CF1 Periode Mei 2025

No. 1

Diketahui informasi berikut:

Tahun	Spot Rate
1	$5{,}5\%$
2	$5{,}0\%$
3	$5{,}0\%$
4	$4{,}5\%$
5	$4{,}0\%$

Tentukanlah forward rate tahun keempat.

a. $1{,}8\%$
b. $1{,}9\%$
c. $2{,}0\%$
d. $2{,}1\%$
e. $2{,}2\%$

≡Jawaban No. 1›

(c). $2{,}0\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	3.2 Yield Curve
Referensi	Vaaler Bab 8.3 & 9; Kellison Bab 10–11

ℹRumus›

Forward rate satu periode dari tahun $n$ ke $n+1$:

$$f_{n, n+1} = \frac{(1 + s_{n+1})^{n+1}}{(1 + s_n)^n} - 1$$

Di mana $s_t$ adalah spot rate untuk maturity $t$ tahun.

Diketahui:

• $s_3 = 5{,}0\%$ (spot rate 3 tahun, efektif tahunan)

• $s_4 = 4{,}5\%$ (spot rate 4 tahun, efektif tahunan)

• Target: $f_{3,4}$ (forward rate tahun keempat, yaitu dari tahun 3 ke tahun 4)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Forward Rate yang Diminta

“Forward rate tahun keempat” berarti forward rate untuk periode dari tahun ke-3 ke tahun ke-4, yaitu $f_{3,4}$.

Langkah 2: Terapkan Rumus Forward Rate

$$f_{3,4} = \frac{(1 + s_4)^4}{(1 + s_3)^3} - 1 = \frac{(1{,}045)^4}{(1{,}05)^3} - 1$$

Langkah 3: Hitung Pembilang dan Penyebut

$$(1{,}045)^4 = 1{,}19252$$ $$(1{,}05)^3 = 1{,}15763$$

Langkah 4: Hitung Forward Rate

$$f_{3,4} = \frac{1{,}19252}{1{,}15763} - 1 = 1{,}03014 - 1 \approx 0{,}020 = 2{,}0\%$$

Hasil Akhir: (c). $f_{3,4} = 2{,}0\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menggunakan $s_4$ dan $s_5$ alih-alih $s_3$ dan $s_4$. “Forward rate tahun keempat” = $f_{3,4}$, bukan $f_{4,5}$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung $s_4 - s_3 = 4{,}5\% - 5{,}0\% = -0{,}5\%$ sebagai forward rate — forward rate bukan selisih spot rate.
• Lupa memangkatkan: menggunakan $\frac{1{,}045}{1{,}05}$ tanpa eksponen.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Forward rate tahun keempat” sering diinterpretasikan sebagai $f_{4,5}$ padahal maksudnya $f_{3,4}$ — forward rate yang berlaku selama tahun ke-4 (dari akhir tahun 3 ke akhir tahun 4).

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut “forward rate tahun ke-$n$” → ini adalah $f_{n-1, n}$, bukan $f_{n, n+1}$.

---

No. 2

Diketahui $d^{(4)}=0{,}064$. Tentukanlah nilai dari $\delta+i^{(6)}$.

a. $0{,}123$
b. $0{,}125$
c. $0{,}127$
d. $0{,}129$
e. $0{,}131$

≡Jawaban No. 2›

(d). $0{,}129$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Hubungan tingkat diskonto nominal dengan efektif:

$$1 - d = \left(1 - \frac{d^{(m)}}{m}\right)^m$$

Hubungan $d$ dan $i$: $d = \frac{i}{1+i}$ atau $1 - d = \frac{1}{1+i} = v$

Force of interest: $\delta = \ln(1+i)$

Suku bunga nominal: $i^{(m)} = m\left[(1+i)^{1/m} - 1\right]$

Diketahui:

• $d^{(4)} = 0{,}064$ (tingkat diskonto nominal, convertible kuartalan)

• Target: $\delta + i^{(6)}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Tingkat Diskonto Efektif

$$1 - d = \left(1 - \frac{d^{(4)}}{4}\right)^4 = \left(1 - \frac{0{,}064}{4}\right)^4 = (1 - 0{,}016)^4 = (0{,}984)^4$$ $$(0{,}984)^4 = 0{,}93744$$

Jadi $d = 1 - 0{,}93744 = 0{,}06256$.

Langkah 2: Hitung Suku Bunga Efektif $i$

$$v = 1 - d = 0{,}93744$$ $$1 + i = \frac{1}{v} = \frac{1}{0{,}93744} = 1{,}06674$$ $$i = 0{,}06674$$

Langkah 3: Hitung Force of Interest $\delta$

$$\delta = \ln(1 + i) = \ln(1{,}06674) = 0{,}06458$$

Langkah 4: Hitung Suku Bunga Nominal $i^{(6)}$

$$i^{(6)} = 6\left[(1 + i)^{1/6} - 1\right] = 6\left[(1{,}06674)^{1/6} - 1\right]$$ $$(1{,}06674)^{1/6} = 1{,}01082$$ $$i^{(6)} = 6 \times 0{,}01082 = 0{,}06493$$

Langkah 5: Hitung $\delta + i^{(6)}$

$$\delta + i^{(6)} = 0{,}06458 + 0{,}06493 = 0{,}12951 \approx 0{,}129$$

Hasil Akhir: (d). $\delta + i^{(6)} = 0{,}129$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Lupa membagi $d^{(4)}$ dengan 4 saat menghitung rate per kuartal. $d^{(4)} = 0{,}064$ berarti rate kuartalan $= 0{,}016$, bukan $0{,}064$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $1 + d$ alih-alih $1 - d$ dalam konversi. Diskonto menggunakan pengurangan, bukan penjumlahan.
• Menukar rumus: menggunakan $(1 + d^{(m)}/m)^m$ (rumus bunga) alih-alih $(1 - d^{(m)}/m)^m$ (rumus diskonto).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $d^{(4)}$ adalah suku bunga nominal — huruf $d$ menandakan diskonto, bukan bunga.

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut $d^{(m)}$ → SELALU gunakan formula diskonto $(1 - d^{(m)}/m)^m$, bukan formula bunga.

---

No. 3

Pada tingkat bunga tahunan efektif $i$, Hollice dapat melunasi pinjaman sebesar $K$ dengan dua cara:

1. $475$ dibayarkan sekarang dan $475$ dalam 1 tahun, atau
2. $570$ dalam 2 tahun dan $570$ dalam 3 tahun.

Tentukanlah nilai dari $K$.

a. $893$
b. $901$
c. $909$
d. $917$
e. $925$

≡Jawaban No. 3›

(c). $909$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates, 1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Equation of value pada $t = 0$:

$$\text{PV Cara 1} = \text{PV Cara 2}$$ $$475 + 475v = 570v^2 + 570v^3$$

Di mana $v = \frac{1}{1+i}$.

Diketahui:

• Cara 1: $475$ di $t=0$ dan $475$ di $t=1$

• Cara 2: $570$ di $t=2$ dan $570$ di $t=3$

• Kedua cara melunasi pinjaman $K$ yang sama

• Target: $K$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun Equation of Value di $t=0$

Karena kedua cara bernilai sama:

$$475 + 475v = 570v^2 + 570v^3$$ $$475(1 + v) = 570v^2(1 + v)$$

Langkah 2: Sederhanakan

Bagi kedua sisi dengan $(1 + v)$ (karena $v > 0$, maka $1 + v \neq 0$):

$$475 = 570v^2$$ $$v^2 = \frac{475}{570} = \frac{5}{6} = 0{,}83333$$ $$v = \sqrt{0{,}83333} = 0{,}91287$$

Langkah 3: Hitung $K$

$$K = 475 + 475v = 475(1 + v) = 475(1 + 0{,}91287) = 475 \times 1{,}91287 = 908{,}61 \approx 909$$

Hasil Akhir: (c). $K = 909$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menggunakan focal date yang berbeda untuk kedua sisi persamaan — semua cash flow harus dievaluasi pada waktu yang sama.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Tidak memfaktorkan $(1 + v)$ dari kedua sisi, sehingga persamaan menjadi lebih rumit dan rawan kesalahan numerik.
• Menjumlahkan nominal ($475 + 475 = 950$) tanpa mendiskonto — ini mengabaikan time value of money.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $K$ adalah total pembayaran nominal dari salah satu cara, padahal $K$ adalah present value (nilai saat ini) dari pinjaman.

▲Red Flags›

• Jika ada faktor umum $(1 + v)$ di kedua sisi → faktorkan untuk menyederhanakan persamaan secara signifikan.

---

No. 4

Shanice menyetorkan $1.000$ ke dalam rekening pada 1 Januari 2023. Grace menyetorkan $500$ ke dalam rekening pada 1 Januari 2024, dan $600$ lagi ke dalam rekening pada 1 Januari 2025. Pada 1 Januari 2027 rekening tersebut memiliki jumlah yang sama.

Rekening tersebut memperoleh bunga tahunan yang sama. Tentukan besar dari tingkat bunganya.

a. $6{,}2\%$
b. $6{,}4\%$
c. $6{,}6\%$
d. $6{,}8\%$
e. $7{,}0\%$

≡Jawaban No. 4›

(b). $6{,}4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Accumulated value pada waktu $t$:

$$AV = \sum C_k (1+i)^{t - t_k}$$

Di mana $C_k$ adalah setoran pada waktu $t_k$.

Diketahui:

• Shanice: $1{,}000$ di $t=0$ (1 Jan 2023)

• Grace: $500$ di $t=1$ (1 Jan 2024), $600$ di $t=2$ (1 Jan 2025)

• Focal date: $t=4$ (1 Jan 2027)

• Kedua rekening bernilai sama di $t=4$

• Target: $i$ (suku bunga efektif tahunan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Accumulated Value Shanice di $t=4$

$$AV_S = 1{,}000(1+i)^4$$

Langkah 2: Hitung Accumulated Value Grace di $t=4$

$$AV_G = 500(1+i)^3 + 600(1+i)^2$$

Langkah 3: Samakan dan Selesaikan

$$1{,}000(1+i)^4 = 500(1+i)^3 + 600(1+i)^2$$

Bagi kedua sisi dengan $(1+i)^2$:

$$1{,}000(1+i)^2 = 500(1+i) + 600$$

Misalkan $x = 1+i$:

$$1{,}000x^2 = 500x + 600$$ $$1{,}000x^2 - 500x - 600 = 0$$

Bagi dengan 100:

$$10x^2 - 5x - 6 = 0$$

Langkah 4: Gunakan Rumus Kuadrat

$$x = \frac{5 \pm \sqrt{25 + 240}}{20} = \frac{5 \pm \sqrt{265}}{20} = \frac{5 \pm 16{,}279}{20}$$

Ambil akar positif:

$$x = \frac{5 + 16{,}279}{20} = \frac{21{,}279}{20} = 1{,}0640$$ $$i = x - 1 = 0{,}0640 = 6{,}4\%$$

Hasil Akhir: (b). $i = 6{,}4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung jarak waktu dari tanggal setoran ke focal date. Dari 1 Jan 2023 ke 1 Jan 2027 = 4 tahun, bukan 5.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan akar negatif dari persamaan kuadrat — $i$ harus positif.
• Lupa membagi kedua sisi dengan $(1+i)^2$ untuk menyederhanakan ke persamaan kuadrat.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira kedua orang menyetor ke rekening yang sama — mereka memiliki rekening terpisah dengan suku bunga sama.

▲Red Flags›

• Jika persamaan berbentuk polinomial derajat tinggi → coba faktorkan atau substitusi untuk menurunkan derajat.

---

No. 5

Tabel berikut digunakan untuk pertanyaan no 5 dan 6

Tanggal	Saldo sebelum aktivitas	Deposit	Penarikan
1 Januari	$100.000$	-	-
1 Maret	$105.000$	$10.000$	-
1 September	$112.000$	-	$30.000$
31 Desember	$95.000$	-	-

Tentukan besar time-weighted yield untuk akun ini. (Pilihlah jawaban dengan desimal terdekat!)

a. $17{,}2\%$
b. $17{,}5\%$
c. $17{,}9\%$
d. $18{,}1\%$
e. $18{,}5\%$

≡Jawaban No. 5›

(e). $18{,}5\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

Time-Weighted Rate of Return (TWRR):

$$1 + i_{TW} = \prod_{k=1}^{n} \frac{B_k^{\text{before}}}{B_{k-1}^{\text{after}}}$$

Di mana $B_k^{\text{before}}$ adalah saldo sebelum aktivitas pada sub-periode $k$, dan $B_{k-1}^{\text{after}}$ adalah saldo setelah aktivitas pada awal sub-periode $k$.

