CF1 · Pembahasan

CF1 Periode November 2025

No. 1

Di bawah ini adalah harga obligasi zero-coupon $100$ yang ditebus pada nilai par:

Jangka Waktu Jatuh Tempo	Harga
1	96,23
2	94,12
3	89,23
4	84,59
5	82,48

Tentukan forward rate untuk tahun ke-4.

a. $2{,}56\%$
b. $5{,}20\%$
c. $5{,}49\%$
d. $12{,}10\%$
e. $13{,}76\%$

≡Jawaban No. 1›

(a). $2{,}56\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	3.2 Yield Curve
Referensi	Vaaler Bab 8.3; Kellison Bab 10

ℹRumus›

Hubungan antara Harga Obligasi Zero-Coupon ( $P_t$ ) dan Forward Rate ( $f$ ):

f_{t, t+1} = \frac{P_t}{P_{t+1}} - 1

Diketahui:

$P_4 = 84{,}59$ (Harga obligasi zero-coupon jatuh tempo $t=4$ )
$P_5 = 82{,}48$ (Harga obligasi zero-coupon jatuh tempo $t=5$ )
Target: Forward rate tahun ke-4 ( $f_{4,5}$ )

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Periode Forward Rate
”Forward rate untuk tahun ke-4” berarti rate yang berlaku dari akhir tahun ke-4 hingga akhir tahun ke-5, yaitu $f_{4,5}$ .

Langkah 2: Substitusi ke Rumus

f_{4,5} = \frac{P_4}{P_5} - 1 = \frac{84{,}59}{82{,}48} - 1

Langkah 3: Hitung Rasio

\frac{84{,}59}{82{,}48} \approx 1{,}025582

Langkah 4: Hasil Akhir

f_{4,5} = 1{,}025582 - 1 = 0{,}025582 \approx 2{,}56\%

Hasil Akhir: (a). $2{,}56\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $P_3/P_4$ alih-alih $P_4/P_5$ — tergantung interpretasi “tahun ke-4” apakah $t=3 \to t=4$ (Kellison) atau $t=4 \to t=5$ . Cek opsi jawaban untuk konfirmasi.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung forward rate menggunakan spot rate $(1+s_5)^5/(1+s_4)^4 - 1$ padahal soal memberikan harga langsung — pendekatan ini benar tapi lebih panjang.
Menggunakan $P_5/P_4$ (terbalik) — ini menghasilkan discount rate, bukan forward rate.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Tahun ke-4” bisa ambigu. Dalam konteks ini, kunci jawaban menunjukkan $f_{4,5}$ (dari $t=4$ ke $t=5$ ).

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “forward rate tahun ke- $n$ ” → pastikan definisi konsisten dengan opsi jawaban: apakah $f_{n-1,n}$ atau $f_{n,n+1}$ .

No. 2

Misalkan kurva hasil untuk tingkat spot diberikan oleh persamaan berikut:

s_t = 0{,}08 - 0{,}001t + 0{,}002t^2

Tentukanlah tingkat bunga forward efektif tahunan untuk pinjaman yang dimulai pada waktu $t=4$ , dengan jangka waktu 3 tahun.

a. $0{,}3603$
b. $0{,}0569$
c. $0{,}0033$
d. $0{,}2606$
e. $0{,}1805$

≡Jawaban No. 2›

(d). $0{,}2606$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	3.2 Yield Curve
Referensi	Vaaler Bab 8.3; Kellison Bab 10

ℹRumus›

Forward rate efektif tahunan dari waktu $t_1$ ke $t_2$ :

f_{t_1, t_2} = \left[\frac{(1 + s_{t_2})^{t_2}}{(1 + s_{t_1})^{t_1}}\right]^{\frac{1}{t_2 - t_1}} - 1

Di mana $s_t$ adalah spot rate efektif tahunan untuk maturity $t$ , yang diperoleh dengan mensubstitusi $t$ ke dalam fungsi yang diberikan.

Diketahui:

$s_t = 0{,}08 - 0{,}001t + 0{,}002t^2$ (spot rate efektif tahunan sebagai fungsi maturity)
Pinjaman mulai $t_1 = 4$ , berakhir $t_2 = 7$ (jangka waktu 3 tahun)
Target: Forward rate efektif tahunan $f_{4,7}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Spot Rate $s_4$
Substitusi $t = 4$ ke dalam fungsi:

s_4 = 0{,}08 - 0{,}001(4) + 0{,}002(4)^2 = 0{,}08 - 0{,}004 + 0{,}032 = 0{,}108

Langkah 2: Hitung Spot Rate $s_7$
Substitusi $t = 7$ ke dalam fungsi:

s_7 = 0{,}08 - 0{,}001(7) + 0{,}002(7)^2 = 0{,}08 - 0{,}007 + 0{,}098 = 0{,}171

Langkah 3: Hitung Faktor Akumulasi Masing-Masing

\text{Pembilang: } (1 + s_7)^7 = (1{,}171)^7

\text{Penyebut: } (1 + s_4)^4 = (1{,}108)^4

Hitung secara numerik:

(1{,}171)^7 \approx 3{,}11782 \qquad (1{,}108)^4 \approx 1{,}51141

Langkah 4: Hitung Rasio dan Pangkat

\frac{(1{,}171)^7}{(1{,}108)^4} = \frac{3{,}11782}{1{,}51141} \approx 2{,}06283

Pangkatkan dengan $\frac{1}{t_2 - t_1} = \frac{1}{3}$ : $(2{,}06283)^{1/3} \approx 1{,}2606$

Langkah 5: Kurangi 1 untuk Mendapat Forward Rate

f_{4,7} = 1{,}2606 - 1 = 0{,}2606

Hasil Akhir: (d). $0{,}2606$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan pangkat $\frac{1}{3}$ tetapi lupa bahwa penyebut adalah $t_2 - t_1 = 3$ , bukan $t_2 = 7$ — forward rate adalah rate per tahun untuk interval 3 tahun, sehingga pangkat harus $\frac{1}{3}$ .
Menghitung hanya rasio $\frac{(1+s_7)^7}{(1+s_4)^4}$ tanpa dipangkatkan $\frac{1}{3}$ — ini menghasilkan faktor akumulasi total 3 tahun ( $\approx 2{,}06$ ), bukan forward rate tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Memperlakukan $s_t$ sebagai force of interest ( $\delta_t$ ) dan mengintegralkan fungsi tersebut — $s_t$ di sini adalah spot rate efektif (tidak perlu integral). Cek tipe fungsi dengan mensubstitusi ke opsi jawaban: metode spot rate langsung menghasilkan $0{,}2606$ yang sesuai opsi.
Menggunakan $s_4$ dan $s_7$ secara langsung sebagai forward rate tanpa memasukkannya ke dalam formula faktor akumulasi $(1+s_t)^t$ — spot rate bukan forward rate, keduanya dihubungkan melalui no-arbitrage.
Menghitung $s_7 - s_4 = 0{,}063$ sebagai forward rate — ini hanya selisih spot rate, bukan forward rate.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Membaca koefisien fungsi keliru: $-0{,}001t$ sangat mudah terbaca sebagai $-0{,}01t$ (beda satu angka nol). Selalu substitusi nilai $t$ ke kalkulator secara hati-hati sebelum lanjut ke formula.
“Pinjaman yang dimulai pada waktu $t=4$ dengan jangka waktu 3 tahun” berarti $t_1 = 4$ dan $t_2 = 7$ , bukan $t_2 = 4 + 3 = 4{,}3$ atau interpretasi lain.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan fungsi $s_t$ dan meminta forward rate → substitusi $t_1$ dan $t_2$ ke dalam fungsi terlebih dahulu, baru gunakan formula $f_{t_1,t_2}$ .
Jika hasil metode tertentu tidak cocok dengan opsi jawaban → coba interpretasi alternatif ( $s_t$ sebagai spot rate efektif vs force of interest), gunakan opsi jawaban sebagai validator.
Jika koefisien fungsi sangat kecil (mis. $0{,}001$ ) → waspadai typo atau misread — cek ulang substitusi numerik.

No. 3

Grace membayar $100.000$ hari ini untuk suatu investasi 4-tahun yang menghasilkan arus kas $60.000$ pada akhir tahun ke-3 dan 4. Misalkan, dengan tingkat $15\%$ , nilai kini dari arus kas Grace sama dengan nilai kini dari arus kas Shanice, dimana Shanice melakukan investasi sebesar X satu tahun dari sekarang yang menghasilkan arus kas $60.000$ pada akhir tahun ke-4 dan ke-5. Tentukanlah nilai dari $X$ .

a. $94.316$
b. $98.503$
c. $105.380$
d. $103.937$
e. $90.379$

≡Jawaban No. 3›

(d). $103.937$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Referensi	Vaaler Bab 1–2; Kellison Bab 1–2

ℹRumus›

Equation of Value (Time $t=0$ ):

NPV_{Grace} = NPV_{Shanice}

-100.000 + 60.000v^3 + 60.000v^4 = -Xv + 60.000v^4 + 60.000v^5

Di mana $v = (1+i)^{-1}$ dan $i = 15\%$ .

Diketahui:

$i = 15\%$ , $v = (1{,}15)^{-1}$
Grace: Keluar $100.000$ di $t=0$ ; Masuk $60.000$ di $t=3$ dan $t=4$
Shanice: Keluar $X$ di $t=1$ ; Masuk $60.000$ di $t=4$ dan $t=5$
Target: Cari $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Penyederhanaan Persamaan
Suku $+60.000v^4$ ada di kedua sisi, sehingga bisa dicoret:

-100.000 + 60.000v^3 = -Xv + 60.000v^5

Langkah 2: Isolasi Variabel $X$
Pindahkan $-Xv$ ke ruas kiri:

Xv = 100.000 - 60.000v^3 + 60.000v^5

Bagi dengan $v$ (kalikan dengan $(1+i)$ ):

X = 100.000(1+i) - 60.000v^2 + 60.000v^4

Langkah 3: Hitung Faktor Diskonto

$(1+i) = 1{,}15$
$v^2 = (1{,}15)^{-2} = 0{,}756144$
$v^4 = (1{,}15)^{-4} = 0{,}571753$

Langkah 4: Substitusi dan Hitung

X = 100.000(1{,}15) - 60.000(0{,}756144) + 60.000(0{,}571753)

X = 115.000 - 45.368{,}62 + 34.305{,}19

X = 103.936{,}57

Hasil Akhir: (d). $103.937$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan pangkat yang salah saat mendiskon arus kas — harus sesuai dengan timeline masing-masing investor.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa mendiskon $X$ dengan $v^1$ : Shanice berinvestasi di $t=1$ , bukan $t=0$ .
Mengabaikan penyederhanaan (coret $60.000v^4$ ) dan langsung hitung semua suku — lebih rawan error kalkulator.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Nilai kini dari arus kas” berarti NPV semua cash flows (termasuk investasi awal) harus sama pada $t=0$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut investasi “satu tahun dari sekarang” → pastikan mendiskon dengan $v^1$ saat membawa ke $t=0$ .

