CF1 · Pembahasan

CF1 Periode Agustus 2025

No. 1

Untuk suatu tingkat bunga $i$ yang tidak diketahui, pembayaran-pembayaran berikut memiliki nilai sekarang yang sama:

$675$ dibayarkan pada akhir tahun ke-2
$200$ dibayarkan pada akhir tahun ke-1 dan $500$ pada akhir tahun ke-3

Tentukan nilai dari $i$ . (Asumsikan $i < 100\%$ ).

a. $9{,}0\%$
b. $9{,}2\%$
c. $9{,}4\%$
d. $9{,}6\%$
e. $9{,}8\%$

≡Jawaban No. 1›

(e). $9{,}8\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Persamaan nilai sekarang (equation of value):

PV = C \cdot v^t = C \cdot (1+i)^{-t}

Di mana $v = \frac{1}{1+i}$ adalah faktor diskonto dan $i$ adalah suku bunga efektif tahunan.

Diketahui:

Arus kas 1: $675$ pada $t=2$
Arus kas 2: $200$ pada $t=1$ dan $500$ pada $t=3$
Kedua arus kas memiliki PV yang sama
Target: $i$ (suku bunga efektif tahunan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun Equation of Value

Karena kedua set pembayaran memiliki PV yang sama:

675v^2 = 200v + 500v^3

Langkah 2: Sederhanakan Persamaan

Bagi kedua sisi dengan $v$ (karena $v \neq 0$ ):

675v = 200 + 500v^2

Susun ulang:

500v^2 - 675v + 200 = 0

Langkah 3: Selesaikan Persamaan Kuadrat

Gunakan rumus kuadrat dengan $a = 500$ , $b = -675$ , $c = 200$ :

v = \frac{675 \pm \sqrt{675^2 - 4(500)(200)}}{2(500)}

v = \frac{675 \pm \sqrt{455625 - 400000}}{1000}

v = \frac{675 \pm \sqrt{55625}}{1000}

v = \frac{675 \pm 235{,}85}{1000}

Dua solusi:

$v_1 = \frac{675 + 235{,}85}{1000} = 0{,}91085$ → $i = \frac{1}{0{,}91085} - 1 = 0{,}09789 \approx 9{,}8\%$
$v_2 = \frac{675 - 235{,}85}{1000} = 0{,}43915$ → $i = \frac{1}{0{,}43915} - 1 = 1{,}277$ (melebihi 100%, ditolak)

Langkah 4: Verifikasi

Dengan $i = 9{,}8\%$ , $v = 0{,}91075$ :

PV kiri: $675 \times (0{,}91075)^2 = 675 \times 0{,}82946 = 559{,}89$
PV kanan: $200 \times 0{,}91075 + 500 \times (0{,}91075)^3 = 182{,}15 + 500 \times 0{,}75556 = 182{,}15 + 377{,}78 = 559{,}93$ ✓

Hasil Akhir: (e). $i = 9{,}8\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Soal ini menggunakan tahun sebagai periode — tidak ada konversi frekuensi yang diperlukan. Jangan terjebak mencari rate per semester atau kuartal.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa mengeliminasi solusi $v_2$ yang menghasilkan $i > 100\%$ — soal sudah memberikan batasan $i < 100\%$ .
Salah menyusun equation of value, misalnya menyamakan future value alih-alih present value.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “nilai sekarang yang sama” berarti jumlah totalnya sama (tanpa discounting) — harus didiskon ke $t=0$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “pembayaran berikut memiliki nilai sekarang yang sama” → susun equation of value di $t=0$ lalu selesaikan untuk unknown.
Jika persamaan kuadrat menghasilkan dua solusi → periksa constraint soal untuk eliminasi.

No. 2

Seorang pria menyetor uang ke dalam sebuah dana. Selama empat tahun pertama, dana tersebut bertumbuh dengan suku bunga nominal sebesar $6\%$ dikonversi kuartalan. Selama enam tahun berikutnya, dana tersebut bertumbuh dengan diskonto nominal sebesar $8\%$ dikonversi setiap semester. Tentukan tingkat bunga kontinu ekuivalen (force of interest, $\delta$ ) untuk periode $10$ tahun tersebut.

a. $0{,}0719$
b. $0{,}0728$
c. $0{,}0731$
d. $0{,}0737$
e. $0{,}0742$

≡Jawaban No. 2›

(b). $0{,}0728$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Faktor akumulasi dari suku bunga nominal:

\left(1 + \frac{i^{(m)}}{m}\right)^{mt}

Faktor akumulasi dari diskonto nominal:

\left(1 - \frac{d^{(p)}}{p}\right)^{-pt}

Force of interest ekuivalen:

e^{\delta \cdot T} = A(T) \implies \delta = \frac{\ln A(T)}{T}

Diketahui:

Tahun 1–4: $i^{(4)} = 6\%$ (nominal, compounded kuartalan)
Tahun 5–10: $d^{(2)} = 8\%$ (diskonto nominal, compounded semesteran)
$T = 10$ tahun (total periode)
Target: $\delta$ (force of interest ekuivalen selama 10 tahun)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Faktor Akumulasi untuk 4 Tahun Pertama

A_1 = \left(1 + \frac{0{,}06}{4}\right)^{4 \times 4} = (1{,}015)^{16}

(1{,}015)^{16} = 1{,}26899

Langkah 2: Hitung Faktor Akumulasi untuk 6 Tahun Berikutnya

Dengan diskonto nominal $d^{(2)} = 8\%$ :

A_2 = \left(1 - \frac{0{,}08}{2}\right)^{-2 \times 6} = (0{,}96)^{-12}

(0{,}96)^{-12} = \frac{1}{(0{,}96)^{12}}

$(0{,}96)^{12}$ : kita hitung $\ln(0{,}96) = -0{,}04082$ , maka $(0{,}96)^{12} = e^{12 \times (-0{,}04082)} = e^{-0{,}48986} = 0{,}61270$

A_2 = \frac{1}{0{,}61270} = 1{,}63213

Langkah 3: Hitung Faktor Akumulasi Total

A(10) = A_1 \times A_2 = 1{,}26899 \times 1{,}63213 = 2{,}07115

Langkah 4: Hitung Force of Interest Ekuivalen

e^{10\delta} = 2{,}07115

\delta = \frac{\ln(2{,}07115)}{10} = \frac{0{,}72787}{10} = 0{,}072787 \approx 0{,}0728

Hasil Akhir: (b). $\delta = 0{,}0728$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Lupa menggunakan $mt$ sebagai eksponen (bukan $t$ saja) saat menghitung akumulasi dari rate nominal.
Menggunakan $d^{(2)}$ sebagai suku bunga, bukan diskonto — operasi berbeda: $(1-d/p)^{-pt}$ , bukan $(1+i/m)^{mt}$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mencampur diskonto nominal dengan suku bunga nominal — diskonto nominal menghasilkan faktor $(1-d^{(p)}/p)^{-pt}$ , tanda negatif pada eksponen menunjukkan ini adalah invers.
Menghitung $\delta$ dengan menjumlahkan force of interest masing-masing periode alih-alih menggunakan akumulasi gabungan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “diskonto nominal 8% dikonversi semester” sama dengan “suku bunga nominal 8% dikonversi semester” — ini berbeda secara fundamental.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “diskonto nominal” → gunakan formula $(1 - d^{(p)}/p)^{-pt}$ , BUKAN $(1 + i/m)^{mt}$ .
Jika soal meminta force of interest ekuivalen untuk beberapa periode → hitung akumulasi total dulu, baru ambil $\ln / T$ .

No. 3

Sebuah perusahaan memiliki kewajiban sebesar $2000$ yang harus dibayar dalam $1$ tahun dan $5000$ yang harus dibayar dalam $3$ tahun. Investasi yang tersedia bagi perusahaan adalah obligasi tanpa kupon (zero-coupon bond) dengan data sebagai berikut:

Jatuh Tempo (tahun)	Suku Bunga Efektif Tahunan (annual effective yield)	Nilai Nominal (Par)
1	$6{,}5\%$	$1000$
3	$7{,}5\%$	$1000$

Tentukan biaya (harga sekarang) untuk mencocokkan kewajiban tersebut secara tepat.

a. $5903$
b. $5935$
c. $5952$
d. $5972$
e. $5988$

≡Jawaban No. 3›

(a). $5903$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.5 Immunization
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Spot Rates and Forward Rates, 5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Referensi	Vaaler Bab 8.3 & 9; Kellison Bab 10–11

ℹRumus›

Harga zero-coupon bond:

P = \frac{F}{(1+i)^n}

Dedication (exact matching): beli obligasi yang arus kasnya tepat cocok dengan kewajiban.

Diketahui:

Kewajiban: $2000$ pada $t=1$ dan $5000$ pada $t=3$
ZCB 1 tahun: par $1000$ , yield $6{,}5\%$
ZCB 3 tahun: par $1000$ , yield $7{,}5\%$
Target: total biaya (harga sekarang) untuk exact matching

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Jumlah Obligasi yang Dibeli

Untuk mencocokkan kewajiban secara tepat:

Kewajiban $t=1$ : $2000$ → beli 2 unit ZCB 1 tahun (masing-masing bernilai nominal $1000$ )
Kewajiban $t=3$ : $5000$ → beli 5 unit ZCB 3 tahun (masing-masing bernilai nominal $1000$ )

Langkah 2: Hitung Harga Masing-masing Obligasi

Harga per unit ZCB 1 tahun:

P_1 = \frac{1000}{1{,}065} = 938{,}967

Harga per unit ZCB 3 tahun:

P_3 = \frac{1000}{(1{,}075)^3} = \frac{1000}{1{,}24230} = 804{,}961

Langkah 3: Hitung Total Biaya

\text{Total} = 2 \times 938{,}967 + 5 \times 804{,}961

= 1877{,}93 + 4024{,}81 = 5902{,}74 \approx 5903

Hasil Akhir: (a). $5903$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Soal menggunakan suku bunga efektif tahunan — tidak perlu konversi frekuensi. Jangan salah mengira ini nominal rate.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mendiskon kewajiban langsung ( $2000/1{,}065 + 5000/1{,}075^3$ ) — ini menghasilkan angka yang berbeda karena kewajiban sudah match dengan nominal obligasi, bukan perlu didiskon lagi.
Sebenarnya dalam kasus ini, mendiskon kewajiban langsung menghasilkan hasil yang sama: $\frac{2000}{1{,}065} + \frac{5000}{(1{,}075)^3} = 1877{,}93 + 4024{,}81 = 5902{,}74$ . Pendekatan ini valid karena ZCB membayar par pada maturity.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira hanya perlu 1 ZCB per kewajiban — perlu sesuaikan jumlah unit agar nominal = kewajiban.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “mencocokkan kewajiban secara tepat” (exact matching/dedication) → cocokkan arus kas obligasi dengan arus kas kewajiban secara persis.

No. 4

Tingkat spot untuk tahun ke- $k$ diberikan oleh persamaan:

S_k = 0{,}08 + 0{,}003k - 0{,}0015k^2

Tentukan tingkat forward tiga tahun (three-year forward rate).

a. $4{,}36\%$
b. $4{,}41\%$
c. $4{,}58\%$
d. $4{,}65\%$
e. $4{,}74\%$

≡Jawaban No. 4›

(c). $4{,}58\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	3.2 Yield Curve
Referensi	Vaaler Bab 8.3; Kellison Bab 10

ℹRumus›

Forward rate satu tahun dari $t = m$ ke $t = m+1$ :

(1 + f_{m,\, m+1}) = \frac{(1 + s_{m+1})^{m+1}}{(1 + s_m)^m}

Di sini $s_k$ adalah spot rate efektif tahunan untuk maturity $k$ tahun, dan $f_{m,\, m+1}$ adalah forward rate satu tahun yang berlaku dari akhir tahun $m$ hingga akhir tahun $m+1$ .

Diketahui:

$S_k = 0{,}08 + 0{,}003k - 0{,}0015k^2$ (spot rate efektif tahunan untuk maturity $k$ tahun)
Target: tingkat forward tiga tahun = $f_{3,4}$ , yaitu forward rate satu tahun yang dimulai 3 tahun dari sekarang

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Interpretasi Istilah “Tingkat Forward Tiga Tahun”

Frasa “three-year forward rate” dalam konteks CF1 mengacu pada forward rate satu tahun yang mulai berlaku 3 tahun dari sekarang, yaitu $f_{3,4}$ . Ini berbeda dari “forward rate berjangka 3 tahun” yang berarti $f_{m,\,m+3}$ . Verifikasi dilakukan dengan mencocokkan opsi jawaban setelah hitung.

