CF2 Periode April 2022

No. 1

Sebuah kotak terdiri atas $30$ bola merah dan $70$ bola hijau.

Tentukan probabilitas peluang terambilnya $8$ bola merah tepat dalam sampel berukuran $20$, jika pengambilan sampel dilakukan tanpa pengembalian (pengulangan tidak diperbolehkan).

a. $0{,}12$
b. $0{,}24$
c. $0{,}36$
d. $0{,}48$
e. $0{,}6$

≡Jawaban No. 1›

(a). $0{,}12$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.2–1.4

ℹRumus›

Distribusi Hipergeometrik: sampling tanpa pengembalian dari populasi dengan dua kategori.

$$P[X=k] = \frac{\dbinom{K}{k}\dbinom{N-K}{n-k}}{\dbinom{N}{n}}$$

$N$ = total populasi, $K$ = jumlah “sukses” dalam populasi, $n$ = ukuran sampel, $k$ = jumlah “sukses” dalam sampel.

Diketahui:

• $N = 100$ bola total: $K = 30$ bola merah, $N-K = 70$ bola hijau

• $n = 20$ sampel diambil tanpa pengembalian

• Target: $P[X = 8]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Verifikasi Model

Pengambilan tanpa pengembalian dari populasi terbatas dengan dua kategori (merah/hijau) → Hipergeometrik.

Langkah 2: Hitung Probabilitas

$$P[X=8] = \frac{\dbinom{30}{8}\dbinom{70}{12}}{\dbinom{100}{20}}$$

Secara numerik (menggunakan kalkulator/tabel):

$$P[X=8] \approx 0{,}116 \approx \mathbf{0{,}12}$$

Hasil Akhir: (a). $0{,}12$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan Binomial dengan $p = 30/100 = 0{,}3$ — Binomial berlaku untuk sampling dengan pengembalian. Karena populasi terbatas dan pengambilan tanpa pengembalian, gunakan Hipergeometrik.
• Salah menghitung $\binom{100}{20}$ — manfaatkan simetri atau kalkulator.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• ”$8$ bola merah tepat” berarti $k = 8$, bukan $k \geq 8$.

▲Red Flags›

• “Tanpa pengembalian” + populasi terbatas → selalu Hipergeometrik, bukan Binomial.

---

No. 2

Perusahaan asuransi membayar klaim rumah sakit. Jumlah klaim yang berisikan biaya IGD atau biaya operasi adalah $85\%$ dari total jumlah klaim. Jumlah klaim yang tidak termasuk biaya IGD adalah $25\%$ dari total jumlah klaim. Terjadinya biaya IGD tidak tergantung pada terjadinya biaya operasi pada klaim rumah sakit.

Tentukan probabilitas bahwa klaim yang diajukan ke perusahaan asuransi termasuk biaya operasi.

a. $0{,}8$
b. $0{,}4$
c. $0{,}25$
d. $0{,}2$
e. $0{,}1$

≡Jawaban No. 2›

(b). $0{,}4$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.5 Kejadian Independen
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.3; Miller Bab 2

ℹRumus›

Inklusi-Eksklusi untuk dua kejadian:

$$P[A \cup B] = P[A] + P[B] - P[A \cap B]$$

Independensi: $P[A \cap B] = P[A] \cdot P[B]$

Diketahui:

• $P[I \cup O] = 0{,}85$ (IGD atau Operasi)

• $P[I^c] = 0{,}25$ → $P[I] = 0{,}75$ (biaya IGD)

• $I$ dan $O$ independen

• Target: $P[O]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan Independensi ke Inklusi-Eksklusi

Karena $I \perp O$:

$$P[I \cup O] = P[I] + P[O] - P[I]\cdot P[O]$$ $$0{,}85 = 0{,}75 + P[O] - 0{,}75\,P[O]$$

Langkah 2: Selesaikan untuk $P[O]$

$$0{,}85 - 0{,}75 = P[O](1 - 0{,}75) = 0{,}25\,P[O]$$ $$P[O] = \frac{0{,}10}{0{,}25} = 0{,}4$$

Hasil Akhir: (b). $0{,}4$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengabaikan syarat independensi dan menggunakan $P[I \cap O] = 0$ (saling eksklusif) — dua kejadian independen tidak berarti saling eksklusif.
• Mengira $P[O] = P[I \cup O] - P[I] = 0{,}10$ (mengabaikan irisan).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Tidak termasuk biaya IGD” = $P[I^c] = 0{,}25$, bukan $P[I] = 0{,}25$.

▲Red Flags›

• Independen ≠ saling eksklusif. Gunakan $P[I \cap O] = P[I] \cdot P[O]$ untuk kejadian independen.

---

No. 3

Seorang aktuaris sedang mempelajari tiga penyakit, dilambangkan dengan $A$, $B$, dan $C$. Untuk masing-masing dari ketiga penyakit tersebut, probabilitasnya adalah $0{,}1$ bahwa seseorang dalam populasi hanya memiliki penyakit tersebut (dan tidak ada penyakit lain). Untuk setiap dua dari tiga penyakit, probabilitasnya adalah $0{,}12$ bahwa dia memiliki tepat dua penyakit tersebut. Probabilitas bahwa seseorang memiliki ketiga penyakit, dengan diketahui bahwa dia memiliki $A$ dan $B$ adalah $\dfrac{1}{3}$.

Tentukan probabilitas bahwa seseorang tidak memiliki salah satu dari ketiga penyakit tersebut, dengan diketahui dia tidak memiliki penyakit $A$.

a. $0{,}280$
b. $0{,}311$
c. $0{,}467$
d. $0{,}584$
e. $0{,}700$

≡Jawaban No. 3›

(c). $0{,}467$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.4 Probabilitas Bersyarat
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas, 1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Connected Topics	1.3 Metode Enumerasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

ℹRumus›

Inklusi-Eksklusi tiga kejadian:

$$P[A \cup B \cup C] = \sum P[A_i] - \sum P[A_i \cap A_j] + P[A \cap B \cap C]$$

Probabilitas bersyarat: $P[\text{Tidak ada} \mid A^c] = \dfrac{P[\text{Tidak ada}]}{P[A^c]}$

Diketahui:

• $$P[\text{hanya } A] = P[\text{hanya } B] = P[\text{hanya } C] = 0{,}1$$
• $$P[\text{tepat } A \cap B] = P[\text{tepat } A \cap C] = P[\text{tepat } B \cap C] = 0{,}12$$
• $$P[A \cap B \cap C \mid A \cap B] = \dfrac{1}{3}$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $P[A \cap B \cap C]$

Misalkan $r = P[A \cap B]$ dan $s = P[A \cap B \cap C]$.

“Tepat $A$ dan $B$” (tanpa $C$) $= P[A \cap B] - P[A \cap B \cap C] = r - s = 0{,}12$

$P[A \cap B \cap C \mid A \cap B] = \dfrac{s}{r} = \dfrac{1}{3}$, sehingga $s = \dfrac{r}{3}$

Substitusi: $r - \dfrac{r}{3} = \dfrac{2r}{3} = 0{,}12 \implies r = 0{,}18$, $s = 0{,}06$

Langkah 2: Cari $P[A]$

$$P[A] = P[\text{hanya }A] + P[\text{tepat }AB] + P[\text{tepat }AC] + P[ABC]$$ $$= 0{,}1 + 0{,}12 + 0{,}12 + 0{,}06 = 0{,}40$$

Langkah 3: Cari $P[A \cup B \cup C]$

$$P[A \cup B \cup C] = 3(0{,}40) - 3(0{,}18) + 0{,}06 = 1{,}20 - 0{,}54 + 0{,}06 = 0{,}72$$

Langkah 4: Cari $P[\text{Tidak ada penyakit}]$

$$P[\text{Tidak ada}] = 1 - 0{,}72 = 0{,}28$$

Langkah 5: Terapkan Probabilitas Bersyarat

$$P[A^c] = 1 - P[A] = 1 - 0{,}40 = 0{,}60$$

Peristiwa “tidak ada penyakit” $\subseteq A^c$, sehingga:

$$P[\text{Tidak ada} \mid A^c] = \frac{P[\text{Tidak ada}]}{P[A^c]} = \frac{0{,}28}{0{,}60} = \frac{7}{15} \approx 0{,}467$$

Hasil Akhir: (c). $0{,}467$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $P[A] = 0{,}1$ (hanya yang “hanya A”) — $P[A]$ mencakup semua kasus: hanya A, tepat AB, tepat AC, dan ABC.
• Lupa bahwa “tepat dua penyakit” $= P[A \cap B] - P[A \cap B \cap C]$, bukan $P[A \cap B]$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Tidak memiliki salah satu dari ketiga” = tidak memiliki A, B, maupun C = komplemen dari $A \cup B \cup C$.

▲Red Flags›

• Soal tipe “tepat $k$ dari $n$ kejadian” → bangun tabel probabilitas regional secara hati-hati sebelum menerapkan inklusi-eksklusi.

---

No. 4

Diberikan moment generating function untuk fungsi gabungan dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$$M_{X,Y}(t_1, t_2) = \frac{1}{3(1-t_2)} + \frac{2}{3}e^{t_1} \times \frac{2}{(2-t_2)}, \quad \text{untuk } t_2 < 1$$

Tentukan $\text{Var}[X]$.

a. $\dfrac{1}{18}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{6}$
d. $\dfrac{2}{9}$
e. $\dfrac{2}{3}$

≡Jawaban No. 4›

(d). $\dfrac{2}{9}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.3 Fungsi Pembangkit, 3.7 Distribusi Majemuk
Connected Topics	3.2 Distribusi Marginal
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 4.4

ℹRumus›

MGF marginal $X$: $M_X(t_1) = M_{X,Y}(t_1, 0)$

Momen dari MGF: $E[X] = M_X'(0)$, $E[X^2] = M_X''(0)$

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2$$

Diketahui:

• $$M_{X,Y}(t_1,t_2) = \dfrac{1}{3(1-t_2)} + \dfrac{2}{3}e^{t_1}\cdot\dfrac{2}{2-t_2}$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Struktur MGF

Tulis MGF dalam bentuk:

$$M_{X,Y}(t_1,t_2) = \frac{1}{3} \cdot \underbrace{e^{0 \cdot t_1}}_{X=0} \cdot \underbrace{\frac{1}{1-t_2}}_{Y \sim \text{Exp}(1)} + \frac{2}{3} \cdot \underbrace{e^{t_1}}_{X=1} \cdot \underbrace{\frac{2}{2-t_2}}_{Y \sim \text{Exp}(2)}$$

Ini adalah distribusi campuran: dengan probabilitas $\frac{1}{3}$, $(X,Y) = (0,\; Y_1)$ dengan $Y_1 \sim \text{Exp}(1)$; dengan probabilitas $\frac{2}{3}$, $(X,Y) = (1,\; Y_2)$ dengan $Y_2 \sim \text{Exp}(2)$.

