7 2023 11 Cf2 Pembahasan

No. 1

Sebuah koin yang mempunyai 2 sisi yaitu gambar dan angka, dilempar sebanyak $6$ kali berturut-turut. Dengan asumsi pelemparan yang berurutan tidak saling bergantung satu sama lain, tentukanlah peluang terjadinya paling sedikit $3$ gambar yang berurutan atau paling sedikit $3$ angka yang berurutan atau kedua-duanya dalam $6$ kali pelemparan.

a. Kurang dari $0{,}6$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}62$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}62$ tapi kurang dari $0{,}64$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}64$ tapi kurang dari $0{,}66$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}66$

≡Jawaban No. 1›

(a). Kurang dari $0{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.2–1.4; Miller Bab 2

ℹRumus›

Pendekatan komplemen: hitung peluang kejadian gagal (tidak ada 3 berurutan dari sisi apapun), lalu:

$$P(\text{ada 3 berurutan}) = 1 - P(\text{tidak ada 3 berurutan})$$

Ruang sampel: $|\Omega| = 2^6 = 64$ urutan.

Diketahui:

• Koin seimbang, $P(\text{gambar}) = P(\text{angka}) = \frac{1}{2}$

• $n = 6$ lemparan, independen

• Target: $P(\text{paling sedikit 3 gambar berurutan ATAU paling sedikit 3 angka berurutan})$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Definisi dan Strategi

Misalkan $G$ = gambar, $A$ = angka. Kita cari $P(E)$ dimana $E$ = “ada setidaknya 3 G berturut-turut atau setidaknya 3 A berturut-turut”.

Strategi: hitung komplemen $E^c$ = “tidak ada 3 G berturut-turut DAN tidak ada 3 A berturut-turut”. Kemudian $P(E) = 1 - P(E^c)$.

Total outcomes: $2^6 = 64$.

Langkah 2: Enumerasi outcomes yang masuk $E^c$

Kita perlu menghitung barisan $GGAAAG$ (panjang 6) dari $\{G, A\}$ yang:

• Tidak mengandung $GGG$ (3 G berurutan)
• Tidak mengandung $AAA$ (3 A berurutan)

Artinya setiap “run” (blok berurutan) panjangnya paling banyak 2.

Kita enumerasi berdasarkan pola run. Setiap barisan bisa dideskripsikan sebagai run alternating G dan A (atau A dan G). Misalnya $GGAAGG$ = run 2G, 2A, 2G.

Untuk barisan panjang 6 dengan setiap run $\leq 2$:

Kita cari semua komposisi $r_1 + r_2 + \cdots + r_k = 6$ dengan $r_i \in \{1, 2\}$ dan sign alternating (G atau A bergantian).

Komposisi dari 6 dengan bagian di $\{1,2\}$ (urutan penting):

• $k=3$: $2+2+2$ → 1 cara
• $k=4$: permutasi $\{2,2,1,1\}$ dengan pola $2+2+1+1$, $2+1+2+1$, $2+1+1+2$, $1+2+2+1$, $1+2+1+2$, $1+1+2+2$ → $\binom{4}{2} = 6$ cara
• $k=5$: $\{2,1,1,1,1\}$ → $\binom{5}{1} = 5$ cara
• $k=6$: $\{1,1,1,1,1,1\}$ → 1 cara

Total komposisi: $1 + 6 + 5 + 1 = 13$.

Setiap komposisi dapat dimulai dengan G atau A → $13 \times 2 = 26$ barisan.

Langkah 3: Hitung $P(E^c)$ dan $P(E)$

$$P(E^c) = \frac{26}{64} = \frac{13}{32}$$ $$P(E) = 1 - \frac{13}{32} = \frac{19}{32} = 0{,}59375$$

Nilai ini kurang dari $0{,}6$.

Hasil Akhir: (a). Kurang dari $0{,}6$ — tepatnya $P(E) = \dfrac{19}{32} \approx 0{,}594$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung hanya kasus 3 G berurutan secara terpisah lalu menjumlahkan, tanpa memperhitungkan irisan (barisan yang sekaligus mengandung 3G dan 3A berturut-turut) — ini melanggar prinsip inklusi-eksklusi.
• Mengacaukan “paling sedikit 3 berurutan” dengan “tepat 3 berurutan” — “paling sedikit” mencakup run 3, 4, 5, dan 6.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menginterpretasikan “paling sedikit 3 gambar berurutan” sebagai “total gambar ≥ 3” (bukan run berturut-turut).

▲Red Flags›

• Jika soal meminta pola “berurutan” (consecutive run) → gunakan pendekatan enumerasi run atau komplemen, bukan distribusi Binomial biasa.
• Selalu verifikasi: komplemen + target = 1.

---

No. 2

Perusahaan asuransi menawarkan program kesehatan yang mencakup pertanggungan $A$, $B$, dan $C$ kepada karyawan sebuah perusahaan besar. Banyaknya orang yang memilih pertanggungan $A$, $B$, dan $C$ sebanyak $600$, $700$, dan $800$ secara berturut-turut. Banyaknya orang yang memilih sedikitnya $2$ dari $3$ pertanggungan ada sebanyak $350$. Banyaknya orang yang memilih semua pertanggungan ada sebanyak $50$. Tentukanlah banyaknya karyawan pada perusahaan tersebut.

a. $1{.}050$
b. $1{.}100$
c. $1{.}700$
d. $1{.}800$
e. $2{.}100$

≡Jawaban No. 2›

(c). $1{.}700$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.2; Miller Bab 2

ℹRumus›

Prinsip Inklusi-Eksklusi untuk tiga himpunan:

$$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$$

Informasi “sedikitnya 2 dari 3” dihubungkan dengan irisan:

$$|\text{sedikitnya 2}| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2|A \cap B \cap C|$$

Diketahui:

• $|A| = 600$, $|B| = 700$, $|C| = 800$

• $$|\text{sedikitnya 2}| = 350$$
• $$|A \cap B \cap C| = 50$$

• Target: $|A \cup B \cup C|$ = total karyawan (diasumsikan setiap karyawan memilih setidaknya satu pertanggungan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung jumlah irisan pasangan

Rumus untuk “sedikitnya 2”:

$$|\text{sedikitnya 2}| = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2|A \cap B \cap C|$$

Substitusi:

$$350 = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2(50)$$ $$350 = |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 100$$ $$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 450$$

Langkah 2: Terapkan Prinsip Inklusi-Eksklusi

$$|A \cup B \cup C| = 600 + 700 + 800 - 450 + 50$$ $$= 2{.}100 - 450 + 50 = 1{.}700$$

Hasil Akhir: (c). $1{.}700$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Langsung menafsirkan $350$ sebagai $|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$. Padahal “sedikitnya 2” memasukkan yang memilih semua 3 dua kali, sehingga perlu koreksi $-2|A \cap B \cap C|$.
• Lupa menambah kembali $|A \cap B \cap C|$ di langkah inklusi-eksklusi utama.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “banyaknya karyawan” adalah jumlah yang hanya memilih satu pertanggungan saja.

▲Red Flags›

• Jika soal menyebutkan “sedikitnya 2 dari 3” → rumus koreksinya selalu $\Sigma|A_i \cap A_j| - 2|A \cap B \cap C|$.
• Jika semua opsi jawaban sangat berbeda → kemungkinan ada satu langkah kunci yang terlewat.

---

No. 3

Seorang ahli iklim membuat model probabilistik untuk waktu hingga tornado berikutnya dimana $X$ mewakili waktu tersebut, dan $X$ memiliki distribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar $1$ tahun. Misalkan $K$ mewakili jumlah tahun penuh hingga tornado berikutnya muncul, dengan $P(K = k) = P(k < X \leq k+1)$ untuk $k = 0, 1, 2, \ldots$ Tentukanlah nilai dari $E[K]$.

a. Kurang dari $6$ bulan
b. Sekurang-kurangnya $6$ bulan tapi kurang dari $12$ bulan
c. Sekurang-kurangnya $12$ bulan tapi kurang dari $18$ bulan
d. Sekurang-kurangnya $18$ bulan tapi kurang dari $24$ bulan
e. Sekurang-kurangnya $24$ bulan

≡Jawaban No. 3›

(b). Sekurang-kurangnya $6$ bulan tapi kurang dari $12$ bulan

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2, 3.3; Miller Bab 5

ℹRumus›

$X \sim \text{Exp}(\beta = 1)$ (kontinu, support $x > 0$; $\beta$ = parameter scale/mean):

$$F_X(x) = 1 - e^{-x}, \quad x > 0$$

$K = \lfloor X \rfloor$ adalah bagian bilangan bulat dari $X$. Distribusinya adalah Geometrik dengan parameter $p = 1 - e^{-1}$:

$$P(K = k) = e^{-k}(1 - e^{-1}), \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

Nilai harapan Geometrik (mulai $k=0$):

$$E[K] = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}}$$

Diketahui:

• $X \sim \text{Exp}(\beta = 1)$, mean $= 1$ tahun

• $K = \lfloor X \rfloor$ (bagian bulat ke bawah dari $X$)

• Target: $E[K]$ (dalam satuan tahun, lalu konversi ke bulan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan distribusi $K$

$$P(K = k) = P(k < X \leq k+1) = F_X(k+1) - F_X(k)$$ $$= (1 - e^{-(k+1)}) - (1 - e^{-k}) = e^{-k} - e^{-(k+1)} = e^{-k}(1 - e^{-1})$$

Ini adalah distribusi Geometrik (versi mulai dari $k=0$) dengan $q = e^{-1}$, $p = 1 - e^{-1}$.

Langkah 2: Hitung $E[K]$

Untuk distribusi dengan $P(K=k) = p \cdot q^k$ ($k = 0, 1, 2, \ldots$):

$$E[K] = \sum_{k=0}^{\infty} k \cdot p \cdot q^k = \frac{q}{p} = \frac{e^{-1}}{1 - e^{-1}}$$

Langkah 3: Hitung nilai numerik

$$e^{-1} \approx 0{,}3679$$ $$E[K] = \frac{0{,}3679}{1 - 0{,}3679} = \frac{0{,}3679}{0{,}6321} \approx 0{,}5820 \text{ tahun}$$

Konversi ke bulan: $0{,}5820 \times 12 \approx 6{,}98$ bulan.

Nilai ini sekurang-kurangnya 6 bulan tapi kurang dari 12 bulan.

Hasil Akhir: (b). $E[K] \approx 6{,}98$ bulan

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $E[K] = E[X] = 1$ tahun karena $X$ adalah Eksponensial dengan mean 1. $K = \lfloor X \rfloor \neq X$, sehingga $E[K] \neq E[X]$.
• Tidak mengenali bahwa $K$ berdistribusi Geometrik — ini hasil klasik dari “discretization” variabel Eksponensial.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Lupa mengkonversi satuan tahun ke bulan sebelum mencocokkan interval jawaban.

▲Red Flags›

• Jika $X \sim \text{Exp}(\lambda)$ dan $K = \lfloor X \rfloor$ → distribusi $K$ selalu Geometrik dengan $q = e^{-\lambda}$.
• Jika interval jawaban dalam bulan tetapi perhitungan dalam tahun → jangan lupa konversi $\times 12$.

---

No. 4

Misalkan $X$ adalah variabel acak diskrit dimana $P[X = k] = p_k$ untuk $k = 0, 1, 2$.

Diketahui juga bahwa $P_X(0) = 0{,}4$ dimana $P_X(t)$ adalah fungsi pembangkit probabilitas dari $X$ dan $M_X(1) = 3{,}4322$ dimana $M_X(t)$ adalah fungsi pembangkit momen dari $X$. Tentukan nilai dari $P[X = 1]$.

a. $0{,}15$
b. $0{,}2$
c. $0{,}25$
d. $0{,}3$
e. $0{,}35$

≡Jawaban No. 4›

(d). $0{,}3$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.3 Fungsi Pembangkit
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Hogg-McKean-Craig Bab 1.9

ℹRumus›

Fungsi Pembangkit Probabilitas (PGF): $P_X(t) = E[t^X] = \sum_k p_k \cdot t^k$

Fungsi Pembangkit Momen (MGF): $M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_k p_k \cdot e^{tk}$

Untuk $X$ pada support $\{0, 1, 2\}$:

$$P_X(t) = p_0 + p_1 t + p_2 t^2$$ $$M_X(t) = p_0 + p_1 e^t + p_2 e^{2t}$$

Diketahui:

• $X$ diskrit, support $\{0, 1, 2\}$

• $P_X(0) = 0{,}4$ (PGF dievaluasi di $t=0$)

• $M_X(1) = 3{,}4322$ (MGF dievaluasi di $t=1$)

• Target: $p_1 = P[X=1]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan $P_X(0)$

$$P_X(0) = p_0 + p_1 \cdot 0 + p_2 \cdot 0^2 = p_0 = 0{,}4$$

Jadi $p_0 = 0{,}4$.

Langkah 2: Gunakan normalitas probabilitas

$$p_0 + p_1 + p_2 = 1 \implies 0{,}4 + p_1 + p_2 = 1 \implies p_2 = 0{,}6 - p_1$$

Langkah 3: Gunakan $M_X(1)$

$$M_X(1) = p_0 + p_1 e^1 + p_2 e^2$$ $$3{,}4322 = 0{,}4 + p_1 e + (0{,}6 - p_1) e^2$$

Gunakan $e \approx 2{,}7183$, $e^2 \approx 7{,}3891$:

$$3{,}4322 = 0{,}4 + 2{,}7183\,p_1 + 7{,}3891(0{,}6 - p_1)$$ $$3{,}4322 = 0{,}4 + 2{,}7183\,p_1 + 4{,}4335 - 7{,}3891\,p_1$$ $$3{,}4322 = 4{,}8335 + (2{,}7183 - 7{,}3891)\,p_1$$ $$3{,}4322 = 4{,}8335 - 4{,}6708\,p_1$$ $$4{,}6708\,p_1 = 4{,}8335 - 3{,}4322 = 1{,}4013$$ $$p_1 = \frac{1{,}4013}{4{,}6708} \approx 0{,}3000$$

Hasil Akhir: (d). $P[X=1] = 0{,}3$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengacaukan PGF dan MGF: $P_X(t) = E[t^X]$ (basis $t$), sedangkan $M_X(t) = E[e^{tX}]$ (basis $e^t$). Evaluasi keduanya di titik yang berbeda.
• Mengira $P_X(0) = P(X = 0)$ tidak valid — padahal ini justru identitas yang langsung memberikan $p_0$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Lupa syarat normalisasi $\sum p_k = 1$ sebagai persamaan ketiga.

