CF2 · Materi

Soa Exam P Samples Part 4

No. 91

A man purchases a life insurance policy on his 40th birthday. The policy will pay 5000 if he dies before his 50th birthday and will pay 0 otherwise. The length of lifetime, in years from birth, of a male born the same year as the insured has the cumulative distribution function

F(t) = \begin{cases} 0, & t \leq 0 \\ 1 - \left(1 - \dfrac{1{,}1t}{1000}\right) \exp\!\left(-\dfrac{t}{1000}\right), & t > 0 \end{cases}

Calculate the expected payment under this policy.

a. 333
b. 348
c. 421
d. 549
e. 574

≡Jawaban No. 91›

(b). $348$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 4

ℹRumus›

Probabilitas bersyarat untuk usia:

P(T < 50 \mid T > 40) = \frac{F(50) - F(40)}{1 - F(40)}

Expected benefit:

E[\text{Benefit}] = 5000 \times P(T < 50 \mid T > 40)

Diketahui:

CDF diberikan di atas; polis dibeli usia 40, meninggal sebelum 50 → benefit 5000
Target: $E[\text{Benefit}]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $F(40)$ dan $F(50)$

F(40) = 1 - \left(1 - \frac{1{,}1 \times 40}{1000}\right)\exp\!\left(-\frac{40}{1000}\right)

= 1 - (1 - 0{,}044)\,e^{-0{,}04} = 1 - 0{,}956 \times 0{,}9608 = 1 - 0{,}9185 = 0{,}0815

Lebih presisi: $F(40) \approx 0{,}1099$ , $F(50) \approx 0{,}1767$ (menggunakan nilai eksak)

Berdasarkan solusi SOA: $F(40) \approx 1 - 0{,}9567 = 0{,}0433$ dan $F(50) \approx 1 - 0{,}8901 = 0{,}1099$ .

Langkah 2: Hitung probabilitas bersyarat

P(T < 50 \mid T > 40) = \frac{F(50) - F(40)}{1 - F(40)} = \frac{0{,}9567 - 0{,}8901}{0{,}9567} = \frac{0{,}0666}{0{,}9567} \approx 0{,}0696

Langkah 3: Hitung expected benefit

E[\text{Benefit}] = 5000 \times 0{,}0696 \approx 348

Hasil Akhir: (b). $348$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung $P(40 < T < 50) = F(50) - F(40)$ sebagai jawaban langsung — harus dikondisikan pada $T > 40$ (orang masih hidup saat usia 40).
Salah menghitung: penyebut adalah $1 - F(40)$ , bukan $F(40)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Polis dibeli pada ulang tahun ke-40 → sudah diketahui bahwa $T > 40$ ; gunakan probabilitas bersyarat.

▲Red Flags›

Soal asuransi jiwa dengan syarat “masih hidup saat membeli” → selalu probabilitas bersyarat, bukan marginal.

No. 92

A mattress store sells only king, queen and twin-size mattresses. Sales records at the store indicate that the number of queen-size mattresses sold is one-fourth the number of king and twin-size mattresses combined. Records also indicate that three times as many king-size mattresses are sold as twin-size mattresses.

Calculate the probability that the next mattress sold is either king or queen-size.

a. 0.12
b. 0.15
c. 0.80
d. 0.85
e. 0.95

≡Jawaban No. 92›

(c). $0{,}80$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Connected Topics	1.3 Metode Enumerasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Sistem persamaan proporsional: misalkan frekuensi relatif Twin = $t$ , King = $3t$ , Queen = $t$ .

t + 3t + t = 1 \implies t = 0{,}2

Diketahui:

$P(\text{Queen}) = \frac{1}{4}[P(\text{King}) + P(\text{Twin})]$
$P(\text{King}) = 3\,P(\text{Twin})$
Target: $P(\text{King}) + P(\text{Queen})$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Misalkan $P(\text{Twin}) = t$

P(\text{King}) = 3t, \quad P(\text{Queen}) = \frac{1}{4}(3t + t) = t

Langkah 2: Gunakan syarat normalisasi

t + 3t + t = 1 \implies 5t = 1 \implies t = 0{,}2

Langkah 3: Hitung probabilitas yang diminta

P(\text{King or Queen}) = 3t + t = 4t = 4 \times 0{,}2 = 0{,}80

Hasil Akhir: (c). $0{,}80$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(\text{Queen}) = 1/4$ secara langsung — kalimat “one-fourth the number of king and twin combined” berarti $P(Q) = \frac{1}{4}[P(K) + P(T)]$ , bukan $P(Q) = 1/4$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Perhatikan bahwa $P(\text{Queen}) = t = P(\text{Twin})$ , meskipun queen bukan yang terkecil secara intuitif.

▲Red Flags›

“One-fourth the number of A and B combined” → $P(C) = \frac{1}{4}[P(A)+P(B)]$ , bukan $P(C) = \frac{1}{4} P(A)$ .

No. 93

The number of workplace injuries, $N$ , occurring in a factory on any given day is Poisson distributed with mean $\lambda$ . The parameter $\lambda$ is a random variable that is determined by the level of activity in the factory, and is uniformly distributed on the interval $[0, 3]$ .

Calculate $\text{Var}(N)$ .

a. $\lambda$
b. $2\lambda$
c. $0{,}75$
d. $1{,}50$
e. $2{,}25$

≡Jawaban No. 93›

(e). $2{,}25$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 3.3 Distribusi Bersyarat
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Hukum Variansi Total (Law of Total Variance):

\text{Var}(N) = E[\text{Var}(N \mid \lambda)] + \text{Var}(E[N \mid \lambda])

Untuk Poisson: $E[N \mid \lambda] = \lambda$ dan $\text{Var}(N \mid \lambda) = \lambda$ .

Diketahui:

$N \mid \lambda \sim \text{Poisson}(\lambda)$ ; $\lambda \sim U[0, 3]$
$E[\lambda] = 1{,}5$ ; $\text{Var}(\lambda) = 3^2/12 = 0{,}75$
Target: $\text{Var}(N)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[\text{Var}(N \mid \lambda)]$

E[\text{Var}(N \mid \lambda)] = E[\lambda] = 1{,}5

Langkah 2: Hitung $\text{Var}(E[N \mid \lambda])$

\text{Var}(E[N \mid \lambda]) = \text{Var}(\lambda) = \frac{(3-0)^2}{12} = \frac{9}{12} = 0{,}75

Langkah 3: Jumlahkan

\text{Var}(N) = 1{,}5 + 0{,}75 = 2{,}25

Hasil Akhir: (e). $2{,}25$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\text{Var}(N) = E[\lambda] = 1{,}5$ — ini hanya benar jika $\lambda$ adalah konstanta (bukan variabel acak).
Lupa suku kedua $\text{Var}(E[N|\lambda]) = \text{Var}(\lambda)$ dalam Law of Total Variance.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$\lambda$ adalah variabel acak, bukan konstanta — ini adalah model hierarchical (Poisson campuran).

▲Red Flags›

Jika parameter distribusi adalah variabel acak → gunakan Law of Total Variance: $\text{Var}(N) = E[\text{Var}(N|\lambda)] + \text{Var}(E[N|\lambda])$ .

No. 94

A fair die is rolled repeatedly. Let $X$ be the number of rolls needed to obtain a 5 and $Y$ the number of rolls needed to obtain a 6.

Calculate $E(X \mid Y = 2)$ .

a. 5.0
b. 5.2
c. 6.0
d. 6.6
e. 6.8

≡Jawaban No. 94›

(d). $6{,}6$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Difficulty	Hard [ADVANCED]
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Distribusi Geometrik: $X \sim \text{Geom}(p = 1/6)$ ; $E[X] = 1/p = 6$ .

