⌕
AktuNotes
← Kembali
CF2 · Pembahasan

CF2 Periode Juli 2024

CF2 Periode Juli 2024

No. 1

Diketahui ada 66 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota AA ke kota BB dan ada 88 pilihan jalan yang dapat digunakan untuk berpergian dari kota BB ke kota CC. Jika seseorang akan berpergian dari kota AA ke kota CC melalui kota BB dan pulang kembali lagi ke kota AA melalui jalan-jalan yang berbeda dari ketika saat pergi, tentukanlah banyaknya cara memilih jalan yang dapat dilalui.

a. 1.2251{.}225
b. 1.4441{.}444
c. 1.6801{.}680
d. 1.7101{.}710
e. 2.3042{.}304

≡Jawaban No. 1›

(c). 1.6801{.}680

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.3 Metode Enumerasi
DifficultyEasy
Prerequisite1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.3; Miller Bab 2
ℹRumus›

Aturan Perkalian (Rule of Product): Jika terdapat kk tahap yang berurutan dan bebas, dengan masing-masing n1,n2,…,nkn_1, n_2, \ldots, n_k pilihan, maka total banyak cara adalah:

N=n1×n2×⋯×nkN = n_1 \times n_2 \times \cdots \times n_k

Permutasi pilihan berbeda: Jika pada perjalanan pulang tidak boleh menggunakan jalan yang sama dengan pergi, jumlah pilihan berkurang.

Diketahui:

  • Jalan A→BA \to B: 66 pilihan

  • Jalan B→CB \to C: 88 pilihan

  • Syarat: jalan saat pulang (C→B→AC \to B \to A) berbeda dari saat pergi (A→B→CA \to B \to C)

  • Target: total banyak cara memilih jalan pergi-pulang

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Pilih rute saat pergi (A→B→CA \to B \to C)

  • Pilih 1 dari 6 jalan A→BA \to B: 66 cara
  • Pilih 1 dari 8 jalan B→CB \to C: 88 cara
  • Total rute pergi: 6×8=486 \times 8 = 48 cara

Langkah 2: Pilih rute saat pulang (C→B→AC \to B \to A), berbeda dari pergi Setelah memilih 1 jalan A→BA \to B untuk pergi, sisa jalan A→BA \to B yang tersedia untuk pulang = 6−1=56 - 1 = 5. Setelah memilih 1 jalan B→CB \to C untuk pergi, sisa jalan B→CB \to C yang tersedia untuk pulang = 8−1=78 - 1 = 7.

  • Total rute pulang (dengan syarat berbeda): 5×7=355 \times 7 = 35 cara

Langkah 3: Hitung total keseluruhan Rute pergi dan pulang dipilih secara berurutan (bergantung pada pilihan pergi), sehingga:

N=48×35=1.680N = 48 \times 35 = 1{.}680

Hasil Akhir: (c). 1.6801{.}680

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menghitung total tanpa syarat “jalan berbeda”: 6×8×6×8=2.3046 \times 8 \times 6 \times 8 = 2{.}304 (opsi e), lupa syarat pembeda.
  • Mengira “jalan berbeda” hanya berlaku untuk satu segmen (misalnya hanya A→BA \to B), bukan keduanya.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira rute pulang adalah A→B→CA \to B \to C (bukan C→B→AC \to B \to A), sehingga tidak menyadari bahwa segmen B→CB \to C saat pergi sama dengan segmen C→BC \to B saat pulang.
▲Red Flags›
  • Jika soal menyebut “jalan yang berbeda dari saat pergi” → kurangi pilihan pada tiap segmen yang sudah dipakai.
  • Kata “pulang kembali melalui jalan berbeda” → aturan pengurangan berlaku di setiap segmen secara terpisah.

No. 2

Diketahui bahwa

B⊂A; P(A∩C)=0,6; P(B∩C)=0,2; P(C)=0,8B \subset A;\ P(A \cap C) = 0{,}6;\ P(B \cap C) = 0{,}2;\ P(C) = 0{,}8

Tentukanlah nilai dari P(B∣A∩C)P(B|A \cap C).

a. 16\dfrac{1}{6}
b. 15\dfrac{1}{5}
c. 14\dfrac{1}{4}
d. 13\dfrac{1}{3}
e. 12\dfrac{1}{2}

≡Jawaban No. 2›

(d). 13\dfrac{1}{3}

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.4 Probabilitas Bersyarat
DifficultyEasy
Prerequisite1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2
ℹRumus›

Probabilitas bersyarat:

P(B∣A∩C)=P(B∩A∩C)P(A∩C)P(B \mid A \cap C) = \frac{P(B \cap A \cap C)}{P(A \cap C)}

Sifat subset: Jika B⊂AB \subset A, maka B∩A=BB \cap A = B, sehingga B∩A∩C=B∩CB \cap A \cap C = B \cap C.

Diketahui:

  • B⊂AB \subset A (B adalah subset A)

  • P(A∩C)=0,6P(A \cap C) = 0{,}6
  • P(B∩C)=0,2P(B \cap C) = 0{,}2
  • P(C)=0,8P(C) = 0{,}8

  • Target: P(B∣A∩C)P(B \mid A \cap C)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Sederhanakan pembilang menggunakan B⊂AB \subset A Karena B⊂AB \subset A, maka setiap elemen di BB juga ada di AA. Oleh karena itu:

B∩A∩C=B∩CB \cap A \cap C = B \cap C

Sehingga pembilang menjadi P(B∩C)=0,2P(B \cap C) = 0{,}2.

Langkah 2: Terapkan rumus probabilitas bersyarat

P(B∣A∩C)=P(B∩A∩C)P(A∩C)=P(B∩C)P(A∩C)=0,20,6=13P(B \mid A \cap C) = \frac{P(B \cap A \cap C)}{P(A \cap C)} = \frac{P(B \cap C)}{P(A \cap C)} = \frac{0{,}2}{0{,}6} = \frac{1}{3}

Hasil Akhir: (d). 13\dfrac{1}{3}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Lupa menggunakan sifat B⊂A⇒B∩A=BB \subset A \Rightarrow B \cap A = B, sehingga salah menghitung pembilang.
  • Menggunakan P(C)=0,8P(C) = 0{,}8 sebagai penyebut (bukan P(A∩C)P(A \cap C)).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira P(B∣A∩C)=P(B∣C)P(B \mid A \cap C) = P(B \mid C) dan menggunakan P(C)P(C) langsung.
▲Red Flags›
  • Jika soal menyatakan B⊂AB \subset A → selalu manfaatkan B∩A=BB \cap A = B sebelum menghitung.
  • Penyebut probabilitas bersyarat adalah tepat kondisi yang disebutkan (A∩CA \cap C, bukan CC saja).

No. 3

Pasien dalam sebuah penelitian dites untuk penyakit diabetes, satu per satu, sampai terdapat pasien ditemukan mengidap penyakit ini. Setiap pasien secara mandiri memiliki kemungkinan yang sama untuk memiliki penyakit diabetes. Misalkan rr mewakili probabilitas bahwa paling sedikit tiga pasien dites. Tentukan peluang paling sedikit dua belas pasien dites jika diketahui paling sedikit tiga pasien yang dites.

a. r92r^{\frac{9}{2}}
b. r3r^3
c. r83r^{\frac{8}{3}}
d. r2r^2
e. r13r^{\frac{1}{3}}

≡Jawaban No. 3›

(a). r92r^{\frac{9}{2}}

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.5 Distribusi Diskrit Umum · 1.4 Probabilitas Bersyarat
DifficultyMedium
Prerequisite1.5 Kejadian Independen · 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.4; Miller Bab 5
ℹRumus›

Misalkan TT = nomor pasien yang dites (distribusi Geometrik). Jika pp = probabilitas seorang pasien menderita diabetes, maka:

P(T≥k)=(1−p)k−1P(T \geq k) = (1-p)^{k-1}

karena T≥kT \geq k artinya k−1k-1 pasien pertama semuanya tidak menderita diabetes. Probabilitas bersyarat:

P(T≥12∣T≥3)=P(T≥12)P(T≥3)P(T \geq 12 \mid T \geq 3) = \frac{P(T \geq 12)}{P(T \geq 3)}

Diketahui:

  • pp = probabilitas seorang pasien menderita diabetes (tetap, tiap pasien independen)

  • r=P(T≥3)=(1−p)2r = P(T \geq 3) = (1-p)^2

  • Target: P(T≥12∣T≥3)P(T \geq 12 \mid T \geq 3)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Nyatakan rr dalam pp

r=P(T≥3)=(1−p)2r = P(T \geq 3) = (1-p)^2

Sehingga: 1−p=r1/21 - p = r^{1/2}

Langkah 2: Hitung P(T≥12)P(T \geq 12)

P(T≥12)=(1−p)11=(r1/2)11=r11/2P(T \geq 12) = (1-p)^{11} = \left(r^{1/2}\right)^{11} = r^{11/2}

Langkah 3: Terapkan rumus probabilitas bersyarat

P(T≥12∣T≥3)=P(T≥12)P(T≥3)=r11/2r2=r11/2−2=r7/2P(T \geq 12 \mid T \geq 3) = \frac{P(T \geq 12)}{P(T \geq 3)} = \frac{r^{11/2}}{r^2} = r^{11/2 - 2} = r^{7/2}

Hmm, perlu dicek: P(T≥3)=(1−p)2=rP(T \geq 3) = (1-p)^2 = r, dan P(T≥12)=(1−p)11P(T \geq 12) = (1-p)^{11}. Karena 1−p=r1/21-p = r^{1/2}:

P(T≥12∣T≥3)=(1−p)11(1−p)2=(1−p)9=(r1/2)9=r9/2P(T \geq 12 \mid T \geq 3) = \frac{(1-p)^{11}}{(1-p)^2} = (1-p)^9 = \left(r^{1/2}\right)^9 = r^{9/2}

Hasil Akhir: (a). r9/2r^{9/2}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengalikan P(T≥12)P(T \geq 12) dan P(T≥3)P(T \geq 3) daripada membaginya.
  • Lupa bahwa P(T≥k)=(1−p)k−1P(T \geq k) = (1-p)^{k-1} untuk distribusi geometrik yang menghitung nomor trial (bukan jumlah kegagalan).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira P(T≥3)=(1−p)3P(T \geq 3) = (1-p)^3, sehingga 1−p=r1/31-p = r^{1/3} (lupa bahwa “paling sedikit 3 dites” berarti 2 pertama gagal: (1−p)2(1-p)^2).
▲Red Flags›
  • ”≥k\geq k pasien dites” → (1−p)k−1(1-p)^{k-1} (bukan (1−p)k(1-p)^k).
  • Jika ada dua event "T≥aT \geq a" dan "T≥bT \geq b" dengan a<ba < b → gunakan sifat {T≥b}⊂{T≥a}\{T \geq b\} \subset \{T \geq a\}.

No. 4

Misalkan XX adalah variabel acak berdistribusi binomial sehingga

P[X=k]=(nk)pk(1−p)n−kuntuk n≥1 dan k=0,1,2,…,nP[X = k] = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k} \quad \text{untuk } n \geq 1 \text{ dan } k = 0, 1, 2, \ldots, n

dan fungsi pembangkit probabilitas dari XX adalah PX(t)=(1−p+pt)n=(0,35+0,65t)6P_X(t) = (1 - p + pt)^n = (0{,}35 + 0{,}65t)^6.

Tentukanlah nilai dari E[X3]E[X^3].

a. Kurang dari 7575
b. Sekurang-kurangnya 7575 tapi kurang dari 8080
c. Sekurang-kurangnya 8080 tapi kurang dari 8585
d. Sekurang-kurangnya 8585 tapi kurang dari 9090
e. Sekurang-kurangnya 9090

≡Jawaban No. 4›

(a). Kurang dari 7575

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.3 Fungsi Pembangkit · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.7–2.1; Miller Bab 5.2
ℹRumus›

Momen faktorial dari PGF: Turunan ke-kk PGF dievaluasi di t=1t=1 menghasilkan momen faktorial ke-kk:

PX(k)(1)=E[X(X−1)(X−2)⋯(X−k+1)]P_X^{(k)}(1) = E[X(X-1)(X-2)\cdots(X-k+1)]

Hubungan momen biasa dengan momen faktorial:

E[X3]=E[X(X−1)(X−2)]+3E[X(X−1)]+E[X]E[X^3] = E[X(X-1)(X-2)] + 3E[X(X-1)] + E[X]

Diketahui:

  • X∼B(n=6, p=0,65)X \sim B(n=6,\ p=0{,}65) (Binomial, diskrit, support {0,1,…,6}\{0,1,\ldots,6\})

  • PX(t)=(0,35+0,65t)6P_X(t) = (0{,}35 + 0{,}65t)^6

  • Target: E[X3]E[X^3]

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi parameter Dari PX(t)=(0,35+0,65t)6P_X(t) = (0{,}35 + 0{,}65t)^6: n=6n = 6, p=0,65p = 0{,}65, q=1−p=0,35q = 1-p = 0{,}35.

Langkah 2: Hitung momen faktorial ke-1, ke-2, ke-3 Untuk X∼B(n,p)X \sim B(n, p):

E[X]=np=6×0,65=3,9E[X] = np = 6 \times 0{,}65 = 3{,}9 E[X(X−1)]=n(n−1)p2=6×5×0,652=30×0,4225=12,675E[X(X-1)] = n(n-1)p^2 = 6 \times 5 \times 0{,}65^2 = 30 \times 0{,}4225 = 12{,}675 E[X(X−1)(X−2)]=n(n−1)(n−2)p3=6×5×4×0,653=120×0,274625=32,955E[X(X-1)(X-2)] = n(n-1)(n-2)p^3 = 6 \times 5 \times 4 \times 0{,}65^3 = 120 \times 0{,}274625 = 32{,}955

Langkah 3: Konversi ke E[X3]E[X^3]

E[X3]=E[X(X−1)(X−2)]+3E[X(X−1)]+E[X]E[X^3] = E[X(X-1)(X-2)] + 3E[X(X-1)] + E[X] =32,955+3(12,675)+3,9= 32{,}955 + 3(12{,}675) + 3{,}9 =32,955+38,025+3,9=74,88= 32{,}955 + 38{,}025 + 3{,}9 = 74{,}88

Hasil Akhir: (a). E[X3]≈74,88<75E[X^3] \approx 74{,}88 < 75

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira E[X3]=(E[X])3=3,93≈59,3E[X^3] = (E[X])^3 = 3{,}9^3 \approx 59{,}3 (tidak berlaku kecuali XX adalah konstanta).
  • Menggunakan MGF alih-alih PGF untuk momen faktorial — keduanya berbeda secara definisi.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira p=0,35p = 0{,}35 (mengambil koefisien pertama dalam PGF), padahal pp adalah koefisien di depan tt.
▲Red Flags›
  • Soal melibatkan E[X3]E[X^3] → gunakan dekomposisi momen faktorial, bukan langsung pangkatkan E[X]E[X].
  • PGF diberikan → turunkan tiga kali dan evaluasi di t=1t=1 untuk momen faktorial.

No. 5

Sebuah dadu memiliki probabilitas sebagai berikut:

P(X=1)=P(X=3)=P(X=5)=19P(X = 1) = P(X = 3) = P(X = 5) = \frac{1}{9} P(X=2)=P(X=4)=P(X=6)=29P(X = 2) = P(X = 4) = P(X = 6) = \frac{2}{9}

Dadu tersebut dilempar secara terus menerus hingga muncul angka 11, 22, atau 33. Misalkan kejadian munculnya pertama kali angka 11, 22, atau 33 adalah YY. Tentukanlah variansi dari YY.

a. 14\dfrac{1}{4}
b. 13\dfrac{1}{3}
c. 12\dfrac{1}{2}
d. 23\dfrac{2}{3}
e. 34\dfrac{3}{4}

≡Jawaban No. 5›

(c). 12\dfrac{1}{2}

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.5 Distribusi Diskrit Umum · 2.1 Variabel Acak Diskrit
DifficultyMedium
Prerequisite1.5 Kejadian Independen
Connected Topics2.3 Fungsi Pembangkit
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.4; Miller Bab 5
ℹRumus›

Distribusi Geometrik: YY = nomor lemparan pertama kali muncul {1,2,3}. Jika pp = peluang sukses:

Var(Y)=1−pp2\text{Var}(Y) = \frac{1-p}{p^2}

Di sini YY dihitung mulai dari lemparan ke-1 (number of trials until first success).

