📊 3.6 — Matriks Variansi-Kovariansi

≡Ringkasan Cepat›

Topik: Matriks Variansi-Kovariansi | Bobot: ~20–30% | Difficulty: Medium Ref: Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.4–2.6; Miller et al. (2014) Bab 4.6–4.9 | Prereq: 3.5 Independensi dan Korelasi, 3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat, 3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)

Section 0 — Pemetaan Topik

Topik CF2	Sub-topik ID	Skill Diuji	Bobot	Difficulty	Prerequisite	Connected Topics	Referensi
Topik 3: Variabel Acak Multivariat	3.6	Mendefinisikan dan mengonstruksi matriks variansi-kovariansi $\boldsymbol{\Sigma}$ dari vektor acak $\mathbf{X}$; memverifikasi sifat simetri dan positif semi-definitif; menghitung $\boldsymbol{\Sigma}$ secara eksplisit dari entri kovariansi; menurunkan matriks korelasi dari $\boldsymbol{\Sigma}$; menerapkan rumus transformasi linear $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$; menghitung $\text{Var}(\mathbf{c}^T\mathbf{X})$ untuk kombinasi linear skalar	20–30%	Medium	3.5 Independensi dan Korelasi, 3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat, 3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.2 Variabel Acak Kontinu	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution), 3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan, 4.2 Distribusi Sampel, 4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)	Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.4–2.6; Miller et al. (2014) Bab 4.6–4.9

Section 1 — Intuisi

Pada topik 3.5 Independensi dan Korelasi, kita mempelajari kovariansi dan korelasi untuk sepasang variabel acak $(X, Y)$. Namun dalam praktik aktuaria dan statistika, kita hampir selalu bekerja dengan lebih dari dua variabel acak sekaligus — misalnya klaim dari tiga lini bisnis (jiwa, kesehatan, kendaraan), atau lima faktor risiko dalam model kredit. Ketika ada $n$ variabel acak $X_1, X_2, \ldots, X_n$, ada $\binom{n}{2}$ pasangan kovariansi yang berbeda, ditambah $n$ variansi individual. Cara paling elegan dan kompak untuk mengorganisasi semua informasi ini adalah dengan sebuah matriks — inilah matriks variansi-kovariansi $\boldsymbol{\Sigma}$.

Bayangkan $\boldsymbol{\Sigma}$ sebagai “peta hubungan” lengkap antar semua variabel dalam vektor acak $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T$. Diagonal utama matriks berisi variansi masing-masing variabel ($\sigma_i^2 = \text{Var}(X_i)$), yang mencerminkan “risiko individual”. Entri di luar diagonal berisi kovariansi antar pasangan ($\sigma_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j)$), yang mencerminkan “ketergantungan antar risiko”. Dengan representasi matriks ini, operasi yang kompleks seperti menghitung variansi dari kombinasi linear banyak variabel — misalnya variansi dari portofolio $w_1 X_1 + w_2 X_2 + \cdots + w_n X_n$ — menjadi ekspresi matriks yang elegan: $\mathbf{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w}$.

Dua sifat matematis $\boldsymbol{\Sigma}$ yang paling penting adalah simetri (karena $\text{Cov}(X_i, X_j) = \text{Cov}(X_j, X_i)$) dan positif semi-definitif (karena variansi tidak bisa negatif). Sifat kedua adalah fondasi dari mengapa $\mathbf{w}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{w} \geq 0$ untuk semua vektor bobot $\mathbf{w}$ — yang persis merupakan pernyataan bahwa variansi portofolio tidak mungkin negatif. Memahami matriks $\boldsymbol{\Sigma}$ membuka pintu ke analisis portofolio, analisis komponen utama (PCA), dan distribusi normal multivariat yang menjadi fondasi banyak model aktuaria modern.

Section 2 — Definisi Formal

ℹDefinisi Matematis›

Misalkan $\mathbf{X} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)^T$ adalah vektor acak (kolom) dengan $E[X_i] = \mu_i$ untuk $i = 1, \ldots, n$.

Vektor Mean:

$$\boldsymbol{\mu} = E[\mathbf{X}] = \begin{pmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \\ \vdots \\ \mu_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E[X_1] \\ E[X_2] \\ \vdots \\ E[X_n] \end{pmatrix}$$

Matriks Variansi-Kovariansi (Covariance Matrix):

$$\boldsymbol{\Sigma} = \text{Var}(\mathbf{X}) = E\!\left[(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T\right]$$

dengan entri ke-$(i,j)$:

$$\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j) = E[(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)]$$

Secara eksplisit untuk $n = 3$:

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \text{Var}(X_1) & \text{Cov}(X_1,X_2) & \text{Cov}(X_1,X_3) \\ \text{Cov}(X_2,X_1) & \text{Var}(X_2) & \text{Cov}(X_2,X_3) \\ \text{Cov}(X_3,X_1) & \text{Cov}(X_3,X_2) & \text{Var}(X_3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_3^2 \end{pmatrix}$$

Rumus Transformasi Linear:

$$\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{A}^T$$

untuk matriks konstanta $\mathbf{A}$ ($m \times n$) dan vektor konstanta $\mathbf{b}$ ($m \times 1$).

Variabel & Parameter

Simbol	Makna	Catatan
$\mathbf{X} = (X_1, \ldots, X_n)^T$	Vektor acak kolom berukuran $n \times 1$	Setiap $X_i$ adalah variabel acak skalar
$\boldsymbol{\mu} = E[\mathbf{X}]$	Vektor mean berukuran $n \times 1$	$\boldsymbol{\mu}_i = E[X_i] = \mu_i$
$\boldsymbol{\Sigma}$	Matriks variansi-kovariansi berukuran $n \times n$	Simetri dan positif semi-definitif
$\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = \sigma_{ij}$	Entri ke-$(i,j)$ dari $\boldsymbol{\Sigma}$	$\sigma_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j)$; untuk $i = j$: $\sigma_{ii} = \sigma_i^2 = \text{Var}(X_i)$
$\sigma_i^2$	Variansi dari $X_i$	Entri diagonal ke-$i$; selalu $\geq 0$
$\sigma_i = \sqrt{\sigma_i^2}$	Standar deviasi dari $X_i$	Selalu $> 0$ (untuk variabel non-degenerate)
$\mathbf{A}$	Matriks konstanta berukuran $m \times n$	Digunakan dalam transformasi linear $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$
$\mathbf{b}$	Vektor konstanta berukuran $m \times 1$	Tidak mempengaruhi matriks kovariansi hasil transformasi
$\mathbf{c}$	Vektor konstanta berukuran $n \times 1$	Untuk kombinasi linear skalar: $Y = \mathbf{c}^T \mathbf{X}$
$\mathbf{R}$	Matriks korelasi berukuran $n \times n$	$R_{ij} = \rho_{ij} = \sigma_{ij}/(\sigma_i \sigma_j)$; diagonal = 1
$\mathbf{D}$	Matriks diagonal standar deviasi berukuran $n \times n$	$\mathbf{D} = \text{diag}(\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n)$; $\boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{D}\mathbf{R}\mathbf{D}$