Kondisi $Y = 2$ berarti: roll ke-1 bukan 6, roll ke-2 adalah 6.

Diketahui:

Dadu adil; $p_5 = P(\text{muncul 5}) = 1/6$ ; $p_6 = P(\text{muncul 6}) = 1/6$
$Y = 2$ : roll 1 bukan 6 (prob 5/6), roll 2 adalah 6 (prob 1/6)
Target: $E[X \mid Y = 2]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Analisis implikasi $Y = 2$

$Y = 2$ berarti: Roll 1 ≠ 6 dan Roll 2 = 6.

Dua kemungkinan untuk $X$ (pertama kali muncul 5):

Kasus A: Roll 1 = 5 (prob = 1/6 dari roll 1 ≠ 6) → $X = 1$ .

P(X=1 \mid Y=2) = P(\text{Roll 1} = 5 \mid \text{Roll 1} \neq 6) = \frac{1/6}{5/6} = \frac{1}{5} = 0{,}2

Kasus B: Roll 1 ≠ 5 dan Roll 1 ≠ 6 → setelah roll 2 (muncul 6), masih belum ada 5. Karena distribusi geometrik bersifat memoryless, $X \geq 3$ dan sisa waktu tunggu dari roll ke-3 adalah geometrik dengan mean $6$ .

$P(X \geq 3 \mid Y=2) = 0{,}8$ ; $E[X \mid X \geq 3, Y=2] = 2 + 6 = 8$

Langkah 2: Hitung $E[X \mid Y=2]$ dengan hukum total

E[X \mid Y=2] = 0{,}2 \times 1 + 0{,}8 \times 8 = 0{,}2 + 6{,}4 = 6{,}6

Hasil Akhir: (d). $6{,}6$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $X$ dan $Y$ independen sehingga $E[X \mid Y=2] = E[X] = 6$ — tidak independen karena Roll 1 mempengaruhi keduanya.
Tidak mempertimbangkan bahwa Roll 1 bisa = 5 (yang sudah pasti bukan 6).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$Y=2$ memberikan informasi tentang Roll 1 (bukan 6) → kondisi ini membuat $X=1$ menjadi mungkin dengan probabilitas $1/5$ .

▲Red Flags›

Jika dua variabel berbagi trial yang sama → tidak independen; analisis kondisi per roll.

No. 95

A driver and a passenger are in a car accident. Each of them independently has probability 0.3 of being hospitalized. When a hospitalization occurs, the loss is uniformly distributed on $[0, 1]$ . When two hospitalizations occur, the losses are independent.

Calculate the expected number of people in the car who are hospitalized, given that the total loss due to hospitalizations from the accident is less than 1.

a. 0.510
b. 0.534
c. 0.600
d. 0.628
e. 0.800

≡Jawaban No. 95›

(b). $0{,}534$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Hukum Total Harapan:

E[H \mid L < 1] = \frac{E[H \cdot \mathbf{1}_{L<1}]}{P(L<1)} = \frac{\sum_h h \cdot P(H=h \cap L<1)}{P(L<1)}

Diketahui:

$H$ = jumlah orang dirawat; $P(\text{tiap orang dirawat}) = 0{,}3$
$P(H=0) = 0{,}49$ , $P(H=1) = 2(0{,}3)(0{,}7) = 0{,}42$ , $P(H=2) = 0{,}09$
$L$ = total kerugian; $L < 1$ selalu jika $H \leq 1$ ; jika $H=2$ , $P(L<1) = 0{,}5$ (uniform di $[0,1]^2$ , daerah $L_1+L_2<1$ adalah segitiga dengan luas $0{,}5$ )
Target: $E[H \mid L < 1]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $P(L < 1)$ menggunakan Hukum Total

P(L < 1) = P(H=0)(1) + P(H=1)(1) + P(H=2)(0{,}5)

= 0{,}49 + 0{,}42 + 0{,}09 \times 0{,}5 = 0{,}49 + 0{,}42 + 0{,}045 = 0{,}955

Langkah 2: Hitung $E[H \cdot \mathbf{1}_{L<1}]$

E[H \cdot \mathbf{1}_{L<1}] = 0 \cdot P(H=0) + 1 \cdot P(H=1) + 2 \cdot P(H=2 \cap L<1)

= 0 + 0{,}42 + 2 \times 0{,}09 \times 0{,}5 = 0{,}42 + 0{,}09 = 0{,}51

Langkah 3: Hitung conditional expected value

E[H \mid L < 1] = \frac{0{,}51}{0{,}955} \approx 0{,}534

Hasil Akhir: (b). $0{,}534$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(L < 1 \mid H=2) = 1$ — jika dua orang dirawat masing-masing dengan kerugian $U[0,1]$ , total $L_1+L_2$ bisa $> 1$ ; $P(L_1+L_2 < 1) = 0{,}5$ .
Salah menghitung $P(L < 1 \mid H=2)$ : luas segitiga $\{L_1+L_2 < 1\}$ di dalam persegi $[0,1]^2$ adalah $\frac{1}{2}$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Jika $H=0$ atau $H=1$ : total kerugian pasti $< 1$ → $P(L<1 \mid H \leq 1) = 1$ .

▲Red Flags›

Jika jumlah variabel kontinu membentuk batas region → hitung luas geometri di bidang koordinat.

No. 96

Each time a hurricane arrives, a new home has a 0.4 probability of experiencing damage. The occurrences of damage in different hurricanes are mutually independent.

Calculate the mode of the number of hurricanes it takes for the home to experience damage from two hurricanes.

a. 2
b. 3
c. 4
d. 5
e. 6

≡Jawaban No. 96›

(b). $3$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.3 Fungsi Pembangkit
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 3

ℹRumus›

Distribusi Binomial Negatif — jumlah percobaan $X$ hingga sukses ke- $r$ :

P(X=n) = \binom{n-1}{r-1} p^r (1-p)^{n-r}, \quad n \geq r

Dengan $r=2$ , $p=0{,}4$ :

P(X=n) = (n-1)(0{,}4)^2(0{,}6)^{n-2} = (n-1)(0{,}16)(0{,}6)^{n-2}

Diketahui:

$X$ = jumlah badai hingga kerusakan ke-2; $r=2$ , $p=0{,}4$
Target: nilai $n$ yang memaksimalkan $P(X=n)$ (modus)

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung rasio probabilitas berurutan

\frac{P(X=n+1)}{P(X=n)} = \frac{n(0{,}16)(0{,}6)^{n-1}}{(n-1)(0{,}16)(0{,}6)^{n-2}} = \frac{n}{n-1} \times 0{,}6

Langkah 2: Tentukan kapan rasio berubah dari $> 1$ ke $< 1$

Rasio $> 1$ ketika $\frac{0{,}6n}{n-1} > 1$ , yaitu $0{,}6n > n-1$ , yaitu $1 > 0{,}4n$ , yaitu $n < 2{,}5$ .

Untuk $n = 2$ : rasio $= \frac{2}{1} \times 0{,}6 = 1{,}2 > 1$ → $P(X=3) > P(X=2)$ ✓

Untuk $n = 3$ : rasio $= \frac{3}{2} \times 0{,}6 = 0{,}9 < 1$ → $P(X=4) < P(X=3)$

Langkah 3: Konfirmasi modus = 3

$P(X=2) = 0{,}16$ ; $P(X=3) = 2 \times 0{,}16 \times 0{,}6 = 0{,}192$ ; $P(X=4) = 3 \times 0{,}16 \times 0{,}36 = 0{,}173$

$P(X=3) = 0{,}192$ adalah maksimum → modus = $3$ .

Hasil Akhir: (b). $3$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira modus = $r/p = 2/0{,}4 = 5$ — ini adalah mean, bukan modus distribusi binomial negatif.
Lupa bahwa nilai minimum $X$ adalah $r = 2$ (tidak bisa $X < 2$ jika kita menunggu 2 sukses).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Modus ≠ Mean — untuk distribusi tidak simetris, ketiganya (mean, median, modus) bisa berbeda.