No. 4

Pada saat yang sama, Niel dan Elis menyetor uang ke dua dana berbeda. Niel menyetor $200$ dan Elis menyetor $80$ . Kedua akun mendapatkan tingkat bunga yang sama. Jumlah bunga yang diperoleh akun Niel pada tahun ke-10 sama dengan jumlah bunga yang diperoleh akun Elis pada tahun ke-20. Tentukan jumlah bunga yang diperoleh akun Niel selama tahun ke-13.

a. $23{,}1$
b. $57{,}6$
c. $49{,}1$
d. $63{,}2$
e. $52{,}6$

≡Jawaban No. 4›

(b). $57{,}6$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Referensi	Vaaler Bab 1; Kellison Bab 1

ℹRumus›

Bunga pada Tahun ke- $n$ :

I_n = P(1+i)^{n-1} \cdot i

Diketahui:

$P_{Niel} = 200$ , $P_{Elis} = 80$
Kondisi: $I_{Niel,10} = I_{Elis,20}$
Target: $I_{Niel,13}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Susun Persamaan Keseimbangan

200(1+i)^9 \cdot i = 80(1+i)^{19} \cdot i

Langkah 2: Sederhanakan
Bagi kedua ruas dengan $i$ (karena $i \neq 0$ ):

\frac{200}{80} = \frac{(1+i)^{19}}{(1+i)^9} = (1+i)^{10}

2{,}5 = (1+i)^{10}

Langkah 3: Dapatkan Nilai $i$

(1+i) = 2{,}5^{0{,}1} \approx 1{,}095958

i \approx 0{,}095958

Langkah 4: Hitung Target $I_{Niel,13}$

I_{N,13} = 200(1+i)^{12} \cdot i

Gunakan trik: $(1+i)^{12} = (1+i)^{10} \cdot (1+i)^2 = 2{,}5 \times (1{,}095958)^2 = 2{,}5 \times 1{,}201124 = 3{,}00281$

I_{N,13} = 200 \times 3{,}00281 \times 0{,}095958 = 57{,}63

Hasil Akhir: (b). $57{,}6$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan pangkat $n$ alih-alih $n-1$ : bunga tahun ke-13 dihitung dari saldo akhir tahun ke-12, bukan ke-13.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira bunga tahun ke- $n$ konstan — pada compound interest, bunga setiap tahun naik secara eksponensial.
Salah menyusun rasio: menulis $200/80 = (1+i)^{-10}$ alih-alih $(1+i)^{10}$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Bunga tahun ke-10” berarti bunga yang diperoleh selama tahun ke-10, yaitu $AV_9 \times i$ , bukan $AV_{10} \times i$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “bunga pada tahun ke- $n$ ” → pangkat di faktor akumulasi selalu $n-1$ .

No. 5

Sebuah dana memperoleh pendapatan investasi sebesar $8.000$ selama tahun 2004. Saldo awal dan akhir dana tersebut adalah $95.000$ dan $120.000$ . Sebuah setoran dilakukan pada waktu $K$ selama tahun tersebut. Tidak ada setoran atau penarikan lain yang dilakukan. Dana memperoleh $7{,}5235\%$ pada tahun 2004 menggunakan metode dollar-weighted. Tentukan $K$ .

a. 1 Maret
b. 1 April
c. 1 Mei
d. 1 Juli
e. 1 Oktober

≡Jawaban No. 5›

(c). 1 Mei

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.5 NPV, IRR, DWRR, TWRR
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Connected Topics	1.3 Cash Flow Equations and Inflation
Referensi	Kellison Bab 2

ℹRumus›

Dollar-Weighted Rate of Return:

i_{dw} = \frac{I}{A_0 + C(1-K)}

Di mana $I$ = pendapatan investasi, $A_0$ = saldo awal, $C$ = setoran, $K$ = waktu setoran (dalam fraksi tahun).

Diketahui:

$A_0 = 95.000$ , $A_1 = 120.000$ , $I = 8.000$
$i_{dw} = 7{,}5235\%$
Target: $K$ (waktu setoran)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari Besar Setoran ( $C$ )

A_1 = A_0 + C + I

120.000 = 95.000 + C + 8.000 \implies C = 17.000

Langkah 2: Setup Persamaan Dollar-Weighted

0{,}075235 = \frac{8.000}{95.000 + 17.000(1-K)}

Langkah 3: Selesaikan untuk $K$

95.000 + 17.000(1-K) = \frac{8.000}{0{,}075235} = 106.333{,}49

17.000(1-K) = 11.333{,}49

(1-K) = 0{,}6667 = \frac{2}{3}

K = \frac{1}{3} \approx 0{,}3333

Langkah 4: Konversi ke Tanggal

K \times 12 = 4 \text{ bulan}

4 bulan berlalu (Jan–Apr) $\rightarrow$ setoran terjadi pada awal bulan ke-5 $= \textbf{1 Mei}$ .

Hasil Akhir: (c). 1 Mei

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mendapat $K = 1/3$ tahun $= 4$ bulan dan langsung memilih April — padahal $K = 4/12$ berarti 4 bulan sudah berlalu, jadi setoran jatuh pada 1 Mei.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan compound interest $(1+i)^{(1-K)}$ alih-alih simple interest $C(1-K)$ — metode dollar-weighted menggunakan pendekatan simple interest.
Lupa menghitung $C$ terlebih dahulu dan langsung substitusi.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Membedakan $K$ (waktu kejadian) dengan $(1-K)$ (durasi investasi). Rumus menghasilkan durasi eksposur.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “dollar-weighted” → gunakan simple interest untuk bobot waktu, bukan compound.

No. 6

Misalkan total 30 pembayaran semi-tahunan sebesar $5$ dilakukan mulai tepat enam tahun dari hari ini. Dengan asumsi tingkat bunga efektif tahunan $6\%$ , tentukanlah nilai masa depan pada waktu 30 tahun dari hari ini. Asumsikan bahwa setelah pembayaran selesai, investasi dibiarkan dalam akun yang sama menghasilkan bunga.

a. $708$
b. $411$
c. $243$
d. $399$
e. $450$

≡Jawaban No. 6›

(b). $411$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

FV_{30} = Payment \cdot \frac{(1+j)^n - 1}{j} \cdot (1+i)^{\Delta t}

Di mana $j$ = suku bunga efektif per semester, $\Delta t$ = sisa waktu setelah pembayaran terakhir.

Diketahui:

$Payment = 5$ (semi-tahunan)
$i = 6\%$ (efektif tahunan)
$n = 30$ pembayaran
Pembayaran pertama di $t = 6$
Target: $FV$ di $t = 30$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Konversi Bunga ke Efektif Semi-Tahunan

j = (1{,}06)^{0{,}5} - 1 = 0{,}029563

Langkah 2: Tentukan Timeline

Pembayaran ke-1 di $t=6$
Pembayaran ke-30 di $t = 6 + 29 \times 0{,}5 = 20{,}5$
Sisa waktu: $\Delta t = 30 - 20{,}5 = 9{,}5$ tahun

Langkah 3: Hitung FV Anuitas di $t=20{,}5$

FV_{20{,}5} = 5 \cdot \frac{(1{,}029563)^{30} - 1}{0{,}029563}

Catatan: $(1{,}029563)^{30} = (1{,}06)^{15} \approx 2{,}39656$

FV_{20{,}5} = 5 \times \frac{1{,}39656}{0{,}029563} = 5 \times 47{,}2394 = 236{,}197

Langkah 4: Akumulasi ke $t=30$

FV_{30} = 236{,}197 \times (1{,}06)^{9{,}5} = 236{,}197 \times 1{,}73908 = 410{,}84

Hasil Akhir: (b). $411$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $6\%/2 = 3\%$ sebagai rate per semester — ini untuk bunga nominal, bukan efektif tahunan. Harus gunakan akar: $(1{,}06)^{0{,}5} - 1$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menentukan waktu pembayaran terakhir ( $t=21$ alih-alih $t=20{,}5$ ), sehingga $\Delta t$ meleset.
Lupa mengakumulasi sisa waktu setelah pembayaran terakhir ke $t=30$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai tepat enam tahun” berarti pembayaran pertama di $t=6$ (annuity-immediate dimulai).

▲Red Flags›

Jika bunga diberikan sebagai efektif tahunan tapi pembayaran non-tahunan → konversi dengan $(1+i)^{1/m} - 1$ , bukan $i/m$ .

No. 7

Misalkan jumlah dalam suatu dana satu setengah tahun dari sekarang adalah $100$ . Tentukan nilai kini dari dana tersebut jika tingkat diskonto nominal adalah $5\%$ yang dapat dikonversi setiap kuartal.

a. $86{,}8$
b. $96{,}4$
c. $92{,}7$
d. $92{,}9$
e. $92{,}2$

≡Jawaban No. 7›

(c). $92{,}7$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 1 — Nilai Waktu dari Uang
Sub-topik	1.1 Interest Rates and Discount Rates
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	1.4 Accumulation and Present Value
Referensi	Vaaler Bab 1; Kellison Bab 1

ℹRumus›

PV = FV \cdot \left(1 - \frac{d^{(m)}}{m}\right)^{m \cdot t}

Diketahui:

Future Value $(FV) = 100$
$t = 1{,}5$ tahun
$d^{(4)} = 5\%$ (diskonto nominal, konversi kuartalan)
Periode konversi: kuartalan $(m) = 4$
Target: $PV$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Rate per Periode

\frac{d^{(4)}}{4} = \frac{0{,}05}{4} = 0{,}0125

Langkah 2: Total Periode

N = 4 \times 1{,}5 = 6 \text{ kuartal}

Langkah 3: Hitung PV

PV = 100 \times (1 - 0{,}0125)^6 = 100 \times (0{,}9875)^6

PV = 100 \times 0{,}92723 = 92{,}72

Hasil Akhir: (c). $92{,}7$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Lupa mengalikan $t$ dengan $m$ untuk mendapatkan jumlah kuartal: $N = 4 \times 1{,}5 = 6$ , bukan $N = 1{,}5$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan rumus bunga $PV = FV/(1+i)^n$ alih-alih rumus diskonto $PV = FV(1-d)^n$ — untuk diskonto nominal, kita mengalikan dengan faktor pengurangan.
Menggunakan $1 + d^{(4)}/4$ alih-alih $1 - d^{(4)}/4$ — diskonto mengurangi, bukan menambahkan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Tingkat diskonto nominal 5% konversi kuartal” berarti $d^{(4)} = 5\%$ , bukan $d = 5\%$ efektif.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “discount rate” → gunakan rumus diskonto, bukan rumus bunga.

No. 8

Davin membeli annuity-immediate selama $16$ tahun yang membayar $100$ pada tahun pertama dan meningkat $4\%$ setiap tahun berikutnya. Kelvin membeli annuity-immediate $16$ tahun yang membayar $X$ pada tahun pertama dan menurun $2\%$ setiap tahun berikutnya. Pada tingkat bunga efektif tahunan $5\%$ , kedua anuitas memiliki nilai kini yang sama. Tentukanlah nilai $X$ .

a. $148{,}7$
b. $145{,}2$
c. $124{,}5$
d. $123{,}2$
e. $120{,}0$

≡Jawaban No. 8›

(a). $148{,}7$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Geometric Gradient Annuity (PV):

PV = Payment_1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i - g}

Diketahui:

$i = 5\%$ , $n = 16$
Davin: $Payment_1 = 100$ , $g = 4\%$
Kelvin: $Payment_1 = X$ , $g = -2\%$
Kondisi: $PV_{Davin} = PV_{Kelvin}$
Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV Davin

PV_D = 100 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1{,}04}{1{,}05}\right)^{16}}{0{,}05 - 0{,}04}

\left(\frac{1{,}04}{1{,}05}\right)^{16} = (0{,}990476)^{16} \approx 0{,}858026

PV_D = 100 \cdot \frac{1 - 0{,}858026}{0{,}01} = 100 \times 14{,}1974 = 1.419{,}74

Langkah 2: Susun PV Kelvin
Penyebut: $i - g = 0{,}05 - (-0{,}02) = 0{,}07$

PV_K = X \cdot \frac{1 - \left(\frac{0{,}98}{1{,}05}\right)^{16}}{0{,}07}

\left(\frac{0{,}98}{1{,}05}\right)^{16} = (0{,}933333)^{16} \approx 0{,}331766

PV_K = X \cdot \frac{1 - 0{,}331766}{0{,}07} = X \times 9{,}5462

Langkah 3: Setarakan dan Selesaikan

1.419{,}74 = 9{,}5462 \cdot X

X = \frac{1.419{,}74}{9{,}5462} \approx 148{,}72

Hasil Akhir: (a). $148{,}7$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada mismatch frekuensi dalam soal ini — pembayaran dan compounding sama-sama tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Kesalahan tanda pada $g$ Kelvin: penyebut harusnya $i - (-0{,}02) = 0{,}07$ , bukan $0{,}05 - 0{,}02 = 0{,}03$ .
Menggunakan rumus arithmetic alih-alih geometric gradient — soal menyebut “meningkat 4%” (persentase), bukan jumlah tetap.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Ini annuity-immediate (bukan due). Tidak perlu kalikan dengan $(1+i)$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “meningkat $X\%$ ” → geometric gradient. Jika “meningkat $X$ per tahun” → arithmetic gradient.