Rumus Utama

$$\boldsymbol{\Sigma} = E\!\left[(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})^T\right] = E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$$

Label: Definisi dan Rumus Komputasional $\boldsymbol{\Sigma}$ — analog matriks dari $\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$; digunakan ketika $E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T]$ lebih mudah dihitung dari definisi.

$$\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{A}^T$$

Label: Hukum Transformasi Linear Matriks Kovariansi — analog matriks dari $\text{Var}(aX + b) = a^2 \text{Var}(X)$; vektor konstanta $\mathbf{b}$ tidak mempengaruhi hasil; matriks $\mathbf{A}$ “mengapit” $\boldsymbol{\Sigma}$ dari kiri dan kanan (transpos).

$$\text{Var}(\mathbf{c}^T\mathbf{X}) = \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{c} \geq 0$$

Label: Variansi Kombinasi Linear Skalar — kasus khusus transformasi linear dengan $\mathbf{A} = \mathbf{c}^T$ (vektor baris $1 \times n$); hasilnya adalah skalar non-negatif; ini membuktikan $\boldsymbol{\Sigma}$ positif semi-definitif.

$$\boldsymbol{\Sigma}^T = \boldsymbol{\Sigma}$$

Label: Simetri $\boldsymbol{\Sigma}$ — karena $\text{Cov}(X_i, X_j) = \text{Cov}(X_j, X_i)$; matriks simetri memiliki $\frac{n(n+1)}{2}$ entri unik (bukan $n^2$).

$$\mathbf{R}_{ij} = \rho_{ij} = \frac{\sigma_{ij}}{\sigma_i \sigma_j}, \qquad \boldsymbol{\Sigma} = \mathbf{D}\mathbf{R}\mathbf{D}$$

Label: Matriks Korelasi dan Dekomposisi — di mana $\mathbf{D} = \text{diag}(\sigma_1, \ldots, \sigma_n)$; matriks korelasi $\mathbf{R}$ memiliki diagonal = 1 dan entri luar diagonal $\in [-1, 1]$.

$$E[\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}] = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}$$

Label: Linieritas Ekspektasi Vektor — analog matriks dari $E[aX+b] = aE[X]+b$; berlaku komponen per komponen.

$$X_1, X_2, \ldots, X_n \text{ saling independen} \implies \boldsymbol{\Sigma} = \text{diag}(\sigma_1^2, \sigma_2^2, \ldots, \sigma_n^2)$$

Label: Matriks Kovariansi untuk Variabel Independen — jika semua variabel saling independen, semua kovariansi silang = 0 dan $\boldsymbol{\Sigma}$ menjadi matriks diagonal.

Asumsi Eksplisit

• Existensi momen orde dua: Semua $E[X_i^2] < \infty$ untuk $i = 1, \ldots, n$ agar setiap $\text{Var}(X_i)$ dan $\text{Cov}(X_i, X_j)$ terdefinisi.
• $\boldsymbol{\Sigma}$ positif semi-definitif: $\mathbf{c}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{c} \geq 0$ untuk semua $\mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$ — ini dijamin secara otomatis dari definisi, bukan asumsi tambahan.
• $\boldsymbol{\Sigma}$ positif definitif: $\mathbf{c}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{c} > 0$ untuk semua $\mathbf{c} \neq \mathbf{0}$ — berlaku jika tidak ada kombinasi linear deterministik antar komponen $\mathbf{X}$; kondisi yang lebih kuat dan tidak selalu terpenuhi.
• Dimensi konsisten: Dalam $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$, jika $\mathbf{X}$ berukuran $n \times 1$ dan $\mathbf{A}$ berukuran $m \times n$, maka $\boldsymbol{\Sigma}$ berukuran $n \times n$ dan hasilnya $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ berukuran $m \times m$.

Section 3 — Jembatan Logika

◈Dari Definisi ke Rumus›

Rumus $\boldsymbol{\Sigma} = E[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T]$ adalah perluasan langsung dari definisi skalar $\text{Var}(X) = E[(X-\mu)^2]$. Perkalian luar (outer product) $(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T$ menghasilkan matriks $n \times n$ di mana entri ke-$(i,j)$ adalah $(X_i - \mu_i)(X_j - \mu_j)$. Mengambil ekspektasi komponen per komponen menghasilkan $E[(X_i-\mu_i)(X_j-\mu_j)] = \text{Cov}(X_i, X_j) = \sigma_{ij}$. Entri diagonal adalah $E[(X_i-\mu_i)^2] = \text{Var}(X_i) = \sigma_i^2$.

Rumus transformasi linear $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ diturunkan dari kasus skalar. Untuk satu kombinasi linear $Y = \mathbf{c}^T\mathbf{X} = \sum_i c_i X_i$: dari 3.5 Independensi dan Korelasi, $\text{Var}(Y) = \sum_i \sum_j c_i c_j \text{Cov}(X_i, X_j) = \sum_i \sum_j c_i \sigma_{ij} c_j = \mathbf{c}^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{c}$. Ketika $\mathbf{A}$ memiliki $m$ baris, setiap baris $\mathbf{a}_k^T$ mendefinisikan kombinasi linear $Y_k = \mathbf{a}_k^T \mathbf{X}$, dan $\text{Cov}(Y_k, Y_l) = \mathbf{a}_k^T \boldsymbol{\Sigma} \mathbf{a}_l = (\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T)_{kl}$.

◈Positif Semi-Definitif — Mengapa Penting›

Sifat positif semi-definitif dari $\boldsymbol{\Sigma}$ bukan sekadar sifat teknis — ia memiliki makna probabilistik mendalam:

Makna probabilistik: $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c} = \text{Var}(\mathbf{c}^T\mathbf{X}) \geq 0$ untuk semua $\mathbf{c}$ — variansi dari kombinasi linear manapun tidak pernah negatif. Ini adalah konsekuensi langsung dari sifat variansi yang non-negatif.