▲Red Flags›

• Jika $P_X(0)$ diberikan → ini langsung memberi $p_0$ (karena semua suku dengan $t^k$, $k \geq 1$ hilang).
• Gunakan nilai $e \approx 2{,}71828$ dan $e^2 \approx 7{,}38906$ secara konsisten.

---

No. 5

Sebuah dadu seimbang dilempar secara terus-menerus secara independen hingga terdapat dua kali pelemparan berturut-turut yang menghasilkan angka yang sama. $X$ menunjukkan banyak lemparan yang diperlukan hingga hal ini terjadi, jadi $X \geq 2$. Tentukanlah $F(x)$, fungsi kumulatif dari $X$ untuk $x \geq 2$.

a. $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{x-1}$
b. $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^x$
c. $1 - \left(\dfrac{1}{6}\right)^{x-1}$
d. $1 - \left(\dfrac{1}{6}\right)^x$
e. $\left(\dfrac{5}{6}\right)^x$

≡Jawaban No. 5›

(a). $1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{x-1}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1–3.2; Miller Bab 3

ℹRumus›

$X$ = jumlah lemparan hingga pertama kali dua lemparan berturut-turut sama.

$$P(X > x) = P(\text{tidak ada dua berturut-turut sama dalam } x \text{ lemparan})$$ $$F(x) = 1 - P(X > x)$$

Diketahui:

• Dadu seimbang dengan 6 sisi

• $X$ = jumlah lemparan hingga pertama kali ada dua lemparan berturut-turut yang sama

• $$X \geq 2$$

• Target: $F(x) = P(X \leq x)$ untuk $x \geq 2$ (integer)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(X > x)$

$P(X > x)$ = peluang bahwa dalam $x$ lemparan pertama, tidak ada dua lemparan berturut-turut yang sama.

Lemparan pertama: bebas, 6 pilihan.

Lemparan ke-2: harus $\neq$ lemparan ke-1 → peluang $\frac{5}{6}$.

Lemparan ke-3: harus $\neq$ lemparan ke-2 → peluang $\frac{5}{6}$.

$$\vdots$$

Lemparan ke-$x$: harus $\neq$ lemparan ke-$(x-1)$ → peluang $\frac{5}{6}$.

Total ada $(x-1)$ transisi antar lemparan berurutan, masing-masing dengan peluang $\frac{5}{6}$ untuk “berbeda”:

$$P(X > x) = \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}$$

Langkah 2: Hitung $F(x)$

$$F(x) = P(X \leq x) = 1 - P(X > x) = 1 - \left(\frac{5}{6}\right)^{x-1}$$

Verifikasi: $F(2) = 1 - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}$ ✓ (peluang dua lemparan pertama sama = $\frac{6}{36} = \frac{1}{6}$)

Hasil Akhir: (a). $F(x) = 1 - \left(\dfrac{5}{6}\right)^{x-1}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Memilih opsi (b) $1 - (5/6)^x$: ini terjadi jika salah menghitung jumlah transisi sebagai $x$ (bukan $x-1$). Ingat: $x$ lemparan menghasilkan $(x-1)$ pasang lemparan berturut-turut.
• Mengacaukan probabilitas “dadu menunjukkan angka tertentu” ($1/6$) dengan probabilitas “dadu berbeda dari lemparan sebelumnya” ($5/6$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menganggap $X$ = jumlah pasang lemparan (bukan total lemparan). Soal mendefinisikan $X \geq 2$ sebagai total lemparan.

▲Red Flags›

• Selalu verifikasi dengan $x=2$: $F(2)$ harus sama dengan $P(\text{lemparan 1 = lemparan 2}) = 1/6$.

---

No. 6

Diketahui $X$ dan $Y$ adalah variabel acak independen yang terdistribusi secara eksponensial, masing-masing memiliki rata-rata sebesar $1$. Tentukanlah median dari variabel acak $X + Y$.

a. Kurang dari $1$
b. Sekurang-kurangnya $1$ tapi kurang dari $1{,}2$
c. Sekurang-kurangnya $1{,}2$ tapi kurang dari $1{,}4$
d. Sekurang-kurangnya $1{,}4$ tapi kurang dari $1{,}6$
e. Sekurang-kurangnya $1{,}6$

≡Jawaban No. 6›

(e). Sekurang-kurangnya $1{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat, 3.1 Distribusi Gabungan
Connected Topics	2.2 Variabel Acak Kontinu
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.3; Miller Bab 6

ℹRumus›

Jika $X, Y \overset{iid}{\sim} \text{Exp}(\beta=1)$ independen, maka:

$$S = X + Y \sim \Gamma(\alpha = 2,\, \beta = 1)$$

PDF dari $S$: $f_S(s) = s\,e^{-s}$, $s > 0$

CDF: $F_S(s) = 1 - e^{-s}(1 + s)$

Median $m$ adalah solusi $F_S(m) = 0{,}5$.

Diketahui:

• $X \sim \text{Exp}(\beta=1)$, $Y \sim \text{Exp}(\beta=1)$, $X \perp Y$

• Target: median $m$ dari $S = X + Y$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Distribusi $S = X + Y$

Jumlah dua variabel Eksponensial independen dengan parameter sama $\beta=1$ mengikuti distribusi Gamma:

$$S \sim \Gamma(\alpha=2, \beta=1)$$ $$f_S(s) = \frac{s^{\alpha-1} e^{-s/\beta}}{\beta^\alpha \Gamma(\alpha)} = \frac{s^1 e^{-s}}{1^2 \cdot 1!} = s\,e^{-s}, \quad s > 0$$

Langkah 2: Turunkan CDF $F_S(s)$

$$F_S(s) = \int_0^s t\,e^{-t}\,dt$$

Integrasi by parts: $u = t$, $dv = e^{-t}dt$ → $du = dt$, $v = -e^{-t}$:

$$F_S(s) = \left[-t\,e^{-t}\right]_0^s + \int_0^s e^{-t}\,dt = -s\,e^{-s} + \left[-e^{-t}\right]_0^s$$ $$= -s\,e^{-s} - e^{-s} + 1 = 1 - e^{-s}(1 + s)$$

Langkah 3: Selesaikan $F_S(m) = 0{,}5$

$$1 - e^{-m}(1 + m) = 0{,}5$$ $$e^{-m}(1 + m) = 0{,}5$$

Selesaikan secara numerik (trial):

• $m = 1{,}6$: $e^{-1{,}6}(1 + 1{,}6) = (0{,}2019)(2{,}6) = 0{,}5249 > 0{,}5$
• $m = 1{,}7$: $e^{-1{,}7}(1 + 1{,}7) = (0{,}1827)(2{,}7) = 0{,}4933 < 0{,}5$

Median $m \approx 1{,}678$ (antara $1{,}6$ dan $1{,}7$).

Nilai ini sekurang-kurangnya $1{,}6$.

Hasil Akhir: (e). Median $\approx 1{,}678 \geq 1{,}6$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira median $S = X+Y$ sama dengan mean $S = 2$, atau median $=$ mean untuk distribusi Gamma (distribusi Gamma tidak simetris, sehingga median $\neq$ mean).
• Lupa bahwa jumlah dua Eksponensial menghasilkan distribusi Gamma, bukan Eksponensial lagi.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mencari median dari masing-masing $X$ atau $Y$ (bukan jumlahnya).

▲Red Flags›

• Jika soal meminta “median” suatu distribusi yang tidak simetris → harus selesaikan $F(m) = 0{,}5$ secara numerik atau analitik.
• Untuk Gamma($\alpha=2, \beta=1$): mean = 2, median $\approx 1{,}678$ — median < mean (kemiringan kanan).

---

No. 7

Sebuah perusahaan mengadakan undian. Ada $10{.}000$ tiket undian yang tersedia, dengan biaya $1$ per tiket. Setiap tiket memiliki nomor unik, dengan penomoran sebagai berikut: $0000, 0001, \ldots, 9999$. Kemudian akan diambil sebuah nomor secara acak setelah semua tiket terjual. Hadiahnya adalah sebagai berikut:

• Angkanya cocok dengan benar: $1{.}000$
• Hanya terdapat tiga digit di tempat yang benar: $100$ (misalnya nomor pemenang adalah $1234$, maka tiket $5234$ akan memenuhi syarat untuk hadiah ini tetapi $2534$ tidak akan memenuhi syarat karena angka "$2$" tidak berada di tempat yang benar)
• Terdapat dua digit di tempat yang benar: $10$

Tentukan keuntungan dari perusahaan tersebut.

a. Kurang dari $250$
b. Sekurang-kurangnya $250$ tapi kurang dari $500$
c. Sekurang-kurangnya $500$ tapi kurang dari $750$
d. Sekurang-kurangnya $750$ tapi kurang dari $1{.}000$
e. Sekurang-kurangnya $1{.}000$

≡Jawaban No. 7›

(c). Sekurang-kurangnya $500$ tapi kurang dari $750$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.3

ℹRumus›

Total pendapatan perusahaan = $10{.}000 \times 1 = 10{.}000$.

Total hadiah yang dibayar (nilai harapan) = $\sum_{\text{kategori}} (\text{hadiah}) \times (\text{banyak tiket kategori tersebut})$.

$$\text{Keuntungan} = 10{.}000 - \text{Total Hadiah}$$

Diketahui:

• $10{.}000$ tiket, harga $1$ per tiket → pendapatan = $10{.}000$

• Nomor pemenang: 4 digit (dengan leading zero)

• Hadiah: cocok semua = $1{.}000$; 3 digit benar di posisi benar = $100$; 2 digit benar di posisi benar = $10$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung tiket menang setiap kategori

Misalkan nomor pemenang adalah $d_1 d_2 d_3 d_4$. Tiket bernomor $a_1 a_2 a_3 a_4$.

Kategori: Semua 4 digit di posisi benar (cocok sempurna): Hanya 1 tiket → hadiah total = $1 \times 1{.}000 = 1{.}000$

Kategori: Tepat 3 digit di posisi benar: Pilih 3 posisi dari 4 untuk cocok: $\binom{4}{3} = 4$ cara. Posisi ke-4 yang tidak cocok: harus berbeda dari digit pemenang → 9 pilihan (bukan 0–9 kecuali $d_i$). Banyak tiket: $4 \times 9 = 36$ tiket → hadiah total = $36 \times 100 = 3{.}600$

Kategori: Tepat 2 digit di posisi benar: Pilih 2 posisi dari 4 untuk cocok: $\binom{4}{2} = 6$ cara. Masing-masing dari 2 posisi yang tidak cocok: 9 pilihan → $9^2 = 81$. Namun harus dikurangi kasus dimana 3 atau 4 posisi cocok (sudah dihitung di atas).

Dengan Inklusi-Eksklusi, banyak tiket dengan tepat 2 posisi cocok:

$$\binom{4}{2} \cdot 9^2 - \binom{4}{3} \cdot 9 \cdot \binom{2}{2} \cdot ...$$

Lebih sederhana: tiket dengan setidaknya 2 posisi cocok di posisi-posisi $i,j$ yang dipilih adalah $9^2 = 81$ (posisi lain bebas $\neq$ digit pemenang). Tapi kita harus tepat 2.

Tiket dengan tepat 2 posisi benar dari $\binom{4}{2}=6$ pasang posisi:

Untuk setiap pasang posisi $(i,j)$: kedua posisi itu cocok, dan 2 posisi lainnya tidak cocok. Jumlah = $\binom{4}{2} \times 9^2 - 3\binom{4}{2}$…

Gunakan prinsip langsung: banyak tiket dengan tepat $k$ dari 4 digit di posisi benar = $\binom{4}{k} \times 9^{4-k}$.

• $k=4$: $1$
• $k=3$: $\binom{4}{3} \times 9 = 36$
• $k=2$: $\binom{4}{2} \times 9^2 = 6 \times 81 = 486$

Langkah 2: Hitung total hadiah

$$\text{Total hadiah} = 1{.}000 + 36 \times 100 + 486 \times 10$$ $$= 1{.}000 + 3{.}600 + 4{.}860 = 9{.}460$$

Langkah 3: Hitung keuntungan

$$\text{Keuntungan} = 10{.}000 - 9{.}460 = 540$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $500$ tapi kurang dari $750$.

Hasil Akhir: (c). Keuntungan $= 540$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $\binom{4}{2} \times 10^2$ (bukan $9^2$) untuk tiket 2 posisi benar — lupa bahwa posisi yang tidak cocok harus menggunakan digit berbeda (9 pilihan, bukan 10).
• Tidak membedakan “tepat $k$ posisi benar” dari “setidaknya $k$ posisi benar”.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Lupa bahwa satu tiket bisa memenuhi hanya satu kategori — tiket dengan 4 digit benar tidak juga memenangkan hadiah kategori 3 digit.

▲Red Flags›

• Verifikasi: total tiket menang = $1 + 36 + 486 = 523 \ll 10{.}000$ — masuk akal.
• Formula “tepat $k$ dari $n$ digit cocok di posisi benar” = $\binom{n}{k} \times 9^{n-k}$.

