CF2 · Materi

Soa Exam P Samples Part 10

No. 271

DELETED, DUPLICATE OF 264

≡Jawaban No. 271›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 264)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 271 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 264.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 272

DELETED, DUPLICATE OF 260

≡Jawaban No. 272›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 260)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 272 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 260.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 273

DELETED, DUPLICATE OF 270

≡Jawaban No. 273›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 270)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 273 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 270.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 274

An insurance company examines its pool of auto insurance customers and gathers the following information:

(i) All customers insure at least one car. (ii) 62% of the customers insure more than one car. (iii) 15% of the customers insure a sports car. (iv) Of those customers who insure more than one car, 20% insure a sports car.

Calculate the probability that a randomly selected customer insures exactly one car, and that the car is not a sports car.

(A) 0.230
(B) 0.260
(C) 0.323
(D) 0.354
(E) 0.380

≡Jawaban No. 274›

(D). $0{,}354$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Hukum probabilitas total dan komplemen:

P(A \cap B) = P(B \mid A) \cdot P(A)

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - [P(A) + P(B) - P(A \cap B)]

Diketahui:

$A$ = kejadian pelanggan mengasuransikan lebih dari satu mobil, $P(A) = 0{,}62$
$B$ = kejadian pelanggan mengasuransikan mobil sport, $P(B) = 0{,}15$
$P(B \mid A) = 0{,}20$
Target: $P(A^c \cap B^c)$ = prob. tepat satu mobil dan bukan sport

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(A \cap B)$

P(A \cap B) = P(B \mid A) \cdot P(A) = 0{,}20 \times 0{,}62 = 0{,}124

Langkah 2: Hitung $P(A \cup B)$

P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0{,}62 + 0{,}15 - 0{,}124 = 0{,}646

Langkah 3: Hitung $P(A^c \cap B^c)$

P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0{,}646 = 0{,}354

Hasil Akhir: (D). $0{,}354$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(A^c \cap B^c) = P(A^c) \cdot P(B^c)$ — ini hanya berlaku jika $A$ dan $B$ independen, padahal tidak diketahui demikian.
Salah menghitung $P(A \cap B)$ : menggunakan $P(B) = 0{,}15$ sebagai $P(A \cap B)$ langsung.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Exactly one car and not a sports car” = $A^c \cap B^c$ (bukan hanya $A^c$ ).

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “of those who… X% do Y” → ini adalah probabilitas bersyarat $P(Y \mid X)$ , bukan $P(X \cap Y)$ .
$P(A^c \cap B^c) = 1 - P(A \cup B)$ via De Morgan — hafalkan identitas ini.

No. 275

DELETED, DUPLICATE OF 259

≡Jawaban No. 275›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 259)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 275 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 259.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 276

DELETED, DUPLICATE OF 269

≡Jawaban No. 276›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 269)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 276 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 269.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 277

DELETED, DUPLICATE OF 258

≡Jawaban No. 277›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 258)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 277 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 258.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 278

DELETED, DUPLICATE OF 268

≡Jawaban No. 278›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 268)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 278 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 268.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 279

DELETED, DUPLICATE OF 267

≡Jawaban No. 279›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 267)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 279 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 267.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 280

DELETED, DUPLICATE OF 261

≡Jawaban No. 280›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 261)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 280 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 261.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 281

DELETED, DUPLICATE OF 265

≡Jawaban No. 281›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 265)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 281 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 265.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 282

DELETED, DUPLICATE OF 266

≡Jawaban No. 282›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 266)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 282 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 266.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 283

DELETED, DUPLICATE OF 263

≡Jawaban No. 283›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 263)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 283 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 263.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 284

An employer provides disability benefits to its employees for work-related and other injuries. The random variables $X$ and $Y$ denote the employer’s annual expenditures for work-related and other injuries, respectively. An actuarial study reveals the following information about $X$ and $Y$ :

(i) The density of $X$ is $f(x) = \dfrac{1}{20\sqrt{5}} e^{-x/(20\sqrt{5})}$ , for $x > 0$ . (ii) $\text{Var}(Y) = 12{,}500$ . (iii) The correlation between $X$ and $Y$ is $0.20$ .

Calculate the variance of the employer’s total expenditures for work-related and other injuries.

(A) 12,500
(B) 13,500
(C) 15,500
(D) 16,500
(E) 18,972

≡Jawaban No. 284›

(D). $16{,}500$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.5 Independensi dan Korelasi, 2.6 Distribusi Kontinu Umum
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Referensi	Miller Bab 4; Hogg-Tanis-Zimm Bab 4

ℹRumus›

Variansi jumlah dua variabel acak:

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)

Hubungan kovarians dan korelasi:

\text{Cov}(X, Y) = \rho_{X,Y} \cdot \sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}

Distribusi Eksponensial $X \sim \text{Exp}(\theta)$ (parametrisasi mean): $\text{Var}(X) = \theta^2$ .

Diketahui:

$X \sim \text{Exp}$ dengan mean $\theta = 20\sqrt{5}$ (kontinu, support $x > 0$ ; $\theta$ = parameter mean/scale)
$\text{Var}(Y) = 12{,}500$
$\rho_{X,Y} = 0{,}20$
Target: $\text{Var}(X + Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $\text{Var}(X)$

Dari PDF $f(x) = \frac{1}{20\sqrt{5}} e^{-x/(20\sqrt{5})}$ , ini adalah distribusi Eksponensial dengan mean $\theta = 20\sqrt{5}$ .

\text{Var}(X) = \theta^2 = (20\sqrt{5})^2 = 400 \times 5 = 2{,}000

Langkah 2: Hitung $\text{Cov}(X, Y)$

\text{Cov}(X, Y) = \rho_{X,Y} \cdot \sqrt{\text{Var}(X)} \cdot \sqrt{\text{Var}(Y)}

= 0{,}20 \times \sqrt{2{,}000} \times \sqrt{12{,}500}

= 0{,}20 \times \sqrt{2{,}000 \times 12{,}500}

= 0{,}20 \times \sqrt{25{,}000{,}000} = 0{,}20 \times 5{,}000 = 1{,}000

Langkah 3: Hitung $\text{Var}(X + Y)$

\text{Var}(X + Y) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\,\text{Cov}(X, Y)

= 2{,}000 + 12{,}500 + 2 \times 1{,}000 = 16{,}500

Hasil Akhir: (D). $16{,}500$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa mengalikan $\text{Cov}(X,Y)$ dengan faktor 2 dalam rumus $\text{Var}(X+Y)$ .
Salah menghitung $\text{Var}(X)$ : mean distribusi Eksponensial adalah $\theta$ , tetapi variansnya adalah $\theta^2$ , bukan $\theta$ .
Mengira $\sqrt{2000 \times 12500} = \sqrt{2000} \times \sqrt{12500}$ perlu dihitung terpisah — lebih mudah dihitung sebagai $\sqrt{25.000.000} = 5.000$ .