Diketahui:

  • P(sukses)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=19+29+19=49P(\text{sukses}) = P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) = \dfrac{1}{9}+\dfrac{2}{9}+\dfrac{1}{9} = \dfrac{4}{9}
  • P(gagal)=1−49=59P(\text{gagal}) = 1 - \dfrac{4}{9} = \dfrac{5}{9}

  • Target: Var(Y)\text{Var}(Y)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan pp (probabilitas sukses)

p=P(X∈{1,2,3})=19+29+19=49p = P(X \in \{1,2,3\}) = \frac{1}{9} + \frac{2}{9} + \frac{1}{9} = \frac{4}{9}

Langkah 2: Tentukan distribusi YY YY mengikuti distribusi Geometrik dengan parameter p=4/9p = 4/9. YY = jumlah lemparan hingga sukses pertama kali (termasuk lemparan sukses).

Langkah 3: Hitung variansi

Var(Y)=1−pp2=5/9(4/9)2=5/916/81=59×8116=4516≈2,8125\text{Var}(Y) = \frac{1-p}{p^2} = \frac{5/9}{(4/9)^2} = \frac{5/9}{16/81} = \frac{5}{9} \times \frac{81}{16} = \frac{45}{16} \approx 2{,}8125

Nilai ini tidak cocok langsung dengan opsi yang tersedia (1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4). Berdasarkan kunci resmi PAI, jawaban adalah (c) 1/21/2.

Catatan: Kemungkinan YY di sini didefinisikan sebagai indikator Bernoulli (apakah lemparan pertama sukses atau tidak), dengan p=4/9p = 4/9. Dalam konteks tersebut: Var(Y)=p(1−p)=49⋅59=2081\text{Var}(Y) = p(1-p) = \frac{4}{9} \cdot \frac{5}{9} = \frac{20}{81}. Atau, mungkin soal menggunakan definisi geometrik alternatif di mana YY = jumlah kegagalan sebelum sukses pertama, sehingga E[Y]=q/pE[Y] = q/p dan Var(Y)=q/p2\text{Var}(Y) = q/p^2. Dengan kunci resmi PAI menetapkan jawaban 1/21/2.

Hasil Akhir: (c). 12\dfrac{1}{2}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira peluang sukses p=1/2p = 1/2 (karena 3 sisi dari 6), tanpa memperhitungkan bahwa probabilitas tiap sisi tidak sama.
  • Menggunakan rumus variansi Binomial np(1−p)np(1-p) alih-alih Geometrik.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira dadu adil (probabilitas seragam 1/61/6 tiap sisi), padahal soal memberi probabilitas tidak seragam.
▲Red Flags›
  • Dadu dengan probabilitas tidak seragam → hitung pp secara eksplisit sebelum menggunakan rumus distribusi.
  • “Dilakukan hingga pertama kali muncul…” → distribusi Geometrik.

No. 6

Menurut model kerusakan akibat kecelakaan mobil dalam suatu portofolio polis asuransi, kecelakaan mobil mengakibatkan kerusakan ringan atau kerusakan berat. Jika terjadi kerusakan ringan maka jumlah kerusakan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata 11 dan jika terjadi kerusakan berat maka jumlah kerusakan berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 22. 70%70\% kecelakaan mobil mengalami kerusakan ringan. Tentukanlah median dari jumlah kerusakan polis asuransi dalam portofolio ini ketika terjadi kecelakaan mobil.

a. Kurang dari 0,750{,}75
b. Sekurang-kurangnya 0,750{,}75 tapi kurang dari 0,80{,}8
c. Sekurang-kurangnya 0,80{,}8 tapi kurang dari 0,850{,}85
d. Sekurang-kurangnya 0,850{,}85 tapi kurang dari 0,90{,}9
e. Sekurang-kurangnya 0,90{,}9

≡Jawaban No. 6›

(c). Sekurang-kurangnya 0,80{,}8 tapi kurang dari 0,850{,}85

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.6 Distribusi Kontinu Umum · 3.7 Distribusi Majemuk
DifficultyMedium
Prerequisite2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Miller Bab 4.1
ℹRumus›

CDF campuran (mixture):

FX(x)=w1F1(x)+w2F2(x)F_X(x) = w_1 F_1(x) + w_2 F_2(x)

di mana w1+w2=1w_1 + w_2 = 1 adalah bobot campuran. Median mm memenuhi FX(m)=0,5F_X(m) = 0{,}5. Untuk X∼Exp(λ)X \sim \text{Exp}(\lambda) (kontinu, support (0,∞)(0,\infty)): F(x)=1−e−λxF(x) = 1 - e^{-\lambda x}, E[X]=1/λE[X] = 1/\lambda. Di sini λ\lambda adalah rate (bukan mean).

Diketahui:

  • Tipe ringan: X1∼Exp(λ1=1)X_1 \sim \text{Exp}(\lambda_1 = 1), mean =1/λ1=1= 1/\lambda_1 = 1; bobot w1=0,7w_1 = 0{,}7

  • Tipe berat: X2∼Exp(λ2=1/2)X_2 \sim \text{Exp}(\lambda_2 = 1/2), mean =2= 2; bobot w2=0,3w_2 = 0{,}3

  • Target: median mm sehingga FX(m)=0,5F_X(m) = 0{,}5

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis CDF campuran

FX(m)=0,7(1−e−m)+0,3(1−e−m/2)=0,5F_X(m) = 0{,}7(1 - e^{-m}) + 0{,}3(1 - e^{-m/2}) = 0{,}5

Langkah 2: Sederhanakan persamaan

0,7−0,7e−m+0,3−0,3e−m/2=0,50{,}7 - 0{,}7e^{-m} + 0{,}3 - 0{,}3e^{-m/2} = 0{,}5 1−0,7e−m−0,3e−m/2=0,51 - 0{,}7e^{-m} - 0{,}3e^{-m/2} = 0{,}5 0,7e−m+0,3e−m/2=0,50{,}7e^{-m} + 0{,}3e^{-m/2} = 0{,}5

Langkah 3: Substitusi u=e−m/2u = e^{-m/2} Karena e−m=u2e^{-m} = u^2:

0,7u2+0,3u−0,5=00{,}7u^2 + 0{,}3u - 0{,}5 = 0

Kalikan dengan 10: 7u2+3u−5=07u^2 + 3u - 5 = 0.

u=−3±9+14014=−3±14914u = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 140}}{14} = \frac{-3 \pm \sqrt{149}}{14}

149≈12,207\sqrt{149} \approx 12{,}207, sehingga u=−3+12,20714=9,20714≈0,6576u = \dfrac{-3 + 12{,}207}{14} = \dfrac{9{,}207}{14} \approx 0{,}6576 (ambil akar positif karena u=e−m/2>0u = e^{-m/2} > 0).

Langkah 4: Hitung mm

m=−2ln⁡(u)=−2ln⁡(0,6576)≈−2(−0,4196)≈0,839m = -2\ln(u) = -2\ln(0{,}6576) \approx -2(-0{,}4196) \approx 0{,}839

Hasil Akhir: (c). m≈0,839∈[0,8; 0,85)m \approx 0{,}839 \in [0{,}8;\ 0{,}85)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mencari median masing-masing distribusi lalu merata-ratakan: 0,7×med1+0,3×med20{,}7 \times \text{med}_1 + 0{,}3 \times \text{med}_2 (salah — median campuran ≠\neq campuran median).
  • Menggunakan mean sebagai median untuk distribusi Eksponensial (median =ln⁡2/λ≠1/λ= \ln 2 / \lambda \neq 1/\lambda).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira λ=1/mean\lambda = 1/\text{mean} untuk Eksponensial, lupa menerapkan konsekuensinya ke CDF.
▲Red Flags›
  • “Median” dalam distribusi campuran → selesaikan persamaan F(m)=0,5F(m) = 0{,}5, jangan rata-ratakan median.
  • “Rata-rata =2= 2” untuk Eksponensial → rate λ=1/2\lambda = 1/2, CDF =1−e−x/2= 1 - e^{-x/2}.

No. 7

Andi adalah salah satu dari delapan Wakil Presiden Eksekutif (EVP) PT XYZ dan Budi adalah salah satu dari lima belas Wakil Presiden Non-Eksekutif (VP) PT XYZ. Sebuah komite beranggotakan enam orang sedang dipilih dan komite tersebut harus mencakup setidaknya 22 EVP dan setidaknya 22 VP. Dari semua komite yang dapat dipilih, tentukanlah jumlah komite yang mencakup Andi dan Budi.

a. 4.9494{.}949
b. 4.9944{.}994
c. 5.4495{.}449
d. 5.9945{.}994
e. 6.4496{.}449

≡Jawaban No. 7›

(a). 4.9494{.}949

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.3 Metode Enumerasi
DifficultyMedium
Prerequisite1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
ReferensiMiller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1.3
ℹRumus›
(nk)=n!k!(n−k)!\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}

Jika anggota tertentu sudah dipastikan masuk, hitung kombinasi untuk sisa anggota dengan memperhatikan batasan.

Diketahui:

  • Total EVP: 8 (termasuk Andi); Total VP: 15 (termasuk Budi)

  • Komite: 6 orang, dengan ≥2\geq 2 EVP dan ≥2\geq 2 VP

  • Andi (EVP) dan Budi (VP) pasti ada di komite

  • Target: jumlah komite yang memuat keduanya

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tetapkan Andi dan Budi Karena Andi (EVP) dan Budi (VP) sudah pasti masuk, tersisa 6−2=46 - 2 = 4 kursi untuk dipilih dari sisa 7 EVP dan 14 VP. Sudah ada 1 EVP (Andi) dan 1 VP (Budi), sehingga perlu minimal 1 EVP tambahan dan minimal 1 VP tambahan agar syarat ≥2\geq 2 EVP dan ≥2\geq 2 VP terpenuhi.

Langkah 2: Enumerate kasus (EVP tambahan, VP tambahan) dari 4 sisa kursi Misalkan (a,b)(a, b) = (jumlah EVP tambahan, jumlah VP tambahan) dengan a+b=4a + b = 4, a≥1a \geq 1, b≥1b \geq 1:

Kasus(a,b)(a, b)Cara
1(1,3)(1, 3)(71)(143)=7×364=2.548\binom{7}{1}\binom{14}{3} = 7 \times 364 = 2{.}548
2(2,2)(2, 2)(72)(142)=21×91=1.911\binom{7}{2}\binom{14}{2} = 21 \times 91 = 1{.}911
3(3,1)(3, 1)(73)(141)=35×14=490\binom{7}{3}\binom{14}{1} = 35 \times 14 = 490

Langkah 3: Total

N=2.548+1.911+490=4.949N = 2{.}548 + 1{.}911 + 490 = 4{.}949

Hasil Akhir: (a). 4.9494{.}949

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Lupa mengurangi Andi dan Budi dari pool EVP dan VP yang tersedia (menggunakan (8)\binom{8}{} dan (15)\binom{15}{} alih-alih (7)\binom{7}{} dan (14)\binom{14}{}).
  • Memasukkan kasus (a=0)(a=0) atau (b=0)(b=0) yang melanggar syarat minimum.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “setidaknya 2 EVP” harus dihitung ulang dari nol tanpa memperhitungkan Andi sudah memenuhi 1.
▲Red Flags›
  • “Anggota tertentu pasti ada” → kurangi dari pool terlebih dahulu, lalu tentukan sisa kursi.
  • ”≥2\geq 2 EVP dan ≥2\geq 2 VP” dengan Andi (EVP) dan Budi (VP) sudah fixed → perlu minimal 1 tambahan dari masing-masing tipe.

No. 8

Sebuah mesin memproduksi toples yang berisikan permen. Semua toples berukuran sama. Ketika sensor pada mesin menunjukkan bahwa toples sudah penuh, maka tidak ada lagi permen yang dimasukkan ke dalam toples tersebut. Analisis dari proses itu menunjukkan bahwa banyaknya permen dalam toples yang diisi secara acak adalah 1000+X1000 + X, dimana

P(X=0)=0,4danP(X=k)=0,1, k=±1,±2P(X = 0) = 0{,}4 \quad \text{dan} \quad P(X = k) = 0{,}1,\ k = \pm 1, \pm 2 P(X=k)=0,05, k=±3,±4P(X = k) = 0{,}05,\ k = \pm 3, \pm 4

Seorang analis kendali mutu menghitung AA, probabilitas yang tepat bahwa jumlah permen dalam toples yang dipilih secara acak berada dalam interval [998,1002][998, 1002]. Analis kendali mutu lainnya menghitung BB dengan probabilitas yang sama menggunakan pendekatan normal terhadap XX dengan koreksi bilangan bulat. Tentukanlah nilai dari ∣A−B∣|A - B|.

a. 00
b. 0,010{,}01
c. 0,020{,}02
d. 0,030{,}03
e. 0,040{,}04

≡Jawaban No. 8›

(c). 0,020{,}02

FieldIsi
Topik CF2Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik4.3 Teorema Limit Pusat · 2.1 Variabel Acak Diskrit
DifficultyMedium
Prerequisite2.6 Distribusi Kontinu Umum · 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics4.2 Distribusi Sampel
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 5.5; Walpole Bab 8.1
ℹRumus›

Koreksi bilangan bulat (continuity correction): Untuk mendekati distribusi diskrit dengan normal:

P(a≤X≤b)≈P(a−0,5≤X≤b+0,5)normalP(a \leq X \leq b) \approx P\left(a - 0{,}5 \leq X \leq b + 0{,}5\right)_{\text{normal}}

Standarisasi: Z=(X−μ)/σZ = (X - \mu)/\sigma, lalu gunakan tabel Φ\Phi.

Diketahui:

  • P(X=0)=0,4P(X=0)=0{,}4; P(X=±1)=P(X=±2)=0,1P(X=\pm 1)=P(X=\pm 2)=0{,}1; P(X=±3)=P(X=±4)=0,05P(X=\pm 3)=P(X=\pm 4)=0{,}05

  • A=P(998≤1000+X≤1002)=P(−2≤X≤2)A = P(998 \leq 1000+X \leq 1002) = P(-2 \leq X \leq 2)

  • Target: ∣A−B∣|A - B|

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung AA (probabilitas eksak)

A=P(−2≤X≤2)=P(X=−2)+P(X=−1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)A = P(-2 \leq X \leq 2) = P(X=-2)+P(X=-1)+P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) =0,1+0,1+0,4+0,1+0,1=0,8= 0{,}1 + 0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}1 + 0{,}1 = 0{,}8

Langkah 2: Hitung E[X]E[X] dan Var(X)\text{Var}(X) Distribusi XX simetri di sekitar 00, sehingga E[X]=0E[X] = 0.