---

No. 8

Seorang peserta memenangkan $1$ atau kehilangan $1$ pada setiap permainan. Asumsikan permainan yang berurutan tidak bergantung satu sama lain. Peluang untuk seseorang menang sebesar $0{,}51$. Dari jumlah permainan berikut, tentukanlah yang merupakan jumlah minimum permainan yang harus dilakukan agar seseorang memiliki probabilitas minimal $0{,}99$ untuk memenangkan total minimal $1{.}000{.}000$ (gunakan aproksimasi normal).

a. $5{.}100$
b. $51{.}000$
c. $510{.}000$
d. $5{.}100{.}000$
e. $51{.}000{.}000$

≡Jawaban No. 8›

(e). $51{.}000{.}000$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	4.4 Hukum Bilangan Besar
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.3; Miller Bab 7

ℹRumus›

Misalkan $Y_i \in \{+1, -1\}$ dengan $P(Y_i = 1) = 0{,}51$, $P(Y_i = -1) = 0{,}49$.

$S_n = \sum_{i=1}^n Y_i$ = total kemenangan setelah $n$ permainan.

Aproksimasi Normal (CLT): $S_n \approx N(n\mu, n\sigma^2)$

$$P(S_n \geq c) \approx P\!\left(Z \geq \frac{c - n\mu}{\sigma\sqrt{n}}\right) \geq 0{,}99$$

Diketahui:

• $p = 0{,}51$ (menang), $q = 0{,}49$ (kalah)

• $Y_i = +1$ (menang) atau $-1$ (kalah)

• $$\mu = E[Y_i] = 0{,}51 - 0{,}49 = 0{,}02$$

• $E[Y_i^2] = 0{,}51 + 0{,}49 = 1$ → $\sigma^2 = 1 - (0{,}02)^2 = 0{,}9996 \approx 1$

• Target: $P(S_n \geq 1{.}000{.}000) \geq 0{,}99$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Parameter distribusi $S_n$

$$E[S_n] = n\mu = 0{,}02n$$ $$\text{Var}(S_n) = n\sigma^2 \approx n \quad (\text{karena } \sigma^2 \approx 1)$$

Langkah 2: Standardisasi kondisi

$$P(S_n \geq 10^6) \approx P\!\left(Z \geq \frac{10^6 - 0{,}02n}{\sqrt{n}}\right) \geq 0{,}99$$

Agar $P(Z \geq z_0) \geq 0{,}99$, perlu $z_0 \leq -2{,}326$ (karena $z_{0{,}01} = 2{,}326$):

$$\frac{10^6 - 0{,}02n}{\sqrt{n}} \leq -2{,}326$$

Langkah 3: Selesaikan pertidaksamaan

$$10^6 - 0{,}02n \leq -2{,}326\sqrt{n}$$ $$0{,}02n - 2{,}326\sqrt{n} - 10^6 \geq 0$$

Misalkan $u = \sqrt{n}$:

$$0{,}02u^2 - 2{,}326u - 10^6 \geq 0$$

Gunakan rumus kuadrat: $a = 0{,}02$, $b = -2{,}326$, $c = -10^6$:

$$u = \frac{2{,}326 + \sqrt{(2{,}326)^2 + 4(0{,}02)(10^6)}}{2(0{,}02)}$$ $$= \frac{2{,}326 + \sqrt{5{,}410 + 80{.}000}}{0{,}04} = \frac{2{,}326 + \sqrt{80{.}005{,}410}}{0{,}04}$$ $$\sqrt{80{.}005} \approx 282{,}85$$ $$u \approx \frac{2{,}326 + 282{,}85}{0{,}04} = \frac{285{,}176}{0{,}04} \approx 7{.}129{,}4$$

Jadi $\sqrt{n} \approx 7{.}129{,}4$ → $n \approx (7{.}129{,}4)^2 \approx 50{.}828{.}000$.

Minimum $n$ dari pilihan yang tersedia: $n = 51{.}000{.}000$.

Hasil Akhir: (e). $51{.}000{.}000$ permainan

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $z_{0{,}01} = 2{,}33$ dengan tanda yang salah: karena kita ingin $P(S_n \geq c) \geq 0{,}99$, nilai kritis $z$ harus negatif (ekor kiri), bukan positif.
• Mengabaikan $\sigma^2 \approx 1$ dan menggunakan rumus berbeda — untuk soal ini aproksimasi $\sigma^2 = 1$ sangat baik.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “menang total minimal $1{.}000{.}000$” artinya menang $10^6$ pertandingan (bukan total kemenangan bersih $\geq 10^6$).

▲Red Flags›

• Soal CLT/aproksimasi normal yang meminta $n$ minimum → selesaikan sebagai persamaan kuadrat dalam $\sqrt{n}$.
• Skala jawaban yang sangat berbeda (5.100 vs 51.000.000) → hati-hati orde besarnya.

---

No. 9

Diketahui suatu fungsi probabilitas bersama yaitu

$$f(x, y) = \frac{x + 2y}{c}, \quad x = 0, 1, 2 \;;\; y = 0, 1, \ldots, x$$

Tentukanlah nilai dari $E[Y]$.

a. Kurang dari $1{,}1$
b. Sekurang-kurangnya $1{,}1$ tapi kurang dari $1{,}5$
c. Sekurang-kurangnya $1{,}5$ tapi kurang dari $1{,}9$
d. Sekurang-kurangnya $1{,}9$ tapi kurang dari $2{,}4$
e. Sekurang-kurangnya $2{,}4$

≡Jawaban No. 9›

(b). Sekurang-kurangnya $1{,}1$ tapi kurang dari $1{,}5$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.2 Distribusi Marginal
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Hogg-McKean-Craig Bab 2.1

ℹRumus›

Untuk mencari $E[Y]$, gunakan distribusi marginal $p_Y(y)$:

$$p_Y(y) = \sum_{x} f(x, y)$$ $$E[Y] = \sum_y y \cdot p_Y(y) = \frac{1}{c}\sum_{(x,y)} y(x + 2y)$$

Konstanta normalisasi: $c = \sum_{x,y} (x + 2y)$.

Diketahui:

• $f(x,y) = \frac{x+2y}{c}$ untuk $x \in \{0,1,2\}$, $y \in \{0,1,\ldots,x\}$

• Support: $(x,y)$ diskrit, $y \leq x$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan semua pasangan $(x,y)$ yang valid dan nilai $x+2y$

$(x, y)$	$x + 2y$
$(0, 0)$	$0$
$(1, 0)$	$1$
$(1, 1)$	$3$
$(2, 0)$	$2$
$(2, 1)$	$4$
$(2, 2)$	$6$

Langkah 2: Hitung konstanta $c$

$$c = 0 + 1 + 3 + 2 + 4 + 6 = 16$$

Langkah 3: Hitung $E[Y]$

$$E[Y] = \frac{1}{c} \sum_{(x,y)} y \cdot (x + 2y)$$

$(x, y)$	$y \cdot (x+2y)$
$(0, 0)$	$0 \cdot 0 = 0$
$(1, 0)$	$0 \cdot 1 = 0$
$(1, 1)$	$1 \cdot 3 = 3$
$(2, 0)$	$0 \cdot 2 = 0$
$(2, 1)$	$1 \cdot 4 = 4$
$(2, 2)$	$2 \cdot 6 = 12$

$$E[Y] = \frac{0 + 0 + 3 + 0 + 4 + 12}{16} = \frac{19}{16} = 1{,}1875$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $1{,}1$ tapi kurang dari $1{,}5$.

Hasil Akhir: (b). $E[Y] = \dfrac{19}{16} \approx 1{,}19$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung $E[Y]$ menggunakan distribusi marginal $p_Y(y)$ tanpa menghitung $c$ terlebih dahulu — distribusi tidak valid tanpa normalisasi.
• Salah menentukan support: ingat $y$ berjalan dari $0$ sampai $x$ (bukan hingga nilai tertentu yang tetap).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira support simetris, misalnya $0 \leq x, y \leq 2$ — padahal ada batasan $y \leq x$.

▲Red Flags›

• Selalu tuliskan tabel semua pasangan $(x,y)$ yang valid untuk distribusi diskrit dengan support non-standar.
• Cek: $\sum f(x,y) = c/c = 1$ ✓.

---

No. 10

Sebuah produsen peralatan menawarkan garansi pada salah satu produknya. Harga produk tersebut sebesar $100$. Jika produk rusak dalam waktu satu tahun, maka garansi akan mengembalikan harga penuh. Jika produk rusak pada tahun kedua, garansi akan mengembalikan setengah harga. Jika produk rusak pada tahun ketiga, garansi akan mengembalikan $150\left(1 - \dfrac{t}{3}\right)$, dimana $t$ mewakili waktu hingga terjadi kerusakan dalam tahun (misalkan produk rusak pada pertengahan tahun ketiga, maka garansi akan mengembalikan $150 \times \left(1 - \dfrac{2{,}5}{3}\right) = 25$). Produsen mengasumsikan distribusi untuk waktu sejak pembelian hingga terjadinya kerusakan memiliki fungsi densitas sebagai berikut, dimana $t$ (dalam tahun):

$$f(t) = \begin{cases} 0{,}08t, & 0 < t < 5 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}$$

Tentukanlah perkiraan biaya garansi.

a. Kurang dari $10$
b. Sekurang-kurangnya $10$ tapi kurang dari $11$
c. Sekurang-kurangnya $11$ tapi kurang dari $12$
d. Sekurang-kurangnya $12$ tapi kurang dari $13$
e. Sekurang-kurangnya $13$

≡Jawaban No. 10›

(e). Sekurang-kurangnya $13$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Connected Topics	2.1 Variabel Acak Diskrit
Referensi	Miller Bab 4; Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.4

ℹRumus›

Biaya garansi $W(t)$ didefinisikan secara piecewise. Perkiraan biaya garansi:

$$E[W] = \int_0^{\infty} W(t) \cdot f(t)\,dt = \int_0^1 W(t)\,f(t)\,dt + \int_1^2 W(t)\,f(t)\,dt + \int_2^3 W(t)\,f(t)\,dt$$

Diketahui:

• $f(t) = 0{,}08t$ untuk $0 < t < 5$
• Fungsi biaya garansi:

$$W(t) = \begin{cases} 100, & 0 < t \leq 1 \\ 50, & 1 < t \leq 2 \\ 150\left(1 - \dfrac{t}{3}\right), & 2 < t \leq 3 \\ 0, & t > 3 \end{cases}$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Integral pada $0 < t \leq 1$ (pengembalian penuh $= 100$)

$$I_1 = \int_0^1 100 \cdot 0{,}08t\,dt = 8 \int_0^1 t\,dt = 8 \cdot \frac{1}{2} = 4$$

Langkah 2: Integral pada $1 < t \leq 2$ (pengembalian setengah $= 50$)

$$I_2 = \int_1^2 50 \cdot 0{,}08t\,dt = 4\int_1^2 t\,dt = 4 \cdot \left[\frac{t^2}{2}\right]_1^2 = 4 \cdot \frac{4-1}{2} = 4 \cdot 1{,}5 = 6$$

Langkah 3: Integral pada $2 < t \leq 3$ (pengembalian $= 150(1 - t/3)$)

$$I_3 = \int_2^3 150\!\left(1 - \frac{t}{3}\right) \cdot 0{,}08t\,dt = 12\int_2^3 t\!\left(1 - \frac{t}{3}\right)dt$$ $$= 12\int_2^3 \left(t - \frac{t^2}{3}\right)dt = 12\left[\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{9}\right]_2^3$$ $$= 12\left[\left(\frac{9}{2} - \frac{27}{9}\right) - \left(\frac{4}{2} - \frac{8}{9}\right)\right]$$ $$= 12\left[\left(4{,}5 - 3\right) - \left(2 - 0{,}889\right)\right] = 12\left[1{,}5 - 1{,}111\right] = 12 \times 0{,}389 = 4{,}667$$

Lebih tepat: $\left[\frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{9}\right]_2^3 = \left(\frac{9}{2} - 3\right) - \left(2 - \frac{8}{9}\right) = \frac{3}{2} - \frac{10}{9} = \frac{27}{18} - \frac{20}{18} = \frac{7}{18}$

$$I_3 = 12 \times \frac{7}{18} = \frac{84}{18} = \frac{14}{3} \approx 4{,}667$$

Langkah 4: Total perkiraan biaya garansi

$$E[W] = I_1 + I_2 + I_3 = 4 + 6 + \frac{14}{3} = 10 + \frac{14}{3} = \frac{30 + 14}{3} = \frac{44}{3} \approx 14{,}67$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $13$.

Hasil Akhir: (e). $E[W] = \dfrac{44}{3} \approx 14{,}67$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengintegrasikan $W(t)$ saja tanpa mengalikan dengan $f(t)$ — nilai harapan membutuhkan bobot probabilitas.
• Salah batas integrasi untuk $I_3$: gunakan $[2, 3]$, bukan $[0, 3]$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “tahun kedua” berarti $1 \leq t < 2$ atau $1 < t \leq 2$ — perlu konsisten; soal menggunakan interval terbuka/tertutup yang tidak mengubah nilai integral untuk distribusi kontinu.

▲Red Flags›

• Biaya garansi 0 untuk $t > 3$ → tidak perlu mengintegrasikan hingga $t = 5$.
• Selalu verifikasi: $\int_0^5 0{,}08t\,dt = 0{,}08 \cdot \frac{25}{2} = 1$ ✓ (PDF valid).