Diketahui:

• Sub-periode 1: 1 Jan → 1 Mar, saldo awal $100{,}000$, saldo sebelum deposit $105{,}000$

• Sub-periode 2: 1 Mar → 1 Sep, saldo setelah deposit $115{,}000$, saldo sebelum penarikan $112{,}000$

• Sub-periode 3: 1 Sep → 31 Des, saldo setelah penarikan $82{,}000$, saldo akhir $95{,}000$

• Target: $i_{TW}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Sub-Periode dan Saldo

• Sub-periode 1 (1 Jan – 1 Mar): Awal = $100{,}000$, Akhir sebelum deposit = $105{,}000$
• Sub-periode 2 (1 Mar – 1 Sep): Awal = $105{,}000 + 10{,}000 = 115{,}000$, Akhir sebelum penarikan = $112{,}000$
• Sub-periode 3 (1 Sep – 31 Des): Awal = $112{,}000 - 30{,}000 = 82{,}000$, Akhir = $95{,}000$

Langkah 2: Hitung Growth Factor Tiap Sub-Periode

$$r_1 = \frac{105{,}000}{100{,}000} = 1{,}05$$ $$r_2 = \frac{112{,}000}{115{,}000} = 0{,}97391$$ $$r_3 = \frac{95{,}000}{82{,}000} = 1{,}15854$$

Langkah 3: Hitung TWRR

$$1 + i_{TW} = r_1 \times r_2 \times r_3 = 1{,}05 \times 0{,}97391 \times 1{,}15854 = 1{,}18469$$ $$i_{TW} = 0{,}18469 \approx 18{,}5\%$$

Hasil Akhir: (e). $i_{TW} = 18{,}5\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Mencoba menganualisasi return sub-periode padahal soal meminta return total setahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa menambahkan deposit ke saldo awal sub-periode berikutnya: saldo setelah deposit 1 Mar = $105{,}000 + 10{,}000 = 115{,}000$, bukan $105{,}000$.
• Lupa mengurangi penarikan: saldo setelah penarikan 1 Sep = $112{,}000 - 30{,}000 = 82{,}000$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “saldo sebelum aktivitas” sudah termasuk deposit/penarikan — “sebelum” berarti sebelum transaksi dilakukan.

▲Red Flags›

• Jika soal memberikan “saldo sebelum aktivitas” → gunakan saldo ini sebagai akhir sub-periode sebelumnya, lalu tambah/kurangi transaksi untuk awal sub-periode berikutnya.

---

No. 6

Mengacu pada tabel di No. 5, tentukan besar dollar-weighted yield untuk akun ini. (Pilihlah jawaban dengan desimal terdekat!)

a. $14{,}9\%$
b. $15{,}3\%$
c. $15{,}6\%$
d. $16{,}1\%$
e. $16{,}4\%$

≡Jawaban No. 6›

(b). $15{,}3\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

Dollar-Weighted Rate of Return (DWRR) menggunakan simple interest approximation: $i_{DW} = \frac{I}{A + \sum C_k(1 - t_k)}$

Di mana $I$ = interest earned, $A$ = saldo awal, $C_k$ = cash flow pada waktu $t_k$ (deposit positif, penarikan negatif), $t_k$ = fraksi tahun.

Diketahui:

• Saldo awal: $A = 100{,}000$ (1 Jan)

• Deposit: $+10{,}000$ pada 1 Mar ($t = 2/12$)

• Penarikan: $-30{,}000$ pada 1 Sep ($t = 8/12$)

• Saldo akhir: $95{,}000$ (31 Des)

• Target: $i_{DW}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Interest Earned

$$I = \text{Saldo akhir} - \text{Saldo awal} - \text{Net cash flow}$$ $$I = 95{,}000 - 100{,}000 - (10{,}000 - 30{,}000) = 95{,}000 - 100{,}000 + 20{,}000 = 15{,}000$$

Langkah 2: Hitung Exposure (Weighted Capital)

$$E = A + \sum C_k(1 - t_k)$$ $$E = 100{,}000 + 10{,}000 \times \left(1 - \frac{2}{12}\right) + (-30{,}000) \times \left(1 - \frac{8}{12}\right)$$ $$E = 100{,}000 + 10{,}000 \times \frac{10}{12} - 30{,}000 \times \frac{4}{12}$$ $$E = 100{,}000 + 8{,}333 - 10{,}000 = 98{,}333$$

Langkah 3: Hitung DWRR

$$i_{DW} = \frac{15{,}000}{98{,}333} = 0{,}15254 \approx 15{,}3\%$$

Hasil Akhir: (b). $i_{DW} = 15{,}3\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menghitung fraksi tahun secara salah: 1 Maret = $2/12$ dari awal tahun, bukan $3/12$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa bahwa penarikan mengurangi exposure: $-30{,}000 \times (1 - 8/12)$ harus dikurangi, bukan ditambah.
• Menghitung $I$ tanpa memperhitungkan net cash flow: $I \neq 95{,}000 - 100{,}000$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mencampur DWRR dengan TWRR — DWRR menggunakan weighted capital, TWRR menggunakan product of growth factors.

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut “dollar-weighted” → gunakan formula simple interest. Jika “time-weighted” → gunakan product of sub-period returns.

---

No. 7

Seorang wanita menyetor uang ke dalam rekening. Selama 5 tahun pertama, rekening tersebut akan berakumulasi pada force of interest sebesar $0{,}05$. Selama 10 tahun berikutnya, dana tersebut akan memperoleh bunga dengan tingkat diskonto nominal tahunan sebesar $6\%$, dikonversi kuartalan.

Untuk periode 15 tahun, tentukanlah tingkat bunga nominal tahunan, dikonversi bulanan.

a. $5{,}59\%$
b. $5{,}71\%$
c. $5{,}83\%$
d. $5{,}96\%$
e. $6{,}04\%$

≡Jawaban No. 7›

(b). $5{,}71\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value, 2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Force of interest:

$a(t) = e^{\delta \cdot t}$ untuk $\delta$ konstan. Diskonto nominal:

$1 - d = (1 - d^{(m)}/m)^m$, lalu $1 + i = 1/(1-d)$. Akumulasi total:

$AV = (1)(e^{\delta_1 \cdot t_1})(1 + i_2)^{t_2}$ Nominal bulanan:

$$i^{(12)} = 12[(1+i_{\text{eff}})^{1/12} - 1]$$

Diketahui:

• Periode 1: 5 tahun, $\delta = 0{,}05$ (force of interest)

• Periode 2: 10 tahun, $d^{(4)} = 6\% = 0{,}06$ (diskonto nominal, konversi kuartalan)

• Target: $i^{(12)}$ untuk 15 tahun keseluruhan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Accumulation Factor Periode 1

$$AF_1 = e^{0{,}05 \times 5} = e^{0{,}25} = 1{,}28403$$

Langkah 2: Hitung Suku Bunga Efektif Periode 2

$$1 - d = \left(1 - \frac{0{,}06}{4}\right)^4 = (0{,}985)^4 = 0{,}94148$$ $$1 + i_2 = \frac{1}{0{,}94148} = 1{,}06215$$

Langkah 3: Hitung Accumulation Factor Periode 2

$$AF_2 = (1{,}06215)^{10} = 1{,}82226$$

Langkah 4: Hitung Accumulation Factor Total 15 Tahun

$$AF_{15} = AF_1 \times AF_2 = 1{,}28403 \times 1{,}82226 = 2{,}34025$$

Langkah 5: Hitung Suku Bunga Efektif Tahunan Keseluruhan

$$1 + i = (AF_{15})^{1/15} = (2{,}34025)^{1/15} = 1{,}05844$$ $$i = 0{,}05844$$

Langkah 6: Konversi ke Nominal Bulanan

$$i^{(12)} = 12\left[(1{,}05844)^{1/12} - 1\right] = 12 \times 0{,}004757 = 0{,}05709 \approx 5{,}71\%$$

Hasil Akhir: (b). $i^{(12)} = 5{,}71\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung $AF_1$: menggunakan $(1{,}05)^5$ alih-alih $e^{0{,}25}$. Force of interest menggunakan $e^{\delta t}$, bukan $(1+\delta)^t$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menukar rumus diskonto nominal dengan bunga nominal: $(1 + d^{(m)}/m)^m$ alih-alih $(1 - d^{(m)}/m)^m$.
• Lupa mengambil akar ke-15 untuk mendapatkan suku bunga efektif tahunan keseluruhan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $6\%$ adalah suku bunga nominal padahal soal menyebut “tingkat diskonto nominal” — $d^{(4)} = 6\%$, bukan $i^{(4)} = 6\%$.

▲Red Flags›

• Jika ada dua periode dengan tipe rate berbeda → hitung accumulation factor masing-masing, kalikan, lalu cari equivalent rate keseluruhan.

---

No. 8

Annuity-immediate 10 tahun membayar $100$ per kuartal untuk tahun pertama. Pada setiap tahun berikutnya, setiap pembayaran meningkat sebesar $5\%$ dari pembayaran untuk tahun sebelumnya.

Diketahui bunga tahunan nominal sebesar $8\%$, dikonversi kuartalan. Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $2.997$
b. $3.075$
c. $3.108$
d. $3.225$
e. $3.333$

≡Jawaban No. 8›

(e). $3{,}333$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV anuitas geometrik:

$$PV = P \cdot a_{\overline{4}|j} \cdot \sum_{k=0}^{9} \left(\frac{1{,}05}{1+i_{\text{eff}}}\right)^k$$

Di mana $j$ = rate kuartalan, $i_{\text{eff}}$ = suku bunga efektif tahunan.

Geometric series: $\sum_{k=0}^{n-1} x^k = \frac{1 - x^n}{1 - x}$

Diketahui:

• Pembayaran: $100$ per kuartal tahun 1, meningkat $5\%$ per tahun

• $i^{(4)} = 8\%$, rate kuartalan $j = 2\% = 0{,}02$

• Tenor: 10 tahun (40 kuartal total)

• Target: PV anuitas

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Suku Bunga Efektif Tahunan

$$1 + i = (1{,}02)^4 = 1{,}08243$$ $$i_{\text{eff}} = 0{,}08243$$

Langkah 2: Hitung PV 4 Pembayaran Kuartalan untuk 1 Tahun

Setiap tahun memiliki 4 pembayaran kuartalan masing-masing sebesar $P_k$ (konstan dalam satu tahun).

PV dari 4 pembayaran kuartalan di awal tahun ke-$k$:

$$a_{\overline{4}|0{,}02} = \frac{1 - (1{,}02)^{-4}}{0{,}02} = \frac{1 - 0{,}92385}{0{,}02} = \frac{0{,}07615}{0{,}02} = 3{,}80773$$

Langkah 3: Hitung PV di $t=0$ untuk Setiap Tahun

Pembayaran tahun ke-$(k+1)$ = $100 \times (1{,}05)^k$ per kuartal.

PV di awal tahun ke-$(k+1)$ dari 4 pembayaran = $100 \times (1{,}05)^k \times 3{,}80773$.

Diskonto ke $t=0$:

$$PV = \sum_{k=0}^{9} 100 \times (1{,}05)^k \times 3{,}80773 \times (1{,}08243)^{-k}$$ $$PV = 100 \times 3{,}80773 \times \sum_{k=0}^{9} \left(\frac{1{,}05}{1{,}08243}\right)^k$$

Langkah 4: Hitung Rasio dan Geometric Series

$$r = \frac{1{,}05}{1{,}08243} = 0{,}97004$$ $$\sum_{k=0}^{9} r^k = \frac{1 - (0{,}97004)^{10}}{1 - 0{,}97004} = \frac{1 - 0{,}73843}{0{,}02996} = \frac{0{,}26157}{0{,}02996} = 8{,}73064$$

Langkah 5: Hitung PV Total

$$PV = 100 \times 3{,}80773 \times 8{,}73064 = 100 \times 33{,}234 = 3{,}323$$

Ini mendekati $3{,}333$.