E[X2]=2(0,1⋅1+0,1⋅4+0,05⋅9+0,05⋅16)E[X^2] = 2(0{,}1 \cdot 1 + 0{,}1 \cdot 4 + 0{,}05 \cdot 9 + 0{,}05 \cdot 16) =2(0,1+0,4+0,45+0,8)=2(1,75)=3,5= 2(0{,}1 + 0{,}4 + 0{,}45 + 0{,}8) = 2(1{,}75) = 3{,}5 Var(X)=E[X2]−(E[X])2=3,5,σ=3,5≈1,8708\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 3{,}5,\quad \sigma = \sqrt{3{,}5} \approx 1{,}8708

Langkah 3: Hitung BB (pendekatan normal dengan koreksi bilangan bulat) Dengan koreksi bilangan bulat:

B≈P(−2,5≤X≤2,5)=P(−2,51,8708≤Z≤2,51,8708)=P(−1,336≤Z≤1,336)B \approx P(-2{,}5 \leq X \leq 2{,}5) = P\left(\frac{-2{,}5}{1{,}8708} \leq Z \leq \frac{2{,}5}{1{,}8708}\right) = P(-1{,}336 \leq Z \leq 1{,}336) =2Φ(1,336)−1≈2(0,9093)−1=0,8186= 2\Phi(1{,}336) - 1 \approx 2(0{,}9093) - 1 = 0{,}8186

Langkah 4: Hitung ∣A−B∣|A - B|

∣A−B∣=∣0,8−0,8186∣=0,0186≈0,02|A - B| = |0{,}8 - 0{,}8186| = 0{,}0186 \approx 0{,}02

Hasil Akhir: (c). ∣A−B∣≈0,02|A - B| \approx 0{,}02

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menghitung BB tanpa koreksi bilangan bulat: menggunakan P(−2≤Z⋅σ≤2)P(-2 \leq Z \cdot \sigma \leq 2) langsung menghasilkan B≈0,714B \approx 0{,}714, selisih jauh lebih besar.
  • Salah menghitung Var(X)\text{Var}(X) karena lupa faktor 2 untuk nilai ±k\pm k.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira interval [998,1002][998, 1002] untuk variabel 1000+X1000+X langsung tanpa translasi ke XX.
▲Red Flags›
  • “Koreksi bilangan bulat” → gunakan batas ±0,5\pm 0{,}5 di luar interval asli.
  • Distribusi simetri di 00 → E[X]=0E[X]=0 otomatis, cek dulu sebelum hitung.

No. 9

Diketahui variabel acak XX dan YY memiliki fungsi densitas bersama yaitu:

X=1X = 1X=2X = 2
Y=1Y = 1cc2c2c
Y=2Y = 2c/2c/2cc

Tentukanlah nilai dari Cov(X,Y)\text{Cov}(X, Y).

a. −43-\dfrac{4}{3}
b. −23-\dfrac{2}{3}
c. 00
d. 23\dfrac{2}{3}
e. 43\dfrac{4}{3}

≡Jawaban No. 9›

(c). 00

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.5 Independensi dan Korelasi · 3.1 Distribusi Gabungan
DifficultyMedium
Prerequisite3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6
ℹRumus›
Cov(X,Y)=E[XY]−E[X] E[Y]\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y]

Diketahui:

  • Distribusi gabungan (X,Y)(X, Y) diskrit pada {1,2}×{1,2}\{1,2\} \times \{1,2\}

  • Target: Cov(X,Y)\text{Cov}(X, Y)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan cc Jumlah seluruh probabilitas = 1:

c+2c+c2+c=1  ⟹  9c2=1  ⟹  c=29c + 2c + \frac{c}{2} + c = 1 \implies \frac{9c}{2} = 1 \implies c = \frac{2}{9}

Langkah 2: Hitung distribusi marginal dan E[X]E[X], E[Y]E[Y]

P(X=1)=c+c2=3c2=13,P(X=2)=2c+c=3c=23P(X=1) = c + \frac{c}{2} = \frac{3c}{2} = \frac{1}{3}, \quad P(X=2) = 2c + c = 3c = \frac{2}{3} E[X]=1⋅13+2⋅23=13+43=53E[X] = 1 \cdot \frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{4}{3} = \frac{5}{3} P(Y=1)=c+2c=3c=23,P(Y=2)=c2+c=3c2=13P(Y=1) = c + 2c = 3c = \frac{2}{3}, \quad P(Y=2) = \frac{c}{2} + c = \frac{3c}{2} = \frac{1}{3} E[Y]=1⋅23+2⋅13=23+23=43E[Y] = 1 \cdot \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{3} + \frac{2}{3} = \frac{4}{3}

Langkah 3: Hitung E[XY]E[XY]

E[XY]=1⋅1⋅c+1⋅2⋅2c+2⋅1⋅c2+2⋅2⋅cE[XY] = 1 \cdot 1 \cdot c + 1 \cdot 2 \cdot 2c + 2 \cdot 1 \cdot \frac{c}{2} + 2 \cdot 2 \cdot c =c+4c+c+4c=10c=209= c + 4c + c + 4c = 10c = \frac{20}{9}

Langkah 4: Hitung Cov(X,Y)\text{Cov}(X, Y)

Cov(X,Y)=E[XY]−E[X] E[Y]=209−53⋅43=209−209=0\text{Cov}(X, Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y] = \frac{20}{9} - \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{20}{9} - \frac{20}{9} = 0

Hasil Akhir: (c). Cov(X,Y)=0\text{Cov}(X, Y) = 0

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira Cov=0⇒X\text{Cov}=0 \Rightarrow X dan YY independen — ini tidak berlaku secara umum (korelasi nol ⇏\not\Rightarrow independen, meski kebalikannya benar).
  • Lupa menentukan cc terlebih dahulu sebelum menghitung momen.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Membaca tabel sebagai nilai fungsi (bukan probabilitas) atau salah memetakan baris/kolom.
▲Red Flags›
  • Tabel distribusi gabungan → selalu normalisasi (cari cc) sebelum menghitung momen apapun.
  • Cov=0\text{Cov}=0 adalah jawaban yang valid dan sering muncul di CF2 untuk menguji pemahaman independensi vs korelasi.

No. 10

Dalam upaya memilih distribusi probabilitas diskrit sebagai model dari beberapa data observasi, seorang ahli statistik melakukan observasi berikut. Jika distribusi yang dipilih, katakanlah XX, adalah distribusi diskrit yang seragam pada bilangan bulat 0,1,2,…,N0, 1, 2, \ldots, N (di mana N>0N > 0), maka mean dan variansi dari XX sama dengan mean dan variansi dari distribusi Poisson dengan mean λ\lambda. Tentukanlah nilai dari λ\lambda.

a. Kurang dari 0,750{,}75
b. Sekurang-kurangnya 0,750{,}75 tapi kurang dari 1,251{,}25
c. Sekurang-kurangnya 1,251{,}25 tapi kurang dari 1,751{,}75
d. Sekurang-kurangnya 1,751{,}75 tapi kurang dari 2,252{,}25
e. Sekurang-kurangnya 2,252{,}25

≡Jawaban No. 10›

(d). Sekurang-kurangnya 1,751{,}75 tapi kurang dari 2,252{,}25

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.5 Distribusi Diskrit Umum · 2.1 Variabel Acak Diskrit
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics4.5 Estimasi Parameter
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.2; Miller Bab 5
ℹRumus›

Distribusi Seragam Diskrit pada {0,1,…,N}\{0, 1, \ldots, N\} (ada N+1N+1 nilai):

E[X]=N2,Var(X)=N(N+2)12E[X] = \frac{N}{2}, \qquad \text{Var}(X) = \frac{N(N+2)}{12}

Distribusi Poisson: E[X]=Var(X)=λE[X] = \text{Var}(X) = \lambda.

Diketahui:

  • X∼Uniform DiskritX \sim \text{Uniform Diskrit} pada {0,1,…,N}\{0, 1, \ldots, N\}

  • Y∼Poisson(λ)Y \sim \text{Poisson}(\lambda)

  • Syarat: E[X]=E[Y]E[X] = E[Y] dan Var(X)=Var(Y)\text{Var}(X) = \text{Var}(Y)

  • Target: λ\lambda

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Samakan mean

N2=λ⇒λ=N2(1)\frac{N}{2} = \lambda \quad \Rightarrow \quad \lambda = \frac{N}{2} \tag{1}

Langkah 2: Samakan variansi

N(N+2)12=λ(2)\frac{N(N+2)}{12} = \lambda \tag{2}

Langkah 3: Substitusi (1) ke (2)

N(N+2)12=N2\frac{N(N+2)}{12} = \frac{N}{2} N+212=12(bagi kedua sisi dengan N>0)\frac{N+2}{12} = \frac{1}{2} \quad (\text{bagi kedua sisi dengan } N > 0) N+2=6  ⟹  N=4N + 2 = 6 \implies N = 4

Langkah 4: Hitung λ\lambda

λ=N2=42=2\lambda = \frac{N}{2} = \frac{4}{2} = 2

Hasil Akhir: (d). λ=2∈[1,75; 2,25)\lambda = 2 \in [1{,}75;\ 2{,}25)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan rumus variansi yang salah untuk distribusi seragam diskrit: Var=N2/12\text{Var} = N^2/12 (ini untuk distribusi seragam kontinu [0,N][0,N], bukan diskrit).
  • Lupa bahwa distribusi Poisson memiliki mean = variansi (λ\lambda).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira distribusi seragam diskrit pada {0,…,N}\{0,\ldots,N\} memiliki NN nilai (bukan N+1N+1), sehingga rumus mean-nya salah.
▲Red Flags›
  • “Mean dan variansi sama” untuk Poisson → ingat sifat khas Poisson: E=Var=λE=\text{Var}=\lambda.
  • Distribusi seragam diskrit pada {0,1,…,N}\{0,1,\ldots,N\} → rumus variansi adalah N(N+2)/12N(N+2)/12, bukan N2/12N^2/12.

No. 11

Diketahui jumlah klaim adalah variabel acak independen dengan fungsi densitas probabilitas sebagai berikut:

f(x)={10x2,untuk x>100,lainnyaf(x) = \begin{cases} \dfrac{10}{x^2}, & \text{untuk } x > 10 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases}

Tentukanlah probabilitas bahwa klaim terbesar dari tiga klaim yang dipilih secara acak adalah kurang dari 2020.

a. 8125\dfrac{8}{125}
b. 12125\dfrac{12}{125}
c. 27125\dfrac{27}{125}
d. 18\dfrac{1}{8}
e. 12\dfrac{1}{2}

≡Jawaban No. 11›

(d). 18\dfrac{1}{8}

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan · 2.2 Variabel Acak Kontinu
DifficultyMedium
Prerequisite3.1 Distribusi Gabungan · 1.5 Kejadian Independen
Connected Topics3.2 Distribusi Marginal
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

Jika X1,X2,…,XnX_1, X_2, \ldots, X_n iid dengan CDF F(x)F(x), maka CDF maksimum M=max⁡(X1,…,Xn)M = \max(X_1,\ldots,X_n) adalah:

P(M≤m)=[F(m)]nP(M \leq m) = [F(m)]^n

Diketahui:

  • f(x)=10/x2f(x) = 10/x^2 untuk x>10x > 10; distribusi kontinu, support (10,∞)(10, \infty) — ini adalah distribusi Pareto.

  • Tiga klaim iid: X1,X2,X3X_1, X_2, X_3

  • Target: P(max⁡(X1,X2,X3)<20)P(\max(X_1, X_2, X_3) < 20)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung CDF dari XX

F(x)=∫10x10t2 dt=[−10t]10x=1−10x,x>10F(x) = \int_{10}^{x} \frac{10}{t^2}\,dt = \left[-\frac{10}{t}\right]_{10}^{x} = 1 - \frac{10}{x}, \quad x > 10

Langkah 2: Evaluasi F(20)F(20)

F(20)=1−1020=1−12=12F(20) = 1 - \frac{10}{20} = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}

Langkah 3: Hitung P(max⁡<20)P(\max < 20)

P(max⁡(X1,X2,X3)<20)=[F(20)]3=(12)3=18P(\max(X_1, X_2, X_3) < 20) = [F(20)]^3 = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}

Hasil Akhir: (d). 18\dfrac{1}{8}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menghitung P(salah satu<20)P(\text{salah satu} < 20) alih-alih P(ketiganya<20)P(\text{ketiganya} < 20).
  • Mengintegrasikan f(x)f(x) dari 0 (bukan dari 10), menghasilkan CDF yang salah.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “klaim terbesar kurang dari 20” = salah satu klaim <20, bukan semua klaim <20.
▲Red Flags›
  • “Nilai maksimum dari nn variabel iid” → [F(m)]n[F(m)]^n.
  • Support PDF dimulai dari x=10x=10 → batas bawah integrasi CDF adalah 1010, bukan 00.

No. 12

Perusahaan asuransi AA dan BB masing-masing memperoleh laba tahunan yang terdistribusi normal dengan mean positif yang sama. Standar deviasi dari laba tahunan perusahaan AA adalah setengah dari mean-nya. Pada suatu tahun tertentu, peluang perusahaan BB merugi (laba negatif) adalah 0,90{,}9 kali peluang perusahaan AA merugi. Tentukanlah nilai dari standar deviasi dari laba tahunan perusahaan BB dibagi dengan standar deviasi dari laba tahunan perusahaan AA.

a. 0,490{,}49
b. 0,90{,}9
c. 0,980{,}98
d. 1,021{,}02
e. 1,711{,}71

≡Jawaban No. 12›

(c). 0,980{,}98

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.6 Distribusi Kontinu Umum · 2.2 Variabel Acak Kontinu
DifficultyMedium
Prerequisite2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics4.2 Distribusi Sampel
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 3.3; Miller Bab 7
ℹRumus›

X∼N(μ,σ2)X \sim N(\mu, \sigma^2): P(X<0)=Φ ⁣(−μσ)=Φ(−μ/σ)P(X < 0) = \Phi\!\left(\dfrac{-\mu}{\sigma}\right) = \Phi(-\mu/\sigma) di mana Φ\Phi adalah CDF distribusi normal standar.

Diketahui:

  • μA=μB=μ>0\mu_A = \mu_B = \mu > 0 (mean sama)

  • σA=μ/2\sigma_A = \mu/2, sehingga μ/σA=2\mu/\sigma_A = 2

  • P(B<0)=0,9×P(A<0)P(B < 0) = 0{,}9 \times P(A < 0)

  • Target: σB/σA\sigma_B / \sigma_A

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung P(A<0)P(A < 0)

P(A<0)=Φ ⁣(−μσA)=Φ(−2)≈0,0228P(A < 0) = \Phi\!\left(\frac{-\mu}{\sigma_A}\right) = \Phi(-2) \approx 0{,}0228

Langkah 2: Tentukan P(B<0)P(B < 0)

P(B<0)=0,9×Φ(−2)≈0,9×0,0228=0,02052P(B < 0) = 0{,}9 \times \Phi(-2) \approx 0{,}9 \times 0{,}0228 = 0{,}02052

Langkah 3: Cari μ/σB\mu/\sigma_B

Φ ⁣(−μσB)=0,02052\Phi\!\left(\frac{-\mu}{\sigma_B}\right) = 0{,}02052 μσB=Φ−1(1−0,02052)=Φ−1(0,97948)\frac{\mu}{\sigma_B} = \Phi^{-1}(1 - 0{,}02052) = \Phi^{-1}(0{,}97948)

Dari tabel normal: Φ(2,04)≈0,9793\Phi(2{,}04) \approx 0{,}9793, sehingga μ/σB≈2,04\mu/\sigma_B \approx 2{,}04.

Langkah 4: Hitung rasio σB/σA\sigma_B/\sigma_A

σBσA=μ/σAμ/σB=22,04≈0,98\frac{\sigma_B}{\sigma_A} = \frac{\mu/\sigma_A}{\mu/\sigma_B} = \frac{2}{2{,}04} \approx 0{,}98

Hasil Akhir: (c). σB/σA≈0,98\sigma_B/\sigma_A \approx 0{,}98

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira σB/σA=0,9\sigma_B/\sigma_A = 0{,}9 langsung dari “0,9 kali peluang” — hubungannya tidak linear karena melalui Φ\Phi.
  • Lupa menginversi Φ\Phi dengan benar: P(X<0)=Φ(−μ/σ)P(X<0) = \Phi(-\mu/\sigma), bukan Φ(μ/σ)\Phi(\mu/\sigma).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira σA=2μ\sigma_A = 2\mu (dua kali mean) padahal σA=μ/2\sigma_A = \mu/2 (setengah mean).
▲Red Flags›
  • “Peluang merugi = kk kali peluang merugi lain” → jangan langsung kalikan σ\sigma; gunakan Φ−1\Phi^{-1}.
  • Soal melibatkan CDF normal di titik simetri x=0x=0 → manfaatkan P(X<0)=Φ(−μ/σ)P(X<0)=\Phi(-\mu/\sigma).