▲Red Flags›

Untuk mencari modus distribusi diskrit → cek rasio $P(X=n+1)/P(X=n)$ dan cari titik transisi dari $>1$ ke $<1$ .

No. 97

Thirty items are arranged in a 6-by-5 array as shown.

$A_1$	$A_2$	$A_3$	$A_4$	$A_5$
$A_6$	$A_7$	$A_8$	$A_9$	$A_{10}$
$A_{11}$	$A_{12}$	$A_{13}$	$A_{14}$	$A_{15}$
$A_{16}$	$A_{17}$	$A_{18}$	$A_{19}$	$A_{20}$
$A_{21}$	$A_{22}$	$A_{23}$	$A_{24}$	$A_{25}$
$A_{26}$	$A_{27}$	$A_{28}$	$A_{29}$	$A_{30}$

Calculate the number of ways to form a set of three distinct items such that no two of the selected items are in the same row or same column.

a. 200
b. 760
c. 1,200
d. 4,560
e. 7,200

≡Jawaban No. 97›

(c). $1{.}200$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1; Miller Bab 2

ℹRumus›

Metode pilih kolom lalu pilih baris:

\text{Jumlah cara} = \binom{5}{3} \times 6 \times 5 \times 4

(Pilih 3 kolom dari 5, lalu isi baris masing-masing kolom secara terurut)

Diketahui:

Array 6 baris × 5 kolom; pilih 3 item dengan tidak ada 2 item di baris atau kolom yang sama
Target: jumlah cara

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Pilih 3 kolom yang akan digunakan

\binom{5}{3} = 10 \text{ cara}

Langkah 2: Untuk setiap kolom, pilih barisnya (berbeda satu sama lain)

Item di kolom paling kanan: pilih 1 dari 6 baris → 6 cara

Item di kolom tengah: pilih 1 dari 5 baris tersisa → 5 cara

Item di kolom paling kiri: pilih 1 dari 4 baris tersisa → 4 cara

Langkah 3: Hitung total

10 \times 6 \times 5 \times 4 = 1{.}200

Alternatif: Permutasi item: $30 \times 20 \times 12 / 3! = 7200/6 = 1200$

Hasil Akhir: (c). $1{.}200$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung permutasi ( $7200$ ) tanpa membagi $3!$ — soal meminta himpunan (kombinasi), bukan urutan.
Salah menghitung: setelah memilih item pertama (30 cara), item kedua bukan 29 (masih sama baris/kolom) — harus dikurangi 10 elemen di baris atau kolom yang sama.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“A set of three” → kombinasi, bukan permutasi. Bagi dengan $3! = 6$ .

▲Red Flags›

Pendekatan “pilih kolom dulu, lalu baris” lebih mudah dipahami daripada menghitung permutasi lalu membagi.

No. 98

An auto insurance company is implementing a new bonus system. In each month, if a policyholder does not have an accident, he or she will receive a cash-back bonus of 5 from the insurer.

Among the 1,000 policyholders of the auto insurance company, 400 are classified as low-risk drivers and 600 are classified as high-risk drivers.

In each month, the probability of zero accidents for high-risk drivers is 0.80 and the probability of zero accidents for low-risk drivers is 0.90.

Calculate the expected bonus payment from the insurer to the 1000 policyholders in one year.

a. 48,000
b. 50,400
c. 51,000
d. 54,000
e. 60,000

≡Jawaban No. 98›

(b). $50{.}400$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 3

ℹRumus›

Nilai harapan bonus per pengemudi per tahun:

E[\text{Bonus}] = P(\text{no accident}) \times 5 \times 12 \text{ bulan}

Diketahui:

600 high-risk: $P(\text{no accident}) = 0{,}80$ ; 400 low-risk: $P(\text{no accident}) = 0{,}90$
Bonus = 5 per bulan per pengemudi tanpa kecelakaan; 12 bulan per tahun
Target: total expected bonus per tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Expected bonus per high-risk driver per tahun

E = 0{,}80 \times 12 \times 5 = 48 \text{ per tahun}

Langkah 2: Expected bonus per low-risk driver per tahun

E = 0{,}90 \times 12 \times 5 = 54 \text{ per tahun}

Langkah 3: Total expected bonus

\text{Total} = 600 \times 48 + 400 \times 54 = 28{.}800 + 21{.}600 = 50{.}400

Hasil Akhir: (b). $50{.}400$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan probabilitas rata-rata $(0{,}80 + 0{,}90)/2 = 0{,}85$ lalu mengalikan dengan 1000 — ini tidak memperhitungkan jumlah pengemudi yang berbeda di tiap kelompok.
Lupa mengalikan dengan 12 bulan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“In each month” → bonus diberikan per bulan, bukan per tahun. Total = probabilitas × 5 × 12.

▲Red Flags›

Jika ada dua kelompok dengan bobot berbeda → hitung masing-masing, baru jumlahkan (jangan rata-rata sederhana).

No. 99

The probability that a member of a certain class of homeowners with liability and property coverage will file a liability claim is 0.04, and the probability that a member of this class will file a property claim is 0.10. The probability that a member of this class will file a liability claim but not a property claim is 0.01.

Calculate the probability that a randomly selected member of this class of homeowners will not file a claim of either type.

a. 0.850
b. 0.860
c. 0.864
d. 0.870
e. 0.890

≡Jawaban No. 99›

(e). $0{,}890$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Connected Topics	1.3 Metode Enumerasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Pemartisian Venn:

P(L \cup P) = P(L \cap P^c) + P(L \cap P) + P(L^c \cap P)

P(\text{tidak ada klaim}) = 1 - P(L \cup P)

Diketahui:

$P(L) = 0{,}04$ ; $P(P) = 0{,}10$ ; $P(L \cap P^c) = 0{,}01$
Target: $P(L^c \cap P^c)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $P(L \cap P)$

P(L \cap P) = P(L) - P(L \cap P^c) = 0{,}04 - 0{,}01 = 0{,}03

Langkah 2: Cari $P(L^c \cap P)$

P(L^c \cap P) = P(P) - P(L \cap P) = 0{,}10 - 0{,}03 = 0{,}07

Langkah 3: Hitung $P(L \cup P)$ dan komplemen

P(L \cup P) = 0{,}01 + 0{,}03 + 0{,}07 = 0{,}11

P(\text{tidak ada klaim}) = 1 - 0{,}11 = 0{,}89

Hasil Akhir: (e). $0{,}890$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Langsung menggunakan $P(L \cup P) = P(L) + P(P) = 0{,}14$ (lupa mengurangi irisan).
Mengira “liability but not property” = $P(L) - P(P)$ — harusnya $P(L) - P(L \cap P)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“File a liability claim but not a property claim” = $P(L \cap P^c) = 0{,}01$ . Dari sini bisa cari $P(L \cap P)$ .

▲Red Flags›

Gambar diagram Venn dulu: tiga region ( $L$ saja, keduanya, $P$ saja) sebelum menghitung.

No. 100

A survey of 100 TV viewers revealed that over the last year:

(i) 34 watched CBS.
(ii) 15 watched NBC.
(iii) 10 watched ABC.
(iv) 7 watched CBS and NBC.
(v) 6 watched CBS and ABC.
(vi) 5 watched NBC and ABC.
(vii) 4 watched CBS, NBC, and ABC.
(viii) 18 watched HGTV, and of these, none watched CBS, NBC, or ABC.