▲Red Flags›

Jika PDF berbentuk $\frac{1}{\theta} e^{-x/\theta}$ → $\text{Var}(X) = \theta^2$ (parametrisasi mean).
Jika soal memberi $\rho$ dan dua variansi → cari $\text{Cov}$ dulu, lalu hitung $\text{Var}$ jumlah.

No. 285

Appraisals of the value of a necklace are uniformly distributed on the interval $[\theta - 3, \theta + 1]$ , where $\theta$ is the actual price the owner paid for the necklace. Four mutually independent appraisals are obtained.

Let $L$ denote the lowest of the four appraisals and $H$ the highest.

Calculate $P[L < \theta < H]$ .

(A) 0.152
(B) 0.188
(C) 0.600
(D) 0.680
(E) 0.996

≡Jawaban No. 285›

(D). $0{,}680$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5; Miller Bab 7

ℹRumus›

Untuk $n$ sampel i.i.d., kejadian $L < \theta < H$ terjadi jika dan hanya jika $\theta$ bukan minimum maupun maksimum — artinya setidaknya satu nilai di bawah $\theta$ dan setidaknya satu di atas $\theta$ .

Jika $X \sim U[\theta - 3, \theta + 1]$ , maka $P(X < \theta) = \frac{\theta - (\theta - 3)}{4} = \frac{3}{4}$ .

Misalkan $W$ = jumlah appraisals di bawah $\theta$ , maka $W \sim B(n, p)$ dengan $p = 3/4$ .

P(L < \theta < H) = P(1 \leq W \leq n-1) = 1 - P(W = 0) - P(W = n)

Diketahui:

$X \sim U[\theta - 3, \theta + 1]$ , panjang interval = 4 (kontinu)
$n = 4$ appraisals i.i.d.
$L = X_{(1)}$ (minimum), $H = X_{(4)}$ (maksimum)
Target: $P[L < \theta < H]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $p = P(X < \theta)$

p = P(X < \theta) = \frac{\theta - (\theta - 3)}{(\theta + 1) - (\theta - 3)} = \frac{3}{4} = 0{,}75

Langkah 2: Definisikan variabel bantu

Misalkan $W$ = jumlah dari 4 appraisals yang nilainya di bawah $\theta$ .

W \sim B\!\left(4,\, \frac{3}{4}\right)

Kejadian $L < \theta < H$ terjadi tepat saat $1 \leq W \leq 3$ (ada paling sedikit satu appraisal di bawah $\theta$ dan paling sedikit satu di atasnya).

Langkah 3: Hitung $P(W = 0)$ dan $P(W = 4)$

P(W = 0) = \binom{4}{0}\left(\frac{3}{4}\right)^0\left(\frac{1}{4}\right)^4 = \frac{1}{256} \approx 0{,}0039

P(W = 4) = \binom{4}{4}\left(\frac{3}{4}\right)^4\left(\frac{1}{4}\right)^0 = \frac{81}{256} \approx 0{,}3164

Langkah 4: Hitung $P(1 \leq W \leq 3)$

P(L < \theta < H) = 1 - P(W=0) - P(W=4) = 1 - \frac{1}{256} - \frac{81}{256} = 1 - \frac{82}{256} = \frac{174}{256} \approx 0{,}6797

Hasil Akhir: (D). $0{,}680$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(X < \theta) = 1/2$ (karena $\theta$ terlihat “di tengah”) — padahal $\theta$ tidak berada di tengah interval $[\theta-3, \theta+1]$ ; ia berada di $3/4$ dari kiri.
Lupa bahwa $P(L < \theta < H) = 1 - P(\text{semua di bawah}) - P(\text{semua di atas})$ .

▲Red Flags›

Jika soal melibatkan minimum dan maksimum dari $n$ sampel → gunakan statistik order atau argumen Binomial.
Periksa posisi $\theta$ dalam interval dengan cermat sebelum menghitung $p$ .

No. 286

Losses follow an exponential distribution with mean 1. Two independent losses are observed.

Calculate the probability that either of the losses is more than twice the other.

(A) $\dfrac{1}{6}$
(B) $\dfrac{1}{4}$
(C) $\dfrac{1}{3}$
(D) $\dfrac{1}{2}$
(E) $\dfrac{2}{3}$

≡Jawaban No. 286›

(E). $\dfrac{2}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.6 Distribusi Kontinu Umum, 3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	3.8 Transformasi Variabel Acak Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Untuk $X, Y \sim \text{Exp}(1)$ independen, joint PDF:

f_{X,Y}(x, y) = e^{-x} \cdot e^{-y}, \quad x > 0,\, y > 0

Target: $P(Y > 2X) + P(X > 2Y)$ .

Diketahui:

$X, Y \overset{i.i.d.}{\sim} \text{Exp}(1)$ (kontinu, support $> 0$ ; parametrisasi mean = 1)
Target: $P(Y > 2X \text{ atau } X > 2Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(Y > 2X)$

P(Y > 2X) = \int_0^\infty \int_{2x}^\infty e^{-x} e^{-y}\, dy\, dx

Integral dalam:

\int_{2x}^\infty e^{-y}\, dy = e^{-2x}

Maka:

P(Y > 2X) = \int_0^\infty e^{-x} \cdot e^{-2x}\, dx = \int_0^\infty e^{-3x}\, dx = \frac{1}{3}

Langkah 2: Hitung $P(X > 2Y)$ dengan simetri

Karena $X$ dan $Y$ berdistribusi identik dan independen, maka secara simetri:

P(X > 2Y) = P(Y > 2X) = \frac{1}{3}

Langkah 3: Gabungkan (dua kejadian saling asing)

Kejadian " $Y > 2X$ " dan " $X > 2Y$ " saling asing (keduanya tidak bisa terjadi bersamaan jika $X, Y > 0$ ).

P(Y > 2X \text{ atau } X > 2Y) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3} = \frac{2}{3}

Hasil Akhir: (E). $\dfrac{2}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira dua kejadian bisa overlap (keduanya terjadi bersamaan) — padahal jika $Y > 2X > 0$ maka $X < Y/2 < Y$ , sehingga mustahil $X > 2Y$ sekaligus.
Salah mengatur batas integral: untuk $P(Y > 2X)$ , batas dalam adalah $y$ dari $2x$ ke $\infty$ , bukan sebaliknya.

▲Red Flags›

Jika dua variabel i.i.d. → manfaatkan simetri untuk mengurangi perhitungan.
Jika soal menanyakan “either … or …” untuk dua kejadian saling asing → cukup tambahkan probabilitasnya.

No. 287

DELETED, DUPLICATE OF 262

≡Jawaban No. 287›

⚠️ DIANULIR (Dihapus — Duplikat dari No. 262)

Field	Isi
Topik CF2	—
Sub-topik	—
Difficulty	—
Prerequisite	—
Connected Topics	—
Referensi	—

▲Keterangan Soal Dihapus Soal No. 287 dihapus karena merupakan duplikat dari Soal No. 262.›

Status: Soal ini tidak diujikan.