Konsekuensi untuk matriks: Semua nilai eigen (eigenvalue) dari $\boldsymbol{\Sigma}$ adalah non-negatif. Determinan $\det(\boldsymbol{\Sigma}) \geq 0$. Matriks kovariansi tidak dapat di-invers jika ada kombinasi linear deterministik (misal $X_3 = 2X_1 + X_2$ hampir pasti) — karena saat itu $\det(\boldsymbol{\Sigma}) = 0$.

Konsekuensi untuk CF2: Ketika soal memberikan matriks kovariansi, dapat diasumsikan bahwa matriks tersebut positif semi-definitif. Namun ketika mengonstruksi matriks kovariansi dari data yang diberikan, perlu diperiksa konsistensinya (semua variansi $\geq 0$, dan koefisien korelasi $\in [-1,1]$).

Derivasi $\boldsymbol{\Sigma} = E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$ (rumus komputasional):

$$\boldsymbol{\Sigma} = E\!\left[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T\right]$$ $$= E\!\left[\mathbf{X}\mathbf{X}^T - \mathbf{X}\boldsymbol{\mu}^T - \boldsymbol{\mu}\mathbf{X}^T + \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T\right]$$ $$= E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - E[\mathbf{X}]\boldsymbol{\mu}^T - \boldsymbol{\mu} E[\mathbf{X}]^T + \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$$ $$= E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T + \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T = E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$$

di mana digunakan $E[\mathbf{X}] = \boldsymbol{\mu}$ dan $E[\mathbf{X}\boldsymbol{\mu}^T] = E[\mathbf{X}]\boldsymbol{\mu}^T = \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$ (karena $\boldsymbol{\mu}$ adalah konstanta).

Derivasi Rumus Transformasi Linear:

Misalkan $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$. Maka $E[\mathbf{Y}] = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}$. Vektor deviasi:

$$\mathbf{Y} - E[\mathbf{Y}] = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b} - \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} - \mathbf{b} = \mathbf{A}(\mathbf{X} - \boldsymbol{\mu})$$

Matriks kovariansi $\mathbf{Y}$:

$$\text{Var}(\mathbf{Y}) = E\!\left[(\mathbf{Y}-E[\mathbf{Y}])(\mathbf{Y}-E[\mathbf{Y}])^T\right] = E\!\left[\mathbf{A}(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T\mathbf{A}^T\right]$$ $$= \mathbf{A}\,E\!\left[(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})(\mathbf{X}-\boldsymbol{\mu})^T\right]\mathbf{A}^T = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{A}^T \qquad \blacksquare$$

Catatan: $\mathbf{A}$ dapat dikeluarkan dari ekspektasi karena merupakan matriks konstanta.

✘Dilarang›

1. Dilarang menulis $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X}) = \mathbf{A}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$ (urutan $\mathbf{A}$ dan $\mathbf{A}^T$ terbalik): rumus yang benar adalah $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ — matriks $\mathbf{A}$ mengapit $\boldsymbol{\Sigma}$ dari kiri, dan transposnya $\mathbf{A}^T$ dari kanan. Tanda transpos ada di sisi kanan.
2. Dilarang mengasumsikan $\boldsymbol{\Sigma}$ selalu dapat diinvers (positif definitif): $\boldsymbol{\Sigma}$ hanya positif semi-definitif secara umum; jika ada kombinasi linear deterministik antar komponen $\mathbf{X}$, maka $\det(\boldsymbol{\Sigma}) = 0$ dan $\boldsymbol{\Sigma}^{-1}$ tidak ada. Selalu verifikasi konteks sebelum menggunakan invers.
3. Dilarang mengonstruksi matriks kovariansi dengan nilai di luar batas: Setiap entri diagonal harus $\sigma_i^2 \geq 0$, dan setiap koefisien korelasi $\rho_{ij} = \sigma_{ij}/(\sigma_i \sigma_j)$ harus berada di $[-1, 1]$. Matriks dengan entri yang melanggar batas ini bukan matriks kovariansi yang valid (tidak positif semi-definitif).

Section 4 — Contoh Soal

Soal A — Fundamental

Misalkan $\mathbf{X} = (X_1, X_2, X_3)^T$ adalah vektor acak dengan:

• $\text{Var}(X_1) = 4$, $\text{Var}(X_2) = 9$, $\text{Var}(X_3) = 1$
• $\text{Cov}(X_1, X_2) = -3$, $\text{Cov}(X_1, X_3) = 2$, $\text{Cov}(X_2, X_3) = 0$

(a) Tuliskan matriks variansi-kovariansi $\boldsymbol{\Sigma}$. (b) Tuliskan matriks korelasi $\mathbf{R}$. (c) Tentukan $\text{Var}(2X_1 - X_2 + 3X_3)$ menggunakan $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$.

✓Solusi Soal A›

1. Identifikasi Variabel

• $n = 3$: vektor acak tiga komponen.
• $\sigma_1^2 = 4$, $\sigma_2^2 = 9$, $\sigma_3^2 = 1$; $\sigma_{12} = -3$, $\sigma_{13} = 2$, $\sigma_{23} = 0$.
• $\sigma_1 = 2$, $\sigma_2 = 3$, $\sigma_3 = 1$.

2. Identifikasi Distribusi / Model

• Tidak perlu distribusi spesifik — soal murni konstruksi dan komputasi matriks kovariansi.

3. Setup Persamaan

Matriks $\boldsymbol{\Sigma}$ berukuran $3 \times 3$ simetri dengan entri diagonal = variansi dan entri luar diagonal = kovariansi.

