CF1 · Pembahasan

CF1 Periode November 2021

No. 1

Diketahui tingkat bunga efektif $i > 0$ . Suatu hutang sebesar $100$ akan dilunasi tanpa cicilan pada akhir $3$ tahun. Tentukan besar pembayaran yang diperlukan jika bunga hutang selama $3$ bulan digratiskan.

a. $100(1+i)^3$
b. $100(1+i)^3\left(1 - d^{(12)}\right)^3$
c. $100(1+i)^3\left(1 - \dfrac{d^{(12)}}{12}\right)^3$
d. $\dfrac{100}{\left(1 - d^{(12)}\right)^3}$
e. $\dfrac{100}{\left(1 - \dfrac{d^{(12)}}{12}\right)^3}$

≡Jawaban No. 1›

(c). $100(1+i)^3\left(1 - \dfrac{d^{(12)}}{12}\right)^3$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Faktor diskonto per bulan menggunakan $d^{(12)}$ : $\text{Faktor diskonto 1 bulan} = 1 - \frac{d^{(12)}}{12}$

Faktor diskonto selama $3$ bulan (3 periode bulanan): $\left(1 - \frac{d^{(12)}}{12}\right)^3$

Diketahui:

Hutang pokok $= 100$ , jatuh tempo akhir tahun ke-3
Bunga efektif $= i$ per tahun
Gratis bunga selama $3$ bulan terakhir
Target: nilai pembayaran yang diperlukan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung nilai hutang di t=3 tanpa keringanan

Hutang berkembang selama 3 tahun pada rate $i$ : $B_3 = 100(1+i)^3$

Langkah 2: Terapkan keringanan bunga 3 bulan

“Bunga digratiskan selama 3 bulan” berarti hutang mendapat diskonto selama 3 bulan. Faktor diskonto per bulan menggunakan $d^{(12)}$ (tingkat diskonto nominal dikonversi bulanan) adalah $\left(1 - \frac{d^{(12)}}{12}\right)$ .

Selama 3 bulan (3 periode), pembayaran menjadi: $\text{Pembayaran} = 100(1+i)^3 \times \left(1 - \frac{d^{(12)}}{12}\right)^3$

Langkah 3: Cocokkan dengan pilihan

Hasilnya sesuai opsi (c).

Hasil Akhir: (c). $100(1+i)^3\left(1 - \dfrac{d^{(12)}}{12}\right)^3$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $(1-d^{(12)})^3$ → ini adalah faktor diskonto untuk 3 tahun menggunakan diskonto nominal, bukan 3 bulan.
Faktor diskonto 1 bulan = $1 - d^{(12)}/12$ ; untuk 3 bulan → dipangkat 3.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira “gratis bunga 3 bulan” berarti dikurangi bunga flat 3 bulan → tidak menggunakan faktor diskonto yang tepat.

▲Red Flags›

Soal menyebut $d^{(12)}$ (diskonto nominal dikonversi bulanan) → konversi per periode = $d^{(12)}/12$ .

No. 2

Sebuah investasi berkembang menjadi empat kalinya dalam kurun waktu $16$ tahun. Tentukan lama investasi yang dibutuhkan agar nilai investasi berkembang menjadi $1{,}5$ kalinya. (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $4$ tahun
b. $4$ tahun $8$ bulan
c. $6$ tahun
d. $6$ tahun $6$ bulan
e. $8$ tahun

≡Jawaban No. 2›

(b). $4$ tahun $8$ bulan

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Akumulasi compound interest: $(1+i)^t = k$ $t = \frac{\ln k}{\ln(1+i)}$

Diketahui:

$(1+i)^{16} = 4$
Target: $t$ sehingga $(1+i)^t = 1{,}5$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $i$ dari kondisi awal

(1+i)^{16} = 4 \implies 1+i = 4^{1/16} = 2^{1/8}

i = 4^{1/16} - 1 \approx 9{,}051\%

Langkah 2: Cari $t$ untuk pertumbuhan 1,5 kali

(1+i)^t = 1{,}5

t = \frac{\ln 1{,}5}{\ln(1+i)} = \frac{\ln 1{,}5}{\ln 4^{1/16}} = \frac{16 \ln 1{,}5}{\ln 4}

= \frac{16 \times 0{,}4055}{1{,}3863} = 4{,}680 \text{ tahun}

$4{,}680$ tahun $= 4$ tahun $+ 0{,}680 \times 12 \approx 4$ tahun $8$ bulan.

Hasil Akhir: (b). $4$ tahun $8$ bulan

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan proporsi linear: jika 4x dalam 16 tahun, maka 1,5x dalam $16 \times (1{,}5/4)$ tahun → mengabaikan sifat eksponensial.

▲Red Flags›

Soal “berkembang $k$ kali dalam $t$ tahun” → langsung gunakan $t = \ln(k_{\text{baru}}) / \ln(k_{\text{lama}}) \times t_{\text{lama}}$ .

No. 3

PT Manajemen Aset Aman menerbitkan sebuah produk investasi dengan fitur simpanan terjamin seperti berikut:

Nasabah menempatkan investasi awal sekali di awal tahun.
Tingkat bunga dasar sebesar $5\%$ berlaku efektif per tahun.
Pada setiap awal tahun, biaya pengelolaan sebesar $1\%$ dari investasi awal akan dipotong dari saldo investasi.

Dengan fitur di atas, tentukan besar uang yang dapat ditarik jika periode investasi adalah $10$ tahun dan besar penempatan investasi awal adalah $1{.}000$ ? (Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.)

a. $1{.}497$
b. $1{.}529$
c. $1{.}562$
d. $1{.}594$
e. $1{.}629$

≡Jawaban No. 3›

(a). $1{.}497$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Rekursi saldo tahunan (biaya dipotong di awal, bunga dikreditkan di akhir):

V_t = (V_{t-1} - C) \times (1+i)

dimana $C = 1\% \times 1{.}000 = 10$ (biaya tetap per tahun).

Diketahui:

$V_0 = 1{.}000$ ; $i = 5\%$ ; biaya $= 1\% \times 1{.}000 = 10$ /tahun (dipotong awal tahun)
Periode $= 10$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi pola rekursi

Setiap tahun: potong biaya $10$ di awal, lalu kembangkan $5\%$ di akhir:

V_t = (V_{t-1} - 10) \times 1{,}05

Langkah 2: Iterasi 10 tahun

$t$	$V_{t-1}$	$V_{t-1}-10$	$V_t = \times 1{,}05$
1	$1{.}000{,}00$	$990{,}00$	$1{.}039{,}50$
2	$1{.}039{,}50$	$1{.}029{,}50$	$1{.}080{,}98$
3	$1{.}080{,}98$	$1{.}070{,}98$	$1{.}124{,}52$
…	…	…	…
10	—	—	$1{.}496{,}83$

Hasil Akhir: (a). $1{.}497$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira biaya $1\%$ dari saldo (bukan dari investasi awal) → biaya berubah tiap tahun, menghasilkan nilai berbeda.
Mengira biaya dipotong di akhir tahun (bukan awal) → urutan operasi berbeda.

▲Red Flags›

“Biaya $X\%$ dari investasi awal” = biaya tetap = $X\% \times 1{.}000$ , bukan persentase dari saldo berkembang.

No. 4

PT Asset Max, sebuah perusahaan manajemen aset meluncurkan sebuah produk investasi yang memiliki fitur seperti berikut:

Nasabah harus melakukan pembayaran berkala sebesar $1{.}000$ setiap awal tahun selama $20$ tahun.
Produk memberikan tingkat bunga efektif $5\%$ per tahun selama $10$ tahun pertama dan efektif $j$ per tahun selama $10$ tahun berikutnya.

Diketahui tingkat imbal hasil yang ekuivalen dari investasi tersebut adalah $8\%$ , tentukan nilai $j$ . (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $9{,}0\%$
b. $9{,}4\%$
c. $9{,}8\%$
d. $10{,}2\%$
e. $10{,}6\%$

≡Jawaban No. 4›

(b). $9{,}4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.6 Varying Interest Rates
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3

ℹRumus›

FV annuity-due dengan rate berubah:

FV = \left[FV_{10}^{(i_1)}\right] \times (1+j)^{10} + 1{.}000 \cdot \ddot{s}_{\overline{10}|j}

FV ekuivalen pada rate $8\%$ :

FV_{\text{equiv}} = 1{.}000 \cdot \ddot{s}_{\overline{20}|8\%}

Diketahui:

Kontribusi: $1{.}000$ /awal tahun, 20 tahun
Rate $5\%$ tahun 1–10, $j$ tahun 11–20
Equivalent overall return $= 8\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV ekuivalen di t=20

FV_{\text{equiv}} = 1{.}000 \times (1{,}08) \times \frac{(1{,}08)^{20}-1}{0{,}08} = 49{.}422{,}92

Langkah 2: Hitung FV aktual dari kontribusi 10 tahun pertama di t=10

FV_{10} = 1{.}000 \times (1{,}05) \times \frac{(1{,}05)^{10}-1}{0{,}05} = 13{.}206{,}79

Langkah 3: Selesaikan untuk $j$

FV aktual di t=20:

FV = 13{.}206{,}79 \times (1+j)^{10} + 1{.}000 \times (1+j) \times \frac{(1+j)^{10}-1}{j} = 49{.}422{,}92

Dengan solver numerik: $j \approx 9{,}41\% \approx 9{,}4\%$

Hasil Akhir: (b). $9{,}4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira equivalent return = rata-rata aritmatik $(5\%+j)/2 = 8\%$ → menghasilkan $j=11\%$ , salah karena efek compounding.
Melupakan bahwa $FV_{10}$ harus terus berkembang $10$ tahun lagi pada rate $j$ .