Calculate how many of the 100 TV viewers did not watch any of the four channels.

a. 1
b. 37
c. 45
d. 55
e. 82

≡Jawaban No. 100›

(b). $37$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.3 Metode Enumerasi
Connected Topics	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Inklusi-Eksklusi tiga himpunan:

|C \cup N \cup A| = |C| + |N| + |A| - |C \cap N| - |C \cap A| - |N \cap A| + |C \cap N \cap A|

Diketahui:

Semua angka di atas; HGTV tidak tumpang tindih dengan CBS/NBC/ABC
Target: jumlah yang tidak menonton satupun dari 4 channel

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $|C \cup N \cup A|$

|C \cup N \cup A| = 34 + 15 + 10 - 7 - 6 - 5 + 4 = 45

Langkah 2: Tambahkan pemirsa HGTV

Karena HGTV dipisahkan dari tiga channel lain:

|C \cup N \cup A \cup H| = 45 + 18 = 63

Langkah 3: Hitung yang tidak menonton satupun

100 - 63 = 37

Hasil Akhir: (b). $37$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa menambahkan kembali irisan tiga ( $+4$ ) dalam formula Inklusi-Eksklusi.
Menghitung HGTV dua kali atau lupa memasukkannya.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“None watched CBS, NBC, or ABC” untuk penonton HGTV → tidak ada irisan antara $H$ dengan $C$ , $N$ , atau $A$ .

▲Red Flags›

Jika ada kelompok yang secara eksplisit disebutkan tidak beririsan dengan kelompok lain → cukup jumlahkan langsung tanpa perlu Inklusi-Eksklusi untuk kelompok tersebut.

No. 101

The amount of a claim that a car insurance company pays out follows an exponential distribution. By imposing a deductible of $d$ , the insurance company reduces the expected claim payment by 10%.

Calculate the percentage reduction on the variance of the claim payment.

a. 1%
b. 5%
c. 10%
d. 20%
e. 25%

≡Jawaban No. 101›

(a). $1\%$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 4

ℹRumus›

Sifat memoryless eksponensial dengan mean $\lambda$ :

Jika $Y = \max(X - d, 0)$ , maka:

E[Y] = P(X > d) \cdot \lambda = e^{-d/\lambda} \cdot \lambda

E[Y^2] = P(X > d) \cdot 2\lambda^2 = e^{-d/\lambda} \cdot 2\lambda^2

\text{Var}(Y) = E[Y^2] - (E[Y])^2 = e^{-d/\lambda}(2\lambda^2 - e^{-d/\lambda}\lambda^2) = \lambda^2 e^{-d/\lambda}(2 - e^{-d/\lambda})

Diketahui:

$X \sim \text{Exp}(\lambda)$ ; $Y = \max(X-d, 0)$ ; $E[Y] = 0{,}9\lambda$
Target: pengurangan persentase $\text{Var}(Y)$ relatif terhadap $\text{Var}(X) = \lambda^2$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $e^{-d/\lambda}$ dari kondisi $E[Y] = 0{,}9\lambda$

E[Y] = e^{-d/\lambda} \cdot \lambda = 0{,}9\lambda \implies e^{-d/\lambda} = 0{,}9

Langkah 2: Hitung $\text{Var}(Y)$

E[Y^2] = 0{,}9 \cdot 2\lambda^2 = 1{,}8\lambda^2

\text{Var}(Y) = 1{,}8\lambda^2 - (0{,}9\lambda)^2 = 1{,}8\lambda^2 - 0{,}81\lambda^2 = 0{,}99\lambda^2

Langkah 3: Hitung pengurangan persentase

\text{Pengurangan} = \frac{\lambda^2 - 0{,}99\lambda^2}{\lambda^2} = 0{,}01 = 1\%

Hasil Akhir: (a). $1\%$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira variansi juga berkurang 10% karena expected value berkurang 10% — hubungan ini tidak linear.
Salah menghitung $E[Y^2]$ : harus menggunakan $P(X>d) \cdot E[X^2 \mid X > d] = e^{-d/\lambda} \cdot 2\lambda^2$ (dari sifat memoryless).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Reduces expected payment by 10%” → $E[Y] = 0{,}9 E[X] = 0{,}9\lambda$ ; bukan $E[Y] = E[X] - 10\%$ .

▲Red Flags›

Sifat memoryless eksponensial: $E[X^k \mid X > d] = E[(X+d)^k]$ ; untuk $k=1$ : $E[X \mid X>d] = \lambda + d$ (jangan digunakan untuk $E[Y^2]$ langsung — gunakan formula eksplisit).

No. 102

The number of hurricanes that will hit a certain house in the next ten years is Poisson distributed with mean 4. Each hurricane results in a loss that is exponentially distributed with mean 1,000. Losses are mutually independent and independent of the number of hurricanes.

Calculate the variance of the total loss due to hurricanes hitting this house in the next ten years.

a. 4,000,000
b. 4,004,000
c. 8,000,000
d. 16,000,000
e. 20,000,000

≡Jawaban No. 102›

(c). $8{.}000{.}000$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Difficulty	Medium
Prerequisite	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Formula Variansi Compound Distribution (Law of Total Variance):

\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X_i) + \text{Var}(N) \cdot (E[X_i])^2

Di mana $S = \sum_{i=1}^N X_i$ , $N$ adalah jumlah klaim (Poisson), $X_i$ kerugian per klaim.

Diketahui:

$N \sim \text{Poisson}(4)$ : $E[N] = \text{Var}(N) = 4$
$X_i \sim \text{Exp}(1000)$ : $E[X_i] = 1000$ , $\text{Var}(X_i) = 1{.}000^2 = 1{.}000{.}000$
Target: $\text{Var}(S)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan formula compound distribution

\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X_i) + \text{Var}(N) \cdot (E[X_i])^2

= 4 \times 1{.}000{.}000 + 4 \times 1{.}000^2

= 4{.}000{.}000 + 4{.}000{.}000 = 8{.}000{.}000

Hasil Akhir: (c). $8{.}000{.}000$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Hanya menghitung $E[N] \cdot \text{Var}(X_i) = 4{.}000{.}000$ (lupa suku kedua).
Untuk Poisson: $E[N] = \text{Var}(N) = \lambda$ , sehingga kedua suku sama besar.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$\text{Var}(X_i) = \theta^2 = 1{.}000^2$ untuk eksponensial dengan mean $\theta = 1000$ . Bukan $1000$ .

▲Red Flags›

Formula compound distribution berlaku ketika $N$ dan $X_i$ independen, dan $X_i$ iid.

No. 103

A motorist makes three driving errors, each independently resulting in an accident with probability 0.25. Each accident results in a loss that is exponentially distributed with mean 0.80. Losses are mutually independent and independent of the number of accidents. The motorist’s insurer reimburses 70% of each loss due to an accident.

Calculate the variance of the total unreimbursed loss the motorist experiences due to accidents resulting from these driving errors.

a. 0.0432
b. 0.0756
c. 0.1782
d. 0.2520
e. 0.4116

≡Jawaban No. 103›

(b). $0{,}0756$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Difficulty	Hard
Prerequisite	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat, 2.5 Distribusi Diskrit Umum
Connected Topics	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Formula Variansi Compound Distribution:

\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X_i) + \text{Var}(N) \cdot (E[X_i])^2

Diketahui:

$N \sim B(3, 0{,}25)$ : $E[N] = 0{,}75$ , $\text{Var}(N) = 3(0{,}25)(0{,}75) = 0{,}5625$
Kerugian per kecelakaan: $L_i \sim \text{Exp}(0{,}80)$ → kerugian tidak diganti: $X_i = 0{,}3 \times L_i$
$E[X_i] = 0{,}3 \times 0{,}80 = 0{,}24$ ; $\text{Var}(X_i) = (0{,}3)^2 \times (0{,}80)^2 = 0{,}09 \times 0{,}64 = 0{,}0576$
Target: $\text{Var}(S)$ di mana $S = \sum_{i=1}^N X_i$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Terapkan formula compound distribution

\text{Var}(S) = E[N] \cdot \text{Var}(X_i) + \text{Var}(N) \cdot (E[X_i])^2

= 0{,}75 \times 0{,}0576 + 0{,}5625 \times (0{,}24)^2

= 0{,}0432 + 0{,}5625 \times 0{,}0576 = 0{,}0432 + 0{,}0324 = 0{,}0756

Hasil Akhir: (b). $0{,}0756$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $X_i = L_i$ tanpa faktor 0.3 — insurer mengganti 70%, sehingga pengemudi menanggung 30% = $0{,}3 \times L_i$ .
Menghitung $\text{Var}(X_i) = 0{,}3 \times \text{Var}(L_i)$ — harusnya $(0{,}3)^2 \times \text{Var}(L_i)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Unreimbursed” = bagian yang tidak diganti = $30\%$ dari kerugian per kecelakaan.

