi 1: $F_1 = 1{.}000{.}000$, kupon $52{.}800$

• Obligasi 2: $F_2 = 1{.}100{.}000$, kupon $48{.}400$

• Obligasi 3: $F_3 = 1{.}320{.}000$, kupon $r\cdot F_3$

• Harga, tenor, yield ketiganya sama; target $r$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Selisihkan obligasi 1 dan 2 untuk dapat $s_{\overline{n}|}$ $C_1 a_{\overline{n}|}+F_1 v^n = C_2 a_{\overline{n}|}+F_2 v^n$:

$$(52{.}800-48{.}400)\,a_{\overline{n}|} = (1{.}100{.}000-1{.}000{.}000)\,v^n$$ $$4{.}400\,a_{\overline{n}|} = 100{.}000\,v^n \;\Rightarrow\; s_{\overline{n}|} = \frac{a_{\overline{n}|}}{v^n} = \frac{100{.}000}{4{.}400} = 22{,}7273$$

Langkah 2: Selisihkan obligasi 1 dan 3

$$(r\cdot 1{.}320{.}000 - 52{.}800)\,a_{\overline{n}|} = (1{.}000{.}000-1{.}320{.}000)\,v^n$$ $$r\cdot 1{.}320{.}000 - 52{.}800 = \frac{-320{.}000}{s_{\overline{n}|}} = \frac{-320{.}000}{22{,}7273} = -14{.}080$$

Langkah 3: Selesaikan $r$

$$r\cdot 1{.}320{.}000 = 52{.}800 - 14{.}080 = 38{.}720 \;\Rightarrow\; r = \frac{38{.}720}{1{.}320{.}000} = 2{,}933\%$$

Hasil Akhir: (b). Antara $2\%$ sampai $3\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengeliminasi $P$ dengan selisih dua obligasi menghasilkan $s_{\overline{n}|}$ tanpa perlu tahu $n$ maupun $i$ — trik kunci soal ini.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Kupon $=$ coupon rate $\times$ par masing-masing. Obligasi 3 kuponnya $r\times 1{.}320{.}000$, bukan $r$ saja.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Kupon tahunan, jadi $n$ dalam tahun dan $i$ efektif tahunan — tidak ada konversi semesteran di sini.

▲Red Flags›

“Harga, tenor, dan yield sama” untuk beberapa obligasi → pasangkan dan selisihkan untuk memperoleh $s_{\overline{n}|}$ atau $a_{\overline{n}|}/v^n$.

---

No. 24

Pak Andreas membeli sebuah obligasi dengan jangka waktu 5 tahun yang memiliki nilai par (dan nilai tebus) sebesar Rp $1{.}000{.}000$, tingkat kupon tahunan sebesar $7\%$ yang dikonversikan semesteran, dan suku bunga nominal sebesar $6{,}4\%$ yang dikonversikan semesteran. Pak Andreas menerima pembayaran kupon setiap akhir semester. Selanjutnya, kupon obligasi yang diterima akan diinvestasikan kembali oleh Pak Andreas pada rekening Bank ABC yang menawarkan suku bunga nominal sebesar $7{,}2\%$ yang dikonversikan semesteran. Pada akhir tahun ke-5, Pak Andreas menghitung kembali total dana yang ia dapatkan dan imbal hasil efektif tahunan dari investasi yang ia lakukan. Hitunglah tingkat imbal hasil efektif tahunan dari total akumulasi dana yang diterima oleh Pak Andreas pada akhir tahun ke-5 terhadap uang yang ia investasikan untuk membeli obligasi di tahun ke-0. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. $5{,}6\%$
b. $5{,}8\%$
c. $6\%$
d. $6{,}6\%$
e. $6{,}9\%$

≡Jawaban No. 24›

(d). $\approx 6{,}6\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penilaian Obligasi
Sub-topik	5.7 Reinvestment and Yield
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing Basics
Connected Topics	2.3 Accumulated Value of Annuities
Referensi	Vaaler Bab 6–7; Kellison Bab 6–7

ℹRumus›

Harga beli: $P = C\,a_{\overline{n}|i} + F\,v^{n}$ pada yield $i$ per semester.

Akumulasi pada tingkat reinvestasi $i'$: $\;\text{ACC} = C\,s_{\overline{n}|i'} + F$.