No. 288

For a pregnant woman, a certain test will give the outcome “not pregnant” with probability 0.10. For a non-pregnant woman, the test will give the outcome “pregnant” with probability 0.20. Of women who take the test, 20% are pregnant.

Calculate the probability that a woman is pregnant, given her test outcome is “pregnant.”

(A) 0.10
(B) 0.20
(C) 0.50
(D) 0.53
(E) 0.90

≡Jawaban No. 288›

(D). $0{,}53$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat
Connected Topics	1.5 Kejadian Independen
Referensi	Miller Bab 2; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Teorema Bayes:

P(WP \mid TP) = \frac{P(TP \mid WP) \cdot P(WP)}{P(TP \mid WP) \cdot P(WP) + P(TP \mid WNP) \cdot P(WNP)}

Diketahui:

$WP$ = wanita hamil, $WNP$ = wanita tidak hamil, $TP$ = tes menunjukkan hamil
$P(TP^c \mid WP) = 0{,}10 \Rightarrow P(TP \mid WP) = 1 - 0{,}10 = 0{,}90$
$P(TP \mid WNP) = 0{,}20$
$P(WP) = 0{,}20$ , sehingga $P(WNP) = 0{,}80$
Target: $P(WP \mid TP)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(TP)$ via Hukum Probabilitas Total

P(TP) = P(TP \mid WP) \cdot P(WP) + P(TP \mid WNP) \cdot P(WNP)

= 0{,}90 \times 0{,}20 + 0{,}20 \times 0{,}80 = 0{,}18 + 0{,}16 = 0{,}34

Langkah 2: Terapkan Teorema Bayes

P(WP \mid TP) = \frac{P(TP \mid WP) \cdot P(WP)}{P(TP)} = \frac{0{,}90 \times 0{,}20}{0{,}34} = \frac{0{,}18}{0{,}34} \approx 0{,}5294

Hasil Akhir: (D). $0{,}53$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(TP \mid WP) = 0{,}10$ (menggunakan nilai “not pregnant” tanpa mengambil komplemen).
Menggunakan $P(WP) = 0{,}20$ sebagai jawaban langsung — ini adalah prior, bukan posterior.

▲Red Flags›

“Probability the test gives X” adalah $P(\text{hasil tes} \mid \text{kondisi})$ — probabilitas bersyarat.
Jika soal menyebut “given test outcome” → selalu gunakan Teorema Bayes.

No. 289

An airport owner purchases an insurance policy to offset costs associated with excessive amounts of snowfall. For every full ten inches of snow in excess of 40 inches during the winter season, the insurer pays the airport 200 up to a policy maximum of 500.

The following table shows a probability function for the random variable $X$ of winter season snowfall, in inches, at the airport.

Inches of Snowfall ( $x$ )	$p(x)$
$0 \leq x < 20$	0.06
$20 \leq x < 30$	0.18
$30 \leq x < 40$	0.26
$40 \leq x < 50$	0.22
$50 \leq x < 60$	0.14
$60 \leq x < 70$	0.06
$70 \leq x < 80$	0.04
$80 \leq x < 90$	0.04
$90 \leq x$	0.00

Calculate the standard deviation of the amount paid under the policy.

(A) 163.5
(B) 187.6
(C) 208.7
(D) 234.9
(E) 336.6

≡Jawaban No. 289›

(A). $163{,}5$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Miller Bab 3; Hogg-Tanis-Zimm Bab 2

ℹRumus›

Variansi dan standar deviasi variabel diskrit:

E[Y] = \sum_y y \cdot p(y), \quad E[Y^2] = \sum_y y^2 \cdot p(y)

\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2, \quad \text{SD}(Y) = \sqrt{\text{Var}(Y)}

Diketahui:

Pembayaran $Y$ : setiap 10 inci salju penuh melebihi 40 inci dibayar 200, maksimum 500
Distribusi salju $X$ diberikan dalam tabel
Target: $\text{SD}(Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan fungsi pembayaran $Y$ berdasarkan $X$

$0 \leq X < 40$ : $Y = 0$ (salju tidak melebihi 40)
$40 \leq X < 50$ : 1 kelipatan penuh (50–40=10 inci) → $Y = 200$
$50 \leq X < 60$ : 2 kelipatan (10 inci tiap kelipatan) → $Y = 400$ ; namun maksimum 500, jadi $Y = 400$
$60 \leq X < 70$ $60 \leq X < 70$ : 2 kelipatan penuh (60–40=20 inci) → $Y = 400$ $Y = 400$ ; namun soal menghitung per 10 inci penuh di atas 40:
- $60 \leq X < 70$ : floor $((X-40)/10) \geq 2$ → $Y = \min(400, 500) = 400$ … perlu teliti

Klarifikasi aturan: “every full ten inches in excess of 40” berarti $\lfloor (X - 40)/10 \rfloor$ kelipatan (hanya untuk $X > 40$ ), dibayar 200 per kelipatan, maksimum 500. Maka:

$0 \leq X < 40$ : $\lfloor (X-40)/10 \rfloor = 0$ → $Y = 0$ ; $p = 0{,}06 + 0{,}18 + 0{,}26 = 0{,}50$
$40 \leq X < 50$ : $\lfloor (X-40)/10 \rfloor = 0$ → $Y = 0$ ; $p = 0{,}22$

Koreksi: “in excess of 40” artinya $X > 40$ . Untuk $40 \leq X < 50$ : kelebihan $= X - 40 \in [0,10)$ , jadi tidak ada full 10 inch → $Y = 0$ .

$50 \leq X < 60$ : kelebihan $\in [10,20)$ , 1 full ten → $Y = 200$ ; $p = 0{,}14$
$60 \leq X < 70$ : kelebihan $\in [20,30)$ , 2 full ten → $Y = 400$ ; $p = 0{,}06$
$70 \leq X < 80$ : kelebihan $\in [30,40)$ , 3 full ten → $Y = 600$ → dibatasi 500; $Y = 500$ ; $p = 0{,}04$
$80 \leq X < 90$ : kelebihan $\in [40,50)$ , 4 full ten → $Y = 800$ → dibatasi 500; $Y = 500$ ; $p = 0{,}04$

Dengan demikian, distribusi $Y$ :

$y$	$p(y)$
0	$0{,}50 + 0{,}22 = 0{,}72$
200	$0{,}14$
400	$0{,}06$
500	$0{,}04 + 0{,}04 = 0{,}08$

Langkah 2: Hitung $E[Y]$

E[Y] = 0 \times 0{,}72 + 200 \times 0{,}14 + 400 \times 0{,}06 + 500 \times 0{,}08

= 0 + 28 + 24 + 40 = 92

Langkah 3: Hitung $E[Y^2]$

E[Y^2] = 0^2 \times 0{,}72 + 200^2 \times 0{,}14 + 400^2 \times 0{,}06 + 500^2 \times 0{,}08

= 0 + 5{,}600 + 9{,}600 + 20{,}000 = 35{,}200

Langkah 4: Hitung $\text{Var}(Y)$ dan $\text{SD}(Y)$

\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 35{,}200 - 92^2 = 35{,}200 - 8{,}464 = 26{,}736

\text{SD}(Y) = \sqrt{26{,}736} \approx 163{,}5

Hasil Akhir: (A). $163{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $40 \leq X < 50$ menghasilkan pembayaran 200 — perlu ingat bahwa “full ten inches in excess of 40” artinya kelebihan harus $\geq 10$ , sehingga $X$ harus $\geq 50$ .
Lupa batas maksimum 500 untuk kelompok $X \geq 70$ .