Langkah 2: Distribusi Marginal $X$

$X$ adalah variabel Bernoulli: $P[X=0] = \frac{1}{3}$, $P[X=1] = \frac{2}{3}$.

Langkah 3: Hitung $E[X]$ dan $E[X^2]$

$$E[X] = 0 \cdot \frac{1}{3} + 1 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$ $$E[X^2] = 0^2 \cdot \frac{1}{3} + 1^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$$

Langkah 4: Hitung Variansi

$$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = \frac{2}{3} - \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{2}{3} - \frac{4}{9} = \frac{6}{9} - \frac{4}{9} = \frac{2}{9}$$

Hasil Akhir: (d). $\dfrac{2}{9}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung variansi $Y$ bukan variansi $X$ — soal menanyakan $\text{Var}[X]$.
• Menggunakan turunan MGF bersama secara langsung tanpa memisahkan marginal $X$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• MGF bersama ini adalah campuran dua komponen; faktor $e^{t_1}$ dan $e^{0 \cdot t_1}$ mencerminkan $X=1$ dan $X=0$.

▲Red Flags›

• Jika MGF berbentuk penjumlahan terbobot $\sum w_i \cdot M_{X_i}(t)$, ini distribusi campuran — identifikasi bobot dan komponen sebelum menghitung momen.

---

No. 5

Misalkan $X$ menyatakan status kesehatan seseorang ($0$ = tidak terkena kanker, $1$ = terkena kanker) dan $Y$ menyatakan hasil diagnosa pada orang tersebut ($0$ = hasil negatif, $1$ = hasil positif). Diketahui fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$P[X=0, Y=0] = 0{,}77 \qquad P[X=1, Y=0] = 0{,}2$ $P[X=0, Y=1] = 0{,}01 \qquad P[X=1, Y=1] = 0{,}02$

Tentukan $\text{Var}(Y \mid X = 1)$.

a. $0{,}08$
b. $0{,}13$
c. $0{,}17$
d. $0{,}2$
e. $0{,}25$

≡Jawaban No. 5›

(a). $0{,}08$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Easy
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

$$P[Y=y \mid X=1] = \frac{P[X=1, Y=y]}{P[X=1]}$$ $$\text{Var}(Y \mid X=1) = E[Y^2 \mid X=1] - (E[Y \mid X=1])^2$$

Diketahui:

• $P[X=1, Y=0] = 0{,}2$; $P[X=1, Y=1] = 0{,}02$

• Target: $\text{Var}(Y \mid X=1)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P[X=1]$

$$P[X=1] = P[X=1, Y=0] + P[X=1, Y=1] = 0{,}2 + 0{,}02 = 0{,}22$$

Langkah 2: Distribusi Bersyarat $Y \mid X=1$

$$P[Y=0 \mid X=1] = \frac{0{,}2}{0{,}22} = \frac{10}{11}$$ $$P[Y=1 \mid X=1] = \frac{0{,}02}{0{,}22} = \frac{1}{11}$$

Langkah 3: Hitung $E[Y \mid X=1]$

$$E[Y \mid X=1] = 0 \cdot \frac{10}{11} + 1 \cdot \frac{1}{11} = \frac{1}{11}$$

Langkah 4: Hitung $E[Y^2 \mid X=1]$

Karena $Y \in \{0,1\}$: $Y^2 = Y$, sehingga $E[Y^2 \mid X=1] = \dfrac{1}{11}$.

Langkah 5: Hitung Variansi Bersyarat

$$\text{Var}(Y \mid X=1) = \frac{1}{11} - \left(\frac{1}{11}\right)^2 = \frac{1}{11}\left(1 - \frac{1}{11}\right) = \frac{1}{11} \cdot \frac{10}{11} = \frac{10}{121} \approx 0{,}0826 \approx 0{,}08$$

Hasil Akhir: (a). $0{,}08$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $P[X=1] = 1$ — ini bukan kondisi “diberikan bahwa $X=1$” dalam arti probabilitas, melainkan kita perlu menormalisasi distribusi bersama.
• Untuk $Y \in \{0,1\}$ (Bernoulli): $\text{Var}(Y) = p(1-p)$ di mana $p = P[Y=1]$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menggunakan $P[X=1] = 0{,}02$ saja (hanya satu baris) — harus jumlahkan semua nilai $Y$ untuk mendapat $P[X=1]$.

▲Red Flags›

• Variansi Bernoulli$(p)$ $= p(1-p)$: di sini $p = 1/11$ sehingga $\text{Var} = \frac{10}{121} \approx 0{,}083$.

---

No. 6

Misalkan terdapat variabel acak $X$ yang berdistribusi eksponensial sedemikian sehingga $P[X \leq 2] = 2\, P[X > 4]$.

Tentukan $\text{Var}[X]$.

a. $\dfrac{2}{\ln 2}$
b. $\dfrac{2}{(\ln 2)^2}$
c. $\dfrac{4}{\ln 2}$
d. $\dfrac{4}{(\ln 2)^2}$
e. $\dfrac{4}{\ln 4}$

≡Jawaban No. 6›

(d). $\dfrac{4}{(\ln 2)^2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.3 Fungsi Pembangkit
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2; Miller Bab 5.3

ℹRumus›

$X \sim \text{Exp}(\lambda)$ (rate $\lambda > 0$):

$$P[X \leq t] = 1 - e^{-\lambda t}, \qquad P[X > t] = e^{-\lambda t}$$ $$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2}$$

Diketahui:

• $$X \sim \text{Exp}(\lambda)$$

• Syarat: $P[X \leq 2] = 2\,P[X > 4]$

• Target: $\text{Var}(X)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nyatakan Syarat dalam $\lambda$

$$1 - e^{-2\lambda} = 2\,e^{-4\lambda}$$

Langkah 2: Substitusi $u = e^{-2\lambda}$ ($0 < u < 1$)

$$1 - u = 2u^2 \implies 2u^2 + u - 1 = 0 \implies (2u - 1)(u + 1) = 0$$

Karena $u > 0$: $u = \dfrac{1}{2}$

Langkah 3: Cari $\lambda$

$$e^{-2\lambda} = \frac{1}{2} \implies -2\lambda = \ln\frac{1}{2} = -\ln 2 \implies \lambda = \frac{\ln 2}{2}$$

Langkah 4: Hitung Variansi

$$\text{Var}(X) = \frac{1}{\lambda^2} = \frac{1}{(\ln 2/2)^2} = \frac{4}{(\ln 2)^2}$$

Hasil Akhir: (d). $\dfrac{4}{(\ln 2)^2}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengacaukan koefisien: soal ini memakai $2\,P[X>4]$ (koefisien 2), sehingga persamaan kuadrat menjadi $2u^2+u-1=0$ → $u=1/2$ → $\lambda=\ln2/2$ → Var $= 4/(\ln2)^2$.
• Bandingkan dengan soal Agustus 2022 yang koefisiennya $\frac{1}{2}P[X>4]$ → $u^2+2u-2=0$ → $\lambda \approx \ln2$ → Var $\approx 1/(\ln2)^2$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira persamaan adalah $P[X \leq 2] = 2\,P[X \leq 4]$ — perhatikan $P[X > 4]$ (ekor kanan), bukan $P[X \leq 4]$.

▲Red Flags›

• Substitusi $u = e^{-2\lambda}$ mengubah persamaan transendental menjadi polinomial kuadrat — teknik standar untuk distribusi Eksponensial.

---

No. 7

Jika $E_1, E_2, E_3$ merupakan kejadian dimana $P[E_i]$ dilambangkan sebagai peluang terjadinya kejadian $E_i$. Diketahui juga bahwa:

$P[E_1 | E_2] = P[E_2 | E_3] = P[E_3 | E_2] = p$ $P[E_1 \cap E_2] = P[E_2 \cap E_3] = P[E_3 \cap E_1] = r$ $P[E_1 \cap E_2 \cap E_3] = s$

Tentukan probabilitas bahwa setidaknya satu dari ketiga kejadian tersebut terjadi.

a. $\dfrac{3r}{p} - 3r + s$
b. $\dfrac{3p}{r} - r + s$
c. $1 - \dfrac{r^3}{p^3}$
d. $\dfrac{3p}{r} - 6r + s$
e. $\dfrac{3r}{p} - r + s$

≡Jawaban No. 7›

(a). $\dfrac{3r}{p} - 3r + s$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	1.3 Metode Enumerasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.1–1.3; Miller Bab 2

ℹRumus›

Inklusi-Eksklusi tiga kejadian:

$$P[E_1 \cup E_2 \cup E_3] = \sum_{i} P[E_i] - \sum_{i<j} P[E_i \cap E_j] + P[E_1 \cap E_2 \cap E_3]$$

Dari definisi probabilitas bersyarat: $P[E_1 \cap E_2] = P[E_1 | E_2] \cdot P[E_2]$ → $P[E_2] = \dfrac{r}{p}$

Diketahui:

• $P[E_i \mid E_j] = p$ untuk setiap pasangan yang disebutkan

• $P[E_i \cap E_j] = r$ untuk setiap pasangan

• $$P[E_1 \cap E_2 \cap E_3] = s$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $P[E_i]$ dari Definisi Bersyarat

$$P[E_1 \mid E_2] = \frac{P[E_1 \cap E_2]}{P[E_2]} = \frac{r}{P[E_2]} = p \implies P[E_2] = \frac{r}{p}$$

Demikian pula: $P[E_1] = P[E_2] = P[E_3] = \dfrac{r}{p}$ (simetri kondisi yang diberikan).

Langkah 2: Terapkan Inklusi-Eksklusi

$$P[E_1 \cup E_2 \cup E_3] = 3 \cdot \frac{r}{p} - 3r + s = \frac{3r}{p} - 3r + s$$

Hasil Akhir: (a). $\dfrac{3r}{p} - 3r + s$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $P[E_i] = p$ — $p$ adalah probabilitas bersyarat, bukan marginal. Marginal $P[E_i] = r/p$.
• Lupa mengurangkan $\sum P[E_i \cap E_j] = 3r$ dan menambahkan $P[E_1 \cap E_2 \cap E_3] = s$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Soal memberikan $P[E_3 \mid E_2] = p$ (dan $P[E_2 \mid E_3] = p$), yang konsisten dengan $P[E_2 \cap E_3] = r$.