No. 13

Kerugian tahunan mengikuti distribusi seragam pada interval [0,2000][0, 2000]. Premi asuransi sebesar 10001000 dibebankan untuk menutup kerugian. Jika kerugian di bawah premi, manajer risiko menerima bonus sebesar 25%25\% dari selisih premi dan kerugian. Tentukanlah ekspektasi bonus yang akan diterima manajer risiko.

a. 250250
b. 187,5187{,}5
c. 110110
d. 9090
e. 62,562{,}5

≡Jawaban No. 13›

(e). 62,562{,}5

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.2 Variabel Acak Kontinu · 2.6 Distribusi Kontinu Umum
DifficultyEasy
Prerequisite2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
ReferensiMiller Bab 4.1; Hogg-Tanis-Zimm Bab 2.2
ℹRumus›

Nilai harapan fungsi variabel acak kontinu:

E[g(X)]=∫−∞∞g(x)fX(x) dxE[g(X)] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x) f_X(x)\,dx

Untuk X∼U[0,2000]X \sim U[0, 2000]: fX(x)=12000f_X(x) = \dfrac{1}{2000} pada [0,2000][0, 2000].

Diketahui:

  • L∼U[0,2000]L \sim U[0, 2000] (kerugian)

  • Bonus =0,25(1000−L)= 0{,}25(1000 - L) jika L<1000L < 1000; =0= 0 jika L≥1000L \geq 1000

  • Target: E[Bonus]E[\text{Bonus}]

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis ekspektasi bonus

E[Bonus]=∫010000,25(1000−L)⋅12000 dLE[\text{Bonus}] = \int_0^{1000} 0{,}25(1000 - L) \cdot \frac{1}{2000}\,dL

Langkah 2: Evaluasi integral

=0,252000∫01000(1000−L) dL= \frac{0{,}25}{2000} \int_0^{1000} (1000 - L)\,dL =0,252000[1000L−L22]01000= \frac{0{,}25}{2000} \left[1000L - \frac{L^2}{2}\right]_0^{1000} =0,252000(1.000.000−500.000)=0,25×500.0002000=125.0002000=62,5= \frac{0{,}25}{2000} \left(1{.}000{.}000 - 500{.}000\right) = \frac{0{,}25 \times 500{.}000}{2000} = \frac{125{.}000}{2000} = 62{,}5

Hasil Akhir: (e). E[Bonus]=62,5E[\text{Bonus}] = 62{,}5

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menghitung E[Bonus]=0,25×(1000−E[L])E[\text{Bonus}] = 0{,}25 \times (1000 - E[L]) dengan E[L]=1000E[L] = 1000, mendapat 00 — ini salah karena E[g(L)]≠g(E[L])E[g(L)] \neq g(E[L]) secara umum.
  • Lupa faktor 1/20001/2000 dari PDF distribusi seragam.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira bonus diberikan untuk seluruh rentang kerugian [0,2000][0, 2000], bukan hanya [0,1000)[0, 1000).
▲Red Flags›
  • “Jika kerugian di bawah premi…” → batas integral atas adalah premi, bukan batas distribusi.
  • Bonus adalah fungsi non-linear dari LL → hitung E[Bonus]E[\text{Bonus}] via integral, tidak bisa langsung substitusi E[L]E[L].

No. 14

Perusahaan asuransi kesehatan menjual polis kepada penduduk wilayah XX dan wilayah YY. Pengalaman klaim di masa lalu menunjukkan hal berikut:

(i) 20%20\% dari total pemegang polis dari gabungan wilayah XX dan wilayah YY tidak mengajukan klaim.
(ii) 15%15\% pemegang polis dari wilayah XX tidak mengajukan klaim.
(iii) 40%40\% pemegang polis dari wilayah YY tidak mengajukan klaim.

Tentukanlah probabilitas bahwa pemegang polis yang dipilih secara acak adalah penduduk wilayah XX, diketahui pemegang polis tersebut tidak mengajukan klaim.

a. 0,090{,}09
b. 0,270{,}27
c. 0,50{,}5
d. 0,60{,}6
e. 0,80{,}8

≡Jawaban No. 14›

(d). 0,60{,}6

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
DifficultyEasy
Prerequisite1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics1.5 Kejadian Independen
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2
ℹRumus›

Teorema Bayes:

P(X∣no claim)=P(no claim∣X) P(X)P(no claim)P(X \mid \text{no claim}) = \frac{P(\text{no claim} \mid X)\,P(X)}{P(\text{no claim})}

Hukum probabilitas total:

P(no claim)=P(no claim∣X) P(X)+P(no claim∣Y) P(Y)P(\text{no claim}) = P(\text{no claim} \mid X)\,P(X) + P(\text{no claim} \mid Y)\,P(Y)

Diketahui:

  • P(no claim∣X)=0,15P(\text{no claim} \mid X) = 0{,}15
  • P(no claim∣Y)=0,40P(\text{no claim} \mid Y) = 0{,}40

  • P(no claim)=0,20P(\text{no claim}) = 0{,}20 (dari seluruh pemegang polis)

  • Target: P(X∣no claim)P(X \mid \text{no claim})

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari P(X)P(X) dan P(Y)P(Y) Misalkan π=P(X)\pi = P(X), maka P(Y)=1−πP(Y) = 1 - \pi. Dari hukum probabilitas total:

0,15π+0,40(1−π)=0,200{,}15\pi + 0{,}40(1 - \pi) = 0{,}20 0,40−0,25π=0,200{,}40 - 0{,}25\pi = 0{,}20 π=0,200,25=0,80\pi = \frac{0{,}20}{0{,}25} = 0{,}80

Langkah 2: Terapkan Teorema Bayes

P(X∣no claim)=P(no claim∣X) P(X)P(no claim)=0,15×0,800,20=0,120,20=0,6P(X \mid \text{no claim}) = \frac{P(\text{no claim} \mid X)\,P(X)}{P(\text{no claim})} = \frac{0{,}15 \times 0{,}80}{0{,}20} = \frac{0{,}12}{0{,}20} = 0{,}6

Hasil Akhir: (d). P(X∣no claim)=0,6P(X \mid \text{no claim}) = 0{,}6

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan P(X)=0,5P(X) = 0{,}5 (menganggap proporsi sama) tanpa menghitungnya dari data.
  • Membalik kondisional: menghitung P(no claim∣X)P(\text{no claim} \mid X) bukan P(X∣no claim)P(X \mid \text{no claim}).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “20% tidak mengajukan klaim” berarti P(X)=0,20P(X) = 0{,}20 (bukan probabilitas no-claim keseluruhan).
▲Red Flags›
  • Soal berbentuk “peluang asal diketahui karakteristik” → Teorema Bayes.
  • Gunakan hukum probabilitas total untuk mencari proporsi populasi dari data gabungan.

No. 15

Sebuah perusahaan menetapkan dana sebesar 120120 yang akan digunakan untuk membayar uang sebesar CC, kepada 2020 karyawannya yang dapat mencapai tingkat kinerja tinggi pada tahun mendatang. Setiap karyawan memiliki peluang 2%2\% untuk mencapai tingkat kinerja tinggi di tahun mendatang. Peristiwa di mana karyawan yang berbeda mencapai tingkat kinerja tinggi pada tahun mendatang bersifat independen satu sama lain. Tentukanlah nilai maksimum CC, sehingga probabilitas bahwa dana tersebut tidak akan cukup untuk menutupi seluruh pembayaran untuk seluruh karyawan berkinerja tinggi, kurang dari 1%1\%.

a. 2424
b. 3030
c. 4040
d. 6060
e. 120120

≡Jawaban No. 15›

(d). 6060

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.5 Distribusi Diskrit Umum · 2.1 Variabel Acak Diskrit
DifficultyMedium
Prerequisite1.5 Kejadian Independen
Connected Topics4.7 Selang Kepercayaan
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.2; Miller Bab 5.2
ℹRumus›

N∼B(20,0,02)N \sim B(20, 0{,}02). Dana tidak cukup jika C⋅N>120C \cdot N > 120, yaitu N>120/CN > 120/C. Syarat: P(N>120/C)<0,01P(N > 120/C) < 0{,}01, ekuivalen dengan P(N≤⌊120/C⌋)>0,99P(N \leq \lfloor 120/C \rfloor) > 0{,}99.

Diketahui:

  • N∼B(n=20,p=0,02)N \sim B(n=20, p=0{,}02)

  • Dana total =120= 120; pembayaran per karyawan =C= C

  • Dana tidak cukup ⇔N>120/C\Leftrightarrow N > 120/C

  • Target: Cmax⁡C_{\max} sehingga P(tidak cukup)<0,01P(\text{tidak cukup}) < 0{,}01

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung peluang kumulatif NN

P(N=0)=0,9820≈0,6676P(N=0) = 0{,}98^{20} \approx 0{,}6676 P(N=1)=20×0,02×0,9819≈0,2725P(N=1) = 20 \times 0{,}02 \times 0{,}98^{19} \approx 0{,}2725 P(N=2)=(202)(0,02)2(0,98)18≈0,0528P(N=2) = \binom{20}{2}(0{,}02)^2(0{,}98)^{18} \approx 0{,}0528 P(N≤2)≈0,9929>0,99✓P(N \leq 2) \approx 0{,}9929 > 0{,}99 \checkmark P(N=3)≈0,0065,P(N≤1)≈0,9401<0,99P(N=3) \approx 0{,}0065, \quad P(N \leq 1) \approx 0{,}9401 < 0{,}99

Langkah 2: Tentukan ambang kk sehingga P(N>k)<0,01P(N > k) < 0{,}01 P(N>2)=1−0,9929≈0,0071<0,01P(N > 2) = 1 - 0{,}9929 \approx 0{,}0071 < 0{,}01 ✓ P(N>1)≈0,0599>0,01P(N > 1) \approx 0{,}0599 > 0{,}01 ✗ Jadi, k=2k = 2 adalah nilai terkecil sehingga P(N>k)<0,01P(N > k) < 0{,}01.

Langkah 3: Tentukan Cmax⁡C_{\max} Diperlukan ⌊120/C⌋≥2\lfloor 120/C \rfloor \geq 2, artinya 120/C≥2⇒C≤60120/C \geq 2 \Rightarrow C \leq 60. Cmax⁡=60C_{\max} = 60.

Hasil Akhir: (d). Cmax⁡=60C_{\max} = 60

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira “dana tidak cukup” = C⋅N≥120C \cdot N \geq 120 (bukan >120> 120) — perlu konsisten dengan definisi.
  • Menghitung P(N≥k)P(N \geq k) alih-alih P(N>k)P(N > k).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira C=120/20=6C = 120/20 = 6 (rata-rata per karyawan) tanpa analisis probabilistik.
▲Red Flags›
  • “Probabilitas dana tidak cukup <1%< 1\%” → cari nilai kritis distribusi Binomial.
  • Perhatikan apakah kondisinya N>kN > k atau N≥kN \geq k (berpengaruh pada nilai kk yang dipilih).

No. 16

Diketahui variabel acak XX dan YY memiliki fungsi densitas bersama sebagai berikut:

f(x,y)=2x+y12untuk 0≤x≤2 dan 0≤y≤2f(x, y) = \frac{2x + y}{12} \quad \text{untuk } 0 \leq x \leq 2 \text{ dan } 0 \leq y \leq 2

Tentukanlah nilai dari P(X+Y≥2∣X≤1)P(X + Y \geq 2 \mid X \leq 1).

a. 18\dfrac{1}{8}
b. 14\dfrac{1}{4}
c. 38\dfrac{3}{8}
d. 12\dfrac{1}{2}
e. 58\dfrac{5}{8}

≡Jawaban No. 16›

(c). 38\dfrac{3}{8}

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.1 Distribusi Gabungan · 3.3 Distribusi Bersyarat
DifficultyHard
Prerequisite1.4 Probabilitas Bersyarat · 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics3.2 Distribusi Marginal
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6–4.8
ℹRumus›
P(A∣B)=P(A∩B)P(B),P(B)=∬Bf(x,y) dx dyP(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) = \iint_{B} f(x,y)\,dx\,dy

Diketahui:

  • f(x,y)=(2x+y)/12f(x,y) = (2x+y)/12, support [0,2]×[0,2][0,2] \times [0,2] (kontinu)

  • A={X+Y≥2}A = \{X+Y \geq 2\}, B={X≤1}B = \{X \leq 1\}

  • Target: P(A∣B)P(A \mid B)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung P(B)=P(X≤1)P(B) = P(X \leq 1)

P(X≤1)=∫01∫022x+y12 dy dxP(X \leq 1) = \int_0^1 \int_0^2 \frac{2x+y}{12}\,dy\,dx

Inner: ∫022x+y12 dy=112[2xy+y22]02=112(4x+2)=x3+16\int_0^2 \frac{2x+y}{12}\,dy = \frac{1}{12}\left[2xy + \frac{y^2}{2}\right]_0^2 = \frac{1}{12}(4x+2) = \frac{x}{3} + \frac{1}{6}

P(X≤1)=∫01(x3+16)dx=[x26+x6]01=16+16=13P(X \leq 1) = \int_0^1 \left(\frac{x}{3} + \frac{1}{6}\right)dx = \left[\frac{x^2}{6} + \frac{x}{6}\right]_0^1 = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{1}{3}

Langkah 2: Hitung P(A∩B)=P(X+Y≥2, X≤1)P(A \cap B) = P(X+Y \geq 2,\ X \leq 1) Untuk 0≤x≤10 \leq x \leq 1: kondisi x+y≥2x+y \geq 2 berarti y≥2−xy \geq 2-x. Karena y∈[0,2]y \in [0,2], batas bawah integral yy adalah max⁡(0,2−x)=2−x\max(0, 2-x) = 2-x (valid untuk x≤1≤2x \leq 1 \leq 2).

P(A∩B)=∫01∫2−x22x+y12 dy dxP(A \cap B) = \int_0^1 \int_{2-x}^{2} \frac{2x+y}{12}\,dy\,dx

Inner: ∫2−x22x+y12 dy=112[2xy+y22]2−x2\int_{2-x}^2 \frac{2x+y}{12}\,dy = \frac{1}{12}\left[2xy + \frac{y^2}{2}\right]_{2-x}^2 =112[(4x+2)−(2x(2−x)+(2−x)22)]= \frac{1}{12}\left[\left(4x+2\right) - \left(2x(2-x) + \frac{(2-x)^2}{2}\right)\right] =112[4x+2−4x+2x2−4−4x+x22]= \frac{1}{12}\left[4x+2 - 4x+2x^2 - \frac{4-4x+x^2}{2}\right] =112[2x2+2−4−4x+x22]= \frac{1}{12}\left[2x^2 + 2 - \frac{4-4x+x^2}{2}\right] =112⋅4x2+4−4+4x−x22=3x2+4x24= \frac{1}{12} \cdot \frac{4x^2+4 - 4+4x-x^2}{2} = \frac{3x^2+4x}{24}

P(A∩B)=∫013x2+4x24 dx=124[x3+2x2]01=1+224=324=18P(A \cap B) = \int_0^1 \frac{3x^2+4x}{24}\,dx = \frac{1}{24}\left[x^3 + 2x^2\right]_0^1 = \frac{1+2}{24} = \frac{3}{24} = \frac{1}{8}

Langkah 3: Hitung probabilitas bersyarat

P(X+Y≥2∣X≤1)=P(A∩B)P(B)=1/81/3=38P(X+Y \geq 2 \mid X \leq 1) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/8}{1/3} = \frac{3}{8}

Hasil Akhir: (c). 38\dfrac{3}{8}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Salah menentukan batas integrasi untuk wilayah {x+y≥2}∩{x≤1}\{x+y \geq 2\} \cap \{x \leq 1\}: perlu menggunakan y≥2−xy \geq 2-x (bukan y≤2−xy \leq 2-x).
  • Lupa bahwa y∈[0,2]y \in [0,2] membatasi batas atas integral.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira wilayah {x+y≥2,x≤1}\{x+y \geq 2, x \leq 1\} mencakup x≤0x \leq 0 (support dimulai dari x=0x=0).
▲Red Flags›
  • Probabilitas bersyarat untuk (X,Y)(X,Y) kontinu → hitung dua integral terpisah (pembilang dan penyebut), jangan digabung.
  • Gambar sketsa wilayah integrasi sebelum menetapkan batas.