▲Red Flags›

“Rate berubah di tengah tenor” + “equivalent return” → harus menyamakan FV aktual dengan FV pada equivalent rate.

No. 5

Tingkat bunga efektif adalah $i$ per tahun. Pak Aji memiliki aset A yang memberikan pembayaran sebesar $i$ pada setiap akhir tahun sampai seterusnya. Jika Pak Aji ingin menjual aset A tepat setelah menerima pembayaran ke- $n$ , tentukan nilai jual aset A jika tingkat bunga telah berubah menjadi $j$ .

a. $1$
b. $\dfrac{1}{j} - s_{\overline{n}|i}$
c. $\dfrac{i}{j}$
d. $\dfrac{1}{i} - s_{\overline{n}|j}$
e. $\dfrac{j}{i}$

≡Jawaban No. 5›

(c). $\dfrac{i}{j}$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 3

ℹRumus›

Nilai kini perpetuitas dengan pembayaran $C$ pada rate $j$ :

PV = \frac{C}{j}

Diketahui:

Aset A: pembayaran $i$ per akhir tahun, selamanya (perpetuitas)
Rate awal $i$ , rate baru $j$ saat dijual setelah pembayaran ke- $n$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi nilai PV aset A pada rate $i$

PV perpetuitas yang membayar $i$ per tahun pada rate $i$ :

PV_i = \frac{i}{i} = 1

Langkah 2: Hitung nilai jual setelah pembayaran ke- $n$ pada rate $j$

Tepat setelah pembayaran ke- $n$ , sisa aset adalah perpetuitas yang masih membayar $i$ per tahun mulai dari $t=n+1$ sampai selamanya. Dinilai pada rate baru $j$ :

\text{Nilai jual} = \frac{i}{j}

Nilai ini tidak bergantung pada $n$ (perpetuitas tidak berubah setelah beberapa pembayaran — pembayaran tersisa tetap $i$ per tahun selamanya).

Hasil Akhir: (c). $\dfrac{i}{j}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira nilai aset turun setelah $n$ pembayaran karena “berkurang” → perpetuitas tidak pernah habis; setelah $n$ pembayaran, sisa tetap perpetuitas yang sama.
Mengira nilai jual = $1$ (menggunakan rate lama $i$ ) → harus menggunakan rate baru $j$ .

▲Red Flags›

Aset perpetuitas dijual setelah beberapa pembayaran → nilai jual = PV sisa pembayaran (perpetuitas tanpa akhir) pada rate saat ini.

No. 6

Diberikan dua jenis anuitas seperti berikut:

(i) Anuitas $n$ tahun yang memberikan pembayaran sebesar $100$ di setiap akhir tahun. Nilai kini (present value) dari anuitas ini pada tingkat bunga $i$ adalah $448{,}59$ .

(ii) Anuitas $2n$ tahun yang memberikan pembayaran sebesar $100$ di setiap akhir tahun. Nilai kini (present value) dari anuitas ini pada tingkat bunga $i$ adalah $716{,}07$ .

Dengan menggunakan tingkat bunga $i$ yang sama, tentukan nilai kini dari pembayaran yang dilakukan pada akhir tahun ke- $n$ , $2n$ , dan $3n$ dengan besar pembayaran masing-masing $100$ .

a. $92$
b. $116$
c. $148$
d. $179$
e. $204$

≡Jawaban No. 6›

(b). $116$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Hubungan anuitas:

a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|} + v^n \cdot a_{\overline{n}|}

PV dari tiga pembayaran pada $t=n, 2n, 3n$ :

PV = 100(v^n + v^{2n} + v^{3n})

Diketahui:

$100 \cdot a_{\overline{n}|i} = 448{,}59 \implies a_{\overline{n}|} = 4{,}4859$
$100 \cdot a_{\overline{2n}|i} = 716{,}07 \implies a_{\overline{2n}|} = 7{,}1607$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $v^n$ dari hubungan anuitas

a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|} + v^n \cdot a_{\overline{n}|}

7{,}1607 = 4{,}4859(1 + v^n)

v^n = \frac{7{,}1607}{4{,}4859} - 1 = 0{,}5963

Langkah 2: Hitung PV dari tiga pembayaran

PV = 100(v^n + v^{2n} + v^{3n}) = 100(0{,}5963 + 0{,}5963^2 + 0{,}5963^3)

= 100(0{,}5963 + 0{,}3556 + 0{,}2121) = 100 \times 1{,}1640 = 116{,}40 \approx 116

Hasil Akhir: (b). $116$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira PV pembayaran di $t=n,2n,3n$ = PV annuity $3n$ − PV annuity $2n$ → tidak benar karena itu berbeda dengan pembayaran di kelipatan $n$ .
Salah menghitung $v^n$ : menggunakan $a_{\overline{2n}} - a_{\overline{n}}$ tanpa membagi $a_{\overline{n}}$ .

▲Red Flags›

Soal dengan dua PV anuitas berbeda panjang → gunakan relasi $a_{\overline{2n}} = a_{\overline{n}}(1+v^n)$ untuk menemukan $v^n$ .

No. 7

Sebuah perpetuitas memberikan pembayaran semesteran dengan pembayaran pertama sebesar $200$ terhitung $6$ bulan dari sekarang. Pembayaran berikutnya akan lebih kecil $2\%$ dari pembayaran sebelumnya. Jika nilai kini (present value) dari perpetuitas ini adalah $5{.}000$ , maka tentukan tingkat bunga efektif tahunan yang sesuai. (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $0\%$

b. $2\%$

c. $4\%$

d. $6\%$

e. $8\%$

≡Jawaban No. 7›

(c). $4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.3 Varying Annuities
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 3

ℹRumus›

Perpetuitas geometrik menurun dengan ratio $r < 1$ , pembayaran pertama $P$ pada rate per-periode $j$ :

PV = \frac{P \cdot v}{1 - r \cdot v} = \frac{P}{(1+j) - r}

dimana $r$ = rasio antar pembayaran.

Diketahui:

$P_1 = 200$ di $t = 0{,}5$ , $P_{k+1} = 0{,}98 \times P_k$ (turun $2\%$ per periode)
$PV = 5{.}000$ , rate per semester $= j_s$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan formula perpetuitas geometrik

Dengan $r = 0{,}98$ dan $v_s = \dfrac{1}{1+j_s}$ :

PV = \frac{200 \cdot v_s}{1 - 0{,}98 \cdot v_s} = 5{.}000

200 v_s = 5{.}000(1 - 0{,}98 v_s)

200 v_s + 4{.}900 v_s = 5{.}000

5{.}100 v_s = 5{.}000 \implies v_s = \frac{50}{51}

Langkah 2: Konversi ke rate tahunan efektif

j_s = \frac{1}{v_s} - 1 = \frac{51}{50} - 1 = 2\%\text{ per semester}

i_{\text{tahunan}} = (1 + 2\%)^2 - 1 = (1{,}02)^2 - 1 = 4{,}04\% \approx 4\%

Hasil Akhir: (c). $4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira rate semesteran $= i_{\text{tahunan}}/2 = 2\%$ → ini adalah nominal rate; efektif annual dari $2\%$ /semester $= (1{,}02)^2-1 = 4{,}04\%$ , bukan $4\%$ flat. Namun hasilnya sudah cukup dekat ke opsi $4\%$ .
Lupa bahwa ini perpetuitas geometrik; menggunakan formula perpetuitas biasa $PV = C/j$ .

▲Red Flags›

“Tiap pembayaran lebih kecil/besar $X\%$ dari sebelumnya” → perpetuitas geometrik; gunakan $PV = P \cdot v / (1-r \cdot v)$ .