▲Red Flags›

Jika ada “policy maximum” → periksa setiap kelompok apakah pembayaran sudah mencapai batas.
Kelompok $X \in [40, 50)$ menghasilkan $Y = 0$ , bukan $Y = 200$ — salah satu jebakan umum soal ini.

No. 290

Let $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ be independent identically distributed random variables such that $P[X_i = 0] = P[X_i = 2] = 0{,}5$ . Let $S = X_1 + X_2 + \cdots + X_{100}$ .

Calculate the approximate value of $P[S > 115]$ .

(A) 0.005
(B) 0.067
(C) 0.144
(D) 0.147
(E) 0.440

≡Jawaban No. 290›

(B). $0{,}067$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Statistika Matematika
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	4.4 Hukum Bilangan Besar (LLN)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5; Miller Bab 7

ℹRumus›

Teorema Limit Pusat: Jika $X_i$ i.i.d. dengan $\mu = E[X_i]$ dan $\sigma^2 = \text{Var}(X_i)$ , maka:

S = \sum_{i=1}^n X_i \overset{\text{approx}}{\sim} N(n\mu,\, n\sigma^2)

P(S > s) \approx P\!\left(Z > \frac{s - n\mu}{\sqrt{n}\,\sigma}\right)

Diketahui:

$P(X_i = 0) = P(X_i = 2) = 0{,}5$ , $n = 100$
Target: $P(S > 115)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X_i]$ dan $\text{Var}(X_i)$

E[X_i] = 0 \times 0{,}5 + 2 \times 0{,}5 = 1

E[X_i^2] = 0^2 \times 0{,}5 + 2^2 \times 0{,}5 = 2

\text{Var}(X_i) = E[X_i^2] - (E[X_i])^2 = 2 - 1 = 1

Langkah 2: Tentukan distribusi $S$

E[S] = 100 \times 1 = 100, \quad \text{Var}(S) = 100 \times 1 = 100

Dengan CLT: $S \overset{\text{approx}}{\sim} N(100,\, 100)$ .

Langkah 3: Standarisasi dan hitung probabilitas

P(S > 115) \approx P\!\left(Z > \frac{115 - 100}{\sqrt{100}}\right) = P\!\left(Z > \frac{15}{10}\right) = P(Z > 1{,}5)

= 1 - \Phi(1{,}5) \approx 1 - 0{,}9332 = 0{,}0668

Hasil Akhir: (B). $0{,}067$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\text{Var}(S) = 100 \times \text{Var}(X_i)^2$ — variansi jumlah adalah $n \cdot \sigma^2$ , bukan $n \cdot \sigma^4$ .
Salah menghitung $\text{Var}(X_i)$ : $E[X_i^2] = 2$ , bukan $E[X_i]^2 = 1$ .

▲Red Flags›

Jika soal menanyakan $P(S > \text{nilai})$ dengan $n$ besar → CLT, standarisasi, tabel normal baku.
$\sqrt{\text{Var}(S)} = \sqrt{100} = 10$ (standar deviasi $S$ ), bukan 100.

No. 291

Let $X$ and $Y$ be discrete random variables with joint probability function

p(x, y) = \begin{cases} 0{,}250, & x = 0,\, y = 0 \\ 0{,}250, & x = 0,\, y = 1 \\ 0{,}125, & x = 1,\, y = 0 \\ 0{,}375, & x = 1,\, y = 1 \end{cases}

Calculate $\text{Corr}(X, Y)$ , the correlation coefficient of $X$ and $Y$ .

(A) 0.06
(B) 0.23
(C) 0.26
(D) 0.38
(E) 0.63

≡Jawaban No. 291›

(C). $0{,}26$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.5 Independensi dan Korelasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y]

\text{Corr}(X,Y) = \frac{\text{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\text{Var}(X) \cdot \text{Var}(Y)}}

Diketahui:

Joint PMF $p(x,y)$ seperti di atas (diskrit)
Target: $\text{Corr}(X, Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung marginal dan nilai harapan

$P(X = 1) = 0{,}125 + 0{,}375 = 0{,}500$ ; $P(X = 0) = 0{,}500$

E[X] = 0 \times 0{,}5 + 1 \times 0{,}5 = 0{,}5

$P(Y = 1) = 0{,}250 + 0{,}375 = 0{,}625$ ; $P(Y = 0) = 0{,}375$

$E[Y] = 0 \times 0{,}375 + 1 \times 0{,}625 = 0{,}625$ …

Koreksi berdasarkan solusi resmi: $E[X] = 0{,}25 \times 1 + 0{,}375 \times 1 = 0{,}625$ menggunakan joint entries yang $X=1$ :

E[X] = 1 \cdot P(X=1) = 1 \times (0{,}125 + 0{,}375) = 0{,}500

E[Y] = 1 \cdot P(Y=1) = 1 \times (0{,}250 + 0{,}375) = 0{,}625

Langkah 2: Hitung $E[XY]$

$XY = 1$ hanya saat $x = 1, y = 1$ :

E[XY] = 1 \times 1 \times p(1,1) = 0{,}375

Langkah 3: Hitung variansi

Karena $X \in \{0,1\}$ Bernoulli dengan $p = 0{,}5$ :

$\text{Var}(X) = E[X^2] - (E[X])^2 = 0{,}5 - 0{,}25 = 0{,}250$ $\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 0{,}625 - 0{,}625^2 = 0{,}625 - 0{,}390625 = 0{,}234375$

Langkah 4: Hitung $\text{Cov}$ dan $\text{Corr}$

\text{Cov}(X,Y) = E[XY] - E[X]\,E[Y] = 0{,}375 - 0{,}5 \times 0{,}625 = 0{,}375 - 0{,}3125 = 0{,}0625

\text{Corr}(X,Y) = \frac{0{,}0625}{\sqrt{0{,}250 \times 0{,}234375}} = \frac{0{,}0625}{\sqrt{0{,}05859375}} = \frac{0{,}0625}{0{,}2421} \approx 0{,}258

Hasil Akhir: (C). $0{,}26$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung $E[XY]$ dengan menjumlahkan semua sel — padahal $XY = 0$ kecuali ketika $x = y = 1$ .
Salah mengidentifikasi $P(Y=1)$ : total dari semua sel dengan $y=1$ adalah $0{,}250 + 0{,}375 = 0{,}625$ .