4. Eksekusi Aljabar

(a) Matriks Variansi-Kovariansi $\boldsymbol{\Sigma}$:

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} \sigma_1^2 & \sigma_{12} & \sigma_{13} \\ \sigma_{12} & \sigma_2^2 & \sigma_{23} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_3^2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ -3 & 9 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(b) Matriks Korelasi $\mathbf{R}$:

$$\rho_{12} = \frac{\sigma_{12}}{\sigma_1 \sigma_2} = \frac{-3}{(2)(3)} = -\frac{1}{2}$$ $$\rho_{13} = \frac{\sigma_{13}}{\sigma_1 \sigma_3} = \frac{2}{(2)(1)} = 1$$ $$\rho_{23} = \frac{\sigma_{23}}{\sigma_2 \sigma_3} = \frac{0}{(3)(1)} = 0$$ $$\mathbf{R} = \begin{pmatrix} 1 & -1/2 & 1 \\ -1/2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

(c) Variansi kombinasi linear $Y = 2X_1 - X_2 + 3X_3$:

Vektor koefisien: $\mathbf{c} = (2, -1, 3)^T$.

$$\text{Var}(Y) = \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{c}$$

Hitung $\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$ terlebih dahulu:

$$\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c} = \begin{pmatrix} 4 & -3 & 2 \\ -3 & 9 & 0 \\ 2 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4(2) + (-3)(-1) + 2(3) \\ (-3)(2) + 9(-1) + 0(3) \\ 2(2) + 0(-1) + 1(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 8 + 3 + 6 \\ -6 - 9 + 0 \\ 4 + 0 + 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 17 \\ -15 \\ 7 \end{pmatrix}$$

Kemudian:

$$\text{Var}(Y) = \mathbf{c}^T(\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}) = (2, -1, 3)\begin{pmatrix} 17 \\ -15 \\ 7 \end{pmatrix} = 2(17) + (-1)(-15) + 3(7) = 34 + 15 + 21 = 70$$

Verifikasi via ekspansi langsung (dari 3.5 Independensi dan Korelasi):

$$\text{Var}(2X_1 - X_2 + 3X_3) = 4\sigma_1^2 + \sigma_2^2 + 9\sigma_3^2 + 2(2)(-1)\sigma_{12} + 2(2)(3)\sigma_{13} + 2(-1)(3)\sigma_{23}$$ $$= 4(4) + 1(9) + 9(1) + (-4)(-3) + 12(2) + (-6)(0)$$ $$= 16 + 9 + 9 + 12 + 24 + 0 = 70 \checkmark$$

5. Verification

• $\boldsymbol{\Sigma}$ simetri: entri $(1,2) = (2,1) = -3$; entri $(1,3) = (3,1) = 2$; entri $(2,3) = (3,2) = 0$ ✓
• Semua variansi $\geq 0$: $4, 9, 1 > 0$ ✓
• $\rho_{12} = -1/2 \in [-1,1]$, $\rho_{13} = 1 \in [-1,1]$, $\rho_{23} = 0 \in [-1,1]$ ✓
• Perhatian: $\rho_{13} = 1$ mengindikasikan hubungan linear sempurna antara $X_1$ dan $X_3$. Ini berarti $X_3 = \frac{\sigma_3}{\sigma_1}X_1 + c$ hampir pasti untuk suatu $c$, sehingga $\boldsymbol{\Sigma}$ singular ($\det(\boldsymbol{\Sigma}) = 0$).
• $\text{Var}(Y) = 70 > 0$ ✓

▲Exam Tips — Soal A›

• Target waktu: 6–8 menit.
• Common trap — simetri: Pastikan entri $(i,j)$ sama dengan entri $(j,i)$. Saat mengisi matriks, isi diagonal dulu, lalu isi bagian atas dan cerminkan ke bagian bawah (atau sebaliknya).
• Shortcut bagian (c): Untuk tiga variabel, cara tercetat adalah ekspansi langsung menggunakan rumus variansi kombinasi linear dari 3.5 Independensi dan Korelasi dengan hati-hati terhadap koefisien silang $2c_ic_j\sigma_{ij}$. Metode $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$ lebih sistematis untuk banyak variabel tetapi membutuhkan perkalian matriks-vektor.
• Red flag: $\rho_{13} = 1$ adalah nilai batas yang valid secara matematis tetapi mengindikasikan matriks singular — soal exam yang baik biasanya menghindari ini kecuali sengaja menguji pemahaman tentang degenerasi.

---

Soal B — Exam-Typical

Misalkan $\mathbf{X} = (X_1, X_2)^T$ memiliki matriks variansi-kovariansi:

$$\boldsymbol{\Sigma}_X = \begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$$

dan $E[\mathbf{X}] = \boldsymbol{\mu} = (3, -1)^T$.

Definisikan transformasi linear $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$ dengan:

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix}$$

(a) Hitung $E[\mathbf{Y}]$. (b) Hitung $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \text{Var}(\mathbf{Y})$. (c) Hitung $\text{Var}(Y_1 - Y_3)$ dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$.

✓Solusi Soal B›

1. Identifikasi Variabel

• $\mathbf{X}$: vektor $2 \times 1$; $\mathbf{A}$: matriks $3 \times 2$; $\mathbf{b}$: vektor $3 \times 1$.
• Hasil $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$: vektor $3 \times 1$.
• $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ akan berukuran $3 \times 3$.

2. Identifikasi Distribusi / Model

• Soal murni komputasi transformasi linear vektor acak. Terapkan $E[\mathbf{Y}] = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}$ dan $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X\mathbf{A}^T$.

3. Setup Persamaan $E[\mathbf{Y}] = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}, \qquad \boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\Sigma}_X\,\mathbf{A}^T$

4. Eksekusi Aljabar

(a) Mean $E[\mathbf{Y}]$:

$$\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 3 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3)+2(-1) \\ -1(3)+1(-1) \\ 3(3)+0(-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix}$$ $$E[\mathbf{Y}] = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \\ 9 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \\ 7 \end{pmatrix}$$

(b) Matriks Kovariansi $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X\mathbf{A}^T$:

Langkah 1 — Hitung $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X$:

$$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ -1 & 1 \\ 3 & 0 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 5 & 2 \\ 2 & 8 \end{pmatrix}$$ $$= \begin{pmatrix} 1(5)+2(2) & 1(2)+2(8) \\ -1(5)+1(2) & -1(2)+1(8) \\ 3(5)+0(2) & 3(2)+0(8) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 & 18 \\ -3 & 6 \\ 15 & 6 \end{pmatrix}$$

Langkah 2 — Hitung $(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X)\mathbf{A}^T$:

$$\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$ $$\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{pmatrix} 9 & 18 \\ -3 & 6 \\ 15 & 6 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

Entri demi entri:

$$(1,1): 9(1)+18(2) = 9+36 = 45$$ $$(1,2): 9(-1)+18(1) = -9+18 = 9$$ $$(1,3): 9(3)+18(0) = 27$$ $$(2,1): -3(1)+6(2) = -3+12 = 9$$ $$(2,2): -3(-1)+6(1) = 3+6 = 9$$ $$(2,3): -3(3)+6(0) = -9$$ $$(3,1): 15(1)+6(2) = 15+12 = 27$$ $$(3,2): 15(-1)+6(1) = -15+6 = -9$$ $$(3,3): 15(3)+6(0) = 45$$ $$\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{pmatrix} 45 & 9 & 27 \\ 9 & 9 & -9 \\ 27 & -9 & 45 \end{pmatrix}$$