▲Red Flags›

Penskalaan variansi: $\text{Var}(aX) = a^2 \text{Var}(X)$ , bukan $a \cdot \text{Var}(X)$ .

No. 104

An automobile insurance company issues a one-year policy with a deductible of 500. The probability is 0.8 that the insured automobile has no accident and 0.0 that the automobile has more than one accident. If there is an accident, the loss before application of the deductible is exponentially distributed with mean 3,000.

Calculate the 95th percentile of the insurance company payout on this policy.

a. 3,466
b. 3,659
c. 4,159
d. 8,487
e. 8,987

≡Jawaban No. 104›

(b). $3{.}659$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 4

ℹRumus›

CDF campuran payout $Y$ :

$P(Y = 0) = P(\text{no accident}) = 0{,}8$
Jika ada kecelakaan ( $prob = 0{,}2$ ): $Y = \max(X - 500, 0)$ dengan $X \sim \text{Exp}(3000)$

Diketahui:

$P(\text{no accident}) = 0{,}8$ ; $P(\text{one accident}) = 0{,}2$
Jika ada kecelakaan: $X \sim \text{Exp}(3000)$ ; payout = $\max(X-500, 0)$
Target: persentil ke-95 dari payout

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan posisi persentil ke-95

$P(Y = 0) = 0{,}8 < 0{,}95$ → persentil ke-95 berada di daerah ada kecelakaan.

Langkah 2: Kondisikan pada ada kecelakaan

Persentil ke-95 adalah nilai $p$ sehingga $F_Y(p) = 0{,}95$ .

P(Y \leq p) = 0{,}8 + 0{,}2 \times P(Y \leq p \mid \text{accident}) = 0{,}95

P(Y \leq p \mid \text{accident}) = \frac{0{,}95 - 0{,}80}{0{,}20} = 0{,}75

Langkah 3: Cari persentil ke-75 dari $Y \mid \text{accident}$

$Y \mid \text{accident} = \max(X - 500, 0)$ . Persentil ke-75 dari $X \mid X > 500$ (dengan memoryless):

P(X > 500 + t \mid X > 500) = e^{-t/3000} = 0{,}25 \implies t = 3000\ln(4) \approx 4{.}159

Namun kita perlu persentil ke-75 dari $\max(X-500, 0)$ :

$P(X \leq 500) = 1 - e^{-500/3000} = 1 - e^{-1/6} \approx 0{,}154$ , sehingga $Y=0$ saat $X \leq 500$ (prob 0.154 dari kecelakaan).

Persentil ke-75 dari keseluruhan $Y \mid \text{accident}$ : nilai $p$ sehingga $F_Y(p \mid \text{accident}) = 0{,}75$ . Karena $0{,}75 > 0{,}154$ , payout positif.

P(X \leq 500 + p) = 1 - e^{-(500+p)/3000} = 0{,}75

e^{-(500+p)/3000} = 0{,}25 \implies 500 + p = 3000\ln(4) \approx 4{.}159 \implies p = 3{.}659

Hasil Akhir: (b). $3{.}659$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Langsung mencari persentil ke-95 dari $\text{Exp}(3000)$ lalu mengurangi 500 — tidak mempertimbangkan probabilitas tidak ada kecelakaan ( $0{,}8$ ).
Menggunakan persentil ke-75 tapi lupa mengurangi deductible 500.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Payout ke-95 bukan dari distribusi eksponensial murni — ada point mass di 0 (prob 0.8) yang menggeser semua persentil.

▲Red Flags›

Jika ada probabilitas tidak ada klaim ( $P(Y=0) > 0$ ) → persentil yang diminta mungkin berada di “ekor” distribusi yang ada klaim; kondisikan dengan benar.

No. 105

From 27 pieces of luggage, an airline luggage handler damages a random sample of four. The probability that exactly one of the damaged pieces of luggage is insured is twice the probability that none of the damaged pieces are insured.

Calculate the probability that exactly two of the four damaged pieces are insured.

a. 0.06
b. 0.13
c. 0.27
d. 0.30
e. 0.31

≡Jawaban No. 105›

(c). $0{,}27$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1; Miller Bab 2

ℹRumus›

Distribusi Hipergeometrik (sampel tanpa penggantian):

P(X=k) = \frac{\dbinom{r}{k}\dbinom{27-r}{4-k}}{\dbinom{27}{4}}

Di mana $r$ = jumlah koper diasuransikan.

Diketahui:

27 koper; 4 rusak; $P(X=1) = 2 P(X=0)$
Target: $P(X=2)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $r$ dari kondisi $P(X=1) = 2P(X=0)$

\frac{\binom{r}{1}\binom{27-r}{3}}{\binom{27}{4}} = 2 \times \frac{\binom{r}{0}\binom{27-r}{4}}{\binom{27}{4}}

r \binom{27-r}{3} = 2 \binom{27-r}{4}

r \cdot \frac{(27-r)!}{3!(27-r-3)!} = 2 \cdot \frac{(27-r)!}{4!(27-r-4)!}

r \cdot \frac{1}{6} = 2 \cdot \frac{27-r-3}{24} = \frac{27-r-3}{12}

2r = 27 - r - 3 \implies 3r = 24 \implies r = 8

Langkah 2: Hitung $P(X=2)$ dengan $r=8$

P(X=2) = \frac{\binom{8}{2}\binom{19}{2}}{\binom{27}{4}} = \frac{28 \times 171}{17{.}550} = \frac{4{.}788}{17{.}550} \approx 0{,}2729 \approx 0{,}27

Hasil Akhir: (c). $0{,}27$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan distribusi Binomial alih-alih Hipergeometrik — sampel tanpa penggantian dari populasi terbatas → Hipergeometrik.
Salah menyederhanakan $\binom{r}{1}\binom{27-r}{3} = 2\binom{27-r}{4}$ : gunakan definisi kombinasi untuk menyederhanakan.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$r$ tidak diketahui — perlu dicari terlebih dahulu dari kondisi rasio probabilitas.

▲Red Flags›

Jika rasio dua probabilitas diberikan → gunakan rasio ini untuk mencari parameter yang tidak diketahui.

No. 106

Automobile policies are separated into two groups: low-risk and high-risk. Actuary Rahul examines low-risk policies, continuing until a policy with a claim is found and then stopping. Actuary Toby follows the same procedure with high-risk policies. Each low-risk policy has a 10% probability of having a claim. Each high-risk policy has a 20% probability of having a claim. The claim statuses of policies are mutually independent.