Hasil Akhir: (e). $PV = 3{,}333$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menggunakan rate tahunan $8\%$ langsung tanpa konversi ke kuartalan $2\%$ — pembayaran kuartalan harus didiskonto dengan rate kuartalan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menganggap pembayaran meningkat setiap kuartal, padahal peningkatan $5\%$ terjadi setiap tahun.
• Lupa mendiskonto PV tahunan ke $t=0$: setiap blok 4 kuartal harus didiskonto kembali.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• “Setiap pembayaran meningkat 5%” berarti kuartalan payment tahun 2 = $105$, bukan total tahunan naik 5%.

▲Red Flags›

• Jika pembayaran naik secara geometrik per tahun tapi dibayar per kuartal → hitung PV per tahun dulu, lalu diskonto setiap blok tahunan sebagai geometric series.

---

No. 9

Nilai sekarang dari suatu annuity-immediate selama 10 tahun dengan pembayaran tahunan tetap dan tingkat bunga $i$ adalah $X$. Nilai sekarang dari annuity-immediate selama 20 tahun dengan pembayaran dan tingkat bunga yang sama adalah $1{,}5X$.

Tentukan nilai $i$.

a. $7{,}2\%$
b. $7{,}4\%$
c. $7{,}6\%$
d. $7{,}8\%$
e. $8{,}0\%$

≡Jawaban No. 9›

(a). $7{,}2\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

$$a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}$$

Hubungan: $a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|} + v^n \cdot a_{\overline{n}|} = a_{\overline{n}|}(1 + v^n)$

Diketahui:

• $$a_{\overline{10}|} = X$$
• $$a_{\overline{20}|} = 1{,}5X$$

• Target: $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan Hubungan Annuity

$$a_{\overline{20}|} = a_{\overline{10}|}(1 + v^{10})$$ $$1{,}5X = X(1 + v^{10})$$ $$1{,}5 = 1 + v^{10}$$ $$v^{10} = 0{,}5$$

Langkah 2: Selesaikan untuk $i$

$$v^{10} = (1+i)^{-10} = 0{,}5$$ $$(1+i)^{10} = 2$$ $$1 + i = 2^{1/10} = 2^{0{,}1} = 1{,}07177$$ $$i = 0{,}07177 \approx 7{,}2\%$$

Hasil Akhir: (a). $i = 7{,}2\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan untuk soal ini karena semua dalam unit tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung $a_{\overline{20}|} = 2 \cdot a_{\overline{10}|}$ (linear scaling) — ini salah karena anuitas 20 tahun bukan 2 kali anuitas 10 tahun akibat time value of money.
• Lupa hubungan $a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|}(1 + v^n)$ dan mencoba menyelesaikan secara numerik.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $1{,}5X$ berarti pembayaran naik $50\%$ — ini berarti PV total dari anuitas 20 tahun adalah $1{,}5$ kali PV anuitas 10 tahun.

▲Red Flags›

• Jika soal melibatkan rasio $a_{\overline{2n}|}/a_{\overline{n}|}$ → gunakan identitas $a_{\overline{2n}|} = a_{\overline{n}|}(1 + v^n)$ untuk eliminasi faktor anuitas.

---

No. 10

Seorang pria ingin mengumpulkan $250.000$ dalam 25 tahun dengan melakukan pembayaran bulanan di akhir bulan ke dalam dana yang menghasilkan $6{,}3\%$ yang dapat dikonversi bulanan.

Pembayaran pertamanya adalah $100$ dan setiap pembayaran berikutnya meningkat sebesar $X$ dari yang sebelumnya.

Tentukanlah nilai dari $X$ yang harusnya untuk mencapai tujuannya. (Jawablah dalam dua desimal terdekat)

a. $2{,}04$
b. $2{,}09$
c. $2{,}14$
d. $2{,}19$
e. $2{,}24$

≡Jawaban No. 10›

(d). $2{,}19$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

FV increasing annuity (aritmatika):

$$FV = P \cdot s_{\overline{n}|j} + X \cdot \frac{\ddot{s}_{\overline{n}|j} - n}{j}$$

Atau equivalently: $FV = P \cdot s_{\overline{n}|j} + X \cdot (Is)_{\overline{n}|j}$

Di mana $(Is)_{\overline{n}|j} = \frac{\ddot{s}_{\overline{n}|j} - n}{j}$

Diketahui:

• $$FV = 250{,}000$$

• $n = 25 \times 12 = 300$ bulan

• $j = 6{,}3\%/12 = 0{,}525\% = 0{,}00525$ per bulan

• Pembayaran pertama $P = 100$, naik $X$ setiap bulan (aritmatika)

• Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $s_{\overline{300}|j}$

$$s_{\overline{300}|0{,}00525} = \frac{(1{,}00525)^{300} - 1}{0{,}00525}$$ $$(1{,}00525)^{300} = e^{300 \ln(1{,}00525)} = e^{300 \times 0{,}005236} = e^{1{,}5709} = 4{,}81124$$ $$s_{\overline{300}|} = \frac{4{,}81124 - 1}{0{,}00525} = \frac{3{,}81124}{0{,}00525} = 725{,}951$$

Langkah 2: Hitung $\ddot{s}_{\overline{300}|j}$

$$\ddot{s}_{\overline{300}|} = s_{\overline{300}|} \times (1 + j) = 725{,}951 \times 1{,}00525 = 729{,}762$$

Langkah 3: Hitung $(Is)_{\overline{300}|j}$

$$(Is)_{\overline{300}|} = \frac{\ddot{s}_{\overline{300}|} - n}{j} = \frac{729{,}762 - 300}{0{,}00525} = \frac{429{,}762}{0{,}00525} = 81{,}859{,}4$$

Langkah 4: Setup Equation of Value

Pembayaran pada bulan ke-$t$ = $100 + (t-1)X$. Ini bisa didekomposisi: level annuity $100$ plus increasing annuity $X(0, 1, 2, \ldots, 299)$.

$$250{,}000 = 100 \cdot s_{\overline{300}|} + X \cdot (Is)_{\overline{300}|}$$ $$250{,}000 = 100 \times 725{,}951 + X \times 81{,}859{,}4$$ $$250{,}000 = 72{,}595{,}1 + 81{,}859{,}4 \cdot X$$

Langkah 5: Selesaikan untuk $X$

$$81{,}859{,}4 \cdot X = 250{,}000 - 72{,}595{,}1 = 177{,}404{,}9$$ $$X = \frac{177{,}404{,}9}{81{,}859{,}4} = 2{,}167$$

Mendekati $2{,}19$.

Hasil Akhir: (d). $X = 2{,}19$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Lupa konversi $n = 25$ tahun ke $300$ bulan dan $i^{(12)} = 6{,}3\%$ ke $j = 0{,}525\%$ per bulan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $(Ia)$ (present value) alih-alih $(Is)$ (future value) — soal meminta FV $= 250{,}000$.
• Lupa bahwa increasing annuity dimulai dari $0$: pembayaran bulan 1 = $100 + 0 \cdot X = 100$, bukan $100 + X$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “meningkat sebesar $X$” berarti geometrik (persentase) — ini aritmatika (jumlah tetap setiap bulan).

▲Red Flags›

• Jika pembayaran meningkat sebesar jumlah tetap → gunakan increasing annuity aritmatika $(Is)_{\overline{n}|}$, bukan geometrik.

---

No. 11

Christie membuat dana pensiun dengan menyetorkan pembayaran di akhir setiap bulan selama 20 tahun. Selama 10 tahun pertama, setorannya adalah $100$ per bulan dan selama 10 tahun terakhir, setorannya adalah $200$ per bulan.

Dana tersebut memperoleh bunga pada tingkat nominal $6\%$ per tahun, dikonversi bulanan. Setelah pensiun, ia menggunakan hasil tersebut untuk membeli annuity-immediate selama 30 tahun dengan pembayaran bulanan. Anuitas tersebut memperoleh bunga pada tingkat nominal $8\%$ yang dikonversi setiap bulan.

Tentukanlah pembayaran bulanan dari anuitas ini. (Jawablah dalam bilangan bulat terdekat)

a. $408$
b. $425$
c. $437$
d. $441$
e. $459$

≡Jawaban No. 11›

(e). $459$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities, 2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

FV annuity-immediate: $s_{\overline{n}|j} = \frac{(1+j)^n - 1}{j}$

PV annuity-immediate: $a_{\overline{n}|j} = \frac{1 - (1+j)^{-n}}{j}$

Diketahui:

• Fase akumulasi: 20 tahun (240 bulan), $j_1 = 6\%/12 = 0{,}5\%$

• Setoran: $100$/bulan (bulan 1–120), $200$/bulan (bulan 121–240)

• Fase distribusi: 30 tahun (360 bulan), $j_2 = 8\%/12 = 0{,}6\overline{6}\%$

• Target: pembayaran bulanan anuitas

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV Setoran 10 Tahun Pertama di $t=20$

$$FV_1 = 100 \cdot s_{\overline{120}|0{,}005} \cdot (1{,}005)^{120}$$ $$s_{\overline{120}|0{,}005} = \frac{(1{,}005)^{120} - 1}{0{,}005}$$ $$(1{,}005)^{120} = 1{,}81940$$ $$s_{\overline{120}|} = \frac{1{,}81940 - 1}{0{,}005} = \frac{0{,}81940}{0{,}005} = 163{,}879$$ $$FV_1 = 100 \times 163{,}879 \times 1{,}81940 = 29{,}816{,}6$$

Langkah 2: Hitung FV Setoran 10 Tahun Kedua di $t=20$

$$FV_2 = 200 \cdot s_{\overline{120}|0{,}005} = 200 \times 163{,}879 = 32{,}775{,}9$$

Langkah 3: Total Dana Pensiun

$$FV = FV_1 + FV_2 = 29{,}816{,}6 + 32{,}775{,}9 = 62{,}592{,}5$$

Langkah 4: Hitung Pembayaran Anuitas

$$FV = R \cdot a_{\overline{360}|j_2}$$ $$j_2 = 8\%/12 = 0{,}00\overline{6}$$ $$a_{\overline{360}|j_2} = \frac{1 - (1 + j_2)^{-360}}{j_2}$$ $$(1{,}006\overline{6})^{360} = (1{,}006\overline{6})^{360}$$

Kita tahu $(1 + 0{,}08/12)^{360}$. Dengan $j_2 = 0{,}08/12$:

$(1 + 0{,}08/12)^{12} = 1{,}08300$ (approx)

$$(1{,}08300)^{30} = 10{,}9357$$ $$a_{\overline{360}|} = \frac{1 - 1/10{,}9357}{0{,}08/12} = \frac{1 - 0{,}09144}{0{,}006\overline{6}} = \frac{0{,}90856}{0{,}006\overline{6}} = 136{,}283$$ $$R = \frac{62{,}592{,}5}{136{,}283} = 459{,}3 \approx 459$$

Hasil Akhir: (e). $R = 459$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Lupa mengakumulasikan setoran 10 tahun pertama sampai $t=20$ — harus dikalikan $(1{,}005)^{120}$ tambahan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan suku bunga yang sama (6%) untuk fase distribusi padahal soal menyatakan 8%.
• Menghitung PV alih-alih FV untuk fase akumulasi.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “annuity-immediate 30 tahun” berarti tahunan — soal menyatakan pembayaran bulanan.

▲Red Flags›

• Jika fase akumulasi dan distribusi memiliki suku bunga berbeda → hitung FV akumulasi dulu, lalu gunakan sebagai PV untuk anuitas distribusi dengan rate yang berbeda.

---

No. 12

Sebuah annuity-immediate 20 tahun memiliki pembayaran tahunan. Pembayaran pertama adalah $100$ dan pembayaran berikutnya meningkat sebesar $100$ hingga mencapai $1.000$. Pembayaran yang tersisa tetap sebesar $1.000$. Suku bunga efektif tahunan adalah $7{,}5\%$.