No. 8

Bapak Rian meminjam uang sebesar $50{.}000$ yang akan lunas dengan cicilan selama $10$ tahun dengan pembayaran sebesar $8{.}000$ di setiap akhir tahun. Setelah melakukan pembayaran cicilan pada akhir tahun ke- $6$ , Pak Rian membayar tambahan $10{.}000$ dan membuat kesepakatan dengan peminjam untuk memperpendek periode cicilan hutangnya sehingga akan lunas pada akhir tahun ke- $8$ . Tentukan besar cicilan Pak Rian yang baru. (Bulatkan jawaban ke ratusan terdekat.)

a. $7{.}500$

b. $8{.}200$

c. $8{.}900$

d. $10{.}600$

e. $11{.}300$

≡Jawaban No. 8›

(c). $8{.}900$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Outstanding balance prospective setelah $k$ pembayaran:

OB_k = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}

Cicilan baru setelah pembayaran ekstra:

R_{\text{baru}} = \frac{OB_k - \text{Ekstra}}{a_{\overline{m}|i}}

Diketahui:

$L = 50{.}000$ , $R = 8{.}000$ , $n = 10$ tahun
Setelah cicilan ke-6, bayar ekstra $10{.}000$ , lunas di akhir tahun ke-8 (2 cicilan lagi)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari tingkat bunga $i$

50{.}000 = 8{.}000 \cdot a_{\overline{10}|i} \implies a_{\overline{10}|i} = 6{,}25

Dengan solver: $i \approx 9{,}606\%$

Langkah 2: Hitung OB setelah cicilan ke-6

OB_6 = 8{.}000 \cdot a_{\overline{4}|9{,}606\%} = 8{.}000 \times 3{,}1971 = 25{.}576{,}81

Langkah 3: Kurangi pembayaran ekstra

OB_6^{\text{baru}} = 25{.}576{,}81 - 10{.}000 = 15{.}576{,}81

Langkah 4: Hitung cicilan baru

Lunas dalam 2 cicilan (tahun 7 dan 8):

R_{\text{baru}} = \frac{15{.}576{,}81}{a_{\overline{2}|9{,}606\%}} = \frac{15{.}576{,}81}{1{,}7436} = 8{.}927{,}76 \approx 8{.}900

Hasil Akhir: (c). $8{.}900$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengira setelah cicilan ke-6, tersisa $10-6=4$ cicilan → tapi setelah ekstra payment, mau lunas di tahun ke-8 (hanya 2 cicilan lagi: 7 dan 8).

▲Red Flags›

“Lunas di akhir tahun ke-8” setelah cicilan ke-6 → hanya 2 cicilan tersisa, bukan 4.

No. 9

Pak Andre memiliki suatu hutang yang akan lunas dibayar dengan cicilan sebesar $500$ pada setiap akhir tahun selama $15$ tahun. Pak Budi memiliki suatu hutang yang akan lunas dengan cicilan sebesar $500$ pada setiap akhir tahun selama $10$ tahun. Sisa hutang Pak Andre pada akhir tahun ke- $10$ adalah $1{.}980{,}67$ . Sisa hutang Pak Budi pada akhir tahun ke- $6$ adalah $1{.}645{,}06$ . Jika tingkat bunga efektif kedua hutang adalah sama, tentukan porsi pokok dari cicilan Pak Budi pada pembayaran ke- $10$ .

a. $462$

b. $467$

c. $473$

d. $481$

e. $500$

≡Jawaban No. 9›

(a). $462$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

OB prospective: $OB_k = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}$

Porsi pokok cicilan ke- $k$ : $\text{Pokok}_k = R \cdot v^{n-k+1}$

Diketahui:

Andre: $R = 500$ , $n = 15$ . $OB_{10} = 1{.}980{,}67 = 500 \cdot a_{\overline{5}|i}$
Budi: $R = 500$ , $n = 10$ . $OB_6 = 1{.}645{,}06$ (untuk validasi)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $i$ dari data Andre

a_{\overline{5}|i} = \frac{1{.}980{,}67}{500} = 3{,}9613

Dengan solver: $i = 8{,}30\%$

Langkah 2: Verifikasi dengan data Budi

OB_6^{\text{Budi}} = 500 \cdot a_{\overline{4}|8{,}30\%} = 500 \times 3{,}2901 = 1{.}645{,}07 \approx 1{.}645{,}06 \checkmark

Langkah 3: Porsi pokok cicilan ke-10 Budi

Cicilan ke-10 adalah pembayaran terakhir Budi. OB setelah cicilan ke-9:

OB_9^{\text{Budi}} = 500 \cdot a_{\overline{1}|8{,}30\%} = \frac{500}{1{,}083} = 461{,}68

Porsi pokok cicilan ke-10:

\text{Pokok}_{10} = 500 - i \times OB_9 = 500 - 0{,}083 \times 461{,}68 = 500 - 38{,}32 = 461{,}68 \approx 462

Hasil Akhir: (a). $462$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira porsi pokok cicilan terakhir = $500$ (sama dengan cicilan) → masih ada sedikit bunga dari saldo kecil sisa hutang.

▲Red Flags›

Cicilan ke- $n$ (terakhir) bukan berarti pokok = cicilan; masih ada bunga dari OB $_{n-1}$ .

No. 10

Suatu hutang sebesar $18{.}000$ memiliki tingkat bunga nominal $8\%$ yang dikonversikan kwartalan. Pokok hutang akan dibayar selama $10$ tahun dengan sinking fund yang memberikan tingkat bunga nominal $12\%$ yang dikonversikan kwartalan. Jika pembayaran bunga dan sinking fund dilakukan di setiap akhir kwartal, tentukan total semua pembayaran yang diperlukan setiap tahunnya. (Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.)

a. $2{.}379$

b. $2{.}395$

c. $2{.}402$

d. $2{.}419$

e. $2{.}466$

≡Jawaban No. 10›

(b). $2{.}395$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.2 Amortization Method
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Total pembayaran per kuartal $=$ bunga + deposit SF:

R_Q = L \cdot r_Q + \frac{L}{s_{\overline{40}|j_Q}}

Diketahui:

$L = 18{.}000$ ; pinjaman: nominal $8\%$ dikv kwartalan → $r_Q = 2\%$ /kuartal
SF: nominal $12\%$ dikv kwartalan → $j_Q = 3\%$ /kuartal; $n = 40$ kuartal

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bunga per kuartal

\text{Bunga}_Q = 18{.}000 \times 2\% = 360

Langkah 2: Deposit SF per kuartal

s_{\overline{40}|3\%} = \frac{(1{,}03)^{40}-1}{0{,}03} = 75{,}4013

D_Q = \frac{18{.}000}{75{,}4013} = 238{,}72

Langkah 3: Total per kuartal dan per tahun

R_Q = 360 + 238{,}72 = 598{,}72

R_{\text{tahunan}} = 598{,}72 \times 4 = 2{.}394{,}88 \approx 2{.}395

Hasil Akhir: (b). $2{.}395$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate tahunan $8\%$ atau $12\%$ langsung → harus dibagi 4 untuk rate kuartalan.

▲Red Flags›

“Nominal $X\%$ dikonversikan kwartalan” → rate per kuartal = $X\%/4$ .

No. 11

Pak Asep meminjam uang sebesar $20{.}000$ yang akan dilunasi dalam $10$ tahun dan dikenai tingkat bunga tahunan efektif $5\%$ . Setiap awal tahun Pak Asep dapat menyisihkan uang sebesar $2{.}500$ yang digunakan untuk membayar bunga dari hutang dan sisanya dialokasikan ke dalam sinking fund yang memberikan bunga $4\%$ pada lima tahun pertama dan $6\%$ pada lima tahun berikutnya. Tentukan posisi sinking fund di akhir $10$ tahun.

a. Cukup untuk membayar hutang dan terdapat kelebihan uang yang lebih besar dari $1{.}500$

b. Cukup untuk membayar hutang dan terdapat kelebihan uang yang kurang dari $1{.}500$

c. Tepat cukup untuk membayar hutang

d. Kekurangan untuk membayar hutang dengan nominal yang kurang dari $1{.}500$

e. Kekurangan untuk membayar hutang dengan nominal yang lebih dari $1{.}500$

≡Jawaban No. 11›

(d). Kekurangan untuk membayar hutang dengan nominal yang kurang dari $1{.}500$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Kontribusi SF: $D = 2{.}500 - \text{Bunga pinjaman}$

Akumulasi SF dengan rate berubah:

SF_{10} = SF_5 \cdot (1+j_2)^5 + D \cdot s_{\overline{5}|j_2}

Diketahui:

$L = 20{.}000$ , $i = 5\%$ , bunga tahunan $= 20{.}000 \times 5\% = 1{.}000$
Kontribusi SF $= 2{.}500 - 1{.}000 = 1{.}500$ /tahun
SF: $j_1 = 4\%$ (tahun 1–5), $j_2 = 6\%$ (tahun 6–10)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Akumulasi SF di akhir tahun ke-5

SF_5 = 1{.}500 \times s_{\overline{5}|4\%} = 1{.}500 \times \frac{(1{,}04)^5-1}{0{,}04} = 1{.}500 \times 5{,}4163 = 8{.}124{,}48

Langkah 2: Akumulasi SF di akhir tahun ke-10

SF_{10} = 8{.}124{,}48 \times (1{,}06)^5 + 1{.}500 \times s_{\overline{5}|6\%}

= 8{.}124{,}48 \times 1{,}3382 + 1{.}500 \times 5{,}6371

= 10{.}874{,}20 + 8{.}455{,}65 = 19{.}329{,}85

Langkah 3: Evaluasi posisi SF

Kekurangan $= 20{.}000 - 19{.}329{,}85 = 670{,}15 < 1{.}500$

Hasil Akhir: (d). Kekurangan $670{,}15 < 1{.}500$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa $SF_5$ terus berkembang di rate $j_2 = 6\%$ setelah tahun ke-5.
Mengira bunga pinjaman ikut berubah mengikuti SF rate → bunga pinjaman $= L \times i_{\text{loan}}$ tetap flat.