Imbal hasil efektif tahunan $j$ dari $P$ ke ACC selama 5 tahun:

$$(1+j)^5 = \frac{\text{ACC}}{P}$$

Diketahui:

• $F = 1{.}000{.}000$, kupon $7\%$ semi → $C = 35{.}000$/semester, $n = 10$

• Yield beli $6{,}4\%$ semi → $i = 3{,}2\%$ per semester

• Reinvestasi kupon $7{,}2\%$ semi → $i' = 3{,}6\%$ per semester

• Target: imbal hasil efektif tahunan $j$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Harga beli obligasi

$$P = 35{.}000\,a_{\overline{10}|3{,}2\%} + 1{.}000{.}000\,(1{,}032)^{-10} = 1{.}025{.}331$$

Langkah 2: Akumulasi dana di akhir tahun ke-5 Kupon di-reinvest pada $3{,}6\%$; nilai tebus diterima di akhir.

$$\text{ACC} = 35{.}000\,s_{\overline{10}|3{,}6\%} + 1{.}000{.}000 = 1{.}412{.}501$$

Langkah 3: Imbal hasil efektif tahunan

$$(1+j)^5 = \frac{1{.}412{.}501}{1{.}025{.}331} = 1{,}37760 \;\Rightarrow\; j = 1{,}37760^{1/5}-1 = 6{,}617\%$$

Hasil Akhir: (d). $\approx 6{,}6\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tiga tingkat berbeda (kupon, yield beli, reinvestasi) semuanya semesteran → bagi 2. Ada 10 periode semester dalam 5 tahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

Harga beli pakai yield $3{,}2\%$; akumulasi kupon pakai tingkat reinvestasi $3{,}6\%$. Jangan pakai satu tingkat untuk keduanya.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Yang diminta imbal hasil EFEKTIF TAHUNAN selama 5 tahun → pakai pangkat $1/5$, bukan $1/10$.

▲Red Flags›

Kupon di-reinvestasi pada tingkat berbeda dari yield → yield realisasi $\neq$ yield beli. Hitung ACC dan $P$ terpisah lalu ambil rasio.

---

No. 25

Diberikan informasi yang berkaitan dengan Opsi Beli Eropa (European Call Option) dan Opsi Jual Eropa (European Put Option) sebagai berikut:

• Opsi beli dijual pada harga 15 lebih besar dibandingkan dengan opsi jual.
• Harga saat ini dari saham adalah $6{.}000$.
• Opsi beli dan opsi jual memiliki waktu jatuh tempo (time to maturity) yang sama, yaitu 4 tahun.
• Opsi beli dan opsi jual memiliki harga penyerahan (strike price) yang sama, yaitu $7{.}000$.

Hitunglah besar suku bunga bebas risiko yang dikonversikan secara kontinu berdasarkan informasi di atas. Pilihlah jawaban dengan pembulatan terdekat.

a. Kurang dari $3\%$.
b. Lebih dari $3\%$, tapi kurang dari $4\%$.
c. Lebih dari $4\%$, tapi kurang dari $5\%$.
d. Lebih dari $5\%$, tapi kurang dari $6\%$.
e. Lebih dari $6\%$.

≡Jawaban No. 25›

(b). Lebih dari $3\%$, tapi kurang dari $4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.3 Put-Call Parity
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.1 Options Basics
Connected Topics	1.3 Continuous Compounding
Referensi	McDonald — Derivatives Markets

ℹRumus›

Paritas put-call (tanpa dividen), bunga kontinu:

$$C - P = S_0 - K\,e^{-rT}$$

Diketahui:

• $C - P = 15$, $S_0 = 6{.}000$, $K = 7{.}000$, $T = 4$

• Target: $r$ (kontinu)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Masukkan ke paritas

$$15 = 6{.}000 - 7{.}000\,e^{-4r}$$

Langkah 2: Isolasi suku eksponensial

$$7{.}000\,e^{-4r} = 5{.}985 \;\Rightarrow\; e^{-4r} = 0{,}855$$

Langkah 3: Selesaikan $r$

$$-4r = \ln(0{,}855) = -0{,}156653 \;\Rightarrow\; r = 0{,}039163 = 3{,}916\%$$

Hasil Akhir: (b). Lebih dari $3\%$, tapi kurang dari $4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Paritas put-call hanya berlaku untuk opsi EROPA dengan strike & jatuh tempo sama. Tanpa dividen, $C-P = S_0 - Ke^{-rT}$.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Bunga KONTINU → pakai $e^{-rT}$ dengan $T=4$. Jangan campur dengan diskonto efektif $(1+r)^{-T}$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Opsi beli 15 lebih mahal” → $C - P = +15$. Salah tanda akan membalik arah perhitungan.

