CF1 · Pembahasan

CF1 Periode April 2022

No. 1

Diketahui tingkat bunga efektif $i > 0$ . Suatu hutang sebesar $100$ akan dilunasi tanpa cicilan pada akhir 5 tahun. Jika pelunasan dilakukan terlambat, maka hutang akan dikenakan tingkat bunga sebesar dua kali lipat dari bunga dasar selama periode keterlambatan.

Tentukan besar pembayaran yang diperlukan jika hutang baru dilunaskan pada akhir tahun ke-6.

a. $100(1+i)^6$
b. $100(1+i)^7$
c. $100(1+i)^5 \left(1+i^{(2)}\right)^2$
d. $100(1+i)^5 (1+2i)$
e. $100(1+i)^5 \left(1+\dfrac{i^{(2)}}{2}\right)^2$

≡Jawaban No. 1›

(d). $100(1+i)^5(1+2i)$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Akumulasi compound interest:

AV = PV \cdot (1+i)^n

Akumulasi simple interest selama periode $t$ :

AV = PV \cdot (1 + i_{\text{simple}} \cdot t)

Diketahui:

Hutang pokok $= 100$
Tingkat bunga efektif $= i$ (berlaku selama 5 tahun pertama)
Periode keterlambatan $= 1$ tahun (tahun ke-5 hingga ke-6)
Bunga selama keterlambatan $= 2i$ (dua kali lipat bunga dasar)
Target: nilai pembayaran di akhir tahun ke-6

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung nilai hutang di akhir tahun ke-5

Hutang berkembang selama 5 tahun dengan bunga efektif $i$ :

B_5 = 100(1+i)^5

Langkah 2: Identifikasi bunga selama periode keterlambatan

Soal menyatakan bahwa selama periode keterlambatan, bunga yang dikenakan adalah dua kali lipat dari bunga dasar, yaitu $2i$ . Karena ini adalah rate bunga (bukan suku bunga nominal atau lainnya), keterlambatan 1 tahun dikenakan bunga sederhana $2i$ (satu periode bunga keterlambatan):

B_6 = B_5 \cdot (1 + 2i) = 100(1+i)^5(1+2i)

Langkah 3: Cocokkan dengan pilihan

Hasilnya: $100(1+i)^5(1+2i)$ sesuai opsi (d).

Hasil Akhir: (d). $100(1+i)^5(1+2i)$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengasumsikan keterlambatan 1 tahun berarti akumulasi compound selama 6 tahun total → menghasilkan $100(1+i)^6$ , yang salah karena rate di tahun ke-6 adalah $2i$ , bukan $i$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira “dua kali lipat bunga” berarti $i^{(2)}$ (nominal compounded semesteran) → pilihan (c) dan (e) adalah jebakan yang mengandung $i^{(2)}$ .
Lupa bahwa bunga keterlambatan hanya berlaku 1 tahun, bukan dikalikan ke semua periode.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “dua kali lipat bunga dasar” = $(2i)^2$ atau $i^2$ → tidak ada dasar matematis untuk itu.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “bunga dua kali lipat selama periode tertentu” → terapkan rate baru HANYA untuk periode tersebut, bukan seluruh tenor.
Simbol $i^{(2)}$ di pilihan (c) dan (e) adalah jebakan notasi — $i^{(2)}$ adalah suku bunga nominal compounded semesteran, bukan “dua kali $i$ ”.

No. 2

Berdasarkan konsep diskonto, seseorang menerima pinjaman sebesar $930$ , kemudian melunasinya dengan pembayaran sebesar $1{.}000$ pada akhir satu tahun.

Dengan tingkat diskonto yang sama, tentukan besar pinjaman yang diterima jika pelunasan sebesar $1{.}000$ dilakukan pada akhir dua tahun.

a. $860$
b. $865$
c. $880$
d. $895$
e. $900$

≡Jawaban No. 2›

(b). $865$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Tingkat diskonto $d$ :

d = \frac{F - P}{F} = 1 - \frac{P}{F}

Present value menggunakan diskonto selama $n$ tahun:

P = F \cdot (1-d)^n

Diketahui:

Pinjaman tahun ke-1: $P_1 = 930$ , dilunasi $F = 1{.}000$ di akhir 1 tahun
Target: pinjaman $P_2$ jika dilunasi $F = 1{.}000$ di akhir 2 tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung tingkat diskonto $d$

d = \frac{F - P_1}{F} = \frac{1{.}000 - 930}{1{.}000} = \frac{70}{1{.}000} = 0{,}07 = 7\%

Langkah 2: Hitung pinjaman untuk pelunasan 2 tahun

Dengan diskonto majemuk (compound discount) selama 2 tahun:

P_2 = F \cdot (1-d)^2 = 1{.}000 \cdot (1-0{,}07)^2 = 1{.}000 \cdot (0{,}93)^2

P_2 = 1{.}000 \times 0{,}8649 = 864{,}90 \approx 865

Hasil Akhir: (b). $865$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan simple discount selama 2 tahun: $P = 1000(1-2d) = 860$ → pilihan (a), salah karena konsep diskonto majemuk yang berlaku.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira diskonto sama dengan konversi ke efektif: $P = 1000/(1+i)^2$ di mana $i = d/(1-d)$ → hasilnya berbeda dari $(1-d)^2$ .
Salah menerapkan $v^2$ dari efektif rate daripada $(1-d)^2$ dari discount rate.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “tingkat diskonto yang sama” berarti jumlah diskonto yang sama ( $70$ ) dikurangi lagi, menghasilkan $930-70=860$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “konsep diskonto” dan memberikan selisih antara pinjaman dan pelunasan → langsung hitung $d = (F-P)/F$ , bukan $i = (F-P)/P$ .

No. 3

PT Manajemen Aset Dana Cerah menerbitkan sebuah produk investasi dengan fitur simpanan terjamin seperti berikut:

Nasabah menempatkan investasi berkala pada setiap awal tahun selama 3 tahun.
Tingkat bunga dasar sebesar $6\%$ berlaku efektif per tahun.
Pada setiap akhir tahun, biaya pengelolaan sebesar $1\%$ dari saldo investasi setelah bunga akan dipotong dari saldo investasi.

Dengan fitur di atas, tentukan besar uang yang dapat ditarik jika periode investasi adalah 8 tahun dan besar penempatan investasi berkala adalah $1{.}000$ setiap tahun? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $4{.}010$
b. $4{.}208$
c. $4{.}416$
d. $4{.}634$
e. $4{.}862$

≡Jawaban No. 3›

(b). $4{.}208$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Kellison Bab 1–3; Vaaler Bab 1–2

ℹRumus›

Net effective rate setelah biaya pengelolaan:

i_{\text{net}} = (1 + i_{\text{gross}})(1 - \text{fee}) - 1

Nilai akhir annuity-due selama $n$ tahun:

\ddot{s}_{\overline{n}|i} = (1+i) \cdot \frac{(1+i)^n - 1}{i}

Diketahui:

Investasi $= 1{.}000$ per awal tahun, selama 3 tahun (annuity-due)
Bunga dasar $i = 6\%$ efektif per tahun
Biaya pengelolaan $= 1\%$ dari saldo setelah bunga (per akhir tahun)
Periode total $= 8$ tahun
Target: nilai investasi di akhir tahun ke-8

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung net effective rate

Setiap akhir tahun, bunga 6% dikreditkan lalu dipotong biaya 1% dari saldo baru:

i_{\text{net}} = (1{,}06)(1-0{,}01) - 1 = (1{,}06)(0{,}99) - 1 = 1{,}0494 - 1 = 4{,}94\%

Langkah 2: Hitung nilai akhir investasi di t=3

Investasi awal tahun 1, 2, 3 (annuity-due, 3 pembayaran), dihitung di t=3:

s_{\text{due}}(3;\, 4{,}94\%) = (1{,}0494) \cdot \frac{(1{,}0494)^3-1}{0{,}0494} = 1{,}0494 \times 3{,}1506 = 3{,}3063

V_3 = 1{.}000 \times 3{,}3063 = 3{.}306{,}28

Langkah 3: Akumulasikan ke t=8 (5 tahun lagi)

V_8 = 3{.}306{,}28 \times (1{,}0494)^5 = 3{.}306{,}28 \times 1{,}2728 = 4{.}207{,}70 \approx 4{.}208

Hasil Akhir: (b). $4{.}208$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate 6% penuh (tanpa dikurangi biaya) → menghasilkan nilai yang lebih tinggi dari jawaban benar.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira biaya 1% hanya berlaku 3 tahun pertama (saat investasi berlangsung), padahal biaya berlaku sepanjang saldo masih ada.
Mengira fee = 1% dari pokok, bukan 1% dari saldo setelah bunga dikreditkan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira investasi berlangsung 8 tahun (bukan 3 tahun) karena soal menyebut “periode investasi 8 tahun”.

▲Red Flags›

“Biaya pengelolaan $X\%$ dari saldo setelah bunga” → net rate = $(1+i)(1-\text{fee})-1$ , bukan $i - \text{fee}$ .
Penempatan “setiap awal tahun” → gunakan annuity-due $(\ddot{s})$ , bukan annuity-immediate $(s)$ .

No. 4

PT Asset Surplus Selalu, sebuah perusahaan manajemen aset meluncurkan sebuah produk investasi rencana pensiun yang memiliki fitur seperti berikut:

Nasabah harus melakukan pembayaran berkala sebesar $1{.}000$ setiap awal tahun selama 20 tahun.
Setelah itu, produk akan memberikan pembayaran tahunan kepada nasabah sebesar $X$ pada setiap awal tahun selama 20 tahun berikutnya.
Produk memberikan tingkat bunga efektif $6\%$ per tahun.

Tentukan nilai $X$ . (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $2{.}400$
b. $2{.}600$
c. $2{.}800$
d. $3{.}000$
e. $3{.}200$

≡Jawaban No. 4›

(e). $3{.}200$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Present value annuity-due:

\ddot{a}_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{d} = (1+i) \cdot \frac{1-v^n}{i}

Equation of value (PV inflow = PV outflow):

PV_{\text{kontribusi}} = PV_{\text{penerimaan}}

Diketahui:

Kontribusi: $1{.}000$ per awal tahun, $n = 20$ tahun, $i = 6\%$
Penerimaan: $X$ per awal tahun, 20 tahun, mulai setelah periode kontribusi
Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV kontribusi di t=0

Annuity-due, 20 pembayaran:

PV_{\text{in}} = 1{.}000 \cdot \ddot{a}_{\overline{20}|6\%} = 1{.}000 \cdot (1{,}06) \cdot \frac{1-(1{,}06)^{-20}}{0{,}06}

= 1{.}000 \times 1{,}06 \times 11{,}4699 = 12{.}158{,}12

Langkah 2: PV penerimaan $X$ di t=0

Penerimaan dimulai di awal tahun ke-21 (annuity-due selama 20 tahun, diskonto ke t=0):

PV_{\text{out}} = X \cdot \ddot{a}_{\overline{20}|6\%} \cdot v^{20} = X \times 12{,}1581 \times (1{,}06)^{-20}

= X \times 12{,}1581 \times 0{,}31180 = X \times 3{,}7910

Langkah 3: Equation of value

12{.}158{,}12 = X \times 3{,}7910

X = \frac{12{.}158{,}12}{3{,}7910} = 3{.}207{,}14 \approx 3{.}200

Hasil Akhir: (e). $3{.}200$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mendiskon PV penerimaan hanya 19 tahun (bukan 20) → salah posisi awal annuity.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan annuity-immediate ( $a$ ) padahal “setiap awal tahun” → harus annuity-due ( $\ddot{a}$ ).
Tidak mendiskon PV penerimaan ke t=0: hanya menghitung $\ddot{a}$ tanpa mengalikan $v^{20}$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “20 tahun berikutnya” dimulai tepat di t=20 tetapi sebagai annuity-immediate (pembayaran di t=21,22,…,40) → akan menghasilkan $X$ berbeda.