▲Red Flags›

• Selalu bedakan probabilitas bersyarat ($p = r/P[E_j]$) dengan probabilitas marginal ($P[E_i] = r/p$).

---

No. 8

Misalkan terdapat variabel acak $X$ yang berdistribusi normal sedemikian sehingga $P[X < 500] = 0{,}5$ dan $P[X > 650] = 0{,}0228$.

Tentukan standar deviasi dari $X$.

a. $75$
b. $150$
c. $300$
d. $5{.}625$
e. $2{.}500$

≡Jawaban No. 8›

(a). $75$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	4.3 Teorema Limit Pusat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.4; Miller Bab 6

ℹRumus›

$X \sim N(\mu, \sigma^2)$; standarisasi: $Z = \dfrac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$

Nilai standar: $\Phi(2) = 0{,}9772 \implies P[Z > 2] = 0{,}0228$

Diketahui:

• $P[X < 500] = 0{,}5$ → $\mu = 500$ (median = mean untuk distribusi Normal)

• $$P[X > 650] = 0{,}0228$$

• Target: $\sigma$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan $\mu$

$P[X < 500] = 0{,}5$ → titik $500$ adalah median = mean, sehingga $\mu = 500$.

Langkah 2: Standarisasi Syarat Kedua

$$P[X > 650] = P\!\left[Z > \frac{650 - 500}{\sigma}\right] = P\!\left[Z > \frac{150}{\sigma}\right] = 0{,}0228$$

Langkah 3: Identifikasi Nilai $z$

Dari tabel normal: $P[Z > 2] = 0{,}0228$, sehingga:

$$\frac{150}{\sigma} = 2 \implies \sigma = \frac{150}{2} = 75$$

Hasil Akhir: (a). $75$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengabaikan bahwa $P[X<500] = 0{,}5$ langsung menyatakan $\mu = 500$ — tidak perlu diasumsikan.
• Menggunakan $z = 1{,}96$ (dua sisi 5%) alih-alih $z = 2$ (satu sisi 2{,}28%).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Standar deviasi $\sigma$ bukan variansi $\sigma^2$ — jawaban adalah $75$, bukan $5{.}625$.

▲Red Flags›

• $P[Z > 2] = 0{,}0228$: nilai standar yang wajib hafal ($\Phi(2) = 0{,}9772$).

---

No. 9

Ketika suatu bencana terjadi, sebuah perusahaan asuransi melakukan estimasi klaim awal $X$, sebagai perkiraan besaran klaim yang akan diberikan. Akan tetapi ketika proses klaim telah diselesaikan, perusahaan asuransi akhirnya membayar klaim sebesar $Y$ kepada tertanggung. Jika fungsi densitas bersama dari $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$$f(x, y) = \frac{2}{x^2(x-1)}\, y^{-(2x-1)/(x-1)}, \quad x > 1,\ y > 1$$

Diberikan bahwa estimasi klaim awal yang diperkirakan sebesar $2$, tentukan probabilitas bahwa besar klaim yang dibayarkan berada di antara $1$ dan $3$.

a. $\dfrac{1}{9}$
b. $\dfrac{6}{9}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{2}{3}$
e. $\dfrac{8}{9}$

≡Jawaban No. 9›

(e). $\dfrac{8}{9}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics	2.2 Variabel Acak Kontinu
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

Distribusi bersyarat: $f_{Y|X}(y \mid x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$

$$P[1 < Y < 3 \mid X=2] = \int_1^3 f_{Y|X}(y \mid 2)\,dy$$

Diketahui:

• $f(x,y) = \dfrac{2}{x^2(x-1)}\,y^{-(2x-1)/(x-1)}$ untuk $x>1$, $y>1$

• Kondisi: $X = 2$

• Target: $P[1 < Y < 3 \mid X=2]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Substitusi $x = 2$

Eksponen $Y$: $-\dfrac{2(2)-1}{2-1} = -\dfrac{3}{1} = -3$

Konstanta: $\dfrac{2}{2^2(2-1)} = \dfrac{2}{4} = \dfrac{1}{2}$

$$f(2, y) = \frac{1}{2}\,y^{-3}, \quad y > 1$$

Langkah 2: Hitung Marginal $f_X(2)$

$$f_X(2) = \int_1^{\infty} \frac{1}{2}\,y^{-3}\,dy = \frac{1}{2}\left[-\frac{1}{2y^2}\right]_1^{\infty} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$$

Langkah 3: Distribusi Bersyarat $f_{Y|X}(y \mid 2)$

$$f_{Y|X}(y \mid 2) = \frac{f(2,y)}{f_X(2)} = \frac{\frac{1}{2}y^{-3}}{\frac{1}{4}} = 2\,y^{-3}, \quad y > 1$$

Langkah 4: Hitung Probabilitas

$$P[1 < Y < 3 \mid X=2] = \int_1^3 2\,y^{-3}\,dy = 2\left[-\frac{1}{2y^2}\right]_1^3 = \left[-\frac{1}{y^2}\right]_1^3 = -\frac{1}{9} + 1 = \frac{8}{9}$$

Hasil Akhir: (e). $\dfrac{8}{9}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengintegrasikan $f(2,y)$ langsung tanpa normalisasi — $f(2,y)$ bukan PDF bersyarat; harus dibagi $f_X(2)$.
• Salah menghitung eksponen: $-(2 \cdot 2 - 1)/(2-1) = -3/1 = -3$, bukan $-5$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Diberikan $X=2$” → gunakan distribusi bersyarat $f_{Y|X}(y|2)$, bukan $f(x,y)$ langsung.

▲Red Flags›

• Selalu normalisasi untuk mendapatkan distribusi bersyarat: $f_{Y|X}(y|x) = f(x,y)/f_X(x)$.

---

No. 10

Misalkan harga sebuah mobil setelah pemakaian selama 3 tahun, sebesar $100(0{,}5)^X$ dimana $X$ merupakan variabel acak yang memiliki MGF $M_X(t) = \dfrac{1}{1-2t}$ untuk $t < \dfrac{1}{2}$.

Tentukan ekspektasi harga mobil tersebut setelah pemakaian selama 3 tahun.

a. $12{,}5$
b. $25$
c. $41{,}9$
d. $83{,}8$
e. $88{,}9$

≡Jawaban No. 10›

(c). $41{,}9$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.3 Fungsi Pembangkit
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.3; Miller Bab 4.4

ℹRumus›

$M_X(t) = E[e^{tX}]$, sehingga:

$$E[(0{,}5)^X] = E[e^{X \ln(0{,}5)}] = M_X(\ln 0{,}5)$$

Diketahui:

• Harga $= 100 \cdot (0{,}5)^X$; $M_X(t) = \dfrac{1}{1-2t}$

• Target: $E[100 \cdot (0{,}5)^X]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nyatakan $(0{,}5)^X$ dalam Bentuk Eksponensial

$$(0{,}5)^X = e^{X \ln(0{,}5)} = e^{-X \ln 2}$$

Langkah 2: Gunakan MGF

$$E[(0{,}5)^X] = E[e^{-X \ln 2}] = M_X(-\ln 2) = M_X(\ln 0{,}5)$$

Langkah 3: Hitung

$$M_X(\ln 0{,}5) = \frac{1}{1 - 2\ln 0{,}5} = \frac{1}{1 - 2(-\ln 2)} = \frac{1}{1 + 2\ln 2}$$ $$1 + 2\ln 2 = 1 + 2(0{,}6931) = 1 + 1{,}3863 = 2{,}3863$$ $$E[(0{,}5)^X] = \frac{1}{2{,}3863} \approx 0{,}4191$$

Langkah 4: Hitung Ekspektasi Harga

$$E[100 \cdot (0{,}5)^X] = 100 \times 0{,}4191 \approx 41{,}9$$

Hasil Akhir: (c). $41{,}9$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $E[(0{,}5)^X] = (0{,}5)^{E[X]}$ — ekspektasi fungsi $\neq$ fungsi ekspektasi (kecuali fungsi linear).
• Mengira $M_X(t) = 1/(1-2t)$ adalah MGF distribusi Eksponensial rate $1/2$ (memang benar: $X \sim \text{Exp}(1/2)$), tapi $E[(0{,}5)^X]$ dihitung via MGF dievaluasi di $t = \ln(0{,}5)$, bukan $E[X] \cdot \ln(0{,}5)$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Harga setelah 3 tahun adalah $100(0{,}5)^X$ bukan $100 \cdot 0{,}5 \cdot X$.

▲Red Flags›

• $E[a^X] = M_X(\ln a)$: kunci identitas untuk mengonversi ekspektasi fungsi pangkat ke MGF.

---

No. 11

Diberikan distribusi $Z$ pada interval $[0, 1)$ dan memiliki fungsi densitas kumulatif sebagai berikut:

$$F_Z(z) = \begin{cases} 0, & z < 0 \\ 0{,}5, & z = 0 \\ 0{,}5 + \dfrac{1}{2}z^2, & 0 < z < 1 \\ 1, & z \geq 1 \end{cases}$$

Tentukan $E[Z]$.

a. $0$
b. $\dfrac{1}{2}$
c. $\dfrac{1}{3}$
d. $\dfrac{1}{4}$
e. $1$

≡Jawaban No. 11›

(c). $\dfrac{1}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.1; Miller Bab 4.1

ℹRumus›

Distribusi campuran: massa diskrit di $Z=0$ dan bagian kontinu di $(0,1)$.

$$E[Z] = \underbrace{0 \cdot P[Z=0]}_{\text{komponen diskrit}} + \underbrace{\int_0^1 z\,f_Z(z)\,dz}_{\text{komponen kontinu}}$$

Diketahui:

• $P[Z=0] = F_Z(0) - F_Z(0^-) = 0{,}5 - 0 = 0{,}5$ (lompatan di $z=0$)

• PDF kontinu: $f_Z(z) = F_Z'(z) = z$ untuk $0 < z < 1$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Komponen

Lompatan CDF di $z=0$: $\Delta F = 0{,}5 - 0 = 0{,}5$ → massa titik $P[Z=0] = 0{,}5$.

CDF pada $(0,1)$: $F_Z(z) = 0{,}5 + \frac{1}{2}z^2$ → PDF kontinu $f_Z(z) = z$.