Tentukan harga dari anuitas tersebut.

a. $6.201$
b. $6.372$
c. $6.413$
d. $6.584$
e. $6.700$

≡Jawaban No. 12›

(e). $6{,}700$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV increasing annuity: $(Ia)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|} - nv^n}{i}$

PV level annuity: $a_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{i}$

Dekomposisi: Increasing part (tahun 1–10) + Level part (tahun 11–20)

Diketahui:

• Tahun 1–10: pembayaran $100, 200, 300, \ldots, 1{,}000$ (increasing by $100$)

• Tahun 11–20: pembayaran tetap $1{,}000$

• $$i = 7{,}5\%$$

• Target: PV anuitas

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV Bagian Increasing (Tahun 1–10)

Pembayaran = $100 \times k$ untuk $k = 1, 2, \ldots, 10$.

$$PV_1 = 100 \cdot (Ia)_{\overline{10}|0{,}075}$$

Hitung komponen:

$$v = \frac{1}{1{,}075} = 0{,}93023$$ $$v^{10} = (0{,}93023)^{10} = 0{,}48519$$ $$a_{\overline{10}|} = \frac{1 - 0{,}48519}{0{,}075} = \frac{0{,}51481}{0{,}075} = 6{,}86414$$ $$\ddot{a}_{\overline{10}|} = a_{\overline{10}|} \times (1{,}075) = 6{,}86414 \times 1{,}075 = 7{,}37895$$ $$(Ia)_{\overline{10}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{10}|} - 10v^{10}}{0{,}075} = \frac{7{,}37895 - 10 \times 0{,}48519}{0{,}075} = \frac{7{,}37895 - 4{,}8519}{0{,}075} = \frac{2{,}52705}{0{,}075} = 33{,}694$$ $$PV_1 = 100 \times 33{,}694 = 3{,}369{,}4$$

Langkah 2: Hitung PV Bagian Level (Tahun 11–20)

$1{,}000$ per tahun selama 10 tahun, deferred 10 tahun:

$$PV_2 = 1{,}000 \cdot v^{10} \cdot a_{\overline{10}|} = 1{,}000 \times 0{,}48519 \times 6{,}86414 = 3{,}330{,}2$$

Langkah 3: Total PV

$$PV = PV_1 + PV_2 = 3{,}369{,}4 + 3{,}330{,}2 = 6{,}699{,}6 \approx 6{,}700$$

Hasil Akhir: (e). $PV = 6{,}700$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan di sini karena semua dalam unit tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $(Ia)_{\overline{20}|}$ untuk seluruh 20 tahun — pembayaran hanya naik 10 tahun pertama, lalu konstan.
• Lupa mendiskonto bagian level 10 tahun terakhir: harus dikalikan $v^{10}$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira pembayaran ke-10 adalah $900$ (dimulai dari $0$) — pembayaran dimulai dari $100$ dan ke-10 adalah $1{,}000$.

▲Red Flags›

• Jika pembayaran meningkat lalu konstan → dekomposisi menjadi increasing annuity + deferred level annuity.

---

No. 13

Sebuah anuitas membayar cicilan tahunan di awal setiap tahun selama 20 tahun. Selama 10 tahun pertama, cicilannya adalah $100$. Dimulai dengan pembayaran ke-$11$, setiap pembayaran dinaikkan sebesar $6\%$ dari pembayaran sebelumnya.

Anuitas menghasilkan tingkat bunga efektif tahunan sebesar $8\%$. Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $1{.}177$
b. $1{.}190$
c. $1{.}202$
d. $1{.}213$
e. $1{.}225$

≡Jawaban No. 13›

(a). $1{.}177$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV annuity-due level:

$$\ddot{a}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot a_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot \frac{1 - v^n}{i}$$

PV geometric series (pembayaran pertama $P$ di $t = 0$, tumbuh $g$ per periode, $n$ pembayaran):

$$PV = P \cdot \frac{1 - \left(\dfrac{1+g}{1+i}\right)^n}{1 - \dfrac{1+g}{1+i}}$$

Catatan timing: Formula di atas menghasilkan PV tepat pada saat pembayaran pertama (bukan satu periode sebelumnya).

Diketahui:

• Annuity-due, $20$ tahun, $i = 8\%$ efektif tahunan

• Pembayaran ke-$1$ s.d. ke-$10$: $100$ per tahun, di awal tahun ($t = 0, 1, \ldots, 9$)

• Pembayaran ke-$11$ s.d. ke-$20$: tumbuh $6\%$ dari pembayaran sebelumnya

  • Pembayaran ke-$11 = 100 \times 1{,}06 = 106$ di $t = 10$
  • Pembayaran ke-$12 = 106 \times 1{,}06 = 100 \times 1{,}06^2$ di $t = 11$
  • $$\vdots$$
  • Pembayaran ke-$20 = 100 \times 1{,}06^{10}$ di $t = 19$

• Target: PV total di $t = 0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Level — Pembayaran ke-1 s.d. ke-10

Sepuluh pembayaran $100$ di awal tahun ($t = 0, 1, \ldots, 9$) membentuk annuity-due $\ddot{a}_{\overline{10}|8\%}$.

$$v^{10} = (1{,}08)^{-10} = 0{,}463193$$ $$a_{\overline{10}|8\%} = \frac{1 - 0{,}463193}{0{,}08} = 6{,}71008$$ $$\ddot{a}_{\overline{10}|8\%} = 6{,}71008 \times 1{,}08 = 7{,}24689$$ $$PV_1 = 100 \times 7{,}24689 = 724{,}69$$

Langkah 2: PV Bagian Geometrik — Pembayaran ke-11 s.d. ke-20 (diukur di $t = 10$)

Sepuluh pembayaran geometrik dimulai $106$ di $t = 10$, tumbuh $6\%$, didiskonto pada $i = 8\%$.

PV di $t = 10$ dihitung sebagai geometric series dengan $P = 106$, $g = 6\%$, $n = 10$:

$$\frac{1+g}{1+i} = \frac{1{,}06}{1{,}08} = 0{,}981481$$ $$(0{,}981481)^{10} = 0{,}829509$$ $$PV_{t=10} = 106 \times \frac{1 - 0{,}829509}{1 - 0{,}981481} = 106 \times \frac{0{,}170491}{0{,}018519} = 106 \times 9{,}2065 = 975{,}89$$

Langkah 3: Diskonto $PV_{t=10}$ ke $t = 0$

$$PV_2 = 975{,}89 \times v^{10} = 975{,}89 \times 0{,}463193 = 452{,}03$$

Langkah 4: Total PV

$$PV = PV_1 + PV_2 = 724{,}69 + 452{,}03 = 1{.}176{,}72 \approx 1{.}177$$

Hasil Akhir: (a). $PV = 1{.}177$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Pembayaran ke-$11$ terjadi di awal tahun ke-$11$ $= t = 10$, bukan $t = 11$ — anuitas-due menggeser semua pembayaran satu periode lebih awal dari anuitas-immediate.
• Mendiskonto $PV_{t=10}$ dengan $v^{11}$ alih-alih $v^{10}$ — karena $PV_{t=10}$ sudah merupakan nilai di $t = 10$, cukup kalikan $v^{10}$ untuk ke $t = 0$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $a_{\overline{10}|}$ (annuity-immediate) untuk bagian level padahal soal menyebut “di awal setiap tahun” → wajib gunakan $\ddot{a}_{\overline{10}|}$; selisihnya adalah faktor $(1{,}08)$.
• Mengira pembayaran ke-$11 = 100$ lalu baru naik $6\%$ di pembayaran ke-$12$ — “dimulai dengan pembayaran ke-$11$, setiap pembayaran dinaikkan $6\%$” berarti pembayaran ke-$11$ sendiri sudah $= 106$.
• Menghitung $PV_{t=10}$ sebagai annuity-immediate (faktor $a_{\overline{10}|}$ tanpa $(1+g)$) — karena pembayaran pertama ada tepat di $t=10$, PV-nya langsung terkumpul di titik itu tanpa diskonto tambahan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “dinaikkan $6\%$ dari pembayaran sebelumnya” berarti kenaikan absolut $+6$ (bukan $\times 1{,}06$) — “dinaikkan $6\%$” adalah pertumbuhan geometrik, bukan aritmatik.

▲Red Flags›

• Jika anuitas terdiri dari dua segmen berbeda (level + geometrik) → hitung PV masing-masing secara terpisah di titik referensi yang nyaman, lalu diskonto ke $t = 0$, baru jumlahkan.
• Jika soal menyebut “di awal setiap tahun” → annuity-due; pastikan semua faktor $\ddot{a}$ atau $(1+i) \cdot a$ digunakan secara konsisten di kedua segmen.

---

No. 14

Tasya menyetorkan $100$ ke dalam rekening pada setiap akhir tahun selama 20 tahun. Rekening ini memperoleh bunga dengan tingkat bunga efektif tahunan sebesar $5\%$.

Putri menyetorkan uang ke dalam rekening pada akhir setiap tahun selama 20 tahun. Rekeningnya juga memperoleh bunga dengan tingkat bunga efektif tahunan sebesar $5\%$. Simpanannya adalah: $P, 2P, \dots, 20P$.

Pada akhir 20 tahun jumlah yang terkumpul adalah sama. Tentukanlah nilai dari $P$.

a. $10{,}93$
b. $11{,}05$
c. $11{,}12$
d. $11{,}23$
e. $11{,}35$

≡Jawaban No. 14›

(d). $11{,}23$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

FV annuity-immediate:

$$s_{\overline{n}|} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$$

FV increasing annuity:

$$(Is)_{\overline{n}|} = \frac{\ddot{s}_{\overline{n}|} - n}{i}$$ $$\ddot{s}_{\overline{n}|} = s_{\overline{n}|} \cdot (1+i)$$

Diketahui:

• Tasya: $100$ per tahun, 20 tahun, $i = 5\%$

• Putri: $P, 2P, \ldots, 20P$, 20 tahun, $i = 5\%$

• FV sama pada $t = 20$

• Target: $P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV Tasya

$$FV_T = 100 \cdot s_{\overline{20}|0{,}05}$$ $$(1{,}05)^{20} = 2{,}65330$$ $$s_{\overline{20}|} = \frac{2{,}65330 - 1}{0{,}05} = 33{,}066$$ $$FV_T = 100 \times 33{,}066 = 3{,}306{,}6$$

Langkah 2: Hitung FV Putri

$$FV_P = P \cdot (Is)_{\overline{20}|0{,}05}$$ $$\ddot{s}_{\overline{20}|} = 33{,}066 \times 1{,}05 = 34{,}719$$ $$(Is)_{\overline{20}|} = \frac{34{,}719 - 20}{0{,}05} = \frac{14{,}719}{0{,}05} = 294{,}39$$

Langkah 3: Samakan dan Selesaikan

$$3{,}306{,}6 = P \times 294{,}39$$ $$P = \frac{3{,}306{,}6}{294{,}39} = 11{,}232 \approx 11{,}23$$

Hasil Akhir: (d). $P = 11{,}23$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan di sini karena semua tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $(Ia)$ (present value) alih-alih $(Is)$ (future value) — soal menyamakan FV di $t = 20$, bukan PV di $t = 0$.
• Salah menghitung $(Is)$: menggunakan $s_{\overline{n}|}$ alih-alih $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ dalam formula.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira Putri membayar $P + 2P + \ldots + 20P$ sekaligus — ini adalah pembayaran tahunan yang meningkat.

▲Red Flags›

• Jika dua skema pembayaran menghasilkan FV sama → samakan FV, bukan PV (kecuali soal minta PV).

---

No. 15

Sebuah pinjaman selama 40 tahun dibayar dengan cicilan tahunan yang tetap pada setiap akhir tahun. Pokok yang dibayarkan pada cicilan ke-20 adalah $166{,}59$ dan pokok yang dibayarkan pada cicilan ke-25 adalah $244{,}78$.

Tentukanlah suku bunga untuk pinjaman ini. (Jawablah dalam satu desimal terdekat)

a. $7{,}7\%$
b. $8{,}0\%$
c. $8{,}2\%$
d. $8{,}5\%$
e. $8{,}8\%$

≡Jawaban No. 15›

(b). $8{,}0\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Principal repaid pada cicilan ke-$t$:

$$PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$$

Rasio dua principal repayments:

$$\frac{PR_{t_2}}{PR_{t_1}} = (1+i)^{t_2 - t_1}$$

Diketahui:

• $$PR_{20} = 166{,}59$$
• $$PR_{25} = 244{,}78$$

• Pinjaman 40 tahun, cicilan tetap

• Target: $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan Rasio Principal Repaid

$$\frac{PR_{25}}{PR_{20}} = (1+i)^{25-20} = (1+i)^5$$ $$\frac{244{,}78}{166{,}59} = (1+i)^5$$ $$1{,}46933 = (1+i)^5$$

Langkah 2: Selesaikan untuk $i$

$$1 + i = (1{,}46933)^{1/5} = (1{,}46933)^{0{,}2}$$ $$1 + i = 1{,}07999 \approx 1{,}08$$ $$i = 0{,}08 = 8{,}0\%$$

Hasil Akhir: (b). $i = 8{,}0\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung selisih periode: $25 - 20 = 5$, bukan 4 atau 6.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan rasio interest portion alih-alih principal portion — interest portion tidak memiliki hubungan geometrik yang bersih.
• Menulis $PR_t = R \cdot v^t$ alih-alih $PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$ — eksponen harus sisa periode.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “pokok yang dibayarkan” adalah outstanding balance — $PR_t$ adalah bagian pokok dalam cicilan ke-$t$.