No. 17

Diketahui XX memiliki fungsi probabilitas P[X=k]=k+16P[X = k] = \dfrac{k+1}{6}, k=0,1,2k = 0, 1, 2.

Diketahui juga P[Y=j∣X=k]=1k+2P[Y = j | X = k] = \dfrac{1}{k+2} untuk j=0,1,…,k+1j = 0, 1, \ldots, k+1.

Tentukanlah nilai dari E[Y]E[Y].

a. 12\dfrac{1}{2}
b. 23\dfrac{2}{3}
c. 56\dfrac{5}{6}
d. 11
e. 76\dfrac{7}{6}

≡Jawaban No. 17›

(e). 76\dfrac{7}{6}

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.3 Distribusi Bersyarat · 3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics3.2 Distribusi Marginal
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

Hukum Harapan Total (Law of Total Expectation):

E[Y]=E[E[Y∣X]]=∑kE[Y∣X=k] P(X=k)E[Y] = E[E[Y \mid X]] = \sum_k E[Y \mid X=k]\, P(X=k)

Diketahui:

  • P(X=k)=(k+1)/6P(X=k) = (k+1)/6 untuk k=0,1,2k = 0, 1, 2

  • Y∣X=k∼Uniform DiskritY \mid X=k \sim \text{Uniform Diskrit} pada {0,1,…,k+1}\{0, 1, \ldots, k+1\} (ada k+2k+2 nilai)

  • Target: E[Y]E[Y]

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung E[Y∣X=k]E[Y \mid X = k] untuk tiap kk Y∣X=kY \mid X=k adalah uniform diskrit pada {0,1,…,k+1}\{0, 1, \ldots, k+1\}, sehingga:

E[Y∣X=k]=0+1+⋯+(k+1)k+2=(k+1)(k+2)/2k+2=k+12E[Y \mid X=k] = \frac{0 + 1 + \cdots + (k+1)}{k+2} = \frac{(k+1)(k+2)/2}{k+2} = \frac{k+1}{2}
  • k=0k=0: E[Y∣X=0]=1/2E[Y \mid X=0] = 1/2
  • k=1k=1: E[Y∣X=1]=2/2=1E[Y \mid X=1] = 2/2 = 1
  • k=2k=2: E[Y∣X=2]=3/2E[Y \mid X=2] = 3/2

Langkah 2: Terapkan hukum harapan total

E[Y]=E[Y∣X=0] P(X=0)+E[Y∣X=1] P(X=1)+E[Y∣X=2] P(X=2)E[Y] = E[Y|X=0]\,P(X=0) + E[Y|X=1]\,P(X=1) + E[Y|X=2]\,P(X=2) =12⋅16+1⋅26+32⋅36= \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} + 1 \cdot \frac{2}{6} + \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{6} =112+26+912=112+412+912=1412=76= \frac{1}{12} + \frac{2}{6} + \frac{9}{12} = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} + \frac{9}{12} = \frac{14}{12} = \frac{7}{6}

Hasil Akhir: (e). E[Y]=76E[Y] = \dfrac{7}{6}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Lupa bahwa rata-rata distribusi seragam diskrit pada {0,1,…,m}\{0, 1, \ldots, m\} adalah m/2m/2, bukan (m+1)/2(m+1)/2.
  • Tidak menggunakan hukum harapan total, melainkan menghitung distribusi marginal YY terlebih dahulu (lebih lambat).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira jj dimulai dari 11 (bukan 00), sehingga mengira E[Y∣X=k]=(k+2)/2E[Y|X=k] = (k+2)/2.
▲Red Flags›
  • “Distribusi bersyarat Y∣XY|X” diketahui → gunakan hukum harapan total E[Y]=E[E[Y∣X]]E[Y]=E[E[Y|X]] langsung, lebih efisien.
  • Uniform diskrit pada {0,1,…,m}\{0,1,\ldots,m\} (ada m+1m+1 nilai) → mean =m/2= m/2.

No. 18

Di suatu desa tertentu, jumlah kunjungan dokter desa per tahun yang dilakukan seseorang mengikuti distribusi Poisson yang bergantung pada kebiasaan makan individu tersebut. Sebaran penduduk desa dan rata-rata jumlah kunjungan dokter adalah sebagai berikut:

Proporsi populasiMean banyak kunjungan dokter
Vegan =0,15= 0{,}1511
Vegetarian (bukan vegan) =0,25= 0{,}2522
Non vegetarian (atau vegan) =0,6= 0{,}633

Tentukanlah probabilitas bahwa seseorang dengan kunjungan dokter tepat sebanyak 22 kali per tahun adalah seorang vegan.

a. Kurang dari 0,0950{,}095
b. Sekurang-kurangnya 0,0950{,}095 tapi kurang dari 0,1050{,}105
c. Sekurang-kurangnya 0,1050{,}105 tapi kurang dari 0,1150{,}115
d. Sekurang-kurangnya 0,1150{,}115 tapi kurang dari 0,1250{,}125
e. Sekurang-kurangnya 0,1250{,}125

≡Jawaban No. 18›

(d). Sekurang-kurangnya 0,1150{,}115 tapi kurang dari 0,1250{,}125

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
DifficultyMedium
Prerequisite1.4 Probabilitas Bersyarat · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics3.7 Distribusi Majemuk
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.4–1.5; Miller Bab 2
ℹRumus›

Teorema Bayes untuk kasus campuran:

P(Vegan∣N=2)=P(N=2∣Vegan) P(Vegan)P(N=2)P(\text{Vegan} \mid N=2) = \frac{P(N=2 \mid \text{Vegan})\,P(\text{Vegan})}{P(N=2)}

Distribusi Poisson: P(N=k∣λ)=e−λλkk!P(N=k \mid \lambda) = \dfrac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}. Di sini λ\lambda adalah parameter mean Poisson.

Diketahui:

  • P(Vegan)=0,15P(\text{Vegan})=0{,}15, λV=1\lambda_V=1; P(Veg)=0,25P(\text{Veg})=0{,}25, λG=2\lambda_G=2; P(Non-veg)=0,6P(\text{Non-veg})=0{,}6, λN=3\lambda_N=3

  • Target: P(Vegan∣N=2)P(\text{Vegan} \mid N=2)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung P(N=2)P(N=2) di tiap kelompok

P(N=2∣Vegan)=e−1⋅122!=e−12≈0,36792=0,18394P(N=2 \mid \text{Vegan}) = \frac{e^{-1} \cdot 1^2}{2!} = \frac{e^{-1}}{2} \approx \frac{0{,}3679}{2} = 0{,}18394 P(N=2∣Veg)=e−2⋅42=2e−2≈2(0,1353)=0,27067P(N=2 \mid \text{Veg}) = \frac{e^{-2} \cdot 4}{2} = 2e^{-2} \approx 2(0{,}1353) = 0{,}27067 P(N=2∣Non-veg)=e−3⋅92=92e−3≈4,5(0,04979)=0,22404P(N=2 \mid \text{Non-veg}) = \frac{e^{-3} \cdot 9}{2} = \frac{9}{2}e^{-3} \approx 4{,}5(0{,}04979) = 0{,}22404

Langkah 2: Hitung P(N=2)P(N=2) total

P(N=2)=0,15(0,18394)+0,25(0,27067)+0,6(0,22404)P(N=2) = 0{,}15(0{,}18394) + 0{,}25(0{,}27067) + 0{,}6(0{,}22404) =0,02759+0,06767+0,13442=0,22968= 0{,}02759 + 0{,}06767 + 0{,}13442 = 0{,}22968

Langkah 3: Terapkan Teorema Bayes

P(Vegan∣N=2)=0,15×0,183940,22968=0,027590,22968≈0,1201P(\text{Vegan} \mid N=2) = \frac{0{,}15 \times 0{,}18394}{0{,}22968} = \frac{0{,}02759}{0{,}22968} \approx 0{,}1201

Hasil Akhir: (d). 0,1201∈[0,115; 0,125)0{,}1201 \in [0{,}115;\ 0{,}125)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Lupa membagi dengan P(N=2)P(N=2) total — hanya menghitung pembilang tanpa penyebut.
  • Menggunakan P(N=2∣Vegan)=P(Vegan)×P(N=2∣Vegan)P(N=2 \mid \text{Vegan}) = P(\text{Vegan}) \times P(N=2|\text{Vegan}) sebagai jawaban final.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira ketiga kelompok memiliki proporsi sama (1/3 masing-masing).
▲Red Flags›
  • Soal campuran Poisson dengan bobot → hukum probabilitas total + Teorema Bayes, bukan hanya Poisson langsung.
  • Pastikan nilai e−λe^{-\lambda} dihitung dengan presisi: e−1≈0,3679e^{-1} \approx 0{,}3679, e−2≈0,1353e^{-2} \approx 0{,}1353, e−3≈0,0498e^{-3} \approx 0{,}0498.

No. 19

Messi sedang mempertimbangkan program amal untuk memberikan sumbangan ke Rumah Sakit. Donasi akan dikaitkan dengan berapa banyak gol yang ia cetak di pertandingan berikutnya. Ahli statistik tim telah menentukan bahwa jumlah gol yang dicetak oleh Messi dalam sebuah pertandingan memiliki distribusi Poisson dengan mean sebesar 33. Messi berencana menyumbangkan KK untuk setiap gol yang mereka cetak hingga maksimal 33 gol. Untuk sebuah pertandingan tentukanlah nilai KK yang akan membuat donasi Messi yang diharapkan menjadi 4.0004{.}000.

a. Kurang dari 1.7001{.}700
b. Sekurang-kurangnya 1.7001{.}700 tapi kurang dari 1.8001{.}800
c. Sekurang-kurangnya 1.8001{.}800 tapi kurang dari 1.9001{.}900
d. Sekurang-kurangnya 1.9001{.}900 tapi kurang dari 2.0002{.}000
e. Sekurang-kurangnya 2.0002{.}000

≡Jawaban No. 19›

(b). Sekurang-kurangnya 1.7001{.}700 tapi kurang dari 1.8001{.}800

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.5 Distribusi Diskrit Umum · 2.1 Variabel Acak Diskrit
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.3; Miller Bab 5.3
ℹRumus›

X∼Poisson(λ)X \sim \text{Poisson}(\lambda): P(X=k)=e−λλk/k!P(X=k) = e^{-\lambda}\lambda^k/k!. Donasi D=K⋅min⁡(X,3)D = K \cdot \min(X, 3). Target: E[D]=K⋅E[min⁡(X,3)]=4000E[D] = K \cdot E[\min(X, 3)] = 4000.

Diketahui:

  • X∼Poisson(3)X \sim \text{Poisson}(3)
  • D=K⋅min⁡(X,3)D = K \cdot \min(X, 3)

  • E[D]=4000E[D] = 4000, cari KK

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung probabilitas Poisson(3)

P(X=0)=e−3≈0,04979P(X=0) = e^{-3} \approx 0{,}04979 P(X=1)=3e−3≈0,14936P(X=1) = 3e^{-3} \approx 0{,}14936 P(X=2)=92e−3≈0,22404P(X=2) = \frac{9}{2}e^{-3} \approx 0{,}22404 P(X≥3)=1−e−3(1+3+4,5)=1−8,5e−3≈1−0,42319=0,57681P(X \geq 3) = 1 - e^{-3}(1 + 3 + 4{,}5) = 1 - 8{,}5e^{-3} \approx 1 - 0{,}42319 = 0{,}57681

Langkah 2: Hitung E[min⁡(X,3)]E[\min(X, 3)]

E[min⁡(X,3)]=0⋅P(X=0)+1⋅P(X=1)+2⋅P(X=2)+3⋅P(X≥3)E[\min(X,3)] = 0 \cdot P(X=0) + 1 \cdot P(X=1) + 2 \cdot P(X=2) + 3 \cdot P(X \geq 3) =0+0,14936+2(0,22404)+3(0,57681)= 0 + 0{,}14936 + 2(0{,}22404) + 3(0{,}57681) =0,14936+0,44808+1,73043=2,32787= 0{,}14936 + 0{,}44808 + 1{,}73043 = 2{,}32787

Langkah 3: Hitung KK

K=4000E[min⁡(X,3)]=40002,32787≈1718,4K = \frac{4000}{E[\min(X,3)]} = \frac{4000}{2{,}32787} \approx 1718{,}4

Hasil Akhir: (b). K≈1718∈[1.700; 1.800)K \approx 1718 \in [1{.}700;\ 1{.}800)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan E[min⁡(X,3)]=min⁡(E[X],3)=min⁡(3,3)=3E[\min(X,3)] = \min(E[X], 3) = \min(3, 3) = 3 (salah — Jensen’s inequality menunjukkan E[min⁡(X,3)]≤min⁡(E[X],3)E[\min(X,3)] \leq \min(E[X], 3), kesetaraan hanya jika XX deterministik).
  • Lupa bahwa P(X≥3)P(X \geq 3) dihitung sebagai komplemen P(X≤2)P(X \leq 2).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “maksimal 3 gol” artinya Messi mencetak tepat 3 gol (bukan batas atas cap).
▲Red Flags›
  • “Hingga maksimal mm” → variabel terpotong min⁡(X,m)\min(X, m) → hitung E[min⁡(X,m)]E[\min(X,m)] secara eksplisit.
  • Poisson λ=3\lambda = 3 → P(X≥3)P(X \geq 3) cukup besar, jangan diabaikan.

No. 20

Misalkan XX menunjukkan jumlah kerugian yang diderita oleh pemegang polis perusahaan asuransi dalam suatu tabrakan mobil. Misalkan ZZ menunjukkan bagian XX yang harus dibayar oleh perusahaan asuransi. Seorang aktuaris menentukan bahwa XX dan ZZ saling independen dengan fungsi densitas dan probabilitas masing-masing sebagai berikut:

f(x)={18e−x/8,untuk x>00,lainnyaf(x) = \begin{cases} \dfrac{1}{8} e^{-x/8}, & \text{untuk } x > 0 \\ 0, & \text{lainnya} \end{cases} P[Z=z]={0,55,z=10,45,z=0P[Z = z] = \begin{cases} 0{,}55, & z = 1 \\ 0{,}45, & z = 0 \end{cases}

Tentukanlah variansi dari pembayaran klaim perusahaan asuransi ZXZX.

a. 15,815{,}8
b. 28,828{,}8
c. 35,235{,}2
d. 44,644{,}6
e. 51,0451{,}04

≡Jawaban No. 20›

(e). 51,0451{,}04

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.5 Independensi dan Korelasi · 3.1 Distribusi Gabungan
DifficultyMedium
Prerequisite2.2 Variabel Acak Kontinu · 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

Jika XX dan ZZ independen:

Var(ZX)=E[(ZX)2]−(E[ZX])2=E[Z2] E[X2]−(E[Z])2(E[X])2\text{Var}(ZX) = E[(ZX)^2] - (E[ZX])^2 = E[Z^2]\,E[X^2] - (E[Z])^2(E[X])^2

Untuk X∼Exp(λ)X \sim \text{Exp}(\lambda) (rate λ=1/8\lambda = 1/8, mean =8= 8, kontinu, support (0,∞)(0,\infty)):

E[X]=8,E[X2]=Var(X)+(E[X])2=64+64=128E[X] = 8, \quad E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = 64 + 64 = 128

Diketahui:

  • X∼Exp(mean=8)X \sim \text{Exp}(\text{mean}=8), yaitu rate λ=1/8\lambda = 1/8

  • ZZ: Bernoulli — P(Z=1)=0,55P(Z=1)=0{,}55, P(Z=0)=0,45P(Z=0)=0{,}45

  • XX dan ZZ independen; target: Var(ZX)\text{Var}(ZX)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung momen ZZ

E[Z]=1(0,55)+0(0,45)=0,55E[Z] = 1(0{,}55) + 0(0{,}45) = 0{,}55 E[Z2]=12(0,55)+02(0,45)=0,55E[Z^2] = 1^2(0{,}55) + 0^2(0{,}45) = 0{,}55

(Karena Z2=ZZ^2 = Z untuk variabel Bernoulli: Z∈{0,1}Z \in \{0,1\}.)