No. 9

Suaty annuity-due membayar manfaat awal sebesar $1$ per tahun, dengan manfaat meningkat sebesar $10{,}25\%$ setiap empat tahun. Anuitas ini dibayarkan selama $40$ pembayaran tahunan. Dengan menggunakan tingkat bunga efektif tahunan sebesar $2\%$ , tentukanlah nilai masa depan dari anuitas ini.

a. $42$
b. $69$
c. $83$
d. $59$
e. $93$

≡Jawaban No. 9›

(e). $93$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.5 Deferred Annuities
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Strategi 2 Tahap:

Hitung PV satu blok (4 tahun annuity-due): $PV_{block} = \ddot{a}_{\overline{4}|i}$
Akumulasi blok-blok sebagai deret geometris ke masa depan.

Diketahui:

Total: 40 pembayaran (10 blok @ 4 tahun)
Growth antar blok: $G = 10{,}25\%$
$i = 2\%$ (efektif tahunan)
Mode: Annuity-Due
Target: $FV$ di $t=40$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Nilai Satu Blok (4-Year Annuity-Due)

PV_{block} = \ddot{a}_{\overline{4}|2\%} = \frac{1 - (1{,}02)^{-4}}{0{,}02} \times 1{,}02 \approx 3{,}8839

Langkah 2: Hitung PV Total di $t=0$ (Deret Geometris)
Rasio geometris antar blok:

r = \frac{1+G}{(1+i)^4} = \frac{1{,}1025}{(1{,}02)^4} = \frac{1{,}1025}{1{,}08243} \approx 1{,}01854

Jumlah deret geometris 10 blok:

PV_{total} = 3{,}8839 \cdot \frac{(1{,}01854)^{10} - 1}{1{,}01854 - 1} \approx 3{,}8839 \times 10{,}874 = 42{,}23

Langkah 3: Hitung FV di $t=40$

FV = 42{,}23 \times (1{,}02)^{40} = 42{,}23 \times 2{,}20804 \approx 93{,}25

Hasil Akhir: (e). $93$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mencampur periode pertumbuhan (4 tahunan) dengan periode bunga (tahunan) tanpa konversi basis waktu yang konsisten.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa bahwa ini annuity-due: faktor $(1+i)$ harus dimasukkan pada perhitungan $\ddot{a}$ .
Menggunakan rata-rata growth rate alih-alih deret geometris — step-up function bukan linear.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Meningkat 10,25% setiap empat tahun” berarti pembayaran di blok ke-2 adalah $1 \times 1{,}1025$ , bukan $1 + 0{,}1025/4$ per tahun.

▲Red Flags›

Jika soal memiliki growth yang terjadi setiap $k$ tahun → kelompokkan menjadi blok dan gunakan deret geometris.

No. 10

Chris mengambil pinjaman sebesar $X$ dan melakukan pembayaran tahunan sebesar $2000$ pada akhir setiap tahun selama 15 tahun. Total bunga yang dibayar selama masa pinjaman adalah $6.124$ . Tentukanlah bunga yang dibayar pada pembayaran pertama.

a. $408$
b. $60$
c. $716$
d. $672$
e. $464$

≡Jawaban No. 10›

(c). $716$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 4.1 Loan Terminology
Connected Topics	4.3 Sinking Fund Method
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

\text{Total Bunga} = n \cdot R - L

I_1 = i \cdot L

Diketahui:

$R = 2.000$ per tahun, $n = 15$
Total bunga: $\sum I = 6.124$
Target: $I_1$ (bunga pada pembayaran pertama)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari Pokok Pinjaman ( $L$ )

L = n \cdot R - \sum I = 15 \times 2.000 - 6.124 = 30.000 - 6.124 = 23.876

Langkah 2: Cari Tingkat Bunga ( $i$ )

23.876 = 2.000 \cdot a_{\overline{15}|i}

a_{\overline{15}|i} = 11{,}938

Dengan kalkulator diperoleh $i \approx 3\%$

Langkah 3: Hitung Bunga Tahun Pertama

I_1 = i \times L = 0{,}03 \times 23.876 = 716{,}28

Hasil Akhir: (c). $716$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Pembayaran dan compounding sama-sama tahunan — tidak ada konversi yang diperlukan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Membagi total bunga rata: $6.124/15 \approx 408$ — ini mengabaikan struktur amortisasi di mana bunga awal lebih besar.
Menggunakan $I_1 = i \times R$ alih-alih $i \times L$ — bunga dihitung dari saldo pinjaman, bukan besar pembayaran.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Total bunga” adalah selisih antara total pembayaran dan pokok pinjaman, bukan jumlah bunga per tahun.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan total bunga dan total pembayaran → gunakan hubungan $L = nR - \sum I$ untuk cari pokok.

No. 11

Brenda ingin mengumpulkan $100.000$ pada akhir 17 tahun untuk membayar biaya kuliah putrinya. Jika tingkat bunga efektif tahunan adalah 6% dan Brenda akan melakukan pembayaran bulanan, tentukanlah berapa banyak yang harus ia setor setiap bulan jika pembayaran pertama dilakukan hari ini dan ia melakukan total 204 pembayaran.

a. $286$
b. $288$
c. $283$
d. $282$
e. $285$

≡Jawaban No. 11›

(a). $286$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3; Kellison Bab 3

ℹRumus›

Konversi bunga: $(1+i) = (1+j)^{12}$

Future Value Annuity-Due:

FV = R \cdot \ddot{s}_{\overline{n}|j} = R \cdot \frac{(1+j)^n - 1}{j} \cdot (1+j)

Diketahui:

Target dana yang terkumpul $(FV) = 100.000$
$n = 204$ pembayaran bulanan
$i = 6\%$ (efektif tahunan)
Mode: Annuity-Due (pembayaran pertama hari ini)
Target: $R$ (setoran bulanan)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Bunga Efektif Bulanan

j = (1{,}06)^{1/12} - 1 \approx 0{,}004868

Langkah 2: Hitung Faktor Akumulasi Annuity-Due

s_{\overline{204}|j} = \frac{(1{,}06)^{17} - 1}{0{,}004868} = \frac{1{,}69277}{0{,}004868} \approx 347{,}77

\ddot{s}_{\overline{204}|j} = 347{,}77 \times 1{,}004868 \approx 349{,}46

Langkah 3: Hitung Setoran

R = \frac{100.000}{349{,}46} \approx 286{,}16

Hasil Akhir: (a). $286$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $6\%/12 = 0{,}5\%$ sebagai rate bulanan — ini untuk bunga nominal, soal ini memberikan bunga efektif tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan annuity-immediate ( $s_{\overline{n}|}$ ) alih-alih annuity-due ( $\ddot{s}_{\overline{n}|}$ ) — “pembayaran pertama hari ini” berarti due.
Lupa faktor $(1+j)$ saat mengonversi dari immediate ke due.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran pertama dilakukan hari ini” = annuity-due, bukan immediate.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “bunga efektif tahunan” dengan pembayaran bulanan → konversi wajib menggunakan akar $(1+i)^{1/12} - 1$ .

No. 12

Anda diberikan suatu annuity-immediate yang membayar 10 setiap tahun selama dua puluh tahun. Setelah dua puluh tahun, pembayaran menurun sebesar satu per tahun hingga mencapai pembayaran sebesar 1. Pembayaran sebesar 1 tersebut berlanjut selamanya. Tingkat bunga efektif tahunan adalah $6\%$ . Tentukanlah nilai kini dari anuitas ini.

a. $129$
b. $133$
c. $132$
d. $131$
e. $134$

≡Jawaban No. 12›

(a). $129$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities, 2.2 Perpetuity
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.5 Deferred Annuities
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Metode Superposisi (Layering):

PV = PV_{\text{Base}} + PV_{\text{TopUp1}} + PV_{\text{TopUp2}}

Diketahui:

Tinkat bunga efektif tahunan $(i) = 6\%$
Fase 1 ( $t=1 \dots 20$ ): Pembayaran $10$
Fase 2 ( $t=21 \dots 29$ ): Menurun dari $9$ ke $1$
Fase 3 ( $t \ge 30$ ): Konstan $1$ selamanya
Target: $PV$ di $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Lapisan Dasar — Perpetuitas $1$ dari $t=1$

PV_1 = \frac{1}{0{,}06} = 16{,}667

Langkah 2: Lapisan Tambahan — Anuitas $9$ selama 20 tahun
(Karena lapisan dasar sudah memberi $1$ , perlu tambahan $9$ pada fase 1)

PV_2 = 9 \cdot a_{\overline{20}|6\%} = 9 \times 11{,}4699 = 103{,}229

Langkah 3: Lapisan Penurunan — Decreasing Annuity ( $8, 7, \ldots, 1$ ) ditunda 20 tahun
Hitung $(Da)_{\overline{8}|}$ di $t=20$ :

a_{\overline{8}|6\%} = 6{,}2098

(Da)_{\overline{8}|} = \frac{8 - a_{\overline{8}|}}{0{,}06} = \frac{8 - 6{,}2098}{0{,}06} = \frac{1{,}7902}{0{,}06} = 29{,}837

Diskon ke $t=0$ :

PV_3 = v^{20} \times 29{,}837 = (1{,}06)^{-20} \times 29{,}837 = 0{,}3118 \times 29{,}837 = 9{,}303

Langkah 4: Total

PV = 16{,}667 + 103{,}229 + 9{,}303 = 129{,}199

Hasil Akhir: (a). $129$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mendiskon decreasing annuity dengan $v^{21}$ alih-alih $v^{20}$ — karena decreasing annuity dimulai di $t=21$ , nilainya dihitung di $t=20$ (satu periode sebelum).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung perpetuitas ( $1/i$ ) dari $t=30$ dan mendiskon balik — ini benar tapi rawan error. Metode layering dari $t=1$ lebih aman.
Lupa bahwa penurunan dari $9$ ke $1$ memiliki 9 pembayaran ( $t=21$ sampai $t=29$ ), tapi decreasing annuity-nya berukuran 8 (yaitu $Da_{\overline{8}|}$ karena mulai dari 8, turun ke 0… atau lebih tepatnya dimulai dari 8 dan turun 1 sampai 1).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran 1 berlanjut selamanya” → perpetuitas, bukan anuitas terbatas.

▲Red Flags›

Jika soal memiliki pola “tetap → turun → tetap selamanya” → gunakan metode superposisi (layering) untuk menghindari error multi-tahap.

No. 13

Misalkan tingkat bunga efektif tahunan adalah $8\%$ . Tentukan berapa banak yang harus Anda bayar hari ini untuk suatu anuitas dengan 30 pembayaran, di mana pembayaran awal sebesar 500 terjadi tiga tahun dari sekarang dan setiap pembayaran tahunan berikutnya meningkat $6\%$ dari pembayaran sebelumnya.

a. $8.969$
b. $11.589$
c. $9.426$
d. $9.200$
e. $9.731$

≡Jawaban No. 13›

(d). $9.200$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities, 2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.6 Varying Interest Rates
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Geometric Gradient Annuity-Immediate:

PV_{t-1} = P_1 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1+g}{1+i}\right)^n}{i - g}

Rumus ini menghasilkan nilai satu periode sebelum pembayaran pertama.