▲Red Flags›

“Setiap awal tahun” → selalu annuity-due untuk KEDUA fase (kontribusi DAN penerimaan).

No. 5

Pada tingkat bunga $i$ , suatu hutang dapat dilunasi dengan pembayaran sebesar $1$ pada setiap akhir tahun selama $n$ tahun. Jika tingkat bunga berubah menjadi $j$ , tentukan besar cicilan yang diperlukan untuk tetap melunasi hutang dalam $n$ tahun.

a. $\dfrac{1+i}{1+j}$
b. $\dfrac{i}{j}$
c. $\dfrac{a_{\overline{n}|i}}{a_{\overline{n}|j}}$
d. $\dfrac{j}{i}$
e. $\dfrac{1+j}{1+i}$

≡Jawaban No. 5›

(c). $\dfrac{a_{\overline{n}|i}}{a_{\overline{n}|j}}$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	4.2 Amortization Method
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Nilai kini annuity-immediate:

L = R \cdot a_{\overline{n}|i} \implies R = \frac{L}{a_{\overline{n}|i}}

Diketahui:

Cicilan awal = $1$ per akhir tahun, $n$ tahun, rate $i$
Hutang pokok $L = a_{\overline{n}|i}$ (karena $1 \cdot a_{\overline{n}|i} = L$ )
Rate berubah ke $j$ ; tenor tetap $n$ tahun
Target: cicilan baru $R_j$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan besar hutang pokok $L$

Dengan cicilan $1$ per tahun selama $n$ tahun pada rate $i$ :

L = 1 \cdot a_{\overline{n}|i} = a_{\overline{n}|i}

Langkah 2: Hitung cicilan baru pada rate $j$

Hutang $L$ tetap sama, hanya rate berubah ke $j$ :

R_j = \frac{L}{a_{\overline{n}|j}} = \frac{a_{\overline{n}|i}}{a_{\overline{n}|j}}

Hasil Akhir: (c). $\dfrac{a_{\overline{n}|i}}{a_{\overline{n}|j}}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira cicilan baru cukup mengalikan dengan rasio rate: $R_j = j/i$ → mengabaikan efek non-linear dari $n$ pada anuitas.
Mengira $L = 1$ (bukan $a_{\overline{n}|i}$ ), sehingga $R_j = 1/a_{\overline{n}|j}$ .

▲Red Flags›

Soal berbentuk simbolik (tanpa angka konkret) → tulis persamaan dari prinsip dasar, jangan menebak rasio.

No. 6

Diberikan dua jenis anuitas seperti berikut:

(i) Anuitas $n$ tahun yang memberikan pembayaran sebesar $X$ di setiap akhir kwartal. Nilai kini (present value) dari anuitas ini pada tingkat bunga $i$ adalah $1{.}236{,}69$ .

(ii) Anuitas $n$ tahun yang memberikan pembayaran sebesar $X$ di setiap akhir semester. Nilai kini (present value) dari anuitas ini pada tingkat bunga $i$ adalah $607{,}71$ .

Dengan menggunakan tingkat bunga $i$ yang sama, tentukan nilai kini dari anuitas $n$ tahun dengan besar pembayaran sebesar $X$ pada setiap akhir tahun.

a. $284$
b. $288$
c. $293$
d. $299$
e. $303$

≡Jawaban No. 6›

(c). $293$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.4 Continuous Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

PV annuity-immediate per kuartal (rate kuartalan $r$ ):

PV_q = X \cdot \frac{1 - v_q^{4n}}{r}

PV annuity-immediate per semester (rate semesteran $s$ ):

PV_s = X \cdot \frac{1 - v_s^{2n}}{s}

Hubungan rate: $s = (1+r)^2 - 1$ dan $v_s^{2n} = v_q^{4n}$

Diketahui:

$PV_q = 1{.}236{,}69$ (quarterly), $PV_s = 607{,}71$ (semiannual)
Tingkat bunga efektif $i$ sama untuk semua anuitas
Target: $PV_{\text{tahunan}}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan rasio untuk menemukan rate kuartalan $r$

Karena $v_s^{2n} = v_q^{4n}$ , maka:

\frac{PV_q}{PV_s} = \frac{s}{r}

\frac{1{.}236{,}69}{607{,}71} = \frac{s}{r} = 2{,}0350

Hubungan: $s = (1+r)^2 - 1 = 2r + r^2$ , sehingga $s/r = 2 + r$ :

2 + r = 2{,}0350 \implies r = 0{,}035 = 3{,}5\%\text{ per kuartal}

Langkah 2: Hitung rate tahunan efektif

i_a = (1+r)^4 - 1 = (1{,}035)^4 - 1 = 14{,}75\%

Langkah 3: Hitung PV anuitas tahunan

Karena semua anuitas memiliki numerator yang sama $X(1-v_q^{4n})$ :

PV_{\text{tahunan}} = PV_q \cdot \frac{r}{i_a} = 1{.}236{,}69 \times \frac{0{,}035}{0{,}1475} = 1{.}236{,}69 \times 0{,}2373 = 293{,}41 \approx 293

Hasil Akhir: (c). $293$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $PV_s/PV_q = 2$ (setengah frekuensi = setengah PV) → ini benar hanya jika rate per-periode sama.
Tidak menyadari bahwa $v_s^{2n} = v_q^{4n}$ → sama-sama mendiskon $4n$ periode kuartalan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira $PV_{\text{tahunan}} = PV_q / 4$ → abaikan efek compounding rate.

▲Red Flags›

Jika ada dua PV anuitas dengan frekuensi berbeda → gunakan rasio $PV_q/PV_s = s/r$ untuk menemukan rate, lalu hitung PV yang diminta.

No. 7

Suatu aset memiliki nilai pokok sebesar $X$ sekarang. Tingkat bunga efektif $i$ diasumsikan berlaku seterusnya atas aset ini. Pada akhir setiap tahun uang sebesar $jX$ akan ditarik dari aset ini, selama memungkinkan. Diberikan pernyataan-pernyataan berikut:

(i) Jika $j = i$ maka aset akan ekivalen dengan perpetuitas.

(ii) Jika $j < i$ maka aset akan ekivalen dengan anuitas $n$ tahun, untuk suatu $n$ .

(iii) Jika $j > i$ maka nilai aset tidak akan habis dan akan terus bertumbuh.

Tentukan pernyataan mana yang benar.

a. i saja
b. i dan ii
c. i dan iii
d. ii dan iii
e. Semua benar

≡Jawaban No. 7›

(a). i saja

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 3

ℹRumus›

Perubahan saldo per tahun:

\Delta B = iX - jX = (i-j)X

Perpetuitas: penarikan = bunga yang dihasilkan, pokok tidak berubah.

Diketahui:

Nilai aset awal $= X$
Bunga efektif per tahun $= i$
Penarikan per akhir tahun $= jX$
Target: evaluasi kebenaran pernyataan (i), (ii), (iii)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Analisis pernyataan (i): $j = i$

Bunga yang dihasilkan per tahun $= iX$ . Penarikan $= iX$ . Saldo tidak berubah setiap tahun — aset bertahan selamanya. Ini memenuhi definisi perpetuitas. Pernyataan (i): BENAR ✓

Langkah 2: Analisis pernyataan (ii): $j < i$

Bunga yang dihasilkan $(iX)$ lebih besar dari penarikan $(jX)$ , sehingga saldo BERTAMBAH setiap tahun — aset tidak pernah habis, bahkan terus tumbuh. Ini bukan anuitas $n$ tahun. Pernyataan (ii): SALAH ✗

Langkah 3: Analisis pernyataan (iii): $j > i$

Penarikan $(jX)$ lebih besar dari bunga $(iX)$ , sehingga saldo BERKURANG setiap tahun. Pada suatu titik aset akan habis — ini ekivalen dengan anuitas $n$ tahun untuk suatu $n$ . Pernyataan (iii): SALAH ✗ (pernyataan bertukar dengan kondisi $j < i$ )

Langkah 4: Kesimpulan

Hanya pernyataan (i) yang benar → jawaban (a).

Hasil Akhir: (a). i saja

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menukar kondisi (ii) dan (iii): jika $j < i$ aset TUMBUH (bukan anuitas), jika $j > i$ aset MENYUSUT (anuitas $n$ tahun) — banyak siswa terbalik.
Mengira $j > i$ berarti aset tumbuh karena “bunga besar” — padahal $j$ adalah tarif penarikan, bukan bunga.

▲Red Flags›

Soal dengan penarikan $jX$ dari aset ber-rate $i$ → bandingkan $j$ vs $i$ : jika $j<i$ aset tumbuh, $j=i$ perpetuitas, $j>i$ aset habis.

No. 8

Bapak Robert meminjam uang sebesar $40{.}000$ yang akan lunas dengan cicilan selama 15 tahun dengan pembayaran sebesar $6{.}000$ di setiap akhir tahun. Setelah melakukan pembayaran cicilan pada akhir tahun ke-10, Pak Robert ingin memperpendek periode cicilan hutangnya sehingga akan lunas pada akhir tahun ke-12.

Tentukan besar pembayaran tambahan yang perlu dilakukan oleh Pak Robert pada akhir tahun ke-10. Bulatkan jawaban ke ratusan terdekat.

a. $8{.}900$
b. $9{.}700$
c. $10{.}600$
d. $11{.}300$
e. $12{.}000$

≡Jawaban No. 8›

(d). $11{.}300$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Outstanding balance prospective setelah $k$ pembayaran:

OB_k = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}

Equation of value untuk pembayaran tambahan $E$ :

OB_{10} - E = R \cdot a_{\overline{2}|i}

Diketahui:

$L = 40{.}000$ , $R = 6{.}000$ per tahun, $n = 15$ tahun
Setelah cicilan ke-10, ingin lunas di akhir tahun ke-12 (2 cicilan lagi)
Target: pembayaran tambahan $E$ di akhir tahun ke-10

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari tingkat bunga $i$

40{.}000 = 6{.}000 \cdot a_{\overline{15}|i} \implies a_{\overline{15}|i} = 6{,}6667

Dengan iterasi/solver: $i \approx 12{,}40\%$ per tahun.