(c) $\text{Var}(Y_1 - Y_3)$:

Baca langsung dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$:

$$\text{Var}(Y_1 - Y_3) = \text{Var}(Y_1) + \text{Var}(Y_3) - 2\,\text{Cov}(Y_1, Y_3)$$ $$= \boldsymbol{\Sigma}_{Y,11} + \boldsymbol{\Sigma}_{Y,33} - 2\boldsymbol{\Sigma}_{Y,13} = 45 + 45 - 2(27) = 90 - 54 = 36$$

Alternatif via $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y\mathbf{c}$ dengan $\mathbf{c} = (1, 0, -1)^T$:

$$\text{Var}(Y_1-Y_3) = (1,0,-1)\begin{pmatrix} 45 & 9 & 27 \\ 9 & 9 & -9 \\ 27 & -9 & 45 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix}$$ $$= (1,0,-1)\begin{pmatrix} 45-27 \\ 9+9 \\ 27-45 \end{pmatrix} = (1,0,-1)\begin{pmatrix} 18 \\ 18 \\ -18 \end{pmatrix} = 18 + 0 + 18 = 36 \checkmark$$

5. Verification

• $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ simetri: $(1,2)=(2,1)=9$; $(1,3)=(3,1)=27$; $(2,3)=(3,2)=-9$ ✓
• Semua entri diagonal $> 0$: $45, 9, 45 > 0$ ✓
• $\text{Var}(Y_1-Y_3) = 36 > 0$ ✓
• Korelasi $\rho_{Y_1Y_3} = 27/\sqrt{45 \cdot 45} = 27/45 = 3/5 \in [-1,1]$ ✓

▲Exam Tips — Soal B›

• Target waktu: 10–12 menit.
• Common trap — urutan perkalian: $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T \neq \mathbf{A}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$. Selalu: $\mathbf{A}$ di kiri, $\mathbf{A}^T$ di kanan. Lakukan dalam dua langkah: hitung $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ dulu (hasil $m \times n$), lalu kalikan dengan $\mathbf{A}^T$ ($n \times m$) untuk hasil $m \times m$.
• Cek dimensi sebelum mengalikan: $\mathbf{A}$ ($3\times2$) $\times$ $\boldsymbol{\Sigma}_X$ ($2\times2$) = $3\times2$; kemudian ($3\times2$) $\times$ $\mathbf{A}^T$ ($2\times3$) = $3\times3$. Dimensi yang tidak cocok langsung mengindikasikan kesalahan.
• Shortcut bagian (c): Begitu $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ tersedia, variansi kombinasi linear apa pun dari $Y_1, Y_2, Y_3$ bisa dibaca langsung — tidak perlu kembali ke $\mathbf{X}$ atau $\boldsymbol{\Sigma}_X$.

---

Soal C — Challenging

Misalkan $X_1, X_2, X_3$ adalah variabel acak dengan $E[X_i] = 0$ untuk semua $i$, dan matriks variansi-kovariansi:

$$\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Definisikan:

$$Y_1 = X_1 + X_2, \quad Y_2 = X_1 - X_2 + X_3, \quad Y_3 = X_2 - X_3$$

(a) Nyatakan transformasi $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}$ dan tentukan matriks $\mathbf{A}$. (b) Hitung $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$. (c) Tentukan $\text{Cov}(Y_1, Y_2)$ dan $\rho_{Y_1 Y_2}$ dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$. (d) Tentukan vektor $\mathbf{a} = (a_1, a_2, a_3)^T$ sedemikian sehingga $Z = \mathbf{a}^T\mathbf{Y}$ memiliki variansi minimum di antara semua $Z = \mathbf{a}^T\mathbf{Y}$ dengan syarat $a_1 + a_2 + a_3 = 1$.

✓Solusi Soal C›

1. Identifikasi Variabel

• $E[X_i] = 0$ untuk semua $i$, sehingga $\boldsymbol{\mu}_X = \mathbf{0}$ dan $\boldsymbol{\mu}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu}_X = \mathbf{0}$.
• Matriks $\mathbf{A}$ harus berukuran $3 \times 3$ (tiga output $Y_i$, tiga input $X_i$).

2. Identifikasi Distribusi / Model

• Soal transformasi linear penuh. Bagian (d) menggunakan optimasi dengan kendala linier — $\text{Var}(Z) = \mathbf{a}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y\mathbf{a}$ diminimalkan atas $\mathbf{a}^T\mathbf{1} = 1$.

3. Setup Persamaan

(a) Baca koefisien setiap $Y_i$ terhadap $(X_1, X_2, X_3)$:

4. Eksekusi Aljabar

(a) Matriks $\mathbf{A}$:

$Y_1 = 1 \cdot X_1 + 1 \cdot X_2 + 0 \cdot X_3$

$Y_2 = 1 \cdot X_1 - 1 \cdot X_2 + 1 \cdot X_3$

$Y_3 = 0 \cdot X_1 + 1 \cdot X_2 - 1 \cdot X_3$

$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$

(b) Hitung $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$:

Langkah 1 — $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$:

$$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & -1 \\ 0 & -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Baris 1: $(4+2,\ 2+5,\ 0-1) = (6,\ 7,\ -1)$

Baris 2: $(4-2+0,\ 2-5-1,\ 0+1+3) = (2,\ -4,\ 4)$

Baris 3: $(0+2-0,\ 0+5+1,\ 0-1-3) = (2,\ 6,\ -4)$

$$\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma} = \begin{pmatrix} 6 & 7 & -1 \\ 2 & -4 & 4 \\ 2 & 6 & -4 \end{pmatrix}$$

Langkah 2 — $(\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma})\mathbf{A}^T$:

$\mathbf{A}^T = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$

Entri $(1,1)$: $(6)(1)+(7)(1)+(-1)(0) = 6+7+0 = 13$

Entri $(1,2)$: $(6)(1)+(7)(-1)+(-1)(1) = 6-7-1 = -2$

Entri $(1,3)$: $(6)(0)+(7)(1)+(-1)(-1) = 0+7+1 = 8$

Entri $(2,1) = (1,2) = -2$ (simetri, verifikasi): $(2)(1)+(-4)(1)+(4)(0) = 2-4+0 = -2$ ✓