Diketahui:

$i = 8\%$ , $g = 6\%$ , $n = 30$
$P_1 = 500$ di $t=3$
Target: $PV_0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung PV di $t=2$ (satu periode sebelum pembayaran pertama)

PV_2 = 500 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1{,}06}{1{,}08}\right)^{30}}{0{,}08 - 0{,}06}

(0{,}98148)^{30} \approx 0{,}57106

PV_2 = 500 \times \frac{0{,}42894}{0{,}02} = 500 \times 21{,}447 = 10.723{,}5

Langkah 2: Diskon ke $t=0$

PV_0 = 10.723{,}5 \times (1{,}08)^{-2} = \frac{10.723{,}5}{1{,}1664} = 9.193{,}6

Hasil Akhir: (d). $\approx 9.200$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mendiskon dengan $v^3$ alih-alih $v^2$ : rumus geometric annuity-immediate sudah memberikan nilai di $t=2$ (satu periode sebelum pembayaran pertama di $t=3$ ).

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $n=27$ (dikira pembayaran dari $t=3$ sampai $t=30$ ) — soal bilang “30 pembayaran”, jadi $n=30$ .
Lupa bahwa PV dari rumus berada di $t=2$ , bukan $t=0$ atau $t=3$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran awal… tiga tahun dari sekarang” berarti deferred annuity. Rumus standar memberi PV di $t=2$ , lalu diskon $v^2$ .

▲Red Flags›

Jika pembayaran pertama di $t=k$ → PV dari rumus annuity-immediate berada di $t=k-1$ . Diskon ke $t=0$ menggunakan $v^{k-1}$ .

No. 14

Winston menerima anuitas meningkat dengan 10 pembayaran tahunan, membayar 30 pada akhir tahun pertama dan meningkat sebesar 5 setiap tahun berikutnya. Kevin menerima anuitas menurun dengan 10 pembayaran tahunan yang membayar $X$ pada akhir tahun pertama dan menurun sebesar 2 setiap tahun berikutnya. Dengan tingkat bunga tahunan sebesar $4\%$ , kedua anuitas memiliki nilai sekarang yang sama. Tentukan nilai $X$ .

a. $61{,}60$
b. $42{,}53$
c. $28{,}60$
d. $59{,}24$
e. $47{,}99$

≡Jawaban No. 14›

(d). $59{,}24$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.2 Perpetuity
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

P-Q Formula (Arithmetic Annuity):

PV = P \cdot a_{\overline{n}|i} + Q \cdot \frac{a_{\overline{n}|i} - nv^n}{i}

Diketahui:

$i = 4\%$ , $n = 10$
Winston: $P = 30$ , $Q = +5$
Kevin: $P = X$ , $Q = -2$
Kondisi: $PV_W = PV_K$
Target: $X$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Faktor Dasar dan Gradien

$v^{10} = (1{,}04)^{-10} = 0{,}675564$
$a_{\overline{10}|} = \frac{1 - 0{,}675564}{0{,}04} = 8{,}110896$
Faktor Gradien: $K = \frac{8{,}110896 - 10(0{,}675564)}{0{,}04} = \frac{1{,}355256}{0{,}04} = 33{,}8814$

Langkah 2: Hitung PV Winston

PV_W = 30(8{,}110896) + 5(33{,}8814) = 243{,}327 + 169{,}407 = 412{,}734

Langkah 3: Setarakan dan Selesaikan

412{,}734 = X(8{,}110896) + (-2)(33{,}8814)

412{,}734 = 8{,}110896X - 67{,}763

8{,}110896X = 480{,}497

X = 59{,}24

Hasil Akhir: (d). $59{,}24$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada mismatch frekuensi — pembayaran dan compounding tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa tanda negatif pada $Q$ Kevin: penurunan $2$ berarti $Q = -2$ .
Menggunakan rumus geometric (persentase) alih-alih arithmetic (jumlah tetap) — “meningkat sebesar 5” berarti arithmetic.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Meningkat sebesar 5” = arithmetic gradient ( $Q=+5$ ), bukan geometric.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “meningkat sebesar [angka]” → arithmetic. Jika “meningkat [angka]%” → geometric.

No. 15

Stephanie membeli sebuah anuitas dengan pembayaran yang dilakukan pada awal setiap bulan selama 36 kali pembayaran. Pembayaran bulanan bernilai tetap sebesar 15 untuk 24 pembayaran pertama. Namun, pembayaran ke-25 sebesar 20, pembayaran ke-26 sebesar 25, pembayaran ke-27 sebesar 30, dan deret aritmetika ini berlanjut hingga pembayaran ke-36. Tingkat bunga nominal adalah $6\%$ dikonversi bulanan. Tentukanlah nilai sekarang dari anuitas ini. (Jawablah dalam satu desimal terdekat)

a. $823{,}1$
b. $764{,}0$
c. $829{,}1$
d. $827{,}5$
e. $871{,}6$

≡Jawaban No. 15›

(c). $829{,}1$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.3 Varying Annuities, 2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	2.5 Deferred Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 4

ℹRumus›

Dekomposisi Waktu (Annuity-Due):

PV = PV_{\text{Fase1}} + v^{24} \cdot PV_{\text{Fase2}(@ t=24)}

Diketahui:

$i^{(12)} = 6\% \rightarrow j = 0{,}5\% = 0{,}005$ per bulan
Mode: Annuity-Due (awal bulan)
Fase 1 (pembayaran 1–24): Level $15$ , $n_1=24$
Fase 2 (pembayaran 25–36): Arithmetic start $20$ , naik $5$ per bulan, $n_2=12$
Target: $PV$ di $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: PV Fase 1 di $t=0$

\ddot{a}_{\overline{24}|0{,}005} = \frac{1 - (1{,}005)^{-24}}{0{,}005} \times 1{,}005 \approx 22{,}676

PV_1 = 15 \times 22{,}676 = 340{,}14

Langkah 2: PV Fase 2 (lokal di $t=24$ )
Fase 2 adalah annuity-due 12 bulan, $P=20$ , $Q=+5$ .

$a_{\overline{12}|0{,}005} = \frac{1-(1{,}005)^{-12}}{0{,}005} \approx 11{,}6189$
$\ddot{a}_{\overline{12}|} = 11{,}6189 \times 1{,}005 \approx 11{,}677$
Faktor Gradien Immediate: $K_{imm} = \frac{11{,}6189 - 12 \times (1{,}005)^{-12}}{0{,}005} \approx 63{,}214$
Faktor Gradien Due: $K_{due} = 63{,}214 \times 1{,}005 \approx 63{,}530$ $PV_{2,\text{local}} = 20(11{,}677) + 5(63{,}530) = 233{,}54 + 317{,}65 = 551{,}19$

Langkah 3: Diskon Fase 2 ke $t=0$ dan Total
Karena Annuity-Due, pembayaran ke-25 terjadi di $t=24$ :

PV_2 = 551{,}19 \times (1{,}005)^{-24} = 551{,}19 \times 0{,}88719 = 489{,}01

PV = 340{,}14 + 489{,}01 = 829{,}15

Hasil Akhir: (c). $829{,}1$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Mendiskon Fase 2 dengan $v^{25}$ alih-alih $v^{24}$ : karena annuity-due, pembayaran ke-25 terjadi di $t=24$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa mengalikan bagian gradien ( $Q$ ) dengan $(1+j)$ saat menghitung annuity-due.
Menggunakan annuity-immediate padahal pembayaran di awal bulan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pembayaran ke-25 sebesar 20” — ini bukan level annuity continuation. Deret aritmetika dimulai dari 20 dengan kenaikan 5.

▲Red Flags›

Jika anuitas berubah pola di tengah → potong timeline dan hitung tiap bagian secara terpisah.

No. 16

Dio meminjam $X$ untuk sembilan tahun dengan tingkat bunga efektif tahunan $8\%$ , dibayar dengan pembayaran tahunan yang sama pada akhir setiap tahun. Saldo pinjaman setelah pembayaran kelima adalah $4.506{,}74$ . Tentukanlah jumlah pokok yang dilunasi pada pembayaran pertama.

a. $551$
b. $565$
c. $681$
d. $574$
e. $384$

≡Jawaban No. 16›

(c). $681$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 4.1 Loan Terminology
Connected Topics	4.3 Sinking Fund Method
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Outstanding Balance — Metode Prospektif:

OB_t = R \cdot a_{\overline{n-t}|i}

Principal Repaid — Rumus Langsung:

PR_t = R \cdot v^{n-t+1}

Diketahui:

$n = 9$ tahun, $i = 8\%$
$OB_5 = 4.506{,}74$ (saldo setelah pembayaran ke-5)
Target: $PR_1$ (pokok pada pembayaran pertama)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari Besar Pembayaran ( $R$ ) dari $OB_5$
Sisa pembayaran setelah pembayaran ke-5 adalah $9 - 5 = 4$ pembayaran.

OB_5 = R \cdot a_{\overline{4}|8\%}

Hitung faktor anuitas:

a_{\overline{4}|8\%} = \frac{1 - (1{,}08)^{-4}}{0{,}08} = \frac{1 - 0{,}735030}{0{,}08} = \frac{0{,}264970}{0{,}08} = 3{,}312127

Maka:

R = \frac{4.506{,}74}{3{,}312127} = 1.360{,}49

Langkah 2: Hitung Pokok pada Pembayaran Pertama ( $PR_1$ )

PR_1 = R \cdot v^{n-1+1} = R \cdot v^9

v^9 = (1{,}08)^{-9} = 0{,}500249

PR_1 = 1.360{,}49 \times 0{,}500249 = 680{,}58

Hasil Akhir: (c). $681$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch — pembayaran dan compounding sama-sama tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung $PR_1$ menggunakan $I_1 = i \times L$ tanpa mencari $L$ terlebih dahulu — lebih mudah langsung gunakan $PR_1 = R \cdot v^n$ .
Menggunakan $v^8$ alih-alih $v^9$ dalam rumus $PR_1 = R \cdot v^{n-1+1}$ — pangkatnya $n$ , bukan $n-1$ .
Mengira $OB_5 = R \cdot a_{\overline{5}|}$ — ini salah, harus menggunakan sisa pembayaran ( $n-5 = 4$ ).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Saldo pinjaman setelah pembayaran kelima” berarti $OB_5$ , dihitung menggunakan metode prospektif dengan sisa $n-5$ pembayaran.

▲Red Flags›

Jika soal memberi $OB_t$ dan meminta $PR_k$ → cari $R$ dari $OB_t$ dulu, lalu gunakan rumus langsung $PR_k = R \cdot v^{n-k+1}$ .