Langkah 2: Hitung Spot Rate $s_3$ dan $s_4$

Substitusi $k = 3$ :

s_3 = 0{,}08 + 0{,}003(3) - 0{,}0015(3)^2 = 0{,}08 + 0{,}009 - 0{,}0135 = 0{,}0755

Substitusi $k = 4$ :

s_4 = 0{,}08 + 0{,}003(4) - 0{,}0015(4)^2 = 0{,}08 + 0{,}012 - 0{,}024 = 0{,}068

Langkah 3: Terapkan Hubungan Spot–Forward

Prinsip no-arbitrage: uang yang diinvestasikan selama 4 tahun pada spot rate $s_4$ harus ekuivalen dengan investasi 3 tahun pada $s_3$ dilanjutkan 1 tahun pada forward rate $f_{3,4}$ :

(1 + s_4)^4 = (1 + s_3)^3 \cdot (1 + f_{3,4})

Maka:

(1 + f_{3,4}) = \frac{(1 + s_4)^4}{(1 + s_3)^3} = \frac{(1{,}068)^4}{(1{,}0755)^3}

Langkah 4: Hitung Numerik

Hitung pembilang:

(1{,}068)^2 = 1{,}140624

(1{,}068)^4 = (1{,}140624)^2 = 1{,}301023

Hitung penyebut:

(1{,}0755)^2 = 1{,}156700

(1{,}0755)^3 = 1{,}156700 \times 1{,}0755 = 1{,}244031

Maka:

(1 + f_{3,4}) = \frac{1{,}301023}{1{,}244031} = 1{,}045812

f_{3,4} = 0{,}045812 \approx 4{,}58\%

Hasil Akhir: (c). $f_{3,4} = 4{,}58\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Substitusi $k = 0$ untuk spot rate “tahun pertama” — rumus $S_k$ dimulai dari $k = 1$ ; $k = 0$ menghasilkan $S_0 = 8\%$ yang bukan spot rate untuk maturity manapun yang relevan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $f_{3,4}$ adalah spot rate $s_3 = 7{,}55\%$ — spot rate bukan forward rate, keduanya berbeda.
Lupa memangkatkan: menulis $(1 + s_4)$ di pembilang alih-alih $(1 + s_4)^4$ — pangkat harus sesuai maturity masing-masing.
Mengambil akar untuk forward rate satu tahun — $f_{m,m+1}$ tidak perlu akar karena jangka waktunya satu periode.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “tingkat forward tiga tahun” = forward rate berjangka 3 tahun, lalu menghitung $f_{1,4}$ atau $f_{0,3}$ — dalam konteks CF1 dan sesuai konfirmasi opsi jawaban, yang dimaksud adalah forward rate mulai tahun ke-3, yaitu $f_{3,4}$ .

▲Red Flags›

Jika soal memberikan formula $S_k$ dan meminta “forward rate tahun ke- $n$ ” → hitung $f_{n-1,n}$ menggunakan $(1+s_n)^n \,/\, (1+s_{n-1})^{n-1} - 1$ .
Jika hasil tidak cocok dengan satu pun opsi jawaban → cek apakah interpretasi “jangka waktu” vs “titik awal” forward rate sudah benar.

Tabel untuk soal nomor 5

Tanggal	Saldo sebelum aktivitas	Deposit	Penarikan
1 Januari	10000
1 April	10500	2000
1 September	12800		2600
31 Desember	X

No. 5

Jika time-weighted yield sebesar $6{,}466\%$ , tentukan besar dollar-weighted yield.
(Pilih jawaban dengan desimal terdekat!)

a. $6{,}58\%$
b. $6{,}62\%$
c. $6{,}65\%$
d. $6{,}71\%$
e. $6{,}74\%$

≡Jawaban No. 5›

(a). $6{,}58\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

Time-Weighted Rate of Return (TWRR):

1 + i_{TW} = \prod_{k} \frac{B_{k}^{\text{after}}}{B_{k}^{\text{before}}}

Di mana rasio dihitung untuk setiap sub-periode antara arus kas.

Dollar-Weighted Rate of Return (DWRR) — metode sederhana:

i_{DW} = \frac{I}{A + \sum C_t \cdot (1 - t)}

Di mana $I$ = total bunga, $A$ = saldo awal, $C_t$ = arus kas pada waktu $t$ (positif = deposit, negatif = penarikan).

Diketahui:

1 Jan: saldo $10000$
1 Apr ( $t = 3/12 = 0{,}25$ ): saldo sebelum deposit $10500$ , deposit $2000$ , saldo setelah $12500$
1 Sep ( $t = 8/12 = 2/3$ ): saldo sebelum penarikan $12800$ , penarikan $2600$ , saldo setelah $10200$
31 Des: saldo $X$
TWRR $= 6{,}466\%$
Target: DWRR

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan TWRR untuk Menentukan X

Sub-periode:

Jan–Apr: rasio $= \frac{10500}{10000} = 1{,}05$
Apr–Sep: rasio $= \frac{12800}{12500} = 1{,}024$
Sep–Des: rasio $= \frac{X}{10200}$

1 + i_{TW} = 1{,}05 \times 1{,}024 \times \frac{X}{10200}

1{,}06466 = 1{,}0752 \times \frac{X}{10200}

\frac{X}{10200} = \frac{1{,}06466}{1{,}0752} = 0{,}99016

X = 10200 \times 0{,}99016 = 10099{,}6

Langkah 2: Hitung Total Bunga

I = X - 10000 - 2000 + 2600 = 10099{,}6 - 10000 - 2000 + 2600 = 699{,}6

Langkah 3: Hitung DWRR (Metode Sederhana)

i_{DW} = \frac{I}{A + \sum C_t(1-t)}

= \frac{699{,}6}{10000 + 2000(1-0{,}25) + (-2600)(1-2/3)}

= \frac{699{,}6}{10000 + 2000(0{,}75) + (-2600)(1/3)}

= \frac{699{,}6}{10000 + 1500 - 866{,}67}

= \frac{699{,}6}{10633{,}33} = 0{,}06581 \approx 6{,}58\%

Hasil Akhir: (a). DWRR $= 6{,}58\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

1 April = $t = 3/12$ , bukan $t = 4/12$ . Bulan dihitung dari Januari: Jan=0, Feb=1, Mar=2, Apr=3. Jadi 1 April = 3/12.
1 September = $t = 8/12$ , bukan $t = 9/12$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa menghitung $X$ terlebih dahulu menggunakan TWRR — DWRR membutuhkan saldo akhir.
Salah tanda pada penarikan: penarikan harus dikurangi (negatif) dalam perhitungan bunga, tapi menggunakan $-(1-t)$ sebagai weight.
Mencampur “saldo sebelum aktivitas” dengan “saldo setelah aktivitas” saat menghitung rasio TWRR.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Saldo sebelum aktivitas” berarti saldo sebelum deposit/penarikan pada tanggal tersebut — jadi saldo 10500 pada 1 April sudah termasuk pertumbuhan investasi, belum termasuk deposit 2000.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan TWRR dan meminta DWRR → gunakan TWRR untuk cari saldo akhir dulu, baru hitung DWRR.
Jika tabel menyebut “saldo sebelum aktivitas” → rasio TWRR menggunakan saldo ini sebagai pembilang sub-periode sebelumnya.

No. 6

Kamu memulai tahun dengan saldo sebesar $8000$ di suatu akun. Kamu melakukan setoran sebesar $2000$ pada tanggal 1 Maret dan $1000$ pada tanggal 1 November. Kamu menarik $500$ pada tanggal 1 Juli. Tingkat dollar-weighted yield untuk tahun tersebut adalah $8{,}87\%$ . Tentukan besar bunga yang kamu peroleh.

a. $850$
b. $861$
c. $869$
d. $873$
e. $882$

≡Jawaban No. 6›

(a). $850$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Vaaler Bab 2; Kellison Bab 2

ℹRumus›

Dollar-Weighted Rate of Return:

i_{DW} = \frac{I}{A + \sum C_t (1 - t)}

Sehingga bunga:

I = i_{DW} \times \left[A + \sum C_t (1 - t)\right]

Diketahui:

Saldo awal $A = 8000$
1 Maret ( $t = 2/12$ ): deposit $2000$
1 Juli ( $t = 6/12$ ): penarikan $500$
1 November ( $t = 10/12$ ): deposit $1000$
$i_{DW} = 8{,}87\%$
Target: bunga $I$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Weighted Exposure

E = A + \sum C_t(1-t)

= 8000 + 2000\left(1 - \frac{2}{12}\right) + (-500)\left(1 - \frac{6}{12}\right) + 1000\left(1 - \frac{10}{12}\right)

= 8000 + 2000 \times \frac{10}{12} - 500 \times \frac{6}{12} + 1000 \times \frac{2}{12}

= 8000 + 1666{,}67 - 250 + 166{,}67

= 9583{,}33

Langkah 2: Hitung Bunga

I = i_{DW} \times E = 0{,}0887 \times 9583{,}33 = 850{,}04 \approx 850

Hasil Akhir: (a). $I = 850$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

1 Maret = $t = 2/12$ (2 bulan setelah 1 Januari), bukan $3/12$ .
1 Juli = $t = 6/12$ , 1 November = $t = 10/12$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung bunga sebagai $i \times A$ saja (mengabaikan kontribusi deposit dan penarikan terhadap exposure).
Salah tanda: penarikan harus negatif dalam perhitungan exposure.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal langsung meminta bunga ( $I$ ), bukan yield — karena yield sudah diketahui, tinggal hitung $I = i_{DW} \times E$ .

▲Red Flags›

Jika soal memberikan DWY dan meminta bunga → gunakan $I = i_{DW} \times E$ secara langsung.
Perhatikan bahwa weight $(1-t)$ mencerminkan berapa lama dana berada di akun selama tahun berjalan.

No. 7

Seorang wanita membeli dua obligasi dengan jangka waktu $5$ tahun dan nilai nominal $1000$ . Obligasi pertama memiliki kupon $7{,}5\%$ yang dibayarkan setiap semester dan dihargai berdasarkan hasil (yield) $8\%$ dengan konversi semesteran. Obligasi kedua memiliki kupon $6\%$ yang dibayarkan setiap semester dan dihargai berdasarkan hasil $7\%$ dengan konversi semesteran. Pembayaran kupon dari kedua obligasi tersebut disimpan dalam dana yang memberikan hasil $6{,}8\%$ dengan konversi semesteran. Tentukanlah hasil suku bunga efektif tahunan (annual effective yield) untuk investasi gabungan ini.

a. $7{,}3\%$
b. $7{,}5\%$
c. $7{,}7\%$
d. $7{,}9\%$
e. $8{,}1\%$

≡Jawaban No. 7›

(b). $7{,}5\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing, 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Harga obligasi:

P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + F \cdot v^n_j

Di mana $j$ adalah yield per periode kupon, $r$ adalah coupon rate per periode, $n$ jumlah periode kupon.

Akumulasi kupon yang diinvestasikan kembali:

\text{FV kupon} = Fr \cdot s_{\overline{n}|j'}

Di mana $j'$ adalah reinvestment rate per periode kupon.

Yield efektif tahunan dari investasi:

(1+i_{\text{eff}})^T = \frac{\text{Total FV}}{\text{Total harga beli}}

Diketahui:

Bond 1: $F = 1000$ , kupon $7{,}5\%$ semesteran, yield $8\%$ konversi semesteran, tenor 5 tahun
Bond 2: $F = 1000$ , kupon $6\%$ semesteran, yield $7\%$ konversi semesteran, tenor 5 tahun
Reinvestment rate: $6{,}8\%$ konversi semesteran ( $j' = 3{,}4\%$ per semester)
$n = 10$ semester
Target: annual effective yield gabungan

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga Beli Bond 1

$j_1 = 4\%$ per semester, kupon per semester $= 1000 \times 0{,}075/2 = 37{,}50$

P_1 = 37{,}50 \cdot a_{\overline{10}|0{,}04} + 1000 \cdot (1{,}04)^{-10}

a_{\overline{10}|0{,}04} = \frac{1-(1{,}04)^{-10}}{0{,}04} = \frac{1 - 0{,}67556}{0{,}04} = \frac{0{,}32444}{0{,}04} = 8{,}11090

P_1 = 37{,}50 \times 8{,}11090 + 1000 \times 0{,}67556 = 304{,}16 + 675{,}56 = 979{,}72

Langkah 2: Hitung Harga Beli Bond 2

$j_2 = 3{,}5\%$ per semester, kupon per semester $= 1000 \times 0{,}06/2 = 30$

P_2 = 30 \cdot a_{\overline{10}|0{,}035} + 1000 \cdot (1{,}035)^{-10}

a_{\overline{10}|0{,}035} = \frac{1-(1{,}035)^{-10}}{0{,}035}

(1{,}035)^{-10} = 0{,}70892

a_{\overline{10}|0{,}035} = \frac{0{,}29108}{0{,}035} = 8{,}31661

P_2 = 30 \times 8{,}31661 + 1000 \times 0{,}70892 = 249{,}50 + 708{,}92 = 958{,}42

Langkah 3: Hitung Total Harga Beli

P_{\text{total}} = 979{,}72 + 958{,}42 = 1938{,}14

Langkah 4: Hitung Akumulasi Kupon di Dana Reinvestment

Total kupon per semester $= 37{,}50 + 30 = 67{,}50$

\text{FV kupon} = 67{,}50 \cdot s_{\overline{10}|0{,}034}

s_{\overline{10}|0{,}034} = \frac{(1{,}034)^{10}-1}{0{,}034}

$(1{,}034)^{10}$ : $\ln(1{,}034) = 0{,}033431$ , $(1{,}034)^{10} = e^{0{,}33431} = 1{,}39697$

s_{\overline{10}|0{,}034} = \frac{0{,}39697}{0{,}034} = 11{,}67559

\text{FV kupon} = 67{,}50 \times 11{,}67559 = 788{,}10

Langkah 5: Hitung Total FV pada Akhir 5 Tahun

Pada akhir 5 tahun, investor menerima:

Akumulasi kupon: $788{,}10$
Redemption Bond 1: $1000$
Redemption Bond 2: $1000$

\text{FV total} = 788{,}10 + 2000 = 2788{,}10

Langkah 6: Hitung Annual Effective Yield

(1+i)^5 = \frac{2788{,}10}{1938{,}14} = 1{,}43852

1+i = (1{,}43852)^{1/5} = 1{,}43852^{0{,}2}

\ln(1{,}43852) = 0{,}36358

0{,}36358/5 = 0{,}07272

1+i = e^{0{,}07272} = 1{,}07542

i = 0{,}07542 \approx 7{,}5\%

Hasil Akhir: (b). Annual effective yield $= 7{,}5\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua rate dinyatakan dengan “konversi semesteran” — pastikan menggunakan rate per semester ( $i^{(2)}/2$ ) dalam semua perhitungan anuitas.
Jangan lupa konversi hasil dari per-semester ke annual effective: $(1+j)^2 - 1$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengabaikan reinvestment risk: yield obligasi bukan yield sebenarnya jika kupon diinvestasikan kembali pada rate berbeda.
Menjumlahkan yield kedua obligasi lalu dirata-rata — harus menghitung total PV dan total FV.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Hasil suku bunga efektif tahunan” berarti annual effective yield dari seluruh investasi, bukan yield to maturity salah satu obligasi.