Langkah 2: Hitung saldo setelah cicilan ke-10

Tersisa 5 cicilan (tahun ke-11 sampai 15), prospective:

OB_{10} = 6{.}000 \cdot a_{\overline{5}|12{,}40\%} = 6{.}000 \times 3{,}5690 = 21{.}414{,}22

Langkah 3: Hitung saldo setelah pembayaran tambahan

Jika ingin lunas di tahun ke-12 (2 cicilan $6{.}000$ tersisa):

OB_{10}^{\text{baru}} = 6{.}000 \cdot a_{\overline{2}|12{,}40\%} = 6{.}000 \times 1{,}6803 = 10{.}081{,}92

Langkah 4: Tentukan pembayaran tambahan $E$

E = OB_{10} - OB_{10}^{\text{baru}} = 21{.}414{,}22 - 10{.}081{,}92 = 11{.}332{,}30 \approx 11{.}300

Hasil Akhir: (d). $11{.}300$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengira “lunas di tahun ke-12” berarti 12 cicilan tersisa dari t=10 → padahal hanya 2 cicilan lagi (tahun 11 dan 12).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan OB retrospektif untuk cicilan normal, padahal prospektif lebih mudah.
Salah menentukan $n-k$ : setelah 10 cicilan dari 15, sisa = 5 cicilan (bukan 10).

▲Red Flags›

“Setelah pembayaran ke- $k$ , ingin lunas lebih cepat” → hitung $OB_k$ prospective, lalu $OB$ baru = PV cicilan yang tersisa.

No. 9

Pak Andre memiliki suatu hutang yang akan lunas dibayar dengan cicilan sebesar $X$ pada setiap akhir tahun selama 12 tahun. Pak Budi memiliki suatu hutang yang akan lunas dengan cicilan sebesar $1{,}2X$ pada setiap akhir tahun selama 10 tahun. Sisa hutang Pak Andre pada akhir tahun ke-7 sebelum pembayaran cicilan adalah $4{.}102{,}23$ . Sisa hutang Pak Budi pada akhir tahun ke-4 setelah pembayaran cicilan adalah $4{.}611{,}41$ . Jika tingkat bunga efektif kedua hutang adalah sama, tentukan sisa hutang Pak Budi setelah pembayaran cicilan ke-7.

a. $1{.}754$
b. $2{.}239$
c. $2{.}531$
d. $2{.}836$
e. $3{.}264$

≡Jawaban No. 9›

(c). $2{.}531$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

OB sebelum pembayaran ke- $(k+1)$ :

OB_k^{-} = OB_{k-1}^{+} \cdot (1+i) = R \cdot a_{\overline{n-k}|i} \cdot (1+i)

OB setelah pembayaran ke- $k$ :

OB_k^{+} = R \cdot a_{\overline{n-k}|i}

Diketahui:

Andre: cicilan $X$ , $n=12$ . $OB_7^- = 4{.}102{,}23$
Budi: cicilan $1{,}2X$ , $n=10$ . $OB_4^+ = 4{.}611{,}41$
Rate $i$ sama untuk keduanya
Target: $OB_7^+$ Budi

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Ekspresikan kondisi Andre

OB Andre sebelum cicilan ke-7 = OB setelah cicilan ke-6 dikali $(1+i)$ :

OB_7^- = X \cdot a_{\overline{6}|i} \cdot (1+i) = 4{.}102{,}23 \quad \cdots (1)

Langkah 2: Ekspresikan kondisi Budi

OB Budi setelah cicilan ke-4 = prospektif (sisa 6 cicilan):

OB_4^+ = 1{,}2X \cdot a_{\overline{6}|i} = 4{.}611{,}41 \quad \cdots (2)

Langkah 3: Cari $i$ dari perbandingan (1) dan (2)

Bagi (1) dengan (2):

\frac{X \cdot a_{\overline{6}|i} \cdot (1+i)}{1{,}2X \cdot a_{\overline{6}|i}} = \frac{4{.}102{,}23}{4{.}611{,}41}

\frac{1+i}{1{,}2} = 0{,}8895 \implies 1+i = 1{,}0674 \implies i = 6{,}74\%

Langkah 4: Cari $X$

Dari (2): $a_{\overline{6}|6{,}74\%} = 4{,}8036$ , maka:

X = \frac{4{.}611{,}41}{1{,}2 \times 4{,}8036} = 800{,}00

Langkah 5: Hitung $OB_7^+$ Budi

Sisa 3 cicilan (tahun 8, 9, 10):

OB_7^+ = 1{,}2 \times 800 \times a_{\overline{3}|6{,}74\%} = 960 \times 2{,}6364 = 2{.}530{,}89 \approx 2{.}531

Hasil Akhir: (c). $2{.}531$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengira OB Andre “sebelum cicilan ke-7” = prospektif 5 cicilan (t=8..12) → salah; sebelum cicilan ke-7 = 6 cicilan tersisa (7..12), dikalikan $(1+i)$ dari t=6.

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak membedakan $OB^-$ (sebelum bayar) dan $OB^+$ (setelah bayar) → menyebabkan persamaan yang salah.

▲Red Flags›

“Sebelum pembayaran cicilan ke- $k$ ” → $OB^- = OB_{k-1}^+ \cdot (1+i)$ bukan $X \cdot a_{\overline{n-k+1}}$ .

No. 10

Suatu hutang sebesar $8{.}000$ memiliki tingkat bunga nominal $10\%$ yang dikonversikan kwartalan. Pokok hutang akan dapat dibayar dengan dua cara:

(i) Hutang dilunasi selama 10 tahun dengan sinking fund yang memberikan tingkat bunga nominal $12\%$ yang dikonversikan kwartalan. Pembayaran bunga dan sinking fund dilakukan di setiap akhir kwartal.

(ii) Hutang dilunasi dengan cicilan tetap secara langsung ke pemberi pinjaman pada setiap akhir kwartal. Besar cicilan tetap sama dengan cara (i).

Pilih pernyataan yang paling tepat.

a. Cara (ii) dapat melunasi hutang 3 kwartal lebih cepat dari cara (i)
b. Cara (ii) dapat melunasi hutang 2 kwartal lebih cepat dari cara (i)
c. Cara (i) dan (ii) dapat melunasi hutang dengan waktu yang sama
d. Cara (ii) dapat melunasi hutang 2 kwartal lebih lambat dari cara (i)
e. Cara (ii) dapat melunasi hutang 3 kwartal lebih lambat dari cara (i)

≡Jawaban No. 10›

(e). Cara (ii) dapat melunasi hutang 3 kwartal lebih lambat dari cara (i)

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.2 Amortization Method
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Sinking fund deposit per periode:

D = \frac{L}{s_{\overline{n}|j}}

Total cicilan sinking fund per periode:

R_{\text{SF}} = L \cdot r + D

Amortisasi langsung: $n$ periode satisfying $L = R \cdot a_{\overline{n}|r}$

Diketahui:

$L = 8{.}000$ ; rate pinjaman: nominal $10\%$ dikv kwartalan → $r = 2{,}5\%$ /kuartal
SF rate: nominal $12\%$ dikv kwartalan → $j = 3\%$ /kuartal; $n_{\text{SF}} = 40$ kuartal
Cicilan cara (ii) = cicilan cara (i) (sama besarnya)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung cicilan cara (i)

Bunga per kuartal: $8{.}000 \times 2{,}5\% = 200$

Deposit SF: $D = \dfrac{8{.}000}{s_{\overline{40}|3\%}} = \dfrac{8{.}000}{75{,}4013} = 106{,}10$

Total cicilan cara (i): $R = 200 + 106{,}10 = 306{,}10$ per kuartal

Langkah 2: Hitung berapa kuartal cara (ii) melunasi hutang

Dengan amortisasi langsung, cicilan $306{,}10$ per kuartal, rate $2{,}5\%$ :

8{.}000 = 306{,}10 \cdot a_{\overline{n}|2{,}5\%}

a_{\overline{n}|2{,}5\%} = \frac{8{.}000}{306{,}10} = 26{,}1353

Menyelesaikan untuk $n$ : $(1{,}025)^{-n} = 1 - 0{,}025 \times 26{,}1353 = 0{,}3466$

n = \frac{-\ln(0{,}3466)}{\ln(1{,}025)} = 42{,}91 \implies n_{\text{amort}} = 43 \text{ kuartal}

Langkah 3: Bandingkan

Cara (i): 40 kuartal. Cara (ii): 43 kuartal. Selisih = 3 kuartal lebih lambat.

Hasil Akhir: (e). Cara (ii) 3 kuartal lebih lambat dari cara (i)

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Lupa bahwa $i^{(4)} = 10\%$ → rate per kuartal = $10\%/4 = 2{,}5\%$ , bukan $10\%$ .
Sama untuk SF: $i^{(4)} = 12\%$ → $j = 3\%$ /kuartal.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira SF rate lebih tinggi dari pinjaman rate → cara SF lebih efisien → cara (ii) lebih cepat. Ini SALAH: cara amortisasi bisa lebih lambat karena bunga amortisasi dihitung dari saldo yang lebih besar di awal.
Lupa membulatkan $n$ ke atas (ceiling) → cicilan ke-43 membayar sisa.

▲Red Flags›

Jika SF rate $>$ loan rate, umumnya cara (ii) lebih LAMBAT dari SF — verifikasi dengan hitung langsung.

No. 11

Pak Broto meminjam uang sebesar $10{.}000$ yang akan dilunasi dalam 10 tahun dan dikenai tingkat bunga tahunan efektif $9{,}5\%$ . Setiap akhir tahun Pak Broto dapat menyisihkan uang sebesar $1{.}500$ yang digunakan untuk membayar bunga dari hutang dan sisanya dialokasikan ke dalam sinking fund. Sinking fund memberikan bunga $8\%$ pada lima tahun pertama dan $10\%$ pada lima tahun berikutnya.

Tentukan posisi sinking fund di akhir 10 tahun.

a. Cukup untuk membayar hutang dan terdapat kelebihan uang sebesar $X$ , dengan $X \geq 1{.}500$
b. Cukup untuk membayar hutang dan terdapat kelebihan uang sebesar $X$ , dengan $X < 1{.}500$
c. Tepat cukup untuk membayar hutang
d. Kekurangan $X$ untuk membayar hutang, dengan $X < 1{.}500$
e. Kekurangan $X$ untuk membayar hutang, dengan $X \geq 1{.}500$

≡Jawaban No. 11›

(d). Kekurangan $X$ untuk membayar hutang, dengan $X < 1{.}500$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Kontribusi SF per tahun:

D = \text{Total pembayaran} - \text{Bunga pinjaman} = 1{.}500 - 10{.}000 \times 9{,}5\%

Akumulasi SF dengan rate berubah di tahun ke-6:

SF_{10} = SF_5 \cdot (1+j_2)^5 + D \cdot s_{\overline{5}|j_2}

Diketahui:

$L = 10{.}000$ , $i_{\text{loan}} = 9{,}5\%$ , total pembayaran per tahun $= 1{.}500$
SF: $j_1 = 8\%$ (tahun 1–5), $j_2 = 10\%$ (tahun 6–10)
Target: apakah SF cukup membayar $10{.}000$ di akhir tahun ke-10?