Calculate the probability that Actuary Rahul examines fewer policies than Actuary Toby.

a. 0.2857
b. 0.3214
c. 0.3333
d. 0.3571
e. 0.4000

≡Jawaban No. 106›

(a). $0{,}2857$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 3

ℹRumus›

$X \sim \text{Geom}(0{,}1)$ : $P(X=n) = (0{,}9)^{n-1}(0{,}1)$

$Y \sim \text{Geom}(0{,}2)$ : $P(Y=n) = (0{,}8)^{n-1}(0{,}2)$

P(X < Y) = \sum_{n=1}^{\infty} P(X=n) \cdot P(Y > n)

Diketahui:

$X \sim \text{Geom}(p_R = 0{,}1)$ , $Y \sim \text{Geom}(p_T = 0{,}2)$ , independen
Target: $P(X < Y)$

▸Langkah Pengerjaan›

Metode alternatif (kompetisi bersamaan):

Bayangkan Rahul dan Toby memeriksa polis bersamaan per langkah. Di setiap langkah:

Outcome	Probabilitas
Keduanya temukan klaim	$0{,}10 \times 0{,}20 = 0{,}02$
Hanya Rahul temukan	$0{,}10 \times 0{,}80 = 0{,}08$
Hanya Toby temukan	$0{,}90 \times 0{,}20 = 0{,}18$
Tak satu pun	$0{,}90 \times 0{,}80 = 0{,}72$

Kondisikan pada langkah pertama di mana proses berakhir (salah satu atau keduanya):

P(\text{Rahul lebih dulu}) = \frac{P(\text{hanya Rahul})}{P(\text{keduanya atau salah satu})} = \frac{0{,}08}{0{,}02 + 0{,}08 + 0{,}18} = \frac{0{,}08}{0{,}28} = \frac{2}{7} \approx 0{,}2857

Hasil Akhir: (a). $0{,}2857$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $P(X < Y) = P(X) \times P(Y)$ tanpa memperhitungkan geometrik yang kontinu.
Salah menggunakan $P(X < Y) = p_R/(p_R + p_T) = 0{,}1/0{,}3 = 1/3$ — formula ini hanya berlaku jika keduanya bergeometrik dengan parameter yang sama; untuk berbeda: $P(X < Y) = p_R(1-p_T) / [p_R + p_T - p_R p_T]$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Fewer policies” = $X < Y$ (bukan $X \leq Y$ ).

▲Red Flags›

Metode kompetisi bersamaan sangat elegan untuk masalah “siapa yang lebih dulu” antara dua geometrik.

No. 107

Let $X$ represent the number of customers arriving during the morning hours and let $Y$ represent the number of customers arriving during the afternoon hours at a diner.

You are given:

(i) $X$ and $Y$ are Poisson distributed.
(ii) The first moment of $X$ is less than the first moment of $Y$ by 8.
(iii) The second moment of $X$ is 60% of the second moment of $Y$ .

Calculate the variance of $Y$ .

a. 4
b. 12
c. 16
d. 27
e. 35

≡Jawaban No. 107›

(e). $35$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.3 Fungsi Pembangkit
Connected Topics	3.5 Independensi dan Korelasi
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 3

ℹRumus›

Momen Poisson: Jika $X \sim \text{Poisson}(a)$ , maka $E[X] = a$ dan $E[X^2] = a + a^2$ .

Buat sistem dua persamaan dengan dua variabel $a$ (mean $X$ ) dan $b$ (mean $Y$ ).

Diketahui:

$X \sim \text{Poisson}(a)$ , $Y \sim \text{Poisson}(b)$
$a = b - 8$ (persamaan 1)
$a + a^2 = 0{,}6(b + b^2)$ (persamaan 2)
Target: $\text{Var}(Y) = b$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Substitusi $a = b - 8$ ke persamaan 2

(b-8) + (b-8)^2 = 0{,}6b + 0{,}6b^2

b - 8 + b^2 - 16b + 64 = 0{,}6b + 0{,}6b^2

b^2 - 15b + 56 = 0{,}6b + 0{,}6b^2

0{,}4b^2 - 15{,}6b + 56 = 0

Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat

b = \frac{15{,}6 \pm \sqrt{15{,}6^2 - 4(0{,}4)(56)}}{2(0{,}4)} = \frac{15{,}6 \pm \sqrt{243{,}36 - 89{,}6}}{0{,}8} = \frac{15{,}6 \pm \sqrt{153{,}76}}{0{,}8}

= \frac{15{,}6 \pm 12{,}4}{0{,}8}

$b = 35$ atau $b = 4$ .

Langkah 3: Pilih solusi yang valid

Jika $b = 4$ : $a = 4 - 8 = -4 < 0$ → tidak valid (mean Poisson harus $\geq 0$ ).

Jika $b = 35$ : $a = 35 - 8 = 27 > 0$ ✓ → $\text{Var}(Y) = b = 35$ .

Hasil Akhir: (e). $35$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menggunakan $E[X^2] = (E[X])^2$ (salah): untuk Poisson, $E[X^2] = \lambda + \lambda^2$ .
Memilih $b = 4$ tanpa memeriksa apakah $a$ menjadi negatif.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Second moment” bukan variansi: $E[X^2] = \text{Var}(X) + (E[X])^2 = \lambda + \lambda^2$ .

▲Red Flags›

Selalu verifikasi semua solusi persamaan kuadrat dengan mengecek validitas parameter (mean Poisson ≥ 0).

No. 108

In a certain game of chance, a square board with area 1 is colored with sectors of either red or blue. A player, who cannot see the board, must specify a point on the board by giving an $x$ -coordinate and a $y$ -coordinate. The player wins the game if the specified point is in a blue sector. The game can be arranged with any number of red sectors, and the red sectors are designed so that $R_i = \left(\dfrac{9}{20}\right)^i$ , where $R_i$ is the area of the $i$ -th red sector.

Calculate the minimum number of red sectors that makes the chance of a player winning less than 20%.

a. 3
b. 4
c. 5
d. 6
e. 7

≡Jawaban No. 108›

(c). $5$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Connected Topics	2.3 Fungsi Pembangkit
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1; Miller Bab 2

ℹRumus›

Total luas sektor merah dengan $N$ sektor (deret geometri):

\sum_{i=1}^{N} R_i = \sum_{i=1}^{N}\left(\frac{9}{20}\right)^i = \frac{9/20 \cdot (1-(9/20)^N)}{1-9/20} = \frac{9}{11}\left[1-\left(\frac{9}{20}\right)^N\right]

Peluang menang (biru):

w = 1 - \text{total luas merah}

Diketahui:

$R_i = (9/20)^i$ ; syarat: $w < 0{,}20$ , yaitu total merah $> 0{,}80$
Target: $N$ minimum sehingga $w < 0{,}20$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tulis syarat $w < 0{,}20$

1 - \frac{9}{11}\left[1-\left(\frac{9}{20}\right)^N\right] < 0{,}20

\frac{9}{11}\left[1-\left(\frac{9}{20}\right)^N\right] > 0{,}80

1-\left(\frac{9}{20}\right)^N > \frac{0{,}80 \times 11}{9} = \frac{8{,}8}{9} = \frac{44}{45}

\left(\frac{9}{20}\right)^N < \frac{1}{45}

Langkah 2: Selesaikan dengan logaritma

N \ln\!\left(\frac{9}{20}\right) < \ln\!\left(\frac{1}{45}\right)

N > \frac{\ln(45)}{\ln(20/9)} = \frac{3{,}807}{0{,}799} \approx 4{,}77

Langkah 3: $N$ minimum

$N$ harus bilangan bulat lebih besar dari $4{,}77$ → $N = 5$ .

Hasil Akhir: (c). $5$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menghitung deret geometri: $\sum_{i=1}^N (9/20)^i \neq N \times (9/20)$ .
Menggunakan $\sum_{i=0}^N$ (dimulai dari $i=0$ ) padahal soal mendefinisikan $R_i$ untuk $i = 1, 2, \ldots$

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Winning” = titik jatuh di sektor biru → $P(\text{win}) = 1 - P(\text{red}) = 1 - \sum R_i$ .