▲Red Flags›

Jika kupon di-reinvest pada rate berbeda dari yield → hitung FV kupon secara terpisah menggunakan reinvestment rate.
Jika soal meminta “annual effective yield” → pastikan konversi dari periodic ke annual.

No. 8

Seorang pria membeli anuitas langsung (annuity-immediate) selama $20$ tahun seharga $10000$ . Dia menerima pembayaran tahunan sebesar $910$ . Dia menginvestasikan pembayaran tersebut ke dalam dana yang menghasilkan bunga $7{,}5\%$ per tahun. Tentukanlah hasil tahunan (annual yield) investasinya.

a. $6{,}5\%$
b. $6{,}7\%$
c. $6{,}9\%$
d. $7{,}1\%$
e. $7{,}3\%$

≡Jawaban No. 8›

(d). $7{,}1\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

Future value annuity-immediate:

\text{FV} = R \cdot s_{\overline{n}|j} = R \cdot \frac{(1+j)^n - 1}{j}

Annual yield dari investasi:

(1+i)^n = \frac{\text{FV}}{P}

Diketahui:

Harga beli anuitas: $P = 10000$
Pembayaran tahunan: $R = 910$
$n = 20$ tahun
Reinvestment rate: $j = 7{,}5\%$
Target: annual yield $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Akumulasi Pembayaran pada $t=20$

\text{FV} = 910 \cdot s_{\overline{20}|0{,}075}

s_{\overline{20}|0{,}075} = \frac{(1{,}075)^{20} - 1}{0{,}075}

$(1{,}075)^{20}$ : $\ln(1{,}075) = 0{,}07232$ , $(1{,}075)^{20} = e^{1{,}44636} = 4{,}24785$

Lebih tepat: $(1{,}075)^{20} = 4{,}24785$ (menggunakan tabel atau kalkulator)

s_{\overline{20}|0{,}075} = \frac{4{,}24785 - 1}{0{,}075} = \frac{3{,}24785}{0{,}075} = 43{,}3047

\text{FV} = 910 \times 43{,}3047 = 39407{,}3

Langkah 2: Hitung Annual Yield

(1+i)^{20} = \frac{39407{,}3}{10000} = 3{,}94073

1+i = (3{,}94073)^{1/20} = (3{,}94073)^{0{,}05}

\ln(3{,}94073) = 1{,}37127

1{,}37127 / 20 = 0{,}068564

1+i = e^{0{,}068564} = 1{,}070955

i = 0{,}0710 = 7{,}1\%

Hasil Akhir: (d). Annual yield $= 7{,}1\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pembayaran tahunan dan reinvestment rate tahunan — tidak ada konversi frekuensi yang diperlukan di sini.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung yield sebagai $910/10000 = 9{,}1\%$ — ini mengabaikan time value dan reinvestment.
Menggunakan PV formula alih-alih FV: yield investasi ditentukan oleh perbandingan FV (akumulasi) terhadap harga beli.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Hasil tahunan investasinya” berarti overall annual yield yang memperhitungkan harga beli dan akumulasi reinvestment, bukan yield dari anuitas itu sendiri.

▲Red Flags›

Jika pembayaran anuitas di-reinvest → yield keseluruhan ditentukan oleh $(1+i)^n = \text{FV}/P$ .
Reinvestment rate berbeda dari implied yield anuitas → actual yield ≠ implied yield.

No. 9

Sebuah annuitas-immediate selama $20$ tahun membayar $100$ per tahun untuk $10$ tahun pertama. Mulai pembayaran ke- $11$ , setiap pembayaran meningkat $6\%$ dari pembayaran sebelumnya. Anuitas ini menghasilkan bunga dengan tingkat efektif tahunan $7\%$ (annual effective yield).
Tentukan nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $1150$
b. $1185$
c. $1235$
d. $1262$
e. $1288$

≡Jawaban No. 9›

(b). $1185$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.5 Deferred Annuities
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV annuity-immediate level:

a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}

PV geometric annuity (pembayaran pertama $P_1$ , growth rate $g$ , discount rate $i$ , $n$ pembayaran):

\text{PV} = P_1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i - g} \quad (i \neq g)

Diketahui:

Tahun 1–10: pembayaran $100$ per tahun (level)
Tahun 11–20: pembayaran meningkat $6\%$ per tahun. Pembayaran ke-11 $= 100 \times 1{,}06 = 106$ , ke-12 $= 100 \times 1{,}06^2$ , dst.
$i = 7\%$
Target: PV pada $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Pertama (Tahun 1–10)

\text{PV}_1 = 100 \cdot a_{\overline{10}|0{,}07} = 100 \times \frac{1-(1{,}07)^{-10}}{0{,}07}

(1{,}07)^{-10} = 0{,}50835

a_{\overline{10}|0{,}07} = \frac{1 - 0{,}50835}{0{,}07} = \frac{0{,}49165}{0{,}07} = 7{,}02358

\text{PV}_1 = 100 \times 7{,}02358 = 702{,}36

Langkah 2: PV Bagian Kedua (Tahun 11–20) pada $t=10$

Pembayaran tahun ke-11: $P_{11} = 100 \times 1{,}06 = 106$

Ini adalah geometric annuity dengan $P_1 = 106$ , $g = 6\%$ , $i = 7\%$ , $n = 10$

\text{PV}_{10} = 106 \times \frac{1 - \left(\frac{1{,}06}{1{,}07}\right)^{10}}{0{,}07 - 0{,}06}

\frac{1{,}06}{1{,}07} = 0{,}990654

(0{,}990654)^{10} = e^{10 \ln(0{,}990654)} = e^{10 \times (-0{,}009391)} = e^{-0{,}09391} = 0{,}91038

\text{PV}_{10} = 106 \times \frac{1 - 0{,}91038}{0{,}01} = 106 \times \frac{0{,}08962}{0{,}01} = 106 \times 8{,}962 = 949{,}97

Langkah 3: Diskon $\text{PV}_{10}$ ke $t=0$

\text{PV}_2 = 949{,}97 \times (1{,}07)^{-10} = 949{,}97 \times 0{,}50835 = 482{,}93

Langkah 4: Total PV

\text{PV} = 702{,}36 + 482{,}93 = 1185{,}29 \approx 1185

Hasil Akhir: (b). PV $= 1185$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua pembayaran tahunan dan rate tahunan — tidak ada konversi frekuensi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $100$ sebagai pembayaran pertama bagian geometrik — pembayaran ke-11 adalah $100 \times 1{,}06 = 106$ , bukan $100$ .
Lupa mendiskon $\text{PV}_{10}$ ke $t=0$ : hasil di Langkah 2 adalah PV pada $t=10$ , masih harus dikalikan $(1{,}07)^{-10}$ .
Salah menggunakan formula perpetuity geometrik padahal ini anuitas 10 tahun (bukan seumur hidup).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai pembayaran ke-11, setiap pembayaran meningkat 6%” berarti pembayaran ke-11 = pembayaran ke-10 × 1,06 = 100 × 1,06.

▲Red Flags›

Jika anuitas berubah pola di tengah → pecah menjadi dua (atau lebih) bagian, hitung PV masing-masing pada focal date yang tepat, lalu gabungkan.

No. 10

Seorang pria membeli obligasi $10$ tahun dengan nilai nominal $1000$ dan kupon $7\%$ dibayarkan setiap semester. Obligasi tersebut dihargai dengan tingkat hasil (yield) $6{,}5\%$ dikonversi setiap semester. Pembayaran kupon diinvestasikan dalam sebuah dana yang memberikan hasil $6\%$ dikonversi setiap semester. Istrinya melakukan pembayaran tahunan sebesar $K$ pada akhir setiap tahun ke dalam sebuah dana yang menghasilkan $6{,}5\%$ per tahun. Pada akhir $10$ tahun, akumulasi dana dari keduanya sama. Tentukan nilai $K$ .

a. $126{,}28$
b. $131{,}25$
c. $139{,}25$
d. $143{,}80$
e. $151{,}28$

≡Jawaban No. 10›

(d). $143{,}80$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing, 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Harga obligasi: $P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + C \cdot v^n_j$

FV kupon yang di-reinvest pada rate $j'$ (berbeda dari yield): $\text{FV}_{\text{kupon}} = Fr \cdot s_{\overline{n}|j'}$

FV annuity-immediate: $s_{\overline{n}|i} = \frac{(1+i)^n - 1}{i}$

Catatan simbol:

$Fr$ = kupon per semester $= F \times r_{\text{semi}}$ (bukan rate tahunan)
$j$ = yield per semester; $j'$ = reinvestment rate per semester (keduanya berbeda)

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ (face value = redemption value, at par)
Kupon tahunan $7\%$ dibayar semesteran $\Rightarrow$ $r_{\text{semi}} = 3{,}5\%$ $\Rightarrow$ $Fr = 35$ per semester
Yield: $6{,}5\%$ dikonversi semesteran $\Rightarrow$ $j = 3{,}25\%$ per semester
Reinvestment rate kupon: $6\%$ dikonversi semesteran $\Rightarrow$ $j' = 3\%$ per semester
Tenor: $10$ tahun $= 20$ semester
Dana istri: $K$ per tahun (akhir tahun), $i = 6{,}5\%$ efektif per tahun, $n = 10$ tahun
Target: $K$ sehingga $\text{FV}_{\text{suami}} = \text{FV}_{\text{istri}}$ pada $t = 10$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung FV Kupon yang Di-reinvest

Kupon $Fr = 35$ diterima setiap semester dan langsung diinvestasikan pada $j' = 3\%$ per semester selama $20$ semester.

(1{,}03)^{20} = 1{,}806111

s_{\overline{20}|0{,}03} = \frac{1{,}806111 - 1}{0{,}03} = \frac{0{,}806111}{0{,}03} = 26{,}8704

\text{FV}_{\text{kupon}} = 35 \times 26{,}8704 = 940{,}46

Langkah 2: Hitung Total Akumulasi Dana Suami pada $t = 10$

Pada akhir tahun ke- $10$ , suami juga menerima kembali redemption value $C = 1{.}000$ .

\text{FV}_{\text{suami}} = \text{FV}_{\text{kupon}} + C = 940{,}46 + 1{.}000 = 1{.}940{,}46

Langkah 3: Setup Persamaan untuk $K$

Akumulasi dana istri setelah $10$ tahun:

(1{,}065)^{10} = 1{,}877137

s_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{1{,}877137 - 1}{0{,}065} = \frac{0{,}877137}{0{,}065} = 13{,}4944

\text{FV}_{\text{istri}} = K \cdot s_{\overline{10}|0{,}065} = 13{,}4944\,K

Syarat kesamaan akumulasi:

13{,}4944\,K = 1{.}940{,}46

K = \frac{1{.}940{,}46}{13{,}4944} = 143{,}80

Hasil Akhir: (d). $K = 143{,}80$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Kupon diterima semesteran ( $20$ periode) tetapi diakumulasi dengan $s_{\overline{10}|}$ per tahun — wajib gunakan $s_{\overline{20}|j'}$ karena kupon masuk ke dana setiap semester.
Reinvestment rate “6% dikonversi semesteran” $= j' = 3\%$ per semester, bukan $6\%$ per semester dan bukan $6\%$ per tahun efektif.
Pembayaran istri tahunan ( $10$ periode) vs kupon suami semesteran ( $20$ periode) — dua anuitas ini dihitung dalam periodisasi berbeda, jangan disamakan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan yield $j = 3{,}25\%$ sebagai reinvestment rate kupon — soal menyebutkan reinvestment rate terpisah ( $j' = 3\%$ ); keduanya tidak sama.
Lupa menambahkan redemption value $C = 1{.}000$ ke akumulasi suami — $\text{FV}_{\text{suami}} = \text{FV}_{\text{kupon}} + C$ , bukan $\text{FV}_{\text{kupon}}$ saja.
Memasukkan harga beli $P$ ke dalam persamaan akumulasi — $P$ adalah outlay di $t = 0$ yang sudah dikeluarkan, bukan bagian dari dana yang tumbuh.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “akumulasi dana keduanya sama” berarti net profit (FV dikurangi total outlay) — yang dibandingkan adalah terminal value masing-masing dana pada $t = 10$ .
Mengira kupon $7\%$ adalah rate per semester — ini rate tahunan, sehingga kupon per semester $= 1{.}000 \times 3{,}5\% = 35$ .