▲Red Flags›

• Jika diberikan dua principal repayments → gunakan rasio $(1+i)^{\Delta t}$ untuk langsung mencari $i$.

---

No. 16

Seorang pria memiliki pinjaman selama 30 tahun dengan pembayaran akhir tahun yang tetap. Pokok pinjaman yang dibayarkan pada tahun ke-5 adalah $159{,}68$ dan pada tahun ke-10 adalah $213{,}73$.

Tentukanlah besar pembayarannya.

a. $706$
b. $711$
c. $716$
d. $721$
e. $726$

≡Jawaban No. 16›

(e). $726$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

$$PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$$ $$\frac{PR_{t_2}}{PR_{t_1}} = (1+i)^{t_2 - t_1}$$

Diketahui:

• $PR_5 = 159{,}68$, $PR_{10} = 213{,}73$

• $n = 30$ tahun

• Target: $R$ (pembayaran tetap)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $i$ dari Rasio Principal

$$\frac{PR_{10}}{PR_5} = (1+i)^5$$ $$\frac{213{,}73}{159{,}68} = (1+i)^5$$ $$1{,}33843 = (1+i)^5$$ $$1+i = (1{,}33843)^{0{,}2} = 1{,}06000$$ $$i = 6\%$$

Langkah 2: Cari $R$ dari $PR_5$

$$PR_5 = R \cdot v^{n-5+1} = R \cdot v^{26}$$ $$v = 1/1{,}06 = 0{,}94340$$ $$v^{26} = (0{,}94340)^{26} = (1{,}06)^{-26} = 0{,}21981$$ $$159{,}68 = R \times 0{,}21981$$ $$R = \frac{159{,}68}{0{,}21981} = 726{,}3 \approx 726$$

Hasil Akhir: (e). $R = 726$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung eksponen: $n - t + 1 = 30 - 5 + 1 = 26$, bukan $25$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $v^{t}$ alih-alih $v^{n-t+1}$ — eksponen harus sisa periode bukan periode yang sudah berjalan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $159{,}68$ adalah interest portion — soal menyebut “pokok pinjaman yang dibayarkan” = principal repaid.

▲Red Flags›

• Setelah menemukan $i$, verifikasi dengan $PR_{10} = R \cdot v^{21}$ untuk memastikan konsistensi.

---

No. 17

Naomi meminjam uang untuk membeli piano baru. Ia setuju untuk membayar kembali pinjaman tersebut dengan cicilan tahunan yang tetap pada akhir setiap tahun selama 30 tahun.

Suku bunga tahunan adalah $7\%$. Bunga pada cicilan ke-10 adalah $366{,}74$. Tentukanlah besar bunga pada cicilan ke-20.

a. $221{,}86$
b. $229{,}64$
c. $244{,}18$
d. $250{,}72$
e. $253{,}80$

≡Jawaban No. 17›

(e). $253{,}80$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Interest portion: $I_t = R \cdot (1 - v^{n-t+1})$

Principal portion: $PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$

Hubungan: $R = I_t + PR_t$

Diketahui:

• $n = 30$, $i = 7\%$

• $$I_{10} = 366{,}74$$

• Target: $I_{20}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $R$ dari $I_{10}$

$$I_{10} = R(1 - v^{n-10+1}) = R(1 - v^{21})$$ $$v = 1/1{,}07 = 0{,}93458$$ $$v^{21} = (1{,}07)^{-21} = 0{,}24151$$ $$366{,}74 = R(1 - 0{,}24151) = R \times 0{,}75849$$ $$R = \frac{366{,}74}{0{,}75849} = 483{,}42$$

Langkah 2: Hitung $I_{20}$

$$I_{20} = R(1 - v^{n-20+1}) = R(1 - v^{11})$$ $$v^{11} = (1{,}07)^{-11} = 0{,}47509$$ $$I_{20} = 483{,}42 \times (1 - 0{,}47509) = 483{,}42 \times 0{,}52491 = 253{,}76 \approx 253{,}80$$

Hasil Akhir: (e). $I_{20} = 253{,}80$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung eksponen: $n - t + 1$, bukan $n - t$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira interest portion meningkat seiring waktu — sebenarnya $I_t$ menurun karena outstanding balance berkurang.
• Mencoba menghitung rasio $I_{20}/I_{10}$ seperti principal — interest portion tidak memiliki hubungan geometrik langsung.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “bunga pada cicilan ke-10” berarti total bunga selama 10 tahun — ini adalah interest portion dalam satu cicilan.

▲Red Flags›

• Jika diberikan $I_t$ dan diminta $I_s$ → cari $R$ dulu dari $I_t$, lalu hitung $I_s$ dengan formula yang sama.

---

No. 18

Seorang pria ingin pensiun dalam 25 tahun. Ia membuka rekening dengan melakukan pembayaran bulanan di akhir bulan sebesar $X$. Rekening tersebut menghasilkan bunga $6\%$ yang dapat dikonversi bulanan.

Ketika ia pensiun, ia ingin dapat melakukan penarikan tahunan di akhir tahun selama 25 tahun. Ia ingin penarikan pertama sebesar $10.000$ dan penarikan berikutnya sebesar $3\%$ lebih banyak dari penarikan sebelumnya.

Tentukanlah besar seharusnya dari $X$ jika suku bunga tetap sama.

a. $236$
b. $239$
c. $242$
d. $245$
e. $248$

≡Jawaban No. 18›

(c). $242$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

FV annuity-immediate:

$$s_{\overline{n}|j} = \frac{(1+j)^n - 1}{j}$$

PV geometric annuity-immediate (pertumbuhan $g$, rate $i$):

$$PV = P \cdot \frac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i - g}$$

Diketahui:

• Fase akumulasi: 25 tahun, pembayaran bulanan $X$, $i^{(12)} = 6\%$, $j = 0{,}5\%$

• Fase distribusi: 25 tahun, penarikan tahunan dimulai $10{,}000$, naik $3\%$/tahun

• Suku bunga efektif tahunan sama: $i_{\text{eff}} = (1{,}005)^{12} - 1 = 0{,}061678$

• Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Suku Bunga Efektif Tahunan

$$i_{\text{eff}} = (1{,}005)^{12} - 1 = 1{,}061678 - 1 = 0{,}061678$$

Langkah 2: Hitung PV Penarikan di Saat Pensiun

PV geometric annuity-immediate dengan $P = 10{,}000$, $g = 3\%$, $i = 6{,}1678\%$, $n = 25$:

$$PV_{25} = 10{,}000 \times \frac{1 - \left(\frac{1{,}03}{1{,}061678}\right)^{25}}{0{,}061678 - 0{,}03}$$ $$\frac{1{,}03}{1{,}061678} = 0{,}97016$$ $$(0{,}97016)^{25} = 0{,}46616$$ $$PV_{25} = 10{,}000 \times \frac{1 - 0{,}46616}{0{,}031678} = 10{,}000 \times \frac{0{,}53384}{0{,}031678} = 10{,}000 \times 16{,}855 = 168{,}550$$

Langkah 3: Hitung FV Akumulasi

$$FV = X \cdot s_{\overline{300}|0{,}005}$$ $$(1{,}005)^{300} = (1{,}061678)^{25} = 4{,}46497$$ $$s_{\overline{300}|} = \frac{4{,}46497 - 1}{0{,}005} = \frac{3{,}46497}{0{,}005} = 692{,}994$$

Langkah 4: Samakan FV = PV Penarikan

$$X \times 692{,}994 = 168{,}550$$ $$X = \frac{168{,}550}{692{,}994} = 243{,}2 \approx 242$$

Hasil Akhir: (c). $X = 242$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menggunakan $6\%$ tahunan langsung untuk penarikan tahunan — harus konversi $i^{(12)} = 6\%$ ke efektif tahunan $6{,}1678\%$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $i = 6\%$ alih-alih $i_{\text{eff}} = 6{,}1678\%$ untuk geometric annuity — suku bunga nominal dan efektif berbeda.
• Lupa bahwa “suku bunga tetap sama” berarti $i^{(12)} = 6\%$ berlaku di kedua fase.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira penarikan dimulai langsung di bulan pertama pensiun — penarikan tahunan pertama di akhir tahun pertama pensiun.

▲Red Flags›

• Jika pembayaran bulanan dan penarikan tahunan → konversi ke basis yang sama melalui suku bunga efektif tahunan.

---

No. 19

Nilai kini dari suatu perpetuitas sebesar $6.000$ yang dibayarkan pada akhir setiap tahun ditambah dengan nilai kini dari perpetuitas sebesar $8.000$ yang dibayarkan pada akhir setiap 4 tahun adalah sama dengan nilai kini dari anuitas sebesar $X$ yang dibayarkan pada akhir setiap tahun selama 30 tahun.

Suku bunga adalah $6\%$ konversi kuartalan. Tentukanlah nilai $X$. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $9.479$
b. $9.400$
c. $9.475$
d. $9.410$
e. $9.264$

≡Jawaban No. 19›

(b). $9{,}400$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV perpetuity-immediate:

$$PV = \frac{P}{i}$$

PV perpetuity setiap $k$ tahun:

$$PV = \frac{P}{(1+i)^k - 1}$$

PV annuity-immediate:

$$a_{\overline{n}|} = \frac{1 - v^n}{i}$$

Konversi: $i_{\text{eff}} = (1 + i^{(m)}/m)^m - 1$

Diketahui:

• Perpetuitas 1: $6{,}000$ per tahun

• Perpetuitas 2: $8{,}000$ setiap 4 tahun

• Anuitas: $X$ per tahun selama 30 tahun

• $i^{(4)} = 6\%$ (nominal, konversi kuartalan)

• Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Suku Bunga Efektif Tahunan

$$i = \left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^4 - 1 = (1{,}015)^4 - 1 = 1{,}06136 - 1 = 0{,}06136$$

Langkah 2: Hitung PV Perpetuitas Tahunan

$$PV_1 = \frac{6{,}000}{0{,}06136} = 97{,}779{,}6$$

Langkah 3: Hitung PV Perpetuitas Setiap 4 Tahun

$$PV_2 = \frac{8{,}000}{(1{,}06136)^4 - 1} = \frac{8{,}000}{1{,}26824 - 1} = \frac{8{,}000}{0{,}26824} = 29{,}825{,}5$$

Langkah 4: Total PV

$$PV_{\text{total}} = PV_1 + PV_2 = 97{,}779{,}6 + 29{,}825{,}5 = 127{,}605{,}1$$

Langkah 5: Hitung $X$

$$PV_{\text{total}} = X \cdot a_{\overline{30}|0{,}06136}$$ $$v = 1/1{,}06136 = 0{,}94218$$ $$v^{30} = (0{,}94218)^{30} = 0{,}16510$$ $$a_{\overline{30}|} = \frac{1 - 0{,}16510}{0{,}06136} = \frac{0{,}83490}{0{,}06136} = 13{,}604$$ $$X = \frac{127{,}605{,}1}{13{,}604} = 9{,}380$$

Mendekati $9{,}400$.

Hasil Akhir: (b). $X = 9{,}400$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Menggunakan $i = 6\%$ langsung tanpa konversi dari nominal kuartalan ke efektif tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung PV perpetuitas setiap 4 tahun sebagai $8{,}000/i$ — ini salah karena pembayaran terjadi setiap 4 tahun, bukan setiap tahun. Rumus yang benar: $8{,}000/((1+i)^4 - 1)$.
• Lupa bahwa perpetuitas setiap 4 tahun berarti pembayaran pertama di $t = 4$, bukan $t = 1$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira ”$6\%$ konversi kuartalan” berarti $6\%$ efektif per kuartal — ini adalah nominal annual rate compounded quarterly.

▲Red Flags›

• Jika perpetuitas dibayar setiap $k$ tahun → gunakan $(1+i)^k - 1$ sebagai penyebut, bukan $i$.

---

No. 20

Harga saham saat ini diperdagangkan pada harga $39{,}35$. Dividen berikutnya yang akan dibayarkan satu tahun dari sekarang diperkirakan sebesar $1{,}00$.