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung bunga pinjaman dan kontribusi SF

\text{Bunga} = 10{.}000 \times 9{,}5\% = 950

D = 1{.}500 - 950 = 550 \text{ per tahun}

Langkah 2: Akumulasi SF di akhir tahun ke-5

SF_5 = 550 \cdot s_{\overline{5}|8\%} = 550 \times \frac{(1{,}08)^5-1}{0{,}08} = 550 \times 5{,}8666 = 3{.}226{,}63

Langkah 3: Akumulasi SF di akhir tahun ke-10

SF_{10} = 3{.}226{,}63 \times (1{,}10)^5 + 550 \times s_{\overline{5}|10\%}

= 3{.}226{,}63 \times 1{,}6105 + 550 \times 6{,}1051

= 5{.}197{,}02 + 3{.}357{,}81 = 8{.}554{,}83

Langkah 4: Evaluasi posisi SF

SF hanya terkumpul $8{.}554{,}83$ , sementara hutang $= 10{.}000$ . Kekurangan $= 10{.}000 - 8{.}554{,}83 = 1{.}445{,}17 < 1{.}500$

Hasil Akhir: (d). Kekurangan $1{.}445{,}17 < 1{.}500$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengabaikan bahwa $D = 550$ diinvestasikan di SF, bukan $1{.}500$ semuanya.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa $SF_5$ juga terus berkembang dengan rate $j_2 = 10\%$ setelah tahun ke-5.

Menggunakan bunga sederhana untuk akumulasi SF alih-alih bunga majemuk.

▲Red Flags›

SF rate berubah → hitung akumulasi dalam dua fase: $SF_5$ dulu, lalu $SF_{10} = SF_5(1+j_2)^5 + D \cdot s_{\overline{5}|j_2}$ .

No. 12

Sebuah obligasi 15 tahun memiliki nilai par $1{.}000$ dan memberikan kupon yang dibayarkan setiap setengah tahun dengan tingkat kupon tahunan $6\%$ . Nilai penebusan obligasi ini adalah $1{.}000$ .

Tentukan harga dari obligasi ini jika tingkat imbal hasil nominal (yield rate) dari obligasi ini adalah $7\%$ dikonversikan semesteran. Bulatkan jawaban ke puluhan terdekat.

a. $910$
b. $960$
c. $1{.}040$
d. $1{.}090$
e. Tidak ada jawaban yang benar

≡Jawaban No. 12›

(a). $910$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing
Difficulty	Easy
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

Harga obligasi:

P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n

Di mana $Fr$ = kupon per periode, $C$ = nilai penebusan, $j$ = yield per periode, $n$ = jumlah periode.

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ , tenor $= 15$ tahun $= 30$ semester
Kupon tahunan $6\%$ → kupon per semester $= 1{.}000 \times 3\% = 30$
Yield nominal $7\%$ dikv semesteran → $j = 3{,}5\%$ /semester
Target: harga $P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV kupon

PV_{\text{kupon}} = 30 \cdot a_{\overline{30}|3{,}5\%} = 30 \times \frac{1-(1{,}035)^{-30}}{0{,}035}

= 30 \times \frac{1-0{,}3563}{0{,}035} = 30 \times 18{,}3920 = 551{,}76

Langkah 2: Hitung PV redemption

PV_C = 1{.}000 \times (1{,}035)^{-30} = 1{.}000 \times 0{,}3563 = 356{,}28

Langkah 3: Harga total

P = 551{,}76 + 356{,}28 = 908{,}04 \approx 910

Hasil Akhir: (a). $910$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $n = 15$ (tahun) alih-alih $n = 30$ (semester) → PV kupon jauh lebih kecil.
Menggunakan yield tahunan $7\%$ untuk mendiskon, bukan yield per semester $3{,}5\%$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menghitung kupon per semester: $1000 \times 6\% = 60$ (bukan $30$ ) → mengabaikan “dibayarkan setiap setengah tahun”.

▲Red Flags›

“Kupon $r\%$ tahunan dibayar semesteran” + “yield nominal $y\%$ dikv semesteran” → kupon per semester $= Fr/2$ , yield per semester $= y/2$ , $n =$ tahun $\times 2$ .

No. 13

Mula-mula diketahui dua buah obligasi dengan nilai penebusan dan tingkat kupon yang sama serta dihargai dengan tingkat imbal hasil (yield rate) yang sama. Obligasi pertama memiliki tenor 4 tahun, sedangkan obligasi kedua memiliki tenor 10 tahun. Obligasi ketiga adalah obligasi tanpa kupon yang memiliki tenor, nilai penebusan, dan tingkat imbal hasil yang sama dengan obligasi pertama. Tingkat imbal hasil (yield rate) pasar kemudian turun sebesar $1\%$ sedemikian sehingga harga obligasi pertama, kedua, dan ketiga berubah sebesar $D_1\%$ , $D_2\%$ dan $D_3\%$ berturut-turut dari harga mula-mula.

Tentukan hubungan antara $D_1$ , $D_2$ dan $D_3$ .

Catatan: $|x|$ adalah nilai mutlak dari $x$ .

a. $|D_1| > |D_3| > |D_2|$
b. $|D_1| < |D_3| < |D_2|$
c. $|D_3| > |D_1| > |D_2|$
d. $|D_3| < |D_1| < |D_2|$
e. Tidak ada jawaban yang benar karena hubungan antara $D_1$ dan $D_3$ tidak dapat dipastikan dengan informasi yang ada.

≡Jawaban No. 13›

(b). $|D_1| < |D_3| < |D_2|$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Tingkat Bunga
Sub-topik	3.3 Duration, Macaulay and Modified
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.4 Convexity
Referensi	Vaaler Bab 7–8; Kellison Bab 7–8

ℹRumus›

Perubahan harga obligasi $\approx -D_{\text{mod}} \cdot \Delta y \cdot P$

Macaulay duration coupon bond: $D_{\text{mac}} < n$ (lebih pendek dari tenor)

Macaulay duration zero-coupon bond: $D_{\text{mac}} = n$ (tepat sama dengan tenor)

Diketahui:

Obligasi 1: kupon, 4 tahun → $D_1^{\text{mac}} < 4$
Obligasi 2: kupon sama, 10 tahun → $D_2^{\text{mac}} < 10$ , dan $D_2^{\text{mac}} > D_1^{\text{mac}}$
Obligasi 3: zero-coupon, 4 tahun → $D_3^{\text{mac}} = 4$ tepat
Yield turun $1\%$ ; perubahan harga $\propto D_{\text{mod}}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bandingkan duration Obligasi 1 dan 3

Obligasi 1 (kupon, 4 tahun): kupon menarik CF lebih awal → $D_1^{\text{mac}} < 4$ Obligasi 3 (zero-coupon, 4 tahun): semua CF di akhir → $D_3^{\text{mac}} = 4$ Maka: $D_1^{\text{mac}} < D_3^{\text{mac}}$ , sehingga $|D_1\%| < |D_3\%|$

Langkah 2: Bandingkan duration Obligasi 3 dan 2

Obligasi 2 (kupon, 10 tahun): $D_2^{\text{mac}}$ mendekati $10$ tapi kurang dari $10$ . Obligasi 3: $D_3^{\text{mac}} = 4$ . Karena $10 > 4$ , jelas $D_2^{\text{mac}} > D_3^{\text{mac}}$ , sehingga $|D_2\%| > |D_3\%|$

Langkah 3: Urutan akhir

D_1^{\text{mac}} < D_3^{\text{mac}} < D_2^{\text{mac}}

\implies |D_1\%| < |D_3\%| < |D_2\%|

Hasil Akhir: (b). $|D_1| < |D_3| < |D_2|$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira zero-coupon bond memiliki duration lebih PENDEK karena “tidak ada kupon” → SALAH; tanpa kupon, semua CF di akhir sehingga duration = tenor penuh.
Mengira obligasi 2 lebih pendek durationnya dari obligasi 3 karena “kupon menurunkan duration” → benar bahwa kupon menurunkan duration, tetapi tenor yang jauh lebih panjang mendominasi.

▲Red Flags›

Soal tentang sensitivitas harga terhadap yield → gunakan konsep Modified Duration.
Zero-coupon bond = duration tepat = tenor → paling sensitif di antara bond dengan tenor sama.

No. 14

Pak Tommy berinvestasi pada suatu bisnis milik Pak Tino sebesar $1{.}000$ pada setiap awal tahun selama 3 tahun. Pak Tino berjanji akan memberikan dividen dengan rumus berikut:

\text{Dividen tahun } n = 400 \times (n+1)

Dividen akan dibayar pada setiap akhir tahun selama 5 tahun dimulai sejak bisnisnya mulai menghasilkan laba. Menurut analisa Pak Tino, bisnisnya diprediksi akan mulai menghasilkan laba paling cepat pada tahun ke-4 dan paling lambat pada tahun ke-6.

Tentukan nilai maksimal IRR (internal rate of return) yang dapat diperoleh Pak Tommy sebagai investor.

a. $19\%$
b. $23\%$
c. $28\%$
d. $32\%$
e. $35\%$

≡Jawaban No. 14›

(e). $35\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Kellison Bab 2; Vaaler Bab 1–2

ℹRumus›

IRR adalah $i$ yang membuat NPV = 0:

\sum_t CF_t \cdot v^t = 0

IRR maksimal → penerimaan (dividen) datang sepaling cepat (t-start = 4).

Diketahui:

Investasi: $1{.}000$ di $t = 0, 1, 2$
Dividen: $400(n+1)$ di akhir tahun ke- $n$ , untuk $n = 4, 5, 6, 7, 8$ (jika laba mulai tahun ke-4)
- $n=4$ : $d = 2{.}000$ ; $n=5$ : $d = 2{.}400$ ; $n=6$ : $d = 2{.}800$ ; $n=7$ : $d = 3{.}200$ ; $n=8$ : $d = 3{.}600$
IRR maks ↔ laba dimulai paling cepat (tahun ke-4)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun cash flow untuk skenario terbaik (laba mulai tahun ke-4)

t	Cash Flow
0	$-1{.}000$
1	$-1{.}000$
2	$-1{.}000$
4	$+2{.}000$
5	$+2{.}400$
6	$+2{.}800$
7	$+3{.}200$
8	$+3{.}600$

Langkah 2: Selesaikan persamaan IRR

-1{.}000 - 1{.}000v - 1{.}000v^2 + 2{.}000v^4 + 2{.}400v^5 + 2{.}800v^6 + 3{.}200v^7 + 3{.}600v^8 = 0

Dengan solver numerik: $i \approx 35{,}3\% \approx 35\%$

Hasil Akhir: (e). $35\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira $n$ dalam $400(n+1)$ adalah urutan pembayaran ( $n=1,2,3,4,5$ ) → dividen menjadi $800, 1200, 1600, 2000, 2400$ . Interpretasi yang benar: $n$ adalah tahun kalender tempat dividen dibayarkan ( $n=4,5,...,8$ ).
Mengira IRR maksimal saat dividen datang paling lambat → SALAH; IRR maks = dividen datang paling CEPAT.

▲Red Flags›

“Nilai maksimal IRR” + rentang waktu mulai laba → IRR maks terjadi saat CF positif datang paling awal.