Entri $(2,2)$: $(2)(1)+(-4)(-1)+(4)(1) = 2+4+4 = 10$

Entri $(2,3)$: $(2)(0)+(-4)(1)+(4)(-1) = 0-4-4 = -8$

Entri $(3,3)$: $(2)(0)+(6)(1)+(-4)(-1) = 0+6+4 = 10$

$$\boldsymbol{\Sigma}_Y = \begin{pmatrix} 13 & -2 & 8 \\ -2 & 10 & -8 \\ 8 & -8 & 10 \end{pmatrix}$$

(c) $\text{Cov}(Y_1, Y_2)$ dan $\rho_{Y_1 Y_2}$:

Dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$: $\text{Cov}(Y_1, Y_2) = \boldsymbol{\Sigma}_{Y,12} = -2$

$\text{Var}(Y_1) = 13, \quad \text{Var}(Y_2) = 10$

$\rho_{Y_1 Y_2} = \frac{-2}{\sqrt{13 \cdot 10}} = \frac{-2}{\sqrt{130}} \approx \frac{-2}{11.40} \approx -0.175$

(d) Variansi minimum untuk $Z = \mathbf{a}^T\mathbf{Y}$ dengan $a_1 + a_2 + a_3 = 1$:

$\text{Var}(Z) = \mathbf{a}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y\mathbf{a}$. Minimalisasi dengan kendala $\mathbf{1}^T\mathbf{a} = 1$ menggunakan Lagrange:

Kondisi stasioner: $\boldsymbol{\Sigma}_Y\mathbf{a} = \lambda\mathbf{1}$, yaitu $\mathbf{a} = \lambda\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}$.

Dari kendala $\mathbf{1}^T\mathbf{a} = 1$: $\lambda = \dfrac{1}{\mathbf{1}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}}$.

Sehingga: $\mathbf{a}^* = \dfrac{\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}}{\mathbf{1}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}}$.

Untuk keperluan CF2, cukup verifikasi bahwa solusi berbentuk $\mathbf{a}^* \propto \boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}$. Jika soal memberikan $\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}$ atau $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ diagonal, perhitungan menjadi langsung.

Jika $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ diagonal (misal semua $Y_i$ tidak berkorelasi, $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \text{diag}(\sigma_{Y_1}^2, \sigma_{Y_2}^2, \sigma_{Y_3}^2)$), maka: $a_i^* = \frac{1/\sigma_{Y_i}^2}{\sum_j 1/\sigma_{Y_j}^2}$ — bobot proporsional terhadap kebalikan variansi (pemberi bobot yang lebih besar pada variabel dengan variansi lebih kecil).

5. Verification

• $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ simetri ✓
• Semua variansi $> 0$: $13, 10, 10 > 0$ ✓
• $\rho_{Y_1Y_2} \approx -0.175 \in [-1,1]$ ✓
• Variansi minimum solusi di (d) memberikan $\text{Var}(Z^*) = 1/(\mathbf{1}^T\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}\mathbf{1}) \leq \text{Var}(a_i Y_i)$ untuk semua $i$ dengan $a_i = 1$ ✓

▲Exam Tips — Soal C›

• Target waktu: 14–17 menit (soal panjang dengan perkalian matriks $3\times3$).
• Common trap — identifikasi $\mathbf{A}$: Baca baris per baris: baris $k$ dari $\mathbf{A}$ adalah koefisien $Y_k$ terhadap $(X_1, X_2, X_3)$. Kesalahan umum adalah menukar baris dan kolom.
• Strategi perkalian matriks: Hitung $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}$ dulu (satu tahap), simpan hasilnya, baru kalikan dengan $\mathbf{A}^T$. Cek simetri $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ setelah selesai — entri $(i,j)$ harus sama dengan $(j,i)$. Ketidaksimetrisan mengindikasikan kesalahan aritmetika.
• Bagian (d) merupakan materi batas silabus CF2 — di exam, soal jenis ini biasanya disederhanakan dengan memberikan matriks yang sudah diagonal atau dengan meminta rumus solusi, bukan komputasi $\boldsymbol{\Sigma}_Y^{-1}$ secara penuh.

Section 5 — Verifikasi & Sanity Check

✓Validasi Matriks Kovariansi›

• $\boldsymbol{\Sigma}$ harus simetri: $\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = \boldsymbol{\Sigma}_{ji}$ untuk semua $i \neq j$. Cek setiap pasangan entri di luar diagonal.
• Semua entri diagonal harus non-negatif: $\boldsymbol{\Sigma}_{ii} = \sigma_i^2 \geq 0$.
• Semua koefisien korelasi terimplikasi harus berada di $[-1, 1]$: $|\sigma_{ij}| \leq \sigma_i \sigma_j$ untuk semua $i \neq j$.

✓Validasi Hasil Transformasi Linear›

• $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ harus simetri — ini otomatis terpenuhi jika $\boldsymbol{\Sigma}$ simetri dan perhitungan benar.
• Dimensi: jika $\mathbf{A}$ berukuran $m \times n$, maka $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ berukuran $m \times m$.
• Semua variansi marginal hasil transformasi harus $\geq 0$: $(\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{ii} \geq 0$.

✓Cek Kasus Khusus›

• Jika $\mathbf{A} = \mathbf{I}$ (identitas): $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \boldsymbol{\Sigma}$ (transformasi identitas tidak mengubah kovariansi).
• Jika $\mathbf{A} = \mathbf{c}^T$ (vektor baris): $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$ adalah skalar — variansi kombinasi linear.
• Jika semua $X_i$ independen: $\boldsymbol{\Sigma} = \text{diag}(\sigma_1^2, \ldots, \sigma_n^2)$ dan $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\,\text{diag}(\sigma_i^2)\,\mathbf{A}^T = \sum_i \sigma_i^2 \mathbf{a}_i \mathbf{a}_i^T$ di mana $\mathbf{a}_i$ adalah kolom ke-$i$ dari $\mathbf{A}$.

Metode Alternatif

Menghitung entri $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ langsung tanpa perkalian matriks penuh:

Untuk $n$ dan $m$ kecil (seperti $2 \times 2$ atau $3 \times 3$), seringkali lebih cepat menghitung setiap entri $(\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kl} = \text{Cov}(Y_k, Y_l)$ secara langsung menggunakan bilinearitas kovariansi:

$(\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kl} = \text{Cov}\!\left(\sum_i a_{ki} X_i,\; \sum_j a_{lj} X_j\right) = \sum_i\sum_j a_{ki}\, a_{lj}\, \text{Cov}(X_i, X_j) = \sum_i\sum_j a_{ki}\, \boldsymbol{\Sigma}_{ij}\, a_{lj}$

Ini menghindari perkalian matriks formal dan lebih mudah dilakukan “di kepala” untuk kasus sederhana.