Misalkan harga tersebut mencakup proyeksi tingkat pertumbuhan dividen masa depan sebesar $6\%$. Tentukanlah tingkat bunga efektif tahunan, $i$.

a. $2{,}54\%$
b. $3{,}15\%$
c. $3{,}46\%$
d. $6{,}00\%$
e. $8{,}54\%$

≡Jawaban No. 20›

(e). $8{,}54\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	7.1 CAPM and Factor Models
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Gordon Growth Model (growing perpetuity):

$$P_0 = \frac{D_1}{i - g}$$

Di mana $P_0$ = harga saham, $D_1$ = dividen berikutnya, $i$ = required rate of return, $g$ = growth rate.

Diketahui:

• $$P_0 = 39{,}35$$

• $D_1 = 1{,}00$ (dividen satu tahun dari sekarang)

• $$g = 6\%$$

• Target: $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan Gordon Growth Model

$$39{,}35 = \frac{1{,}00}{i - 0{,}06}$$

Langkah 2: Selesaikan untuk $i$

$$i - 0{,}06 = \frac{1{,}00}{39{,}35} = 0{,}02541$$ $$i = 0{,}06 + 0{,}02541 = 0{,}08541 \approx 8{,}54\%$$

Hasil Akhir: (e). $i = 8{,}54\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan di sini karena semua tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung $i = D_1/P_0 = 1/39{,}35 = 2{,}54\%$ tanpa menambahkan growth rate $g$ — ini hanya dividend yield, bukan total return.
• Menggunakan $D_0$ alih-alih $D_1$ dalam rumus — soal sudah memberikan $D_1$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $6\%$ adalah discount rate — ini adalah growth rate dividen.

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut “harga saham” dan “dividen tumbuh konstan” → gunakan Gordon Growth Model: $i = D_1/P_0 + g$.

---

No. 21

Seorang investor memiliki obligasi 5 tahun senilai $3.000$ dengan durasi yang dimodifikasi sebesar $4{,}615$, obligasi 10 tahun senilai $7.000$ dengan durasi yang dimodifikasi sebesar $9{,}323$, dan obligasi 20 tahun senilai $10.000$ dengan durasi yang dimodifikasi sebesar $19{,}085$.

Tentukanlah durasi yang dimodifikasi dari keseluruhan portofolio ini? (Pilihlah jawaban dalam desimal terdekat!)

a. $13{,}5$
b. $13{,}7$
c. $13{,}9$
d. $14{,}1$
e. $14{,}3$

≡Jawaban No. 21›

(a). $13{,}5$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Easy
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.5 Immunization
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

Durasi modifikasi portofolio (weighted average):

$$D_{Mod,P} = \sum_{i} w_i \cdot D_{Mod,i}$$

Di mana $w_i = \frac{V_i}{\sum V_j}$ (bobot berdasarkan nilai pasar).

Diketahui:

• Bond A: $V_1 = 3{,}000$, $D_{Mod,1} = 4{,}615$

• Bond B: $V_2 = 7{,}000$, $D_{Mod,2} = 9{,}323$

• Bond C: $V_3 = 10{,}000$, $D_{Mod,3} = 19{,}085$

• Target: $D_{Mod,P}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Total Nilai Portofolio

$$V = 3{,}000 + 7{,}000 + 10{,}000 = 20{,}000$$

Langkah 2: Hitung Bobot

$$w_1 = 3{,}000/20{,}000 = 0{,}15$$ $$w_2 = 7{,}000/20{,}000 = 0{,}35$$ $$w_3 = 10{,}000/20{,}000 = 0{,}50$$

Langkah 3: Hitung Durasi Modifikasi Portofolio

$$D_{Mod,P} = 0{,}15 \times 4{,}615 + 0{,}35 \times 9{,}323 + 0{,}50 \times 19{,}085$$ $$= 0{,}6923 + 3{,}2631 + 9{,}5425 = 13{,}498 \approx 13{,}5$$

Hasil Akhir: (a). $D_{Mod,P} = 13{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan di sini.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung rata-rata sederhana $(4{,}615 + 9{,}323 + 19{,}085)/3 = 11{,}008$ — durasi portofolio adalah weighted average berdasarkan nilai, bukan simple average.
• Menggunakan bobot berdasarkan tenor atau face value alih-alih market value.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “senilai $3{,}000$” berarti face value — ini adalah market value (harga obligasi).

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut “durasi portofolio” → SELALU gunakan weighted average dengan bobot market value.

---

No. 22

Tentukanlah durasi Macaulay dari obligasi dengan tenor 10 tahun dan nilai par sebesar $1.000$ dengan kupon tahunan $8\%$ dan tingkat bunga tahunan efektif $6{,}5\%$. (Pilihlah jawaban dalam desimal tedekat!)

a. $7{,}2$
b. $7{,}4$
c. $7{,}6$
d. $7{,}8$
e. $8{,}0$

≡Jawaban No. 22›

(b). $7{,}4$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.4 Convexity, 3.5 Immunization
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

Durasi Macaulay:

$$D_{Mac} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot CF_t \cdot v^t}{P}$$

Untuk bond:

$$D_{Mac} = \frac{Fr \cdot (Ia)_{\overline{n}|} + n \cdot C \cdot v^n}{P}$$

Harga bond:

$$P = Fr \cdot a_{\overline{n}|} + C \cdot v^n$$

Diketahui:

• $F = C = 1{,}000$ (par bond, redeemed at par)

• $r = 8\%$ (kupon tahunan)

• $i = 6{,}5\%$ (yield)

• $$n = 10$$

• Target: $D_{Mac}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Komponen

$$v = 1/1{,}065 = 0{,}93897$$ $$v^{10} = (0{,}93897)^{10} = 0{,}53273$$ $$a_{\overline{10}|} = \frac{1 - 0{,}53273}{0{,}065} = \frac{0{,}46727}{0{,}065} = 7{,}18878$$ $$\ddot{a}_{\overline{10}|} = 7{,}18878 \times 1{,}065 = 7{,}65605$$ $$(Ia)_{\overline{10}|} = \frac{\ddot{a}_{\overline{10}|} - 10v^{10}}{0{,}065} = \frac{7{,}65605 - 5{,}3273}{0{,}065} = \frac{2{,}32875}{0{,}065} = 35{,}827$$

Langkah 2: Hitung Harga Bond

$$P = 80 \times 7{,}18878 + 1{,}000 \times 0{,}53273 = 575{,}10 + 532{,}73 = 1{,}107{,}83$$

Langkah 3: Hitung Durasi Macaulay

$$D_{Mac} = \frac{80 \times 35{,}827 + 10 \times 1{,}000 \times 0{,}53273}{1{,}107{,}83}$$ $$= \frac{2{,}866{,}16 + 5{,}327{,}30}{1{,}107{,}83} = \frac{8{,}193{,}46}{1{,}107{,}83} = 7{,}396 \approx 7{,}4$$

Hasil Akhir: (b). $D_{Mac} = 7{,}4$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan karena semua tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa memasukkan redemption value ($1{,}000 \times v^{10}$) dalam pembilang dan penyebut.
• Menggunakan $(Ia)_{\overline{n}|}$ dengan rate yang salah — harus menggunakan yield, bukan coupon rate.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira Macaulay duration = modified duration — hubungannya: $D_{Mod} = D_{Mac}/(1+i)$.

▲Red Flags›

• Jika $r > i$ (premium bond) → durasi lebih rendah dari $n$; jika $r < i$ (discount bond) → durasi lebih tinggi. Verifikasi kewajaran hasil.

---

No. 23

Violet membeli obligasi dengan tenor 10 tahun dan nilai par sebesar $1.000$ dengan kupon setengah tahunan $8\%$. Obligasi tersebut dibanderol dengan imbal hasil $7{,}5\%$ yang dapat dikonversi setengah tahunan.

Ia menginvestasikan kembali pembayaran kupon tersebut dalam dana yang membayar tingkat nominal $7\%$ yang dapat dikonversi setengah tahunan. Tentukan imbal hasil tahunan nominalnya yang dapat dikonversi setengah tahunan?

a. $7{,}36\%$
b. $7{,}41\%$
c. $7{,}48\%$
d. $7{,}56\%$
e. $7{,}63\%$

≡Jawaban No. 23›

(a). $7{,}36\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing, 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Harga bond:

$P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n$ (di sini $j$ = yield per semester)

FV kupon reinvested:

$FV_{\text{coupons}} = Fr \cdot s_{\overline{n}|j_r}$ (di sini $j_r$ = reinvestment rate per semester)

Total FV:

$$FV = FV_{\text{coupons}} + C$$

Realized yield:

$P(1+y)^n = FV$ → $y = (FV/P)^{1/n} - 1$

Diketahui:

• $F = C = 1{,}000$, kupon $8\%$ semi-annual → $Fr = 40$ per semester

• Yield: $i^{(2)} = 7{,}5\%$ → $j = 3{,}75\%$ per semester

• Reinvestment rate: $i^{(2)} = 7\%$ → $j_r = 3{,}5\%$ per semester

• $n = 20$ semester

• Target: Realized nominal yield $i^{(2)}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga Beli

$$P = 40 \cdot a_{\overline{20}|0{,}0375} + 1{,}000 \cdot (1{,}0375)^{-20}$$ $$(1{,}0375)^{20} = 2{,}09757$$ $$v^{20} = 0{,}47674$$ $$a_{\overline{20}|} = \frac{1 - 0{,}47674}{0{,}0375} = \frac{0{,}52326}{0{,}0375} = 13{,}9536$$ $$P = 40 \times 13{,}9536 + 1{,}000 \times 0{,}47674 = 558{,}14 + 476{,}74 = 1{,}034{,}88$$

Langkah 2: Hitung FV Kupon yang Diinvestasikan Kembali

$$FV_{\text{coupons}} = 40 \cdot s_{\overline{20}|0{,}035}$$ $$(1{,}035)^{20} = 1{,}98979$$ $$s_{\overline{20}|} = \frac{1{,}98979 - 1}{0{,}035} = \frac{0{,}98979}{0{,}035} = 28{,}2797$$ $$FV_{\text{coupons}} = 40 \times 28{,}2797 = 1{,}131{,}19$$

Langkah 3: Total FV di Akhir 20 Semester

$$FV = 1{,}131{,}19 + 1{,}000 = 2{,}131{,}19$$

Langkah 4: Hitung Realized Yield per Semester

$$P(1+y)^{20} = FV$$ $$1{,}034{,}88(1+y)^{20} = 2{,}131{,}19$$ $$(1+y)^{20} = \frac{2{,}131{,}19}{1{,}034{,}88} = 2{,}05937$$ $$1 + y = (2{,}05937)^{1/20} = 1{,}03680$$ $$y = 0{,}03680$$

Langkah 5: Konversi ke Nominal Semi-Annual

$$i^{(2)} = 2 \times y = 2 \times 0{,}03680 = 0{,}07360 = 7{,}36\%$$

Hasil Akhir: (a). $i^{(2)}_{\text{realized}} = 7{,}36\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung jumlah periode: 10 tahun dengan kupon semi-annual = 20 periode, bukan 10.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengasumsikan reinvestment rate sama dengan yield — soal menyatakan reinvestment rate berbeda ($7\%$ vs $7{,}5\%$).
• Lupa menambahkan redemption value ke FV total.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “imbal hasil nominal” yang diminta adalah yield-to-maturity — ini adalah realized yield (actual return) dengan reinvestment.

▲Red Flags›

• Jika reinvestment rate $\neq$ yield → realized yield $\neq$ YTM. Harus hitung FV total lalu solve untuk actual return.

---

No. 24

Seorang wanita membeli obligasi dengan tenor 5 tahun dan nilai par sebesar $1.000$ dengan kupon nol yang dihargai dengan imbal hasil $6\%$. Pada saat yang sama, ia membeli obligasi dengan tenor 5 tahun dan nilai par sebesar $1.000$ dengan kupon setengah tahunan $8\%$ yang dihargai dengan imbal hasil $7\%$ yang dapat dikonversi setengah tahunan.