No. 15

Bu Dina berencana untuk berinvestasi pada saham perusahaan Prestasi Plus pada setiap awal semester sepanjang tahun 2021. Bu Dina akan membeli sebanyak mungkin lembar saham yang dapat dibeli dengan uang sebesar $1{.}000$ pada setiap awal semester. Asumsikan saham dapat dibeli dalam jumlah pecahan. Diketahui juga harga saham yang terealisasi sepanjang tahun 2021:

Tanggal	Harga saham per lembar
1-Jan-21	$100$
1-Jul-21	$91$

Diketahui time-weighted rate of return dari investasi Bu Dina adalah $-2\%$ . Tentukan dollar-weighted rate of return dari investasi Bu Dina. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $-4\%$
b. $-2\%$
c. $0\%$
d. $2\%$
e. $4\%$

≡Jawaban No. 15›

(e). $4\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 2; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

TWRR: $1 + r_{\text{TW}} = (1+r_1)(1+r_2)$

DWRR (simple interest approximation):

1 + r_{\text{DW}} = \frac{V_1}{V_0 + C \cdot w}

dimana $w$ = proporsi waktu investasi tambahan tersisa.

Diketahui:

Beli $1{.}000/100 = 10$ lembar di Jan ( $t=0$ )
Beli $1{.}000/91 \approx 10{,}989$ lembar di Jul ( $t=0{,}5$ )
$TWRR = -2\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari harga akhir tahun ( $P_1$ ) dari TWRR

Sub-period 1 (Jan–Jun): $r_1 = (91 - 100)/100 = -9\%$ Sub-period 2 (Jul–Des): $r_2 = (P_1 - 91)/91$

(1-0{,}09)(1+r_2) = 1 - 0{,}02

(0{,}91)(1+r_2) = 0{,}98 \implies r_2 = 0{,}0769 = 7{,}69\%

P_1 = 91 \times 1{,}0769 = 98{,}00

Langkah 2: Hitung nilai akhir portofolio

Total saham $= 10 + 10{,}989 = 20{,}989$ lembar

V_1 = 20{,}989 \times 98{,}00 = 2{.}056{,}92

Langkah 3: Hitung DWRR

Investasi: $-1{.}000$ di $t=0$ , $-1{.}000$ di $t=0{,}5$ . NPV = 0:

-1{.}000 - 1{.}000(1+i)^{-0{,}5} + 2{.}056{,}92(1+i)^{-1} = 0

Dengan solver: $i_{\text{DW}} \approx 3{,}81\% \approx 4\%$

Hasil Akhir: (e). $4\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira DWRR = TWRR → keduanya sama hanya jika tidak ada cash flow tambahan di tengah periode.
TWRR negatif tetapi DWRR positif: ini bisa terjadi jika investasi tambahan dilakukan saat harga rendah (Jul) dan harga akhir pulih.

▲Red Flags›

Soal TWRR dan DWRR bersamaan → hitung harga akhir dari TWRR dulu, lalu gunakan untuk menghitung nilai akhir portofolio bagi DWRR.

No. 16

Suatu hutang sebesar $7{.}000$ yang dikenakan tingkat bunga efektif tahunan $9{,}5\%$ akan dicicil selama 14 tahun. Hutang tersebut dicicil dengan pembayaran sebesar $P$ di setiap akhir tahun selama 6 tahun pertama dan dengan pembayaran $2P$ di setiap akhir tahun selama 8 tahun berikutnya.

Tentukan jumlah dari porsi pokok dari pembayaran cicilan ke-6 dan ke-7. Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.

a. $19$
b. $612$
c. $634$
d. $1{.}263$
e. $1{.}321$

≡Jawaban No. 16›

(b). $612$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Porsi pokok cicilan ke- $t$ (retrospective):

\text{Pokok}_t = \text{PMT}_t - i \cdot OB_{t-1}

$OB_t$ dihitung secara retrospektif (aktual):

OB_t = OB_{t-1} \cdot (1+i) - \text{PMT}_t

Diketahui:

$L = 7{.}000$ , $i = 9{,}5\%$
PMT tahun 1–6 $= P$ , PMT tahun 7–14 $= 2P$
Target: porsi pokok cicilan ke-6 + ke-7

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $P$ dari equation of value

7{.}000 = P \cdot a_{\overline{6}|9{,}5\%} + 2P \cdot v^6 \cdot a_{\overline{8}|9{,}5\%}

7{.}000 = P(4{,}4198 + 2 \times 0{,}5801 \times 5{,}4334) = P \times 10{,}7299

P = 652{,}75

Langkah 2: Bangun tabel amortisasi aktual (retrospektif)

$OB_0 = 7{.}000$ . Hitung secara berurutan $OB_t = OB_{t-1}(1{,}095) - \text{PMT}_t$ :

t	$OB_{t-1}$	Bunga	PMT	Pokok	$OB_t$
5	…	…	$652{,}75$	…	$7{.}074{,}05$
6	$7{.}074{,}05$	$672{,}03$	$652{,}75$	$\mathbf{-19{,}28}$	$7{.}093{,}34$
7	$7{.}093{,}34$	$673{,}87$	$1{.}305{,}50$	$\mathbf{631{,}63}$	$6{.}461{,}71$

Langkah 3: Jumlahkan porsi pokok

\text{Pokok}_6 + \text{Pokok}_7 = -19{,}28 + 631{,}63 = 612{,}35 \approx 612

Catatan: pokok ke-6 negatif berarti hutang naik pada cicilan ke-6 karena pembayaran $P$ lebih kecil dari bunga yang terakumulasi.

Hasil Akhir: (b). $612$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan OB prospektif untuk menghitung bunga cicilan ke-6: prospektif memberi $6{.}512$ (berbeda dari retrospektif $7{.}074$ ) → hasil bunga berbeda.
Dalam loan bertingkat (stepped payments), OB harus dihitung retrospektif untuk jadwal amortisasi yang akurat.
Lupa bahwa pokok bisa negatif (hutang bisa naik) jika cicilan lebih kecil dari bunga.

▲Red Flags›

Loan dengan PMT berubah di tengah tenor → hitung amortisasi dari awal secara aktual, jangan menggunakan OB prospektif untuk mencari bunga.

No. 17

Suatu produk investasi memiliki tingkat bunga yang setara dengan tingkat force of interest $7\%$ .

Tentukan hasil investasi dari $1{.}000$ selama 7 tahun 4 bulan dari produk investasi tersebut.

a. $1{.}661$
b. $1{.}671$
c. $1{.}700$
d. $1{.}710$
e. $1{.}822$

≡Jawaban No. 17›

(b). $1{.}671$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Akumulasi dengan force of interest konstan $\delta$ :

AV = PV \cdot e^{\delta t}

Diketahui:

$PV = 1{.}000$ , $\delta = 7\% = 0{,}07$
$t = 7 + \frac{4}{12} = \frac{22}{3}$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Konversi waktu ke desimal

t = 7 + \frac{4}{12} = 7{,}3333 \text{ tahun}

Langkah 2: Hitung AV

AV = 1{.}000 \cdot e^{0{,}07 \times 7{,}3333} = 1{.}000 \cdot e^{0{,}5133} = 1{.}000 \times 1{,}6709 = 1{.}671

Hasil Akhir: (b). $1{.}671$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mengira “7 tahun 4 bulan” = 7,4 tahun → hasilkan $e^{0.07 \times 7.4} = 1.679$ (salah).
4 bulan = $4/12 = 1/3$ tahun, bukan 0,4 tahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan bunga majemuk $(1+i)^t$ dengan $i$ efektif, bukan $e^{\delta t}$ → perlu konversi $i = e^\delta - 1$ terlebih dahulu.

▲Red Flags›

Soal menyebut “force of interest $\delta$ ” → LANGSUNG gunakan $e^{\delta t}$ .

No. 18

Sebuah perpetuitas dengan pembayaran $500$ di setiap akhir tahun untuk 5 tahun pertama dan kemudian pembayaran $50$ di setiap akhir bulan untuk seterusnya. Jika tingkat bunga efektif tahunan adalah $8\%$ , tentukan nilai kini dari perpetuitas ini. Bulatkan jawaban ke satuan terdekat.

a. $7{.}285$
b. $7{.}541$
c. $7{.}890$
d. $8{.}217$
e. $8{.}604$

≡Jawaban No. 18›

(a). $7{.}285$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.4 Continuous Annuities
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 3

ℹRumus›

Perpetuitas bulanan di rate bulanan $j$ :

PV_{\text{perp, bulanan}} = \frac{50}{j} \quad \text{di mana } j = (1{,}08)^{1/12} - 1

Rate efektif bulanan: $(1+j)^{12} = 1{,}08$

Diketahui:

Fase 1: $500$ /akhir tahun, tahun 1–5
Fase 2: $50$ /akhir bulan, mulai bulan pertama setelah tahun ke-5 (selamanya)
$i = 8\%$ efektif tahunan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Rate bulanan efektif

j = (1{,}08)^{1/12} - 1 = 0{,}006434 \text{ per bulan}

Langkah 2: PV perpetuitas bulanan di t=5

PV_{\text{perp}}^{t=5} = \frac{50}{j} = \frac{50}{0{,}006434} = 7{.}771{,}18

Langkah 3: Diskonto PV perpetuitas ke t=0

PV_{\text{perp}}^{t=0} = 7{.}771{,}18 \times (1{,}08)^{-5} = 7{.}771{,}18 \times 0{,}6806 = 5{.}288{,}93

Langkah 4: PV anuitas fase 1

PV_{\text{ann}} = 500 \times a_{\overline{5}|8\%} = 500 \times \frac{1-(1{,}08)^{-5}}{0{,}08} = 500 \times 3{,}9927 = 1{.}996{,}36

Langkah 5: Total PV

PV = 1{.}996{,}36 + 5{.}288{,}93 = 7{.}285{,}29 \approx 7{.}285

Hasil Akhir: (a). $7{.}285$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate tahunan $8\%$ untuk perpetuitas bulanan: $PV = 50 \times 12 / 0{,}08$ → salah, karena $50$ adalah per bulan bukan per tahun.
Lupa mendiskon PV perpetuitas bulanan dari t=5 ke t=0.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira perpetuitas bulanan $50$ /bulan ekivalen dengan $600$ /tahun lalu hitung $PV = 600/0{,}08$ → mengabaikan efek timing intra-tahun.

▲Red Flags›

Perpetuitas dengan frekuensi berbeda dari rate yang diberikan → konversi rate ke frekuensi yang sesuai.

No. 19

Bank DEF memiliki dua produk deposito.

Deposito A memberikan bunga majemuk tahunan sebesar $9\%$ .
Deposito B memberikan bunga sederhana efektif tahunan sebesar $9\%$ .

Tentukan pernyataan yang benar jika uang senilai $10{.}000$ akan dimasukkan ke dalam deposito selama 6 bulan.

a. Hasil deposito A sama dengan deposito B
b. Hasil deposito A lebih besar dari deposito B sebesar $5$
c. Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $5$
d. Hasil deposito A lebih besar dari deposito B sebesar $10$
e. Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $10$

≡Jawaban No. 19›

(e). Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $10$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Bunga majemuk selama $t$ tahun: $AV_A = PV \cdot (1+i)^t$

Bunga sederhana selama $t$ tahun: $AV_B = PV \cdot (1 + i \cdot t)$

Diketahui:

$PV = 10{.}000$ , $i = 9\%$ , $t = 0{,}5$ tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV Deposito A (majemuk)

FV_A = 10{.}000 \times (1{,}09)^{0{,}5} = 10{.}000 \times 1{,}04403 = 10{.}440{,}31

Langkah 2: Hitung FV Deposito B (sederhana)

FV_B = 10{.}000 \times (1 + 0{,}09 \times 0{,}5) = 10{.}000 \times 1{,}045 = 10{.}450{,}00

Langkah 3: Bandingkan

FV_B - FV_A = 10{.}450 - 10{.}440{,}31 = 9{,}69 \approx 10

Deposito B lebih besar dari A sekitar $10$ .