▲Red Flags›

SF rate berubah → dua fase: hitung $SF_5$ dahulu, lalu lanjutkan ke $SF_{10}$ .

No. 12

Sebuah obligasi $20$ tahun memiliki nilai par $1{.}000$ dan memberikan kupon yang dibayarkan setiap setengah tahun dengan tingkat kupon tahunan $8{,}5\%$ . Nilai penebusan obligasi ini adalah $1{.}000$ . Tentukan harga dari obligasi ini jika tingkat imbal hasil nominal (yield rate) dari obligasi ini adalah $7{,}5\%$ dikonversikan semesteran. (Bulatkan jawaban ke puluhan terdekat.)

a. $1{.}000$

b. $1{.}050$

c. $1{.}100$

d. $1{.}150$

e. Tidak ada jawaban yang benar

≡Jawaban No. 12›

(c). $1{.}100$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ ; kupon $8{,}5\%$ /tahun semi → $Fr = 42{,}5$ /semester
Yield nominal $7{,}5\%$ dikv semi → $j = 3{,}75\%$ /semester; $n = 40$ semester

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV kupon

PV_{\text{kupon}} = 42{,}5 \times \frac{1-(1{,}0375)^{-40}}{0{,}0375} = 42{,}5 \times 20{,}5510 = 873{,}42

Langkah 2: PV redemption

PV_C = 1{.}000 \times (1{,}0375)^{-40} = 229{,}34

Langkah 3: Total harga

P = 873{,}42 + 229{,}34 = 1{.}102{,}75 \approx 1{.}100

Hasil Akhir: (c). $1{.}100$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $n=20$ tahun (bukan $40$ semester) → harga jauh berbeda.
Menggunakan yield tahunan $7{,}5\%$ langsung (bukan $3{,}75\%$ /semester).

▲Red Flags›

Kupon rate $>$ yield rate → obligasi dijual di atas par (premium). Cek: $8{,}5\% > 7{,}5\%$ ✓, jadi $P > 1{.}000$ ✓.

No. 13

Mula-mula diketahui dua buah obligasi dengan nilai penebusan dan tingkat kupon yang sama serta dihargai dengan tingkat imbal hasil (yield rate) yang sama. Obligasi pertama memiliki tenor $4$ tahun, sedangkan obligasi kedua memiliki tenor $10$ tahun. Tingkat imbal hasil (yield rate) pasar kemudian turun sebesar $1\%$ sedemikian sehingga harga obligasi pertama dan kedua berubah sebesar $D_1\%$ dan $D_2\%$ berturut-turut dari harga mula-mula. Tentukan hubungan antara $D_1$ dan $D_2$ .

Catatan: $|x|$ adalah nilai mutlak dari $x$ .

a. $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang negatif dan $|D_1| > |D_2|$

b. $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang positif dan $|D_1| > |D_2|$

c. $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang positif dan $|D_1| < |D_2|$

d. $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang saling berbeda dan $|D_1| > |D_2|$

e. $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang saling berbeda dan $|D_1| < |D_2|$

≡Jawaban No. 13›

(c). $D_1$ dan $D_2$ memiliki tanda yang positif dan $|D_1| < |D_2|$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Tingkat Bunga
Sub-topik	3.3 Duration, Macaulay and Modified
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.4 Convexity
Referensi	Vaaler Bab 7–8; Kellison Bab 7–8

ℹRumus›

\Delta P / P \approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y

Duration obligasi kupon: $D_{\text{mac}} < n$ ; makin panjang tenor → duration makin besar.

Diketahui: Dua obligasi kupon, tenor 4 dan 10 tahun, yield turun $1\%$ .

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan tanda $D_1$ dan $D_2$

Yield turun → harga naik → $D_1 > 0$ dan $D_2 > 0$ (keduanya positif).

Langkah 2: Bandingkan besaran

Obligasi dengan tenor lebih panjang (10 tahun) memiliki Modified Duration lebih besar, sehingga lebih sensitif terhadap perubahan yield:

|D_2| > |D_1|

Langkah 3: Kesimpulan

Keduanya positif dan $|D_1| < |D_2|$ → jawaban (c).

Hasil Akhir: (c). $D_1$ dan $D_2$ positif, $|D_1| < |D_2|$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira yield turun → harga turun → tanda negatif → pilihan (a). SALAH: yield dan harga berlawanan arah.

▲Red Flags›

“Yield turun” → harga naik → $D\%$ positif. Tenor lebih panjang → sensitivitas lebih besar.

No. 14

Pak Rudy berinvestasi pada suatu bisnis milik Pak Rio sebesar $1{.}000$ pada setiap awal tahun selama $3$ tahun. Pak Rio berjanji akan memberikan dividen sebesar $2{.}000$ pada setiap akhir tahun selama $5$ tahun dimulai sejak bisnisnya mulai menghasilkan laba. Menurut analisa Pak Rio, bisnisnya diprediksi akan mulai menghasilkan laba paling cepat pada tahun ke- $4$ dan paling lambat pada tahun ke- $6$ . Tentukan nilai maksimal IRR (internal rate of return) yang dapat diperoleh Pak Rudy sebagai investor.

a. $19\%$

b. $23\%$

c. $28\%$

d. $36\%$

e. $40\%$

≡Jawaban No. 14›

(c). $28\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Kellison Bab 2; Vaaler Bab 1–2

ℹRumus›

IRR: $i$ yang membuat $\sum CF_t \cdot v^t = 0$

IRR maks → CF positif datang paling awal → laba mulai tahun ke-4.

Diketahui:

Invest: $-1{.}000$ di $t = 0, 1, 2$
Dividen: $+2{.}000$ /tahun, 5 tahun, mulai paling cepat tahun ke-4 ( $t=4,5,6,7,8$ )

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun cash flow untuk IRR maks (t-start=4)

$t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
CF	$-1{.}000$	$-1{.}000$	$-1{.}000$	$0$	$+2{.}000$	$+2{.}000$	$+2{.}000$	$+2{.}000$	$+2{.}000$

Langkah 2: Selesaikan persamaan IRR

-1{.}000 - 1{.}000v - 1{.}000v^2 + 2{.}000(v^4+v^5+v^6+v^7+v^8) = 0

Dengan solver numerik: $i \approx 28{,}26\% \approx 28\%$

Hasil Akhir: (c). $28\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira IRR maks ketika dividen paling lambat (tahun ke-6) → SALAH; IRR maks = CF positif datang paling CEPAT.

▲Red Flags›

“Nilai maksimal IRR” + rentang waktu → coba t-start paling awal yang diizinkan.