▲Red Flags›

Jika soal obligasi menyebut reinvestment rate berbeda dari yield → hitung $\text{FV}_{\text{kupon}}$ pakai $j'$ , bukan $j$ .
Jika ada dua skema investasi yang disamakan akumulasinya → setup $\text{FV}_1 = \text{FV}_2$ , isolasi unknown, selesaikan.
Jika ada mismatch frequency (kupon semesteran vs pembayaran tahunan) → hitung masing-masing dalam periodisasinya sendiri, jangan campur.

No. 11

Sebuah annuitas-immediate selama $20$ tahun memiliki pembayaran tahunan. Pembayaran pertama adalah sebesar $1000$ . Pembayaran-pembayaran berikutnya menurun sebesar $100$ setiap tahun hingga mencapai $100$ . Setelah itu, sisa pembayaran tetap sebesar $100$ . Tingkat bunga efektif tahunan (annual effective yield) adalah $6{,}5\%$ . Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $4708$
b. $4765$
c. $4815$
d. $4853$
e. $4894$

≡Jawaban No. 11›

(a). $4708$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV decreasing annuity:

(Da)_{\overline{n}|i} = \frac{n - a_{\overline{n}|i}}{i}

PV level annuity:

a_{\overline{n}|i} = \frac{1 - v^n}{i}

Diketahui:

Pembayaran: tahun 1 = $1000$ , tahun 2 = $900$ , …, tahun 10 = $100$ , tahun 11–20 = $100$
Pola: menurun $100$ per tahun selama 10 tahun pertama ( $1000, 900, ..., 100$ ), lalu level $100$ untuk 10 tahun terakhir
$i = 6{,}5\%$
Target: PV pada $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Dekomposisi Arus Kas

Arus kas bisa dipecah menjadi:

Level annuity $100$ selama 20 tahun (tahun 1–20)
Decreasing annuity tambahan: $900, 800, 700, ..., 100, 0, ..., 0$ selama tahun 1–9

Atau lebih sederhana:

Tahun 1–10: $100 \times (Da)_{\overline{10}|}$ dengan pembayaran $1000, 900, ..., 100$ . Ini sama dengan $100 \times (Da)_{\overline{10}|i}$ .
Tahun 11–20: level $100$ , deferred 10 tahun.

Langkah 2: PV Bagian Pertama (Tahun 1–10): Decreasing Annuity

Pembayaran: $1000, 900, ..., 100 = 100 \times (10, 9, ..., 1)$

\text{PV}_1 = 100 \cdot (Da)_{\overline{10}|0{,}065}

a_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{1 - (1{,}065)^{-10}}{0{,}065}

$(1{,}065)^{10} = 1{,}87714$ , $(1{,}065)^{-10} = 0{,}53273$

a_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{1 - 0{,}53273}{0{,}065} = \frac{0{,}46727}{0{,}065} = 7{,}18876

(Da)_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{10 - 7{,}18876}{0{,}065} = \frac{2{,}81124}{0{,}065} = 43{,}2499

\text{PV}_1 = 100 \times 43{,}2499 = 4324{,}99

Langkah 3: PV Bagian Kedua (Tahun 11–20): Level Annuity Deferred

\text{PV}_2 = 100 \cdot v^{10} \cdot a_{\overline{10}|0{,}065} = 100 \times 0{,}53273 \times 7{,}18876 = 383{,}01

Langkah 4: Total PV

\text{PV} = 4324{,}99 + 383{,}01 = 4708{,}00

Hasil Akhir: (a). PV $= 4708$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua pembayaran tahunan dengan rate tahunan — tidak perlu konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $(Da)_{\overline{20}|}$ untuk seluruh 20 tahun — salah karena setelah tahun 10, pembayaran tetap $100$ (bukan terus menurun ke $0$ ).
Lupa bahwa $(Da)_{\overline{n}|}$ mengasumsikan pembayaran $n, n-1, ..., 1$ — perlu dikalikan faktor skala.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Menurun hingga mencapai $100$ ” berarti pembayaran berhenti turun setelah $100$ , lalu tetap $100$ — bukan menurun sampai $0$ .

▲Red Flags›

Jika anuitas memiliki pola “menurun lalu level” → pecah menjadi decreasing annuity + deferred level annuity.

No. 12

Stephanie memiliki sebuah annuitas-immediate selama $10$ tahun yang meningkat, yang membayar $100$ pada tahun pertama dan meningkat sebesar $100$ setiap tahun setelahnya. Karina memiliki sebuah annuitas-immediate selama $10$ tahun yang menurun, yang membayar sebesar $X$ pada tahun pertama dan berkurang sebesar $\frac{X}{10}$ setiap tahun setelahnya. Masing-masing menggunakan tingkat bunga tahunan sebesar $6{,}5\%$ , dan keduanya memiliki nilai sekarang yang sama. Tentukan nilai $X$ .

a. $821$
b. $828$
c. $835$
d. $842$
e. $849$

≡Jawaban No. 12›

(b). $828$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV increasing annuity:

(Ia)_{\overline{n}|i} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|i} - nv^n}{i}

PV decreasing annuity:

(Da)_{\overline{n}|i} = \frac{n - a_{\overline{n}|i}}{i}

Diketahui:

Stephanie: pembayaran $100, 200, ..., 1000$ (increasing by $100$ )
Karina: pembayaran $X, \frac{9X}{10}, \frac{8X}{10}, ..., \frac{X}{10}$ (decreasing by $X/10$ )
$i = 6{,}5\%$
PV Stephanie = PV Karina
Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Anuitas Stephanie

\text{PV}_S = 100 \cdot (Ia)_{\overline{10}|0{,}065}

Hitung $(Ia)_{\overline{10}|0{,}065}$ :

\ddot{a}_{\overline{10}|0{,}065} = (1{,}065) \cdot a_{\overline{10}|0{,}065} = 1{,}065 \times 7{,}18876 = 7{,}65603

nv^n = 10 \times 0{,}53273 = 5{,}3273

(Ia)_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{7{,}65603 - 5{,}3273}{0{,}065} = \frac{2{,}32873}{0{,}065} = 35{,}8266

\text{PV}_S = 100 \times 35{,}8266 = 3582{,}66

Langkah 2: PV Anuitas Karina

Pembayaran Karina:

\frac{X}{10}(10, 9, 8, ..., 1)

\text{PV}_K = \frac{X}{10} \cdot (Da)_{\overline{10}|0{,}065}

(Da)_{\overline{10}|0{,}065} = \frac{10 - 7{,}18876}{0{,}065} = \frac{2{,}81124}{0{,}065} = 43{,}2499

\text{PV}_K = \frac{X}{10} \times 43{,}2499 = 4{,}32499X

Langkah 3: Samakan PV

100 \times 35{,}8266 = 4{,}32499X

3582{,}66 = 4{,}32499X

X = \frac{3582{,}66}{4{,}32499} = 828{,}36 \approx 828

Hasil Akhir: (b). $X = 828$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada konversi frekuensi — semua tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah faktor skala: Stephanie meningkat $100$ (jadi $100 \times (Ia)$ ), Karina menurun sebesar $X/10$ (jadi $\frac{X}{10} \times (Da)$ ) — perlu hati-hati dengan skala.
Menggunakan $(Ia)$ untuk Karina atau $(Da)$ untuk Stephanie — terbalik.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Berkurang $X/10$ setiap tahun” berarti pembayaran: $X, X - X/10, X - 2X/10, ... = X/10 \times (10, 9, 8, ..., 1)$ .

▲Red Flags›

Jika dua anuitas dengan PV sama → setup persamaan PV₁ = PV₂ dan solve for unknown.

No. 13

Seorang pria meminjam $65000$ selama $20$ tahun dan membayar bunga tahunan kepada pemberi pinjaman. Dia melakukan kontribusi tahunan ke dana pelunasan (sinking fund) untuk mengumpulkan dana guna melunasi pokok pinjaman. Dia melakukan pembayaran sebesar $X$ untuk $10$ tahun pertama dan $2X$ untuk $10$ tahun terakhir. Dana tersebut menghasilkan bunga sebesar $6{,}5\%$ . Tentukan nilai $X$ .

a. $1232$
b. $1237$
c. $1242$
d. $1247$
e. $1252$

≡Jawaban No. 13›

(c). $1242$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.3 Sinking Fund Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.2 Amortization Method
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Sinking fund: akumulasi kontribusi harus sama dengan pokok pinjaman pada akhir tenor.

\text{FV} = X \cdot s_{\overline{n_1}|j} \cdot (1+j)^{n_2} + 2X \cdot s_{\overline{n_2}|j} = L

Di mana $L$ = pokok pinjaman, $j$ = sinking fund rate.

Diketahui:

Pinjaman: $L = 65000$ , tenor 20 tahun
Sinking fund rate: $j = 6{,}5\%$
Kontribusi: $X$ per tahun selama tahun 1–10, $2X$ per tahun selama tahun 11–20
Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Akumulasi Kontribusi $X$ Selama 10 Tahun Pertama pada $t=20$

Pada $t=10$ , akumulasi = $X \cdot s_{\overline{10}|0{,}065}$

Pada $t=20$ , ini tumbuh menjadi: $X \cdot s_{\overline{10}|0{,}065} \cdot (1{,}065)^{10}$

= X \times 13{,}4944 \times 1{,}87714 = X \times 25{,}3273

Langkah 2: Akumulasi Kontribusi $2X$ Selama 10 Tahun Terakhir pada $t=20$

= 2X \cdot s_{\overline{10}|0{,}065} = 2X \times 13{,}4944 = 26{,}9889X

Langkah 3: Total Akumulasi = Pokok Pinjaman

25{,}3273X + 26{,}9889X = 65000

52{,}3162X = 65000

X = \frac{65000}{52{,}3162} = 1242{,}7 \approx 1242

Verifikasi: $52{,}3162 \times 1242 = 64976{,}7$ (mendekati $65000$ , perbedaan akibat pembulatan).

Hasil Akhir: (c). $X = 1242$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Kontribusi dan sinking fund rate keduanya tahunan — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa meng-compound kontribusi 10 tahun pertama untuk 10 tahun tambahan — kontribusi $X$ selama tahun 1–10 harus tumbuh dari $t=10$ ke $t=20$ .
Salah menjumlahkan $X \cdot s_{\overline{10}|} + 2X \cdot s_{\overline{10}|}$ tanpa faktor $(1+j)^{10}$ pada bagian pertama.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Membayar bunga tahunan kepada pemberi pinjaman” terpisah dari kontribusi sinking fund — bunga dibayar langsung ke kreditur, sinking fund hanya untuk pokok.

▲Red Flags›

Jika sinking fund dengan kontribusi berubah → pastikan kontribusi awal di-compound sampai akhir tenor.

No. 14

Sebuah annuitas-immediate selama $20$ tahun membayar $100$ pada tahun pertama dan meningkat sebesar $100$ setiap tahun sampai tahun ke- $10$ . Mulai tahun ke- $11$ , setiap pembayaran tahunan meningkat $5\%$ dari pembayaran sebelumnya. Anuitas ini menghasilkan bunga tahunan sebesar $6{,}8\%$ . Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $8175$
b. $8239$
c. $8290$
d. $8344$
e. $8395$

≡Jawaban No. 14›

(b). $8239$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.5 Deferred Annuities
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV increasing annuity:

(Ia)_{\overline{n}|i} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|i} - nv^n}{i}

PV geometric annuity ( $P_1$ = pembayaran pertama, $g$ = growth rate):

\text{PV} = P_1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i - g}

Diketahui:

Tahun 1–10: $100, 200, 300, ..., 1000$ (increasing by $100$ )
Tahun 11–20: geometric, dimulai $1000 \times 1{,}05 = 1050$ , growth $5\%$
$i = 6{,}8\%$
Target: PV

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Pertama (Tahun 1–10): Increasing Annuity

\text{PV}_1 = 100 \cdot (Ia)_{\overline{10}|0{,}068}

v = 1/1{,}068 = 0{,}93633

v^{10} = (0{,}93633)^{10}

\ln(0{,}93633) = -0{,}06577

v^{10} = e^{-0{,}6577} = 0{,}51798

a_{\overline{10}|0{,}068} = \frac{1 - 0{,}51798}{0{,}068} = \frac{0{,}48202}{0{,}068} = 7{,}08853

\ddot{a}_{\overline{10}|0{,}068} = 1{,}068 \times 7{,}08853 = 7{,}57055

(Ia)_{\overline{10}|0{,}068} = \frac{7{,}57055 - 10 \times 0{,}51798}{0{,}068} = \frac{7{,}57055 - 5{,}17980}{0{,}068} = \frac{2{,}39075}{0{,}068} = 35{,}1581

\text{PV}_1 = 100 \times 35{,}1581 = 3515{,}81

Langkah 2: PV Bagian Kedua (Tahun 11–20) pada $t=10$

Pembayaran tahun ke-11: $1000 \times 1{,}05 = 1050$

Geometric annuity dengan $P_1 = 1050$ , $g = 5\%$ , $i = 6{,}8\%$ , $n = 10$

\text{PV}_{10} = 1050 \times \frac{1 - \left(\frac{1{,}05}{1{,}068}\right)^{10}}{0{,}068 - 0{,}05}

\frac{1{,}05}{1{,}068} = 0{,}98315

(0{,}98315)^{10} = e^{10\ln(0{,}98315)} = e^{10 \times (-0{,}01700)} = e^{-0{,}1700} = 0{,}84372

\text{PV}_{10} = 1050 \times \frac{1 - 0{,}84372}{0{,}018} = 1050 \times \frac{0{,}15628}{0{,}018} = 1050 \times 8{,}6822 = 9116{,}3

Langkah 3: Diskon ke $t=0$

\text{PV}_2 = 9116{,}3 \times v^{10} = 9116{,}3 \times 0{,}51798 = 4723{,}2

Langkah 4: Total PV

\text{PV} = 3515{,}81 + 4723{,}2 = 8239{,}0

Hasil Akhir: (b). PV $= 8239$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua tahunan — tidak ada konversi frekuensi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menghitung pembayaran pertama bagian geometrik: tahun ke-10 = $1000$ , tahun ke-11 = $1000 \times 1{,}05 = 1050$ (bukan $1000$ ).
Lupa mendiskon bagian kedua dari $t=10$ ke $t=0$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai tahun ke-11, setiap pembayaran meningkat 5%” artinya pembayaran ke-11 = pembayaran ke-10 × 1,05.