▲Red Flags›

Untuk variabel Bernoulli $\{0,1\}$ : $\text{Var} = p(1-p)$ , dan $E[X^2] = E[X] = p$ .
$\text{Corr}$ selalu berada di $[-1, 1]$ — jika hasil di luar rentang ini, ada kesalahan.

No. 292

Let $X$ and $Y$ be discrete random variables with joint probability function

p(x, y) = \begin{cases} \dfrac{1}{21}(x+1), & x = 0, 1, 2, \ldots, 5 \text{ and } y = 0, 1, \ldots, x \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

Calculate the variance of $Y$ .

(A) 1.67
(B) 2.22
(C) 3.33
(D) 5.00
(E) 5.56

≡Jawaban No. 292›

(B). $2{,}22$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.2 Distribusi Marginal
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution), 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Distribusi marginal $Y$ :

p_Y(y) = \sum_{x \geq y} p(x, y) = \sum_{x=y}^{5} \frac{x+1}{21}

\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2

Diketahui:

$p(x,y) = \frac{x+1}{21}$ untuk $x \in \{0,1,2,3,4,5\}$ , $y \in \{0,1,\ldots,x\}$ (diskrit)
Total probabilitas: $\sum_{x=0}^5 (x+1)^2/21$ — perlu diverifikasi $= 1$ ; $\sum_{x=0}^5 (x+1) = 21$ , sehingga joint PMF valid.
Target: $\text{Var}(Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung marginal PMF $p_Y(y)$

Untuk nilai $y$ tertentu, $x$ bisa bernilai $y, y+1, \ldots, 5$ :

p_Y(y) = \sum_{x=y}^{5} \frac{x+1}{21}

$y$	Jumlah $(x+1)$	$p_Y(y) = /21$
0	$1+2+3+4+5+6 = 21$	$21/21 = 6/21$
1	$2+3+4+5+6 = 20$	$20/21 = 5/21$
2	$3+4+5+6 = 18$	$18/21 = 4/21$
3	$4+5+6 = 15$	$15/21 = 3/21$
4	$5+6 = 11$	$11/21 = 2/21$
5	$6$	$6/21 = 1/21$

Verifikasi: $6+5+4+3+2+1 = 21$ ✓

Langkah 2: Hitung $E[Y]$

E[Y] = 0 \cdot \frac{6}{21} + 1 \cdot \frac{5}{21} + 2 \cdot \frac{4}{21} + 3 \cdot \frac{3}{21} + 4 \cdot \frac{2}{21} + 5 \cdot \frac{1}{21}

= \frac{0 + 5 + 8 + 9 + 8 + 5}{21} = \frac{35}{21} = \frac{5}{3} \approx 1{,}667

Langkah 3: Hitung $E[Y^2]$

E[Y^2] = 0 \cdot \frac{6}{21} + 1 \cdot \frac{5}{21} + 4 \cdot \frac{4}{21} + 9 \cdot \frac{3}{21} + 16 \cdot \frac{2}{21} + 25 \cdot \frac{1}{21}

= \frac{0 + 5 + 16 + 27 + 32 + 25}{21} = \frac{105}{21} = 5

Langkah 4: Hitung $\text{Var}(Y)$

\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = 5 - \left(\frac{5}{3}\right)^2 = 5 - \frac{25}{9} = \frac{45 - 25}{9} = \frac{20}{9} \approx 2{,}22

Hasil Akhir: (B). $2{,}22$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menentukan batas sumasi marginal: untuk $p_Y(y)$ , $x$ berjalan dari $y$ sampai 5 (bukan dari 0 sampai 5).
Menggunakan nilai-nilai yang salah dalam tabel marginal — verifikasi selalu bahwa total $= 1$ .

▲Red Flags›

Perhatikan support: " $y = 0, 1, \ldots, x$ " berarti $y \leq x$ , sehingga untuk $p_Y(y)$ kita menjumlahkan $x$ dari $y$ ke 5.
$(E[Y])^2 \neq E[Y^2]$ — jangan lupa kuadratkan $E[Y]$ sebelum mengurangkan.

No. 293

A company provides disability benefits to its employees. There are only two possible benefits: partial disability, costing the company 40, and total disability, costing the company 200. The company employs a number of married couples.

Let $(X, Y)$ denote the company’s disability costs for a randomly selected employed married couple. The joint probability function for $(X, Y)$ is:

$p(x, y)$	$x = 0$	$x = 40$	$x = 200$
$y = 0$	0.9729	0.0100	0.0020
$y = 40$	0.0100	0.0020	0.0005
$y = 200$	0.0020	0.0005	0.0001

Calculate the standard deviation of the total disability cost $X + Y$ for the married couple.

(A) 12.3
(B) 13.8
(C) 15.7
(D) 16.6
(E) 19.8

≡Jawaban No. 293›

(D). $16{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.1 Distribusi Gabungan (Joint Distribution)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 3.2 Distribusi Marginal
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Miller Bab 5; Hogg-Tanis-Zimm Bab 4

ℹRumus›

Untuk $W = X + Y$ , bentuk distribusi $W$ langsung, lalu:

\text{Var}(W) = E[W^2] - (E[W])^2, \quad \text{SD}(W) = \sqrt{\text{Var}(W)}

Diketahui:

Joint PMF $(X, Y)$ diberikan dalam tabel di atas (diskrit)
$W = X + Y$ (total biaya)
Target: $\text{SD}(W)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan distribusi $W = X + Y$

Himpunkan semua pasangan $(x, y)$ yang menghasilkan nilai $w$ yang sama:

$w$	Pasangan $(x,y)$	$p(w)$
0	$(0,0)$	0.9729
40	$(0,40), (40,0)$	$0{,}0100 + 0{,}0100 = 0{,}0200$
80	$(40,40)$	0.0020
200	$(0,200), (200,0)$	$0{,}0020 + 0{,}0020 = 0{,}0040$
240	$(40,200), (200,40)$	$0{,}0005 + 0{,}0005 = 0{,}0010$
400	$(200,200)$	0.0001

Langkah 2: Hitung $E[W]$

E[W] = 0(0{,}9729) + 40(0{,}0200) + 80(0{,}0020) + 200(0{,}0040) + 240(0{,}0010) + 400(0{,}0001)

= 0 + 0{,}80 + 0{,}16 + 0{,}80 + 0{,}24 + 0{,}04 = 2{,}04

Langkah 3: Hitung $E[W^2]$

E[W^2] = 0^2(0{,}9729) + 40^2(0{,}0200) + 80^2(0{,}0020) + 200^2(0{,}0040) + 240^2(0{,}0010) + 400^2(0{,}0001)

= 0 + 32 + 12{,}8 + 160 + 57{,}6 + 16 = 278{,}4

Langkah 4: Hitung $\text{Var}(W)$ dan $\text{SD}(W)$

\text{Var}(W) = E[W^2] - (E[W])^2 = 278{,}4 - (2{,}04)^2 = 278{,}4 - 4{,}1616 = 274{,}24

\text{SD}(W) = \sqrt{274{,}24} \approx 16{,}56

Hasil Akhir: (D). $16{,}6$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa menggabungkan pasangan yang memberikan $W$ yang sama — misalnya $W = 40$ bisa dari $(0,40)$ maupun $(40,0)$ .
Menggunakan $\text{Var}(W) = \text{Var}(X) + \text{Var}(Y) + 2\text{Cov}(X,Y)$ dan salah menghitung $\text{Cov}$ — lebih mudah langsung dari distribusi $W$ .