No. 15

Bu Mira berencana untuk berinvestasi pada saham perusahaan Health Plus pada setiap awal semester sepanjang tahun 2021. Bu Mira akan membeli sebanyak mungkin lembar saham yang dapat dibeli dengan uang sebesar $1{.}000$ pada setiap awal semester. Asumsikan saham dapat dibeli dalam jumlah pecahan. Diketahui juga harga saham yang terealisasi sepanjang tahun 2021:

Tanggal	Harga saham per lembar
1-Jan-21	$100$
1-Jul-21	$108$

Diketahui time-weighted rate of return dari investasi Bu Mira adalah $4\%$ . Tentukan dollar-weighted rate of return dari investasi Bu Mira. (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $-4\%$

b. $0\%$

c. $4\%$

d. $8\%$

e. $10\%$

≡Jawaban No. 15›

(b). $0\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 2; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

TWRR:

(1+r_{\text{TW}}) = (1+r_1)(1+r_2)

DWRR:

nilai $i$ yang memenuhi $-CF_0 - CF_{0{,}5}(1+i)^{-0{,}5} + V_1(1+i)^{-1} = 0$

Diketahui:

Beli $1{.}000/100 = 10$ lembar di Jan; beli $1{.}000/108 \approx 9{,}259$ lembar di Jul
$r_1 = (108-100)/100 = 8\%$ (sub-period Jan–Jun)
$TWRR = 4\% \Rightarrow (1{,}08)(1+r_2) = 1{,}04$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari harga akhir tahun dari TWRR

r_2 = \frac{1{,}04}{1{,}08} - 1 = -3{,}70\%

P_{\text{akhir}} = 108 \times (1 - 3{,}70\%) = 104{,}00

Langkah 2: Hitung nilai akhir portofolio

Total saham $= 10 + 9{,}259 = 19{,}259$ lembar

V_1 = 19{,}259 \times 104{,}00 = 2{.}002{,}96

Langkah 3: Hitung DWRR

-1{.}000 - 1{.}000(1+i)^{-0{,}5} + 2{.}002{,}96(1+i)^{-1} = 0

Dengan solver: $i \approx 0{,}20\% \approx 0\%$

Hasil Akhir: (b). $0\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira DWRR = TWRR = $4\%$ → DWRR berbeda dari TWRR saat ada CF tambahan di tengah periode.
Harga Juli lebih tinggi ( $108$ ) → investasi kedua membeli lebih sedikit lembar, sehingga DWRR lebih rendah dari TWRR.

▲Red Flags›

TWRR diberikan → gunakan untuk mencari harga akhir, lalu hitung DWRR secara terpisah.

No. 16

Suatu hutang sebesar $5{.}000$ yang dikenakan tingkat bunga efektif tahunan $10\%$ akan dicicil selama $12$ tahun. Hutang tersebut dicicil dengan pembayaran sebesar $P$ di setiap akhir tahun selama $5$ tahun pertama dan dengan pembayaran $2P$ di setiap akhir tahun selama $7$ tahun berikutnya. Tentukan jumlah dari porsi pokok dari pembayaran cicilan ke- $5$ dan ke- $6$ . (Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.)

a. $24$

b. $508$

c. $534$

d. $1{.}017$

e. $1{.}068$

≡Jawaban No. 16›

(c). $534$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Amortisasi retrospektif:

OB_t = OB_{t-1}(1+i) - \text{PMT}_t

Pokok $_t =$ PMT $_t - i \cdot OB_{t-1}$

Diketahui:

$L = 5{.}000$ , $i = 10\%$ ; PMT tahun 1–5 $= P$ , PMT tahun 6–12 $= 2P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $P$

5{.}000 = P \cdot a_{\overline{5}|10\%} + 2P \cdot v^5 \cdot a_{\overline{7}|10\%}

= P(3{,}7908 + 2 \times 0{,}6209 \times 4{,}8684) = P \times 9{,}8354

P = 508{,}31

Langkah 2: Amortisasi retrospektif sampai t=5 dan t=6

Mulai dari $OB_0 = 5{.}000$ , hitung $OB_t = OB_{t-1}(1{,}10) - P$ untuk $t=1..5$ :

$t$	$OB_{t-1}$	Bunga	PMT	Pokok	$OB_t$
4	…	…	$508{,}31$	…	…
5	$4{.}961{,}45$	$496{,}15$	$508{,}31$	$\mathbf{12{,}16}$	$4{.}949{,}29$
6	$4{.}949{,}29$	$494{,}93$	$1{.}016{,}62$	$\mathbf{521{,}68}$	$4{.}427{,}61$

Langkah 3: Total pokok

\text{Pokok}_5 + \text{Pokok}_6 = 12{,}16 + 521{,}68 = 533{,}84 \approx 534

Catatan: pokok ke-5 kecil (hanya $12{,}16$ ) karena $P$ hampir sama dengan bunga; hutang nyaris tidak berkurang di fase pertama.

Hasil Akhir: (c). $534$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan OB prospektif untuk mencari bunga cicilan ke-5 → gunakan retrospektif agar konsisten dengan jadwal amortisasi aktual.
Pokok ke-5 kecil (negatif dalam versi prospektif) karena hutang naik → tanda menjebak.

▲Red Flags›

Stepped-payment loan → wajib gunakan amortisasi retrospektif, bukan prospektif.

No. 17

Suatu produk investasi memiliki tingkat bunga yang setara dengan tingkat force of interest $12\%$ . Tentukan hasil investasi dari $1{.}000$ selama $10$ tahun dari produk investasi tersebut.

a. $3{.}106$

b. $3{.}300$

c. $3{.}320$

d. $3{.}340$

e. $3{.}591$

≡Jawaban No. 17›

(c). $3{.}320$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

AV = PV \cdot e^{\delta t}

Diketahui: $PV = 1{.}000$ , $\delta = 12\% = 0{,}12$ , $t = 10$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan formula

AV = 1{.}000 \times e^{0{,}12 \times 10} = 1{.}000 \times e^{1{,}2} = 1{.}000 \times 3{,}3201 = 3{.}320{,}12 \approx 3{.}320

Hasil Akhir: (c). $3{.}320$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $(1{,}12)^{10}$ (bunga efektif) alih-alih $e^{0{,}12 \times 10}$ → hasilnya $3{.}106$ (pilihan a), salah.

▲Red Flags›

“Force of interest $\delta$ ” → SELALU gunakan $e^{\delta t}$ , bukan $(1+\delta)^t$ .

No. 18

Sebuah perpetuitas dengan pembayaran $500$ di setiap akhir tahun untuk $6$ tahun pertama dan pembayaran $150$ di setiap akhir kwartal untuk seterusnya. Jika tingkat bunga efektif tahunan adalah $6\%$ , tentukan nilai kini dari anuitas ini. (Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.)

a. $8{.}333$

b. $9{.}665$

c. $10{.}222$

d. $11{.}443$

e. $12{.}878$

≡Jawaban No. 18›

(b). $9{.}665$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.4 Continuous Annuities
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 3

ℹRumus›

Rate kuartalan:

j_q = (1{,}06)^{1/4} - 1

PV perpetuitas kuartalan:

$\dfrac{150}{j_q}$ (dihitung di t=6, lalu diskonto ke t=0)

Diketahui:

Fase 1: $500$ /akhir tahun, 6 tahun. Fase 2: $150$ /akhir kuartal, selamanya.
$i = 6\%$ efektif tahunan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Rate kuartalan efektif

j_q = (1{,}06)^{1/4} - 1 = 1{,}46736\%\text{/kuartal}

Langkah 2: PV perpetuitas kuartalan di t=6

PV_{\text{perp}}^{t=6} = \frac{150}{j_q} = \frac{150}{0{,}014674} = 10{.}222{,}27

Langkah 3: Diskonto ke t=0

PV_{\text{perp}}^{t=0} = 10{.}222{,}27 \times (1{,}06)^{-6} = 10{.}222{,}27 \times 0{,}70496 = 7{.}206{,}30

Langkah 4: PV anuitas fase 1

PV_{\text{ann}} = 500 \times a_{\overline{6}|6\%} = 500 \times 4{,}9173 = 2{.}458{,}66

Langkah 5: Total PV

PV = 2{.}458{,}66 + 7{.}206{,}30 = 9{.}664{,}96 \approx 9{.}665

Hasil Akhir: (b). $9{.}665$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate tahunan $6\%$ untuk perpetuitas kuartalan: $150 \times 4 / 0{,}06 = 10{.}000$ → salah karena tidak menggunakan rate per kuartal.
Lupa mendiskon PV perpetuitas dari t=6 ke t=0.

▲Red Flags›

Perpetuitas frekuensi berbeda dari rate yang diberikan → konversi rate ke frekuensi yang sesuai.

No. 19

Bank DEF memiliki dua produk deposito.

Deposito A memberikan bunga majemuk tahunan sebesar $10\%$ .
Deposito B memberikan bunga sederhana efektif tahunan sebesar $10\%$ .