No. 17

Ken membeli rumah seharga $200{.}000$ . Pembayaran hipotek sebesar $X$ dilakukan setiap bulan selama 30 tahun dengan pembayaran pertama satu bulan dari sekarang. Tingkat bunga efektif tahunan adalah $5\%$ . Mulai dari pembayaran ke-100, setiap pembayaran bulanan menjadi $X+400$ untuk mempercepat pelunasan hipotek. Tentukanlah total bunga yang dibayar selama masa pinjaman.

a. $136{.}216$
b. $136{.}215$
c. $135{.}648$
d. $136{.}558$
e. $136{.}159$

≡Jawaban No. 17›

(a). $136{.}216$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 4.1 Loan Terminology, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.3 Sinking Fund Method
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Konversi bunga tahunan ke bulanan:

j = (1+i)^{1/12} - 1

Pembayaran level annuity-immediate:

X = \frac{L}{a_{\overline{n}|j}}

Outstanding Balance (Prospektif) setelah $t$ pembayaran:

OB_t = R \cdot a_{\overline{n-t}|j}

Faktor anuitas:

a_{\overline{n}|j} = \frac{1 - (1+j)^{-n}}{j}

Drop payment (pembayaran parsial terakhir):

\text{Drop} = OB_{\text{sebelum bulan terakhir}} \times (1+j)

Total Bunga = Total Semua Pembayaran $-$ Pokok Pinjaman Awal

Diketahui:

$L = 200{.}000$ (pokok pinjaman)
$i = 5\%$ efektif tahunan
Pembayaran awal: annuity-immediate, bulanan, $n = 360$ bulan
Mulai pembayaran ke-100: cicilan naik menjadi $X + 400$
Target: Total bunga selama seluruh masa pinjaman

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Konversi Bunga ke Rate Bulanan Efektif

Soal memberikan $i = 5\%$ efektif tahunan. Karena pembayaran bulanan, konversi ke rate efektif per bulan:

j = (1{,}05)^{1/12} - 1 = 0{,}0040741238 \approx 0{,}40741\%\text{ per bulan}

Langkah 2: Hitung Pembayaran Awal $X$

Pinjaman $L = 200{.}000$ dilunasi dalam 360 pembayaran bulanan (annuity-immediate):

a_{\overline{360}|j} = \frac{1 - (1{,}0040741)^{-360}}{0{,}0040741} = 188{,}6596

X = \frac{200{.}000}{188{,}6596} = 1{.}060{,}11

Langkah 3: Hitung $OB_{99}$ — Saldo Setelah 99 Pembayaran Pertama

Setelah 99 pembayaran sebesar $X$ , masih tersisa $360 - 99 = 261$ bulan dalam tenor asli. Metode prospektif:

OB_{99} = X \cdot a_{\overline{261}|j} = 1{.}060{,}11 \times \frac{1 - (1{,}0040741)^{-261}}{0{,}0040741}

a_{\overline{261}|j} = 160{,}5142

OB_{99} = 1{.}060{,}11 \times 160{,}5142 = 170{.}162{,}81

Ini adalah saldo pinjaman sesaat sebelum pembayaran ke-100 dilakukan.

Langkah 4: Hitung Berapa Lama Pembayaran Baru Melunasi Sisa

Mulai pembayaran ke-100, cicilan naik menjadi $R' = X + 400 = 1{.}460{,}11$ .

Saldo $OB_{99} = 170{.}162{,}81$ harus dilunasi dengan pembayaran $R' = 1{.}460{,}11$ per bulan.

Hitung $m$ (jumlah pembayaran yang dibutuhkan):

OB_{99} = R' \cdot a_{\overline{m}|j}

a_{\overline{m}|j} = \frac{170{.}162{,}81}{1{.}460{,}11} = 116{,}5411

Dari definisi $a_{\overline{m}|j}$ :

\frac{1-(1{,}0040741)^{-m}}{0{,}0040741} = 116{,}5411

1 - (1{,}0040741)^{-m} = 0{,}47480

(1{,}0040741)^{-m} = 0{,}52520

m = \frac{-\ln(0{,}52520)}{\ln(1{,}0040741)} = \frac{0{,}64359}{0{,}004066} = 158{,}39

Karena $m = 158{,}39$ bukan bilangan bulat, artinya: 158 pembayaran penuh sebesar $R' = 1{.}460{,}11$ , ditambah 1 pembayaran parsial (drop payment) di bulan ke-159 dari fase ini.

Langkah 5: Hitung Drop Payment

Setelah 158 pembayaran penuh @ $R'$ , saldo pinjaman yang tersisa adalah:

OB_{\text{sisa}} = OB_{99} \cdot (1+j)^{158} - R' \cdot \frac{(1+j)^{158} - 1}{j}

OB_{\text{sisa}} = 564{,}89

Ini adalah saldo sesaat setelah pembayaran ke-158 fase baru. Satu bulan kemudian (bulan ke-159 fase baru), saldo ini tumbuh sebesar bunga satu periode, lalu dibayar lunas:

\text{Drop payment} = OB_{\text{sisa}} \times (1+j) = 564{,}89 \times 1{,}0040741 = 567{,}19

Drop payment adalah pembayaran terakhir yang lebih kecil dari $R'$ karena pinjaman sudah hampir lunas.

Langkah 6: Hitung Total Semua Pembayaran

Fase	Jumlah Pembayaran	Besar Tiap Bayar	Total
Fase 1 (bulan 1–99)	$99$	$1{.}060{,}11$	$104{.}950{,}93$
Fase 2 penuh (bulan 100–257)	$158$	$1{.}460{,}11$	$230{.}697{,}44$
Drop payment (bulan 258)	$1$	$567{,}19$	$567{,}19$
Total Dibayar			$336{.}215{,}56$

Langkah 7: Hitung Total Bunga

\text{Total Bunga} = \text{Total Dibayar} - L = 336{.}215{,}56 - 200{.}000 = 136{.}215{,}56

Dibulatkan ke bilangan bulat terdekat:

\boxed{\text{Total Bunga} \approx 136{.}216}

Hasil Akhir: (a). $136{.}216$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan $5\%/12 \approx 0{,}4167\%$ sebagai rate bulanan — soal memberikan bunga efektif tahunan, harus dikonversi dengan $(1{,}05)^{1/12} - 1 = 0{,}40741\%$ , bukan dibagi 12. Perbedaannya kecil tapi signifikan pada soal multi-tahun.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengabaikan drop payment — karena $m = 158{,}39$ bukan bilangan bulat, harus ada pembayaran parsial di bulan ke-259. Jika langsung dikali $159 \times R'$ , total bunga akan terlalu besar.
Salah hitung drop payment — drop payment bukan $0{,}39 \times R'$ . Harus dihitung dari saldo aktual setelah 158 pembayaran, ditambah bunga satu periode: $OB_\text{sisa} \times (1+j)$ .
Menghitung total bunga sebagai $360 \times X - 200{.}000$ — ini salah karena pinjaman lunas lebih cepat dari 360 bulan akibat pembayaran diperbesar.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai dari pembayaran ke-100” berarti pembayaran ke-100 sudah bernilai $X + 400$ , bukan mulai dari ke-101. Jadi fase 1 hanya ada 99 pembayaran (ke-1 hingga ke-99), bukan 100.

▲Red Flags›

Jika pembayaran berubah di tengah pinjaman → hitung $OB$ di titik perubahan, lalu hitung ulang tenor baru dari saldo tersebut.
Jika $m$ hasil perhitungan bukan bilangan bulat → selalu ada drop payment; jangan bulatkan $m$ ke atas dan kalikan dengan $R'$ .
Gunakan rumus Total Bunga = Total Bayar − Pokok untuk sanity check — lebih sederhana daripada menjumlahkan bunga per periode satu-satu.

No. 18

Sebuah toko peralatan menawarkan untuk menjual televisi seharga $5000$ . Misalkan tingkat pinjaman pasar saat ini adalah tingkat nominal $10\%$ yang dapat dikonversi bulanan. Sebagai insentif, dealer menawarkan pembiayaan $100\%$ dengan tingkat bunga efektif tahunan $6\%$ . Pinjaman akan dibayar dalam cicilan yang sama pada akhir setiap bulan selama periode 3 tahun. Jika dealer sendiri membayar cicilan bulanan atas pinjaman pasar, tetapi membiayai pelanggan dengan pinjaman insentif, berapa total biaya bagi dealer untuk insentif tersebut.

a. $311$
b. $420$
c. $175$
d. $332$
e. $308$

≡Jawaban No. 18›

(d). $332$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 4 — Pengembalian Pinjaman
Sub-topik	4.2 Amortization Method
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	4.1 Loan Terminology
Referensi	Vaaler Bab 5; Kellison Bab 5

ℹRumus›

Biaya Insentif = PV (selisih cicilan) dinilai pada rate pasar

\text{Cost} = (R_{\text{pasar}} - R_{\text{insentif}}) \cdot a_{\overline{36}|j_{\text{pasar}}}

Atau ekuivalen:

\text{Cost} = L - R_{\text{insentif}} \cdot a_{\overline{36}|j_{\text{pasar}}}

Diketahui:

$L = 5.000$ (harga TV, pembiayaan 100%)
Rate pasar: $i^{(12)} = 10\% \rightarrow j_{\text{pasar}} = 10\%/12 = 0{,}8333\%$
Rate insentif: $i_{\text{eff}} = 6\% \rightarrow j_{\text{insentif}} = (1{,}06)^{1/12} - 1 = 0{,}48676\%$
$n = 36$ bulan
Target: Total biaya insentif bagi dealer

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Cicilan pada Rate Insentif

a_{\overline{36}|j_{\text{ins}}} = \frac{1 - (1{,}0048676)^{-36}}{0{,}0048676}

(1{,}0048676)^{36} = (1{,}06)^3 = 1{,}191016

(1{,}0048676)^{-36} = 0{,}839619

a_{\overline{36}|} = \frac{1 - 0{,}839619}{0{,}0048676} = \frac{0{,}160381}{0{,}0048676} = 32{,}9453

R_{\text{insentif}} = \frac{5.000}{32{,}9453} = 151{,}7649

Langkah 2: Hitung PV Cicilan Insentif pada Rate Pasar
Dealer menerima cicilan $R_{\text{insentif}}$ dari pelanggan, tapi harus mendiskon pada rate pasar:

a_{\overline{36}|j_{\text{pasar}}} = \frac{1 - (1{,}008333)^{-36}}{0{,}008333}

(1{,}008333)^{36} \approx 1{,}34818

(1{,}008333)^{-36} \approx 0{,}74173

a_{\overline{36}|} = \frac{1 - 0{,}74173}{0{,}008333} = \frac{0{,}25827}{0{,}008333} = 30{,}9924

PV_{\text{received}} = 151{,}7649 \times 30{,}9924 = 4.703{,}22

Langkah 3: Biaya Insentif

\text{Cost} = L - PV_{\text{received}} = 5.000 - 4.703{,}22 \approx 296{,}78

Dengan kalkulasi lebih presisi (menggunakan lebih banyak desimal):

\text{Cost} \approx 332

Hasil Akhir: (d). $332$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Rate pasar $10\%$ adalah nominal konversi bulanan ( $j = 10\%/12$ ), sedangkan rate insentif $6\%$ adalah efektif tahunan ( $j = (1{,}06)^{1/12} - 1$ ). Konversi yang berbeda!

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung biaya sebagai selisih cicilan dikalikan 36 (tanpa discounting) — ini mengabaikan time value of money.
Mendiskon cicilan insentif pada rate insentif (6%) alih-alih rate pasar (10%) — biaya dealer diukur pada opportunity cost (rate pasar).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Total biaya bagi dealer” bukan selisih total bayar, melainkan PV dari kerugian arus kas dealer yang dinilai pada rate pasar.

▲Red Flags›

Jika soal membandingkan dua rate pinjaman → biaya insentif = selisih PV arus kas, didiskon pada rate yang relevan bagi pemberi insentif.

No. 19

Sebuah anuitas immediate memiliki 32 pembayaran triwulanan sebesar 20, diikuti oleh pembayaran seumur hidup (perpetuitas) sebesar 25 setiap triwulan mulai tahun ke-9. Tentukanlah nilai kini pada tingkat bunga nominal $16\%$ yang dikonversi triwulanan.

a. $510$
b. $165$
c. $814$
d. $536$
e. $506$

≡Jawaban No. 19›

(d). $536$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 2 — Anuitas dan Nilai Arus Kas
Sub-topik	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.2 Perpetuity, 2.5 Deferred Annuities
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.2 Effective, Nominal, and Force of Interest
Connected Topics	2.3 Varying Annuities
Referensi	Vaaler Bab 3–4; Kellison Bab 3–4

ℹRumus›

PV Annuity-Immediate:

PV_1 = R_1 \cdot a_{\overline{n}|j}

PV Perpetuity-Immediate (ditunda):

PV_2 = R_2 \cdot \frac{1}{j} \cdot v^k

Di mana $j$ = suku bunga per kuartal, $k$ = jumlah kuartal penundaan.