---

No. 11

Diketahui $X_1$, $X_2$, dan $X_3$ merupakan variabel acak eksponensial yang saling independen dengan rata-rata masing-masing $1$, $2$, dan $3$. $Y$ didefinisikan sebagai $\max\{X_1, X_2, X_3\}$. Tentukan nilai dari $E[Y]$.

a. Kurang dari $3$
b. Sekurang-kurangnya $3$ tapi kurang dari $4$
c. Sekurang-kurangnya $4$ tapi kurang dari $5$
d. Sekurang-kurangnya $5$ tapi kurang dari $6$
e. Sekurang-kurangnya $6$

≡Jawaban No. 11›

(b). Sekurang-kurangnya $3$ tapi kurang dari $4$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.3, 5.2; Miller Bab 6.7

ℹRumus›

Untuk $Y = \max\{X_1, X_2, X_3\}$ dengan $X_i$ independen:

$$F_Y(y) = P(Y \leq y) = P(X_1 \leq y) P(X_2 \leq y) P(X_3 \leq y) = F_{X_1}(y) F_{X_2}(y) F_{X_3}(y)$$ $$E[Y] = \int_0^\infty [1 - F_Y(y)]\,dy \quad \text{(karena } Y \geq 0\text{)}$$

Diketahui:

• $X_i \sim \text{Exp}(\beta_i)$ independen: $\beta_1 = 1$, $\beta_2 = 2$, $\beta_3 = 3$

• $$F_{X_i}(y) = 1 - e^{-y/\beta_i}$$
• $$Y = \max\{X_1, X_2, X_3\}$$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $F_Y(y)$

$$F_Y(y) = (1-e^{-y})(1-e^{-y/2})(1-e^{-y/3}), \quad y > 0$$

Langkah 2: Hitung $1 - F_Y(y)$

Kembangkan menggunakan Inklusi-Eksklusi:

$$1 - F_Y(y) = 1 - \prod_{i=1}^3 (1 - e^{-y/\beta_i})$$

Ekspansi:

$$= e^{-y} + e^{-y/2} + e^{-y/3} - e^{-y-y/2} - e^{-y-y/3} - e^{-y/2-y/3} + e^{-y-y/2-y/3}$$ $$= e^{-y} + e^{-y/2} + e^{-y/3} - e^{-3y/2} - e^{-4y/3} - e^{-5y/6} + e^{-11y/6}$$

Langkah 3: Integrasikan untuk mendapat $E[Y]$

$$E[Y] = \int_0^\infty e^{-y}\,dy + \int_0^\infty e^{-y/2}\,dy + \int_0^\infty e^{-y/3}\,dy - \int_0^\infty e^{-3y/2}\,dy - \int_0^\infty e^{-4y/3}\,dy - \int_0^\infty e^{-5y/6}\,dy + \int_0^\infty e^{-11y/6}\,dy$$

Gunakan $\int_0^\infty e^{-ay}\,dy = \frac{1}{a}$:

$$E[Y] = 1 + 2 + 3 - \frac{2}{3} - \frac{3}{4} - \frac{6}{5} + \frac{6}{11}$$ $$= 6 - \frac{2}{3} - \frac{3}{4} - \frac{6}{5} + \frac{6}{11}$$

KPK dari 3, 4, 5, 11 = 660:

$$= 6 - \frac{440}{660} - \frac{495}{660} - \frac{792}{660} + \frac{360}{660}$$ $$= 6 - \frac{440 + 495 + 792 - 360}{660} = 6 - \frac{1{.}367}{660}$$ $$= 6 - 2{,}071 = 3{,}929$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $3$ tapi kurang dari $4$.

Hasil Akhir: (b). $E[Y] \approx 3{,}929$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $E[\max] = \max\{E[X_1], E[X_2], E[X_3]\} = 3$ — ini salah. $E[\max] > \max\{E[X_i]\}$ secara umum tidak berlaku; perlu menghitung distribusi maksimum secara eksplisit.
• Salah ekspansi inklusi-eksklusi tiga himpunan, khususnya tanda $+$ pada suku ketiga.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengacaukan $\max$ (maximum/order statistic tertinggi) dengan $\min$.

▲Red Flags›

• Untuk $E[Y] = \int_0^\infty [1-F_Y(y)]\,dy$ → berlaku hanya jika $Y \geq 0$.
• Gunakan Inklusi-Eksklusi saat mengekspansi produk $(1-a)(1-b)(1-c)$.

---

No. 12

Sebuah koin dilempar sebanyak $100$ kali. Pelemparannya tidak tergantung satu sama lain. Banyaknya gambar yang muncul ketika koin dilempar adalah $X$. Tentukanlah nilai dari bilangan bulat terkecil $k$ (dengan menerapkan pendekatan normal dengan koreksi bilangan bulat) yang memenuhi hubungan probabilitas

$$P(50 - k \leq X \leq 50 + k) \geq 0{,}95$$

a. $6$
b. $7$
c. $8$
d. $9$
e. $10$

≡Jawaban No. 12›

(e). $10$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5.3; Miller Bab 7.2

ℹRumus›

$X \sim B(n=100, p=0{,}5)$, dengan aproksimasi Normal:

$$\mu = np = 50, \quad \sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{25} = 5$$

Koreksi kontinuitas: $P(a \leq X \leq b) \approx P(a - 0{,}5 \leq Z^* \leq b + 0{,}5)$ dimana $Z^* = \dfrac{X - \mu}{\sigma}$.

Diketahui:

• $X \sim B(100, 0{,}5)$, $\mu = 50$, $\sigma = 5$

• Target: integer terkecil $k$ agar $P(50-k \leq X \leq 50+k) \geq 0{,}95$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan koreksi kontinuitas

$$P(50-k \leq X \leq 50+k) \approx P\!\left(\frac{(50-k) - 0{,}5 - 50}{5} \leq Z \leq \frac{(50+k) + 0{,}5 - 50}{5}\right)$$ $$= P\!\left(\frac{-k - 0{,}5}{5} \leq Z \leq \frac{k + 0{,}5}{5}\right) = 2\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5}{5}\right) - 1$$

Langkah 2: Tentukan syarat

$$2\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5}{5}\right) - 1 \geq 0{,}95$$ $$\Phi\!\left(\frac{k+0{,}5}{5}\right) \geq 0{,}975$$

Dari tabel Normal: $\Phi(1{,}96) = 0{,}975$, sehingga:

$$\frac{k+0{,}5}{5} \geq 1{,}96$$ $$k + 0{,}5 \geq 9{,}8$$ $$k \geq 9{,}3$$

Langkah 3: Tentukan bilangan bulat terkecil

Bilangan bulat terkecil yang memenuhi $k \geq 9{,}3$ adalah $k = 10$.

Hasil Akhir: (e). $k = 10$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak menerapkan koreksi kontinuitas sehingga mendapat $k \geq 9{,}8 \to k=10$ tetap, namun prosesnya tidak valid untuk soal yang secara eksplisit meminta koreksi.
• Menggunakan $z_{0{,}025} = 1{,}96$ tetapi lupa bahwa ini untuk distribusi dua sisi (bukan satu sisi).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengabaikan kata “bilangan bulat terkecil” — jika hasil $9{,}3$, tidak boleh membulatkan ke 9 (yang tidak memenuhi).

▲Red Flags›

• Koreksi kontinuitas: tambah $0{,}5$ ke batas atas dan kurang $0{,}5$ dari batas bawah sebelum standardisasi.
• Untuk interval simetri sekitar mean → hasil standardisasi juga simetris, gunakan $2\Phi(z) - 1$.

---

No. 13

Misalkan $X$ dan $Y$ adalah variabel acak yang saling independen dan masing-masing berdistribusi seragam pada interval $[0, 2]$. Diketahui $U = \min\{X, Y\}$ dan $W = \max\{X, Y\}$. Tentukan nilai dari $\text{Cov}(U, W)$.

a. $\dfrac{1}{9}$
b. $\dfrac{5}{9}$
c. $\dfrac{8}{9}$
d. $\dfrac{1}{4}$
e. $\dfrac{1}{2}$

≡Jawaban No. 13›

(a). $\dfrac{1}{9}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.5 Independensi dan Korelasi
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan, 2.6 Distribusi Kontinu Umum
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Hogg-McKean-Craig Bab 2.5

ℹRumus›

$$\text{Cov}(U, W) = E[UW] - E[U]\,E[W]$$

Kunci: $U + W = X + Y$ dan $UW = XY$ (karena $\{\min, \max\}$ hanyalah permutasi dari $\{X, Y\}$).

$$E[UW] = E[XY] = E[X]\,E[Y] \quad \text{(karena X,Y independen)}$$

Diketahui:

• $X, Y \overset{iid}{\sim} U(0, 2)$, independen

• $U = \min\{X,Y\}$, $W = \max\{X,Y\}$

• $E[X] = E[Y] = 1$, $E[X^2] = \frac{4}{3}$, $\text{Var}(X) = \frac{1}{3}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan identitas kunci

$UW = \min(X,Y) \cdot \max(X,Y) = XY$ (karena produk min dan max sama dengan produk kedua bilangan aslinya).

Oleh karena $X, Y$ independen:

$$E[UW] = E[XY] = E[X] \cdot E[Y] = 1 \times 1 = 1$$

Langkah 2: Hitung $E[U]$ dan $E[W]$

Untuk dua variabel $U(0,2)$ i.i.d.:

$$E[U] = E[\min(X,Y)] = \frac{2}{3} \cdot 0 + \frac{1}{3} \cdot 2$$

Gunakan rumus order statistics untuk $U(0,2)$:

$$E[X_{(1)}] = \frac{0 + 2}{1+2} = \frac{2}{3}, \quad E[X_{(2)}] = \frac{2 \cdot 2}{1+2} \cdot \frac{1+1}{2} = \frac{4}{3}$$

Lebih tepat: untuk $X_{(k)}$ dari sampel ukuran $n$ dari $U(a,b)$:

$$E[X_{(k)}] = a + (b-a)\frac{k}{n+1}$$

Dengan $n=2$, $a=0$, $b=2$:

$$E[U] = E[X_{(1)}] = 0 + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$$ $$E[W] = E[X_{(2)}] = 0 + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{3}$$

Verifikasi: $E[U] + E[W] = \frac{2}{3} + \frac{4}{3} = 2 = E[X] + E[Y]$ ✓

Langkah 3: Hitung Kovarians

$$\text{Cov}(U, W) = E[UW] - E[U]\,E[W] = 1 - \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} = 1 - \frac{8}{9} = \frac{1}{9}$$

Hasil Akhir: (a). $\text{Cov}(U, W) = \dfrac{1}{9}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak menyadari identitas $UW = XY$. Banyak peserta langsung mencari distribusi bersama $(U,W)$ yang jauh lebih panjang.
• Mengira $U$ dan $W$ independen (karena $X$ dan $Y$ independen) — padahal $U$ dan $W$ berkorelasi positif ($\text{Cov} > 0$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menggunakan formula order statistic untuk distribusi lain, bukan Uniform.

▲Red Flags›

• Identitas berguna: $\min(X,Y) + \max(X,Y) = X + Y$ dan $\min(X,Y) \cdot \max(X,Y) = XY$.
• Untuk Uniform$(a,b)$ sampel $n$: $E[X_{(k)}] = a + (b-a)\frac{k}{n+1}$.

---

No. 14

Diketahui bahwa peluang seseorang yang memiliki asuransi jiwa tradisional, memiliki asuransi PAYDI sebesar $0{,}6$. Diketahui juga peluang seseorang yang memiliki asuransi PAYDI, memiliki asuransi jiwa tradisional sebesar $0{,}8$. Misalkan $R$ adalah peluang seseorang memiliki asuransi jiwa tradisional atau asuransi PAYDI dan $Q$ adalah peluang seseorang memiliki asuransi jiwa tradisional. Tentukanlah nilai dari $R/Q$.

a. Kurang dari $1$
b. Sekurang-kurangnya $1$ tapi kurang dari $1{,}5$
c. Sekurang-kurangnya $1{,}5$ tapi kurang dari $2$
d. Sekurang-kurangnya $2$ tapi kurang dari $2{,}5$
e. Sekurang-kurangnya $2{,}5$

≡Jawaban No. 14›

(b). Sekurang-kurangnya $1$ tapi kurang dari $1{,}5$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.4 Probabilitas Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.3; Miller Bab 2.3

ℹRumus›

Misalkan $T$ = kejadian memiliki asuransi jiwa tradisional, $P$ = kejadian memiliki PAYDI.

$$P(P \mid T) = 0{,}6, \quad P(T \mid P) = 0{,}8$$ $$P(T \cap P) = P(P \mid T) \cdot P(T) = P(T \mid P) \cdot P(P)$$ $$R = P(T \cup P) = P(T) + P(P) - P(T \cap P)$$

Diketahui:

• $P(P \mid T) = 0{,}6$ → $P(T \cap P) = 0{,}6\,Q$

• $P(T \mid P) = 0{,}8$ → $P(T \cap P) = 0{,}8\,P(P)$

• $Q = P(T)$, $R = P(T \cup P)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hubungkan irisan

$$P(T \cap P) = 0{,}6\,Q \quad \text{dan} \quad P(T \cap P) = 0{,}8\,P(P)$$ $$\Rightarrow P(P) = \frac{0{,}6\,Q}{0{,}8} = 0{,}75\,Q$$

Langkah 2: Hitung $R$

$$R = Q + 0{,}75Q - 0{,}6Q = 1{,}15Q$$

Langkah 3: Hitung $R/Q$

$$\frac{R}{Q} = \frac{1{,}15Q}{Q} = 1{,}15$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $1$ tapi kurang dari $1{,}5$.

Hasil Akhir: (b). $R/Q = 1{,}15$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengacaukan $P(P \mid T)$ dan $P(T \mid P)$ — keduanya berbeda dan tidak boleh dipertukarkan.
• Mengira $R/Q = 1$ karena “asuransi jiwa tradisional adalah bagian dari gabungan”.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $Q$ adalah nilai tertentu (misalnya $Q = 0{,}5$) padahal $Q$ adalah variabel bebas yang saling menghilangkan dalam rasio.

▲Red Flags›

• $R/Q$ bebas dari nilai aktual $Q$ → ini petunjuk bahwa jawaban dapat dinyatakan dalam konstanta saja.