Hasil Akhir: (e). Hasil deposito B lebih besar dari deposito A sebesar $10$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira majemuk selalu lebih besar dari sederhana → SALAH untuk periode $t < 1$ : untuk $t < 1$ , bunga sederhana menghasilkan lebih banyak dari bunga majemuk pada rate yang sama.
Intuisi: $(1+i)^t < 1+it$ untuk $0 < t < 1$ dan $i > 0$ (dari ketidaksamaan AM-GM).

▲Red Flags›

“Deposito 6 bulan” dengan perbandingan majemuk vs sederhana → sederhana lebih besar untuk $t < 1$ .

No. 20

Bu Tina berhutang sebesar $10{.}000$ kepada Bank Sejahtera untuk keperluan KPR dengan tenor 15 tahun. Hutang akan dicicil dengan pembayaran tetap di setiap akhir tahun dengan bunga efektif tahunan $12\%$ . Setelah tahun pembayaran ke-10, Bank Sejahtera memberikan tingkat bunga promo sebesar $9{,}5\%$ . Bu Tina diizinkan untuk melunasi sisa hutangnya dengan tingkat bunga promo tersebut tanpa pinalti dengan syarat Bu Tina harus mengambil hutang baru sebesar $1{.}000$ yang akan dikenakan tingkat bunga promo yang sama dan dilunasi selama 10 tahun. Besar cicilan KPR pada 5 tahun terakhir memiliki besar yang tetap. Bu Tina memutuskan untuk mengambil tingkat bunga promo ini.

Tentukan nilai dari total besar bunga yang baru (termasuk bunga atas pinjaman tambahan) dikurangi dengan total besar bunga yang lama. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. Kurang dari $-100$
b. Di antara $-100$ dan $-25$
c. Di antara $-25$ dan $25$
d. Di antara $25$ dan $100$
e. Lebih dari $100$

≡Jawaban No. 20›

(e). Lebih dari $100$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Total bunga $=$ total pembayaran $-$ total pokok

Diketahui:

KPR awal: $10{.}000$ , $i_1 = 12\%$ , 15 tahun, cicilan $R_1$
Setelah 10 cicilan, sisa hutang $OB_{10}$ dilunasi dengan $i_2 = 9{,}5\%$ dalam 5 tahun
Tambahan hutang $1{.}000$ dilunasi dalam 10 tahun dengan $i_2 = 9{,}5\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung cicilan dan bunga total LAMA

R_1 = \frac{10{.}000 \times 12\%}{1-(1{,}12)^{-15}} = 1{.}468{,}24

\text{Bunga lama} = 1{.}468{,}24 \times 15 - 10{.}000 = 12{.}023{,}64

Langkah 2: Hitung saldo setelah 10 cicilan

OB_{10} = 1{.}468{,}24 \times a_{\overline{5}|12\%} = 1{.}468{,}24 \times 3{,}6048 = 5{.}292{,}69

Langkah 3: Bunga KPR skenario BARU

10 tahun pertama (sama): bunga $= 1{.}468{,}24 \times 10 - (10{.}000 - 5{.}292{,}69) = 9{.}975{,}11$
5 tahun terakhir, $OB_{10}$ dilunasi: $R_{\text{kpr,baru}} = \dfrac{5{.}292{,}69 \times 9{,}5\%}{1-(1{,}095)^{-5}} = 1{.}378{,}41$ Bunga $= 1{.}378{,}41 \times 5 - 5{.}292{,}69 = 1{.}599{,}36$
Pinjaman tambahan $1{.}000$ , 10 tahun: $R_{\text{baru}} = \dfrac{1{.}000 \times 9{,}5\%}{1-(1{,}095)^{-10}} = 159{,}27$ Bunga $= 159{,}27 \times 10 - 1{.}000 = 592{,}66$

\text{Bunga baru} = 9{.}975{,}11 + 1{.}599{,}36 + 592{,}66 = 12{.}167{,}13

Langkah 4: Selisih

\Delta = 12{.}167{,}13 - 12{.}023{,}64 = +143{,}49 > 100

Hasil Akhir: (e). Lebih dari $100$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira rate turun dari 12% ke 9.5% selalu menguntungkan (total bunga lebih kecil) → SALAH di sini karena ada tambahan hutang $1.000$ selama 10 tahun yang menambah total bunga.
Lupa memasukkan bunga dari pinjaman tambahan $1{.}000$ ke dalam “bunga baru”.

▲Red Flags›

Soal “bunga baru vs bunga lama” dengan kondisi kompleks → hitung TOTAL pembayaran dikurangi TOTAL pokok untuk masing-masing skenario.

No. 21

Dari persamaan-persamaan berikut, yang manakah yang benar?

(i) $a_{\overline{n+1}|} = a_{\overline{n}|} + v^{n+1}$

(ii) $\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = (1+i)\left(1+\ddot{s}_{\overline{n}|}\right)$

(iii) $e^{\delta} = \lim_{m \to \infty} \left(1 + \dfrac{i^{(m)}}{m}\right)^m$

a. 1 dan 2
b. 1 dan 3
c. 2 dan 3
d. 1, 2, dan 3
e. Hanya satu dari tiga persamaan di atas yang benar

≡Jawaban No. 21›

(d). 1, 2, dan 3

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.4 Continuous Annuities
Referensi	Kellison Bab 3; Vaaler Bab 1, 3

ℹRumus›

Rekursi annuity-immediate: $a_{\overline{n}|} = \dfrac{1-v^n}{i}$

Rekursi annuity-due accumulated: $\ddot{s}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|}$

Force of interest: $\delta = \ln(1+i)$ , sehingga $e^\delta = 1+i$

Diketahui: Verifikasi ketiga persamaan secara algebrais.

▸Langkah Pengerjaan›

Persamaan (i): $a_{\overline{n+1}|} = a_{\overline{n}|} + v^{n+1}$

a_{\overline{n}|} + v^{n+1} = \frac{1-v^n}{i} + v^{n+1}

= \frac{1-v^n + i \cdot v^{n+1}}{i} = \frac{1 - v^n + iv^{n+1}}{i}

Perhatikan bahwa $1 - v = iv$ (karena $v = 1/(1+i)$ maka $iv = i/(1+i) = 1 - 1/(1+i) = 1-v$ ):

= \frac{1 - v^n(1 - iv)}{i} = \frac{1 - v^n \cdot v^{-1} \cdot ... }{i}

Cara lebih langsung: $v^n(1-v)/i = v^n \cdot iv/i = v^{n+1}$ , sehingga:

a_{\overline{n}|} + v^{n+1} = \frac{1-v^{n+1}}{i} = a_{\overline{n+1}|} \quad \checkmark

Persamaan (ii): $\ddot{s}_{\overline{n+1}|} = (1+i)(1+\ddot{s}_{\overline{n}|})$

\ddot{s}_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot s_{\overline{n}|} = (1+i) \cdot \dfrac{(1+i)^n-1}{i}

$\text{RHS} = (1+i)\left(1 + (1+i)\frac{(1+i)^n-1}{i}\right) = (1+i) \cdot \frac{i + (1+i)^{n+1} - (1+i)}{i}$ $= (1+i) \cdot \frac{(1+i)^{n+1}-1}{i} = \ddot{s}_{\overline{n+1}|} \quad \checkmark$

Persamaan (iii): $e^\delta = \lim_{m\to\infty}(1 + i^{(m)}/m)^m$

Definisi $i^{(m)}$ : $(1+i^{(m)}/m)^m = 1+i$ untuk semua $m$ berhingga. Namun saat $m\to\infty$ , $i^{(m)} \to \delta$ , dan $(1+\delta/m)^m \to e^\delta$ . Karena $1+i = e^\delta$ , maka limit $= e^\delta$ . $\checkmark$

Ketiga persamaan benar.

Hasil Akhir: (d). 1, 2, dan 3

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira (i) salah karena ” $a_{\overline{n}|} + v^{n+1}$ bukan rekursi standar” → rekursi ini valid dan bisa dibuktikan algebrais.
Mengira (iii) salah karena $(1+i^{(m)}/m)^m = 1+i$ untuk semua $m$ berhingga → benar, tapi di limit $m\to\infty$ , $i^{(m)}\to\delta$ dan hasilnya $e^\delta = 1+i$ .

▲Red Flags›

Soal “pernyataan mana yang benar” untuk formula anuitas → verifikasi secara algebrais satu per satu; jangan mengandalkan hafalan saja.

No. 22

Sebuah obligasi 20 tahun dengan nilai par $1{.}000$ dan tingkat kupon $8{,}5\%$ yang dibayarkan semesteran dijual pada harga $990$ . Kupon dapat diinvestasikan kembali dengan tingkat bunga nominal $6\%$ dikonversikan semesteran. Asumsikan pembeli obligasi tetap memiliki obligasi tersebut hingga jatuh tempo, tentukan tingkat imbal hasil (yield rate) efektif tahunan secara keseluruhan yang didapat oleh pembeli obligasi. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $4{,}4\%$
b. $6{,}1\%$
c. $7{,}5\%$
d. $9{,}0\%$
e. $10{,}6\%$

≡Jawaban No. 22›

(c). $7{,}5\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

Total FV di jatuh tempo = FV kupon (reinvested) + Redemption value

FV_{\text{kupon}} = Fr \cdot s_{\overline{n}|j_{\text{reinvest}}}

Overall yield: $(1+y)^T = FV_{\text{total}} / P$

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ , kupon $8{,}5\%$ /tahun dibayar semesteran → kupon per semester $= 42{,}5$
Harga beli $P = 990$ , tenor $= 40$ semester
Reinvest rate: nominal $6\%$ dikv semesteran → $j_r = 3\%$ /semester

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: FV kupon di jatuh tempo (reinvested)

FV_{\text{kupon}} = 42{,}5 \times s_{\overline{40}|3\%} = 42{,}5 \times \frac{(1{,}03)^{40}-1}{0{,}03}

= 42{,}5 \times 75{,}4013 = 3{.}204{,}55

Langkah 2: FV total

FV_{\text{total}} = 3{.}204{,}55 + 1{.}000 = 4{.}204{,}55

Langkah 3: Hitung yield efektif tahunan

Periode investasi $= 20$ tahun:

(1+y)^{20} = \frac{4{.}204{,}55}{990} = 4{,}2470

y = 4{,}2470^{1/20} - 1 = 0{,}0750 = 7{,}50\%

Hasil Akhir: (c). $7{,}5\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung yield dengan mengabaikan reinvestment rate (mengira kupon tidak diinvestasikan kembali) → menghasilkan yield mendekati yield to maturity biasa ( $\approx 8{,}6\%$ ).
Mengira overall yield hanya mempertimbangkan capital gain/loss dari harga beli $990$ → mengabaikan FV kupon.