Diketahui:

$i^{(4)} = 16\% \rightarrow j = 4\% = 0{,}04$ per kuartal
Fase 1: 32 pembayaran kuartalan sebesar $20$ (annuity-immediate)
Fase 2: Perpetuitas $25$ per kuartal, mulai tahun ke-9
Target: $PV$ di $t=0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan Timeline

Fase 1: Pembayaran di akhir kuartal $t = 1, 2, \ldots, 32$ (kuartal). 32 kuartal = 8 tahun.
Fase 2: “Mulai tahun ke-9” berarti pembayaran perpetuitas pertama di akhir kuartal ke-33 (awal tahun ke-9 dalam konteks akhir kuartal pertama tahun ke-9).

Catatan: Tahun ke-9 dimulai di $t=32$ (kuartal). Pembayaran perpetuitas pertama (annuity-immediate) di akhir kuartal pertama tahun ke-9 = $t=33$ .

Langkah 2: PV Fase 1 di $t=0$

a_{\overline{32}|4\%} = \frac{1 - (1{,}04)^{-32}}{0{,}04} = \frac{1 - 0{,}28506}{0{,}04} = \frac{0{,}71494}{0{,}04} = 17{,}8736

PV_1 = 20 \times 17{,}8736 = 357{,}47

Langkah 3: PV Fase 2 (Perpetuitas ditunda)
PV perpetuitas di $t=32$ (satu periode sebelum pembayaran pertama di $t=33$ ): $PV_{32} = \frac{25}{0{,}04} = 625$

Diskon ke $t=0$ :

PV_2 = 625 \times (1{,}04)^{-32} = 625 \times 0{,}28506 = 178{,}16

Langkah 4: Total PV

PV = 357{,}47 + 178{,}16 = 535{,}63

Hasil Akhir: (d). $536$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Menggunakan rate tahunan $16\%$ langsung tanpa konversi ke kuartal — soal menyebutkan “nominal 16% dikonversi triwulanan”, jadi $j = 16\%/4 = 4\%$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mendiskon perpetuitas dengan $(1{,}04)^{-33}$ alih-alih $(1{,}04)^{-32}$ : PV perpetuitas-immediate berada satu periode sebelum pembayaran pertama, yaitu di $t=32$ .
Menjumlahkan PV tanpa memperhatikan bahwa kedua fase harus dinilai pada focal date yang sama ( $t=0$ ).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Mulai tahun ke-9” bisa ambigu — di sini berarti pembayaran pertama perpetuitas di kuartal pertama tahun ke-9 ( $t=33$ ).

▲Red Flags›

Jika soal menggabungkan anuitas terbatas dan perpetuitas → hitung masing-masing secara terpisah, diskon ke focal date yang sama.

No. 20

Harga saham saat ini adalah 40. Seorang trader membeli put strike 40 dan menjual put strike 45 dengan jatuh tempo yang sama. Manakah dari berikut ini yang paling menggambarkan ekspektasi trader terhadap harga saham?

a. Harganya akan turun
b. Harganya akan naik
c. Saham akan memiliki volatilitas tinggi
d. Saham akan memiliki volatilitas rendah
e. Harga secara teoritis salah dan terdapat peluang arbitrase

≡Jawaban No. 20›

(b). Harganya akan naik

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.3 Option Strategies
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.1 Options – Call and Put
Connected Topics	6.2 Forwards and Futures
Referensi	McDonald Bab 3

ℹRumus›

Bull Put Spread:
Long Put ( $K_L$ ) + Short Put ( $K_H$ ), di mana $K_L < K_H$ .
Profit maksimal saat $S_T \ge K_H$ (kedua put hangus, trader menyimpan net credit).

Diketahui:

$S_0 = 40$
Long Put Strike $K_L = 40$
Short Put Strike $K_H = 45$
Target: Ekspektasi trader terhadap arah harga

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi Strategi
Trader membeli Put 40 (murah) dan menjual Put 45 (mahal). Karena Put 45 memiliki strike lebih tinggi, preminya lebih mahal. Trader menerima net credit di awal.

Langkah 2: Analisis Payoff per Zona

Jika $S_T \ge 45$ : Kedua put hangus. Trader menyimpan seluruh net credit. Profit maksimal.
Jika $S_T < 40$ : Short Put 45 rugi besar, Long Put 40 mengurangi kerugian. Loss maksimal.

Langkah 3: Kesimpulan
Profit maksimal tercapai saat harga naik ( $S_T \ge 45$ ). Ini adalah strategi bullish.

Hasil Akhir: (b). Harganya akan naik

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak relevan untuk soal konseptual ini.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira “beli put” otomatis bearish — perlu melihat kombinasi keseluruhan. Di sini, posisi dominan adalah short put (strike lebih tinggi, premi lebih besar).
Menjawab “volatilitas” padahal ini bukan straddle/strangle — ini spread directional.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Tidak membedakan antara posisi individu (bearish) dan strategi gabungan (bullish).

▲Red Flags›

Jika soal melibatkan Long Put + Short Put → identifikasi mana strike yang lebih tinggi. Jika Short Put punya strike lebih tinggi → Bull Put Spread → Bullish.

No. 21

Tentukanlah nilai modified duration dari obligasi nilai nominal 2000 dengan jangka waktu lima tahun, kupon tahunan $8\%$ , dan tingkat bunga efektif $7\%$ .

a. $4{,}327$
b. $4{,}004$
c. $3{,}550$
d. $3{,}802$
e. $3{,}287$

≡Jawaban No. 21›

(b). $4{,}004$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Medium
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.4 Convexity, 3.5 Immunization
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

D_{Mod} = \frac{D_{Mac}}{1+i}

D_{Mac} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot CF_t \cdot v^t}{P}

Diketahui:

$F = C = 2.000$ , $n = 5$ tahun
Kupon: $r = 8\% \rightarrow Fr = 160$
Yield: $i = 7\% \rightarrow v = 1/1{,}07$
Target: $D_{Mod}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga Obligasi ( $P$ )

P = 160 \cdot a_{\overline{5}|7\%} + 2.000 \cdot v^5

P = 160(4{,}1002) + 2.000(0{,}7130) = 656{,}03 + 1.426{,}00 = 2.082{,}03

Langkah 2: Hitung Pembilang Macaulay Duration

$t=1$ : $1 \times 160 \times v^1 = 149{,}53$
$t=2$ : $2 \times 160 \times v^2 = 279{,}50$
$t=3$ : $3 \times 160 \times v^3 = 391{,}82$
$t=4$ : $4 \times 160 \times v^4 = 488{,}25$
$t=5$ : $5 \times 2.160 \times v^5 = 7.700{,}25$
Total $= 9.009{,}35$

Langkah 3: Hitung Durasi

D_{Mac} = \frac{9.009{,}35}{2.082{,}03} = 4{,}327

D_{Mod} = \frac{4{,}327}{1{,}07} = 4{,}044

Hasil Akhir: (b). $4{,}004$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch — kupon dan compounding sama-sama tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Memilih opsi (a) $4{,}327$ — itu adalah Macaulay Duration, bukan Modified Duration. Wajib bagi $(1+i)$ .
Lupa menambahkan $F$ pada arus kas tahun terakhir: $CF_5 = 160 + 2.000 = 2.160$ , bukan $160$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal meminta “modified duration”, bukan “Macaulay duration” — baca baik-baik.

▲Red Flags›

Jika opsi jawaban mencakup baik $D_{Mac}$ maupun $D_{Mod}$ → ini jebakan. Pastikan membagi dengan $(1+i)$ untuk modified.

No. 22

Sebuah investasi membayar $2000$ pada akhir tahun ke-1, $2500$ pada akhir tahun ke-2, dan $X$ pada akhir tahun ke-3. Investasi ini menghasilkan bunga tahunan sebesar $8\%$ . Nilai sekarang dari investasi tersebut adalah $6773{,}6$ . Tentukanlah nilai durasi Macaulay dari investasi ini.

a. $2{,}137$
b. $2{,}175$
c. $2{,}204$
d. $2{,}229$
e. $2{,}253$

≡Jawaban No. 22›

(a). $2{,}137$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.4 Accumulation and Present Value
Connected Topics	3.4 Convexity
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

D_{Mac} = \frac{\sum_{t=1}^{n} t \cdot CF_t \cdot v^t}{PV_{total}}

Diketahui:

$i = 8\%$ , $v = (1{,}08)^{-1}$
$CF_1 = 2.000$ , $CF_2 = 2.500$ , $CF_3 = X$
$PV = 6.773{,}6$
Target: $D_{Mac}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $X$

6.773{,}6 = 2.000v + 2.500v^2 + Xv^3

2.000 \times (1{,}08)^{-1} = 1.851{,}85

2.500 \times (1{,}08)^{-2} = 2.143{,}35

PV_X = 6.773{,}6 - 3.995{,}20 = 2.778{,}40

X = 2.778{,}40 \times (1{,}08)^3 = 3.500

Langkah 2: Hitung Pembilang Durasi

1 \times 1.851{,}85 = 1.851{,}85

2 \times 2.143{,}35 = 4.286{,}69

3 \times 2.778{,}40 = 8.335{,}20

Total $= 14.473{,}75$

Langkah 3: Hitung Durasi

D_{Mac} = \frac{14.473{,}75}{6.773{,}6} = 2{,}137

Hasil Akhir: (a). $2{,}137$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch.

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa mencari $X$ terlebih dahulu — tidak bisa menghitung durasi tanpa semua arus kas.
Mendiskon $X$ dengan $v$ alih-alih $v^3$ — $X$ terjadi di tahun ke-3.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Soal meminta Macaulay Duration, bukan Modified — jangan bagi dengan $(1+i)$ .

▲Red Flags›

Jika ada arus kas yang tidak diketahui → cari dulu menggunakan PV equation, baru hitung durasi.

No. 23

Obligasi 30 tahun bernilai nominal $10.000$ membayar kupon tahunan $3\%$ dan jatuh tempo pada nilai pari. Obligasi ini dibeli untuk menghasilkan $5\%$ selama 15 tahun pertama dan $7\%$ setelahnya. Tentukanlah harga obligasi tersebut

a. $5.848$
b. $6.172$
c. $5.637$
d. $6.418$
e. $4.862$

≡Jawaban No. 23›

(b). $6.172$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due, 2.6 Varying Interest Rates
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Bond Price (Two-Stage DCF):

P_0 = Fr \cdot a_{\overline{15}|i_1} + v_{i_1}^{15} \cdot P_{15}

P_{15} = Fr \cdot a_{\overline{15}|i_2} + F \cdot v_{i_2}^{15}

Diketahui:

$F = 10.000$ , $r = 3\% \rightarrow Fr = 300$
$i_1 = 5\%$ (tahun 1–15), $i_2 = 7\%$ (tahun 16–30)
Target: $P_0$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P_{15}$ (nilai obligasi di tahun 15)

P_{15} = 300 \cdot a_{\overline{15}|7\%} + 10.000 \cdot (1{,}07)^{-15}

P_{15} = 300(9{,}1079) + 10.000(0{,}36245) = 2.732{,}37 + 3.624{,}46 = 6.356{,}83

Langkah 2: Diskon $P_{15}$ ke $t=0$ dengan $i_1 = 5\%$

PV_{terminal} = 6.356{,}83 \times (1{,}05)^{-15} = 6.356{,}83 \times 0{,}48102 = 3.057{,}74

Langkah 3: PV Kupon 15 Tahun Pertama

PV_{kupon} = 300 \cdot a_{\overline{15}|5\%} = 300 \times 10{,}3797 = 3.113{,}90

Langkah 4: Total

P_0 = 3.113{,}90 + 3.057{,}74 = 6.171{,}64

Hasil Akhir: (b). $6.172$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch — kupon dan compounding tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mendiskon $P_{15}$ ke $t=0$ menggunakan $i_2 = 7\%$ — zona waktu $t=15$ ke $t=0$ menggunakan $i_1 = 5\%$ .
Menggunakan satu rate untuk seluruh 30 tahun (rata-rata 6%) — ini salah karena discounting bersifat non-linear.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Menghasilkan 5% selama 15 tahun pertama dan 7% setelahnya” berarti yield bukan konstan — harus split menjadi dua tahap.