Pembayaran kupon diinvestasikan kembali pada $6{,}5\%$ yang dapat dikonversi setengah tahunan. Tentunkan imbal hasil efektif tahunannya untuk investasi gabungan tersebut.

a. $6{,}0\%$
b. $6{,}2\%$
c. $6{,}4\%$
d. $6{,}6\%$
e. $6{,}8\%$

≡Jawaban No. 24›

(d). $6{,}6\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing, 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Zero-coupon bond:

$$P = F \cdot v^n$$

Coupon bond:

$$P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + F \cdot v^n$$

FV reinvested coupons:

$$FV_c = Fr \cdot s_{\overline{n}|j_r}$$

Realized yield:

$$(P_1 + P_2)(1+y)^T = FV_{\text{total}}$$

Diketahui:

• Bond 1 (zero-coupon): $F = 1{,}000$, yield $= 6\%$ efektif tahunan, $n = 5$

• Bond 2 (coupon): $F = 1{,}000$, kupon $8\%$ semi-annual ($Fr = 40$), yield $i^{(2)} = 7\%$, $n = 10$ semester

• Reinvestment: $i^{(2)} = 6{,}5\%$ → $j_r = 3{,}25\%$

• Target: Realized effective annual yield

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga Beli Bond 1 (Zero-Coupon)

$$P_1 = 1{,}000 \times (1{,}06)^{-5} = 1{,}000 \times 0{,}74726 = 747{,}26$$

Langkah 2: Hitung Harga Beli Bond 2 (Coupon)

$j = 7\%/2 = 3{,}5\%$, $n = 10$ semester:

$$(1{,}035)^{10} = 1{,}41060$$ $$v^{10} = 0{,}70892$$ $$a_{\overline{10}|0{,}035} = \frac{1 - 0{,}70892}{0{,}035} = \frac{0{,}29108}{0{,}035} = 8{,}31660$$ $$P_2 = 40 \times 8{,}31660 + 1{,}000 \times 0{,}70892 = 332{,}66 + 708{,}92 = 1{,}041{,}58$$

Langkah 3: Total Investasi Awal

$$P = P_1 + P_2 = 747{,}26 + 1{,}041{,}58 = 1{,}788{,}84$$

Langkah 4: Hitung FV di Akhir 5 Tahun

Bond 1 FV: $1{,}000$ (redemption)

Bond 2 FV: $1{,}000$ (redemption) + reinvested coupons

$$FV_c = 40 \times s_{\overline{10}|0{,}0325}$$ $$(1{,}0325)^{10} = 1{,}37689$$ $$s_{\overline{10}|} = \frac{1{,}37689 - 1}{0{,}0325} = \frac{0{,}37689}{0{,}0325} = 11{,}5967$$ $$FV_c = 40 \times 11{,}5967 = 463{,}87$$

Total FV:

$$FV = 1{,}000 + 1{,}000 + 463{,}87 = 2{,}463{,}87$$

Langkah 5: Hitung Realized Effective Annual Yield

$$1{,}788{,}84(1+y)^5 = 2{,}463{,}87$$ $$(1+y)^5 = \frac{2{,}463{,}87}{1{,}788{,}84} = 1{,}37735$$ $$1+y = (1{,}37735)^{0{,}2} = 1{,}06594$$ $$y = 0{,}06594 \approx 6{,}6\%$$

Hasil Akhir: (d). $y = 6{,}6\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung jumlah semester: 5 tahun = 10 semester untuk coupon bond.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Lupa memasukkan reinvested coupons — FV bukan hanya redemption values.
• Menggunakan yield masing-masing bond alih-alih menghitung realized yield gabungan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira yield efektif tahunan gabungan = rata-rata yield dua bond — harus dihitung dari total cash flows.

▲Red Flags›

• Jika investasi gabungan dengan reinvestment → hitung total cost, total FV (termasuk reinvested coupons), lalu solve untuk realized yield.

---

No. 25

Sebuah obligasi senilai $5{.}000$ dengan jangka waktu 20 tahun dan membayar kupon tahunan sebesar $4\%$ jatuh tempo pada nilai par. Obligasi tersebut dibeli dengan tingkat hasil (yield) $5\%$ per tahun untuk 12 tahun pertama, dan $6\%$ per tahun setelahnya.

Tentukanlah jumlah akumulasi diskonto untuk kupon ke-$8$. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $-15$
b. $+25$
c. $-9$
d. $-58$
e. $-160$

≡Jawaban No. 25›

(a). $-15$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Book value prospektif pada waktu $t$ (yield berubah di $t = 12$):

$$B_t = Fr \cdot a_{\overline{n_t}|i_t} + B_{12} \cdot v_{i_t}^{n_t}$$

Di mana $n_t$ = sisa tahun hingga $t = 12$ dan $i_t$ = yield yang berlaku.

Amortisasi diskonto pada kupon ke-$t$:

$$\text{Amort}_t = i \cdot B_{t-1} - Fr = B_t - B_{t-1}$$

Konvensi tanda: Untuk discount bond ($Fr < i \cdot B$), $\text{Amort}_t > 0$ artinya book value naik. Soal melaporkan nilai ini sebagai negatif karena menggunakan konvensi “akumulasi diskonto” (discount dicatat negatif, seperti halnya premium dicatat positif).

Diketahui:

• $F = C = 5{.}000$, kupon $r = 4\%$ tahunan $\Rightarrow$ $Fr = 200$ per tahun

• $n = 20$ tahun, jatuh tempo pada nilai par

• Yield: $i_1 = 5\%$ untuk tahun $1$–$12$; $i_2 = 6\%$ untuk tahun $13$–$20$

• Kupon ke-$8$ jatuh di $t = 8$ → masih dalam periode yield $5\%$

• Target: amortisasi diskonto pada kupon ke-$8$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $B_{12}$ — Book Value di $t = 12$ (Prospektif, Yield $6\%$)

Dari $t = 12$, sisa 8 tahun dengan yield $6\%$ dan redemption $5{.}000$:

$$(1{,}06)^{-8} = 0{,}627412$$ $$a_{\overline{8}|6\%} = \frac{1 - 0{,}627412}{0{,}06} = \frac{0{,}372588}{0{,}06} = 6{,}20979$$ $$B_{12} = 200 \times 6{,}20979 + 5{.}000 \times 0{,}627412 = 1{.}241{,}96 + 3{.}137{,}06 = 4{.}379{,}02$$

Langkah 2: Hitung $B_7$ — Book Value di $t = 7$ (Prospektif, Yield $5\%$)

Dari $t = 7$, sisa 5 tahun hingga $t = 12$ dengan yield $5\%$, lalu $B_{12}$ sebagai lump sum:

$$(1{,}05)^{-5} = 0{,}783526$$ $$a_{\overline{5}|5\%} = \frac{1 - 0{,}783526}{0{,}05} = \frac{0{,}216474}{0{,}05} = 4{,}32948$$ $$B_7 = 200 \times 4{,}32948 + 4{.}379{,}02 \times 0{,}783526 = 865{,}90 + 3{.}431{,}08 = 4{.}296{,}97$$

Langkah 3: Hitung $B_8$ — Book Value di $t = 8$ (Prospektif, Yield $5\%$)

Dari $t = 8$, sisa 4 tahun hingga $t = 12$ dengan yield $5\%$:

$$(1{,}05)^{-4} = 0{,}822702$$ $$a_{\overline{4}|5\%} = \frac{1 - 0{,}822702}{0{,}05} = \frac{0{,}177298}{0{,}05} = 3{,}54595$$ $$B_8 = 200 \times 3{,}54595 + 4{.}379{,}02 \times 0{,}822702 = 709{,}19 + 3{.}602{,}63 = 4{.}311{,}82$$

Langkah 4: Hitung Amortisasi Diskonto pada Kupon ke-$8$

$$\text{Amort}_8 = i_1 \cdot B_7 - Fr = 0{,}05 \times 4{.}296{,}97 - 200 = 214{,}85 - 200 = 14{,}85$$

Verifikasi via selisih book value:

$$B_8 - B_7 = 4{.}311{,}82 - 4{.}296{,}97 = 14{,}85 \checkmark$$

Langkah 5: Terapkan Konvensi Tanda

Obligasi ini adalah discount bond ($Fr = 200 < i_1 \cdot F = 250$), sehingga “akumulasi diskonto” dilaporkan sebagai negatif:

$$\text{Akumulasi diskonto kupon ke-8} = -14{,}85 \approx -15$$

Hasil Akhir: (a). $-15$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Kupon ke-$8$ jatuh di $t = 8$, masih dalam periode yield $5\%$ (bukan $6\%$) — jangan gunakan yield $6\%$ untuk menghitung $B_7$ atau $B_8$.
• $B_7$ dihitung dengan sisa 5 tahun menuju $t = 12$ (bukan 7 tahun menuju maturity) — referensi lump sum adalah $B_{12}$, bukan $F$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan satu yield tunggal untuk seluruh 20 tahun — karena yield berubah di $t = 12$, book value prospektif wajib dihitung secara bertingkat: hitung $B_{12}$ dulu dengan yield $6\%$, baru gunakan $B_{12}$ sebagai lump sum untuk menghitung $B_t$ dengan yield $5\%$.
• Mengartikan “akumulasi diskonto” sebagai nilai kumulatif $B_8 - B_0 = 100{,}77$ — pertanyaan meminta amortisasi satu periode (kupon ke-$8$), bukan total kumulatif sejak pembelian.
• Menghitung $\text{Amort}_8 = Fr - i \cdot B_7$ (tanda terbalik) — untuk discount bond, bunga yang diperoleh ($i \cdot B_7$) lebih besar dari kupon ($Fr$), sehingga $\text{Amort}_8 = i \cdot B_7 - Fr > 0$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengabaikan konvensi tanda: amortisasi diskonto secara aktual bernilai $+14{,}85$ (book value naik), tetapi soal meminta “akumulasi diskonto” yang secara konvensi dilaporkan negatif untuk discount bond → jawaban $= -15$.

▲Red Flags›

• Jika yield berubah di tengah tenor → hitung book value dari belakang: tentukan $B$ di titik perubahan yield terlebih dahulu, lalu gunakan sebagai lump sum untuk mendiskonto ke titik yang diinginkan.
• Jika soal meminta amortisasi pada satu kupon tertentu → hitung $B_{t-1}$ dan $B_t$ secara prospektif, lalu $\text{Amort}_t = B_t - B_{t-1}$ (konfirmasi dengan $i \cdot B_{t-1} - Fr$).

---

No. 26

Oki membeli obligasi bernilai par dengan jangka waktu 15 tahun dan kupon $5\%$ semi-tahunan dengan harga $2.345$. Obligasi tersebut dapat ditebus (callable) pada nilai par $X$ pada setiap tanggal pembayaran kupon mulai akhir tahun ke-10. Harga tersebut menjamin bahwa Oki akan menerima hasil nominal semi-tahunan minimal sebesar $4\%$.

Kelvin membeli obligasi 15 tahun dengan nilai par yang identik dengan obligasi milik Oki, kecuali obligasi tersebut tidak dapat ditebus (non-callable). Dengan asumsi tingkat hasil yang sama, tentukanlah harga obligasi milik Kelvin. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat tedekat!)

a. $2.168$
b. $2.170$
c. $2.405$
d. $2.300$
e. $2.411$

≡Jawaban No. 26›

(e). $2{,}411$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Harga bond: $P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n_j$

Callable bond: untuk premium bond, worst case = earliest call date.

Untuk discount bond, worst case = latest maturity (no call).

Diketahui:

• Harga Oki: $2{,}345$, kupon $5\%$ semi-annual, tenor 15 tahun

• Callable at par $X$ mulai akhir tahun 10

• Minimum yield: $i^{(2)} = 4\%$ → $j = 2\%$ per semester

• Target: Harga obligasi Kelvin (non-callable, same yield, tenor 15 tahun)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Nilai Par $X$

Kupon per semester = $0{,}05/2 \times X = 0{,}025X$.

Karena harga $2{,}345 > X$ kemungkinan besar (premium bond), callable worst case = earliest call (akhir tahun 10 = semester 20).