Tentukan pernyataan yang benar jika uang senilai $10{.}000$ akan dimasukkan ke dalam deposito selama $6$ bulan.

a. Hasil deposito A sama dengan deposito B

b. Hasil deposito A lebih besar dari deposito B sebesar $6$

c. Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $6$

d. Hasil deposito A lebih besar dari deposito B sebesar $12$

e. Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $12$

≡Jawaban No. 19›

(e). Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $12$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Bunga majemuk 6 bulan:

FV_A = PV \cdot (1+i)^{0{,}5}

Bunga sederhana 6 bulan:

FV_B = PV \cdot (1 + i \cdot 0{,}5)

Diketahui:

$PV = 10{.}000$ , $i = 10\%$ , $t = 0{,}5$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV Deposito A (majemuk)

FV_A = 10{.}000 \times (1{,}10)^{0{,}5} = 10{.}000 \times 1{,}04881 = 10{.}488{,}09

Langkah 2: Hitung FV Deposito B (sederhana)

FV_B = 10{.}000 \times (1 + 0{,}10 \times 0{,}5) = 10{.}000 \times 1{,}05 = 10{.}500{,}00

Langkah 3: Selisih

FV_B - FV_A = 10{.}500 - 10{.}488{,}09 = 11{,}91 \approx 12

Deposito B lebih besar $\approx 12$ .

Hasil Akhir: (e). Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $12$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira bunga majemuk selalu lebih besar dari sederhana → untuk $t < 1$ : bunga sederhana lebih besar.

▲Red Flags›

Deposito jangka $< 1$ tahun + perbandingan majemuk vs sederhana → sederhana menghasilkan lebih besar.

No. 20

Bu Dina berhutang sebesar $10{.}000$ kepada Bank Sejahtera untuk keperluan KPR dengan tenor $20$ tahun. Hutang akan dicicil dengan pembayaran tetap di setiap akhir tahun dengan bunga efektif tahunan $9\%$ . Setelah tahun pembayaran ke- $8$ , Bank Sejahtera memberikan tingkat bunga promo sebesar $6{,}5\%$ dalam rangka ulang tahun bank ke- $65$ . Bu Dina diizinkan untuk melunasi sisa hutangnya dengan tingkat bunga promo tersebut tanpa pinalti dengan syarat Bu Dina harus mengambil hutang baru sebesar $500$ yang akan dikenakan tingkat bunga promo yang sama dan dilunasi selama sisa tenor KPR. Besar pembayaran pada $12$ tahun terakhir memiliki besar yang tetap. Bu Dina memutuskan untuk mengambil tingkat bunga promo ini. Tentukan selisih antara besar cicilan yang baru dengan yang lama. (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $45$

b. $73$

c. $100$

d. $127$

e. $155$

≡Jawaban No. 20›

(b). $73$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

OB setelah $k$ cicilan:

OB_k = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}

Cicilan baru:

R_{\text{baru}} = (OB_k + \text{Hutang Baru}) / a_{\overline{n-k}|i_{\text{baru}}}

Diketahui:

$L = 10{.}000$ , $i_1 = 9\%$ , 20 tahun. Setelah 8 cicilan, $i_2 = 6{,}5\%$ , tambah $500$ , 12 tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung cicilan lama

R_{\text{lama}} = \frac{10{.}000 \times 9\%}{1-(1{,}09)^{-20}} = 1{.}095{,}46

Langkah 2: Hitung OB setelah 8 cicilan

OB_8 = 1{.}095{,}46 \times a_{\overline{12}|9\%} = 1{.}095{,}46 \times 7{,}1607 = 7{.}844{,}32

Langkah 3: Hitung cicilan baru

Total hutang baru $= 7{.}844{,}32 + 500 = 8{.}344{,}32$ , dilunasi 12 tahun pada $6{,}5\%$ :

R_{\text{baru}} = \frac{8{.}344{,}32}{a_{\overline{12}|6{,}5\%}} = \frac{8{.}344{,}32}{8{,}1587} = 1{.}022{,}75

Langkah 4: Selisih

|R_{\text{baru}} - R_{\text{lama}}| = |1{.}022{,}75 - 1{.}095{,}46| = 72{,}71 \approx 73

Cicilan baru lebih kecil dari cicilan lama sebesar $73$ .

Hasil Akhir: (b). $73$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa menambahkan hutang baru $500$ ke $OB_8$ → menghasilkan cicilan yang lebih kecil dari jawaban benar.
Mengira selisih cicilan = penurunan murni → tambahan hutang $500$ mengurangi penurunan cicilan.

▲Red Flags›

“Syarat mengambil hutang baru $X$ ” → total hutang baru $= OB_k + X$ , bukan $OB_k$ saja.

No. 21

Dari persamaan-persamaan berikut, yang manakah yang benar?

(1) $a_{\overline{n+1}|} = (1 + a_{\overline{n}|})v$

(2) $\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = \ddot{s}_{\overline{n}|} + (1+i)^n$

(3) $\delta = \lim_{m \to \infty} d^{(m)}$

a. 1 dan 2

b. 1 dan 3

c. 2 dan 3

d. 1, 2, dan 3

e. Hanya satu dari tiga persamaan di atas yang benar

≡Jawaban No. 21›

(b). 1 dan 3

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.4 Continuous Annuities
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 1, 3

ℹRumus›

Rekursi $a_{\overline{n}|} = (1-v^n)/i$ ; $\ddot{s}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|}$

Limit:

$d^{(m)} = m(1-(1+i)^{-1/m}) \to \ln(1+i) = \delta$ saat $m \to \infty$

▸Langkah Pengerjaan›

Persamaan (1): $a_{\overline{n+1}|} = (1+a_{\overline{n}|})v$

(1 + a_{\overline{n}|})v = v + a_{\overline{n}|} \cdot v = v + \frac{(1-v^n)}{i} \cdot v = v + \frac{v-v^{n+1}}{i}

= \frac{vi + v - v^{n+1}}{i} = \frac{v(i+1) - v^{n+1}}{i} = \frac{1 - v^{n+1}}{i} = a_{\overline{n+1}|} \checkmark

Persamaan (2): $\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = \ddot{s}_{\overline{n}|} + (1+i)^n$

\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = (1+i) \cdot s_{\overline{n+1}|} = (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^{n+1}-1}{i}

\ddot{s}_{\overline{n}|} + (1+i)^n = (1+i)\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i} + (1+i)^n

Numerik dengan $i=5\%$ , $n=5$ : LHS $= 7{,}1420$ , RHS $= 7{,}0782$ → TIDAK sama. Persamaan (2) SALAH ✗

Persamaan (3): $\delta = \lim_{m\to\infty} d^{(m)}$

$d^{(m)} = m(1-(1+i)^{-1/m})$ . Dengan L’Hôpital: $\lim_{m\to\infty} d^{(m)} = \ln(1+i) = \delta$ BENAR ✓

Hanya (1) dan (3) benar.

Hasil Akhir: (b). 1 dan 3

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira (2) benar karena “kelihatan logis” → verifikasi numeris selalu lebih aman untuk persamaan rekursi.
Formula yang benar untuk rekursi $\ddot{s}$ : $\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = (1+i)(1+\ddot{s}_{\overline{n}|})$ .

▲Red Flags›

Soal identitas anuitas → verifikasi secara algebrais atau numeris, jangan bergantung intuisi.

No. 22

Sebuah obligasi $20$ tahun dengan nilai par $1{.}000$ dan tingkat kupon $10\%$ yang dibayarkan semesteran dijual pada harga $1{.}020$ . Kupon dapat diinvestasikan kembali dengan tingkat bunga nominal $8\%$ dikonversikan semesteran. Asumsikan pembeli obligasi tetap memiliki obligasi tersebut hingga jatuh tempo, tentukan tingkat imbal hasil (yield rate) efektif tahunan secara keseluruhan yang didapat oleh pembeli obligasi. (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $4{,}4\%$

b. $6{,}1\%$

c. $7{,}5\%$

d. $9{,}0\%$

e. $10{,}6\%$

≡Jawaban No. 22›

(d). $9{,}0\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

$FV_{\text{kupon}} = Fr \cdot s_{\overline{n}|j_r}$ ; $(1+y)^T = FV_{\text{total}} / P$

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ ; kupon $10\%$ /tahun semi → $50$ /semester; $n = 40$ semester
$P = 1{.}020$ ; reinvest rate $4\%$ /semester ( $8\%$ nominal dikv semi)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: FV kupon di jatuh tempo

FV_{\text{kupon}} = 50 \times s_{\overline{40}|4\%} = 50 \times \frac{(1{,}04)^{40}-1}{0{,}04} = 50 \times 95{,}0255 = 4{.}751{,}28

Langkah 2: FV total

FV_{\text{total}} = 4{.}751{,}28 + 1{.}000 = 5{.}751{,}28

Langkah 3: Overall yield efektif tahunan

(1+y)^{20} = \frac{5{.}751{,}28}{1{.}020} = 5{,}6385

y = 5{,}6385^{1/20} - 1 = 9{,}03\% \approx 9{,}0\%

Hasil Akhir: (d). $9{,}0\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengabaikan reinvestment rate dan menggunakan yield-to-maturity standar → $\approx 9{,}77\%$ (berbeda).