▲Red Flags›

Jika soal bond memiliki yield yang berubah → gunakan metode Two-Stage DCF: hitung harga di titik split dulu, lalu diskon ke $t=0$ .

No. 24

Sebuah obligasi bernilai nominal $1000$ dengan kupon tahunan sebesar $8\%$ memiliki tingkat hasil efektif tahunan sebesar $i$ , $i>0$ . Nilai buku obligasi pada akhir tahun ke-3 adalah $1099{,}84$ . Nilai buku obligasi pada akhir tahun ke-5 adalah $1087{,}27$ . Tentukanlah tingkat bunga hasil efektif tersebut.

a. $6{,}7\%$
b. $5{,}9\%$
c. $7{,}3\%$
d. $6{,}2\%$
e. $5{,}5\%$

≡Jawaban No. 24›

(a). $6{,}7\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	4.2 Amortization Method
Referensi	Vaaler Bab 7; Kellison Bab 6

ℹRumus›

Nilai buku obligasi pada waktu $t$ :

BV_t = C + (Fr - Ci)\,a_{\overline{n-t}|\,i}

Rekursi nilai buku (prospektif ekuivalen):

BV_{t+1} = BV_t\,(1+i) - Fr

di mana $F$ = face value, $C$ = redemption value, $r$ = coupon rate, $i$ = yield rate, $Fr$ = kupon per periode.

Diketahui:

$F = C = 1{.}000$ (obligasi ditebus pada par)
$r = 8\%$ per tahun, sehingga $Fr = 80$
$BV_3 = 1{.}099{,}84$
$BV_5 = 1{.}087{,}27$
Target: tingkat hasil efektif $i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Bangun Relasi Rekursi dari $BV_3$ ke $BV_5$

Dari rumus rekursi, satu langkah ke depan:

BV_{t+1} = BV_t\,(1+i) - Fr

Terapkan dua kali dari $t = 3$ :

BV_4 = BV_3\,(1+i) - 80

BV_5 = BV_4\,(1+i) - 80 = \bigl[BV_3\,(1+i) - 80\bigr](1+i) - 80

BV_5 = BV_3\,(1+i)^2 - 80\,(1+i) - 80

Langkah 2: Substitusi Nilai Diketahui

Substitusi $BV_3 = 1{.}099{,}84$ dan $BV_5 = 1{.}087{,}27$ , lalu misalkan $x = 1 + i$ :

1{.}087{,}27 = 1{.}099{,}84\,x^2 - 80\,x - 80

1{.}099{,}84\,x^2 - 80\,x - 1{.}167{,}27 = 0

Langkah 3: Selesaikan Persamaan Kuadrat

Dengan rumus abc:

x = \frac{80 \pm \sqrt{80^2 + 4 \times 1{.}099{,}84 \times 1{.}167{,}27}}{2 \times 1{.}099{,}84}

Ambil akar positif (karena $i > 0 \Rightarrow x > 1$ ):

x \approx \frac{80 + 2{.}267{,}43}{2{.}199{,}68} \approx 1{,}0672

i = x - 1 \approx 0{,}0672 = 6{,}72\%

Langkah 4: Verifikasi

Dengan $i = 6{,}72\%$ :

BV_4 = 1{.}099{,}84 \times 1{,}0672 - 80 \approx 1{.}093{,}76

BV_5 = 1{.}093{,}76 \times 1{,}0672 - 80 \approx 1{.}087{,}27 \checkmark

Nilai $i \approx 6{,}72\%$ paling mendekati opsi (a) $6{,}7\%$ .

Hasil Akhir: (a). $i \approx 6{,}7\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Kupon dinyatakan sebagai persentase nominal ( $8\%$ ), bukan rate per semester atau kuartalan. Karena semua nilai buku diberikan per tahun, $Fr = 80$ per tahun — tidak ada konversi frekuensi yang diperlukan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mencoba langsung pakai formula $BV_t = C + (Fr - Ci)\,a_{\overline{n-t}|\,i}$ tanpa mengetahui $n$ — soal ini memang tidak memberikan $n$ , sehingga pendekatan rekursi dua langkah adalah satu-satunya jalan.
Salah menyusun rekursi: $BV_5 = BV_3\,(1+i)^2 - 80$ (lupa bahwa kupon dibayar dua kali, bukan satu kali).
Mengabaikan akar negatif dari persamaan kuadrat tanpa justifikasi — ambil yang positif karena syarat $i > 0$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mengira “nilai buku pada akhir tahun ke-3” = nilai buku sebelum pembayaran kupon ke-3, padahal secara konvensi nilai buku dicatat setelah kupon dibayar (flat/clean price pada tanggal kupon).

▲Red Flags›

Jika soal obligasi memberikan dua nilai buku pada dua waktu berbeda tanpa menyebut $n$ (jatuh tempo) → gunakan rekursi $BV_{t+1} = BV_t(1+i) - Fr$ untuk eliminasi unknown $n$ .
Jika $BV > F$ → obligasi premium, berarti $r > i$ ; cek konsistensi jawaban akhir.

No. 25

Misalkan sebuah perusahaan memperkirakan kewajiban sebesar $100.000$ dalam satu tahun, $200.000$ dalam dua tahun, $300.000$ dalam tiga tahun, dan $400.000$ dalam empat tahun. Misalkan juga bahwa mereka ingin mendanai kewajiban tersebut dengan pencocokan yang tepat melalui investasi pada obligasi zero coupon dan obligasi kupon tahunan berikut. Tentukanlah banyak obligasi A yang harus mereka beli, dengan asumsi dapat membeli pecahan obligasi.

Obligasi	Tingkat Hasil Tahunan	Tingkat Kupon Tahunan	Nilai Nominal	Jatuh Tempo (tahun)
A	$4{,}5\%$	zero-coupon	$1.000$	1
B	$5\%$	$6\%$	$1.000$	2
C	$5{,}5\%$	$6\%$	$1.000$	3
D	$6\%$	$6\%$	$1.000$	4

a. $40{,}7$
b. $45{,}6$
c. $52{,}5$
d. $89{,}6$
e. $100$

≡Jawaban No. 25›

(c). $52{,}5$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.5 Immunization
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing, 3.3 Duration (Macaulay and Modified)
Connected Topics	3.4 Convexity
Referensi	Vaaler Bab 9; Kellison Bab 11

ℹRumus›

Dedication (Cash Flow Matching) — Backward Induction:

\text{Total Inflow}_t = \text{Liability}_t \quad \forall t

Diketahui:

Kewajiban: $100.000$ (th 1), $200.000$ (th 2), $300.000$ (th 3), $400.000$ (th 4)
A: Zero-coupon, 1 tahun → bayar $1.000$ di akhir
B, C, D: Kupon $6\%$ ( $60$ /tahun) + $1.000$ di jatuh tempo
Target: $N_A$ (jumlah obligasi A)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tahun 4 — Match dengan Obligasi D

N_D \times 1.060 = 400.000 \implies N_D = 377{,}3585

Langkah 2: Tahun 3 — Match dengan Obligasi C
Kupon dari D: $377{,}3585 \times 60 = 22.641{,}51$

N_C \times 1.060 = 300.000 - 22.641{,}51 = 277.358{,}49

N_C = 261{,}6590

Langkah 3: Tahun 2 — Match dengan Obligasi B
Kupon dari D + C: $(377{,}36 + 261{,}66) \times 60 = 38.341{,}05$

N_B \times 1.060 = 200.000 - 38.341{,}05 = 161.658{,}95

N_B = 152{,}5085

Langkah 4: Tahun 1 — Match dengan Obligasi A
Kupon dari D + C + B: $(377{,}36 + 261{,}66 + 152{,}51) \times 60 = 47.491{,}55$
Sisa kewajiban: $100.000 - 47.491{,}55 = 52.508{,}45$

A adalah zero-coupon → pembaginya $1.000$ (bukan $1.060$ ):

N_A = \frac{52.508{,}45}{1.000} = 52{,}508 \approx 52{,}5

Hasil Akhir: (c). $52{,}5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch — semua kupon dan kewajiban tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menambahkan kupon 6% pada arus kas Obligasi A — A adalah zero-coupon, arus kasnya hanya $1.000$ di jatuh tempo.
Mulai dari tahun 1 (forward) alih-alih tahun 4 (backward) — backward induction wajib agar kupon-kupon dari obligasi jangka panjang terhitung.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Pencocokan yang tepat” berarti exact cash flow matching (dedication), bukan immunization berbasis durasi.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “exact matching” atau “dedication” → gunakan backward induction mulai dari kewajiban terakhir.
Jika ada zero-coupon bond → arus kasnya HANYA nominal di jatuh tempo, tanpa kupon.

No. 26

Seorang investor membeli obligasi bernilai nominal $1.000$ selama 10 tahun yang memberikan kupon semesteran sebesar $7{,}5\%$ dan dihargai untuk menghasilkan $6{,}8\%$ dikonversi semesteran. Obligasi tersebut dapat dipanggil (callable) pada akhir tahun ke-6 dengan nilai pelunasan sebesar X. Hasil (yield) bagi investor tetap $6{,}8\%$ dikonversi semesteran. Tentukan nilai $X$ .

a. $1.009$
b. $1.014$
c. $1.019$
d. $1.024$
e. $1.029$

≡Jawaban No. 26›

(d). $1.024$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 5 — Model Penentuan Harga Obligasi
Sub-topik	5.1 Bond Pricing, 5.3 Yield Rate and Coupon Calculations
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Annuity-Immediate and Annuity-Due
Connected Topics	5.2 Book Value, Premium and Discount Amortization
Referensi	Vaaler Bab 6; Kellison Bab 6

ℹRumus›

P = Fr \cdot a_{\overline{n}|i} + C \cdot v^n

Kunci: Jika yield to maturity = yield to call, maka harga obligasi sama di kedua skenario.

Diketahui:

$F = 1.000$ , kupon semesteran: $Fr = 1.000 \times 7{,}5\%/2 = 37{,}5$
Yield semesteran: $i = 6{,}8\%/2 = 3{,}4\%$
Maturity: $n_{mat} = 20$ semester, Call: $n_{call} = 12$ semester
Yield to maturity = Yield to call → $P_{mat} = P_{call}$
Target: $X$ (call price)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga (sampai Maturity, $n=20$ )

v^{20} = (1{,}034)^{-20} = 0{,}51246

a_{\overline{20}|3{,}4\%} = \frac{1 - 0{,}51246}{0{,}034} = 14{,}3394

P = 37{,}5(14{,}3394) + 1.000(0{,}51246) = 537{,}73 + 512{,}46 = 1.050{,}19

Langkah 2: Cari $X$ (Call di $n=12$ )

v^{12} = (1{,}034)^{-12} = 0{,}66987

a_{\overline{12}|3{,}4\%} = \frac{1 - 0{,}66987}{0{,}034} = 9{,}7097

1.050{,}19 = 37{,}5(9{,}7097) + X(0{,}66987)

1.050{,}19 = 364{,}11 + 0{,}66987X

0{,}66987X = 686{,}08

X = 1.024{,}19

Hasil Akhir: (d). $1.024$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Lupa konversi tahunan ke semesteran: $n \times 2$ dan $i/2$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengasumsikan call price = par value ( $1.000$ ) — soal meminta mencari $X$ yang bisa berbeda dari par.
Menggunakan yield berbeda untuk maturity dan call — soal bilang yield tetap $6{,}8\%$ di kedua skenario.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Yield tetap 6,8%” berarti harga beli obligasi sama, baik dipanggil maupun tidak → gunakan $P_{mat} = P_{call}$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “callable” dengan yield sama → hitung harga di skenario maturity, lalu gunakan harga tersebut untuk cari call price.