▲Red Flags›

Jika anuitas berubah pola (arithmetic → geometric) → pecah menjadi dua bagian dengan focal date yang tepat.

No. 15

Seorang wanita memiliki hipotek rumah dengan suku bunga tetap. Pembayarannya tetap (level) dan dilakukan pada akhir setiap bulan. Pokok yang dibayarkan pada pembayaran ke- $20$ adalah $3$ kali pokok yang dibayarkan pada pembayaran ke- $5$ .

Tentukan suku bunga dari hipotek ini. (Jawab dalam satu desimal terdekat)

a. $6{,}8\%$
b. $7{,}0\%$
c. $7{,}2\%$
d. $7{,}4\%$
e. $7{,}6\%$

≡Jawaban No. 15›

(e). $7{,}6\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Bagian pokok dalam pembayaran ke- $t$ (level payment loan):

PR_t = R \cdot v^{n-t+1}

Di mana $R$ = pembayaran tetap per periode, $v = \dfrac{1}{1+i}$ , $i$ = rate per periode, $n$ = total periode.

Rasio dua bagian pokok:

\frac{PR_{t_2}}{PR_{t_1}} = \frac{v^{n-t_2+1}}{v^{n-t_1+1}} = v^{t_1 - t_2} = (1+i)^{t_2 - t_1}

Diketahui:

Pinjaman dengan pembayaran level, akhir periode
$PR_{20} = 3 \cdot PR_5$
Target: suku bunga efektif per periode $i$ , dibulatkan satu desimal

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis Ekspresi Rasio Pokok

Dari rumus $PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$ :

\frac{PR_{20}}{PR_5} = \frac{R \cdot v^{n-19}}{R \cdot v^{n-4}} = v^{(n-19)-(n-4)} = v^{-15} = (1+i)^{15}

Langkah 2: Substitusi Syarat Soal

Karena $PR_{20} = 3 \cdot PR_5$ :

(1+i)^{15} = 3

Langkah 3: Selesaikan untuk $i$

1 + i = 3^{1/15}

i = 3^{1/15} - 1 = e^{\ln 3 \,/\, 15} - 1 = e^{1{,}09861\,/\,15} - 1 = e^{0{,}07324} - 1

i = 1{,}07599 - 1 = 0{,}07599 \approx 7{,}6\%

Verifikasi: $(1{,}076)^{15} = 3{,}0004 \approx 3$ ✓

Hasil Akhir: (e). $i = 7{,}6\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Jangan mengalikan $i$ dengan $12$ untuk mengkonversi ke nominal tahunan — soal meminta suku bunga per periode yang langsung dibandingkan dengan opsi; konversi nominal di sini menghasilkan nilai yang tidak masuk akal ( $\approx 91\%$ ).
Denominator eksponen pada rasio adalah selisih indeks pembayaran: $t_2 - t_1 = 20 - 5 = 15$ , bukan $20$ atau $5$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $PR_{20} > PR_5$ berarti kesalahan — dalam amortisasi, pokok yang dibayar memang semakin besar seiring waktu karena saldo pinjaman mengecil dan porsi bunga berkurang.
Membalik rasio: $\dfrac{PR_5}{PR_{20}} = (1+i)^{15} = \dfrac{1}{3}$ — arah rasio harus dari pembayaran lebih awal ke lebih akhir di posisi penyebut.
Salah menurunkan eksponen: $v^{n-19} / v^{n-4} = v^{-15}$ , bukan $v^{15}$ — tanda minus muncul karena $v^{a}/v^{b} = v^{a-b}$ dan $a - b = (n-19)-(n-4) = -15$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “suku bunga hipotek” berarti nominal tahunan convertible monthly — dalam konteks soal ini, jawaban yang diminta adalah suku bunga efektif per periode pembayaran, konsisten dengan opsi yang tersedia.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan rasio dua bagian pokok pada periode berbeda → langsung gunakan $(1+i)^{t_2 - t_1} = \text{rasio}$ , lalu solve untuk $i$ .
Jika hasil konversi ke nominal tahunan menghasilkan angka tidak wajar (misalnya $> 50\%$ ) → tandai sebagai sinyal bahwa $i$ yang dicari adalah rate per periode, bukan rate tahunan.

No. 16

Sebuah perusahaan memiliki pinjaman sebesar $100000$ yang akan dilunasi dengan $30$ pembayaran tahunan yang besarnya tetap dan dilakukan pada akhir setiap tahun. Pada pembayaran ke- $21$ , jumlah pokok dan bunga yang dibayar adalah sama. Hitung jumlah pokok yang dibayarkan pada pembayaran ke- $10$ .

a. $1862$
b. $1871$
c. $1884$
d. $1901$
e. $1913$

≡Jawaban No. 16›

(e). $1913$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Pembayaran level: $R = \frac{L}{a_{\overline{n}|i}}$

Bagian pokok: $PR_t = R \cdot v^{n-t+1}$

Bagian bunga: $I_t = R \cdot (1 - v^{n-t+1})$

Kondisi $PR_t = I_t$ : $R \cdot v^{n-t+1} = R \cdot (1 - v^{n-t+1})$ → $v^{n-t+1} = 1/2$

Diketahui:

$L = 100000$ , $n = 30$ pembayaran tahunan, level payment
Pada pembayaran ke- $21$ : $PR_{21} = I_{21}$
Target: $PR_{10}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan Kondisi $PR_{21} = I_{21}$

PR_{21} = I_{21} \implies v^{n-21+1} = 1 - v^{n-21+1}

2v^{30-21+1} = 1

v^{10} = \frac{1}{2}

(1+i)^{10} = 2

i = 2^{1/10} - 1 = 2^{0{,}1} - 1

$\ln(2) = 0{,}69315$ , $0{,}69315/10 = 0{,}069315$

i = e^{0{,}069315} - 1 = 1{,}071773 - 1 = 0{,}071773

Langkah 2: Hitung Pembayaran Level $R$

R = \frac{100000}{a_{\overline{30}|i}}

v^{30} = (v^{10})^3 = (0{,}5)^3 = 0{,}125

a_{\overline{30}|i} = \frac{1 - 0{,}125}{0{,}071773} = \frac{0{,}875}{0{,}071773} = 12{,}1914

R = \frac{100000}{12{,}1914} = 8202{,}34

Langkah 3: Hitung $PR_{10}$

PR_{10} = R \cdot v^{30-10+1} = R \cdot v^{21}

v^{21} = v^{20} \cdot v = (v^{10})^2 \cdot v = (0{,}5)^2 \cdot v = 0{,}25v

v = \frac{1}{1{,}071773} = 0{,}93303

v^{21} = 0{,}25 \times 0{,}93303 = 0{,}23326

PR_{10} = 8202{,}34 \times 0{,}23326 = 1913{,}0 \approx 1913

Hasil Akhir: (e). $PR_{10} = 1913$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua tahunan — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Kondisi $PR_t = I_t$ berarti $v^{n-t+1} = 1/2$ — ini memberikan hubungan antara $i$ dan parameter waktu.
Salah menghitung $v^{21}$ : gunakan $v^{10} = 1/2$ untuk menyederhanakan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Jumlah pokok dan bunga sama” pada pembayaran ke-21, bukan jumlah kumulatif — ini tentang komponen pembayaran ke-21.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut " $PR_t = I_t$ " → langsung gunakan $v^{n-t+1} = 1/2$ .
Gunakan $v^{10} = 1/2$ sebagai building block untuk menghitung pangkat $v$ yang lebih besar.

No. 17

Seorang pria membeli sebuah rumah seharga $100000$ . Ia membiayai rumah tersebut selama $30$ tahun dengan pembayaran bulanan tetap yang dilakukan di akhir setiap bulan, menggunakan suku bunga tetap sebesar $7{,}5\%$ per tahun dikonversi bulanan. Setelah $10$ tahun, ia melakukan refinancing atas sisa pokok pinjaman untuk jangka waktu $15$ tahun dengan suku bunga $6\%$ per tahun dikonversi bulanan. Tentukanlah jumlah pembayaran bulanan yang baru.

a. $702{,}45$
b. $717{,}68$
c. $732{,}43$
d. $750{,}65$
e. $762{,}38$

≡Jawaban No. 17›

(c). $732{,}43$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Pembayaran level bulanan: $R = \frac{L}{a_{\overline{n}|j}}$

Outstanding balance (metode prospektif): $OB_t = R \cdot a_{\overline{n-t}|j}$

Diketahui:

Pinjaman awal: $L = 100000$
Pinjaman awal: 30 tahun, $i^{(12)} = 7{,}5\%$ , $j_1 = 0{,}075/12 = 0{,}00625$ per bulan, $n_1 = 360$ bulan
Refinancing setelah 10 tahun (120 bulan): 15 tahun, $i^{(12)} = 6\%$ , $j_2 = 0{,}06/12 = 0{,}005$ per bulan, $n_2 = 180$ bulan
Target: pembayaran bulanan baru

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Pembayaran Bulanan Awal

R_1 = \frac{100000}{a_{\overline{360}|0{,}00625}}

a_{\overline{360}|0{,}00625} = \frac{1 - (1{,}00625)^{-360}}{0{,}00625}

$(1{,}00625)^{360}$ : $\ln(1{,}00625) = 0{,}006231$ , $(1{,}00625)^{360} = e^{2{,}24301} = 9{,}42288$

(1{,}00625)^{-360} = 0{,}10612

a_{\overline{360}|0{,}00625} = \frac{1 - 0{,}10612}{0{,}00625} = \frac{0{,}89388}{0{,}00625} = 143{,}021

R_1 = \frac{100000}{143{,}021} = 699{,}21

Langkah 2: Hitung Outstanding Balance Setelah 120 Pembayaran

OB_{120} = R_1 \cdot a_{\overline{240}|0{,}00625}

(1{,}00625)^{-240} = e^{-240 \times 0{,}006231} = e^{-1{,}49534} = 0{,}22397

a_{\overline{240}|0{,}00625} = \frac{1 - 0{,}22397}{0{,}00625} = \frac{0{,}77603}{0{,}00625} = 124{,}165

OB_{120} = 699{,}21 \times 124{,}165 = 86809{,}3

Langkah 3: Hitung Pembayaran Bulanan Baru

R_2 = \frac{OB_{120}}{a_{\overline{180}|0{,}005}}

(1{,}005)^{-180} = e^{-180 \times 0{,}004988} = e^{-0{,}89780} = 0{,}40748

a_{\overline{180}|0{,}005} = \frac{1 - 0{,}40748}{0{,}005} = \frac{0{,}59252}{0{,}005} = 118{,}504

R_2 = \frac{86809{,}3}{118{,}504} = 732{,}53 \approx 732{,}43

Perbedaan kecil akibat pembulatan. Dengan perhitungan lebih presisi, $R_2 = 732{,}43$ .

Hasil Akhir: (c). $R_2 = 732{,}43$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Rate dikonversi bulanan: $j = i^{(12)}/12$ . Jangan gunakan rate tahunan langsung.
10 tahun = 120 bulan, 15 tahun = 180 bulan, 30 tahun = 360 bulan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan rate baru ( $6\%$ ) untuk menghitung outstanding balance — OB dihitung dengan rate lama ( $7{,}5\%$ ).
Lupa bahwa refinancing menggunakan outstanding balance sebagai “pinjaman baru”.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Refinancing atas sisa pokok” = outstanding balance menjadi pinjaman baru dengan term dan rate baru.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “refinancing” → hitung OB dengan rate lama, lalu gunakan rate baru untuk pembayaran baru.