▲Red Flags›

“Kupon diinvestasikan kembali pada rate berbeda” → ini bukan soal YTM standar; hitung FV kupon pada reinvest rate, lalu tentukan overall return.

No. 23

Diberikan harga semula dari sebuah obligasi $8$ tahun dengan par $1{.}000$ dan tingkat kupon $6{,}0\%$ yang dibayarkan semesteran adalah $1{.}150$ . Jika tingkat imbal hasil dari obligasi tersebut turun $1\%$ dari semula, berapakah dampak terhadap harga obligasi tersebut?

a. Harga berubah (naik atau turun) tidak lebih dari $5\%$

b. Harga naik lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

c. Harga turun lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

d. Harga naik lebih dari $10\%$

e. Harga turun lebih dari $10\%$

≡Jawaban No. 23›

(b). Harga naik lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.3 Duration, Macaulay and Modified
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

Harga obligasi: $P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n$

Yield turun → harga naik.

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ , kupon $6\%$ /tahun semi → $30$ /semester, $n = 16$ semester
$P_0 = 1{.}150$ ; yield turun $1\%$ efektif tahunan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari yield awal

1{.}150 = 30 \cdot a_{\overline{16}|y_0} + 1{.}000 \cdot v^{16}

y_0^{\text{semi}} = 1{,}9037\%\text{/semester} \implies y_0^{\text{tahunan}} = (1{,}019037)^2 - 1 = 3{,}84\%

Langkah 2: Yield baru setelah turun $1\%$ tahunan

y_1^{\text{tahunan}} = 3{,}84\% - 1\% = 2{,}84\%

y_1^{\text{semi}} = \sqrt{1{,}0284} - 1 = 1{,}411\%\text{/semester}

Langkah 3: Harga baru

P_1 = 30 \cdot a_{\overline{16}|1{,}411\%} + 1{.}000 \times (1{,}01411)^{-16} = 1{.}226{,}03

Langkah 4: Persentase perubahan

\Delta P\% = \frac{1{.}226{,}03 - 1{.}150}{1{.}150} \times 100\% = +6{,}61\%

Harga naik $6{,}61\%$ → lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$ .

Hasil Akhir: (b). Harga naik lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira yield turun → harga turun → SALAH; yield dan harga berlawanan.

▲Red Flags›

“Yield turun” + obligasi premium → harga naik lebih jauh ke atas par.

No. 24

Bank Fleksi menawarkan dua produk KPR yang memiliki skema bunga yang berbeda.

(i) Skema A: Bunga pada $5$ tahun pertama adalah $5\%$ , setelahnya menjadi $10\%$ .

(ii) Skema B: Bunga pada $2$ tahun pertama adalah $5\%$ , setelahnya menjadi $8\%$ .

Jika besar cicilan tetap (tidak berubah sepanjang tenor) untuk semua skema, tentukan nilai dari besar pemasukan bunga pada skema A dikurangi dengan besar pemasukan bunga pada skema B pada hutang KPR sebesar $1{.}000$ dengan tenor $12$ tahun.

a. Lebih dari $25$

b. Lebih dari $10$ , tapi kurang dari $25$

c. Kurang dari $10$ , tapi lebih dari $-10$

d. Kurang dari $-10$ , tapi lebih dari $-25$

e. Kurang dari $-25$

≡Jawaban No. 24›

(e). Kurang dari $-25$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Varying Interest Rates
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Cicilan tetap $R$ : $1{.}000 = R[a_{\overline{t_1}|i_1} + v_{i_1}^{t_1} \cdot a_{\overline{t_2}|i_2}]$

Total bunga $= R \times 12 - 1{.}000$

Diketahui:

Hutang $= 1{.}000$ , tenor $= 12$ tahun
Skema A: $5\%$ (5 tahun) → $10\%$ (7 tahun)
Skema B: $5\%$ (2 tahun) → $8\%$ (10 tahun)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cicilan $R_A$

1{.}000 = R_A[a_{\overline{5}|5\%} + v_{5\%}^5 \cdot a_{\overline{7}|10\%}]

= R_A[4{,}3295 + 0{,}7835 \times 4{,}8684] = R_A \times 8{,{}}1441

R_A = 122{,}79; \quad \text{Bunga}_A = 122{,}79 \times 12 - 1{.}000 = 473{,}48

Langkah 2: Cicilan $R_B$

1{.}000 = R_B[a_{\overline{2}|5\%} + v_{5\%}^2 \cdot a_{\overline{10}|8\%}]

= R_B[1{,}8594 + 0{,}9070 \times 6{,}7101] = R_B \times 7{,}9470

R_B = 125{,}83; \quad \text{Bunga}_B = 125{,}83 \times 12 - 1{.}000 = 509{,}96

Langkah 3: Selisih

\text{Bunga}_A - \text{Bunga}_B = 473{,}48 - 509{,}96 = -36{,}48 < -25

Hasil Akhir: (e). Kurang dari $-25$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira Skema A (rate akhir lebih tinggi $10\%$ vs $8\%$ ) selalu menghasilkan bunga lebih besar → benar, tapi karena cicilan tetap, selisih keduanya bisa lebih dari $25$ .

▲Red Flags›

Dua fase rate dengan cicilan tetap → hitung total bunga = $R \times n - L$ untuk masing-masing, lalu bandingkan.

No. 25

Timothy dan Temon masing-masing memiliki hutang sebesar $5{.}000$ dengan tingkat bunga nominal $8\%$ yang dikonversikan semesteran. Timothy berencana melunasi hutangnya beserta bunganya secara sekaligus pada akhir tahun ke- $5$ . Temon berencana melunasi hutangnya dengan cicilan tetap pada setiap akhir semester selama $5$ tahun. Tentukan total bunga yang dibayarkan keduanya.

a. $3{.}505$

b. $3{.}566$

c. $3{.}608$

d. $3{.}686$

e. $3{.}737$

≡Jawaban No. 25›

(b). $3{.}566$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.3 Sinking Fund Method
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Timothy (bullet/lump-sum): Bunga $= FV - L = L \cdot (1+j_s)^{10} - L$

Temon (amortisasi): Bunga $= R \times 10 - L$

Diketahui:

$L = 5{.}000$ ; nominal $8\%$ dikv semi → $j_s = 4\%$ /semester
Timothy: bayar sekaligus akhir tahun ke-5 ( $= 10$ semester)
Temon: cicilan tetap akhir semester, 10 semester, $j_s = 4\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bunga Timothy

FV_T = 5{.}000 \times (1{,}04)^{10} = 5{.}000 \times 1{,}48024 = 7{.}401{,}22

\text{Bunga}_T = 7{.}401{,}22 - 5{.}000 = 2{.}401{,}22

Langkah 2: Bunga Temon

R_{Te} = \frac{5{.}000 \times 4\%}{1-(1{,}04)^{-10}} = \frac{200}{0{,}32444} = 616{,}45

\text{Bunga}_{Te} = 616{,}45 \times 10 - 5{.}000 = 1{.}164{,}55

Langkah 3: Total bunga keduanya

\text{Total} = 2{.}401{,}22 + 1{.}164{,}55 = 3{.}565{,}77 \approx 3{.}566

Hasil Akhir: (b). $3{.}566$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate tahunan $8\%$ untuk akumulasi Timothy: $5{.}000 \times (1{,}08)^5 = 7{.}347$ → salah, harus $(1{,}04)^{10}$ .

▲Red Flags›

“Nominal $8\%$ dikv semesteran” → rate per semester $= 4\%$ ; untuk 5 tahun = 10 semester.

No. 26

Investasi A memberikan bunga efektif $4{,}25\%$ per tahun. Investasi B memberikan tingkat bunga sederhana $7\%$ per tahun. Pada waktu $t$ berapakah force of interest dari kedua investasi tersebut sama? (Pilihlah jawaban terdekat.)

a. $7$ tahun $6$ bulan

b. $8$ tahun $3$ bulan

c. $9$ tahun

d. $9$ tahun $9$ bulan

e. $10$ tahun $6$ bulan

≡Jawaban No. 26›

(d). $9$ tahun $9$ bulan

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

$\delta_A = \ln(1+i)$ (konstan); $\delta_B(t) = \dfrac{r}{1+rt}$ (menurun)

Diketahui: $i_A = 4{,}25\%$ , $r_B = 7\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Force of interest masing-masing

\delta_A = \ln(1{,}0425) = 0{,}041622 \text{ (konstan)}

\delta_B(t) = \frac{0{,}07}{1 + 0{,}07t} \text{ (menurun terhadap } t)

Langkah 2: Samakan dan selesaikan

0{,}041622 = \frac{0{,}07}{1 + 0{,}07t}

1 + 0{,}07t = \frac{0{,}07}{0{,}041622} = 1{,}68195

t = \frac{0{,}68195}{0{,}07} = 9{,}742 \text{ tahun}

$9{,}742$ tahun $= 9$ tahun $+ 0{,}742 \times 12 \approx 9$ tahun $9$ bulan.