---

No. 15

Suatu kafe memiliki undian dimana seseorang diharuskan untuk mengambil $3$ bola (tanpa pengembalian) secara acak dari sebuah kotak yang terdiri atas $3$ bola hijau dan $7$ bola merah. Seseorang akan mendapatkan “hadiah” jika dapat mengambil minimal $2$ bola hijau dari $3$ bola yang telah dipilih tersebut. Setiap orang hanya boleh mendapatkan undian ini sehari sekali. Seseorang akan mendapatkan hadiah utama jika dalam seminggu dia bisa mendapatkan “hadiah” sebanyak minimal dua kali dalam seminggu. Tentukanlah peluang seseorang mendapatkan hadiah utama.

a. Kurang dari $0{,}2$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}8$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}8$

≡Jawaban No. 15›

(b). Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2

ℹRumus›

Distribusi Hipergeometrik — memilih $n$ dari $N$ (tanpa pengembalian) dengan $K$ sukses:

$$P(X = k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

Setelah mendapat $p$ (peluang “hadiah” sekali), peluang hadiah utama menggunakan Distribusi Binomial $B(7, p)$.

Diketahui:

• Kotak: 3 hijau, 7 merah, $N=10$

• Ambil $n=3$ tanpa pengembalian

• “Hadiah” = minimal 2 hijau

• Seminggu = 7 hari, independen

• Hadiah utama = minimal 2 hari mendapat “hadiah”

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $p = P(\text{hadiah sekali})$

$$p = P(X \geq 2) = P(X=2) + P(X=3)$$ $$P(X=2) = \frac{\binom{3}{2}\binom{7}{1}}{\binom{10}{3}} = \frac{3 \times 7}{120} = \frac{21}{120}$$ $$P(X=3) = \frac{\binom{3}{3}\binom{7}{0}}{\binom{10}{3}} = \frac{1 \times 1}{120} = \frac{1}{120}$$ $$p = \frac{22}{120} = \frac{11}{60} \approx 0{,}1833$$

Langkah 2: Hitung peluang hadiah utama (Binomial)

$Y \sim B(7, p)$ dimana $p = \frac{11}{60}$.

$$P(Y \geq 2) = 1 - P(Y=0) - P(Y=1)$$ $$P(Y=0) = \left(\frac{49}{60}\right)^7 \approx (0{,}8167)^7$$

$(0{,}8167)^2 \approx 0{,}6670$, $(0{,}8167)^4 \approx 0{,}4449$, $(0{,}8167)^7 \approx 0{,}2692$

$$P(Y=1) = 7 \times \frac{11}{60} \times \left(\frac{49}{60}\right)^6 \approx 7 \times 0{,}1833 \times (0{,}8167)^6$$ $$(0{,}8167)^6 \approx 0{,}3297$$ $$P(Y=1) \approx 7 \times 0{,}1833 \times 0{,}3297 \approx 0{,}3296 \times 0{,}3297...$$

Lebih tepat: $P(Y=1) = \binom{7}{1}(11/60)^1(49/60)^6 = 7 \times \frac{11}{60} \times \frac{49^6}{60^6}$

Numerik: $49^6 = 13{.}841{.}287{.}201$, $60^6 = 46{.}656{.}000{.}000$

$$P(Y=1) \approx 7 \times 0{,}18333 \times 0{,}29670 \approx 0{,}3805$$ $$P(Y=0) \approx (49/60)^7 = 13{.}841{.}287{.}201 \times 49 / 60^7 \approx 0{,}2420$$ $$P(Y \geq 2) = 1 - 0{,}2420 - 0{,}3805 \approx 0{,}377$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$.

Hasil Akhir: (b). $P(\text{hadiah utama}) \approx 0{,}377$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan distribusi Binomial untuk pengambilan bola tanpa pengembalian — harus Hipergeometrik.
• Lupa bahwa setiap hari undian independen (kotak dikembalikan setiap hari), sehingga Binomial valid untuk langkah kedua.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “minimal 2 kali” dari 7 hari berarti “minimal 2 hari berturut-turut” — bukan, cukup 2 hari kapanpun.

▲Red Flags›

• Masalah dua tahap: tahap 1 (Hipergeometrik) → tahap 2 (Binomial). Identifikasi distribusi yang tepat untuk setiap tahap.

---

No. 16

Diketahui fungsi densitas bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$$f(x, y) = 3x \quad \text{untuk } 0 < x < 1 \text{ dan } 1 - x < y < 1$$

Tentukan nilai dari $P[Y < X]$.

a. $\dfrac{1}{8}$
b. $\dfrac{1}{4}$
c. $\dfrac{5}{8}$
d. $\dfrac{1}{2}$
e. $\dfrac{3}{8}$

≡Jawaban No. 16›

(c). $\dfrac{5}{8}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu, 1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	3.2 Distribusi Marginal
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.1; Miller Bab 4.6

ℹRumus›

$$P(Y < X) = \iint_{D} f(x,y)\,dy\,dx$$

dimana $D$ adalah wilayah support yang dipotong dengan syarat $y < x$.

Diketahui:

• $f(x,y) = 3x$ untuk $0 < x < 1$ dan $1-x < y < 1$

• Support asli: $\{(x,y) : 0 < x < 1,\; 1-x < y < 1\}$

• Target: $P(Y < X)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan wilayah integrasi

Kondisi asli: $1-x < y < 1$ dan $0 < x < 1$.

Tambah syarat: $y < x$.

Perlu: $\max(1-x, 0) < y < \min(x, 1)$. Karena $0 < x < 1$ dan $1-x > 0$ untuk $x < 1$:

• Untuk $x > 1/2$: $1-x < 1/2 < x$, sehingga $y$ berjalan dari $1-x$ hingga $x$. Namun $y$ juga harus $< 1$ (selalu terpenuhi karena $x < 1$).

• Untuk $x \leq 1/2$: $1-x \geq 1/2 \geq x$, sehingga $y < x \leq 1-x$ — irisan kosong.

Jadi wilayah integrasi: $1/2 < x < 1$, $1-x < y < x$.

Langkah 2: Evaluasi integral

$$P(Y < X) = \int_{1/2}^1 \int_{1-x}^x 3x\,dy\,dx$$ $$= \int_{1/2}^1 3x\,[y]_{1-x}^x\,dx = \int_{1/2}^1 3x\,(x - (1-x))\,dx$$ $$= \int_{1/2}^1 3x(2x-1)\,dx = \int_{1/2}^1 (6x^2 - 3x)\,dx$$ $$= \left[2x^3 - \frac{3x^2}{2}\right]_{1/2}^1$$ $$= \left(2 - \frac{3}{2}\right) - \left(2 \cdot \frac{1}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{4}\right)$$ $$= \frac{1}{2} - \left(\frac{1}{4} - \frac{3}{8}\right) = \frac{1}{2} - \left(-\frac{1}{8}\right) = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} = \frac{5}{8}$$

Hasil Akhir: (c). $P(Y < X) = \dfrac{5}{8}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengintegrasikan $y$ dari $0$ hingga $x$ tanpa memperhatikan batas bawah asli $y > 1-x$.
• Tidak mengidentifikasi bahwa irisan support dengan $\{y < x\}$ hanya ada untuk $x > 1/2$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Salah membaca support: $1-x < y < 1$ adalah batas pada $y$, bukan $y < 1-x$.

▲Red Flags›

• Selalu gambar region support terlebih dahulu sebelum mengintegrasikan.
• Periksa: $\int\int_{\text{support}} f(x,y)\,dA = 1$ sebelum menghitung probabilitas spesifik.

---

No. 17

Diketahui fungsi densitas bersama dari variabel acak $X$ dan $Y$ sebagai berikut:

$$f(x, y) = 12xy \quad \text{untuk } 0 < x < 1,\; 0 < y < x^2$$

Tentukan $E[Y \mid X = 0{,}5]$.

a. $\dfrac{1}{10}$
b. $\dfrac{1}{9}$
c. $\dfrac{1}{8}$
d. $\dfrac{1}{7}$
e. $\dfrac{1}{6}$

≡Jawaban No. 17›

(e). $\dfrac{1}{6}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.2 Distribusi Marginal, 3.1 Distribusi Gabungan
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.3; Miller Bab 4.7

ℹRumus›

PDF bersyarat: $f_{Y|X}(y \mid x) = \dfrac{f(x,y)}{f_X(x)}$

$$E[Y \mid X = x] = \int y \cdot f_{Y|X}(y \mid x)\,dy$$

Diketahui:

• $f(x,y) = 12xy$ untuk $0 < x < 1$, $0 < y < x^2$

• Target: $E[Y \mid X = 0{,}5]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PDF marginal $f_X(x)$

$$f_X(x) = \int_0^{x^2} 12xy\,dy = 12x \cdot \frac{y^2}{2}\Bigg|_0^{x^2} = 12x \cdot \frac{x^4}{2} = 6x^5, \quad 0 < x < 1$$

Langkah 2: Hitung PDF bersyarat $f_{Y|X}(y \mid x)$

$$f_{Y|X}(y \mid x) = \frac{12xy}{6x^5} = \frac{2y}{x^4}, \quad 0 < y < x^2$$

Langkah 3: Hitung $E[Y \mid X = 0{,}5]$

$$E[Y \mid X = 0{,}5] = \int_0^{(0{,}5)^2} y \cdot \frac{2y}{(0{,}5)^4}\,dy = \int_0^{0{,}25} \frac{2y^2}{1/16}\,dy = 32\int_0^{0{,}25} y^2\,dy$$ $$= 32 \cdot \frac{y^3}{3}\Bigg|_0^{0{,}25} = 32 \cdot \frac{(0{,}25)^3}{3} = 32 \cdot \frac{1/64}{3} = 32 \cdot \frac{1}{192} = \frac{32}{192} = \frac{1}{6}$$

Hasil Akhir: (e). $E[Y \mid X = 0{,}5] = \dfrac{1}{6}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung $E[Y]$ (marginal) bukan $E[Y \mid X = 0{,}5]$ (bersyarat) — dua hal yang berbeda.
• Batas integrasi untuk $y$ dalam PDF bersyarat harus menggunakan $x = 0{,}5$, sehingga $y$ berjalan dari $0$ hingga $(0{,}5)^2 = 0{,}25$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Tidak mensubstitusikan $x = 0{,}5$ ke batas atas integrasi $y < x^2$.

▲Red Flags›

• Selalu periksa: $\int f_{Y|X}(y \mid x)\,dy = 1$ sebelum menghitung nilai harapan bersyarat.

---

No. 18

Misalkan $X$ adalah banyaknya penulisan typo pada bab pertama dan $Y$ adalah banyaknya penulisan typo pada bab kedua. Diketahui $X$ dan $Y$ berdistribusi Poisson dengan mean sebesar $4$ dan $5$ secara berturut-turut, dimana $X$ dan $Y$ juga saling independen. Jika diketahui total banyaknya typo dari kedua bab tersebut sebanyak $8$, maka tentukanlah probabilitas banyaknya penulisan typo pada bab pertama sebanyak $6$.

a. Kurang dari $0{,}1$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}1$ tapi kurang dari $0{,}2$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}3$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}3$ tapi kurang dari $0{,}4$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}4$

≡Jawaban No. 18›

(a). Kurang dari $0{,}1$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2; Miller Bab 5.1

ℹRumus›

Sifat Poisson: Jika $X \sim \text{Poisson}(\lambda_1)$, $Y \sim \text{Poisson}(\lambda_2)$, $X \perp Y$, maka:

$$X + Y \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$$

Distribusi bersyarat: $X \mid (X+Y = n) \sim B\!\left(n,\, \dfrac{\lambda_1}{\lambda_1 + \lambda_2}\right)$

Diketahui:

• $X \sim \text{Poisson}(4)$, $Y \sim \text{Poisson}(5)$, $X \perp Y$

• $X + Y = 8$ (given)

• Target: $P(X = 6 \mid X+Y = 8)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan sifat distribusi bersyarat Poisson

Diketahui $X + Y = 8$, maka $X \mid (X+Y=8) \sim B\!\left(8, \frac{4}{9}\right)$.

Langkah 2: Hitung probabilitas

$$P(X = 6 \mid X+Y = 8) = \binom{8}{6}\left(\frac{4}{9}\right)^6\left(\frac{5}{9}\right)^2$$ $$= 28 \times \frac{4096}{531{.}441} \times \frac{25}{81}$$ $$= 28 \times \frac{4096 \times 25}{531{.}441 \times 81}$$ $$= 28 \times \frac{102{.}400}{43{.}046{.}721}$$ $$= \frac{2{.}867{.}200}{43{.}046{.}721} \approx 0{,}0666$$

Nilai ini kurang dari $0{,}1$.

Hasil Akhir: (a). $P(X=6 \mid X+Y=8) \approx 0{,}0666$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak mengenali bahwa distribusi bersyarat Poisson sum adalah Binomial. Tanpa sifat ini, perlu menghitung $P(X=6, Y=2) / P(X+Y=8)$ secara eksplisit — hasilnya sama, tetapi lebih panjang.
• Menggunakan $p = 4/5$ (bukan $4/9$) — parameter Binomial adalah $\lambda_X / (\lambda_X + \lambda_Y) = 4/9$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menghitung $P(X=6)$ tanpa syarat — soal ini mengharuskan probabilitas bersyarat.

▲Red Flags›

• Sifat kunci: Poisson bersyarat → Binomial. Hafal: $p = \lambda_X / (\lambda_X + \lambda_Y)$.