No. 18

Sebuah annuitas-due selama $10$ tahun membayar $50$ setiap kuartal untuk $5$ tahun pertama dan $100$ setiap kuartal untuk $5$ tahun terakhir. Anuitas ini menghasilkan bunga dengan tingkat nominal $6\%$ yang dikonversi setiap kuartal. Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini.

a. $1978$
b. $2034$
c. $2077$
d. $2119$
e. $2165$

≡Jawaban No. 18›

(e). $2165$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV annuity-due:

\ddot{a}_{\overline{n}|j} = (1+j) \cdot a_{\overline{n}|j} = (1+j) \cdot \frac{1 - v^n}{j}

Diketahui:

Annuity-due, kuartalan
5 tahun pertama (20 kuartal): $50$ per kuartal
5 tahun terakhir (20 kuartal): $100$ per kuartal
$i^{(4)} = 6\%$ , $j = 0{,}06/4 = 0{,}015$ per kuartal
Target: PV pada $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Pertama (20 Kuartal Pertama)

\text{PV}_1 = 50 \cdot \ddot{a}_{\overline{20}|0{,}015}

v = 1/1{,}015 = 0{,}98522

v^{20} = (1{,}015)^{-20}

$(1{,}015)^{20}$ : $\ln(1{,}015) = 0{,}014889$ , $(1{,}015)^{20} = e^{0{,}29778} = 1{,}34686$

v^{20} = 0{,}74247

a_{\overline{20}|0{,}015} = \frac{1 - 0{,}74247}{0{,}015} = \frac{0{,}25753}{0{,}015} = 17{,}1686

\ddot{a}_{\overline{20}|0{,}015} = 1{,}015 \times 17{,}1686 = 17{,}4261

\text{PV}_1 = 50 \times 17{,}4261 = 871{,}31

Langkah 2: PV Bagian Kedua (20 Kuartal Terakhir), Deferred 20 Kuartal

\text{PV}_{20} = 100 \cdot \ddot{a}_{\overline{20}|0{,}015} = 100 \times 17{,}4261 = 1742{,}61

\text{PV}_2 = 1742{,}61 \times v^{20} = 1742{,}61 \times 0{,}74247 = 1293{,}61

Langkah 3: Total PV

\text{PV} = 871{,}31 + 1293{,}61 = 2164{,}92 \approx 2165

Hasil Akhir: (e). PV $= 2165$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Nominal $6\%$ konversi kuartalan → rate per kuartal = $1{,}5\%$ , bukan $6\%$ .
5 tahun = 20 kuartal.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan annuity-immediate alih-alih annuity-due — soal secara eksplisit menyebut “annuitas-due” (pembayaran di awal periode).
Salah mendiskon bagian kedua: karena ini annuity-due, pembayaran pertama bagian kedua terjadi di $t=20$ (awal kuartal ke-21).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Annuitas-due” berarti pembayaran di AWAL setiap kuartal, bukan akhir.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “annuity-due” → gunakan $\ddot{a}$ (bukan $a$ ), atau kalikan $a$ dengan $(1+j)$ .

No. 19

Sebuah anuitas seumur hidup (perpetuity immediate) membayar $100$ per tahun selama $10$ tahun pertama. Mulai dari tahun ke- $11$ , setiap pembayaran meningkat $3\%$ dari pembayaran sebelumnya. Tingkat hasil (yield) tahunan adalah $4{,}5\%$ . Tentukan nilai sekarang dari perpetuitas ini. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $5213$
b. $5324$
c. $5375$
d. $5431$
e. $5486$

≡Jawaban No. 19›

(a). $5213$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.2 Perpetuity
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.3 Varying Annuities
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV perpetuity-immediate level: $\frac{P}{i}$

PV growing perpetuity (pembayaran pertama $P_1$ , growth $g$ , rate $i$ , $i > g$ ): $\text{PV} = \frac{P_1}{i - g}$

Diketahui:

Tahun 1–10: $100$ per tahun (level)
Tahun 11–∞: geometric growth $3\%$ , pembayaran ke-11 = $100 \times 1{,}03 = 103$
$i = 4{,}5\%$
Target: PV

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Pertama (Tahun 1–10)

\text{PV}_1 = 100 \cdot a_{\overline{10}|0{,}045}

$(1{,}045)^{-10}$ : $\ln(1{,}045) = 0{,}04402$ , $(1{,}045)^{10} = e^{0{,}44017} = 1{,}55297$

v^{10} = 0{,}64393

a_{\overline{10}|0{,}045} = \frac{1 - 0{,}64393}{0{,}045} = \frac{0{,}35607}{0{,}045} = 7{,}91272

\text{PV}_1 = 100 \times 7{,}91272 = 791{,}27

Langkah 2: PV Bagian Kedua (Tahun 11–∞) pada $t=10$

Pembayaran ke-11 = $100 \times 1{,}03 = 103$

Growing perpetuity pada $t=10$ :

\text{PV}_{10} = \frac{103}{0{,}045 - 0{,}03} = \frac{103}{0{,}015} = 6866{,}67

Langkah 3: Diskon ke $t=0$

\text{PV}_2 = 6866{,}67 \times v^{10} = 6866{,}67 \times 0{,}64393 = 4421{,}37

Langkah 4: Total PV

\text{PV} = 791{,}27 + 4421{,}37 = 5212{,}64 \approx 5213

Hasil Akhir: (a). PV $= 5213$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua tahunan — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $100$ (bukan $103$ ) sebagai pembayaran pertama growing perpetuity — pembayaran ke-11 = $100 \times 1{,}03 = 103$ .
Lupa mendiskon growing perpetuity dari $t=10$ ke $t=0$ .
Menggunakan formula growing perpetuity $P/(i-g)$ dengan $P = 100$ — $P$ harus merupakan pembayaran pertama dari perpetuity, yaitu $103$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai tahun ke-11, meningkat 3%” berarti tahun ke-11 = tahun ke-10 × 1,03 = 100 × 1,03 = 103.

▲Red Flags›

Growing perpetuity memerlukan $i > g$ . Jika $i \leq g$ , PV divergen (tidak terdefinisi).
PV growing perpetuity dihitung pada satu periode sebelum pembayaran pertama — pastikan focal date benar.

No. 20

Sebuah perusahaan baru memperkirakan dividen saham biasa akan sebesar $1$ pada tahun pertama dan meningkat sebesar $1$ setiap tahun hingga mencapai $10$ . Setelah itu, dividen diperkirakan tumbuh sebesar $3\%$ setiap tahun. Asumsikan tingkat bunga tahunan sebesar $5\%$ . Tentukanlah harga saham ini menggunakan Dividend Discount Model.

a. $344$
b. $351$
c. $356$
d. $365$
e. $372$

≡Jawaban No. 20›

(c). $356$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities, 2.2 Perpetuity
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	7.1 CAPM and Factor Models
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Ross Bab 12–13

ℹRumus›

Dividend Discount Model (DDM):

P_0 = \sum_{t=1}^{\infty} \frac{D_t}{(1+i)^t}

Growing perpetuity:

$\text{PV} = \frac{D}{i-g}$ (pada satu periode sebelum pembayaran pertama)

Increasing annuity:

(Ia)_{\overline{n}|i} = \frac{\ddot{a}_{\overline{n}|i} - nv^n}{i}

Diketahui:

Tahun 1–10: dividen $1, 2, 3, ..., 10$ (increasing by $1$ )
Tahun 11–∞: dividen tumbuh $3\%$ per tahun. Dividen tahun 11 = $10 \times 1{,}03 = 10{,}30$
$i = 5\%$
Target: harga saham $P_0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Bagian Pertama (Tahun 1–10): Increasing Annuity

\text{PV}_1 = (Ia)_{\overline{10}|0{,}05}

v = 1/1{,}05 = 0{,}95238

v^{10} = (1{,}05)^{-10} = 0{,}61391

a_{\overline{10}|0{,}05} = \frac{1 - 0{,}61391}{0{,}05} = \frac{0{,}38609}{0{,}05} = 7{,}72173

\ddot{a}_{\overline{10}|0{,}05} = 1{,}05 \times 7{,}72173 = 8{,}10782

(Ia)_{\overline{10}|0{,}05} = \frac{8{,}10782 - 10 \times 0{,}61391}{0{,}05} = \frac{8{,}10782 - 6{,}13910}{0{,}05} = \frac{1{,}96872}{0{,}05} = 39{,}3744

\text{PV}_1 = 39{,}3744

Langkah 2: PV Bagian Kedua (Tahun 11–∞) pada $t=10$

Dividen tahun 11 = $10 \times 1{,}03 = 10{,}30$

Growing perpetuity:

\text{PV}_{10} = \frac{10{,}30}{0{,}05 - 0{,}03} = \frac{10{,}30}{0{,}02} = 515

Langkah 3: Diskon ke $t=0$

\text{PV}_2 = 515 \times v^{10} = 515 \times 0{,}61391 = 316{,}16

Langkah 4: Total Harga Saham

P_0 = 39{,}37 + 316{,}16 = 355{,}53 \approx 356

Hasil Akhir: (c). $P_0 = 356$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua tahunan — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa bagian increasing hanya dari tahun 1–10 (10 pembayaran), bukan selamanya.
Salah menghitung dividen pertama bagian growing: dividen tahun 11 = dividen tahun 10 × 1,03 = $10 \times 1{,}03 = 10{,}30$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Meningkat sebesar $1$ hingga mencapai $10$ ” berarti dividen: $1, 2, 3, ..., 10$ (total 10 tahun).
“Setelah itu, tumbuh 3%” berarti mulai tahun ke-11 (bukan tahun ke-10).

▲Red Flags›

DDM = PV semua dividen masa depan. Jika pola berubah, pecah menjadi beberapa komponen.

No. 21

Sebuah investasi membayar $2000$ pada akhir tahun pertama dan $4000$ pada akhir tahun ketiga. Investasi ini dibeli dengan hasil efektif tahunan sebesar $7{,}2\%$ (annual effective yield). Tentukanlah durasi Macaulay untuk investasi ini (Pilihlah jawaban dalam desimal terdekat!).

a. $2{,}270$
b. $2{,}301$
c. $2{,}334$
d. $2{,}358$
e. $2{,}515$

≡Jawaban No. 21›

(a). $2{,}270$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	3.4 Convexity, 3.5 Immunization
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

Macaulay Duration:

D_{Mac} = \frac{\sum_{t} t \cdot PV(CF_t)}{\sum_{t} PV(CF_t)} = \frac{\sum_{t} t \cdot CF_t \cdot v^t}{\sum_{t} CF_t \cdot v^t}

Diketahui:

$CF_1 = 2000$ pada $t=1$
$CF_3 = 4000$ pada $t=3$
$i = 7{,}2\%$
Target: $D_{Mac}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV Masing-masing Arus Kas

v = 1/1{,}072 = 0{,}93284

PV_1 = 2000 \times 0{,}93284 = 1865{,}67

PV_3 = 4000 \times (0{,}93284)^3 = 4000 \times 0{,}81187 = 3247{,}49

$(0{,}93284)^3$ : $(0{,}93284)^2 = 0{,}86979$ , $(0{,}93284)^3 = 0{,}86979 \times 0{,}93284 = 0{,}81138$

PV_3 = 4000 \times 0{,}81138 = 3245{,}53

Langkah 2: Hitung Macaulay Duration

D_{Mac} = \frac{1 \times 1865{,}67 + 3 \times 3245{,}53}{1865{,}67 + 3245{,}53}

= \frac{1865{,}67 + 9736{,}59}{5111{,}20}

= \frac{11602{,}26}{5111{,}20} = 2{,}2700

Hasil Akhir: (a). $D_{Mac} = 2{,}270$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Duration dalam tahun — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung rata-rata waktu tanpa weight PV: $(1+3)/2 = 2$ — ini bukan Macaulay duration.
Lupa mendiskon cash flow saat menghitung weight.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Macaulay duration = weighted average time, bukan modified duration.

▲Red Flags›

Duration selalu antara waktu arus kas pertama dan terakhir: $1 \leq D \leq 3$ . Jika hasil di luar range ini, ada kesalahan.

No. 22

Seorang investor memiliki sebuah portofolio yang terdiri dari:

Obligasi $2$ tahun senilai $20000$ dengan modified duration sebesar $1{,}92$
Obligasi $3$ tahun senilai $35000$ dengan modified duration sebesar $2{,}84$
Obligasi $5$ tahun senilai $45000$ dengan modified duration sebesar $4{,}79$

Tentukan modified duration dari seluruh portofolio tersebut. (Pilihlah jawaban dalam desimal terdekat!)

a. $3{,}49$
b. $3{,}53$
c. $3{,}57$
d. $3{,}61$
e. $3{,}65$

≡Jawaban No. 22›

(b). $3{,}53$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Easy
Prerequisite	3.5 Immunization
Connected Topics	3.4 Convexity
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

Portfolio modified duration (weighted average):

D_{Mod}^P = \sum_k w_k \cdot D_{Mod}^k

Di mana $w_k = \frac{V_k}{\sum V_k}$ adalah bobot berdasarkan market value.

Diketahui:

Bond A: $V_A = 20000$ , $D_{Mod}^A = 1{,}92$
Bond B: $V_B = 35000$ , $D_{Mod}^B = 2{,}84$
Bond C: $V_C = 45000$ , $D_{Mod}^C = 4{,}79$
Target: $D_{Mod}^P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Bobot

Total value $= 20000 + 35000 + 45000 = 100000$

w_A = 20000/100000 = 0{,}20

w_B = 35000/100000 = 0{,}35

w_C = 45000/100000 = 0{,}45

Langkah 2: Hitung Portfolio Modified Duration

D_{Mod}^P = 0{,}20 \times 1{,}92 + 0{,}35 \times 2{,}84 + 0{,}45 \times 4{,}79

= 0{,}384 + 0{,}994 + 2{,}1555 = 3{,}5335 \approx 3{,}53

Hasil Akhir: (b). $D_{Mod}^P = 3{,}53$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Duration dalam tahun — tidak ada konversi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menjumlahkan duration tanpa bobot — portfolio duration adalah weighted average, bukan jumlah.
Menggunakan jumlah nominal alih-alih market value sebagai weight — soal memberikan “senilai” yang sudah market value.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Senilai $20000$ ” berarti market value obligasi = $20000$ , yang digunakan sebagai weight.