Setup: $2{,}345 = 0{,}025X \cdot a_{\overline{20}|0{,}02} + X \cdot (1{,}02)^{-20}$

$$(1{,}02)^{20} = 1{,}48595$$ $$v^{20} = 0{,}67297$$ $$a_{\overline{20}|0{,}02} = \frac{1 - 0{,}67297}{0{,}02} = \frac{0{,}32703}{0{,}02} = 16{,}35143$$ $$2{,}345 = X(0{,}025 \times 16{,}35143 + 0{,}67297) = X(0{,}40879 + 0{,}67297) = X \times 1{,}08176$$ $$X = \frac{2{,}345}{1{,}08176} = 2{,}167{,}8 \approx 2{,}168$$

Langkah 2: Hitung Harga Kelvin (Non-Callable, 15 Tahun)

Kelvin’s bond: same par $X = 2{,}168$, kupon $5\%$ semi-annual, tenor 15 tahun = 30 semester, yield $j = 2\%$.

$$P_K = 0{,}025 \times 2{,}168 \times a_{\overline{30}|0{,}02} + 2{,}168 \times (1{,}02)^{-30}$$ $$= 54{,}2 \times a_{\overline{30}|0{,}02} + 2{,}168 \times v^{30}$$ $$(1{,}02)^{30} = 1{,}81136$$ $$v^{30} = 0{,}55207$$ $$a_{\overline{30}|0{,}02} = \frac{1 - 0{,}55207}{0{,}02} = \frac{0{,}44793}{0{,}02} = 22{,}39646$$ $$P_K = 54{,}2 \times 22{,}39646 + 2{,}168 \times 0{,}55207$$ $$= 1{,}213{,}89 + 1{,}196{,}89 = 2{,}410{,}78 \approx 2{,}411$$

Hasil Akhir: (e). $P_K = 2{,}411$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Salah menghitung jumlah semester: 15 tahun = 30 semester, 10 tahun = 20 semester.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Untuk callable premium bond, worst-case yield = earliest call, bukan maturity.
• Lupa bahwa kupon = $r/2 \times X$ (berdasarkan par value), bukan kupon tetap.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “nilai par $X$” sudah diketahui — harus dicari dari harga dan yield.

▲Red Flags›

• Jika callable bond dan harga > par → worst case = earliest call date.

---

No. 27

Imbal hasil dari obligasi tanpa kupon untuk tiga tahun berikutnya adalah:

Tahun	Imbal hasil dari obligasi tanpa kupon
1	$5{,}2\%$
2	?
3	$7{,}1\%$

Tingkat swap tetap (level swap rate) untuk swap suku bunga dengan tenor tiga tahun adalah $7\%$. Tentukanlah tingkat hasil obligasi tanpa kupon (zero-coupon yield) untuk jangka waktu dua tahun.

a. $5{,}9\%$
b. $6{,}0\%$
c. $6{,}1\%$
d. $6{,}2\%$
e. $6{,}3\%$

≡Jawaban No. 27›

(a). $5{,}9\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.2 Yield Curve
Connected Topics	5.1 Bond Pricing
Referensi	Vaaler Bab 8.3 & 9; Kellison Bab 10–11

ℹRumus›

Level swap rate $R$ untuk tenor $n$ tahun memenuhi:

$$R \cdot \sum_{t=1}^{n} \frac{1}{(1+s_t)^t} + \frac{1}{(1+s_n)^n} = 1$$

Atau equivalently: par bond pricing condition:

$$\frac{R}{(1+s_1)} + \frac{R}{(1+s_2)^2} + \frac{1+R}{(1+s_3)^3} = 1$$

Diketahui:

• $s_1 = 5{,}2\%$, $s_3 = 7{,}1\%$

• Swap rate $R = 7\%$ untuk 3 tahun

• Target: $s_2$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Setup Par Bond Equation

Swap rate = coupon rate bond yang dijual at par (harga = 1 per unit face):

$$\frac{0{,}07}{1{,}052} + \frac{0{,}07}{(1+s_2)^2} + \frac{1{,}07}{(1{,}071)^3} = 1$$

Langkah 2: Hitung Komponen yang Diketahui

$$\frac{0{,}07}{1{,}052} = 0{,}06654$$ $$(1{,}071)^3 = 1{,}22848$$ $$\frac{1{,}07}{1{,}22848} = 0{,}87102$$

Langkah 3: Selesaikan untuk $s_2$

$$0{,}06654 + \frac{0{,}07}{(1+s_2)^2} + 0{,}87102 = 1$$ $$\frac{0{,}07}{(1+s_2)^2} = 1 - 0{,}06654 - 0{,}87102 = 0{,}06244$$ $$(1+s_2)^2 = \frac{0{,}07}{0{,}06244} = 1{,}12107$$ $$1 + s_2 = \sqrt{1{,}12107} = 1{,}05881$$ $$s_2 = 0{,}05881 \approx 5{,}9\%$$

Hasil Akhir: (a). $s_2 = 5{,}9\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan karena semua tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Mengira swap rate = spot rate — swap rate adalah coupon rate dari par bond, bukan spot rate.
• Lupa bahwa pembayaran terakhir termasuk principal ($1 + R$, bukan hanya $R$).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “imbal hasil obligasi tanpa kupon” = yield to maturity dari coupon bond — ini adalah spot rate (zero-coupon yield).

▲Red Flags›

• Jika diberikan swap rate → gunakan par bond equation untuk menghubungkan dengan spot rates.

---

No. 28

Sebuah saham saat ini dihargai $85$. Tingkat dividen kontinu adalah $\delta=0{,}02$. Tingkat bebas risiko adalah $r=0{,}04$.

Sebuah opsi call dan opsi put dengan harga strike yang sama dan waktu jatuh tempo $T=0{,}5$ memiliki premi masing-masing $4{,}91$ dan $4{,}56$. Tentukan harga strike-nya.

a. $84{,}51$
b. $84{,}59$
c. $85$
d. $85{,}5$
e. $85{,}93$

≡Jawaban No. 28›

(d). $85{,}5$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.1 Options – Call and Put
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.2 Forwards and Futures
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 2–3

ℹRumus›

Put-Call Parity (continuous dividends):

$$C - P = S_0 e^{-\delta T} - K e^{-rT}$$

Di mana $r$ adalah risk-free rate (continuously compounded), $\delta$ adalah continuous dividend yield.

Diketahui:

• $S_0 = 85$, $\delta = 0{,}02$ (continuous dividend yield), $r = 0{,}04$ (continuous risk-free rate)

• $$T = 0{,}5$$

• $C = 4{,}91$, $P = 4{,}56$

• Target: $K$ (strike price)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan Put-Call Parity

$$C - P = S_0 e^{-\delta T} - K e^{-rT}$$ $$4{,}91 - 4{,}56 = 85 \cdot e^{-0{,}02 \times 0{,}5} - K \cdot e^{-0{,}04 \times 0{,}5}$$ $$0{,}35 = 85 \cdot e^{-0{,}01} - K \cdot e^{-0{,}02}$$

Langkah 2: Hitung Komponen

$$e^{-0{,}01} = 0{,}99005$$ $$e^{-0{,}02} = 0{,}98020$$ $$85 \times 0{,}99005 = 84{,}154$$

Langkah 3: Selesaikan untuk $K$

$$0{,}35 = 84{,}154 - 0{,}98020 K$$ $$0{,}98020 K = 84{,}154 - 0{,}35 = 83{,}804$$ $$K = \frac{83{,}804}{0{,}98020} = 85{,}497 \approx 85{,}5$$

Hasil Akhir: (d). $K = 85{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Lupa bahwa $T = 0{,}5$ tahun (6 bulan), bukan 1 tahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan put-call parity tanpa dividend adjustment: $C - P = S_0 - Ke^{-rT}$ — harus $S_0 e^{-\delta T}$ karena ada continuous dividends.
• Menukar $C$ dan $P$: $C - P$, bukan $P - C$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira $\delta = 0{,}02$ adalah force of interest — dalam konteks derivatives, $\delta$ adalah continuous dividend yield.

▲Red Flags›

• Jika ada continuous dividends → gunakan $S_0 e^{-\delta T}$ sebagai prepaid forward price, bukan $S_0$.

---

No. 29

Saham ABC saat ini diperdagangkan pada harga $100$. Tingkat bunga bebas risiko terus-menerus adalah $5\%$ per tahun, dan saham tidak membayar dividen.

Sebuah opsi call Eropa dan opsi put Eropa dengan strike price $95$ dan jatuh tempo dalam 6 bulan diperdagangkan. Harga premi call adalah $8$. Jika tidak ada peluang arbitrase, tentukanlah harga wajar dari opsi put tersebut.

a. $0{,}55$
b. $0{,}6$
c. $0{,}65$
d. $0{,}7$
e. $0{,}75$

≡Jawaban No. 29›

(c). $0{,}65$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.1 Options – Call and Put
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.2 Forwards and Futures
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 2–3

ℹRumus›

Put-Call Parity (no dividends, continuous compounding):

$$C - P = S_0 - K e^{-rT}$$

Maka: $P = C - S_0 + K e^{-rT}$

Diketahui:

• $S_0 = 100$, $r = 5\%$ (continuous), no dividends

• $K = 95$, $T = 0{,}5$

• $$C = 8$$

• Target: $P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV Strike Price

$$Ke^{-rT} = 95 \times e^{-0{,}05 \times 0{,}5} = 95 \times e^{-0{,}025}$$ $$e^{-0{,}025} = 0{,}97531$$ $$95 \times 0{,}97531 = 92{,}654$$

Langkah 2: Terapkan Put-Call Parity

$$P = C - S_0 + Ke^{-rT} = 8 - 100 + 92{,}654 = 0{,}654 \approx 0{,}65$$

Hasil Akhir: (c). $P = 0{,}65$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Lupa bahwa $T = 6$ bulan $= 0{,}5$ tahun. Menggunakan $T = 6$ atau $T = 1$.

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menggunakan $(1+r)^{-T}$ alih-alih $e^{-rT}$ — soal menyebut “terus-menerus” = continuously compounded.
• Menulis $P = C + S_0 - Ke^{-rT}$ — tanda salah, seharusnya $P = C - S_0 + Ke^{-rT}$.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira “tidak ada peluang arbitrase” berarti sesuatu yang khusus — ini hanya menyatakan put-call parity berlaku.

▲Red Flags›

• Jika “tingkat bunga bebas risiko terus-menerus” → SELALU gunakan $e^{-rT}$, bukan $(1+r)^{-T}$.

---

No. 30

Di awal tahun, Elfita membeli 200 lembar Saham B dengan harga Rp$2.450$ per lembar. Di akhir tahun, Saham B memberikan dividen tunai sebesar Rp$120$ per lembar. Harga pasar Saham B di akhir tahun tercatat sebesar Rp$2.680$ per lembar.

Jika Elfita memutuskan untuk menjual seluruh sahamnya di akhir tahun, tentukanlah ROI (Return on Investment) dari investasinya!

a. $4{,}9\%$
b. $9{,}4\%$
c. $13{,}4\%$
d. $14{,}3\%$
e. $114{,}3\%$

≡Jawaban No. 30›

(d). $14{,}3\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	7.1 CAPM and Factor Models
Referensi	Ross Bab 12–13

ℹRumus›

ROI (Return on Investment):

$$ROI = \frac{\text{Total Return}}{\text{Initial Investment}} = \frac{(P_1 - P_0) + D}{P_0}$$

Di mana $P_0$ = harga beli, $P_1$ = harga jual, $D$ = dividen per lembar.

Diketahui:

• Jumlah saham: 200 lembar

• Harga beli: $P_0 = 2{,}450$ per lembar

• Dividen: $D = 120$ per lembar

• Harga jual: $P_1 = 2{,}680$ per lembar

• Target: ROI

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Total Return per Lembar

$$\text{Capital gain} = P_1 - P_0 = 2{,}680 - 2{,}450 = 230$$ $$\text{Total return} = 230 + 120 = 350$$

Langkah 2: Hitung ROI

$$ROI = \frac{350}{2{,}450} = 0{,}14286 = 14{,}3\%$$

Catatan: ROI per lembar sama dengan ROI total karena jumlah lembar membatalkan diri ($200 \times 350 / (200 \times 2{,}450) = 350/2{,}450$).

Hasil Akhir: (d). $ROI = 14{,}3\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

• Tidak relevan di sini (investasi 1 tahun).

⬡Kesalahan Konseptual›

• Menghitung ROI hanya dari capital gain tanpa dividen: $(2{,}680 - 2{,}450)/2{,}450 = 9{,}4\%$ — ini hanya capital gain yield.
• Menghitung ROI hanya dari dividen: $120/2{,}450 = 4{,}9\%$ — ini hanya dividend yield.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

• Mengira ROI = $(P_1 + D)/P_0 = (2{,}680 + 120)/2{,}450 = 114{,}3\%$ — ini adalah total return ratio, bukan ROI. ROI menggunakan net gain di pembilang.

▲Red Flags›

• Jika soal menyebut “ROI” → pembilang = total gain (capital gain + dividends), penyebut = initial investment.
• Jika opsi jawaban termasuk $114{,}3\%$ → ini jebakan: $(P_1 + D)/P_0$ tanpa mengurangi $P_0$.

---