▲Red Flags›

Soal menyebut “reinvested dengan rate berbeda” → ini bukan soal yield-to-maturity standar; harus hitung FV semua kupon lalu tentukan overall return.

No. 23

Diberikan harga semula dari sebuah obligasi 8 tahun dengan par $1{.}000$ dan tingkat kupon $9{,}0\%$ yang dibayarkan semesteran adalah $1{.}050$ . Jika tingkat imbal hasil dari obligasi tersebut naik $1\%$ dari semula, berapakah dampak terhadap harga obligasi tersebut?

a. Harga berubah (naik atau turun) tidak lebih dari $5\%$
b. Harga naik lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$
c. Harga turun lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$
d. Harga naik lebih dari $10\%$
e. Harga turun lebih dari $10\%$

≡Jawaban No. 23›

(c). Harga turun lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.3 Duration, Macaulay and Modified
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 7

ℹRumus›

Harga obligasi: $P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n$

Yield naik → harga turun (hubungan terbalik).

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ , kupon $9\%$ /tahun dibayar semesteran → kupon per semester $= 45$
$P_0 = 1{.}050$ , tenor $= 16$ semester
Yield efektif tahunan naik $1\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari yield awal per semester

1{.}050 = 45 \cdot a_{\overline{16}|j_0} + 1{.}000 \cdot v^{16}

Dengan solver: $j_0 \approx 4{,}069\%$ /semester → yield tahunan efektif $y_0 = (1{,}04069)^2 - 1 \approx 8{,}30\%$

Langkah 2: Yield baru setelah naik $1\%$ tahunan

y_1 = y_0 + 1\% = 9{,}30\%

j_1 = \sqrt{1{,}093} - 1 = 4{,}548\%\text{/semester}

Langkah 3: Harga baru

P_1 = 45 \cdot a_{\overline{16}|4{,}548\%} + 1{.}000 \cdot (1{,}04548)^{-16} = 994{,}62

Langkah 4: Persentase perubahan

\Delta P\% = \frac{994{,}62 - 1{.}050}{1{.}050} \times 100\% = -5{,}27\%

Harga turun sekitar $5{,}27\%$ → lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$ .

Hasil Akhir: (c). Harga turun lebih dari $5\%$ tapi kurang dari $10\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

“Yield naik $1\%$ ” → bisa diartikan naik $1\%$ per semester (bukan tahunan). Soal tidak eksplisit — asumsi: kenaikan $1\%$ tahunan efektif → konversi ke per semester.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira harga naik karena yield naik → yield dan harga BERKEBALIKAN.

▲Red Flags›

“Yield naik” + obligasi dengan harga premium → harga pasti turun; cek apakah turunnya $>5\%$ atau $>10\%$ dengan perhitungan eksplisit.

No. 24

Bank Fleksi menawarkan dua produk KPR yang memiliki skema bunga yang berbeda.

(i) Skema A: Bunga pada 5 tahun pertama adalah $5\%$ , setelahnya menjadi $10\%$ .

(ii) Skema B: Bunga pada 2 tahun pertama adalah $5\%$ , setelahnya menjadi $8\%$ .

Jika besar cicilan tetap (tidak berubah sepanjang tenor) untuk semua skema. Tentukan nilai dari besar pemasukan bunga pada skema A dikurangi dengan besar pemasukan bunga pada skema B pada hutang KPR sebesar $1{.}000$ dengan tenor 20 tahun.

a. Lebih dari $25$
b. Lebih dari $10$ , tapi kurang dari $25$
c. Kurang dari $10$ , tapi lebih dari $-10$
d. Kurang dari $-10$ , tapi lebih dari $-25$
e. Kurang dari $-25$

≡Jawaban No. 24›

(b). Lebih dari $10$ , tapi kurang dari $25$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.6 Varying Interest Rates
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Cicilan tetap $R$ : $1{.}000 = R \cdot [a_{\overline{t_1}|i_1} + v_{i_1}^{t_1} \cdot a_{\overline{t_2}|i_2}]$

Total bunga $= R \times 20 - 1{.}000$

Diketahui:

Hutang $= 1{.}000$ , tenor $= 20$ tahun
Skema A: $i_1 = 5\%$ (5 tahun pertama), $i_2 = 10\%$ (15 tahun berikutnya)
Skema B: $i_1 = 5\%$ (2 tahun pertama), $i_2 = 8\%$ (18 tahun berikutnya)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari cicilan $R_A$ untuk Skema A

1{.}000 = R_A \left[a_{\overline{5}|5\%} + v_{5\%}^5 \cdot a_{\overline{15}|10\%}\right]

= R_A [4{,}3295 + 0{,}7835 \times 7{,}6061] = R_A \times 10{,}2889

R_A = 97{,}19

Langkah 2: Cari cicilan $R_B$ untuk Skema B

1{.}000 = R_B \left[a_{\overline{2}|5\%} + v_{5\%}^2 \cdot a_{\overline{18}|8\%}\right]

= R_B [1{,}8594 + 0{,}9070 \times 9{,}3719] = R_B \times 10{,}3596

R_B = 96{,}53

Langkah 3: Total bunga masing-masing

\text{Bunga}_A = 97{,}19 \times 20 - 1{.}000 = 943{,}82

\text{Bunga}_B = 96{,}53 \times 20 - 1{.}000 = 930{,}50

Langkah 4: Selisih

\text{Bunga}_A - \text{Bunga}_B = 943{,}82 - 930{,}50 = 13{,}31

Selisih $= 13{,}31$ , berada di antara $10$ dan $25$ .

Hasil Akhir: (b). Lebih dari $10$ , tapi kurang dari $25$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira Skema A pasti menghasilkan bunga lebih tinggi karena rate akhirnya lebih tinggi (10% vs 8%) → benar, tetapi besarannya perlu dihitung karena cicilan juga berbeda.
Lupa mendiskon $a_{\overline{t_2}|}$ dengan $v^{t_1}$ saat menghitung PV annuity dua-fase.

▲Red Flags›

KPR dengan rate berubah di tengah tenor + cicilan tetap → gunakan PV dua-fase untuk mencari $R$ ; total bunga = $R \times n - L$ .

No. 25

Timothy dan Temon masing-masing memiliki hutang sebesar $5{.}000$ dengan tingkat bunga nominal $10\%$ yang dikonversikan semesteran. Timothy berencana melunasi hutangnya dalam 5 tahun dengan menggunakan suatu sinking fund yang memiliki tingkat bunga $12\%$ (dikonversi semesteran) dan pembayaran tetap pada setiap akhir semester. Temon berencana melunasi hutangnya dengan cicilan tetap pada setiap akhir semester selama 5 tahun.

Tentukan total bunga yang dibayarkan keduanya atas hutang mereka.

a. $3{.}686$
b. $3{.}737$
c. $3{.}894$
d. $3{.}975$
e. $4{.}060$

≡Jawaban No. 25›

(d). $3{.}975$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	4.2 Amortization Method
Connected Topics	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Total bunga Timothy (SF method):

\text{Bunga}_T = \text{Bunga pinjaman} = L \times r \times n_{\text{semi}}

Total bunga Temon (amortisasi):

\text{Bunga}_{Te} = R \times n - L

Diketahui:

$L = 5{.}000$ , nominal $10\%$ dikv semi → $r = 5\%$ /semester
Timothy: SF rate nominal $12\%$ dikv semi → $j = 6\%$ /semester, 10 semester
Temon: amortisasi langsung, 10 semester, rate $5\%$ /semester

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bunga Timothy

Timothy membayar bunga pinjaman setiap semester (tidak mengurangi pokok):

\text{Bunga}_T = 5{.}000 \times 5\% \times 10 = 2{.}500

Catatan: deposit SF Timothy kembali ke dirinya sendiri saat melunasi pokok, sehingga bukan “bunga yang dibayarkan ke pemberi pinjaman”.

Langkah 2: Bunga Temon

Cicilan amortisasi per semester:

R = \frac{5{.}000 \times 5\%}{1-(1{,}05)^{-10}} = 647{,}52

\text{Bunga}_{Te} = 647{,}52 \times 10 - 5{.}000 = 1{.}475{,}23

Langkah 3: Total bunga keduanya

\text{Total} = 2{.}500 + 1{.}475{,}23 = 3{.}975{,}23 \approx 3{.}975

Hasil Akhir: (d). $3{.}975$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung “total bunga Timothy” sebagai total pembayaran SF ditambah bunga pinjaman → deposit SF bukan bunga, itu tabungan Timothy sendiri.
Menggunakan rate tahunan $10\%$ untuk amortisasi Temon → harus $5\%$ per semester dengan $n = 10$ .

▲Red Flags›

SF method: bunga ke pemberi pinjaman $= L \times r \times n$ (bunga flat, pokok dibayar sekaligus di akhir).

No. 26

Investasi A memberikan bunga efektif $6\%$ per tahun. Investasi B memberikan tingkat bunga sederhana $6{,}5\%$ per tahun. Pada waktu $t$ berapakah force of interest dari kedua investasi tersebut sama? (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. 1 tahun
b. 1 tahun 9 bulan
c. 2 tahun 6 bulan
d. 3 tahun 3 bulan
e. 4 tahun

≡Jawaban No. 26›

(b). 1 tahun 9 bulan

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Force of interest bunga efektif konstan: $\delta_A = \ln(1+i) = \ln(1{,}06)$

Force of interest bunga sederhana: $\delta_B(t) = \dfrac{r}{1 + r \cdot t}$

Diketahui:

Investasi A: $i = 6\%$ → $\delta_A = \ln(1{,}06) = 0{,}05827$ (konstan)
Investasi B: $r = 6{,}5\%$ → $\delta_B(t) = \dfrac{0{,}065}{1 + 0{,}065t}$ (menurun terhadap $t$ )

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Persamaan $\delta_A = \delta_B(t)$

\ln(1{,}06) = \frac{0{,}065}{1 + 0{,}065t}

0{,}05827 = \frac{0{,}065}{1 + 0{,}065t}

Langkah 2: Selesaikan untuk $t$

1 + 0{,}065t = \frac{0{,}065}{0{,}05827} = 1{,}1155

0{,}065t = 0{,}1155 \implies t = 1{,}777 \text{ tahun}

$1{,}777$ tahun $\approx$ 1 tahun 9 bulan ( $0{,}777 \times 12 \approx 9{,}3$ bulan)

Hasil Akhir: (b). 1 tahun 9 bulan

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\delta$ dari bunga sederhana = $r$ (konstan) → $\delta_B$ bunga sederhana TIDAK konstan, melainkan $r/(1+rt)$ yang menurun.
Mengira $\delta_A$ dari bunga efektif berubah terhadap $t$ → $\delta_A$ dari bunga efektif konstan ( $i$ tetap) adalah KONSTAN = $\ln(1+i)$ .

▲Red Flags›

“Force of interest dari investasi berbunga sederhana” → gunakan $\delta(t) = r/(1+rt)$ , bukan $r$ .

No. 27

Diketahui tingkat bunga nominal adalah $8{,}5\%$ dan tingkat inflasi adalah $4\%$ .