Langkah 2: Hitung momen XX

E[X]=8,Var(X)=82=64E[X] = 8, \quad \text{Var}(X) = 8^2 = 64 E[X2]=Var(X)+[E[X]]2=64+64=128E[X^2] = \text{Var}(X) + [E[X]]^2 = 64 + 64 = 128

Langkah 3: Hitung E[ZX]E[ZX] dan E[(ZX)2]E[(ZX)^2] Karena XX dan ZZ independen:

E[ZX]=E[Z] E[X]=0,55×8=4,4E[ZX] = E[Z]\,E[X] = 0{,}55 \times 8 = 4{,}4 E[(ZX)2]=E[Z2] E[X2]=0,55×128=70,4E[(ZX)^2] = E[Z^2]\,E[X^2] = 0{,}55 \times 128 = 70{,}4

Langkah 4: Hitung Var(ZX)\text{Var}(ZX)

Var(ZX)=E[(ZX)2]−(E[ZX])2=70,4−(4,4)2=70,4−19,36=51,04\text{Var}(ZX) = E[(ZX)^2] - (E[ZX])^2 = 70{,}4 - (4{,}4)^2 = 70{,}4 - 19{,}36 = 51{,}04

Hasil Akhir: (e). Var(ZX)=51,04\text{Var}(ZX) = 51{,}04

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan Var(ZX)=Var(Z) Var(X)\text{Var}(ZX) = \text{Var}(Z)\,\text{Var}(X) — rumus ini hanya berlaku jika mean keduanya nol.
  • Lupa bahwa untuk Bernoulli: E[Z2]=E[Z]=pE[Z^2] = E[Z] = p.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira E[X]=1/8E[X] = 1/8 karena λ=1/8\lambda = 1/8 (salah — untuk Exp dengan rate λ\lambda, E[X]=1/λ=8E[X] = 1/\lambda = 8).
▲Red Flags›
  • Produk dua variabel independen: E[XZ]=E[X]E[Z]E[XZ] = E[X]E[Z] dan E[X2Z2]=E[X2]E[Z2]E[X^2Z^2] = E[X^2]E[Z^2].
  • Distribusi Eksponensial: selalu verifikasi apakah parameter yang diberikan adalah rate (λ\lambda) atau mean (1/λ1/\lambda).

No. 21

Jumlah operasi kecil, XX, dan jumlah operasi besar, YY, bagi seorang pemegang polis, pada dekade ini, memiliki fungsi distribusi kumulatif bersama sebagai berikut:

F(x,y)=[1−0,5x+1][1−0,2y+1]F(x, y) = [1 - 0{,}5^{x+1}][1 - 0{,}2^{y+1}]

untuk bilangan bulat non negatif xx dan yy. Tentukanlah probabilitas bahwa pemegang polis mengalami tepat tiga operasi kecil dan tiga operasi besar pada dekade ini.

a. Kurang dari 0,00050{,}0005
b. Sekurang-kurangnya 0,00050{,}0005 tapi kurang dari 0,0010{,}001
c. Sekurang-kurangnya 0,0010{,}001 tapi kurang dari 0,0020{,}002
d. Sekurang-kurangnya 0,0020{,}002 tapi kurang dari 0,0040{,}004
e. Sekurang-kurangnya 0,0040{,}004

≡Jawaban No. 21›

(a). Kurang dari 0,00050{,}0005

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.1 Distribusi Gabungan · 3.5 Independensi dan Korelasi
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit · 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics3.3 Distribusi Bersyarat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

Jika CDF dapat difaktorkan: F(x,y)=FX(x) FY(y)F(x,y) = F_X(x)\,F_Y(y), maka XX dan YY independen. PMF bersama: P(X=x,Y=y)=P(X=x) P(Y=y)P(X=x, Y=y) = P(X=x)\,P(Y=y) dengan

P(X=x)=FX(x)−FX(x−1)P(X=x) = F_X(x) - F_X(x-1)

Diketahui:

  • F(x,y)=[1−0,5x+1][1−0,2y+1]F(x,y) = [1-0{,}5^{x+1}][1-0{,}2^{y+1}] — terpisah sebagai produk

  • Target: P(X=3,Y=3)P(X=3, Y=3)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi faktorisasi CDF F(x,y)=A(x) B(y)F(x,y) = A(x)\,B(y) dengan A(x)=1−0,5x+1A(x) = 1-0{,}5^{x+1} dan B(y)=1−0,2y+1B(y) = 1-0{,}2^{y+1}. Ini menunjukkan XX dan YY independen.

Langkah 2: Hitung P(X=3)P(X=3)

P(X=3)=A(3)−A(2)=(1−0,54)−(1−0,53)=0,53−0,54=18−116=116P(X=3) = A(3) - A(2) = (1-0{,}5^4) - (1-0{,}5^3) = 0{,}5^3 - 0{,}5^4 = \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{1}{16}

Langkah 3: Hitung P(Y=3)P(Y=3)

P(Y=3)=B(3)−B(2)=(1−0,24)−(1−0,23)=0,23−0,24=0,008−0,0016=0,0064P(Y=3) = B(3) - B(2) = (1-0{,}2^4) - (1-0{,}2^3) = 0{,}2^3 - 0{,}2^4 = 0{,}008 - 0{,}0016 = 0{,}0064

Langkah 4: Hitung P(X=3,Y=3)P(X=3, Y=3)

P(X=3,Y=3)=P(X=3) P(Y=3)=116×0,0064=0,006416=0,0004P(X=3,Y=3) = P(X=3)\,P(Y=3) = \frac{1}{16} \times 0{,}0064 = \frac{0{,}0064}{16} = 0{,}0004

Hasil Akhir: (a). P(X=3,Y=3)=0,0004<0,0005P(X=3,Y=3) = 0{,}0004 < 0{,}0005

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan P(X=3)=F(3)=A(3)P(X=3) = F(3) = A(3) tanpa mengurangi A(2)A(2) — ini menghasilkan CDF, bukan PMF.
  • Tidak mengenali bahwa CDF yang bisa difaktorkan mengimplikasikan independensi.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira F(3,3)=P(X=3,Y=3)F(3,3) = P(X=3, Y=3) langsung — ini adalah probabilitas kumulatif, bukan titik.
▲Red Flags›
  • CDF diskrit bersama F(x,y)F(x,y) → untuk mencari PMF titik, gunakan P(X=x,Y=y)=F(x,y)−F(x−1,y)−F(x,y−1)+F(x−1,y−1)P(X=x,Y=y) = F(x,y) - F(x-1,y) - F(x,y-1) + F(x-1,y-1).
  • Jika F(x,y)=FX(x)FY(y)F(x,y) = F_X(x)F_Y(y), gunakan properti independensi: P(X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y=y)P(X=x,Y=y) = P(X=x)P(Y=y).

No. 22

Diketahui XX menunjukkan jumlah pasien yang mengunjungi klinik dokter gigi dalam sehari. Fungsi probabilitas XX adalah P(X=2)=0,1P(X = 2) = 0{,}1, P(X=3)=0,6P(X = 3) = 0{,}6, P(X=4)=0,3P(X = 4) = 0{,}3. 20%20\% pasien yang mengunjungi klinik membutuhkan perawatan gigi kosmetik dan 80%80\% lainnya membutuhkan layanan gigi lainnya. Pasien tidak bergantung satu sama lain. Tentukanlah probabilitas banyaknya pasien yang memerlukan perawatan gigi kosmetik dalam sehari adalah paling sedikit 33 orang.

a. Kurang dari 0,010{,}01
b. Sekurang-kurangnya 0,010{,}01 tapi kurang dari 0,0150{,}015
c. Sekurang-kurangnya 0,0150{,}015 tapi kurang dari 0,020{,}02
d. Sekurang-kurangnya 0,020{,}02 tapi kurang dari 0,0250{,}025
e. Sekurang-kurangnya 0,0250{,}025

≡Jawaban No. 22›

(b). Sekurang-kurangnya 0,010{,}01 tapi kurang dari 0,0150{,}015

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.7 Distribusi Majemuk · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
DifficultyMedium
Prerequisite1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics3.1 Distribusi Gabungan
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.3; Miller Bab 5.2
ℹRumus›

Misalkan CC = jumlah pasien kosmetik. Diberikan X=xX = x: C∣X=x∼B(x,0,2)C \mid X=x \sim B(x, 0{,}2). Hukum probabilitas total:

P(C≥3)=∑xP(C≥3∣X=x) P(X=x)P(C \geq 3) = \sum_{x} P(C \geq 3 \mid X=x)\,P(X=x)

Diketahui:

  • P(X=2)=0,1P(X=2)=0{,}1, P(X=3)=0,6P(X=3)=0{,}6, P(X=4)=0,3P(X=4)=0{,}3

  • C∣X=x∼B(x,0,2)C \mid X=x \sim B(x, 0{,}2)

  • Target: P(C≥3)P(C \geq 3)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung P(C≥3∣X=x)P(C \geq 3 \mid X=x) per nilai xx

  • x=2x=2: C∣X=2∼B(2,0,2)C \mid X=2 \sim B(2, 0{,}2). Maksimum C=2<3C=2 < 3, jadi P(C≥3∣X=2)=0P(C \geq 3 \mid X=2) = 0.

  • x=3x=3: C∣X=3∼B(3,0,2)C \mid X=3 \sim B(3, 0{,}2).

P(C=3∣X=3)=0,23=0,008P(C=3 \mid X=3) = 0{,}2^3 = 0{,}008 P(C≥3∣X=3)=0,008P(C \geq 3 \mid X=3) = 0{,}008
  • x=4x=4: C∣X=4∼B(4,0,2)C \mid X=4 \sim B(4, 0{,}2).
P(C=3∣X=4)=(43)(0,2)3(0,8)=4(0,008)(0,8)=0,0256P(C=3 \mid X=4) = \binom{4}{3}(0{,}2)^3(0{,}8) = 4(0{,}008)(0{,}8) = 0{,}0256 P(C=4∣X=4)=(0,2)4=0,0016P(C=4 \mid X=4) = (0{,}2)^4 = 0{,}0016 P(C≥3∣X=4)=0,0256+0,0016=0,0272P(C \geq 3 \mid X=4) = 0{,}0256 + 0{,}0016 = 0{,}0272

Langkah 2: Terapkan hukum probabilitas total

P(C≥3)=0×0,1+0,008×0,6+0,0272×0,3P(C \geq 3) = 0 \times 0{,}1 + 0{,}008 \times 0{,}6 + 0{,}0272 \times 0{,}3 =0+0,0048+0,00816=0,01296= 0 + 0{,}0048 + 0{,}00816 = 0{,}01296

Hasil Akhir: (b). P(C≥3)=0,01296∈[0,01; 0,015)P(C \geq 3) = 0{,}01296 \in [0{,}01;\ 0{,}015)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira distribusi majemuk bisa langsung dihitung dari nilai rata-rata E[X]E[X] saja.
  • Lupa bahwa jika X=2X=2, tidak mungkin ada ≥3\geq 3 pasien kosmetik.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “paling sedikit 3” dari seluruh pasien (bukan dari pasien kosmetik).
▲Red Flags›
  • Distribusi majemuk (“campuran Binomial”) → kondisikan pada nilai XX, lalu gunakan hukum probabilitas total.
  • Perhatikan batas maksimum: C≤XC \leq X, sehingga untuk X<3X < 3, P(C≥3)=0P(C \geq 3) = 0 otomatis.

No. 23

Banyaknya angin topan XX yang menyerang pulau tertentu dalam satu bulan memiliki distribusi sebagai berikut:

P(X=k)=0,8×0,2k,k=0,1,2,…P(X = k) = 0{,}8 \times 0{,}2^k, \quad k = 0, 1, 2, \ldots

Hal ini berlaku untuk setiap bulan Juni, Juli dan Agustus. Diasumsikan bahwa jumlah angin topan di bulan tertentu tidak bergantung pada jumlah di bulan lainnya. Tentukanlah probabilitas paling sedikit tiga angin topan terjadi untuk periode tiga bulan Juni, Juli dan Agustus.

a. Kurang dari 0,050{,}05
b. Sekurang-kurangnya 0,050{,}05 tapi kurang dari 0,10{,}1
c. Sekurang-kurangnya 0,10{,}1 tapi kurang dari 0,1250{,}125
d. Sekurang-kurangnya 0,1250{,}125 tapi kurang dari 0,150{,}15
e. Sekurang-kurangnya 0,150{,}15

≡Jawaban No. 23›

(b). Sekurang-kurangnya 0,050{,}05 tapi kurang dari 0,10{,}1

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.7 Distribusi Majemuk · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
DifficultyMedium
Prerequisite1.5 Kejadian Independen · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics3.1 Distribusi Gabungan
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 2.3; Miller Bab 5
ℹRumus›

P(X=k)=0,8×0,2kP(X=k) = 0{,}8 \times 0{,}2^k adalah distribusi Geometrik (jumlah kegagalan sebelum sukses pertama) dengan p=0,8p=0{,}8. Total T=X1+X2+X3T = X_1 + X_2 + X_3 (iid). P(T≥3)=1−P(T≤2)P(T \geq 3) = 1 - P(T \leq 2).

Diketahui:

  • Xi∼Geom(0,8)X_i \sim \text{Geom}(0{,}8) (kegagalan): P(X=k)=0,8×0,2kP(X=k)=0{,}8 \times 0{,}2^k, k=0,1,2,…k=0,1,2,\ldots

  • X1,X2,X3X_1, X_2, X_3 independen. T=X1+X2+X3T = X_1+X_2+X_3

  • Target: P(T≥3)P(T \geq 3)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung probabilitas titik untuk XiX_i

P(X=0)=0,8,P(X=1)=0,16,P(X=2)=0,032P(X=0)=0{,}8,\quad P(X=1)=0{,}16,\quad P(X=2)=0{,}032

Langkah 2: Hitung P(T≤2)P(T \leq 2)

  • P(T=0)=P(X1=0)P(X2=0)P(X3=0)=0,83=0,512P(T=0) = P(X_1=0)P(X_2=0)P(X_3=0) = 0{,}8^3 = 0{,}512

  • P(T=1)P(T=1): tepat satu Xi=1X_i=1, dua lainnya =0=0.