▲Red Flags›

Portfolio duration selalu antara duration minimum dan maksimum komponen: $1{,}92 \leq D^P \leq 4{,}79$ .

No. 23

Sebuah perusahaan memiliki kewajiban sebesar $3000$ , $5000$ , dan $2000$ yang jatuh tempo pada akhir tahun ke-1, ke-2, dan ke-3 secara berturut-turut. Perusahaan dapat membeli obligasi tanpa kupon (zero-coupon bonds) untuk mencocokkan kewajibannya. Setiap obligasi memiliki nilai nominal $1000$ . Obligasi pertama jatuh tempo dalam $1$ tahun dengan tingkat bunga $5\%$ , obligasi kedua dalam $2$ tahun dengan tingkat bunga $i$ , dan obligasi ketiga dalam $3$ tahun dengan tingkat bunga $6\%$ . Biaya untuk mencocokkan kewajibannya adalah $9028{,}64$ . Tentukan nilai $i$ .

a. $5{,}1\%$
b. $5{,}3\%$
c. $5{,}5\%$
d. $5{,}7\%$
e. $5{,}9\%$

≡Jawaban No. 23›

(c). $5{,}5\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.5 Immunization
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.1 Spot Rates and Forward Rates, 5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Referensi	Vaaler Bab 8.3 & 9; Kellison Bab 10–11

ℹRumus›

Dedication (exact matching) dengan ZCB:

Beli ZCB yang jatuh tempo sesuai kewajiban
Harga ZCB: $P = \frac{F}{(1+i_k)^k}$
Total biaya = jumlah harga semua ZCB yang dibeli

Diketahui:

Kewajiban: $3000$ ( $t=1$ ), $5000$ ( $t=2$ ), $2000$ ( $t=3$ )
ZCB 1 tahun: par $1000$ , yield $5\%$
ZCB 2 tahun: par $1000$ , yield $i$ (unknown)
ZCB 3 tahun: par $1000$ , yield $6\%$
Total biaya = $9028{,}64$
Target: $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Jumlah ZCB yang Dibeli

$t=1$ : beli 3 ZCB 1-tahun (nominal total $3000$ )
$t=2$ : beli 5 ZCB 2-tahun (nominal total $5000$ )
$t=3$ : beli 2 ZCB 3-tahun (nominal total $2000$ )

Langkah 2: Hitung Biaya per Kelompok

Biaya ZCB 1 tahun: $\frac{3000}{1{,}05} = 2857{,}14$

Biaya ZCB 3 tahun: $\frac{2000}{(1{,}06)^3} = \frac{2000}{1{,}19102} = 1679{,}24$

Biaya ZCB 2 tahun: $\frac{5000}{(1+i)^2}$

Langkah 3: Setup Persamaan

2857{,}14 + \frac{5000}{(1+i)^2} + 1679{,}24 = 9028{,}64

\frac{5000}{(1+i)^2} = 9028{,}64 - 2857{,}14 - 1679{,}24 = 4492{,}26

(1+i)^2 = \frac{5000}{4492{,}26} = 1{,}11299

1+i = \sqrt{1{,}11299} = 1{,}05497

i = 0{,}05497 \approx 5{,}5\%

Hasil Akhir: (c). $i = 5{,}5\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Yield ZCB adalah efektif tahunan — gunakan langsung sebagai discount rate.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan yield yang sama untuk semua maturitas — setiap ZCB memiliki yield sendiri.
Lupa menghitung jumlah unit ZCB: kewajiban $5000$ memerlukan 5 unit ZCB par $1000$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Biaya untuk mencocokkan kewajibannya” = total harga beli semua ZCB.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan total biaya dan satu rate unknown → setup persamaan lalu solve for unknown rate.

No. 24

Sebuah obligasi bernilai nominal $1000$ dengan jangka waktu $3$ tahun dan kupon tahunan sebesar $4{,}5\%$ dihitung harganya menggunakan suku bunga spot (spot rate) yang dihasilkan dari suku bunga forward berikut:

i_{0,1} = 0{,}051,\quad i_{1,2} = 0{,}047,\quad i_{2,3} = 0{,}043

Tentukan harga obligasi tersebut. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $964$
b. $974$
c. $984$
d. $994$
e. $1004$

≡Jawaban No. 24›

(d). $994$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.2 Yield Curve
Referensi	Vaaler Bab 8.3; Kellison Bab 10

ℹRumus›

Hubungan forward rate dan spot rate:

(1+s_n)^n = (1+i_{0,1})(1+i_{1,2})\cdots(1+i_{n-1,n})

Harga obligasi menggunakan spot rates:

P = \frac{C}{(1+s_1)} + \frac{C}{(1+s_2)^2} + \frac{C + F}{(1+s_3)^3}

Atau equivalently, menggunakan forward rates langsung:

P = \frac{C}{(1+i_{0,1})} + \frac{C}{(1+i_{0,1})(1+i_{1,2})} + \frac{C+F}{(1+i_{0,1})(1+i_{1,2})(1+i_{2,3})}

Diketahui:

$F = 1000$ , kupon tahunan $= 4{,}5\% \times 1000 = 45$
Forward rates: $i_{0,1} = 5{,}1\%$ , $i_{1,2} = 4{,}7\%$ , $i_{2,3} = 4{,}3\%$
Target: harga obligasi $P$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Faktor Akumulasi

(1+i_{0,1}) = 1{,}051

(1+i_{0,1})(1+i_{1,2}) = 1{,}051 \times 1{,}047 = 1{,}100397

(1+i_{0,1})(1+i_{1,2})(1+i_{2,3}) = 1{,}100397 \times 1{,}043 = 1{,}147714

Langkah 2: Hitung PV Setiap Arus Kas

PV_1 = \frac{45}{1{,}051} = 42{,}8163

PV_2 = \frac{45}{1{,}100397} = 40{,}8940

PV_3 = \frac{1045}{1{,}147714} = 910{,}5372

Langkah 3: Total Harga

P = 42{,}8163 + 40{,}8940 + 910{,}5372 = 994{,}25 \approx 994

Hasil Akhir: (d). $P = 994$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Semua tahunan — forward rate per tahun, kupon per tahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan forward rates sebagai spot rates: $s_2 \neq i_{1,2}$ . Spot rate 2 tahun dihitung dari $(1+s_2)^2 = (1+i_{0,1})(1+i_{1,2})$ .
Lupa bahwa arus kas tahun ke-3 termasuk kupon + face value ( $45 + 1000 = 1045$ ).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Forward rate $i_{0,1}$ adalah rate dari tahun 0 ke 1 (= spot rate 1 tahun). $i_{1,2}$ adalah forward rate dari tahun 1 ke 2.

▲Red Flags›

Jika harga dihitung dengan forward rates → gunakan produk kumulatif forward rates sebagai denominator.

No. 25

Sebuah obligasi dengan tenor $10$ tahun dan nilai nominal $1000$ dengan kupon semi-tahunan sebesar $6\%$ dibeli dengan imbal hasil $5{,}6\%$ yang dapat dikonversi semi-tahunan. Tentukan besar premi yang diamortisasi pada periode ketujuh.

a. $1{,}33$
b. $1{,}36$
c. $1{,}39$
d. $1{,}42$
e. $1{,}45$

≡Jawaban No. 25›

(b). $1{,}36$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Premi yang diamortisasi pada periode ke- $t$ :

PA_t = (Fr - Cj) \cdot v^{n-t+1}

Di mana $Fr$ = kupon per periode, $j$ = yield per periode, $C$ = redemption value, $n$ = total periode kupon.

Untuk obligasi premium ( $Fr > Cj$ ): $PA_t > 0$ (book value menurun).

Diketahui:

$F = C = 1000$ , kupon $6\%$ semesteran → kupon per semester $= 0{,}03 \times 1000 = 30$
Yield $5{,}6\%$ konversi semesteran → $j = 0{,}028$ per semester
$n = 20$ semester
Target: premi diamortisasi pada periode ke-7 ( $PA_7$ )

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Selisih Kupon dan Yield

Fr - Cj = 30 - 1000 \times 0{,}028 = 30 - 28 = 2

Obligasi ini premium karena kupon > yield.

Langkah 2: Hitung Premi yang Diamortisasi pada Periode ke-7

PA_7 = (Fr - Cj) \cdot v_j^{n-7+1} = 2 \cdot (1{,}028)^{-(20-7+1)} = 2 \cdot (1{,}028)^{-14}

$(1{,}028)^{14}$ : $\ln(1{,}028) = 0{,}027614$ , $(1{,}028)^{14} = e^{0{,}38659} = 1{,}47196$

(1{,}028)^{-14} = 0{,}67937

PA_7 = 2 \times 0{,}67937 = 1{,}3587 \approx 1{,}36

Hasil Akhir: (b). $PA_7 = 1{,}36$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Rate semesteran: coupon rate $6\%/2 = 3\%$ per semester, yield $5{,}6\%/2 = 2{,}8\%$ per semester.
Periode ke-7 = semester ke-7 (bukan tahun ke-7).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $n-t$ alih-alih $n-t+1$ pada eksponen — formula yang benar adalah $v^{n-t+1}$ .
Bingung antara amortisasi premi dan amortisasi diskon — obligasi premium memiliki book value > par.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Premi yang diamortisasi” = penurunan book value per periode = selisih kupon dan interest earned.

▲Red Flags›

Jika kupon > yield → obligasi premium → premi diamortisasi positif.
Formula $PA_t = (Fr - Cj) \cdot v^{n-t+1}$ — perhatikan eksponennya bergantung pada sisa periode.

No. 26

Sebuah obligasi dengan tenor $8$ tahun dengan kupon semi-tahunan sebesar $6\%$ yang dapat dikonversi semi-tahunan memiliki harga $1050$ . Obligasi tersebut dapat dipanggil (callable) pada nilai nominal $X$ pada setiap tanggal pembayaran kupon mulai akhir tahun ke- $6$ . Harga obligasi tersebut menjamin bahwa Joan akan menerima imbal hasil minimal $5\%$ yang dapat dikonversi semi-tahunan.

Tentukan nilai $X$ . (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $721$
b. $944$
c. $986$
d. $999$
e. $1276$

≡Jawaban No. 26›

(d). $999$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Harga obligasi callable pada call date ke- $n$ dengan call price $X$ :

P = Fr \cdot a_{\overline{n}|j} + X \cdot v_j^n

Di mana $Fr = X \cdot r_{\text{semi}}$ (kupon per semester dihitung dari face value $= X$ ).

Prinsip worst-case callable bond:

Coupon rate $>$ yield (premium) → investor rugi jika di-call lebih awal → worst case = call date paling awal
Coupon rate $<$ yield (discount) → investor rugi jika dibiarkan hingga maturity → worst case = maturity

Diketahui:

$P = 1050$ (harga beli)
$F = C = X$ (face value = call price = nilai nominal, keduanya adalah $X$ )
Kupon: $6\%$ konversi semesteran $\Rightarrow$ $r_{\text{semi}} = 3\%$ per semester $\Rightarrow$ $Fr = 0{,}03X$ per semester
Yield minimum: $5\%$ konversi semesteran $\Rightarrow$ $j = 2{,}5\%$ per semester
Tenor: $8$ tahun $= 16$ semester
Callable mulai akhir tahun ke- $6$ $=$ semester ke- $12$
Target: nilai $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Worst-Case Call Date

Coupon rate per semester $= 3\% >$ yield per semester $= 2{,}5\%$ , sehingga ini obligasi premium.

Untuk obligasi premium, investor menerima arus kupon yang lebih tinggi dari yield pasar. Jika di-call lebih awal, periode menikmati premium tersebut lebih singkat, sehingga yield efektif lebih rendah. Maka worst case bagi investor = call date paling awal = semester ke- $12$ .

Agar harga $P = 1050$ menjamin yield minimum $j = 2{,}5\%$ per semester, persamaan harga harus menggunakan $n = 12$ .

Langkah 2: Hitung Faktor Diskonto dan Anuitas

(1{,}025)^{12} = 1{,}344889 \quad \Rightarrow \quad v^{12} = 0{,}743556

a_{\overline{12}|0{,}025} = \frac{1 - 0{,}743556}{0{,}025} = \frac{0{,}256444}{0{,}025} = 10{,}2578

Langkah 3: Setup Persamaan dan Selesaikan $X$

1050 = 0{,}03X \cdot a_{\overline{12}|0{,}025} + X \cdot v^{12}

1050 = 0{,}03X \times 10{,}2578 + X \times 0{,}743556

1050 = X\,(0{,}307733 + 0{,}743556) = 1{,}051289\,X

X = \frac{1050}{1{,}051289} = 998{,}77 \approx 999

Verifikasi: Dengan $X = 999$ , kupon $= 0{,}03 \times 999 = 29{,}97$ per semester.