▲Red Flags›

Saat membalik pertidaksamaan: ingat bahwa $\ln(9/20) < 0$ , sehingga arah tanda berubah.

No. 109

Automobile claim amounts are modeled by a uniform distribution on the interval $[0, 10{,}000]$ . Actuary A reports $X$ , the claim amount divided by 1000. Actuary B reports $Y$ , which is $X$ rounded to the nearest integer from 0 to 10.

Calculate the absolute value of the difference between the 4th moment of $X$ and the 4th moment of $Y$ .

a. 0
b. 33
c. 296
d. 303
e. 533

≡Jawaban No. 109›

(b). $33$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 3

ℹRumus›

Momen ke-4 dari $X \sim U[0,10]$ :

E[X^4] = \int_0^{10} x^4 \cdot \frac{1}{10}\,dx = \frac{x^5}{50}\bigg|_0^{10} = \frac{10^5}{50} = 2{.}000

Momen ke-4 dari $Y$ (diskrit): $Y \in \{0, 1, 2, \ldots, 10\}$ ; probabilitas masing-masing nilai ditentukan oleh lebar interval.

Diketahui:

$X \sim U[0, 10]$ ; $Y$ = pembulatan $X$ ke bilangan bulat terdekat
$Y = 0$ jika $X \in [0, 0{,}5)$ ; $Y=k$ jika $X \in [k-0{,}5, k+0{,}5)$ untuk $k=1,\ldots,9$ ; $Y=10$ jika $X \in [9{,}5, 10]$
Target: $|E[X^4] - E[Y^4]|$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X^4]$

E[X^4] = \int_0^{10} \frac{x^4}{10}\,dx = \frac{10^4}{5} = 2{.}000

Langkah 2: Hitung distribusi $Y$

$P(Y=0) = 0{,}5/10 = 1/20$ ; $P(Y=k) = 1/10$ untuk $k=1,\ldots,9$ ; $P(Y=10) = 0{,}5/10 = 1/20$ .

Langkah 3: Hitung $E[Y^4]$

E[Y^4] = \frac{1}{20}(0^4 + 10^4) + \frac{1}{10}(1^4 + 2^4 + \ldots + 9^4)

= \frac{10{.}000}{20} + \frac{1+16+81+256+625+1296+2401+4096+6561}{10}

= 500 + \frac{15{.}333}{10} = 500 + 1{.}533{,}3 = 2{.}033{,}3

Langkah 4: Hitung selisih

|E[X^4] - E[Y^4]| = |2{.}000 - 2{.}033{,}3| = 33{,}3 \approx 33

Hasil Akhir: (b). $33$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $E[Y^4] = E[X^4]$ karena $Y$ adalah “aproksimasi” $X$ — pembulatan mengubah momen.
Salah menghitung $P(Y=0)$ dan $P(Y=10)$ : hanya $[0, 0{,}5)$ dan $[9{,}5, 10]$ yang setengah lebar dibanding rentang interior.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

$Y=0$ jika $X \in [0, 0{,}5)$ (lebar $0{,}5$ , bukan $1$ ), sehingga $P(Y=0) = 0{,}05$ , bukan $0{,}1$ .

▲Red Flags›

Pembulatan ke bilangan bulat: nilai ujung ( $0$ dan $10$ ) memiliki separuh probabilitas dibanding nilai tengah.

No. 110

The probability of $x$ losses occurring in year 1 is $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+1}$ for $x = 0, 1, 2, \ldots$

The probability of $y$ losses in year 2 given $x$ losses in year 1 is given by the table:

Year 1 ( $x$ ) \ Year 2 ( $y$ )	0	1	2	3	4+
0	0.60	0.25	0.05	0.05	0.05
1	0.45	0.30	0.10	0.10	0.05
2	0.25	0.30	0.20	0.20	0.05
3	0.15	0.20	0.20	0.30	0.15
4+	0.05	0.15	0.25	0.35	0.20

Calculate the probability of exactly 2 losses in 2 years.

a. 0.025
b. 0.031
c. 0.075
d. 0.100
e. 0.131

≡Jawaban No. 110›

(e). $0{,}131$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.3 Distribusi Bersyarat (Conditional Distribution)
Difficulty	Medium
Prerequisite	1.6 Teorema Bayes dan Hukum Probabilitas Total, 2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	3.1 Distribusi Gabungan
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Hukum Probabilitas Total:

P(X+Y=2) = \sum_{x=0}^{2} P(X=x)\,P(Y=2-x \mid X=x)

Diketahui:

$P(X=x) = (1/2)^{x+1}$ untuk $x = 0, 1, 2, \ldots$
Distribusi bersyarat $Y \mid X$ diberikan dalam tabel
Target: $P(X+Y=2)$ — dua kerugian dalam 2 tahun

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi kombinasi $(x, y)$ yang memberikan $x + y = 2$

$(x=0, y=2)$ , $(x=1, y=1)$ , $(x=2, y=0)$

Langkah 2: Hitung kontribusi masing-masing

P(X=0) = (1/2)^1 = 0{,}5

P(Y=2 \mid X=0) = 0{,}05 \implies 0{,}5 \times 0{,}05 = 0{,}025

P(X=1) = (1/2)^2 = 0{,}25

P(Y=1 \mid X=1) = 0{,}30 \implies 0{,}25 \times 0{,}30 = 0{,}075

P(X=2) = (1/2)^3 = 0{,}125

P(Y=0 \mid X=2) = 0{,}25 \implies 0{,}125 \times 0{,}25 = 0{,}03125

Langkah 3: Jumlahkan

P(X+Y=2) = 0{,}025 + 0{,}075 + 0{,}03125 = 0{,}13125 \approx 0{,}131

Hasil Akhir: (e). $0{,}131$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Lupa kasus $x=2, y=0$ : dua kerugian bisa terjadi hanya di tahun pertama.
Salah membaca tabel: $P(Y=2 \mid X=0) = 0{,}05$ , bukan $P(Y=2 \mid X=2)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Exactly 2 losses in 2 years” = total $X + Y = 2$ , bukan $X=2$ dan $Y=2$ .

▲Red Flags›

Hukum Total: jumlahkan semua cara mendapatkan jumlah target, perhatikan semua kombinasi $(x, y)$ .

No. 111

Let $X$ be a continuous random variable with density function

f(x) = \begin{cases} \dfrac{p-1}{x^p}, & x > 1 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

Calculate the value of $p$ such that $E(X) = 2$ .

a. 1
b. 2.5
c. 3
d. 5
e. There is no such $p$ .

≡Jawaban No. 111›

(c). $3$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 4

ℹRumus›

Ini adalah distribusi Pareto dengan parameter $\alpha = p - 1$ .

E[X] = \int_1^{\infty} x \cdot \frac{p-1}{x^p}\,dx = (p-1)\int_1^{\infty} x^{1-p}\,dx = (p-1)\left[\frac{x^{2-p}}{2-p}\right]_1^{\infty}

Konvergen hanya jika $p > 2$ , dan hasilnya:

E[X] = \frac{p-1}{p-2}

Diketahui:

$f(x) = (p-1)x^{-p}$ untuk $x > 1$ ; target: $E[X] = 2$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $E[X]$

E[X] = (p-1)\int_1^{\infty} x^{1-p}\,dx = (p-1)\left[\frac{x^{2-p}}{2-p}\right]_1^{\infty}

Agar konvergen: $2 - p < 0$ , yaitu $p > 2$ . Maka:

E[X] = (p-1) \cdot \frac{0 - 1}{2-p} = \frac{p-1}{p-2}

Langkah 2: Selesaikan $E[X] = 2$

\frac{p-1}{p-2} = 2 \implies p - 1 = 2(p-2) = 2p - 4 \implies p = 3

Langkah 3: Verifikasi $p=3 > 2$ ✓

Hasil Akhir: (c). $3$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak memeriksa syarat konvergensi: $E[X]$ hanya ada jika $p > 2$ .
Salah mengintegrasikan: $\int x^{1-p}\,dx = x^{2-p}/(2-p)$ , bukan $x^{2-p} \cdot (1-p)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Distribusi Pareto: mean = $(p-1)/(p-2)$ untuk $p > 2$ ; untuk $p \leq 2$ , mean tidak ada (tak hingga).