Tentukan tingkat bunga riil yang ekivalen.

a. $4{,}3\%$
b. $4{,}5\%$
c. $4{,}7\%$
d. $4{,}9\%$
e. $5{,}0\%$

≡Jawaban No. 27›

(a). $4{,}3\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Persamaan Fisher:

1 + i_{\text{riil}} = \frac{1 + i_{\text{nominal}}}{1 + q}

Diketahui:

$i_{\text{nominal}} = 8{,}5\%$ , inflasi $q = 4\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan persamaan Fisher

1 + i_{\text{riil}} = \frac{1{,}085}{1{,}04} = 1{,}04327

i_{\text{riil}} = 4{,}327\% \approx 4{,}3\%

Hasil Akhir: (a). $4{,}3\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan approximasi: $i_{\text{riil}} \approx i_{\text{nominal}} - q = 8{,}5\% - 4\% = 4{,}5\%$ → pilihan (b), salah karena tidak menggunakan persamaan Fisher yang tepat.

▲Red Flags›

“Tingkat bunga riil” → SELALU gunakan $(1+i_r) = (1+i_n)/(1+q)$ , bukan pengurangan langsung.

No. 28

Sepasang suami istri berencana mempersiapkan dana pendidikan anaknya yang berumur 3 tahun. Mereka akan menginvestasikan $5{.}000$ pada setiap ulang tahun anaknya mulai dari ulang tahun ke-4 sampai dengan ulang tahun ke-17. Mereka menargetkan untuk dapat menarik $57{.}500$ pada ulang tahun ke-18, 19, 20, dan 21 untuk membiayai kuliah. Jika tingkat imbal hasil investasi adalah $15\%$ , tentukan besar uang yang dapat ditarik pada ulang tahun ke-18 untuk membiayai uang masuk universitas sehingga rencana di atas masih dapat dijalankan. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $20{.}000$
b. $28{.}000$
c. $36{.}000$
d. $44{.}000$
e. $52{.}000$

≡Jawaban No. 28›

(d). $44{.}000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Akumulasi annuity-due (invest di t=4..17, dihitung di t=18):

AV_{18} = 5{.}000 \cdot \sum_{k=1}^{14}(1{,}15)^k = 5{.}000 \times 1{,}15 \times \frac{(1{,}15)^{14}-1}{0{,}15}

Diketahui:

Invest $5{.}000$ di ulang tahun ke-4, 5, …, 17 (14 investasi)
Target awal: tarik $57{.}500$ di $t = 18, 19, 20, 21$
Pertanyaan: besar $X$ yang dapat ditarik di $t = 18$ sebagai uang masuk kuliah, sehingga masih bisa tarik $57{.}500$ di $t = 19, 20, 21$
$i = 15\%$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Akumulasi investasi di t=18

Invest di $t=4, 5, ..., 17$ ; di $t=18$ , masing-masing telah berkembang $14, 13, ..., 1$ tahun:

AV_{18} = 5{.}000 \times \sum_{k=1}^{14}(1{,}15)^k = 5{.}000 \times 1{,}15 \times \frac{(1{,}15)^{14}-1}{0{,}15}

= 5{.}000 \times 1{,}15 \times 40{,}5047 = 232{.}902{,}05

Langkah 2: Skenario penarikan yang diinginkan

Di $t = 18$ : tarik $X$ (uang masuk) + $57{.}500$ (biaya kuliah tahun pertama, sesuai rencana awal) Di $t = 19, 20, 21$ : tarik $57{.}500$ per tahun (3 tahun berikutnya)

AV_{18} = X + 57{.}500 + 57{.}500 \cdot a_{\overline{3}|15\%}

Langkah 3: Hitung $X$

a_{\overline{3}|15\%} = \frac{1-(1{,}15)^{-3}}{0{,}15} = 2{,}2832

X = 232{.}902 - 57{.}500 - 57{.}500 \times 2{,}2832

= 232{.}902 - 57{.}500 - 131{.}285 = 44{.}117 \approx 44{.}000

Hasil Akhir: (d). $44{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira $X$ adalah pengganti dari $57{.}500$ di tahun ke-18 (sehingga hanya ada 3 penarikan $57{.}500$ di $t = 19, 20, 21$ ) → menghasilkan $X \approx 101{.}600$ , tidak ada di pilihan.
Interpretasi yang benar: rencana AWAL adalah $57{.}500$ di $t = 18, 19, 20, 21$ (4 kali); mereka ingin tambahkan $X$ (uang masuk) di $t = 18$ , sehingga total $t = 18$ adalah $X + 57{.}500$ .

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Invest 14 tahun dari $t=4$ ke $t=17$ ; investasi terakhir di $t=17$ hanya berkembang 1 tahun ke $t=18$ , bukan 14 tahun.

▲Red Flags›

“Rencana masih dapat dijalankan” → berarti keempat penarikan $57{.}500$ tetap ada, ditambah $X$ ekstra di $t=18$ .

No. 29

Robby memiliki dua aset A dan B yang masing-masing memberikan tingkat bunga efektif $3\%$ dan $2{,}5\%$ yang dibiarkan berkembang tanpa investasi tambahan atau penarikan dana. Diketahui informasi berikut:

(i) Pada akhir tahun ke-20, total nilai kedua aset adalah $10{.}000$ .

(ii) Pada akhir tahun ke-31, nilai aset A adalah dua kali nilai aset B.

Tentukan total nilai kedua aset pada akhir tahun ke-10. (Pilihlah jawaban yang paling mendekati!)

a. $5{.}732$
b. $6{.}602$
c. $7{.}472$
d. $7{.}569$
e. $8{.}123$

≡Jawaban No. 29›

(d). $7{.}569$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Time Value of Money
Sub-topik	1.4 Accumulation and Present Value
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Kellison Bab 1; Vaaler Bab 1

ℹRumus›

Nilai aset pada waktu $t$ : $V_A(t) = A_0 \cdot (1{,}03)^t$ , $V_B(t) = B_0 \cdot (1{,}025)^t$

Diketahui:

$A_0(1{,}03)^{20} + B_0(1{,}025)^{20} = 10{.}000$
$A_0(1{,}03)^{31} = 2 \cdot B_0(1{,}025)^{31}$
Target: $A_0(1{,}03)^{10} + B_0(1{,}025)^{10}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Selesaikan sistem persamaan

Dari kondisi (ii):

A_0 = \frac{2 B_0 (1{,}025)^{31}}{(1{,}03)^{31}}

Substitusi ke kondisi (i):

\frac{2B_0(1{,}025)^{31}(1{,}03)^{20}}{(1{,}03)^{31}} + B_0(1{,}025)^{20} = 10{.}000

B_0 \left[2(1{,}025)^{31}(1{,}03)^{-11} + (1{,}025)^{20}\right] = 10{.}000

Numerik:

2(1{,}025)^{31}(1{,}03)^{-11} = 2 \times 2{,}1500 \times 0{,}7224 = 3{,}1064

(1{,}025)^{20} = 1{,}6386

B_0 \times 4{,}7450 = 10{.}000 \implies B_0 = 2{.}107{,}46

A_0 = \frac{2 \times 2{.}107{,}46 \times 2{,}1500}{3{,}1187} = 3{.}624{,}73

Langkah 2: Hitung total di t=10

V(10) = 3{.}624{,}73 \times (1{,}03)^{10} + 2{.}107{,}46 \times (1{,}025)^{10}

= 3{.}624{,}73 \times 1{,}3439 + 2{.}107{,}46 \times 1{,}2801

= 4{.}872{,}33 + 2{.}697{,}64 = 7{.}569{,}97 \approx 7{.}569

Hasil Akhir: (d). $7{.}569$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengasumsikan $A_0 = B_0$ dan hanya menggunakan kondisi (i) → mengabaikan kondisi (ii) yang memberikan rasio $A_0/B_0$ .

▲Red Flags›

Dua kondisi, dua unknown ( $A_0, B_0$ ) → sistem persamaan linier, selesaikan secara simultan.

No. 30

Suatu hutang dikenakan tingkat bunga efektif tahunan $10\%$ . Hutang akan dicicil selama 20 tahun dengan pembayaran di setiap akhir tahun. Skema pembayaran yang dibuat adalah:

(i) Cicilan tahunan untuk porsi pokok pada 5 pembayaran pertama adalah $100$ .

(ii) Setiap cicilan berikutnya memuat bagian pokok yang bertambah $100$ dari porsi pokok 5 tahun sebelumnya (misalnya cicilan pokok tahun ke-7 adalah $200$ , yaitu $100$ ditambah cicilan pokok tahun ke-2 sebesar $100$ ).

(iii) Bunga dihitung berdasarkan sisa hutang yang belum terbayar.

Tentukan porsi bunga pada pembayaran cicilan ke-9 sampai dengan ke-12.

a. $1{.}430$
b. $1{.}840$
c. $2{.}250$
d. $2{.}660$
e. $3{.}070$

≡Jawaban No. 30›

(a). $1{.}430$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pelunasan Hutang
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	4.1 Loan Terminology
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Kellison Bab 5; Vaaler Bab 5

ℹRumus›

Porsi bunga cicilan ke- $t$ :

\text{Bunga}_t = i \cdot OB_{t-1}

OB_t = OB_{t-1} - \text{Pokok}_t

Diketahui:

$i = 10\%$ , 20 tahun
Pokok: tahun 1–5 = $100$ /tahun; tahun 6–10 = $200$ /tahun; tahun 11–15 = $300$ /tahun; tahun 16–20 = $400$ /tahun
Total hutang $= 5(100+200+300+400) = 5{.}000$
Target: total bunga cicilan ke-9 sampai ke-12

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun jadwal pokok dan OB

Tahun	Pokok	OB (setelah cicilan)
0	—	$5{.}000$
1–5	$100$	$5{.}000 - 5 \times 100 = 4{.}500$ setelah t=5
6–8	$200$	$4{.}500 - 3 \times 200 = 3{.}900$ setelah t=8

OB_8 = 5{.}000 - 5 \times 100 - 3 \times 200 = 5{.}000 - 500 - 600 = 3{.}900

Langkah 2: Hitung bunga cicilan ke-9 sampai ke-12

t	$OB_{t-1}$	Pokok	Bunga $= 10\% \times OB_{t-1}$	$OB_t$
9	$3{.}900$	$200$	$390$	$3{.}700$
10	$3{.}700$	$200$	$370$	$3{.}500$
11	$3{.}500$	$300$	$350$	$3{.}200$
12	$3{.}200$	$300$	$320$	$2{.}900$

Langkah 3: Total bunga

\text{Total bunga} = 390 + 370 + 350 + 320 = 1{.}430

Hasil Akhir: (a). $1{.}430$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “pokok tahun ke-7 adalah 200” berarti pokok di tahun 6 juga 200 → perlu hati-hati membaca pola: kelompok 5 tahun, bukan satu per satu.
Mengira total pokok per kelompok berbeda (misal tahun 6–10 = $100$ bukan $200$ ) → baca lagi: “bertambah $100$ dari 5 tahun sebelumnya”.

▲Red Flags›

Soal cicilan “porsi pokok bertambah per kelompok 5 tahun” → buat tabel OB dari $t=0$ , hitung secara berurutan menggunakan pokok yang benar per kelompok.