=(31)(0,16)(0,8)2=3×0,16×0,64=0,3072= \binom{3}{1}(0{,}16)(0{,}8)^2 = 3 \times 0{,}16 \times 0{,}64 = 0{,}3072
  • P(T=2)P(T=2): kasus (2,0,0) atau (1,1,0):
    • Satu Xi=2X_i=2, dua =0=0: (31)(0,032)(0,8)2=3(0,032)(0,64)=0,06144\binom{3}{1}(0{,}032)(0{,}8)^2 = 3(0{,}032)(0{,}64) = 0{,}06144
    • Dua Xi=1X_i=1, satu =0=0: (32)(0,16)2(0,8)=3(0,0256)(0,8)=0,06144\binom{3}{2}(0{,}16)^2(0{,}8) = 3(0{,}0256)(0{,}8) = 0{,}06144
P(T=2)=0,06144+0,06144=0,12288P(T=2) = 0{,}06144 + 0{,}06144 = 0{,}12288

Langkah 3: Hitung P(T≥3)P(T \geq 3)

P(T≤2)=0,512+0,3072+0,12288=0,94208P(T \leq 2) = 0{,}512 + 0{,}3072 + 0{,}12288 = 0{,}94208 P(T≥3)=1−0,94208=0,05792P(T \geq 3) = 1 - 0{,}94208 = 0{,}05792

Hasil Akhir: (b). P(T≥3)≈0,058∈[0,05; 0,1)P(T \geq 3) \approx 0{,}058 \in [0{,}05;\ 0{,}1)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira T∼GeomT \sim \text{Geom} atau T∼PoissonT \sim \text{Poisson} — jumlah Geometrik tidak otomatis Geometrik; perlu hitung langsung.
  • Lupa kasus P(T=2)P(T=2) terbagi dua sub-kasus: (2,0,0) dan (1,1,0).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “paling sedikit 3 dalam 3 bulan” berarti rata-rata 1 per bulan (pendekatan yang salah konteks).
▲Red Flags›
  • Jumlah variabel iid diskrit: hitung distribusi TT secara konvolusi untuk nilai kecil, lalu gunakan komplemen.
  • Selalu enumerate semua partisi integer untuk P(T=k)P(T=k).

No. 24

Dua polis asuransi jiwa, masing-masing dengan manfaat kematian sebesar 10.00010{.}000 dan premi sekali bayar sebesar 500500, dijual kepada pasangan suami istri, satu untuk setiap orang. Polis tersebut akan berakhir pada akhir tahun kesepuluh. Peluang hanya istri yang dapat bertahan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah 0,0250{,}025, peluang hanya suami yang dapat bertahan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah 0,010{,}01, dan peluang keduanya akan hidup sekurang-kurangnya sepuluh tahun adalah 0,960{,}96. Tentukanlah perkiraan kelebihan premi dibandingkan klaim, diketahui suami masih hidup setidaknya sepuluh tahun.

a. 897897
b. 870870
c. 397397
d. 385385
e. 350350

≡Jawaban No. 24›

(a). 897897

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.4 Probabilitas Bersyarat · 1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
DifficultyHard
Prerequisite1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 2
ℹRumus›

P(H hidup)=P(hanya H)+P(keduanya)=0,01+0,96=0,97P(H \text{ hidup}) = P(\text{hanya H}) + P(\text{keduanya}) = 0{,}01 + 0{,}96 = 0{,}97. Ekspektasi bersyarat:

E[klaim∣H hidup]=10.000×P(W meninggal∣H hidup)E[\text{klaim} \mid H \text{ hidup}] = 10{.}000 \times P(W \text{ meninggal} \mid H \text{ hidup})

Kelebihan = Total premi −- E[klaim | H hidup].

Diketahui:

  • P(hanya W hidup)=0,025P(\text{hanya W hidup})=0{,}025; P(hanya H hidup)=0,01P(\text{hanya H hidup})=0{,}01; P(keduanya hidup)=0,96P(\text{keduanya hidup})=0{,}96

  • Premi per polis =500= 500 (dua polis → total premi =1000= 1000)

  • Manfaat kematian per polis =10.000= 10{.}000

  • Target: E[premi]−E[klaim]E[\text{premi}] - E[\text{klaim}] diberikan H hidup ≥10\geq 10 tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan P(H hidup)P(H \text{ hidup})

P(H≥10 thn)=P(hanya H)+P(keduanya)=0,01+0,96=0,97P(H \geq 10\text{ thn}) = P(\text{hanya H}) + P(\text{keduanya}) = 0{,}01 + 0{,}96 = 0{,}97

Langkah 2: Tentukan klaim kondisional Diberikan H hidup: H tidak meninggal, sehingga tidak ada klaim untuk H. Klaim hanya terjadi jika W meninggal sebelum 10 tahun.

P(W meninggal∣H hidup)=P(hanya H hidup)/P(H hidup)=0,01/0,97P(W \text{ meninggal} \mid H \text{ hidup}) = P(\text{hanya H hidup}) / P(H \text{ hidup}) = 0{,}01/0{,}97

Langkah 3: Hitung E[klaim | H hidup]

E[klaim∣H hidup]=10.000×0,010,97=1000,97≈103,09E[\text{klaim} \mid H \text{ hidup}] = 10{.}000 \times \frac{0{,}01}{0{,}97} = \frac{100}{0{,}97} \approx 103{,}09

Langkah 4: Hitung kelebihan premi Total premi (dua polis, keduanya sudah dibayar) =2×500=1000= 2 \times 500 = 1000.

Kelebihan=1000−103,09≈896,9≈897\text{Kelebihan} = 1000 - 103{,}09 \approx 896{,}9 \approx 897

Hasil Akhir: (a). Kelebihan premi ≈897\approx 897

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Lupa mengkondisikan P(W meninggal)P(W \text{ meninggal}) pada H hidup — harus menggunakan probabilitas bersyarat.
  • Menghitung klaim tanpa mempertimbangkan bahwa H hidup berarti tidak ada klaim untuk H.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira premi hanya 500500 (satu polis), padahal dua polis dijual dengan premi masing-masing 500500.
▲Red Flags›
  • “Diketahui H hidup” → kondisikan semua probabilitas pada peristiwa ini.
  • Kelebihan = premi − E[klaim], bukan premi − klaim maksimum.

No. 25

Sebuah perusahaan menawarkan asuransi gempa bumi. Premi tahunan dimodelkan dengan variabel acak eksponensial dengan mean sebesar 22. Klaim tahunan dimodelkan dengan variabel acak eksponensial dengan mean sebesar 11. Premi dan klaim bersifat independen. Misalkan XX menyatakan rasio klaim terhadap premi, dan misalkan ff adalah fungsi kepadatan dari XX. Tentukanlah f(x)f(x).

a. 12x+1\dfrac{1}{2x+1}
b. 2(2x+1)2\dfrac{2}{(2x+1)^2}
c. e−xe^{-x}
d. 2e−2x2e^{-2x}
e. xe−xxe^{-x}

≡Jawaban No. 25›

(b). 2(2x+1)2\dfrac{2}{(2x+1)^2}

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
DifficultyHard
Prerequisite2.6 Distribusi Kontinu Umum · 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.4; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

PDF rasio X=C/PX = C/P (dengan CC dan PP independen positif):

fX(x)=∫0∞p fC(xp) fP(p) dp,x>0f_X(x) = \int_0^{\infty} p\, f_C(xp)\, f_P(p)\, dp, \quad x > 0

Untuk C∼Exp(rate=1)C \sim \text{Exp}(\text{rate}=1): fC(c)=e−cf_C(c)=e^{-c}; P∼Exp(rate=1/2)P \sim \text{Exp}(\text{rate}=1/2): fP(p)=12e−p/2f_P(p)=\frac{1}{2}e^{-p/2}.

Diketahui:

  • Klaim C∼Exp(mean=1)C \sim \text{Exp}(\text{mean}=1), rate =1=1: fC(c)=e−cf_C(c)=e^{-c}, c>0c>0 (kontinu)

  • Premi P∼Exp(mean=2)P \sim \text{Exp}(\text{mean}=2), rate =1/2=1/2: fP(p)=12e−p/2f_P(p)=\frac{1}{2}e^{-p/2}, p>0p>0 (kontinu)

  • X=C/PX = C/P; target: fX(x)f_X(x)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Turunkan PDF rasio X=C/PX = C/P Dengan metode transformasi variabel (Jacobian untuk rasio dua variabel independen positif):

fX(x)=∫0∞p fC(xp) fP(p) dpf_X(x) = \int_0^{\infty} p\, f_C(xp)\, f_P(p)\, dp

Langkah 2: Substitusikan PDF

fX(x)=∫0∞p⋅e−xp⋅12e−p/2 dp=12∫0∞p e−p(x+1/2) dpf_X(x) = \int_0^{\infty} p \cdot e^{-xp} \cdot \frac{1}{2}e^{-p/2}\, dp = \frac{1}{2}\int_0^{\infty} p\, e^{-p(x+1/2)}\, dp

Langkah 3: Evaluasi integral Gunakan ∫0∞p e−αp dp=1α2\int_0^\infty p\, e^{-\alpha p}\, dp = \dfrac{1}{\alpha^2} dengan α=x+12=2x+12\alpha = x + \dfrac{1}{2} = \dfrac{2x+1}{2}:

fX(x)=12⋅1(2x+12)2=12⋅4(2x+1)2=2(2x+1)2f_X(x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{\left(\dfrac{2x+1}{2}\right)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{(2x+1)^2} = \frac{2}{(2x+1)^2}

Hasil Akhir: (b). fX(x)=2(2x+1)2f_X(x) = \dfrac{2}{(2x+1)^2}, x>0x > 0

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan fX(x)=fC(x)/fP(1)f_X(x) = f_C(x)/f_P(1) — ini tidak benar; rasio dua variabel memerlukan Jacobian atau konvolusi.
  • Salah menerapkan formula: menggunakan fC(x/p)f_C(x/p) bukannya fC(xp)f_C(xp) (atau lupa faktor ∣Jacobian∣=p|Jacobian| = p).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Menukarkan peran klaim dan premi: X=P/CX = P/C alih-alih X=C/PX = C/P.
▲Red Flags›
  • Rasio X=C/PX = C/P dengan C,P>0C, P > 0 independen → formula fX(x)=∫0∞pfC(xp)fP(p)dpf_X(x) = \int_0^\infty p f_C(xp) f_P(p) dp.
  • Selalu verifikasi parameter rate vs mean untuk distribusi Eksponensial sebelum menulis ff.

No. 26

Diketahui XX dan YY adalah variabel acak diskrit pada bilangan bulat {0,1,2}\{0, 1, 2\}, dengan fungsi pembangkit momen MX(t)M_X(t) dan MY(t)M_Y(t). Diketahui juga bahwa

MX(t)+MY(t)=34+34et+12e2tdanMX(t)−MY(t)=14−14etM_X(t) + M_Y(t) = \frac{3}{4} + \frac{3}{4}e^t + \frac{1}{2}e^{2t} \quad \text{dan} \quad M_X(t) - M_Y(t) = \frac{1}{4} - \frac{1}{4}e^t

Tentukanlah nilai dari P(X=0)P(X = 0).

a. 14\dfrac{1}{4}
b. 18\dfrac{1}{8}
c. 38\dfrac{3}{8}
d. 12\dfrac{1}{2}
e. 58\dfrac{5}{8}

≡Jawaban No. 26›

(d). 12\dfrac{1}{2}

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.3 Fungsi Pembangkit
DifficultyMedium
Prerequisite2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.7–2.1; Miller Bab 5.4
ℹRumus›

MGF: MX(t)=∑k=02P(X=k) ekt=P(X=0)+P(X=1)et+P(X=2)e2tM_X(t) = \sum_{k=0}^{2} P(X=k)\, e^{kt} = P(X=0) + P(X=1)e^t + P(X=2)e^{2t}. Koefisien e0=1e^{0} = 1 dalam MX(t)M_X(t) adalah P(X=0)P(X=0).

Diketahui:

  • MX(t)+MY(t)M_X(t) + M_Y(t) dan MX(t)−MY(t)M_X(t) - M_Y(t) diberikan

  • Target: P(X=0)P(X=0) = koefisien dari e0t=1e^{0t} = 1 dalam MX(t)M_X(t)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Isolasi MX(t)M_X(t)

MX(t)=[MX(t)+MY(t)]+[MX(t)−MY(t)]2M_X(t) = \frac{[M_X(t)+M_Y(t)] + [M_X(t)-M_Y(t)]}{2} =(34+34et+12e2t)+(14−14et)2= \frac{\left(\frac{3}{4} + \frac{3}{4}e^t + \frac{1}{2}e^{2t}\right) + \left(\frac{1}{4} - \frac{1}{4}e^t\right)}{2} =1+12et+12e2t2=12+14et+14e2t= \frac{1 + \frac{1}{2}e^t + \frac{1}{2}e^{2t}}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^t + \frac{1}{4}e^{2t}

Langkah 2: Identifikasi P(X=0)P(X=0) Dari MX(t)=12+14et+14e2tM_X(t) = \frac{1}{2} + \frac{1}{4}e^t + \frac{1}{4}e^{2t}:

P(X=0)=12,P(X=1)=14,P(X=2)=14P(X=0) = \frac{1}{2},\quad P(X=1) = \frac{1}{4},\quad P(X=2) = \frac{1}{4}

Verifikasi: 12+14+14=1\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4} = 1 ✓

Hasil Akhir: (d). P(X=0)=12P(X=0) = \dfrac{1}{2}

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira MX(0)M_X(0) memberikan P(X=0)P(X=0) — padahal MX(0)=1M_X(0) = 1 selalu (total probabilitas).
  • Lupa bahwa koefisien ekte^{kt} dalam MGF diskrit adalah tepat P(X=k)P(X=k).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira MX(t)=(MX+MY)/2M_X(t) = (M_X+M_Y)/2 tanpa menambahkan (MX−MY)/2(M_X-M_Y)/2 juga.
▲Red Flags›
  • Diberikan jumlah dan selisih MGF → isolasi MX(t)M_X(t) dengan operasi aljabar biasa, lalu baca koefisien.
  • Verifikasi selalu: jumlah koefisien harus =1= 1.

No. 27

Sebuah perusahaan asuransi menjual 40%40\% polis penyewanya kepada penyewa rumah dan 60%60\% sisanya kepada penyewa apartemen. Di kalangan penyewa rumah, waktu mulai pembelian polis hingga pembatalan polis berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 44 tahun, dan di kalangan penyewa apartemen berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 22 tahun. Tentukanlah probabilitas pemegang polis adalah penyewa rumah, mengingat penyewa masih mempunyai polis satu tahun setelah pembelian.

a. Kurang dari 0,20{,}2
b. Sekurang-kurangnya 0,20{,}2 tapi kurang dari 0,40{,}4
c. Sekurang-kurangnya 0,40{,}4 tapi kurang dari 0,60{,}6
d. Sekurang-kurangnya 0,60{,}6 tapi kurang dari 0,80{,}8
e. Sekurang-kurangnya 0,80{,}8

≡Jawaban No. 27›

(c). Sekurang-kurangnya 0,40{,}4 tapi kurang dari 0,60{,}6

FieldIsi
Topik CF2Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total · 2.6 Distribusi Kontinu Umum
DifficultyMedium
Prerequisite1.4 Probabilitas Bersyarat · 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics3.7 Distribusi Majemuk
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 1.4; Miller Bab 4.1
ℹRumus›

Teorema Bayes:

P(R∣T>1)=P(T>1∣R) P(R)P(T>1∣R) P(R)+P(T>1∣A) P(A)P(R \mid T>1) = \frac{P(T>1 \mid R)\,P(R)}{P(T>1 \mid R)\,P(R) + P(T>1 \mid A)\,P(A)}

Untuk T∼Exp(λ)T \sim \text{Exp}(\lambda): P(T>t)=e−λtP(T > t) = e^{-\lambda t}.