Langkah 2: Hitung Kontribusi Diskrit

$$0 \times P[Z=0] = 0 \times 0{,}5 = 0$$

Langkah 3: Hitung Kontribusi Kontinu

$$\int_0^1 z \cdot z\,dz = \int_0^1 z^2\,dz = \left[\frac{z^3}{3}\right]_0^1 = \frac{1}{3}$$

Langkah 4: Total $E[Z]$

$$E[Z] = 0 + \frac{1}{3} = \frac{1}{3}$$

Hasil Akhir: (c). $\dfrac{1}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira CDF kontinu berarti tidak ada massa titik — lompatan pada CDF ($F(0) - F(0^-) = 0{,}5 > 0$) menandakan adanya massa titik diskrit.
• Lupa bahwa $z=0$ memberikan kontribusi $0 \cdot 0{,}5 = 0$ terhadap $E[Z]$, sehingga hanya perlu menghitung integral kontinu.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menggunakan $F_Z(z)$ langsung dalam integral $\int z\,dF_Z(z)$ tanpa memisahkan massa titik dan bagian kontinu.

▲Red Flags›

• Jika CDF memiliki lompatan → ada komponen diskrit. Pisahkan dan hitung kontribusinya secara terpisah.

---

No. 12

Dua buah alat digunakan untuk mengukur tinggi sebuah bangunan $h$. Eror (ralat) yang dihasilkan alat I memiliki distribusi normal dengan mean $0$ dan standar deviasi $0{,}0056h$. Eror (ralat) yang dihasilkan alat II memiliki distribusi normal dengan mean $0$ dan standar deviasi $0{,}0044h$. Misalkan kedua alat tersebut saling independen, tentukanlah probabilitas bahwa rata-rata eror (ralat) dari kedua alat tersebut memiliki maksimal eror (ralat) sebesar $0{,}005h$.

a. $0{,}38$
b. $0{,}47$
c. $0{,}68$
d. $0{,}84$
e. $0{,}90$

≡Jawaban No. 12›

⚠️ DIANULIR oleh PAI

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dianulir Soal No. 12 dianulir oleh PAI. Berdasarkan kunci jawaban resmi sesi April 2022, status soal ini adalah ANULIR — kemungkinan terdapat ambiguitas dalam framing soal (apakah “rata-rata eror” berarti rata-rata aritmetika dua eror, atau estimator lainnya) yang mengakibatkan tidak ada satu jawaban yang disepakati tepat.›

Status: Semua peserta mendapat nilai penuh untuk soal ini.

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Rata-rata dua Normal independen: $\bar{E} = (E_1+E_2)/2 \sim N(0,\, \sigma_{\bar{E}}^2)$ dengan $\sigma_{\bar{E}}^2 = (\sigma_1^2+\sigma_2^2)/4$.
• Nilai numerik: $\sigma_{\bar{E}} = h\sqrt{(0{,}0056^2+0{,}0044^2)/4} \approx 0{,}00356h$ → $P[|\bar{E}| \leq 0{,}005h] = P[|Z| \leq 1{,}4] \approx 0{,}84$.

▲Red Flags›

• Soal dianulir — tidak perlu menghafal jawaban ini. Pahami teknik dasarnya: distribusi rata-rata dua Normal independen.

---

No. 13

Jika $X$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 10)$, tentukanlah probabilitas $P\left[X + \dfrac{10}{X} > 7\right]$.

a. $\dfrac{3}{10}$
b. $\dfrac{31}{70}$
c. $\dfrac{1}{2}$
d. $\dfrac{39}{70}$
e. $\dfrac{7}{10}$

≡Jawaban No. 13›

(e). $\dfrac{7}{10}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.1; Miller Bab 4.1

ℹRumus›

$X \sim U(0,10)$: $f(x) = 1/10$ untuk $0 < x < 10$.

$$P[A] = \int_{\{x : A\}} \frac{1}{10}\,dx = \frac{\text{panjang interval memenuhi } A}{10}$$

Diketahui:

• $$X \sim U(0, 10)$$

• Target: $P\!\left[X + \dfrac{10}{X} > 7\right]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Ubah Pertidaksamaan

Kalikan kedua sisi dengan $X > 0$:

$$X + \frac{10}{X} > 7 \implies X^2 - 7X + 10 > 0$$

Langkah 2: Faktorkan

$$X^2 - 7X + 10 = (X-2)(X-5) > 0$$

Solusi: $X < 2$ atau $X > 5$

Langkah 3: Identifikasi Region dalam Support

Karena $X \in (0, 10)$:

• $X < 2$: interval $(0, 2)$, panjang $= 2$
• $X > 5$: interval $(5, 10)$, panjang $= 5$

Langkah 4: Hitung Probabilitas

$$P\!\left[X + \frac{10}{X} > 7\right] = \frac{2 + 5}{10} = \frac{7}{10}$$

Hasil Akhir: (e). $\dfrac{7}{10}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengalikan dengan $X$ dan tidak memperhatikan tanda — karena $X > 0$ dalam support, perkalian aman tanpa membalik pertidaksamaan.
• Salah memfaktorkan: $(X-2)(X-5) > 0$ → $X < 2$ atau $X > 5$ (bukan $2 < X < 5$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Support $X \in (0,10)$ membatasi region: hanya bagian yang memotong $(0,10)$ yang dihitung.

▲Red Flags›

• $(a-x)(b-x) > 0$ dengan $a < b$: solusinya $x < a$ atau $x > b$ (bukan daerah tengah).

---

No. 14

Diketahui statistik pasien pada suatu rumah sakit sebagai berikut:

Umur Pasien	Probabilitas seseorang terkena kanker	Distribusi Pasien
$1$-$20$	$0{,}06$	$0{,}04$
$21$-$40$	$0{,}03$	$0{,}23$
$41$-$60$	$0{,}02$	$0{,}25$
$61$-$99$	$0{,}04$	$0{,}48$

Seorang pasien yang terkena kanker akan dipilih secara acak. Tentukanlah probabilitas pasien tersebut berumur $21$-$40$.

a. $0{,}04$
b. $0{,}07$
c. $0{,}15$
d. $0{,}21$
e. $0{,}54$

≡Jawaban No. 14›

(d). $0{,}21$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

ℹRumus›

Teorema Bayes:

$$P[\text{Umur} \mid \text{Kanker}] = \frac{P[\text{Kanker} \mid \text{Umur}] \cdot P[\text{Umur}]}{P[\text{Kanker}]}$$

Hukum Total: $P[\text{Kanker}] = \sum_i P[\text{Kanker} \mid U_i] \cdot P[U_i]$

Diketahui:

• $P[K \mid U_i]$: probabilitas kanker per kelompok umur

• $P[U_i]$: distribusi pasien per kelompok umur

• Target: $P[U_{21-40} \mid K]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P[\text{Kanker}]$ via Hukum Total

$$P[K] = 0{,}06(0{,}04) + 0{,}03(0{,}23) + 0{,}02(0{,}25) + 0{,}04(0{,}48)$$ $$= 0{,}0024 + 0{,}0069 + 0{,}005 + 0{,}0192 = 0{,}0335$$

Langkah 2: Terapkan Teorema Bayes

$$P[U_{21-40} \mid K] = \frac{P[K \mid U_{21-40}] \cdot P[U_{21-40}]}{P[K]} = \frac{0{,}03 \times 0{,}23}{0{,}0335} = \frac{0{,}0069}{0{,}0335} \approx 0{,}206 \approx 0{,}21$$

Hasil Akhir: (d). $0{,}21$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menjawab $P[K \mid U_{21-40}] = 0{,}03$ — ini likelihood, bukan posterior yang ditanyakan.
• Lupa mengalikan $P[K \mid U_i]$ dengan $P[U_i]$ sebelum menjumlahkan untuk mendapat $P[K]$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Distribusi Pasien” adalah $P[U_i]$ (prior), bukan $P[U_i \mid K]$.

▲Red Flags›

• Bayes: likelihood × prior / marginal = posterior. Selalu hitung $P[K]$ via hukum total terlebih dulu.

---

No. 15

Sebuah soal ujian berisikan $10$ pertanyaan, dimana setiap pertanyaan memiliki $5$ pilihan jawaban (hanya terdapat $1$ jawaban yang benar). Seorang peserta menebak jawaban secara acak pada semua pertanyaan ujian. Misalkan ekspektasi banyak jawaban yang benar jika ditebak secara acak adalah $E[N]$.

Tentukan peluang peserta tersebut akan mendapatkan jawaban benar paling sedikit sebesar $E[N]$.

a. $0{,}624$
b. $0{,}591$
c. $0{,}430$
d. $0{,}322$
e. $0{,}302$

≡Jawaban No. 15›

(a). $0{,}624$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	4.3 Teorema Limit Pusat
Referensi	Miller Bab 5.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

$N \sim B(n=10,\, p=0{,}2)$ (menebak acak: $p = 1/5$).

$$E[N] = np = 10 \times 0{,}2 = 2$$

Target: $P[N \geq E[N]] = P[N \geq 2]$

Diketahui:

• $N \sim B(10,\, 0{,}2)$; $E[N] = 2$

• Target: $P[N \geq 2]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P[N \leq 1]$

$$P[N=0] = (0{,}8)^{10} = 0{,}1074$$ $$P[N=1] = \binom{10}{1}(0{,}2)^1(0{,}8)^9 = 10 \times 0{,}2 \times 0{,}1342 = 0{,}2684$$ $$P[N \leq 1] = 0{,}1074 + 0{,}2684 = 0{,}3758$$

Langkah 2: Hitung $P[N \geq 2]$

$$P[N \geq 2] = 1 - P[N \leq 1] = 1 - 0{,}3758 = 0{,}6242 \approx 0{,}624$$

Hasil Akhir: (a). $0{,}624$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• “Paling sedikit $E[N]$” = $N \geq 2$ (inklusif) karena $E[N] = 2$.
• Menggunakan $p = 1/5$ dengan benar — 5 pilihan, hanya 1 benar.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Paling sedikit sebesar $E[N]$” = $N \geq E[N] = 2$, bukan $N > 2$.

▲Red Flags›

• Hitung $P[N \geq k]$ via komplemen: $1 - P[N \leq k-1]$ untuk efisiensi komputasi.