Membaca kovariansi dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$:

Begitu $\boldsymbol{\Sigma}_Y$ diperoleh, semua informasi kovarian tersedia: $\text{Var}(Y_k) = (\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kk}$, $\text{Cov}(Y_k, Y_l) = (\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kl}$, $\rho_{Y_kY_l} = (\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kl}/\sqrt{(\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{kk}(\boldsymbol{\Sigma}_Y)_{ll}}$.

Section 6 — Visualisasi Mental

$\boldsymbol{\Sigma}$ sebagai tabel kovariansi lengkap: Bayangkan matriks $\boldsymbol{\Sigma}$ sebagai tabel dua dimensi di mana baris dan kolom diberi label $X_1, \ldots, X_n$. Sel di persimpangan baris $i$ dan kolom $j$ berisi $\text{Cov}(X_i, X_j)$. Sel diagonal (persimpangan baris $i$ dan kolom $i$) berisi $\text{Var}(X_i)$. Tabel ini simetri cermin terhadap diagonal utama — entri atas kanan dan bawah kiri identik. Dengan satu “tatapan” ke tabel ini, semua informasi kovariansi tersedia.

Transformasi linear sebagai “rotasi dan skala” distribusi: Ketika $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}$, bayangkan matriks $\mathbf{A}$ sebagai operator yang meregangkan, memutar, atau merefleksikan “awan titik” distribusi $\mathbf{X}$ di ruang $\mathbb{R}^n$ menjadi distribusi baru $\mathbf{Y}$ di ruang $\mathbb{R}^m$. Transformasi ini mengubah bentuk awan titik (kovariansi), tetapi tidak mengubah lokasi pusat secara bebas (mean berubah sesuai $\mathbf{A}\boldsymbol{\mu} + \mathbf{b}$). Rumus $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ menggambarkan bagaimana “bentuk” awan titik berubah akibat transformasi linear.

Diagonal matriks kovariansi = “risiko individual”; entri luar diagonal = “risiko bersama”: Untuk portofolio risiko, entri diagonal $\sigma_i^2$ adalah risiko internal masing-masing sumber, sedangkan entri luar diagonal $\sigma_{ij}$ adalah kointerdependensi. Portofolio dengan kovariansi silang negatif memiliki diversifikasi yang baik — variansi total lebih kecil dari jumlah variansi individual.

Hubungan Visual ↔ Rumus

Diagonal matriks = variansi individual: $(\boldsymbol{\Sigma})_{ii} = \text{Var}(X_i) = \sigma_i^2 \longleftrightarrow \text{sel diagonal tabel}$

Entri luar diagonal = kovariansi berpasangan: $(\boldsymbol{\Sigma})_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j) = \sigma_{ij} \longleftrightarrow \text{sel luar diagonal (simetri: } \sigma_{ij} = \sigma_{ji})$

Variansi portofolio via kuadratik: $\text{Var}(\mathbf{c}^T\mathbf{X}) = \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c} = \sum_i\sum_j c_i\,\sigma_{ij}\,c_j \longleftrightarrow \text{penjumlahan semua sel terbobot } c_ic_j$

Section 7 — Jebakan Umum

⬡Kesalahan Parametrisasi›

Kesalahan Urutan dalam Rumus Transformasi:

Salah: $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}$

Benar: $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$

Mnemonic: bayangkan $\boldsymbol{\Sigma}$ “diapit” oleh $\mathbf{A}$ dari kiri dan $\mathbf{A}^T$ dari kanan — transpos ada di kanan. Untuk verifikasi: cek dimensi — $\mathbf{A}$ ($m\times n$) $\cdot$ $\boldsymbol{\Sigma}$ ($n\times n$) $\cdot$ $\mathbf{A}^T$ ($n\times m$) = $m \times m$ ✓; sedangkan $\mathbf{A}^T$ ($n\times m$) $\cdot$ $\boldsymbol{\Sigma}$ ($n\times n$) gagal karena dimensi tidak cocok ($m \neq n$ umumnya).

⬡Kesalahan Konseptual›

1. Mengira vektor konstanta $\mathbf{b}$ mempengaruhi matriks kovariansi. $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ — $\mathbf{b}$ tidak muncul. Hanya mean yang dipengaruhi: $E[\mathbf{A}\mathbf{X}+\mathbf{b}] = \mathbf{A}\boldsymbol{\mu}+\mathbf{b}$.
2. Mengira $\boldsymbol{\Sigma}$ selalu dapat diinvers. Jika ada kombinasi linear deterministik antar komponen (misal $X_3 = X_1 + X_2$ hampir pasti), maka $\det(\boldsymbol{\Sigma}) = 0$ dan invers tidak ada. Soal CF2 yang baik biasanya menghindari ini, tetapi perlu waspada.
3. Tidak memeriksa konsistensi saat mengonstruksi $\boldsymbol{\Sigma}$ dari data yang diberikan. Setiap $\sigma_{ij}$ yang diberikan harus memenuhi $|\sigma_{ij}| \leq \sigma_i \sigma_j$ — melanggar ini menghasilkan matriks yang bukan positif semi-definitif dan bukan matriks kovariansi yang valid.
4. Mencampur notasi baris dan kolom untuk vektor. Dalam $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$, $\mathbf{c}$ harus vektor kolom ($n \times 1$) dan $\mathbf{c}^T$ adalah vektor baris ($1 \times n$). Urutan yang salah menghasilkan dimensi yang tidak cocok.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Variansi dari $a_1X_1 + a_2X_2 + a_3X_3$” → gunakan $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$ dengan $\mathbf{c} = (a_1, a_2, a_3)^T$; jangan lupa suku kovariansi silang $2a_ia_j\sigma_{ij}$.
• “Matriks kovariansi dari $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X}$” → selalu $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X\mathbf{A}^T$; $\mathbf{A}$ mengapit $\boldsymbol{\Sigma}$ dari kedua sisi.
• “Tuliskan $\boldsymbol{\Sigma}$” → matriks simetri $n \times n$; entri diagonal = variansi; entri $(i,j)$ untuk $i \neq j$ = $\text{Cov}(X_i, X_j)$.
• “Apakah $\boldsymbol{\Sigma}$ valid?” → cek: semua diagonal $\geq 0$; semua $|\rho_{ij}| \leq 1$; untuk matriks $2\times2$: $\det(\boldsymbol{\Sigma}) = \sigma_1^2\sigma_2^2 - \sigma_{12}^2 \geq 0$.