---

No. 19

Diketahui $X$ menunjukkan jumlah pasien yang mengunjungi klinik dokter gigi dalam sehari. Fungsi probabilitas $X$ adalah $P(X = 2) = 0{,}2$, $P(X = 3) = 0{,}5$, $P(X = 4) = 0{,}3$. $25\%$ pasien yang mengunjungi klinik membutuhkan perawatan gigi kosmetik dan $75\%$ lainnya membutuhkan layanan gigi lainnya. Pasien tidak bergantung satu sama lain. Tentukanlah probabilitas banyaknya pasien yang memerlukan perawatan gigi kosmetik dalam sehari adalah paling sedikit $3$ orang.

a. Kurang dari $0{,}025$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}025$ tapi kurang dari $0{,}05$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}05$ tapi kurang dari $0{,}075$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}075$ tapi kurang dari $0{,}1$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}1$

≡Jawaban No. 19›

(a). Kurang dari $0{,}025$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.7 Distribusi Majemuk
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Connected Topics	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Misalkan $K$ = jumlah pasien kosmetik, $X$ = total pasien.

$$K \mid X \sim B(X, p=0{,}25)$$

Hukum Total Probabilitas:

$$P(K \geq 3) = \sum_{x=2}^{4} P(K \geq 3 \mid X = x)\,P(X = x)$$

Diketahui:

• $P(X=2)=0{,}2$, $P(X=3)=0{,}5$, $P(X=4)=0{,}3$

• $p = 0{,}25$ per pasien (independen)

• Target: $P(K \geq 3)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(K \geq 3 \mid X = x)$ untuk setiap $x$

$x = 2$: $K \mid X=2 \sim B(2, 0{,}25)$. $P(K \geq 3 \mid X=2) = 0$ (tidak mungkin $K > X$).

$x = 3$: $K \mid X=3 \sim B(3, 0{,}25)$.

$$P(K \geq 3 \mid X=3) = P(K=3) = \binom{3}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^0 = (0{,}25)^3 = 0{,}015625$$

$x = 4$: $K \mid X=4 \sim B(4, 0{,}25)$.

$$P(K \geq 3 \mid X=4) = P(K=3) + P(K=4)$$ $$= \binom{4}{3}(0{,}25)^3(0{,}75)^1 + \binom{4}{4}(0{,}25)^4(0{,}75)^0$$ $$= 4 \times 0{,}015625 \times 0{,}75 + 0{,}00390625$$ $$= 0{,}046875 + 0{,}00390625 = 0{,}05078125$$

Langkah 2: Terapkan Hukum Total Probabilitas

$$P(K \geq 3) = 0 \times 0{,}2 + 0{,}015625 \times 0{,}5 + 0{,}05078125 \times 0{,}3$$ $$= 0 + 0{,}007813 + 0{,}015234 = 0{,}023047$$

Nilai ini kurang dari $0{,}025$.

Hasil Akhir: (a). $P(K \geq 3) \approx 0{,}0230$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak menyadari bahwa $P(K \geq 3 \mid X=2) = 0$ — jumlah pasien kosmetik tidak bisa melebihi total pasien.
• Menggunakan distribusi Poisson untuk $K$ alih-alih Binomial bersyarat.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $p = 0{,}25$ adalah rata-rata, bukan probabilitas per pasien.

▲Red Flags›

• Compound distribution: jika $K \mid X \sim B(X,p)$ dan $X$ adalah variabel acak → gunakan Hukum Total Probabilitas, bukan langsung Binomial.

---

No. 20

Diketahui $X$ dan $Y$ merupakan variabel acak sedemikian sehingga $W = X + Y$ dan $Z = X - Y$. Tentukanlah pernyataan mana yang selalu benar.

a. $\text{Cov}(W, Z) \geq 0$
b. $\text{Cov}(W, Z) > 0$
c. $\text{Cov}(W, Z) \leq 0$
d. $\text{Cov}(W, Z) < 0$
e. Tidak ada satu pun dari opsi a, b, c, d yang selalu benar

≡Jawaban No. 20›

(e). Tidak ada satu pun dari opsi a, b, c, d yang selalu benar

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.5 Independensi dan Korelasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-McKean-Craig Bab 2.4; Miller Bab 4.9

ℹRumus›

$$\text{Cov}(W, Z) = \text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$$

Gunakan bilinearitas kovarians: $\text{Cov}(aX+bY, cX+dY) = ac\,\text{Var}(X) + (ad+bc)\,\text{Cov}(X,Y) + bd\,\text{Var}(Y)$

Diketahui:

• $W = X+Y$, $Z = X-Y$ untuk variabel acak $X$, $Y$ sembarang

• Target: tanda $\text{Cov}(W,Z)$ yang selalu berlaku

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Ekspansi kovarians

$$\text{Cov}(W,Z) = \text{Cov}(X+Y, X-Y)$$ $$= \text{Cov}(X,X) - \text{Cov}(X,Y) + \text{Cov}(Y,X) - \text{Cov}(Y,Y)$$ $$= \text{Var}(X) - \text{Cov}(X,Y) + \text{Cov}(X,Y) - \text{Var}(Y)$$ $$= \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$$

Langkah 2: Analisis tanda

• Jika $\text{Var}(X) > \text{Var}(Y)$: $\text{Cov}(W,Z) > 0$ → opsi (b) terpenuhi
• Jika $\text{Var}(X) < \text{Var}(Y)$: $\text{Cov}(W,Z) < 0$ → opsi (d) terpenuhi
• Jika $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$: $\text{Cov}(W,Z) = 0$ → tidak ada opsi a–d yang terpenuhi

Karena tidak ada asumsi tentang hubungan antara $\text{Var}(X)$ dan $\text{Var}(Y)$, tidak ada pernyataan yang selalu benar.

Hasil Akhir: (e). Tidak ada satu pun dari opsi a, b, c, d yang selalu benar

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $\text{Cov}(W,Z)$ bergantung pada $\text{Cov}(X,Y)$ — padahal suku ini saling menghilangkan.
• Mengira $\text{Cov}(W,Z) = 0$ selalu karena ”$W$ dan $Z$ simetris” — ini hanya benar jika $\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Tidak mencoba contoh kontra untuk opsi a–d sebelum memilih (e).

▲Red Flags›

• Jika jawaban berbentuk “selalu benar” → coba counter-example untuk masing-masing opsi.
• Bilinearitas kovarians: $\text{Cov}(X+Y, X-Y) = \text{Var}(X) - \text{Var}(Y)$ adalah hasil standar yang perlu dihafalkan.

---

No. 21

Untuk jenis kultur bakteri tertentu, waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri berlipat ganda memiliki distribusi seragam kontinu antara $8$ dan $12$ jam. Untuk jenis kultur bakteri lainnya, jumlah waktu yang diperlukan agar jumlah bakteri berlipat ganda memiliki distribusi seragam kontinu antara $10$ dan $15$ jam. Dengan asumsi bahwa kedua kultur bakteri tersebut tumbuh secara independen, tentukan peluang bahwa kultur bakteri pertama akan berlipat ganda sebelum kultur bakteri kedua berlipat ganda.

a. Kurang dari $0{,}8$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}8$ tapi kurang dari $0{,}85$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}85$ tapi kurang dari $0{,}9$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}9$ tapi kurang dari $0{,}95$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}95$

≡Jawaban No. 21›

(d). Sekurang-kurangnya $0{,}9$ tapi kurang dari $0{,}95$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	2.2 Variabel Acak Kontinu
Referensi	Miller Bab 4.6; Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2

ℹRumus›

$X \sim U(8, 12)$, $Y \sim U(10, 15)$, $X \perp Y$.

$$P(X < Y) = \int\int_{\{x < y\}} f_X(x)\,f_Y(y)\,dx\,dy$$

PDF: $f_X(x) = \frac{1}{4}$ untuk $8 \leq x \leq 12$; $f_Y(y) = \frac{1}{5}$ untuk $10 \leq y \leq 15$.

Diketahui:

• $X \sim U(8,12)$, $Y \sim U(10,15)$, independen

• Target: $P(X < Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan wilayah integrasi

Support bersama: $8 \leq x \leq 12$, $10 \leq y \leq 15$.

Syarat: $x < y$.

Analisis kasus berdasarkan $x$:

• Jika $8 \leq x < 10$: $y$ berjalan dari $\max(x, 10) = 10$ hingga $15$. Karena $x < 10 \leq y$, syarat $x < y$ selalu terpenuhi → $y$ dari $10$ hingga $15$ (panjang $5$).

• Jika $10 \leq x \leq 12$: $y$ harus $> x$ dan $y \in [10, 15]$ → $y$ dari $x$ hingga $15$ (panjang $15-x$).

Langkah 2: Evaluasi integral

$$P(X < Y) = \int_8^{10} \frac{1}{4} \int_{10}^{15} \frac{1}{5}\,dy\,dx + \int_{10}^{12} \frac{1}{4} \int_x^{15} \frac{1}{5}\,dy\,dx$$

Bagian 1 ($x \in [8,10]$):

$$I_1 = \int_8^{10} \frac{1}{4} \cdot \frac{5}{5}\,dx = \int_8^{10} \frac{1}{4} \cdot 1\,dx = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$$

Bagian 2 ($x \in [10,12]$):

$$I_2 = \int_{10}^{12} \frac{1}{4} \cdot \frac{15-x}{5}\,dx = \frac{1}{20}\int_{10}^{12}(15-x)\,dx$$ $$= \frac{1}{20}\left[15x - \frac{x^2}{2}\right]_{10}^{12} = \frac{1}{20}\left[\left(180 - 72\right) - \left(150 - 50\right)\right]$$ $$= \frac{1}{20}[108 - 100] = \frac{8}{20} = \frac{2}{5}$$

Langkah 3: Total

$$P(X < Y) = \frac{1}{2} + \frac{2}{5} = \frac{5}{10} + \frac{4}{10} = \frac{9}{10} = 0{,}9$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}9$ tapi kurang dari $0{,}95$.

Hasil Akhir: (d). $P(X < Y) = 0{,}9$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak memisahkan kasus $x < 10$ dan $x \geq 10$ dalam integrasi — batas bawah $y$ bergantung pada nilai $x$.
• Mengintegrasikan $y$ dari $0$ hingga $15$ tanpa memperhatikan support $y \geq 10$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “berlipat ganda lebih cepat” berarti $X < Y$ dalam semua kasus selalu benar karena rata-rata $X$ lebih kecil.

▲Red Flags›

• Untuk $P(X < Y)$ dengan dua distribusi Uniform yang memiliki support yang overlap sebagian → selalu pecah menjadi 2 kasus integrasi.

---

No. 22

Diketahui $X$ berdistribusi Poisson dengan rata-rata sebesar $1$. Didefinisikan $Y$ sebagai variabel acak dengan probabilitas sebagai berikut:

$$P[Y = 0] = \alpha \quad \text{dimana } 0 < \alpha < 1$$ $$P[Y = x] = c \times P[X = x] \quad \text{untuk } x = 1, 2, \ldots$$

dimana $\alpha$ dan $c$ adalah suatu konstanta. Tentukanlah nilai dari $E[Y]$ dalam $\alpha$.

a. $\dfrac{1-\alpha}{1-e^{-\alpha}}$
b. $\dfrac{1-\alpha}{e^{\alpha}-1}$
c. $\dfrac{1-\alpha}{1-e^{-1}}$
d. $\dfrac{1-\alpha}{e-1}$
e. $\dfrac{\alpha}{e-1}$

≡Jawaban No. 22›

(c). $\dfrac{1-\alpha}{1-e^{-1}}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.3 Fungsi Pembangkit
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk
Referensi	Miller Bab 5.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2

ℹRumus›

$X \sim \text{Poisson}(\lambda=1)$: $P(X=x) = \dfrac{e^{-1}}{x!}$ untuk $x = 0, 1, 2, \ldots$

Syarat normalisasi: $\sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y) = 1$

$$E[Y] = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot c \cdot P(X=x) = c \cdot E[X \mid X \geq 1] \cdot P(X \geq 1)$$

Diketahui:

• $P(Y=0) = \alpha$, $P(Y=x) = c \cdot \frac{e^{-1}}{x!}$ untuk $x \geq 1$

• Normalisasi wajib

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan $c$ dari normalisasi

$$\sum_{y=0}^{\infty} P(Y=y) = \alpha + \sum_{x=1}^{\infty} c \cdot \frac{e^{-1}}{x!} = 1$$ $$\sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-1}}{x!} = \sum_{x=0}^{\infty} \frac{e^{-1}}{x!} - e^{-1} = 1 - e^{-1}$$

Sehingga:

$$\alpha + c(1 - e^{-1}) = 1 \implies c = \frac{1-\alpha}{1 - e^{-1}}$$

Langkah 2: Hitung $E[Y]$

$$E[Y] = \sum_{x=1}^{\infty} x \cdot c \cdot \frac{e^{-1}}{x!} = c \sum_{x=1}^{\infty} \frac{x \cdot e^{-1}}{x!} = c \sum_{x=1}^{\infty} \frac{e^{-1}}{(x-1)!}$$ $$= c \cdot e^{-1} \sum_{x=1}^{\infty} \frac{1}{(x-1)!} = c \cdot e^{-1} \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = c \cdot e^{-1} \cdot e = c$$

Jadi $E[Y] = c = \dfrac{1-\alpha}{1-e^{-1}}$.

Hasil Akhir: (c). $E[Y] = \dfrac{1-\alpha}{1-e^{-1}}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa bahwa $\sum_{x=0}^{\infty} P(X=x) = 1$ (total Poisson), sehingga $\sum_{x=1}^{\infty} P(X=x) = 1 - e^{-1}$ (bukan $1$).
• Salah hitung: $\sum_{x=1}^{\infty} x \cdot \frac{e^{-1}}{x!} = e^{-1} \cdot e = 1$ (ini adalah $E[X] = \lambda = 1$, benar).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengacaukan $e^{-\alpha}$ (hasil opsi a) dengan $e^{-1}$ yang benar — perhatikan parameter Poisson adalah $\lambda = 1$, bukan $\lambda = \alpha$.