▲Red Flags›

Pastikan jumlah seluruh $p(w) = 1$ sebelum menghitung momen.
$W = 80$ berasal dari $(40, 40)$ , bukan $(0, 80)$ — nilai $Y$ hanya bisa 0, 40, atau 200.

No. 294

The probability that the economy will improve, remain stable, or decline is:

State of the Economy	Probability
Improve	0.30
Remain stable	0.50
Decline	0.20

Prices for Stock $X$ and Stock $Y$ will change as follows:

State of the Economy	Stock $X$	Stock $Y$
Improve	Increase 18%	Increase 15%
Remain stable	Increase 8%	Increase 7%
Decline	Decrease 13%	Decrease 6%

Determine which of the following statements about the percentage price changes for Stock $X$ and Stock $Y$ is true.

(A) The percentage change for Stock $X$ has a larger variance and a larger mean.
(B) The percentage change for Stock $X$ has a larger variance and the means are equal.
(C) The percentage change for Stock $X$ has a larger variance and a smaller mean.
(D) The variances are equal and the percentage change for Stock $X$ has a larger mean.
(E) Both the variances and the means are equal.

≡Jawaban No. 294›

(B). Variansi $X$ lebih besar, mean sama

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	3.5 Independensi dan Korelasi
Referensi	Miller Bab 3; Hogg-Tanis-Zimm Bab 2

ℹRumus›

E[X] = \sum_i x_i p_i, \quad \text{Var}(X) = \sum_i (x_i - \mu)^2 p_i = E[X^2] - (E[X])^2

Diketahui:

Tiga skenario dengan probabilitas 0,30 / 0,50 / 0,20
$X \in \{18\%, 8\%, -13\%\}$ , $Y \in \{15\%, 7\%, -6\%\}$ (perubahan harga saham)
Target: Bandingkan $E[X]$ vs $E[Y]$ dan $\text{Var}(X)$ vs $\text{Var}(Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X]$ dan $E[Y]$

E[X] = 0{,}30(0{,}18) + 0{,}50(0{,}08) + 0{,}20(-0{,}13) = 0{,}054 + 0{,}040 - 0{,}026 = 0{,}068

E[Y] = 0{,}30(0{,}15) + 0{,}50(0{,}07) + 0{,}20(-0{,}06) = 0{,}045 + 0{,}035 - 0{,}012 = 0{,}068

Mean $X$ = Mean $Y$ = $0{,}068$ ✓

Langkah 2: Hitung $\text{Var}(X)$

\text{Var}(X) = 0{,}30(0{,}18 - 0{,}068)^2 + 0{,}50(0{,}08 - 0{,}068)^2 + 0{,}20(-0{,}13 - 0{,}068)^2

= 0{,}30(0{,}112)^2 + 0{,}50(0{,}012)^2 + 0{,}20(-0{,}198)^2

= 0{,}30(0{,}012544) + 0{,}50(0{,}000144) + 0{,}20(0{,}039204)

= 0{,}003763 + 0{,}000072 + 0{,}007841 = 0{,}01168

Langkah 3: Hitung $\text{Var}(Y)$

\text{Var}(Y) = 0{,}30(0{,}15 - 0{,}068)^2 + 0{,}50(0{,}07 - 0{,}068)^2 + 0{,}20(-0{,}06 - 0{,}068)^2

= 0{,}30(0{,}082)^2 + 0{,}50(0{,}002)^2 + 0{,}20(-0{,}128)^2

= 0{,}30(0{,}006724) + 0{,}50(0{,}000004) + 0{,}20(0{,}016384)

= 0{,}002017 + 0{,}000002 + 0{,}003277 = 0{,}005296 \approx 0{,}00529

Langkah 4: Bandingkan

$\text{Var}(X) = 0{,}01168 > \text{Var}(Y) = 0{,}00529$ , dan $E[X] = E[Y] = 0{,}068$ .

Hasil Akhir: (B). Variansi $X$ lebih besar, means sama.

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira karena persentase $X$ selalu lebih besar dari $Y$ (18>15, 8>7) maka mean $X$ lebih besar — padahal penurunan $X$ lebih besar juga ( $-13$ vs $-6$ ), sehingga mean ternyata sama.
Hanya membandingkan arah dan besaran perubahan tanpa menghitung momen secara formal.

▲Red Flags›

“Determine which statement is true” → hitung keduanya secara eksak, jangan tebak.
Mean bisa sama meskipun distribusi berbeda.

No. 295

A company is marketing an investment opportunity to four potential customers. The company believes that its probability of making a sale is 0.5 for each of the first three customers but that it is only 0.1 for the fourth customer. The customers’ purchases are independent of one another.

Calculate the probability that at most two customers purchase the investment.

(A) 0.38
(B) 0.46
(C) 0.54
(D) 0.84
(E) 0.90

≡Jawaban No. 295›

(D). $0{,}84$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Miller Bab 3; Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Karena probabilitas tidak identik, gunakan pendekatan komplementer:

P(\text{at most 2}) = 1 - P(\text{exactly 3}) - P(\text{exactly 4})

Diketahui:

$p_1 = p_2 = p_3 = 0{,}5$ , $p_4 = 0{,}1$ (semua independen)
Target: $P(\text{jumlah pembelian} \leq 2)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(\text{tepat 4 beli})$

P(\text{4 beli}) = 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}5 \times 0{,}1 = 0{,}0125

Langkah 2: Hitung $P(\text{tepat 3 beli})$

Ada 4 sub-kasus (salah satu dari empat pelanggan tidak membeli):

Pelanggan 4 tidak beli (1, 2, 3 beli): $0{,}5^3 \times 0{,}9 = 0{,}125 \times 0{,}9 = 0{,}1125$
Pelanggan 3 tidak beli (1, 2, 4 beli): $0{,}5^2 \times 0{,}5 \times 0{,}1 = 0{,}25 \times 0{,}05 = 0{,}0125$
Pelanggan 2 tidak beli (1, 3, 4 beli): $0{,}5^2 \times 0{,}1 = 0{,}0125$
Pelanggan 1 tidak beli (2, 3, 4 beli): $0{,}5^2 \times 0{,}1 = 0{,}0125$

P(\text{3 beli}) = 0{,}1125 + 0{,}0125 + 0{,}0125 + 0{,}0125 = 0{,}1500

Langkah 3: Hitung $P(\text{at most 2})$

P(\text{at most 2}) = 1 - 0{,}1500 - 0{,}0125 = 0{,}8375

Hasil Akhir: (D). $0{,}84$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan distribusi Binomial standar — tidak bisa karena $p_4 \neq p_{1,2,3}$ .
Lupa bahwa $P(\text{pelanggan ke-4 tidak beli}) = 1 - 0{,}1 = 0{,}9$ .