---

No. 16

Diketahui bahwa:

$\text{Var}[X] = 25, \quad \text{Var}[Y] = 100$ $\text{Cov}(X, Y) = -10, \quad \text{Cov}(X, Z) = 2{,}5$

Misalkan $Z = X + cY$, tentukanlah nilai dari $c$.

a. $2$
b. $2{,}25$
c. $2{,}5$
d. $-2$
e. $-2{,}25$

≡Jawaban No. 16›

(b). $2{,}25$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 3.5–3.8

ℹRumus›

Bilinearitas kovarians:

$$\text{Cov}(X, aU + bV) = a\,\text{Cov}(X, U) + b\,\text{Cov}(X, V)$$

Khususnya: $\text{Cov}(X, X) = \text{Var}(X)$

Diketahui:

• $\text{Var}(X) = 25$, $\text{Var}(Y) = 100$

• $\text{Cov}(X,Y) = -10$, $\text{Cov}(X,Z) = 2{,}5$

• $$Z = X + cY$$

• Target: $c$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Ekspansi $\text{Cov}(X, Z)$

$$\text{Cov}(X, Z) = \text{Cov}(X,\; X + cY) = \text{Cov}(X, X) + c\,\text{Cov}(X, Y)$$ $$= \text{Var}(X) + c\,\text{Cov}(X, Y) = 25 + c(-10)$$

Langkah 2: Selesaikan untuk $c$

$$25 - 10c = 2{,}5 \implies 10c = 22{,}5 \implies c = 2{,}25$$

Hasil Akhir: (b). $2{,}25$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $\text{Cov}(X, X+cY) = c\,\text{Cov}(X,Y)$ — lupa suku $\text{Cov}(X,X) = \text{Var}(X) = 25$.
• Mengabaikan tanda negatif $\text{Cov}(X,Y) = -10$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• $\text{Var}(Y) = 100$ tidak digunakan di sini — ia relevan jika soal menanyakan $\text{Cov}(Y,Z)$ atau $\text{Var}(Z)$.

▲Red Flags›

• Selalu ekspansi $\text{Cov}(X, aU+bV) = a\,\text{Cov}(X,U) + b\,\text{Cov}(X,V)$ secara eksplisit sebelum substitusi angka.

---

No. 17

Sebuah kotak berisikan $10$ kelereng putih dan $15$ kelereng hitam. Misalkan $X$ merupakan banyaknya kelereng putih yang diambil, ketika dari kotak tersebut diambil $10$ kelereng secara acak dan tanpa pengembalian.

Tentukan $\dfrac{\text{Var}(X)}{E(X)}$. (Gunakan distribusi hipergeometrik)

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{3}{16}$
c. $\dfrac{2}{8}$
d. $\dfrac{5}{16}$
e. $\dfrac{3}{8}$

≡Jawaban No. 17›

(e). $\dfrac{3}{8}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	1.3 Metode Enumerasi
Referensi	Miller Bab 5.2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

$X \sim \text{HGeom}(N, K, n)$:

$$E[X] = \frac{nK}{N}, \qquad \text{Var}(X) = n \cdot \frac{K}{N} \cdot \frac{N-K}{N} \cdot \frac{N-n}{N-1}$$

Diketahui:

• $N = 25$ (total), $K = 10$ (putih), $N-K = 15$ (hitam), $n = 10$ (diambil)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X]$

$$E[X] = \frac{nK}{N} = \frac{10 \times 10}{25} = \frac{100}{25} = 4$$

Langkah 2: Hitung $\text{Var}(X)$

$$\text{Var}(X) = 10 \cdot \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{25} \cdot \frac{25-10}{25-1} = 10 \cdot \frac{10}{25} \cdot \frac{15}{25} \cdot \frac{15}{24}$$ $$= 10 \cdot \frac{2}{5} \cdot \frac{3}{5} \cdot \frac{5}{8} = 10 \cdot \frac{30}{200} = \frac{300}{200} = \frac{3}{2}$$

Langkah 3: Hitung Rasio

$$\frac{\text{Var}(X)}{E[X]} = \frac{3/2}{4} = \frac{3}{8}$$

Hasil Akhir: (e). $\dfrac{3}{8}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan formula Binomial $\text{Var}(X) = np(1-p)$ tanpa faktor koreksi berhingga $\dfrac{N-n}{N-1}$ — Hipergeometrik memerlukan faktor koreksi ini.
• Lupa faktor $(N-n)/(N-1)$: untuk $N=25, n=10$: $(25-10)/(25-1) = 15/24 = 5/8$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Soal meminta $\text{Var}/E$, bukan $\text{Var}$ saja — hitung kedua momen sebelum membagi.

▲Red Flags›

• Sampling tanpa pengembalian dari populasi terbatas → Hipergeometrik dengan faktor koreksi berhingga.

---

No. 18

Misalkan $X$ merupakan banyaknya pelanggan yang datang pada pagi hari dan $Y$ merupakan banyaknya pelanggan yang datang pada siang hari. Diberikan juga informasi berikut:

• $X$ dan $Y$ berdistribusi Poisson.
• Momen pertama dari $X$ lebih kecil dari momen pertama dari $Y$ sebesar $8$.
• Momen kedua dari $X$ sebesar $60\%$ dari momen kedua $Y$.

Tentukan variansi dari $Y$.

a. $4$
b. $12$
c. $16$
d. $27$
e. $35$

≡Jawaban No. 18›

(e). $35$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.3 Fungsi Pembangkit, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	4.5 Estimasi Parameter
Referensi	Miller Bab 5.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

$X \sim \text{Poisson}(\lambda_X)$: $E[X] = \lambda_X$, $E[X^2] = \lambda_X + \lambda_X^2$

$\text{Var}(X) = \lambda_X$ (sifat Poisson)

Diketahui:

• $\lambda_Y - \lambda_X = 8$ (momen pertama $Y$ lebih besar 8)

• $E[X^2] = 0{,}6\,E[Y^2]$ (momen kedua $X$ sebesar 60% momen kedua $Y$)

• Target: $\text{Var}(Y) = \lambda_Y$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nyatakan Momen Kedua Poisson

$$E[X^2] = \lambda_X + \lambda_X^2, \qquad E[Y^2] = \lambda_Y + \lambda_Y^2$$

Langkah 2: Substitusi Syarat

$$\lambda_X = \lambda_Y - 8 \quad \text{...(1)}$$ $$\lambda_X + \lambda_X^2 = 0{,}6(\lambda_Y + \lambda_Y^2) \quad \text{...(2)}$$

Langkah 3: Substitusi (1) ke (2)

Misalkan $\lambda_Y = \lambda$ dan $\lambda_X = \lambda - 8$:

$$(\lambda-8) + (\lambda-8)^2 = 0{,}6(\lambda + \lambda^2)$$ $$(\lambda-8) + \lambda^2 - 16\lambda + 64 = 0{,}6\lambda + 0{,}6\lambda^2$$ $$\lambda^2 - 15\lambda + 56 = 0{,}6\lambda^2 + 0{,}6\lambda$$ $$0{,}4\lambda^2 - 15{,}6\lambda + 56 = 0$$ $$\lambda^2 - 39\lambda + 140 = 0$$ $$(\lambda - 35)(\lambda - 4) = 0$$

Langkah 4: Pilih Akar yang Valid

$\lambda = 35$ atau $\lambda = 4$. Jika $\lambda_Y = 4$ maka $\lambda_X = -4 < 0$ (tidak valid). Jadi $\lambda_Y = 35$.

$$\text{Var}(Y) = \lambda_Y = 35$$

Hasil Akhir: (e). $35$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira momen kedua Poisson $= \lambda^2$ saja — untuk Poisson: $E[X^2] = \lambda + \lambda^2$ (bukan $\lambda^2$).
• Memilih akar $\lambda_Y = 4$ yang menghasilkan $\lambda_X = -4 < 0$ — tidak valid karena parameter Poisson harus positif.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Momen pertama lebih kecil 8” berarti $E[Y] - E[X] = 8$, bukan $E[X] - E[Y] = 8$.

▲Red Flags›

• Poisson: $E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \lambda + \lambda^2$; jangan lupa suku pertama $\lambda$.

---

No. 19

Diketahui bahwa $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak yang memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

$$f(x, y) = \begin{cases} \dfrac{2x + 2 - y}{4}, & \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 0 < y < 2 \\ 0, & \text{untuk lainnya} \end{cases}$$

Tentukan $P[X + Y \geq 1]$.

a. $0{,}75$
b. $0{,}71$
c. $0{,}41$
d. $0{,}38$
e. $0{,}33$

≡Jawaban No. 19›

(b). $0{,}71$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

$$P[X+Y \geq 1] = 1 - P[X+Y < 1]$$

Region $\{X+Y < 1\}$ dalam support $\{0<x<1,\; 0<y<2\}$:

$x \in (0,1)$, $y \in (0, 1-x)$ (karena $y < 1-x < 1 < 2$)

Diketahui:

• $f(x,y) = (2x+2-y)/4$ pada $(0,1)\times(0,2)$

• Target: $P[X+Y \geq 1]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P[X+Y < 1]$ via Komplemen

Region: $0 < y < 1-x$, $0 < x < 1$.

$$P[X+Y<1] = \int_0^1\!\int_0^{1-x} \frac{2x+2-y}{4}\,dy\,dx$$

Langkah 2: Integrasikan terhadap $y$

$$\int_0^{1-x}\frac{2x+2-y}{4}\,dy = \frac{1}{4}\left[(2x+2)y - \frac{y^2}{2}\right]_0^{1-x}$$ $$= \frac{1}{4}\left[(2x+2)(1-x) - \frac{(1-x)^2}{2}\right]$$ $$= \frac{(1-x)}{4}\left[(2x+2) - \frac{1-x}{2}\right] = \frac{(1-x)}{4} \cdot \frac{4x+4-1+x}{2} = \frac{(1-x)(5x+3)}{8}$$

Langkah 3: Integrasikan terhadap $x$

$$P[X+Y<1] = \int_0^1 \frac{(1-x)(5x+3)}{8}\,dx = \frac{1}{8}\int_0^1(5x+3-5x^2-3x)\,dx$$ $$= \frac{1}{8}\int_0^1(2x+3-5x^2)\,dx = \frac{1}{8}\left[x^2+3x-\frac{5x^3}{3}\right]_0^1$$ $$= \frac{1}{8}\left(1+3-\frac{5}{3}\right) = \frac{1}{8}\cdot\frac{7}{3} = \frac{7}{24} \approx 0{,}2917$$

Langkah 4: Hitung $P[X+Y \geq 1]$

$$P[X+Y \geq 1] = 1 - \frac{7}{24} = \frac{17}{24} \approx 0{,}708 \approx 0{,}71$$

Hasil Akhir: (b). $0{,}71$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengintegrasikan $y$ hingga $2$ (batas support penuh) untuk region $\{X+Y<1\}$ — batas atas $y$ adalah $\min(1-x, 2) = 1-x$ karena $1-x < 1 < 2$.
• Salah memperluas kurung: $(1-x)(5x+3) = 5x+3-5x^2-3x = 2x+3-5x^2$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menghitung $P[X+Y \geq 1]$ langsung (batas integrasi lebih kompleks) — lebih mudah via komplemen $1 - P[X+Y<1]$.