Hasil Akhir: (d). $9$ tahun $9$ bulan

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\delta_B = r_B = 7\%$ (konstan) → force of interest bunga sederhana TIDAK konstan.
Mengira $\delta_A$ berubah terhadap $t$ → $\delta_A$ dari bunga efektif konstan TETAP = $\ln(1+i)$ .

▲Red Flags›

“Force of interest dari bunga sederhana” → $\delta(t) = r/(1+rt)$ , bukan $r$ .

No. 27

Diketahui tingkat bunga nominal adalah $7{,}5\%$ dan tingkat inflasi adalah $3\%$ . Tentukan tingkat bunga riil yang ekivalen.

a. $4{,}4\%$

b. $4{,}5\%$

c. $4{,}7\%$

d. $4{,}9\%$

e. $5{,}0\%$

≡Jawaban No. 27›

(a). $4{,}4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Persamaan Fisher:

1 + i_r = \dfrac{1 + i_n}{1 + q}

Diketahui: $i_n = 7{,}5\%$ , $q = 3\%$

▸Langkah Pengerjaan›

1 + i_r = \frac{1{,}075}{1{,}03} = 1{,}04369

i_r = 4{,}369\% \approx 4{,}4\%

Hasil Akhir: (a). $4{,}4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Aproksimasi linear: $i_r \approx 7{,}5\% - 3\% = 4{,}5\%$ → pilihan (b), salah karena tidak menggunakan Fisher exact.

▲Red Flags›

“Tingkat bunga riil” → SELALU gunakan Fisher: $(1+i_r) = (1+i_n)/(1+q)$ .

No. 28

Sepasang suami istri berencana mempersiapkan dana pendidikan anaknya yang berumur $5$ tahun. Mereka akan menginvestasikan $5{.}000$ pada setiap ulang tahun anaknya mulai dari ulang tahun ke- $6$ sampai dengan ulang tahun ke- $17$ . Jika mereka menargetkan untuk dapat menarik $70{.}000$ pada ulang tahun ke- $18$ , $19$ , $20$ , dan $21$ untuk membiayai kuliah, tentukan tingkat imbal hasil investasi $i$ yang diperlukan.

a. $10\% < i \leq 12{,}5\%$

b. $12{,}5\% < i \leq 15\%$

c. $15\% < i \leq 17{,}5\%$

d. $17{,}5\% < i \leq 20\%$

e. $i \geq 20\%$

≡Jawaban No. 28›

(d). $17{,}5\% < i \leq 20\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

AV investasi di $t=18$ : $\displaystyle AV_{18} = \sum_{k=6}^{17} 5{.}000 \cdot (1+i)^{18-k}$

PV penarikan di $t=18$ : $70{.}000 \cdot (1 + v + v^2 + v^3)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Persamaan keseimbangan di t=18

\sum_{k=6}^{17} 5{.}000(1+i)^{18-k} = 70{.}000(1 + v + v^2 + v^3)

Langkah 2: Cek pada $i = 17{,}5\%$ dan $i = 20\%$

$i$	$AV_{18}$	PV penarikan	Selisih
$17{,}5\%$	$198{.}929$	$223{.}427$	$-24{.}498$
$20{,}0\%$	$237{.}483$	$217{.}454$	$+20{.}029$

Crossing terjadi di antara $17{,}5\%$ dan $20\%$ → $i \in (17{,}5\%, 20\%]$

Hasil Akhir: (d). $17{,}5\% < i \leq 20\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menghitung jumlah investasi: dari ulang tahun ke-6 sampai ke-17 = $12$ investasi (bukan 11 atau 13).

▲Red Flags›

Soal mencari range $i$ → cek nilai AV dan PV pada batas atas/bawah tiap opsi untuk melihat crossing.

No. 29

Tini menginvestasikan $200$ pada setiap awal tahun selama $30$ tahun dengan suatu tingkat bunga efektif $i$ . Nilai yang terakumulasi pada akhir tahun ke- $30$ adalah $X$ , yang nilainya adalah $5$ kali lipat dari nilai yang terakumulasi pada akhir tahun ke- $15$ . Tentukan $X$ . (Bulatkan jawaban ke ratusan terdekat.)

a. $12{.}900$

b. $18{.}600$

c. $22{.}400$

d. $28{.}500$

e. $34{.}000$

≡Jawaban No. 29›

(e). $34{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

FV annuity-due:

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{i}

Diketahui:

$200 \cdot \ddot{s}_{\overline{30}|i} = X = 5 \times 200 \cdot \ddot{s}_{\overline{15}|i}$
Maka $\ddot{s}_{\overline{30}|} = 5 \cdot \ddot{s}_{\overline{15}|}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $i$ dari kondisi $\ddot{s}_{\overline{30}} = 5 \cdot \ddot{s}_{\overline{15}}$

(1+i)\frac{(1+i)^{30}-1}{i} = 5(1+i)\frac{(1+i)^{15}-1}{i}

(1+i)^{30}-1 = 5[(1+i)^{15}-1]

Misal $u = (1+i)^{15}$ : $u^2 - 1 = 5(u-1) \implies (u-1)(u+1) = 5(u-1)$

u + 1 = 5 \implies u = 4 \implies (1+i)^{15} = 4

i = 4^{1/15} - 1 = 9{,}682\%

Langkah 2: Hitung $X$

\ddot{s}_{\overline{30}|i} = (1{,}09682) \times \frac{(1{,}09682)^{30}-1}{0{,}09682} = (1{,}09682) \times \frac{16-1}{0{,}09682}

= (1{,}09682) \times 154{,}96 = 169{,}921

X = 200 \times 169{,}921 = 33{.}984 \approx 34{.}000

Hasil Akhir: (e). $34{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak menggunakan substitusi $u = (1+i)^{15}$ → persamaan menjadi sulit diselesaikan tanpa solver.

▲Red Flags›

” $X = k \times Y$ dengan $X$ dan $Y$ keduanya annuity-due” → faktorkan $(1+i)$ dan selesaikan untuk $(1+i)^n$ .

No. 30

Suatu hutang dikenakan tingkat bunga efektif tahunan $10\%$ . Hutang akan dicicil selama $20$ tahun dengan pembayaran di setiap akhir tahun. Skema pembayaran yang dibuat adalah:

(i) Cicilan tahunan untuk porsi pokok pada $5$ pembayaran pertama adalah $100$ ;

(ii) Setiap cicilan berikutnya memuat bagian pokok yang bertambah $100$ dari porsi pokok $5$ tahun sebelumnya (misalnya cicilan pokok tahun ke- $7$ adalah $200$ , yaitu $100$ ditambah cicilan pokok tahun ke- $2$ sebesar $100$ ); dan

(iii) Bunga dihitung berdasarkan sisa hutang yang belum terbayar.

Tentukan porsi bunga pada pembayaran cicilan ke- $17$ sampai dengan ke- $20$ .

a. $120$

b. $240$

c. $360$

d. $400$

e. $600$

≡Jawaban No. 30›

(d). $400$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Pokok per kelompok: tahun 1–5 $= 100$ , tahun 6–10 $= 200$ , tahun 11–15 $= 300$ , tahun 16–20 $= 400$

Bunga cicilan ke- $t = i \times OB_{t-1}$

Diketahui: $i = 10\%$ , total hutang $= 5 \times (100+200+300+400) = 5{.}000$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: OB setelah cicilan ke-16

OB_{16} = 5{.}000 - (5 \times 100 + 5 \times 200 + 5 \times 300 + 1 \times 400) = 5{.}000 - 1{.}900 = 1{.}600

Langkah 2: Bunga cicilan ke-17 sampai ke-20 (masing-masing pokok $= 400$ )

$t$	$OB_{t-1}$	Bunga $= 10\%$	Pokok	$OB_t$
17	$1{.}600$	$160$	$400$	$1{.}200$
18	$1{.}200$	$120$	$400$	$800$
19	$800$	$80$	$400$	$400$
20	$400$	$40$	$400$	$0$

Langkah 3: Total bunga

160 + 120 + 80 + 40 = 400

Hasil Akhir: (d). $400$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira pokok tahun 16–20 adalah $300$ (bukan $400$ ) → karena “bertambah 100 dari 5 tahun sebelumnya” = $300+100 = 400$ .
Salah menghitung $OB_{16}$ : harus diperhitungkan 1 saja dari kelompok 400 (hanya tahun ke-16).

▲Red Flags›

Soal cicilan pokok bertahap per kelompok 5 tahun → susun tabel pokok per kelompok dulu, lalu hitung $OB$ dari awal.