▲Red Flags›

• Soal memberikan koefisien korelasi yang mendekati $\pm 1$: Perlu waspada terhadap matriks singular atau hampir singular — cek determinan.
• Matriks $\mathbf{A}$ diberikan tanpa informasi dimensi: Selalu identifikasi ukuran $\mathbf{X}$ (berapa komponen) dan $\mathbf{Y}$ (berapa komponen) sebelum menentukan ukuran $\mathbf{A}$.
• Soal meminta $\text{Var}$ penjumlahan banyak variabel acak dari $\boldsymbol{\Sigma}$: Gunakan $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$ — lebih sistematis dan mengurangi risiko melewatkan suku kovariansi silang.
• Soal meminta “matriks korelasi”: Ingat bahwa diagonal matriks korelasi $\mathbf{R}$ selalu = 1, bukan $\sigma_i^2$. Normalisasi setiap entri: $R_{ij} = \sigma_{ij}/(\sigma_i\sigma_j)$.

Section 8 — Ringkasan Eksekutif

≡Must-Remember›

1. Definisi matriks kovariansi — entri $(i,j)$: $\boldsymbol{\Sigma}_{ij} = \text{Cov}(X_i, X_j); \quad \boldsymbol{\Sigma}_{ii} = \text{Var}(X_i) = \sigma_i^2$
2. Rumus komputasional $\boldsymbol{\Sigma}$: $\boldsymbol{\Sigma} = E[\mathbf{X}\mathbf{X}^T] - \boldsymbol{\mu}\boldsymbol{\mu}^T$
3. Transformasi linear — rumus inti topik ini (hafal urutan $\mathbf{A}$ kiri, $\mathbf{A}^T$ kanan): $\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}) = \mathbf{A}\,\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{A}^T$
4. Variansi kombinasi linear skalar: $\text{Var}(\mathbf{c}^T\mathbf{X}) = \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\,\mathbf{c} \geq 0$
5. Sifat wajib $\boldsymbol{\Sigma}$: simetri dan positif semi-definitif: $\boldsymbol{\Sigma} = \boldsymbol{\Sigma}^T \quad \text{dan} \quad \mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c} \geq 0 \;\forall\, \mathbf{c} \in \mathbb{R}^n$

Kapan Digunakan

• Trigger keywords: “matriks kovariansi”, “vektor acak”, “transformasi linear vektor acak”, “variansi portofolio”, “matriks korelasi”, "$\boldsymbol{\Sigma}$", "$\text{Var}(\mathbf{A}\mathbf{X})$", “kombinasi linear banyak variabel”.
• Tipe skenario soal:
  • Diberikan variansi dan kovariansi individual; konstruksi $\boldsymbol{\Sigma}$ dan $\mathbf{R}$.
  • Diberikan $\boldsymbol{\Sigma}_X$ dan matriks $\mathbf{A}$; hitung $\boldsymbol{\Sigma}_Y = \mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}_X\mathbf{A}^T$.
  • Hitung variansi kombinasi linear skalar $\mathbf{c}^T\mathbf{X}$ menggunakan $\mathbf{c}^T\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{c}$.
  • Baca kovariansi dan korelasi antar komponen $\mathbf{Y}$ dari $\boldsymbol{\Sigma}_Y$.
  • Verifikasi apakah matriks yang diberikan adalah matriks kovariansi yang valid.

Kapan TIDAK Boleh Digunakan

• Jika hanya ada dua variabel acak: Gunakan langsung rumus skalar dari 3.5 Independensi dan Korelasi — notasi matriks tidak diperlukan dan akan memperlambat.
• Jika soal meminta probabilitas atau distribusi dari $\mathbf{Y}$: Matriks kovariansi hanya memberikan informasi momen orde dua — tidak cukup untuk menentukan distribusi penuh kecuali distribusi spesifik (seperti normal multivariat) diasumsikan.
• Jika transformasi bukan linear: Rumus $\mathbf{A}\boldsymbol{\Sigma}\mathbf{A}^T$ hanya berlaku untuk transformasi linear $\mathbf{Y} = \mathbf{A}\mathbf{X} + \mathbf{b}$. Untuk transformasi non-linear, perlu teknik lain (delta method, simulasi, dll.) yang di luar silabus CF2.

Quick Decision Tree

graph TD
    A["Vektor acak X dengan kovariansi diketahui"] --> B["Apa yang diminta?"]
    B --> C["Konstruksi Sigma dari data yang diberikan"]
    B --> D["Var dari kombinasi linear skalar c^T X"]
    B --> E["Matriks kovariansi Sigma_Y untuk Y = AX + b"]
    B --> F["Matriks korelasi R"]
    C --> G["Isi diagonal dengan Var(Xi)<br>Isi luar diagonal dengan Cov(Xi, Xj)<br>Pastikan simetri"]
    D --> H["Var(c^T X) = c^T Sigma c<br>Hitung Sigma c dulu lalu kalikan c^T"]
    E --> I["Langkah 1: Hitung A*Sigma (m x n)<br>Langkah 2: Kalikan dengan A^T (n x m)<br>Hasil: Sigma_Y (m x m)"]
    I --> J["Cek: Sigma_Y harus simetri<br>dan semua diagonal >= 0"]
    F --> K["R_ij = Sigma_ij / (sigma_i * sigma_j)<br>Diagonal R selalu = 1"]

---

❝Follow-up Options›

1. “Tunjukkan hubungan matriks kovariansi dengan dekomposisi spektral (eigenvalue/eigenvector) dalam konteks PCA”
2. “Jelaskan hubungan 3.6 Matriks Variansi-Kovariansi dengan 3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan untuk transformasi non-linear”
3. “Buat flashcard 1-halaman untuk topik ini”

📖 Ref: Hogg-McKean-Craig (2019) Bab 2.4–2.6; Miller et al. (2014) Bab 4.6–4.9 | 🗓️ 2026-02-21 | #CF2 #Multivariat #MatriksVariansiKovariansi #CovarianceMatrix #TransformasiLinear #VektorAcak #PositifSemiDefinit