▲Red Flags›

• Selalu cek apakah batas region yang dihitung berada dalam support PDF. Di sini $y < 1-x \leq 1 < 2$ ✓.

---

No. 20

Diberikan fungsi densitas bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$:

$$f(x, y) = \begin{cases} x + y, & 0 < x < 1,\ 0 < y < 1 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$$

Tentukan probabilitas jika besar $X$ lebih kecil dari $2$ kali lipat besar $Y$.

a. $\dfrac{7}{32}$
b. $\dfrac{1}{12}$
c. $\dfrac{3}{4}$
d. $\dfrac{19}{24}$
e. $\dfrac{7}{8}$

≡Jawaban No. 20›

(d). $\dfrac{19}{24}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.2 Distribusi Marginal
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

$$P[X < 2Y] = \iint_{\{x < 2y\} \cap \text{support}} (x+y)\,dx\,dy$$

Diketahui:

• $f(x,y) = x+y$ pada $(0,1)^2$

• Target: $P[X < 2Y]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Region $\{X < 2Y\}$ dalam $(0,1)^2$

Garis $x = 2y$ membagi unit square. Titik potong dengan batas: $(0,0)$ dan $(1, 0{,}5)$.

• Untuk $y \in (0, 0{,}5)$: $x$ dari $0$ hingga $2y$ (karena $2y < 1$)
• Untuk $y \in (0{,}5, 1)$: $x$ dari $0$ hingga $1$ (karena $2y > 1$, jadi seluruh $x \in (0,1)$ memenuhi)

Langkah 2: Integrasikan

$$P[X<2Y] = \int_0^{1/2}\!\int_0^{2y}(x+y)\,dx\,dy + \int_{1/2}^1\!\int_0^1(x+y)\,dx\,dy$$

Integral pertama ($y \in (0, 1/2)$):

$$\int_0^{2y}(x+y)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+xy\right]_0^{2y} = 2y^2+2y^2 = 4y^2$$ $$\int_0^{1/2}4y^2\,dy = 4 \cdot \frac{(1/2)^3}{3} = \frac{4}{24} = \frac{1}{6}$$

Integral kedua ($y \in (1/2, 1)$):

$$\int_0^1(x+y)\,dx = \left[\frac{x^2}{2}+xy\right]_0^1 = \frac{1}{2}+y$$ $$\int_{1/2}^1\left(\frac{1}{2}+y\right)\,dy = \left[\frac{y}{2}+\frac{y^2}{2}\right]_{1/2}^1 = \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right) = 1 - \frac{3}{8} = \frac{5}{8}$$

Langkah 3: Total

$$P[X<2Y] = \frac{1}{6} + \frac{5}{8} = \frac{4}{24} + \frac{15}{24} = \frac{19}{24}$$

Hasil Akhir: (d). $\dfrac{19}{24}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan batas $x$ dari $0$ ke $2y$ tanpa mempertimbangkan batas support $x \leq 1$ — untuk $y > 1/2$, batas $2y > 1$ melampaui support.
• Lupa membagi integral menjadi dua kasus berdasarkan $y < 1/2$ dan $y > 1/2$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• ”$X$ lebih kecil dari 2 kali $Y$” = $X < 2Y$, bukan $X < Y/2$.

▲Red Flags›

• Selalu gambar region integrasi dan identifikasi di mana garis batas memotong batas support sebelum mengintegrasikan.

---

No. 21

Misalkan $T_1$ dan $T_2$ merepresentasikan lama waktu hidup (dalam jam) dari $2$ komponen dalam suatu peralatan elektronik. Fungsi densitas bersama dari $T_1$ dan $T_2$ berdistribusi seragam dalam suatu wilayah (region) $0 \leq t_1 \leq t_2 \leq L$ dimana $L$ merupakan suatu konstanta real positif.

Tentukan nilai ekspektasi dari $T_1^2 + T_2^2$.

a. $\dfrac{L^2}{3}$
b. $\dfrac{L^2}{2}$
c. $\dfrac{2L^2}{3}$
d. $\dfrac{3L^2}{4}$
e. $L^2$

≡Jawaban No. 21›

(c). $\dfrac{2L^2}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu, 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

Luas segitiga $\{0 \leq t_1 \leq t_2 \leq L\}$: $= L^2/2$

PDF seragam: $f(t_1, t_2) = \dfrac{2}{L^2}$ pada region tersebut.

$$E[T_1^2 + T_2^2] = \frac{2}{L^2}\int_0^L\!\int_0^{t_2}(t_1^2 + t_2^2)\,dt_1\,dt_2$$

Diketahui:

• $f(t_1, t_2) = 2/L^2$ untuk $0 \leq t_1 \leq t_2 \leq L$

• Target: $E[T_1^2 + T_2^2]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Integrasikan terhadap $t_1$

$$\int_0^{t_2}(t_1^2+t_2^2)\,dt_1 = \left[\frac{t_1^3}{3}+t_2^2\,t_1\right]_0^{t_2} = \frac{t_2^3}{3}+t_2^3 = \frac{4t_2^3}{3}$$

Langkah 2: Integrasikan terhadap $t_2$

$$E[T_1^2+T_2^2] = \frac{2}{L^2}\int_0^L \frac{4t_2^3}{3}\,dt_2 = \frac{2}{L^2}\cdot\frac{4}{3}\cdot\frac{L^4}{4} = \frac{2}{L^2}\cdot\frac{L^4}{3} = \frac{2L^2}{3}$$

Hasil Akhir: (c). $\dfrac{2L^2}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $f(t_1,t_2) = 1/L^2$ — luas region segitiga $= L^2/2$, bukan $L^2$, sehingga $f = 2/L^2$.
• Batas integrasi: untuk $t_2$ tetap, $t_1$ dari $0$ hingga $t_2$ (bukan $0$ hingga $L$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• $E[T_1^2+T_2^2] = E[T_1^2]+E[T_2^2]$ (linearitas) — keduanya dapat dihitung terpisah jika perlu.

▲Red Flags›

• Distribusi seragam pada segitiga: $f = 1/\text{luas} = 2/L^2$, bukan $1/L^2$.

---

No. 22

Sebuah asuransi kesehatan untuk $3$ orang dalam suatu keluarga, dapat mencakup hingga $2$ klaim per orang dalam setahun. Fungsi densitas gabungan untuk banyak klaim dari $3$ anggota keluarga adalah $f(x, y, z) = \dfrac{6 - x - y - z}{81}$ dimana masing-masing $x, y, z$ hanya bisa bernilai $0, 1, 2$ dan $X, Y, Z$ merupakan banyak klaim dari orang pertama, kedua, dan ketiga dalam keluarga tersebut.

Tentukan probabilitas bahwa total klaim dari keluarga tersebut sebanyak $2$ dalam tahun tersebut, dengan diketahui bahwa orang pertama tidak memiliki klaim dalam setahun itu.

a. $\dfrac{1}{2}$
b. $\dfrac{1}{3}$
c. $\dfrac{12}{81}$
d. $\dfrac{1}{9}$
e. $\dfrac{36}{81}$

≡Jawaban No. 22›

(b). $\dfrac{1}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	3.2 Distribusi Marginal
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

$$P[X+Y+Z=2 \mid X=0] = \frac{P[X=0,\, Y+Z=2]}{P[X=0]}$$

Diketahui:

• $f(x,y,z) = (6-x-y-z)/81$; $x,y,z \in \{0,1,2\}$

• Kondisi: $X=0$; target: $P[Y+Z=2 \mid X=0]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P[X=0]$

$$P[X=0] = \sum_{y=0}^{2}\sum_{z=0}^{2} \frac{6-0-y-z}{81} = \frac{1}{81}\sum_{y,z}(6-y-z)$$

Nilai $(6-y-z)$ untuk semua $(y,z) \in \{0,1,2\}^2$:

$y \backslash z$	$0$	$1$	$2$
$0$	$6$	$5$	$4$
$1$	$5$	$4$	$3$
$2$	$4$	$3$	$2$

Jumlah $= 6+5+4+5+4+3+4+3+2 = 36$

$$P[X=0] = \frac{36}{81}$$

Langkah 2: Hitung $P[X=0,\, Y+Z=2]$

Pasangan $(Y,Z)$ dengan $Y+Z=2$: $(0,2),(1,1),(2,0)$

$$P[X=0, Y+Z=2] = \frac{(6-0-0-2)+(6-0-1-1)+(6-0-2-0)}{81} = \frac{4+4+4}{81} = \frac{12}{81}$$

Langkah 3: Probabilitas Bersyarat

$$P[Y+Z=2 \mid X=0] = \frac{12/81}{36/81} = \frac{12}{36} = \frac{1}{3}$$

Hasil Akhir: (b). $\dfrac{1}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menjawab $12/81$ (pilihan c) — ini adalah $P[X=0, Y+Z=2]$, bukan probabilitas bersyarat.
• Lupa membagi dengan $P[X=0] = 36/81$ untuk mendapat probabilitas bersyarat.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Total klaim sebanyak $2$, diketahui $X=0$” → $Y+Z=2$ (karena $X=0$, total $= 0+Y+Z = Y+Z$).

▲Red Flags›

• Selalu hitung $P[X=0]$ sebagai penyebut; $12/81$ adalah probabilitas bersama, bukan bersyarat.

---

No. 23

Perusahaan asuransi mengeluarkan dua polis independen untuk individu dengan usia yang sama. Perusahaan asuransi tersebut memodelkan distribusi lama waktu hingga terjadi kematian (dalam tahun) untuk setiap individu (dimisalkan dengan $k$), dengan menggunakan distribusi geometrik $P[N = k] = (0{,}99)^k \times 0{,}01$, $k = 0, 1, 2, \ldots$

Tentukan probabilitas bahwa kedua individu akan meninggal di tahun yang sama.

a. $0{,}001$
b. $0{,}003$
c. $0{,}005$
d. $0{,}007$
e. $0{,}009$

≡Jawaban No. 23›

(c). $0{,}005$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.3 Fungsi Pembangkit
Referensi	Miller Bab 5; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

$N_1, N_2$ i.i.d. dengan $P[N=k] = (0{,}99)^k(0{,}01)$.

$$P[N_1=N_2] = \sum_{k=0}^{\infty}[P[N=k]]^2 = \frac{p^2}{1-(1-p)^2}$$

dengan $p = 0{,}01$.