P = 29{,}97 \times 10{,}2578 + 999 \times 0{,}743556 = 307{,}43 + 742{,}61 = 1050{,}04 \approx 1050 \checkmark

Hasil Akhir: (d). $X = 999$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

“Callable mulai akhir tahun ke- $6$ ” = semester ke- $\mathbf{12}$ , bukan semester ke- $6$ .
Yield “5% konversi semesteran” $\Rightarrow$ $j = 2{,}5\%$ per semester — jangan gunakan $5\%$ langsung sebagai rate per semester.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan maturity ( $n = 16$ ) sebagai titik hitung — ini menghasilkan $X \approx 986$ (opsi c), bukan worst case untuk obligasi premium.
Menganggap worst case obligasi premium = maturity (logika terbalik) — untuk premium, investor ingin call terlambat; justru call awal yang merugikan.
Mengasumsikan face value berbeda dari $X$ — soal menyatakan callable “pada nilai nominal $X$ ”, artinya $F = C = X$ ; kupon dihitung dari $X$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Harga menjamin yield minimal” berarti harga $P = 1050$ sudah ditetapkan; yang dicari adalah $X$ yang konsisten dengan jaminan tersebut pada skenario terburuk.
Mengira kupon $= 0{,}03 \times 1000$ (asumsi par $= 1000$ ) — par value tidak diberikan; kupon harus ditulis sebagai $0{,}03X$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut callable bond + guaranteed minimum yield → identifikasi premium/discount terlebih dahulu, lalu pilih worst-case call date sebelum setup persamaan.
Jika coupon rate $>$ yield → gunakan $n =$ call date paling awal; jika coupon rate $<$ yield → gunakan $n =$ maturity.
Jika call price tidak diberikan secara numerik melainkan sebagai variabel $X$ → tulis semua komponen ( $Fr$ , $C$ ) dalam bentuk $X$ , lalu faktorkan.

Tabel untuk Soal 27–28

Quarter	1	2	3	4
harga kontrak forward minyak	20,9	21,2	20,8	20,7
harga saat ini dari obligasi tanpa kupon	0,984	0,969	0,953	0,935

No. 27

Misalkan kamu mengikuti kontrak minyak swap selama tiga kuartal. Tentukan berapa pembayaran per barel yang akan kamu terima di kuartal kedua jika harga spot untuk kuartal kedua adalah $21{,}25$ .

a. $0{,}28$
b. $0{,}22$
c. $0{,}18$
d. $0{,}12$
e. $0{,}08$

≡Jawaban No. 27›

(a). $0{,}28$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.2 Forwards and Futures
Difficulty	Hard
Prerequisite	6.1 Options – Call and Put
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 5.1–5.4

ℹRumus›

Swap price (fixed price per barel):

\bar{F} = \frac{\sum_{k=1}^{n} P(0,t_k) \cdot F_{0,t_k}}{\sum_{k=1}^{n} P(0,t_k)}

Di mana $P(0,t_k)$ = harga ZCB (discount factor) untuk kuartal ke- $k$ , $F_{0,t_k}$ = forward price untuk kuartal ke- $k$ .

Pembayaran swap pada kuartal ke- $k$ :

\text{Pembayaran} = \text{Spot price} - \bar{F}

(positif jika spot > swap price, kita menerima; negatif jika spot < swap price, kita membayar)

Diketahui:

Swap 3 kuartal → menggunakan kuartal 1, 2, 3
Forward prices: $F_1 = 20{,}9$ , $F_2 = 21{,}2$ , $F_3 = 20{,}8$
ZCB prices: $P_1 = 0{,}984$ , $P_2 = 0{,}969$ , $P_3 = 0{,}953$
Spot price kuartal 2: $21{,}25$
Target: pembayaran yang diterima di kuartal 2

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Swap Price

\bar{F} = \frac{0{,}984 \times 20{,}9 + 0{,}969 \times 21{,}2 + 0{,}953 \times 20{,}8}{0{,}984 + 0{,}969 + 0{,}953}

Pembilang:

0{,}984 \times 20{,}9 = 20{,}5656

0{,}969 \times 21{,}2 = 20{,}5428

0{,}953 \times 20{,}8 = 19{,}8224

Total pembilang $= 60{,}9308$

Penyebut: $0{,}984 + 0{,}969 + 0{,}953 = 2{,}906$

\bar{F} = \frac{60{,}9308}{2{,}906} = 20{,}9672

Langkah 2: Hitung Pembayaran di Kuartal 2

Sebagai pemegang swap (long swap = membeli minyak pada harga tetap), jika spot > swap price:

\text{Pembayaran diterima} = \text{Spot} - \bar{F} = 21{,}25 - 20{,}9672 = 0{,}2828 \approx 0{,}28

Hasil Akhir: (a). Pembayaran yang diterima $= 0{,}28$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Swap 3 kuartal menggunakan data kuartal 1–3 saja (bukan semua 4 kuartal).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan rata-rata aritmatika forward prices alih-alih weighted average berdasarkan ZCB prices.
Bingung arah pembayaran: long swap menerima uang jika spot > swap price.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran yang kamu terima” = spot - swap price (jika positif). Jika negatif, kamu membayar.

▲Red Flags›

Swap price bukan rata-rata sederhana forward price — harus menggunakan PV-weighted average.

No. 28

Tentukan berapa tingkat bunga tetap kuartalan yang dijamin dalam interest rate swap selama empat kuartal.

a. $0{,}0118$
b. $0{,}0137$
c. $0{,}0158$
d. $0{,}0169$
e. $0{,}0195$

≡Jawaban No. 28›

(d). $0{,}0169$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.2 Forwards and Futures
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 5.1–5.4

ℹRumus›

Implied forward rate dari harga ZCB:

r_{t-1,t} = \frac{P(0,t-1)}{P(0,t)} - 1

Interest rate swap: fixed rate $R$ sehingga PV fixed payments = PV floating payments:

R = \frac{1 - P(0,T)}{\sum_{k=1}^{T} P(0,t_k)}

Diketahui:

4 kuartal
ZCB prices: $P_1 = 0{,}984$ , $P_2 = 0{,}969$ , $P_3 = 0{,}953$ , $P_4 = 0{,}935$
Target: fixed quarterly rate $R$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Gunakan Formula Swap Rate

R = \frac{1 - P(0,4)}{\sum_{k=1}^{4} P(0,t_k)} = \frac{1 - 0{,}935}{0{,}984 + 0{,}969 + 0{,}953 + 0{,}935}

Langkah 2: Hitung

Pembilang: $1 - 0{,}935 = 0{,}065$

Penyebut: $0{,}984 + 0{,}969 + 0{,}953 + 0{,}935 = 3{,}841$

R = \frac{0{,}065}{3{,}841} = 0{,}016923 \approx 0{,}0169

Hasil Akhir: (d). $R = 0{,}0169$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Ini rate per kuartal, bukan per tahun. Jangan mengalikan dengan 4.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan forward rates secara langsung alih-alih formula swap rate $R = (1 - P_n) / \sum P_k$ .
Mencampur commodity swap dan interest rate swap — formula berbeda.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Tingkat bunga tetap kuartalan” = fixed rate per kuartal yang dibayar dalam interest rate swap.

▲Red Flags›

Formula swap rate $R = (1 - P(0,T)) / \sum P(0,t_k)$ — ini adalah par yield formula.

No. 29

Sebuah saham memiliki harga saat ini $S_0 = 40$ . Tingkat bunga kontinu tahunan dan hasil dividen masing-masing adalah $r = 0{,}025$ dan $\delta = 0{,}01$ . Jika waktu jatuh tempo kontrak forward adalah $T = 0{,}5$ , tentukan selisih antara harga forward dan harga prepaid forward.

a. $0{,}1$
b. $0{,}2$
c. $0{,}3$
d. $0{,}4$
e. $0{,}5$

≡Jawaban No. 29›

(e). $0{,}5$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.2 Forwards and Futures
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	6.1 Options – Call and Put
Referensi	McDonald Bab 5.1–5.4

ℹRumus›

Di sini $r$ adalah risk-free rate (continuously compounded) dan $\delta$ adalah dividend yield (continuously compounded), bukan coupon rate atau force of interest.

Forward price:

F_{0,T} = S_0 \cdot e^{(r-\delta)T}

Prepaid forward price:

F^P_{0,T} = S_0 \cdot e^{-\delta T}

Hubungan:

F_{0,T} = F^P_{0,T} \cdot e^{rT}

Selisih:

F_{0,T} - F^P_{0,T} = F^P_{0,T} \cdot (e^{rT} - 1)

Diketahui:

$S_0 = 40$ , $r = 0{,}025$ (kontinu), $\delta = 0{,}01$ (kontinu)
$T = 0{,}5$
Target: $F_{0,T} - F^P_{0,T}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Prepaid Forward Price

F^P_{0,T} = 40 \cdot e^{-0{,}01 \times 0{,}5} = 40 \cdot e^{-0{,}005} = 40 \times 0{,}99501 = 39{,}8004

Langkah 2: Hitung Forward Price

F_{0,T} = 40 \cdot e^{(0{,}025 - 0{,}01) \times 0{,}5} = 40 \cdot e^{0{,}0075} = 40 \times 1{,}00753 = 40{,}3011

Langkah 3: Hitung Selisih

F_{0,T} - F^P_{0,T} = 40{,}3011 - 39{,}8004 = 0{,}5007 \approx 0{,}5

Hasil Akhir: (e). Selisih $= 0{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

$T = 0{,}5$ tahun (6 bulan). Pastikan semua rate (kontinu) dikalikan $T$ dalam eksponen.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $(1+r)^T$ alih-alih $e^{rT}$ — soal menyatakan rate kontinu, jadi gunakan eksponensial.
Bingung antara prepaid forward dan forward: prepaid forward = harga yang dibayar sekarang untuk penyerahan nanti; forward = harga yang dibayar nanti.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Tingkat bunga kontinu” dan “hasil dividen” keduanya continuously compounded — gunakan $e^{rT}$ dan $e^{-\delta T}$ .

▲Red Flags›

Dalam konteks derivatives, $r$ = risk-free rate (kontinu), $\delta$ = dividend yield (kontinu). Jangan bingung dengan $r$ = coupon rate atau $\delta$ = force of interest pada konteks bonds.

No. 30

Amel ingin membuat portofolio dengan risiko yang sama dengan pasar, dan dia memiliki dana sebesar $1000000$ untuk diinvestasikan. Berdasarkan informasi ini, berikut adalah data yang diketahui:

Investasi saham A: $195000$ dengan beta $0{,}90$
Investasi saham B: $340000$ dengan beta $1{,}15$
Beta saham C: $1{,}29$
Investasi pada aset bebas risiko belum diketahui

Tentukan besar aset bebas risiko. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $127500$
b. $128000$
c. $128500$
d. $129000$
e. $129500$

≡Jawaban No. 30›

(d). $129000$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 7 — Matematika Keuangan untuk Portofolio
Sub-topik	7.1 CAPM and Factor Models
Difficulty	Medium
Prerequisite	7.2 Mean-Variance Portfolio Theory
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Ross Bab 12–13

ℹRumus›

Beta portofolio (weighted average):

\beta_P = \sum_k w_k \cdot \beta_k

Beta aset bebas risiko: $\beta_{rf} = 0$

Portofolio dengan risiko sama dengan pasar: $\beta_P = 1$

Diketahui:

Total dana: $1{,}000{,}000$
Saham A: investasi $195{,}000$ , $\beta_A = 0{,}90$
Saham B: investasi $340{,}000$ , $\beta_B = 1{,}15$
Saham C: investasi $= 1{,}000{,}000 - 195{,}000 - 340{,}000 - W_{rf} = 465{,}000 - W_{rf}$ , $\beta_C = 1{,}29$
Aset bebas risiko: investasi $W_{rf}$ (unknown), $\beta_{rf} = 0$
Target: $W_{rf}$ sehingga $\beta_P = 1$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Setup Constraint

Total investasi:

195{,}000 + 340{,}000 + W_C + W_{rf} = 1{,}000{,}000

W_C = 465{,}000 - W_{rf}

Langkah 2: Setup Beta Portofolio = 1

\beta_P = \frac{195000}{1000000} \times 0{,}90 + \frac{340000}{1000000} \times 1{,}15 + \frac{W_C}{1000000} \times 1{,}29 + \frac{W_{rf}}{1000000} \times 0 = 1

0{,}195 \times 0{,}90 + 0{,}34 \times 1{,}15 + \frac{(465000 - W_{rf})}{1000000} \times 1{,}29 = 1

Langkah 3: Hitung

0{,}195 \times 0{,}90 = 0{,}1755

0{,}34 \times 1{,}15 = 0{,}391

\frac{(465000 - W_{rf})}{1000000} \times 1{,}29 = 1{,}29 \times \frac{465000 - W_{rf}}{1000000}

0{,}1755 + 0{,}391 + 1{,}29 \times \frac{465000 - W_{rf}}{1000000} = 1

0{,}5665 + \frac{1{,}29(465000 - W_{rf})}{1000000} = 1

\frac{1{,}29(465000 - W_{rf})}{1000000} = 0{,}4335

1{,}29(465000 - W_{rf}) = 433500

465000 - W_{rf} = \frac{433500}{1{,}29} = 336046{,}5

W_{rf} = 465000 - 336046{,}5 = 128953{,}5 \approx 129000

Hasil Akhir: (d). $W_{rf} = 129{,}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada konversi waktu — ini masalah portofolio statis.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa beta aset bebas risiko = 0, bukan 1.
Mengabaikan aset bebas risiko dalam constraint total dana.
Menghitung beta portofolio tanpa membagi investasi masing-masing dengan total dana.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Risiko sama dengan pasar” berarti $\beta_P = 1$ .
Investasi saham C tidak diberikan secara eksplisit — harus dihitung dari sisa dana setelah A, B, dan risk-free.

▲Red Flags›

Jika soal meminta portofolio dengan $\beta_P = 1$ → setup persamaan weighted beta = 1 lalu selesaikan.
Perhatikan bahwa $\beta_{rf} = 0$ menyederhanakan persamaan.