▲Red Flags›

• Identitas: $\sum_{x=1}^{\infty} \frac{x\lambda^x e^{-\lambda}}{x!} = \lambda$ (mean Poisson). Di sini $\lambda=1$.
• Hasil menarik: $E[Y] = c$ (nilai harapan sama dengan konstanta normalisasi).

---

No. 23

Banyaknya angin topan $X$ yang menyerang pulau tertentu dalam satu bulan memiliki distribusi sebagai berikut:

$$P(X = k) = 0{,}8 \times 0{,}2^k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

Hal ini berlaku untuk setiap bulan Juni, Juli, dan Agustus. Diasumsikan bahwa jumlah angin topan di bulan tertentu tidak bergantung pada jumlah di bulan lainnya. Tentukanlah probabilitas paling sedikit tiga angin topan terjadi untuk periode tiga bulan Juni, Juli, dan Agustus.

a. Kurang dari $0{,}05$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}05$ tapi kurang dari $0{,}0525$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}0525$ tapi kurang dari $0{,}055$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}055$ tapi kurang dari $0{,}0575$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}0575$

≡Jawaban No. 23›

(e). Sekurang-kurangnya $0{,}0575$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.7 Distribusi Majemuk
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 2.3 Fungsi Pembangkit
Connected Topics	3.5 Independensi dan Korelasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.2; Miller Bab 5

ℹRumus›

$P(X=k) = 0{,}8 \times 0{,}2^k = (1-0{,}2) \times 0{,}2^k$ → ini adalah distribusi Geometrik (mulai $k=0$) dengan $p = 0{,}8$, $q = 0{,}2$.

PGF Geometrik: $G_X(t) = \dfrac{p}{1-qt}$

Total $S = X_1 + X_2 + X_3$ (tiga bulan independen):

$$G_S(t) = [G_X(t)]^3 = \left(\frac{0{,}8}{1-0{,}2t}\right)^3$$

Diketahui:

• $X_i \sim \text{Geom}(p=0{,}8)$ untuk $i=1,2,3$ (Juni, Juli, Agustus), independen

• Target: $P(S \geq 3)$ dimana $S = X_1 + X_2 + X_3$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Distribusi Binomial Negatif

Jumlah $r=3$ variabel Geometrik$(p)$ i.i.d. mengikuti Binomial Negatif $\text{NB}(r=3, p=0{,}8)$:

$$P(S = k) = \binom{k+2}{2}(0{,}8)^3(0{,}2)^k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots$$

Langkah 2: Hitung $P(S \geq 3) = 1 - P(S \leq 2)$

$$P(S=0) = \binom{2}{2}(0{,}8)^3(0{,}2)^0 = 1 \times 0{,}512 = 0{,}512$$ $$P(S=1) = \binom{3}{2}(0{,}8)^3(0{,}2)^1 = 3 \times 0{,}512 \times 0{,}2 = 0{,}3072$$ $$P(S=2) = \binom{4}{2}(0{,}8)^3(0{,}2)^2 = 6 \times 0{,}512 \times 0{,}04 = 0{,}12288$$ $$P(S \leq 2) = 0{,}512 + 0{,}3072 + 0{,}12288 = 0{,}94208$$ $$P(S \geq 3) = 1 - 0{,}94208 = 0{,}05792$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}0575$.

Hasil Akhir: (e). $P(S \geq 3) \approx 0{,}0579$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak mengenali distribusi sebagai Geometrik (mulai $k=0$) — formula PMF-nya $p(1-p)^k$ dengan $p=0{,}8$, $q=0{,}2$.
• Salah formula Binomial Negatif: PMF untuk “jumlah gagal sebelum $r$ sukses” adalah $\binom{k+r-1}{k}p^r q^k$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “paling sedikit 3 angin topan” maksudnya setiap bulan ≥ 1 topan (total ≥ 3 bulan ada topan), bukan total topan ≥ 3.

▲Red Flags›

• Jumlah $r$ Geometrik$(p)$ i.i.d. → NB$(r, p)$ dengan PMF $\binom{k+r-1}{r-1}p^r q^k$ (parameterisasi “jumlah gagal”).

---

No. 24

Dalam suatu final tenis meja, sebuah tim dikatakan menang jika memenangkan minimal $4$ dari $7$ pertandingan yang ada. Menurut statistik, jika sebuah tim telah memenangkan $3$ pertandingan dan kalah $1$ pertandingan dari $4$ pertandingan pertama, tim tersebut memiliki peluang $80\%$ untuk memenangkan final tersebut. Statistik juga menunjukkan bahwa jika sebuah tim memenangkan $3$ pertandingan dan kalah $1$ pertandingan dari $4$ pertandingan pertama dan kemudian kalah pada pertandingan ke-$5$, tim tersebut memiliki peluang $65\%$ untuk memenangkan final tersebut. Tentukan peluang bahwa tim yang memenangkan $3$ pertandingan dan kalah $1$ pertandingan dari $4$ pertandingan pertama akan memenangkan pertandingan berikutnya.

a. $\dfrac{2}{7}$
b. $\dfrac{3}{7}$
c. $\dfrac{4}{7}$
d. $\dfrac{5}{7}$
e. $\dfrac{6}{7}$

≡Jawaban No. 24›

(b). $\dfrac{3}{7}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2.4

ℹRumus›

Misalkan $p$ = peluang menang pertandingan ke-5 (yang dicari).

Kondisi awal: 3 menang, 1 kalah → perlu 1 menang lagi dari sisa 3 pertandingan (ke-5, ke-6, ke-7).

Hukum Total Probabilitas:

$$P(\text{menang final} \mid 3W1L) = p \cdot P(\text{menang final} \mid 3W2L) + (1-p) \cdot P(\text{menang final} \mid 3W2L \text{ tapi kalah game 5})$$

Tapi lebih tepat menggunakan dekomposisi berdasarkan hasil game ke-5.

Diketahui:

• $$P(\text{menang final} \mid 3W1L) = 0{,}80$$

• $P(\text{menang final} \mid 3W2L) = 0{,}65$ (kalah game ke-5)

• Misalkan $p = P(\text{menang game ke-5} \mid 3W1L)$

• Jika menang game ke-5: posisi jadi $4W1L$ → sudah menang final (sudah 4 menang!)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Analisis struktur setelah game ke-5

Setelah 4 pertandingan: posisi $3W1L$.

• Jika menang game ke-5: posisi $4W1L$ → sudah menang final (4 dari 5 game, memenuhi minimal 4 dari 7). $P(\text{menang final} \mid 4W1L) = 1$.
• Jika kalah game ke-5: posisi $3W2L$ → $P(\text{menang final} \mid 3W2L) = 0{,}65$.

Langkah 2: Terapkan Hukum Total Probabilitas

$$P(\text{menang final} \mid 3W1L) = p \cdot 1 + (1-p) \cdot 0{,}65$$ $$0{,}80 = p + 0{,}65 - 0{,}65p$$ $$0{,}80 = 0{,}65 + 0{,}35p$$ $$0{,}35p = 0{,}15$$ $$p = \frac{0{,}15}{0{,}35} = \frac{15}{35} = \frac{3}{7}$$

Hasil Akhir: (b). $p = \dfrac{3}{7}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak menyadari bahwa jika menang game ke-5, final langsung selesai ($P=1$), bukan perlu 2 game lagi.
• Mengira $P(\text{menang final} \mid 4W1L) \neq 1$ — padahal 4 kemenangan sudah cukup untuk juara.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Membaca “65% setelah kalah game ke-5” sebagai peluang keseluruhan, bukan peluang bersyarat setelah event tertentu.

▲Red Flags›

• Selalu periksa apakah game ke-5 dapat langsung menentukan pemenang final sebelum menghitung probabilitas.

---

No. 25

Diketahui $X$ berdistribusi eksponensial dengan mean sebesar $1$. Diketahui juga variabel acak $Y$ dimana $Y = \sqrt{X}$. Tentukanlah fungsi densitas probabilitas dari $Y$.

a. $\dfrac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}$
b. $e^{-\sqrt{y}}$
c. $2y\,e^{-y^2}$
d. $e^{-y^2}$
e. $\dfrac{e^{-\sqrt{y}}}{2y^2}$

≡Jawaban No. 25›

(c). $2y\,e^{-y^2}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.7; Miller Bab 6.3

ℹRumus›

Metode Jacobian (transformasi univariat): Jika $Y = g(X)$ monoton dan diferensiabel:

$$f_Y(y) = f_X(x)\,\left|\frac{dx}{dy}\right| \quad \text{dimana } x = g^{-1}(y)$$

Diketahui:

• $X \sim \text{Exp}(\beta=1)$: $f_X(x) = e^{-x}$, $x > 0$

• $Y = \sqrt{X}$, sehingga $y > 0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Invers transformasi

$Y = \sqrt{X}$ → $X = Y^2$. Karena $X > 0$, $Y > 0$.

Langkah 2: Jacobian

$$\frac{dx}{dy} = 2y$$ $$\left|\frac{dx}{dy}\right| = 2y$$

Langkah 3: PDF dari $Y$

$$f_Y(y) = f_X(y^2) \cdot 2y = e^{-y^2} \cdot 2y = 2y\,e^{-y^2}, \quad y > 0$$

Ini adalah distribusi Rayleigh (atau Weibull dengan shape $= 2$).

Verifikasi: $\int_0^\infty 2y\,e^{-y^2}\,dy = \left[-e^{-y^2}\right]_0^\infty = 1$ ✓

Hasil Akhir: (c). $f_Y(y) = 2y\,e^{-y^2}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Memilih opsi (a) $\frac{e^{-\sqrt{y}}}{2\sqrt{y}}$: ini adalah PDF dari $Y^2$ (bukan $\sqrt{X}$) — terjadi jika salah menetapkan transformasi invers.
• Lupa mengalikan dengan $|dx/dy| = 2y$: memilih opsi (d) $e^{-y^2}$ (tanpa Jacobian).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $Y = X^2$ (bukan $\sqrt{X}$) — baca soal dengan teliti.

▲Red Flags›

• Transformasi $Y = g(X)$: invers $X = g^{-1}(Y)$, Jacobian $= |dg^{-1}/dy|$, bukan $|dg/dx|$.
• Selalu verifikasi: $\int f_Y(y)\,dy = 1$.

---

No. 26

Dua bola dijatuhkan sedemikian rupa sehingga setiap bola memiliki kemungkinan yang sama untuk jatuh ke salah satu dari lima lubang yang ada. Kedua bola dapat jatuh ke dalam lubang yang sama. Misalkan $X$ adalah banyaknya lubang kosong di akhir percobaan. Tentukanlah fungsi pembangkit momen dari $X$.

a. $\dfrac{7}{4} - \dfrac{1}{2}t$, jika $t = 2, 3$ dan $0$, untuk $t$ lainnya
b. $\dfrac{1}{5}\left(e^{2t} + e^{3t}\right)$
c. $\dfrac{1}{5}\left(e^{3t} + e^{4t}\right)$
d. $\dfrac{1}{5}\left(4e^{3t} + e^{4t}\right)$
e. $\dfrac{1}{5}\left(e^{3t/5} + 4e^{t/5}\right)$

≡Jawaban No. 26›

(d). $\dfrac{1}{5}\left(4e^{3t} + e^{4t}\right)$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.3 Fungsi Pembangkit
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Miller Bab 5

ℹRumus›

$$M_X(t) = E[e^{tX}] = \sum_x e^{tx} \cdot P(X=x)$$

Diketahui:

• 5 lubang, 2 bola dijatuhkan independen (setiap bola masuk lubang mana pun dengan prob $1/5$)

• $X$ = banyaknya lubang kosong (tidak terisi bola)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan nilai $X$ yang mungkin

• Jika kedua bola masuk lubang yang sama: 4 lubang kosong → $X = 4$.
• Jika kedua bola masuk lubang yang berbeda: 3 lubang kosong → $X = 3$.

Langkah 2: Hitung probabilitas

$$P(\text{bola 2 masuk lubang sama dengan bola 1}) = \frac{1}{5}$$ $$P(X = 4) = \frac{1}{5}$$ $$P(X = 3) = \frac{4}{5}$$

Verifikasi: $\frac{1}{5} + \frac{4}{5} = 1$ ✓

Langkah 3: Hitung MGF

$$M_X(t) = e^{3t} \cdot \frac{4}{5} + e^{4t} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{5}\left(4e^{3t} + e^{4t}\right)$$

Hasil Akhir: (d). $M_X(t) = \dfrac{1}{5}\left(4e^{3t} + e^{4t}\right)$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Memilih opsi (b) atau (c): menghilangkan bobot probabilitas — $P(X=3)=4/5 \neq 1/5$.
• Menghitung total lubang (5) bukan lubang kosong.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $X$ bisa bernilai 0, 1, 2, 3, 4 padahal dengan 2 bola dan 5 lubang, minimum 3 lubang selalu kosong.

▲Red Flags›

• Identifikasi nilai $X$ yang mungkin terlebih dahulu sebelum menghitung PMF dan MGF.
• Untuk MGF diskrit: $M_X(t) = \sum_k P(X=k) e^{kt}$ — bukan $\sum_k P(X=k) \cdot k \cdot t$.

---

No. 27

Andi dan Budi merupakan seorang asisten dosen pada suatu kelas. Diketahui hal-hal sebagai berikut:

• Setiap harinya mereka bergantian menjaga kelas tersebut.
• Pada kelas tersebut akan diadakan $2$ aktivitas yang diadakan pada pagi dan sore hari.
• Setiap aktivitas akan diundi dari suatu undian yang terdiri atas $3$ aktivitas indoor dan $1$ aktivitas outdoor.

Diketahui juga bahwa:

• Jika pada hari tersebut Andi menjaga kelas, maka Andi akan mengundi $1$ aktivitas pada pagi hari kemudian mengembalikan undian tersebut, kemudian mengundi lagi pada sore hari.
• Jika pada hari tersebut Budi menjaga kelas, maka Budi akan mengundi $1$ aktivitas pada pagi hari (tanpa mengembalikan undian tersebut), kemudian mengundi lagi pada sore hari.