▲Red Flags›

Diberi selisih harga call-put plus $S_0$ dan $K$ → langsung paritas put-call untuk memecahkan $r$.

---

No. 26

Diberikan tiga pernyataan berikut ini:

(i) Jika hal-hal lain tetap, harga futures atas sebuah indeks saham dengan imbal hasil dividen yang tinggi akan lebih tinggi daripada harga futures atas suatu indeks saham dengan imbal hasil dividen yang rendah.
(ii) Jika hal-hal lain tetap, harga futures atas saham dipengaruhi oleh beta saham. Dengan kata lain, saham dengan beta tinggi akan memiliki harga futures yang lebih tinggi dibandingkan saham dengan beta rendah.
(iii) Laba untuk posisi long dari kontrak futures adalah harga tunai (spot price) saat jatuh tempo dikurangi dengan harga futures di awal waktu.

Secara berturut-turut untuk pernyataan i, ii, dan iii, tentukanlah apakah masing-masing pernyataan adalah BENAR atau SALAH.

a. SALAH, BENAR, SALAH
b. SALAH, SALAH, BENAR
c. BENAR, SALAH, BENAR
d. BENAR, BENAR, SALAH
e. SALAH, SALAH, SALAH

≡Jawaban No. 26›

(b). SALAH, SALAH, BENAR

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.4 Forwards and Futures
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.1 Options Basics
Connected Topics	6.5 Cost of Carry
Referensi	McDonald — Derivatives Markets

ℹRumus›

Harga futures (cost-of-carry, dengan dividen kontinu $\delta$):

$$F_0 = S_0\,e^{(r-\delta)T}$$

Laba posisi long saat jatuh tempo: $\;S_T - F_0$.

Diketahui:

• Evaluasi tiga pernyataan (i), (ii), (iii) → BENAR/SALAH

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Pernyataan (i) — dividen tinggi Pada $F_0 = S_0 e^{(r-\delta)T}$, dividen $\delta$ lebih tinggi MENURUNKAN harga futures, bukan menaikkan.

$$\text{Dividen} \uparrow \;\Rightarrow\; F_0 \downarrow \quad\Rightarrow\quad \textbf{SALAH}$$

Langkah 2: Pernyataan (ii) — beta Harga futures ditentukan arbitrase cost-of-carry, tidak bergantung pada beta/risiko sistematis saham.

$$F_0 \text{ tidak bergantung } \beta \quad\Rightarrow\quad \textbf{SALAH}$$

Langkah 3: Pernyataan (iii) — laba long Laba posisi long memang $S_T - F_0$.

$$\text{Laba long} = S_T - F_0 \quad\Rightarrow\quad \textbf{BENAR}$$

Hasil Akhir: (b). SALAH, SALAH, BENAR

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Dividen MENGURANGI harga futures (pemegang futures tak menerima dividen), sehingga imbal hasil dividen tinggi → futures lebih rendah.

⬡Kesalahan Konseptual›

Harga futures bebas dari beta/risiko sistematis — penentuannya lewat arbitrase, bukan ekspektasi imbal hasil.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Laba long $= S_T - F_0$ (untung jika spot naik di atas harga futures awal); posisi short kebalikannya.

▲Red Flags›

Pernyataan yang mengaitkan harga futures dengan dividen/beta secara searah patut dicurigai — cek arah lewat $F_0 = S_0 e^{(r-\delta)T}$.

---

No. 27

Diberikan bahwa suatu strategi opsi spread optimis (bullish spread option strategy) menggunakan sebuah opsi beli dengan harga eksekusi (strike price) sebesar \250$pada harga$$40$, dan sebuah opsi beli dengan harga eksekusi$$400$pada harga$$25$. Jika harga saham meningkat menjadi$$500$ pada saat kedaluarsa dan opsi digunakan pada tanggal kedaluarsa, maka laba bersih per lembar saham pada saat kedaluarsa adalah… Petunjuk: Abaikan biaya transaksi.

a. \235$b.$$165$c.$$150$d.$$135$e.$$85$

≡Jawaban No. 27›

(d). \135$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.6 Option Spread Strategies
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.1 Options Basics
Connected Topics	6.2 Option Payoffs and Profit
Referensi	McDonald — Derivatives Markets