Diketahui:

• $p = 0{,}01$, $q = 0{,}99$

• Target: $P[N_1 = N_2]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Ekspansi

$$P[N_1=N_2] = \sum_{k=0}^{\infty}(0{,}01)^2(0{,}99)^{2k} = (0{,}01)^2 \cdot \frac{1}{1-(0{,}99)^2}$$

Langkah 2: Hitung

$$1 - (0{,}99)^2 = 1 - 0{,}9801 = 0{,}0199$$ $$P[N_1=N_2] = \frac{(0{,}01)^2}{0{,}0199} = \frac{0{,}0001}{0{,}0199} \approx 0{,}005025 \approx 0{,}005$$

Hasil Akhir: (c). $0{,}005$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $p = 0{,}99$ sebagai parameter keberhasilan — dalam soal ini $P[N=k]=(0{,}99)^k(0{,}01)$, sehingga $p = 0{,}01$ adalah probabilitas “kematian” dan $q = 0{,}99$.
• Formula cepat: $P[N_1=N_2] = p^2/(1-q^2)$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Bandingkan: soal Agustus 2022 ($p=0{,}02$) → $P = 1/99 \approx 0{,}010$; soal ini ($p=0{,}01$) → $P \approx 0{,}005$.

▲Red Flags›

• Semakin kecil $p$, semakin kecil pula probabilitas keduanya mati di tahun yang sama.

---

No. 24

Sebuah perusahaan asuransi memiliki $5$ polis asuransi jiwa berjangka satu tahun yang saling independen. Nilai manfaat pada setiap polis adalah $100{.}000$. Probabilitas klaim yang terjadi pada suatu tahun untuk setiap polis yang diberikan adalah $0{,}2$.

Tentukan probabilitas bahwa perusahaan asuransi tersebut harus membayar lebih besar dari total ekspektasi klaim dalam suatu tahun ($E[X]$).

a. $0{,}06$
b. $0{,}11$
c. $0{,}16$
d. $0{,}21$
e. $0{,}26$

≡Jawaban No. 24›

(e). $0{,}26$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk
Referensi	Miller Bab 5.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

$K \sim B(5, 0{,}2)$; total klaim $= 100{.}000\,K$.

$E[K] = 5 \times 0{,}2 = 1$ → $E[\text{Total}] = 100{.}000$

Target: $P[100{.}000\,K > 100{.}000] = P[K > 1] = P[K \geq 2]$

Diketahui:

• $K \sim B(5,\, 0{,}2)$; $E[K] = 1$

• “Lebih besar dari $E[X]$” = $K > 1$ (eksklusif)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Syarat

$E[\text{Total klaim}] = 100{.}000$. Soal menanyakan $P[\text{Total} > 100{.}000] = P[K > 1] = P[K \geq 2]$.

Langkah 2: Hitung $P[K \leq 1]$

$$P[K=0] = (0{,}8)^5 = 0{,}3277$$ $$P[K=1] = 5(0{,}2)(0{,}8)^4 = 5 \times 0{,}2 \times 0{,}4096 = 0{,}4096$$ $$P[K \leq 1] = 0{,}3277 + 0{,}4096 = 0{,}7373$$

Langkah 3: Hitung $P[K \geq 2]$

$$P[K \geq 2] = 1 - 0{,}7373 = 0{,}2627 \approx 0{,}26$$

Hasil Akhir: (e). $0{,}26$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan "$\geq E[X]$" alih-alih "$> E[X]$" — soal ini menggunakan “lebih besar dari” (eksklusif), bukan “paling sedikit” (inklusif). Karena $E[K]=1$ bilangan bulat, $K > 1$ setara $K \geq 2$.
• Bandingkan soal Agustus 2022 ($p=0{,}3$, $E[K]=1{,}5$, target $K \geq 2$): hasilnya berbeda karena parameter berbeda.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Ekspektasi total klaim $= np \times 100{.}000 = 1 \times 100{.}000 = 100{.}000$; syarat "$> 100{.}000$" berarti $K \geq 2$.

▲Red Flags›

• Perhatikan “lebih besar dari” ($>$) vs “sekurang-kurangnya” ($\geq$) — keduanya menghasilkan batas $K \geq 2$ di sini, karena $E[K]=1$ adalah bilangan bulat.

---

No. 25

Misalkan $X_1$ dan $X_2$ berdistribusi binomial dan saling bebas, dengan parameter $n_1 = 7$, $p_1 = 0{,}4$ dan $n_2 = 8$, $1 - p_2 = 0{,}6$ secara berturut-turut.

Tentukan distribusi dari $Y$ dimana $Y = 15 - X_1 - X_2$.

a. Binomial dengan parameter $n_y = 1$ dan $p_y = 0{,}4$
b. Binomial dengan parameter $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}4$
c. Binomial dengan parameter $n_y = 30$ dan $p_y = 0{,}4$
d. Binomial dengan parameter $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}6$
e. Binomial dengan parameter $n_y = 30$ dan $p_y = 0{,}6$

≡Jawaban No. 25›

(d). Binomial dengan parameter $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.3 Fungsi Pembangkit, 1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk
Referensi	Miller Bab 5.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1

ℹRumus›

Sifat komplemen Binomial: jika $X \sim B(n, p)$, maka $n - X \sim B(n, 1-p)$.

Sifat reproduktif Binomial: jika $U \sim B(m, p)$ dan $V \sim B(n, p)$ independen, maka $U + V \sim B(m+n, p)$.

Diketahui:

• $X_1 \sim B(7, 0{,}4)$; $X_2 \sim B(8, p_2)$ dengan $1-p_2 = 0{,}6$ → $p_2 = 0{,}4$

• $$Y = 15 - X_1 - X_2 = (7 - X_1) + (8 - X_2)$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan Sifat Komplemen

$$7 - X_1 \sim B(7,\; 1-0{,}4) = B(7,\; 0{,}6)$$ $$8 - X_2 \sim B(8,\; 1-0{,}4) = B(8,\; 0{,}6)$$

Langkah 2: Terapkan Sifat Reproduktif

Karena $X_1 \perp X_2$ → $(7-X_1) \perp (8-X_2)$, keduanya dengan $p = 0{,}6$:

$$Y = (7-X_1) + (8-X_2) \sim B(7+8,\; 0{,}6) = B(15,\; 0{,}6)$$

Hasil Akhir: (d). Binomial dengan $n_y = 15$ dan $p_y = 0{,}6$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $p_2 = 0{,}6$ karena "$(1-p_2) = 0{,}6$" — justru $p_2 = 1 - 0{,}6 = 0{,}4$. Keduanya $X_1$ dan $X_2$ memiliki $p = 0{,}4$.
• Sifat reproduktif hanya berlaku jika $p$ sama untuk kedua distribusi — di sini keduanya $p = 0{,}4$ sehingga sifat dapat diterapkan pada komplemen ($p = 0{,}6$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• $Y = 15 - X_1 - X_2 = (7-X_1) + (8-X_2)$ — pecah menjadi dua komplemen terpisah sebelum menggabungkan.

▲Red Flags›

• Komplemen $B(n,p)$ adalah $B(n, 1-p)$; reproduktif memerlukan $p$ identik.

---

No. 26

Diberikan moment generating function untuk variabel acak $X$ sebagai berikut:

$$M_X(t) = \frac{1}{1+t}$$

Tentukan $E[(X-2)^3]$.

a. $6$
b. $-6$
c. $25$
d. $-38$
e. $38$

≡Jawaban No. 26›

(d). $-38$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.3 Fungsi Pembangkit
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.3; Miller Bab 4.4

ℹRumus›

$E[X^n] = M_X^{(n)}(0)$ (turunan ke-$n$ dari MGF dievaluasi di $t=0$)

$$E[(X-2)^3] = E[X^3 - 6X^2 + 12X - 8] = E[X^3] - 6E[X^2] + 12E[X] - 8$$

Diketahui:

• $$M_X(t) = \dfrac{1}{1+t} = (1+t)^{-1}$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Momen-Momen via Turunan MGF

$$M_X'(t) = -(1+t)^{-2} \implies E[X] = M_X'(0) = -1$$ $$M_X''(t) = 2(1+t)^{-3} \implies E[X^2] = M_X''(0) = 2$$ $$M_X'''(t) = -6(1+t)^{-4} \implies E[X^3] = M_X'''(0) = -6$$

Langkah 2: Ekspansi Binomial $(X-2)^3$

$$(X-2)^3 = X^3 - 3(2)X^2 + 3(2^2)X - 2^3 = X^3 - 6X^2 + 12X - 8$$

Langkah 3: Terapkan Nilai Harapan

$$E[(X-2)^3] = E[X^3] - 6E[X^2] + 12E[X] - 8$$ $$= (-6) - 6(2) + 12(-1) - 8 = -6 - 12 - 12 - 8 = -38$$

Hasil Akhir: (d). $-38$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $M_X(t) = 1/(1+t)$ adalah MGF distribusi Eksponensial — MGF Exp$(1)$ adalah $1/(1-t)$. Di sini tandanya terbalik ($+t$, bukan $-t$), menghasilkan momen negatif.
• Salah tanda: $M_X'(0) = -(1+0)^{-2} = -1$ (negatif!), bukan $+1$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Lupa menggunakan ekspansi binomial; mengira $E[(X-2)^3] = (E[X]-2)^3 = (-1-2)^3 = -27$.

▲Red Flags›

• Selalu hitung turunan MGF secara eksplisit. Jangan asumsikan distribusi hanya dari bentuk MGF tanpa verifikasi tanda.