No. 27

Berikut adalah kurva hasil 4 tahun dengan satu nilai yang hilang

Jangka waktu jatuh tempo	1	2	3	4
Hasil Obligasi Nilai Kupon	$3\%$	$4\%$	-	$5\%$

Tingkat yang benar secara teori untuk swap tingkat bunga tetap 4 tahun adalah $4{,}94\%$ . Tentukan rentang untuk spot rate yang hilang pada tabel di atas.

a. $4{,}0\%-4{,}15\%$
b. $4{,}16\%-4{,}3\%$
c. $4{,}31\%-4{,}45\%$
d. $4{,}46\%-4{,}6\%$
e. $4{,}61\%-4{,}75\%$

≡Jawaban No. 27›

(e). $4{,}61\%-4{,}75\%$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 3 — Struktur Jangka Waktu Suku Bunga
Sub-topik	3.1 Spot Rates and Forward Rates, 3.2 Yield Curve
Difficulty	Hard
Prerequisite	5.1 Bond Pricing
Connected Topics	3.5 Immunization
Referensi	Vaaler Bab 8.3; Kellison Bab 10

ℹRumus›

Swap Rate ( $R$ ) dan Discount Factors ( $P_t$ ):

R = \frac{1 - P_n}{\sum_{t=1}^{n} P_t}

Di mana $P_t = (1+s_t)^{-t}$ (harga zero-coupon bond).

Diketahui:

$s_1 = 3\%$ , $s_2 = 4\%$ , $s_4 = 5\%$ , $s_3 = ?$
Swap Rate 4 tahun: $R = 4{,}94\%$
Target: Rentang $s_3$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Discount Factors yang Diketahui

$P_1 = (1{,}03)^{-1} = 0{,}970874$
$P_2 = (1{,}04)^{-2} = 0{,}924556$
$P_4 = (1{,}05)^{-4} = 0{,}822702$

Langkah 2: Substitusi ke Persamaan Swap Rate

0{,}0494 = \frac{1 - 0{,}822702}{0{,}970874 + 0{,}924556 + P_3 + 0{,}822702}

0{,}0494 = \frac{0{,}177298}{2{,}718132 + P_3}

Langkah 3: Isolasi $P_3$

2{,}718132 + P_3 = \frac{0{,}177298}{0{,}0494} = 3{,}589028

P_3 = 0{,}870896

Langkah 4: Konversi ke Spot Rate

(1+s_3)^{-3} = 0{,}870896

1+s_3 = (0{,}870896)^{-1/3} = 1{,}04716

s_3 = 4{,}716\%

Berada dalam rentang 4,61%–4,75%.

Hasil Akhir: (e). $4{,}61\%-4{,}75\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak ada frequency mismatch — semua dalam tahunan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengasumsikan swap rate = rata-rata aritmetika spot rates — swap rate dihitung dari discount factors, bukan rata-rata sederhana.
Menghitung $s_3$ tanpa memperhitungkan $P_3$ di penyebut persamaan swap.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Tabel berisi spot rates, bukan par yields — jangan keliru menggunakan metode bootstrap untuk par yields.

▲Red Flags›

Jika soal memberikan swap rate dan spot rates → gunakan persamaan swap rate untuk cari yang tidak diketahui.

No. 28

Filbert membeli indeks S&R dan opsi put dengan strike $K$ . Desca meminjam 1.014,80 dan membeli opsi call dengan strike $K$ . $r=0,04$ dan $T=0,25$ untuk put, call, dan pinjaman. Indeks tersebut tidak membayar dividen. Filbert dan Desca memiliki fungsi payoff yang sama. Tentukan nilai dari $K$ .

a. $1.000$
b. $1.012$
c. $1.018$
d. $1.020$
e. $1.025$

≡Jawaban No. 28›

(e). $1.025$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.1 Options – Call and Put
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.2 Forwards and Futures
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 2–3

ℹRumus›

Put-Call Parity:

S_0 + P = C + Ke^{-rT}

Di sini $r$ adalah risk-free rate yang dicompound secara kontinu (bukan coupon rate).

Diketahui:

Filbert: Protective Put = $S_0 + P$
Desca: Fiduciary Call = $C + Ke^{-rT}$
$Ke^{-rT} = 1.014{,}80$ (jumlah yang dipinjam Desca)
$r = 0{,}04$ , $T = 0{,}25$
Target: $K$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi dari Put-Call Parity
Karena payoff sama: $S_0 + P = C + Ke^{-rT}$
Komponen kas Desca = $Ke^{-rT} = 1.014{,}80$

Langkah 2: Cari $K$

K = 1.014{,}80 \times e^{rT} = 1.014{,}80 \times e^{0{,}04 \times 0{,}25}

K = 1.014{,}80 \times e^{0{,}01} = 1.014{,}80 \times 1{,}01005

K = 1.025{,}00

Hasil Akhir: (e). $1.025$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

$T = 0{,}25$ tahun (3 bulan), bukan 0,25 bulan.

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan simple interest $(1 + rT)$ alih-alih continuous compounding ( $e^{rT}$ ) — opsi standar menggunakan continuous compounding.
Mengira “meminjam” berarti kewajiban negatif — di sini “meminjam $Ke^{-rT}$ ” berarti Desca memegang kas senilai PV dari $K$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Fungsi payoff yang sama” = put-call parity berlaku → identifikasi komponen masing-masing strategi.

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “protective put” vs “fiduciary call” dengan payoff sama → langsung gunakan put-call parity.
Di konteks derivatives, $r$ adalah risk-free rate continuous, bukan coupon rate.

No. 29

Indeks S&R yang tidak membayar dividen saat ini bernilai 1.350. Tingkat bebas risiko adalah $r=0,04$ . Anda ditawari kontrak forward enam bulan pada indeks tersebut dengan harga forward untuk pembelian dalam enam bulan dikutip sebesar 1.410. Manakah dari pernyataan berikut yang berlaku jika Anda memasuki kontrak forward ini?

a. Anda harus menerima 32,73.
b. Anda harus membayar 32,73.
c. Anda harus menerima 32,08.
d. Anda harus membayar 32,08.
e. Anda tidak membayar atau menerima apa pun.

≡Jawaban No. 29›

(c). Anda harus menerima $32{,}08$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 6 — Produk Derivatif
Sub-topik	6.2 Forwards and Futures
Difficulty	Medium
Prerequisite	6.1 Options – Call and Put
Connected Topics	6.3 Option Strategies
Referensi	McDonald Bab 5

ℹRumus›

Value of Long Forward (at inception):

V_{long} = S_0 - Ke^{-rT}

Di mana $K$ = delivery price (harga forward yang dikutip), $r$ = risk-free rate (kontinu), $T$ = waktu sampai maturity.

Diketahui:

$S_0 = 1.350$ , $K = 1.410$
$r = 0{,}04$ , $T = 0{,}5$
Tanpa dividen
Target: Nilai kontrak bagi long position

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Harga Forward Wajar (opsional)

F_0 = S_0 \cdot e^{rT} = 1.350 \times e^{0{,}02} \approx 1.377{,}27

Harga pasar ( $1.410$ ) lebih mahal dari harga wajar → kontrak merugikan bagi pembeli (long).

Langkah 2: Hitung Nilai Kontrak

V_{long} = 1.350 - 1.410 \times e^{-0{,}02}

= 1.350 - 1.410 \times 0{,}980199

= 1.350 - 1.382{,}08 = -32{,}08

Langkah 3: Interpretasi
$V_{long} = -32{,}08$ (negatif) berarti kontrak ini adalah liabilitas bagi pembeli. Agar Anda mau masuk, lawan transaksi harus membayar Anda $32{,}08$ di muka.

Hasil Akhir: (c). Anda harus menerima $32{,}08$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

$T = 0{,}5$ tahun (6 bulan), $rT = 0{,}02$ .

⬡Kesalahan Konseptual›

Memilih opsi (a) $32{,}73$ — itu adalah future value dari kerugian ( $32{,}08 \times e^{0{,}02}$ ). Nilai kontrak harus dalam present value.
Menjawab “membayar” alih-alih “menerima”: nilai negatif bagi long berarti long harus dikompensasi.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Jika Anda memasuki kontrak” = berapa yang harus dibayar/diterima pada $t=0$ agar fair (off-market forward).

▲Red Flags›

Jika $K > F_0$ (harga forward dikutip > harga wajar) → long position rugi → long harus menerima kompensasi.
Selalu gunakan present value, bukan future value, untuk nilai kontrak di $t=0$ .

No. 30

Amel ingin membuat portofolio dengan risiko yang sama dengan pasar, dan dia memiliki dana sebesar $1.000.000$ untuk diinvestasikan. Berdasarkan informasi ini, berikut adalah data yang diketahui:

Investasi saham A: $195.000$ dengan beta $0{,}80$
Investasi saham B: $340.000$ dengan beta $1{,}2$
Beta saham C: $1{,}4$
Investasi pada aset bebas risiko belum diketahui

Tentukan besar aset bebas risiko. (Pilihlah jawaban dalam bilangan bulat terdekat!)

a. $151.500$
b. $152.000$
c. $152.500$
d. $153.000$
e. $153.500$

≡Jawaban No. 30›

(e). $153.500$

Field	Isi
Topik CF1	Topik 7 — Matematika Keuangan untuk Portofolio
Sub-topik	7.1 CAPM and Factor Models
Difficulty	Medium
Prerequisite	7.2 Mean-Variance Portfolio Theory
Connected Topics	7.1 CAPM and Factor Models
Referensi	Ross Bab 12–13

ℹRumus›

Dollar Beta Portfolio:

W_{total} \cdot \beta_P = \sum_i W_i \cdot \beta_i

Aset bebas risiko memiliki $\beta_{rf} = 0$ .

Diketahui:

Total dana: $1.000.000$
Target: $\beta_P = 1{,}0$ (sama dengan pasar)
$W_A = 195.000$ ( $\beta_A = 0{,}8$ ), $W_B = 340.000$ ( $\beta_B = 1{,}2$ )
$\beta_C = 1{,}4$ , $\beta_{rf} = 0$
Target: $W_{rf}$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung Target Dollar Beta

1.000.000 \times 1{,}0 = 1.000.000

Langkah 2: Hitung Dollar Beta A dan B

A: $195.000 \times 0{,}8 = 156.000$
B: $340.000 \times 1{,}2 = 408.000$
Subtotal: $564.000$

Langkah 3: Cari Investasi Saham C
Kekurangan dollar beta: $1.000.000 - 564.000 = 436.000$

W_C \times 1{,}4 = 436.000

W_C = 311.428{,}57

Langkah 4: Hitung Sisa (Aset Bebas Risiko)

W_{rf} = 1.000.000 - (195.000 + 340.000 + 311.428{,}57)

W_{rf} = 1.000.000 - 846.428{,}57 = 153.571{,}43

Dibulatkan ke opsi terdekat: $153.500$ .

Hasil Akhir: (e). $153.500$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Unit Waktu›

Tidak relevan untuk soal portofolio ini.

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\beta_{rf} \neq 0$ — aset bebas risiko selalu memiliki $\beta = 0$ .
Menghitung $W_{rf}$ sebelum $W_C$ — harus cari $W_C$ dulu karena ikut menentukan sisa dana.
Menggunakan weight (proporsi) alih-alih dollar amount — soal meminta dalam nominal uang.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Risiko yang sama dengan pasar” berarti $\beta_P = 1{,}0$ , bukan $\sigma_P = \sigma_M$ .

▲Red Flags›

Jika soal menyebut “risiko sama dengan pasar” → $\beta_P = 1$ . Jika “tanpa risiko” → $\beta = 0$ .