ℹRumus›

Bull call spread: beli call strike rendah ($K_1$), jual call strike tinggi ($K_2$).

$$\text{Laba} = \big[\max(S_T-K_1,0) - \max(S_T-K_2,0)\big] - (\text{premi}_1 - \text{premi}_2)$$

Diketahui:

• Long call $K_1 = 250$ @ premi $40$

• Short call $K_2 = 400$ @ premi $25$

• $$S_T = 500$$

• Target: laba bersih per lembar

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Payoff tiap kaki saat $S_T=500$

$$\max(500-250,0) = 250,\qquad \max(500-400,0) = 100$$

Langkah 2: Payoff bersih posisi (long $-$ short)

$$\text{Payoff} = 250 - 100 = 150$$

Langkah 3: Kurangi biaya premi neto Premi neto dibayar $= 40 - 25 = 15$.

$$\text{Laba} = 150 - 15 = 135$$

Hasil Akhir: (d). \135$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Kaki short call mengurangi payoff (Anda yang membayar saat di-exercise terhadap Anda). Payoff bersih $= 250-100$, bukan dijumlah.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Premi neto $= 40-25 = 15$ (bayar call murah, terima call mahal) dikurangkan dari payoff untuk dapat LABA, bukan payoff saja.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada diskonto di sini — soal meminta laba pada saat kedaluarsa, bukan nilai kini premi.

▲Red Flags›

“Laba bersih” (net profit) selalu memperhitungkan premi awal; “payoff” tidak. Pastikan baca yang mana yang diminta.

---

No. 28

Pernyataan di bawah ini yang tidak tepat mengenai Model Penetapan Harga Aset Modal (CAPM) adalah:

a. CAPM mengasumsikan bahwa pasar sekuritas terdapat pajak dan biaya transaksi.
b. CAPM mengasumsikan bahwa investor adalah rasional, dan mengoptimalkan mean-variance.
c. Di dalam teori CAPM, masing-masing investor memiliki ekspektasi yang homogen, yaitu input lists yang identik.
d. CAPM mengasumsikan bahwa seluruh informasi diasumsikan tersedia secara publik.
e. CAPM mengasumsikan bahwa tiap-tiap investor dapat meminjam atau memberikan pinjaman pada tingkat suku bunga bebas risiko yang umum.

≡Jawaban No. 28›

(a). CAPM mengasumsikan pasar terdapat pajak dan biaya transaksi (TIDAK TEPAT)

Field	Isi
Topik CF1	Topik 7 — Teori Portofolio & CAPM
Sub-topik	7.4 CAPM Assumptions
Difficulty	Easy
Prerequisite	7.3 Capital Asset Pricing Model
Connected Topics	7.1 Portfolio Theory Basics
Referensi	Ross — Investments / Portfolio Theory

ℹRumus›

Asumsi inti CAPM: pasar tanpa friksi (TANPA pajak & biaya transaksi), investor rasional mean-variance, ekspektasi homogen, informasi publik, dan pinjam/meminjam pada $r_f$ yang sama.

Diketahui:

• Pilih pernyataan yang TIDAK TEPAT tentang CAPM

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Uji pernyataan (a) CAPM justru mengasumsikan pasar TANPA friksi — tidak ada pajak dan biaya transaksi. Pernyataan (a) menyatakan sebaliknya → TIDAK TEPAT.

Langkah 2: Verifikasi (b)–(e) benar Investor rasional mean-variance (b), ekspektasi homogen/input identik (c), informasi publik (d), pinjam-meminjam pada $r_f$ umum (e) — semuanya asumsi sah CAPM.

Langkah 3: Pilih yang menyimpang Hanya (a) yang bertentangan dengan asumsi pasar tanpa friksi.

Hasil Akhir: (a). CAPM tidak mengasumsikan adanya pajak & biaya transaksi

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

CAPM berasumsi pasar SEMPURNA/TANPA friksi. Adanya pajak & biaya transaksi justru melanggar asumsi dasarnya.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal meminta yang TIDAK TEPAT — bukan yang benar. Membaca terbalik adalah jebakan utama soal “pilih yang salah”.

▲Red Flags›

Pernyataan yang menambahkan friksi pasar (pajak/biaya) ke daftar asumsi CAPM hampir selalu adalah jawaban “tidak tepat”.