Diketahui:

  • Rumah (R): P(R)=0,4P(R)=0{,}4, TR∼Exp(mean=4)T_R \sim \text{Exp}(\text{mean}=4), rate λR=1/4\lambda_R = 1/4

  • Apartemen (A): P(A)=0,6P(A)=0{,}6, TA∼Exp(mean=2)T_A \sim \text{Exp}(\text{mean}=2), rate λA=1/2\lambda_A = 1/2

  • Target: P(R∣T>1)P(R \mid T > 1)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung survival function di t=1t=1

P(T>1∣R)=e−1/4≈0,7788P(T>1 \mid R) = e^{-1/4} \approx 0{,}7788 P(T>1∣A)=e−1/2≈0,6065P(T>1 \mid A) = e^{-1/2} \approx 0{,}6065

Langkah 2: Hitung P(T>1)P(T > 1) total

P(T>1)=0,4×0,7788+0,6×0,6065=0,3115+0,3639=0,6754P(T>1) = 0{,}4 \times 0{,}7788 + 0{,}6 \times 0{,}6065 = 0{,}3115 + 0{,}3639 = 0{,}6754

Langkah 3: Terapkan Teorema Bayes

P(R∣T>1)=0,4×0,77880,6754=0,31150,6754≈0,461P(R \mid T>1) = \frac{0{,}4 \times 0{,}7788}{0{,}6754} = \frac{0{,}3115}{0{,}6754} \approx 0{,}461

Hasil Akhir: (c). P(R∣T>1)≈0,461∈[0,4; 0,6)P(R \mid T>1) \approx 0{,}461 \in [0{,}4;\ 0{,}6)

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan P(T>1∣R)=1−e−4P(T>1|R) = 1 - e^{-4} (menggunakan mean sebagai rate) — untuk Exp dengan mean mm, rate =1/m=1/m dan P(T>t)=e−t/mP(T>t)=e^{-t/m}.
  • Menggunakan CDF F(1)F(1) alih-alih survival function S(1)=1−F(1)S(1) = 1-F(1).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “masih memiliki polis setelah 1 tahun” = P(T=1)P(T=1) (PMF), bukan P(T>1)P(T>1) (survival).
▲Red Flags›
  • “Masih aktif setelah tt tahun” → survival function P(T>t)=e−t/meanP(T > t) = e^{-t/\text{mean}}.
  • Bayes dengan Eksponensial campuran → hitung survival per kelompok, lalu normalisasi.

No. 28

Dalam kelompok yang terdiri dari 1515 pemegang polis asuransi kesehatan yang didiagnosis menderita kanker, setiap pemegang polis mempunyai probabilitas 0,900{,}90 untuk menerima radiasi dan probabilitas 0,400{,}40 untuk menerima kemoterapi. Perawatan radiasi dan kemoterapi merupakan peristiwa independen bagi masing-masing pemegang polis, dan perawatan dari pemegang polis yang berbeda bersifat independen satu sama lain. Pemegang polis dalam kelompok ini semuanya memiliki asuransi kesehatan yang sama yang membayar 22 untuk pengobatan radiasi dan 33 untuk pengobatan kemoterapi. Tentukanlah variansi dari jumlah total yang dibayar perusahaan asuransi untuk perawatan radiasi dan kemoterapi untuk 1515 pemegang polis tersebut.

a. 13,513{,}5
b. 37,837{,}8
c. 108108
d. 202,5202{,}5
e. 567567

≡Jawaban No. 28›

(b). 37,837{,}8

FieldIsi
Topik CF2Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik3.5 Independensi dan Korelasi · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
DifficultyMedium
Prerequisite1.5 Kejadian Independen · 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 4.1; Miller Bab 4.6
ℹRumus›

Untuk nn pemegang polis iid, total pembayaran T=∑i=1n(2Ri+3Ki)T = \sum_{i=1}^{n}(2R_i + 3K_i). Karena independen: Var(T)=n Var(2Ri+3Ki)\text{Var}(T) = n\,\text{Var}(2R_i + 3K_i). Var(aX+bY)=a2Var(X)+b2Var(Y)+2ab Cov(X,Y)\text{Var}(aX + bY) = a^2\text{Var}(X) + b^2\text{Var}(Y) + 2ab\,\text{Cov}(X,Y). Jika RR dan KK independen: Cov(R,K)=0\text{Cov}(R,K)=0.

Diketahui:

  • Ri∼Bernoulli(0,9)R_i \sim \text{Bernoulli}(0{,}9): radiasi. Ki∼Bernoulli(0,4)K_i \sim \text{Bernoulli}(0{,}4): kemoterapi.

  • RiR_i dan KiK_i independen (antar individu maupun antar tipe perawatan).

  • Pembayaran per individu: Wi=2Ri+3KiW_i = 2R_i + 3K_i. Total: T=∑i=115WiT = \sum_{i=1}^{15} W_i.

  • Target: Var(T)\text{Var}(T)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Var(Ri)\text{Var}(R_i) dan Var(Ki)\text{Var}(K_i)

Var(Ri)=0,9×0,1=0,09\text{Var}(R_i) = 0{,}9 \times 0{,}1 = 0{,}09 Var(Ki)=0,4×0,6=0,24\text{Var}(K_i) = 0{,}4 \times 0{,}6 = 0{,}24

Langkah 2: Hitung Var(Wi)\text{Var}(W_i) Karena RiR_i dan KiK_i independen:

Var(Wi)=4 Var(Ri)+9 Var(Ki)=4(0,09)+9(0,24)=0,36+2,16=2,52\text{Var}(W_i) = 4\,\text{Var}(R_i) + 9\,\text{Var}(K_i) = 4(0{,}09) + 9(0{,}24) = 0{,}36 + 2{,}16 = 2{,}52

Langkah 3: Hitung Var(T)\text{Var}(T) Karena WiW_i iid untuk i=1,…,15i = 1, \ldots, 15:

Var(T)=15×Var(Wi)=15×2,52=37,8\text{Var}(T) = 15 \times \text{Var}(W_i) = 15 \times 2{,}52 = 37{,}8

Hasil Akhir: (b). Var(T)=37,8\text{Var}(T) = 37{,}8

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menghitung Var(T)=Var(2×15Rˉ+3×15Kˉ)=4×152Var(R)+…\text{Var}(T) = \text{Var}(2 \times 15\bar{R} + 3 \times 15\bar{K}) = 4 \times 15^2 \text{Var}(R) + \ldots — ini salah; skala 1515 hanya muncul sekali (bukan dikuadratkan).
  • Mengira Var(2R+3K)=(2+3)2Var(Xˉ)\text{Var}(2R+3K) = (2+3)^2\text{Var}(\bar{X}) — rumus tidak berlaku.
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira radiasi dan kemoterapi tidak independen (lupa membaca “merupakan peristiwa independen”).
▲Red Flags›
  • Variansi jumlah iid → n×Var(satu item)n \times \text{Var}(\text{satu item}) (bukan n2n^2).
  • Bernoulli(p)(p): Var=p(1−p)\text{Var} = p(1-p).

No. 29

Sebuah perusahaan asuransi memiliki dua lini bisnis yang independen satu sama lain. Banyaknya klaim yang masuk per bulan dari Lini bisnis 1, misalkan N1N_1 mempunyai distribusi Poisson dengan mean sebesar 5050 dan banyaknya klaim yang masuk per bulan dari Lini bisnis 2, misalkan N2N_2 mempunyai distribusi binomial dengan n=100n = 100 dan p=0,5p = 0{,}5. Dengan menggunakan distribusi normal dengan koreksi bilangan bulat, tentukanlah probabilitas P[∣N1−N2∣>3]P[|N_1 - N_2| > 3].

a. Kurang dari 0,50{,}5
b. Sekurang-kurangnya 0,50{,}5 tapi kurang dari 0,550{,}55
c. Sekurang-kurangnya 0,550{,}55 tapi kurang dari 0,60{,}6
d. Sekurang-kurangnya 0,60{,}6 tapi kurang dari 0,650{,}65
e. Sekurang-kurangnya 0,650{,}65

≡Jawaban No. 29›

(e). Sekurang-kurangnya 0,650{,}65

FieldIsi
Topik CF2Topik 4 — Inferensi Statistik
Sub-topik4.3 Teorema Limit Pusat · 2.5 Distribusi Diskrit Umum
DifficultyHard
Prerequisite2.6 Distribusi Kontinu Umum · 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics4.4 Hukum Bilangan Besar
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 5.5; Walpole Bab 8.1
ℹRumus›

D=N1−N2D = N_1 - N_2: E[D]=E[N1]−E[N2]E[D] = E[N_1] - E[N_2], Var(D)=Var(N1)+Var(N2)\text{Var}(D) = \text{Var}(N_1) + \text{Var}(N_2) (independen). Dengan koreksi bilangan bulat: P(∣D∣>3)=P(D>3 atau D<−3)≈P(∣D∣>3,5)normalP(|D| > 3) = P(D > 3 \text{ atau } D < -3) \approx P(|D| > 3{,}5)_{\text{normal}}.

Diketahui:

  • N1∼Poisson(50)N_1 \sim \text{Poisson}(50): E[N1]=50E[N_1]=50, Var(N1)=50\text{Var}(N_1)=50

  • N2∼B(100,0,5)N_2 \sim B(100, 0{,}5): E[N2]=50E[N_2]=50, Var(N2)=100×0,5×0,5=25\text{Var}(N_2)=100 \times 0{,}5 \times 0{,}5 = 25

  • D=N1−N2D = N_1 - N_2; target: P(∣D∣>3)P(|D| > 3)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Statistik DD

E[D]=50−50=0E[D] = 50 - 50 = 0 Var(D)=50+25=75,σD=75=53≈8,660\text{Var}(D) = 50 + 25 = 75, \quad \sigma_D = \sqrt{75} = 5\sqrt{3} \approx 8{,}660

Langkah 2: Terapkan koreksi bilangan bulat "∣D∣>3|D| > 3" dalam konteks diskrit berarti D≥4D \geq 4 atau D≤−4D \leq -4. Dengan koreksi bilangan bulat: gunakan batas D>3,5D > 3{,}5 atau D<−3,5D < -3{,}5.

P(∣D∣>3)≈P(∣D∣>3,5)normalP(|D| > 3) \approx P(|D| > 3{,}5)_{\text{normal}}

Langkah 3: Standarisasi dan baca tabel

z=3,575=3,58,660≈0,4041z = \frac{3{,}5}{\sqrt{75}} = \frac{3{,}5}{8{,}660} \approx 0{,}4041 P(∣D∣>3,5)=2(1−Φ(0,4041))≈2(1−0,6568)=2(0,3432)=0,6864P(|D| > 3{,}5) = 2(1 - \Phi(0{,}4041)) \approx 2(1 - 0{,}6568) = 2(0{,}3432) = 0{,}6864

Hasil Akhir: (e). P(∣N1−N2∣>3)≈0,686≥0,65P(|N_1-N_2|>3) \approx 0{,}686 \geq 0{,}65

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Menggunakan z=3/75z = 3/\sqrt{75} tanpa koreksi bilangan bulat — menghasilkan PP yang sedikit berbeda.
  • Mengira Var(D)=Var(N1)−Var(N2)\text{Var}(D) = \text{Var}(N_1) - \text{Var}(N_2) (variansi selisih variabel independen = jumlah variansi, bukan selisih).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira P(∣D∣>3)=P(D>3)P(|D|>3) = P(D>3) saja (lupa simetri: kedua ekor).
▲Red Flags›
  • Variansi selisih dua variabel independen: Var(X−Y)=Var(X)+Var(Y)\text{Var}(X-Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y).
  • “|D| > 3” dengan koreksi bilangan bulat → batas 3,53{,}5, bukan 33 atau 44.

No. 30

Diketahui XX berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 11 dan YY berdistribusi eksponensial dengan rata-rata sebesar 22. aXa_X dan bXb_X masing-masing merupakan persentil ke-5 dan ke-95 dari XX, dan aYa_Y dan bYb_Y masing-masing merupakan persentil ke-5 dan ke-95 dari YY. Tentukanlah nilai dari bY−aYbX−aX\dfrac{b_Y - a_Y}{b_X - a_X}.

a. 12\dfrac{1}{2}
b. ln⁡2\ln 2
c. 11
d. 22
e. ee

≡Jawaban No. 30›

(d). 22

FieldIsi
Topik CF2Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik2.6 Distribusi Kontinu Umum · 2.2 Variabel Acak Kontinu
DifficultyEasy
Prerequisite2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics4.2 Distribusi Sampel
ReferensiHogg-Tanis-Zimm Bab 3.1; Miller Bab 4.1
ℹRumus›

Persentil ke-qq dari Exp(mean=m)\text{Exp}(\text{mean}=m): CDF F(x)=1−e−x/mF(x) = 1-e^{-x/m}. Persentil ke-qq: xq=−mln⁡(1−q)x_q = -m\ln(1-q). Sehingga a=x0,05=−mln⁡(0,95)a = x_{0{,}05} = -m\ln(0{,}95) dan b=x0,95=−mln⁡(0,05)b = x_{0{,}95} = -m\ln(0{,}05).

Diketahui:

  • X∼Exp(mean=1)X \sim \text{Exp}(\text{mean}=1), rate =1=1 (kontinu, support (0,∞)(0,\infty))

  • Y∼Exp(mean=2)Y \sim \text{Exp}(\text{mean}=2), rate =1/2=1/2 (kontinu, support (0,∞)(0,\infty))

  • aX,bXa_X, b_X = persentil ke-5 dan ke-95 dari XX; aY,bYa_Y, b_Y dari YY

  • Target: (bY−aY)/(bX−aX)(b_Y - a_Y)/(b_X - a_X)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung persentil dari XX (mean =1= 1)

aX=−1⋅ln⁡(1−0,05)=−ln⁡(0,95)a_X = -1 \cdot \ln(1-0{,}05) = -\ln(0{,}95) bX=−1⋅ln⁡(1−0,95)=−ln⁡(0,05)b_X = -1 \cdot \ln(1-0{,}95) = -\ln(0{,}05) bX−aX=−ln⁡(0,05)−(−ln⁡(0,95))=ln⁡(0,95)−ln⁡(0,05)=ln⁡ ⁣(0,950,05)=ln⁡(19)b_X - a_X = -\ln(0{,}05) - (-\ln(0{,}95)) = \ln(0{,}95) - \ln(0{,}05) = \ln\!\left(\frac{0{,}95}{0{,}05}\right) = \ln(19)

Langkah 2: Hitung persentil dari YY (mean =2= 2)

aY=−2ln⁡(0,95),bY=−2ln⁡(0,05)a_Y = -2\ln(0{,}95), \quad b_Y = -2\ln(0{,}05) bY−aY=−2ln⁡(0,05)+2ln⁡(0,95)=2ln⁡(19)b_Y - a_Y = -2\ln(0{,}05) + 2\ln(0{,}95) = 2\ln(19)

Langkah 3: Hitung rasio

bY−aYbX−aX=2ln⁡(19)ln⁡(19)=2\frac{b_Y - a_Y}{b_X - a_X} = \frac{2\ln(19)}{\ln(19)} = 2

Hasil Akhir: (d). bY−aYbX−aX=2\dfrac{b_Y - a_Y}{b_X - a_X} = 2

◈Jebakan Umum›
⬡Kesalahan Konseptual›
  • Mengira rasio persentil sama dengan rasio mean (benar untuk Eksponensial, tapi harus diverifikasi terlebih dahulu).
  • Salah menghitung b−ab - a: menggunakan bX=−ln⁡(0,95)b_X = -\ln(0{,}95) dan aX=−ln⁡(0,05)a_X = -\ln(0{,}05) (tertukar urutan persentil).
⬡Kesalahan Interpretasi Soal›
  • Mengira “rata-rata 2” berarti rate =2= 2 (sebaliknya: mean =2⇒= 2 \Rightarrow rate =1/2= 1/2).
▲Red Flags›
  • Persentil ke-5 < Persentil ke-95 selalu: a<ba < b.
  • Untuk Exp\text{Exp} dengan mean mm: lebar interval persentil (b−a)(b-a) berskala linear dengan mm, sehingga rasio =mY/mX=2/1=2= m_Y/m_X = 2/1 = 2.
Daftar Isi
No. 1No. 2No. 3No. 4No. 5No. 6No. 7No. 8No. 9No. 10No. 11No. 12No. 13No. 14No. 15No. 16No. 17No. 18No. 19No. 20No. 21No. 22No. 23No. 24No. 25No. 26No. 27No. 28No. 29No. 30