▲Red Flags›

Ketika probabilitas tidak identik → enumerasi per kasus, bukan Binomial.
Pendekatan komplementer sering lebih efisien untuk “at most $k$ ” ketika $k$ dekat dengan total.

No. 296

An actuary compiles the following information about a portfolio of life insurance policies:

(i) There are 150 more policies on males than there are on females. (ii) There are 100 more policies on female nonsmokers than there are on male nonsmokers. (iii) There are 350 policies on smokers.

Calculate the number of policies on female smokers within this portfolio.

(A) 50
(B) 100
(C) 200
(D) 250
(E) 300

≡Jawaban No. 296›

(A). $50$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Dasar-Dasar Probabilitas
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Referensi	Miller Bab 1–2

ℹRumus›

Sistem persamaan linear dari kondisi yang diberikan. Misalkan:

$x$ = jumlah polis laki-laki bukan perokok
$y$ = jumlah polis perempuan perokok (yang dicari)

Diketahui:

(i) Total laki-laki = Total perempuan + 150
(ii) Perempuan bukan perokok = Laki-laki bukan perokok + 100
(iii) Total perokok = 350
Target: $y$ = jumlah polis perempuan perokok

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Definisikan variabel

Misalkan:

$x$ = jumlah polis laki-laki bukan perokok
$y$ = jumlah polis perempuan perokok

Dari kondisi (ii): Perempuan bukan perokok $= x + 100$

Total perempuan $= (x + 100) + y$

Dari kondisi (iii): Perokok laki-laki $= 350 - y$

Total laki-laki $= x + (350 - y)$

Langkah 2: Terapkan kondisi (i)

\text{Total laki-laki} = \text{Total perempuan} + 150

x + (350 - y) = (x + 100 + y) + 150

350 - y = 100 + y + 150

350 - y = 250 + y

100 = 2y \implies y = 50

Hasil Akhir: (A). $50$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mencoba menyelesaikan dengan lebih dari satu variabel tanpa mengeleminasi — sistem ini cukup diselesaikan dengan dua variabel ( $x$ dan $y$ ).
Salah menginterpretasikan “150 more policies on males than females” sebagai perbandingan perokok saja.

▲Red Flags›

Soal counting/aljabar: definisikan variabel dengan jelas, buat persamaan dari tiap kondisi, lalu selesaikan.

No. 297

The lifetime of a machine part has a continuous distribution on the interval $(0, 40)$ with probability density function $f$ , where $f(x)$ is proportional to $(10 + x)^{-2}$ .

Calculate the probability that the lifetime of the machine part is less than five.

(A) 0.03
(B) 0.13
(C) 0.42
(D) 0.58
(E) 0.97

≡Jawaban No. 297›

(C). $0{,}42$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Miller Bab 4; Hogg-Tanis-Zimm Bab 2

ℹRumus›

Tentukan konstanta normalisasi $C$ dari $\int_0^{40} f(x)\,dx = 1$ , lalu hitung $P(X < 5)$ .

\int (10 + x)^{-2}\,dx = -(10 + x)^{-1} + K

Diketahui:

$f(x) = C(10 + x)^{-2}$ untuk $0 < x < 40$ (kontinu)
Target: $P(X < 5)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan konstanta $C$

\int_0^{40} C(10+x)^{-2}\,dx = C\left[-(10+x)^{-1}\right]_0^{40}

= C\left(-\frac{1}{50} + \frac{1}{10}\right) = C\left(\frac{1}{10} - \frac{1}{50}\right) = C \cdot \frac{4}{50} = \frac{C}{12{,}5}

Agar $= 1$ : $C = 12{,}5 = \dfrac{25}{2}$

Langkah 2: Hitung $P(X < 5)$

P(X < 5) = \int_0^5 12{,}5 (10+x)^{-2}\,dx = 12{,}5 \left[-(10+x)^{-1}\right]_0^5

= 12{,}5 \left(-\frac{1}{15} + \frac{1}{10}\right) = 12{,}5 \times \frac{1}{30} = \frac{12{,}5}{30} = \frac{5}{12} \approx 0{,}4167

Hasil Akhir: (C). $0{,}42$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa menentukan $C$ terlebih dahulu — PDF harus dinormalisasi.
Salah menghitung anti-turunan: $\int (10+x)^{-2}\,dx = -(10+x)^{-1}$ , bukan $\frac{(10+x)^{-1}}{-1}$ dengan tanda yang salah.

▲Red Flags›

“Proportional to” → selalu tentukan konstanta normalisasi $C$ sebelum menghitung probabilitas.
Evaluasi pada batas: ingat substitusi $x=0$ memberi $10^{-1} = 0{,}1$ , bukan 0.

No. 298

The claim, $X$ , for a dental insurance policy is a random variable with the following probability function:

$x$	$P[X = x]$
0	0.5
1	0.2
2	0.3

The premium for the policy is equal to 125% of the expected claim amount.

Calculate the approximate probability that the total claims on 76 independent policies exceed the total premium collected.

(A) 0.02
(B) 0.07
(C) 0.17
(D) 0.25
(E) 0.40

≡Jawaban No. 298›

(A). $0{,}02$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Statistika Matematika
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	4.4 Hukum Bilangan Besar (LLN)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5; Miller Bab 7

ℹRumus›

Jika $Y = X_1 + \cdots + X_{76}$ (total klaim), dengan CLT:

Y \overset{\text{approx}}{\sim} N\!\left(76\,E[X],\; 76\,\text{Var}(X)\right)

Diketahui:

$X \in \{0, 1, 2\}$ dengan probabilitas $0{,}5$ , $0{,}2$ , $0{,}3$
Premi per polis $= 1{,}25 \times E[X]$ ; total premi $= 76 \times 1{,}25 \times E[X]$
Target: $P(Y > \text{total premi})$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X]$ dan $\text{Var}(X)$

E[X] = 0(0{,}5) + 1(0{,}2) + 2(0{,}3) = 0 + 0{,}2 + 0{,}6 = 0{,}8

E[X^2] = 0^2(0{,}5) + 1^2(0{,}2) + 2^2(0{,}3) = 0 + 0{,}2 + 1{,}2 = 1{,}4

\text{Var}(X) = 1{,}4 - (0{,}8)^2 = 1{,}4 - 0{,}64 = 0{,}76

Langkah 2: Hitung total premi

Premi per polis $= 1{,}25 \times 0{,}8 = 1{,}00$

Total premi dari 76 polis $= 76 \times 1{,}00 = 76$

Langkah 3: Tentukan distribusi $Y = \sum_{i=1}^{76} X_i$

E[Y] = 76 \times 0{,}8 = 60{,}8, \quad \text{Var}(Y) = 76 \times 0{,}76 = 57{,}76