---

No. 29

Diketahui bahwa pada suatu pasar modal hanya terdapat 2 aset berisiko, yaitu $A$ dan $B$, serta aset bebas risiko. Diberikan informasi bahwa kedua aset berisiko memiliki kapitalisasi pasar yang sama di dalam pasar modal tersebut, atau dengan kata lain portofolio pasar $M$ dapat dinyatakan sebagai $M = 0{,}5A + 0{,}5B$. Selanjutnya, diketahui bahwa:

$$E(r_M) = 11\% \; ; \quad \sigma_A = 20\% \; ; \quad \sigma_B = 40\% \; ; \quad \rho_{AB} = 0{,}75 \; ; \quad r_f = 2\%.$$

Apabila diasumsikan bahwa Model Penetapan Harga Aset Modal (Capital Asset Pricing Model/CAPM) berlaku pada pasar modal tersebut, hitunglah selisih antara imbal hasil yang diharapkan untuk aset berisiko $B$ dan aset berisiko $A$, yaitu $E(r_B) - E(r_A)$. Bulatkan jawaban anda hingga satuan terdekat.

a. Kurang dari $6\%$.
b. Lebih dari $6\%$, tapi kurang dari $6{,}5\%$.
c. Lebih dari $6{,}5\%$, tapi kurang dari $7\%$.
d. Lebih dari $7\%$, tapi kurang dari $7{,}5\%$.
e. Lebih dari $7{,}5\%$.

≡Jawaban No. 29›

(c). Lebih dari $6{,}5\%$, tapi kurang dari $7\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 7 — Teori Portofolio & CAPM
Sub-topik	7.3 Capital Asset Pricing Model
Difficulty	Hard
Prerequisite	7.2 Covariance and Beta
Connected Topics	7.1 Portfolio Theory Basics
Referensi	Ross — Investments / Portfolio Theory

ℹRumus›

CAPM: $\;E(r_i) - r_f = \beta_i\,[E(r_M)-r_f]$, dengan $\beta_i = \dfrac{\text{Cov}(r_i,r_M)}{\sigma_M^2}$.

Selisih dua aset:

$$E(r_B)-E(r_A) = \frac{\text{Cov}(r_B-r_A,\,r_M)}{\sigma_M^2}\,[E(r_M)-r_f]$$

Diketahui:

• $M = 0{,}5A + 0{,}5B$, $E(r_M)=11\%$, $\sigma_A=20\%$, $\sigma_B=40\%$, $\rho_{AB}=0{,}75$, $r_f=2\%$

• Target: $E(r_B)-E(r_A)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Varians portofolio pasar $\text{Cov}(A,B)=\rho_{AB}\sigma_A\sigma_B = 0{,}75\times0{,}2\times0{,}4 = 0{,}06$.

$$\sigma_M^2 = 0{,}25(0{,}04) + 0{,}25(0{,}16) + 2(0{,}25)(0{,}06) = 0{,}08$$

Langkah 2: Covariansi selisih terhadap pasar

$$\text{Cov}(r_B-r_A,\,r_M) = 0{,}5\big(\sigma_B^2 - \sigma_A^2\big) = 0{,}5(0{,}16-0{,}04) = 0{,}06$$

Langkah 3: Selisih beta dan selisih imbal hasil

$$\beta_B-\beta_A = \frac{0{,}06}{0{,}08} = 0{,}75$$ $$E(r_B)-E(r_A) = 0{,}75\,(0{,}11-0{,}02) = 0{,}75\times0{,}09 = 6{,}75\%$$

Hasil Akhir: (c). Lebih dari $6{,}5\%$, tapi kurang dari $7\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Selisih $E(r_B)-E(r_A)$ hanya butuh selisih beta. $\text{Cov}(r_B-r_A,r_M)=0{,}5(\sigma_B^2-\sigma_A^2)$ — suku kovarians silang saling hapus.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pakai varians (kuadrat), bukan standar deviasi. $\sigma_A^2=0{,}04$, $\sigma_B^2=0{,}16$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$r_M$ adalah portofolio $0{,}5A+0{,}5B$ → semua kovarians dengan $M$ harus diuraikan lewat bobot $0{,}5$.

▲Red Flags›

Diminta SELISIH imbal hasil dua aset → kerjakan lewat selisih beta agar suku-suku kovarians silang lenyap dan perhitungan ringkas.