Jika diketahui aktivitas pada suatu hari adalah $1$ aktivitas indoor dan $1$ aktivitas outdoor, tentukanlah probabilitas bahwa yang menjaga kelas pada hari tersebut adalah Andi.

a. Kurang dari $0{,}2$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}2$ tapi kurang dari $0{,}4$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}6$ tapi kurang dari $0{,}8$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}8$

≡Jawaban No. 27›

(c). Sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2.4

ℹRumus›

Teorema Bayes:

$$P(A \mid E) = \frac{P(E \mid A)\,P(A)}{P(E \mid A)\,P(A) + P(E \mid B)\,P(B)}$$

dimana $A$ = Andi jaga, $B$ = Budi jaga, $E$ = “1 indoor + 1 outdoor”.

Diketahui:

• 4 kartu undian: 3 indoor (I), 1 outdoor (O)

• Andi: dengan pengembalian (2 undian independen)

• Budi: tanpa pengembalian (2 undian dari 4)

• Prior: $P(A) = P(B) = 1/2$ (bergantian, tidak ada informasi preferensi)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(E \mid \text{Andi})$ — dengan pengembalian

Hasil $\{1I, 1O\}$ bisa terjadi dua cara: (pagi=I, sore=O) atau (pagi=O, sore=I):

$$P(E \mid \text{Andi}) = 2 \times \frac{3}{4} \times \frac{1}{4} = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}$$

Langkah 2: Hitung $P(E \mid \text{Budi})$ — tanpa pengembalian

Pilih 2 dari 4 undian. Total cara: $\binom{4}{2} = 6$ (atau $4 \times 3 = 12$ jika urutan penting).

Cara mendapat $\{1I, 1O\}$: pilih 1 dari 3 indoor dan 1 dari 1 outdoor = $3 \times 1 = 3$ pasang (tidak berurutkan). Peluang:

$$P(E \mid \text{Budi}) = \frac{3}{\binom{4}{2}} \times 2 = \frac{3 \times 2!}{4 \times 3} = \frac{2 \times 3}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$$

Atau dengan urutan: $P = \frac{3}{4} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{4} \times \frac{3}{3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$. ✓

Langkah 3: Terapkan Teorema Bayes

$$P(\text{Andi} \mid E) = \frac{P(E \mid \text{Andi}) \cdot \frac{1}{2}}{P(E \mid \text{Andi}) \cdot \frac{1}{2} + P(E \mid \text{Budi}) \cdot \frac{1}{2}}$$ $$= \frac{3/8}{3/8 + 1/2} = \frac{3/8}{3/8 + 4/8} = \frac{3/8}{7/8} = \frac{3}{7} \approx 0{,}4286$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}4$ tapi kurang dari $0{,}6$.

Hasil Akhir: (c). $P(\text{Andi} \mid E) = \dfrac{3}{7} \approx 0{,}429$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak membedakan pengambilan dengan dan tanpa pengembalian untuk menghitung peluang tiap asisten.
• Menggunakan $P(\text{Andi}) = P(\text{Budi}) = 0$ (tanpa prior) alih-alih $1/2$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira undian Budi diambil secara sekaligus (bukan satu per satu tanpa pengembalian) — hasilnya sama secara probabilistik.

▲Red Flags›

• Soal Bayes 2 hipotesis: prior $P(A) = P(B) = 1/2$ → hitung $P(E \mid A)$ dan $P(E \mid B)$ secara terpisah.

---

No. 28

Andi memiliki dua pemasok pakaian, yaitu Pabrik A dan Pabrik B. Dia mendapatkan jumlah baju yang sama dari setiap pemasok dan memperkirakan bahwa rata-rata, $5\%$ baju dari Pabrik A rusak dan $25\%$ baju dari Pabrik B rusak. Andi memeriksa $10$ baju dari suatu pengiriman baru-baru ini dari suatu pemasok tetapi tidak tahu siapa pemasoknya. Dia menemukan $2$ baju yang rusak dari total $10$ baju dalam pengiriman tersebut. Tentukanlah probabilitas pemasok baju tersebut adalah Pabrik A.

a. Kurang dari $0{,}11$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}11$ tapi kurang dari $0{,}22$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}22$ tapi kurang dari $0{,}33$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}33$ tapi kurang dari $0{,}44$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}44$

≡Jawaban No. 28›

(b). Sekurang-kurangnya $0{,}11$ tapi kurang dari $0{,}22$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2.4

ℹRumus›

Teorema Bayes:

$$P(A \mid D) = \frac{P(D \mid A)\,P(A)}{P(D \mid A)\,P(A) + P(D \mid B)\,P(B)}$$

$D$ = kejadian “2 baju rusak dari 10”, model $D \mid$ pemasok ~ Binomial$(10, p)$.

Diketahui:

• $P(\text{dari A}) = P(\text{dari B}) = 1/2$ (jumlah baju sama)

• $p_A = 0{,}05$, $p_B = 0{,}25$

• $D$ = 2 rusak dari 10 baju

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung likelihood

$$P(D \mid A) = \binom{10}{2}(0{,}05)^2(0{,}95)^8 = 45 \times 0{,}0025 \times 0{,}6634 = 45 \times 0{,}001659 = 0{,}07463$$ $$P(D \mid B) = \binom{10}{2}(0{,}25)^2(0{,}75)^8 = 45 \times 0{,}0625 \times 0{,}1001 = 45 \times 0{,}006256 = 0{,}2816$$

Langkah 2: Terapkan Bayes

$$P(A \mid D) = \frac{0{,}07463 \times 0{,}5}{0{,}07463 \times 0{,}5 + 0{,}2816 \times 0{,}5} = \frac{0{,}07463}{0{,}07463 + 0{,}2816}$$ $$= \frac{0{,}07463}{0{,}35623} \approx 0{,}2095$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}11$ tapi kurang dari $0{,}22$.

Hasil Akhir: (b). $P(A \mid D) \approx 0{,}210$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak menggunakan distribusi Binomial untuk likelihood — mengira $P(D \mid A) = 0{,}05^2$ (tanpa koefisien Binomial).
• Prior tidak sama: mengira pemasok lebih mungkin A karena defect rate lebih rendah.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira pertanyaan meminta $P(B \mid D)$ bukan $P(A \mid D)$.

▲Red Flags›

• Karena prior sama, $P(A \mid D) / P(B \mid D) = P(D \mid A) / P(D \mid B)$ — cukup bandingkan likelihood.
• $(0{,}95)^8 \approx 0{,}6634$ dan $(0{,}75)^8 \approx 0{,}1001$ — nilai kunci yang harus dihitung cermat.

---

No. 29

Suhu tertinggi harian di Jakarta pada bulan Januari berdistribusi normal dengan rata-rata $30$ derajat Celsius dan standar deviasi sebesar $4$ derajat Celsius. Suhu tertinggi harian di Surabaya pada bulan Januari berdistribusi normal dengan rata-rata $25$ derajat Celsius dan standar deviasi sebesar $8$ derajat Celsius. Dengan asumsi bahwa suhu tertinggi harian di Jakarta dan Surabaya tidak bergantung satu sama lain, tentukan probabilitas bahwa pada hari tertentu di bulan Januari, selisih suhu tertinggi untuk hari itu di Jakarta dan Surabaya berada dalam kisaran $1$ derajat Celsius satu sama lain.

a. Kurang dari $0{,}05$
b. Sekurang-kurangnya $0{,}05$ tapi kurang dari $0{,}06$
c. Sekurang-kurangnya $0{,}06$ tapi kurang dari $0{,}07$
d. Sekurang-kurangnya $0{,}07$ tapi kurang dari $0{,}08$
e. Sekurang-kurangnya $0{,}08$

≡Jawaban No. 29›

(d). Sekurang-kurangnya $0{,}07$ tapi kurang dari $0{,}08$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.5 Independensi dan Korelasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Connected Topics	4.2 Distribusi Sampel
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4.2; Miller Bab 6.4

ℹRumus›

Jika $J \sim N(\mu_J, \sigma_J^2)$ dan $S \sim N(\mu_S, \sigma_S^2)$ independen:

$$D = J - S \sim N(\mu_J - \mu_S,\; \sigma_J^2 + \sigma_S^2)$$ $$P(|D| \leq 1) = P(-1 \leq D \leq 1) = \Phi\!\left(\frac{1-\mu_D}{\sigma_D}\right) - \Phi\!\left(\frac{-1-\mu_D}{\sigma_D}\right)$$

Diketahui:

• $J \sim N(30, 16)$, $S \sim N(25, 64)$, independen

• Target: $P(|J - S| \leq 1)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Distribusi $D = J - S$

$$D \sim N(30-25,\; 16+64) = N(5,\; 80)$$ $$\sigma_D = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \approx 8{,}944$$

Langkah 2: Standardisasi

$$P(-1 \leq D \leq 1) = P\!\left(\frac{-1-5}{8{,}944} \leq Z \leq \frac{1-5}{8{,}944}\right)$$ $$= P\!\left(\frac{-6}{8{,}944} \leq Z \leq \frac{-4}{8{,}944}\right) = P(-0{,}671 \leq Z \leq -0{,}447)$$

Langkah 3: Hitung probabilitas

$$P(-0{,}671 \leq Z \leq -0{,}447) = \Phi(-0{,}447) - \Phi(-0{,}671)$$ $$= (1 - \Phi(0{,}447)) - (1 - \Phi(0{,}671))$$ $$= \Phi(0{,}671) - \Phi(0{,}447)$$

Dari tabel Normal:

• $$\Phi(0{,}45) \approx 0{,}6736$$
• $$\Phi(0{,}67) \approx 0{,}7486$$

$$P \approx 0{,}7486 - 0{,}6736 = 0{,}0750$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $0{,}07$ tapi kurang dari $0{,}08$.

Hasil Akhir: (d). $P(|J-S| \leq 1) \approx 0{,}075$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira $\text{Var}(J-S) = \sigma_J^2 - \sigma_S^2$ — padahal untuk variabel independen, $\text{Var}(J-S) = \sigma_J^2 + \sigma_S^2$.
• Mengabaikan bahwa mean $D = 5$, sehingga interval $[-1,1]$ bukan simetris sekitar mean — nilai $z$ keduanya negatif.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Selisih dalam kisaran 1 derajat” = $|J-S| \leq 1$, bukan $J-S = 1$.

▲Red Flags›

• $D \sim N(\mu, \sigma^2)$ dengan $\mu \neq 0$ → interval $[-1,1]$ tidak simetris dalam skala standard → kedua $z$-score bisa satu tanda.

---

No. 30

Diketahui $A$ dan $B$ berdistribusi normal dimana mean dari $A$ sebesar $77$ dan variansi dari $A$ sama dengan variansi dari $B$. Diketahui juga $75$ adalah persentil ke-$30$ dari $A$ dan persentil ke-$60$ dari $B$. Tentukanlah mean dari $B$.

a. Kurang dari $73$
b. Sekurang-kurangnya $73$ tapi kurang dari $74$
c. Sekurang-kurangnya $74$ tapi kurang dari $75$
d. Sekurang-kurangnya $75$ tapi kurang dari $76$
e. Sekurang-kurangnya $76$

≡Jawaban No. 30›

(c). Sekurang-kurangnya $74$ tapi kurang dari $75$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	4.7 Selang Kepercayaan
Referensi	Miller Bab 6.4; Hogg-Tanis-Zimm Bab 3.5

ℹRumus›

Untuk $A \sim N(\mu_A, \sigma^2)$: persentil ke-$p$ adalah $\mu_A + z_p \cdot \sigma$

dimana $z_p = \Phi^{-1}(p/100)$ (nilai $z$ baku pada peluang $p/100$).

Diketahui:

• $\mu_A = 77$, $\text{Var}(A) = \text{Var}(B) = \sigma^2$

• $P_{30}(A) = 75$ → persentil ke-30 dari $A$ adalah $75$

• $P_{60}(B) = 75$ → persentil ke-60 dari $B$ adalah $75$

• Target: $\mu_B$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Dari persentil ke-30 dari $A$

$$75 = \mu_A + z_{0{,}30} \cdot \sigma = 77 + z_{0{,}30} \cdot \sigma$$ $$z_{0{,}30} = \Phi^{-1}(0{,}30) \approx -0{,}5244$$ $$75 = 77 + (-0{,}5244)\sigma$$ $$-2 = -0{,}5244\,\sigma \implies \sigma = \frac{2}{0{,}5244} \approx 3{,}815$$

Langkah 2: Dari persentil ke-60 dari $B$

$$75 = \mu_B + z_{0{,}60} \cdot \sigma$$ $$z_{0{,}60} = \Phi^{-1}(0{,}60) \approx 0{,}2533$$ $$75 = \mu_B + 0{,}2533 \times 3{,}815$$ $$75 = \mu_B + 0{,}9664$$ $$\mu_B = 75 - 0{,}9664 \approx 74{,}03$$

Nilai ini sekurang-kurangnya $74$ tapi kurang dari $75$.

Hasil Akhir: (c). $\mu_B \approx 74{,}03$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $z_{0{,}30} > 0$ — padahal persentil ke-30 berada di bawah median, sehingga $z_{0{,}30} < 0$.
• Mengira $\sigma_A = \sigma_B$ dalam satuan SD, bukan variansi ($\sigma^2$ sama → $\sigma$ sama).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Menukar persentil: mengira 75 adalah persentil ke-60 dari A dan persentil ke-30 dari B.

▲Red Flags›

• Nilai $z$ kunci: $z_{0{,}30} \approx -0{,}524$, $z_{0{,}60} \approx +0{,}253$.
• Persentil ke-30 < median → $z$ negatif; persentil ke-60 > median → $z$ positif.

---