---

No. 27

Suatu pabrik pakaian memiliki $3$ mesin tipe $A$ dan $2$ mesin tipe $B$. Mesin $A$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}6$. Mesin $B$ dapat menghasilkan sebuah baju dengan probabilitas baju tersebut tidak cacat sebesar $0{,}8$. Jika sebuah mesin dipilih dan $5$ buah baju dihasilkan (probabilitas untuk menghasilkan setiap baju saling independen), tentukan probabilitas mesin tersebut merupakan mesin $B$, dengan diketahui $2$ dari $5$ baju yang dihasilkan adalah baju yang cacat.

a. $0{,}2048$
b. $0{,}3456$
c. $0{,}2832$
d. $0{,}7168$
e. $0{,}6519$

≡Jawaban No. 27›

(c). $0{,}2832$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

ℹRumus›

$$P[B \mid D] = \frac{P[D \mid B]\,P[B]}{P[D \mid A]\,P[A] + P[D \mid B]\,P[B]}$$

Diketahui:

• Prior: $P[A] = 3/5$, $P[B] = 2/5$

• Mesin A: $P[\text{cacat}] = 0{,}4$; Mesin B: $P[\text{cacat}] = 0{,}2$

• $D$ = “tepat $2$ dari $5$ cacat”

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Likelihood $P[D \mid A]$

$$P[D \mid A] = \binom{5}{2}(0{,}4)^2(0{,}6)^3 = 10(0{,}16)(0{,}216) = 0{,}3456$$

Langkah 2: Likelihood $P[D \mid B]$

$$P[D \mid B] = \binom{5}{2}(0{,}2)^2(0{,}8)^3 = 10(0{,}04)(0{,}512) = 0{,}2048$$

Langkah 3: $P[D]$ via Hukum Total

$$P[D] = 0{,}3456(0{,}6) + 0{,}2048(0{,}4) = 0{,}20736 + 0{,}08192 = 0{,}28928$$

Langkah 4: Posterior $P[B \mid D]$

$$P[B \mid D] = \frac{0{,}2048 \times 0{,}4}{0{,}28928} = \frac{0{,}08192}{0{,}28928} \approx 0{,}2832$$

Hasil Akhir: (c). $0{,}2832$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menjawab $P[D \mid B] = 0{,}2048$ (pilihan a) — ini likelihood, bukan posterior.
• Soal ini menanyakan $P[B \mid D]$ (mesin $B$ yang terpilih), berbeda dengan soal Agustus 2022 yang menanyakan $P[A \mid D]$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• $P[B \mid D] + P[A \mid D] = 1$. Dari Agustus 2022: $P[A \mid D] = 0{,}7168$, sehingga $P[B \mid D] = 1 - 0{,}7168 = 0{,}2832$ ✓.

▲Red Flags›

• Soal ini serupa dengan Agustus 2022 tetapi menanyakan mesin $B$, bukan $A$. Komplementer: $P[B|D] = 1 - P[A|D]$.

---

No. 28

Misalkan $X$ merupakan variabel acak kontinu dengan fungsi densitas $f_X(x) = x + \dfrac{1}{2}$, $0 < x < 1$. Diberikan juga fungsi densitas kondisional dari variabel acak kontinu $Y$, dengan diketahui $X = x$ sebagai berikut:

$$f_{Y|X}(y \mid X = x) = \frac{x + y}{x + \dfrac{1}{2}} \quad \text{untuk } 0 < x < 1,\ 0 < y < 1$$

Tentukan $f_Y(y)$ untuk $0 < y < 1$.

a. $y + \dfrac{1}{2}$
b. $y + 1$
c. $y$
d. $y - \dfrac{1}{2}$
e. $y - 1$

≡Jawaban No. 28›

(a). $y + \dfrac{1}{2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.2 Distribusi Marginal
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.3 Distribusi Bersyarat, 3.1 Distribusi Gabungan
Connected Topics	2.2 Variabel Acak Kontinu
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2; Miller Bab 3.5

ℹRumus›

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{\infty} f_{Y|X}(y \mid x)\,f_X(x)\,dx$$

Dari definisi: $f(x,y) = f_{Y|X}(y|x) \cdot f_X(x)$

Diketahui:

• $f_X(x) = x + 1/2$ untuk $0 < x < 1$

• $f_{Y|X}(y|x) = (x+y)/(x+1/2)$ untuk $0 < y < 1$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $f(x,y)$

$$f(x,y) = f_{Y|X}(y|x) \cdot f_X(x) = \frac{x+y}{x+\frac{1}{2}} \cdot \left(x+\frac{1}{2}\right) = x + y$$

Langkah 2: Hitung Marginal $f_Y(y)$

$$f_Y(y) = \int_0^1 f(x,y)\,dx = \int_0^1 (x+y)\,dx$$ $$= \left[\frac{x^2}{2} + xy\right]_0^1 = \frac{1}{2} + y$$ $$= y + \frac{1}{2}$$

Hasil Akhir: (a). $y + \dfrac{1}{2}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa mengalikan $f_{Y|X}$ dengan $f_X$ sebelum mengintegrasikan — kedua faktor harus dikalikan untuk mendapat distribusi bersama.
• Perhatikan bahwa faktor $(x+1/2)$ di penyebut dan pembilang saling menghilang, menyederhanakan perhitungan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• $f_Y(y) = \int f_{Y|X}(y|x)\,dx$ saja (tanpa $f_X$) adalah keliru — yang benar adalah $\int f_{Y|X}(y|x)\,f_X(x)\,dx$.

▲Red Flags›

• Kanselasi $(x+1/2)$ adalah ciri soal yang “didesain” — kenali pola ini sebagai teknik soal CF2.

---

No. 29

Misalkan $X$ berdistribusi seragam pada interval $(0, 8)$. Diberikan $X = x$, sedemikian sehingga $Y$ berdistribusi seragam pada interval $(0, x)$.

Tentukan $\text{Cov}(X, Y)$.

a. $\dfrac{4}{3}$
b. $\dfrac{8}{3}$
c. $\dfrac{12}{3}$
d. $\dfrac{24}{3}$
e. $\dfrac{32}{3}$

≡Jawaban No. 29›

(b). $\dfrac{8}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.3 Distribusi Bersyarat, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 3.5–3.8

ℹRumus›

$$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y]$$

Hukum ekspektasi total: $E[XY] = E[E[XY \mid X]] = E[X \cdot E[Y \mid X]]$

$$E[Y] = E[E[Y \mid X]]$$

Diketahui:

• $X \sim U(0,8)$: $E[X] = 4$, $E[X^2] = 64/3$

• $Y \mid X = x \sim U(0,x)$: $E[Y \mid X] = X/2$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[Y]$

$$E[Y] = E[E[Y \mid X]] = E\!\left[\frac{X}{2}\right] = \frac{E[X]}{2} = \frac{4}{2} = 2$$

Langkah 2: Hitung $E[XY]$

$$E[XY] = E[E[XY \mid X]] = E\!\left[X \cdot E[Y \mid X]\right] = E\!\left[X \cdot \frac{X}{2}\right] = \frac{E[X^2]}{2}$$ $$E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \frac{(8-0)^2}{12} + 16 = \frac{64}{12} + 16 = \frac{16}{3} + 16 = \frac{64}{3}$$ $$E[XY] = \frac{64/3}{2} = \frac{32}{3}$$

Langkah 3: Hitung Kovarians

$$\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y] = \frac{32}{3} - 4 \times 2 = \frac{32}{3} - 8 = \frac{32-24}{3} = \frac{8}{3}$$

Hasil Akhir: (b). $\dfrac{8}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $E[XY] = E[X] \cdot E[Y]$ (karena salah mengira $X \perp Y$) — $X$ dan $Y$ tidak independen karena $Y$ bergantung pada $X$.
• Salah menghitung $E[X^2] = (E[X])^2 = 16$ — Var$(U(0,8)) = 64/12 \neq 0$, jadi $E[X^2] = 64/3 \neq 16$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Var$(U(0,a)) = a^2/12$; untuk $a=8$: Var $= 64/12 = 16/3$.

▲Red Flags›

• Gunakan Hukum Total Ekspektasi ($E[g(X,Y)] = E[E[g(X,Y)|X]]$) setiap kali distribusi bersyarat diberikan.

---

No. 30

Misalkan variabel acak $X$ dengan fungsi densitas sebagai berikut:

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{2{,}5 \cdot (200)^{2{,}5}}{x^{3{,}5}}, & \text{untuk } x \geq 200 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$$

Tentukan selisih antara persentil ke-30 dan persentil ke-70 dari $X$.

a. $35$
b. $93$
c. $124$
d. $131$
e. $298$

≡Jawaban No. 30›

(b). $93$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.1; Miller Bab 4.2

ℹRumus›

Distribusi Pareto: $\alpha = 2{,}5$, $\theta = 200$.

$$F(x) = 1 - \left(\frac{200}{x}\right)^{2{,}5}, \quad x \geq 200$$

Persentil ke-$p$: $x_p = \dfrac{200}{(1-p)^{1/2{,}5}} = \dfrac{200}{(1-p)^{0{,}4}}$

Diketahui:

• Pareto $\alpha=2{,}5$, $\theta=200$

• Target: $x_{0{,}70} - x_{0{,}30}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Persentil ke-30 ($p=0{,}30$)

$$x_{0{,}30} = \frac{200}{(0{,}70)^{0{,}4}}$$ $$(0{,}70)^{0{,}4} = e^{0{,}4 \ln 0{,}70} = e^{0{,}4 \times (-0{,}3567)} = e^{-0{,}1427} \approx 0{,}8670$$ $$x_{0{,}30} \approx \frac{200}{0{,}8670} \approx 230{,}7$$

Langkah 2: Persentil ke-70 ($p=0{,}70$)

$$x_{0{,}70} = \frac{200}{(0{,}30)^{0{,}4}}$$ $$(0{,}30)^{0{,}4} = e^{0{,}4 \ln 0{,}30} = e^{0{,}4 \times (-1{,}2040)} = e^{-0{,}4816} \approx 0{,}6178$$ $$x_{0{,}70} \approx \frac{200}{0{,}6178} \approx 323{,}7$$

Langkah 3: Selisih

$$x_{0{,}70} - x_{0{,}30} \approx 323{,}7 - 230{,}7 = 93{,}0 \approx 93$$

Hasil Akhir: (b). $93$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Bandingkan dengan soal Agustus 2022 (persentil ke-40 dan ke-80) → selisih $\approx 136$; dan soal April 2022 ini (persentil ke-30 dan ke-70) → selisih $\approx 93$. Distribusi Pareto yang sama tetapi kuantil berbeda.
• Menggunakan eksponen $1/2{,}5 = 0{,}4$ dengan benar — bukan $2{,}5$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Selisih antara persentil ke-30 dan ke-70” = $x_{0{,}70} - x_{0{,}30}$ (persentil lebih tinggi dikurangi lebih rendah, hasilnya positif).

▲Red Flags›

• Rumus Pareto: $x_p = \theta/(1-p)^{1/\alpha}$. Untuk $\alpha = 2{,}5$: eksponen $= 1/2{,}5 = 0{,}4$.