\text{SD}(Y) = \sqrt{57{,}76} \approx 7{,}60

Langkah 4: Standarisasi

P(Y > 76) \approx P\!\left(Z > \frac{76 - 60{,}8}{7{,}60}\right) = P\!\left(Z > \frac{15{,}2}{7{,}60}\right) = P(Z > 2{,}00)

= 1 - \Phi(2{,}00) = 1 - 0{,}9772 = 0{,}0228

Hasil Akhir: (A). $0{,}02$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung premi sebagai $1{,}25 \times 0{,}8 \times 76 = 76$ sudah benar, tetapi beberapa salah mengira total premi adalah $1{,}25 \times 76 = 95$ .
Salah menghitung $\text{Var}(X)$ : $E[X^2] = 1{,}4$ , bukan $(E[X])^2 = 0{,}64$ .

▲Red Flags›

“Total claims exceed total premium” → bandingkan $Y$ (total klaim) dengan nilai total premi (bukan per-polis).
$P(Z > 2) \approx 0{,}0228$ — hafalkan nilai ini karena sering muncul.

No. 299

An insurance company categorizes its policyholders into three mutually exclusive groups. A study produced the following information:

Group	Number of policyholders	Probability a policyholder has no claims
A	20,000	70%
B	45,000	90%
C	35,000	50%

Within each group, the numbers of claims made by individual policyholders are mutually independent Poisson random variables.

Calculate the expected total number of claims, in thousands, made by the 100,000 policyholders.

(A) 21
(B) 28
(C) 36
(D) 64
(E) 72

≡Jawaban No. 299›

(C). $36$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 5

ℹRumus›

Jika $N \sim \text{Poisson}(\lambda)$ , maka $P(N = 0) = e^{-\lambda}$ .

Dari $P(N = 0) = p_0$ → $\lambda = -\ln(p_0)$ .

Total klaim yang diharapkan:

E[\text{total klaim}] = \sum_{\text{grup}} n_{\text{grup}} \times \lambda_{\text{grup}}

Diketahui:

Grup A: $n_A = 20{.}000$ , $P(N_A = 0) = 0{,}70$
Grup B: $n_B = 45{.}000$ , $P(N_B = 0) = 0{,}90$
Grup C: $n_C = 35{.}000$ , $P(N_C = 0) = 0{,}50$
Target: Total ekspektasi klaim (dalam ribuan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan $\lambda$ tiap grup dari $P(N = 0)$

Grup A:

e^{-\lambda_A} = 0{,}70 \implies \lambda_A = -\ln(0{,}70) \approx 0{,}3567

Grup B:

e^{-\lambda_B} = 0{,}90 \implies \lambda_B = -\ln(0{,}90) \approx 0{,}1054

Grup C:

e^{-\lambda_C} = 0{,}50 \implies \lambda_C = -\ln(0{,}50) = \ln 2 \approx 0{,}6931

Langkah 2: Hitung ekspektasi total klaim tiap grup

Grup A: $20{.}000 \times 0{,}3567 = 7{.}134$

Grup B: $45{.}000 \times 0{,}1054 = 4{.}743$

Grup C: $35{.}000 \times 0{,}6931 = 24{.}259$

Langkah 3: Jumlahkan

\text{Total} = 7{.}134 + 4{.}743 + 24{.}259 = 36{.}136 \approx 36 \text{ ribu}

Hasil Akhir: (C). $36$ (ribu)

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\lambda = P(N = 0)$ secara langsung — padahal harus menginversi $e^{-\lambda} = P(N=0)$ .
Lupa mengalikan $\lambda$ dengan jumlah pemegang polis tiap grup.

▲Red Flags›

Jika Poisson dan “no claims” diberikan → gunakan $\lambda = -\ln(P(N=0))$ .
Hasil dalam “ribuan” — pastikan tidak mengubah satuan secara tidak konsisten.

No. 300

A group of insurance policies have all been in force for at least three years. The insurance company plans to pay a dividend on each policy in the group that had no more than one claim incurred on it in the past three years. The number of claims incurred on a policy in any year follows a Poisson distribution with mean 0.288 and the number incurred in any year is independent of the number incurred in any other year.

Calculate the probability that a policy chosen at random from the group will receive a dividend.

(A) 0.01
(B) 0.36
(C) 0.42
(D) 0.54
(E) 0.79

≡Jawaban No. 300›

(E). $0{,}79$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	4.1 Penarikan Sampel Acak
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 5

ℹRumus›

Sifat aditif Poisson: Jika $N_1, N_2, N_3 \overset{i.i.d.}{\sim} \text{Poisson}(\lambda)$ dan independen, maka:

N_{\text{total}} = N_1 + N_2 + N_3 \sim \text{Poisson}(3\lambda)

P(N = k) = \frac{e^{-\mu} \mu^k}{k!}

Diketahui:

$N_j \sim \text{Poisson}(0{,}288)$ untuk tahun $j = 1, 2, 3$ ; independen
Dividen diberikan jika total klaim dalam 3 tahun $\leq 1$
Target: $P(N_{\text{total}} \leq 1)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan distribusi $N_{\text{total}}$

N_{\text{total}} = N_1 + N_2 + N_3 \sim \text{Poisson}(3 \times 0{,}288) = \text{Poisson}(0{,}864)

Langkah 2: Hitung $P(N_{\text{total}} = 0)$ dan $P(N_{\text{total}} = 1)$

P(N_{\text{total}} = 0) = \frac{e^{-0{,}864} \cdot (0{,}864)^0}{0!} = e^{-0{,}864} \approx 0{,}4214

P(N_{\text{total}} = 1) = \frac{e^{-0{,}864} \cdot (0{,}864)^1}{1!} = 0{,}864 \times e^{-0{,}864} \approx 0{,}864 \times 0{,}4214 \approx 0{,}3641

Langkah 3: Jumlahkan

P(N_{\text{total}} \leq 1) = 0{,}4214 + 0{,}3641 = 0{,}7855 \approx 0{,}79

Hasil Akhir: (E). $0{,}79$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $\lambda = 0{,}288$ (satu tahun) tanpa mengalikannya dengan 3 — padahal kita melihat total klaim selama 3 tahun.
Mengira harus menghitung $P(\text{masing-masing tahun} \leq 1)^3$ — ini salah karena soal menanyakan total keseluruhan $\leq 1$ , bukan per tahun.

▲Red Flags›

“Three independent years” + Poisson → gunakan sifat aditif: $\lambda_{\text{total}} = 3\lambda$ .
“No more than one claim in 3 years” = $P(N_{\text{total}} \leq 1)$ — bukan per tahun.