---

No. 30

Pak Asep adalah seorang investor yang ingin menginvestasikan modalnya pada tiga jenis reksa dana, yaitu reksadana A, B, dan C. Diberikan informasi mengenai matriks variansi-kovariansi dari imbal hasil pada ketiga jenis reksa dana sebagai berikut:

$\rho$	$r_A$	$r_B$	$r_C$
$r_A$	$0{,}36$	$0{,}084$	$0{,}105$
$r_B$	$0{,}084$	$0{,}1225$	$0{,}07$
$r_C$	$0{,}105$	$0{,}07$	$0{,}0625$

Berikutnya, diketahui bahwa imbal hasil yang diharapkan dari masing-masing reksadana adalah $E(r_A) = 20\%$, $E(r_B) = 15\%$, dan $E(r_C) = 10\%$. Pak Asep membentuk sebuah portofolio yang terdiri atas ketiga jenis reksa dana di atas. Pak Asep mengharapkan bahwa ia akan mendapatkan imbal hasil sebesar $16\%$ dan risiko paling kecil (diukur dengan menggunakan standar deviasi dari imbal hasil portofolio) dari portofolio yang dibentuknya. Dapatkan standar deviasi dari imbal hasil portofolio yang dibentuk oleh Pak Asep. Bulatkan jawaban anda hingga satuan terdekat.

a. $11{,}93\%$
b. $25{,}47\%$
c. $34{,}54\%$
d. $43{,}54\%$
e. $50{,}08\%$

≡Jawaban No. 30›

(c). $\approx 34{,}54\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 7 — Teori Portofolio & CAPM
Sub-topik	7.5 Minimum-Variance Portfolio
Difficulty	Hard
Prerequisite	7.1 Portfolio Theory Basics
Connected Topics	7.2 Covariance and Beta
Referensi	Ross — Investments / Portfolio Theory

ℹRumus›

Minimumkan $\;\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top \Sigma\, \mathbf{w}\;$ terhadap kendala $\;\mathbf{w}^\top\boldsymbol{\mu} = 0{,}16\;$ dan $\;\mathbf{w}^\top\mathbf{1} = 1$.

Solusi via pengali Lagrange (sistem linear $3+2$ persamaan), lalu:

$$\sigma_p = \sqrt{\mathbf{w}^\top \Sigma\, \mathbf{w}}$$

Diketahui:

• $\Sigma = \begin{bmatrix} 0{,}36 & 0{,}084 & 0{,}105 \\ 0{,}084 & 0{,}1225 & 0{,}07 \\ 0{,}105 & 0{,}07 & 0{,}0625 \end{bmatrix}$, $\;\boldsymbol{\mu} = (0{,}20,\,0{,}15,\,0{,}10)$

• Target imbal hasil $16\%$, minimum varians

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun sistem Lagrange Minimumkan $\mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w}$ dengan dua kendala. Stasioneritas memberi:

$$2\Sigma\mathbf{w} = \lambda\boldsymbol{\mu} + \gamma\mathbf{1},\qquad \mathbf{w}^\top\boldsymbol{\mu}=0{,}16,\quad \mathbf{w}^\top\mathbf{1}=1$$

Langkah 2: Selesaikan bobot optimal

$$w_A = 0{,}22646,\qquad w_B = 0{,}74709,\qquad w_C = 0{,}02646$$

Langkah 3: Varians dan standar deviasi portofolio

$$\sigma_p^2 = \mathbf{w}^\top\Sigma\mathbf{w} = 0{,}11933 \;\Rightarrow\; \sigma_p = \sqrt{0{,}11933} = 0{,}34544$$

Hasil Akhir: (c). $\approx 34{,}54\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Tabel sudah berupa matriks VARIANS-KOVARIANS (bukan korelasi). Diagonal $0{,}36;0{,}1225;0{,}0625$ langsung varians — jangan dikuadratkan lagi.

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Bobot harus memenuhi DUA kendala: target return $16\%$ DAN jumlah bobot $=1$. Lupa salah satunya memberi portofolio yang salah.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Yang diminta standar deviasi ($\sqrt{\sigma_p^2}$), bukan varians. Jawaban $11{,}93\%$ adalah jebakan (itu nilai varians $\times100$).

▲Red Flags›

“Risiko terkecil pada target return tertentu” → ini optimasi minimum-variance dengan kendala, selesaikan via Lagrange/sistem linear.

---