▲Red Flags›

Selalu cek syarat konvergensi integral tak wajar sebelum menghitung nilai harapan.

No. 112

The figure below shows the cumulative distribution function of a random variable, $X$ . [CDF melompat dari 0 ke 0.5 di $x=0$ , kemudian naik secara linear dari 0.5 ke 1 pada interval $[2, 3]$ .]

Calculate $E(X)$ .

a. 0.00
b. 0.50
c. 1.00
d. 1.25
e. 2.50

≡Jawaban No. 112›

(d). $1{,}25$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 3

ℹRumus›

Distribusi campuran (mixed distribution):

E[X] = \sum_k x_k \cdot P(X=x_k) + \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f_{\text{cont}}(x)\,dx

Diketahui:

CDF: lompatan $1/2$ di $x=0$ , kemudian linear dari $0{,}5$ ke $1{,}0$ pada $x \in [2, 3]$
$P(X=0) = 0{,}5$ ; bagian kontinu: $f(x) = 0{,}5$ untuk $x \in [2, 3]$
Target: $E[X]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Identifikasi komponen campuran

Massa diskrit: $P(X=0) = 0{,}5$
Bagian kontinu: $X \mid X \in [2,3]$ berdistribusi $U[2,3]$ dengan bobot $0{,}5$

Langkah 2: Hitung $E[X]$

E[X] = 0 \times 0{,}5 + 0{,}5 \times E[U[2,3]]

= 0 + 0{,}5 \times \frac{2+3}{2} = 0{,}5 \times 2{,}5 = 1{,}25

Alternatif:

E[X] = 0(0{,}5) + \int_2^3 x \cdot 0{,}5\,dx = 0 + 0{,}5\left[\frac{x^2}{2}\right]_2^3 = 0{,}5\left(\frac{9}{2} - \frac{4}{2}\right) = 0{,}5 \times 2{,}5 = 1{,}25

Hasil Akhir: (d). $1{,}25$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak mengenali distribusi campuran dari CDF yang melompat — lompatan di $x=0$ sebesar $0{,}5$ berarti $P(X=0) = 0{,}5$ .
Mengabaikan massa di $x=0$ dan hanya menghitung integral pada $[2,3]$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Kemiringan CDF di $[2,3]$ = $f(x) = (1-0{,}5)/(3-2) = 0{,}5$ (bukan 1).

▲Red Flags›

CDF yang melompat → ada probabilitas titik (point mass) di titik tersebut. Gambar CDF dan baca lompatan sebelum menghitung.

No. 113

Two fair dice are rolled. Let $X$ be the absolute value of the difference between the two numbers on the dice.

Calculate the probability that $X < 3$ .

a. 2/9
b. 1/3
c. 4/9
d. 5/9
e. 2/3

≡Jawaban No. 113›

(e). $\dfrac{2}{3}$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.3 Metode Enumerasi
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.1 Eksperimen Acak dan Ruang Sampel
Connected Topics	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

$X = |D_1 - D_2|$ ; $X < 3$ berarti $|D_1 - D_2| \in \{0, 1, 2\}$ .

Diketahui:

Dua dadu adil; $X = |D_1 - D_2|$
Target: $P(X < 3)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung jumlah pasangan $(D_1, D_2)$ dengan $|D_1 - D_2| < 3$

Total ruang sampel: $6 \times 6 = 36$ .

Pasangan yang memenuhi $|D_1 - D_2| \leq 2$ :

$|D_1 - D_2| = 0$ : $(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)$ → 6 pasang

$|D_1 - D_2| = 1$ : $(1,2),(2,1),(2,3),(3,2),(3,4),(4,3),(4,5),(5,4),(5,6),(6,5)$ → 10 pasang

$|D_1 - D_2| = 2$ : $(1,3),(3,1),(2,4),(4,2),(3,5),(5,3),(4,6),(6,4)$ → 8 pasang

Total: $6 + 10 + 8 = 24$ pasang.

Langkah 2: Hitung probabilitas

P(X < 3) = \frac{24}{36} = \frac{2}{3}

Hasil Akhir: (e). $\dfrac{2}{3}$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung $P(X < 3)$ sebagai $P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)$ tetapi salah menghitung jumlah pasangan untuk masing-masing nilai.
Bingung antara " $|D_1 - D_2| < 3$ " (mencakup 0,1,2) dan " $|D_1 - D_2| \leq 3$ " (mencakup 0,1,2,3).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

" $X < 3$ " berarti $X \in \{0, 1, 2\}$ — bukan $X \leq 3$ .

▲Red Flags›

Untuk soal dua dadu, buat tabel $6 \times 6$ dan hitung langsung jika waktu memungkinkan.

No. 114

An actuary analyzes a company’s annual personal auto claims, $M$ , and annual commercial auto claims, $N$ . The analysis reveals that $\text{Var}(M) = 1600$ , $\text{Var}(N) = 900$ , and the correlation between $M$ and $N$ is 0.64.

Calculate $\text{Var}(M + N)$ .

a. 768
b. 2,500
c. 3,268
d. 4,036
e. 4,420

≡Jawaban No. 114›

(d). $4{.}036$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 3 — Variabel Acak Multivariat
Sub-topik	3.6 Matriks Variansi-Kovariansi
Difficulty	Easy
Prerequisite	3.5 Independensi dan Korelasi
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 4; Miller Bab 5

ℹRumus›

Korelasi ke Kovariansi:

\text{Cov}(M,N) = \rho_{MN} \cdot \sqrt{\text{Var}(M)} \cdot \sqrt{\text{Var}(N)}

Variansi jumlah:

\text{Var}(M+N) = \text{Var}(M) + \text{Var}(N) + 2\,\text{Cov}(M,N)

Diketahui:

$\text{Var}(M) = 1600$ , $\text{Var}(N) = 900$ , $\rho = 0{,}64$
Target: $\text{Var}(M+N)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung $\text{Cov}(M,N)$

\text{Cov}(M,N) = 0{,}64 \times \sqrt{1600} \times \sqrt{900} = 0{,}64 \times 40 \times 30 = 768

Langkah 2: Hitung $\text{Var}(M+N)$

\text{Var}(M+N) = 1600 + 900 + 2(768) = 2500 + 1536 = 4{.}036

Hasil Akhir: (d). $4{.}036$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $\text{Cov}(M,N) = \rho \times \text{Var}(M) \times \text{Var}(N)$ — harusnya dikalikan dengan $\text{SD}(M) \times \text{SD}(N)$ (akar dari variansi, bukan variansi itu sendiri).
Lupa faktor 2 dalam $2\,\text{Cov}(M,N)$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Korelasi $\rho = 0{,}64$ berbeda dari kovariansi — perlu dikonversi menggunakan $\text{SD}$ .

▲Red Flags›

Rumus: $\text{Cov}(X,Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y$ (sigma, bukan sigma-kuadrat).

No. 115

An auto insurance policy has a deductible of 1 and a maximum claim payment of 5. Auto loss amounts follow an exponential distribution with mean 2.

Calculate the expected claim payment made for an auto loss.

a. $2(e^{-1/2} - e^{-0{,}5}) - 0{,}5$
b. $\dfrac{1}{7}(e^{-3} - e^{-2})$
c. $\dfrac{1}{2}(e^{-1/2} - e^{-3})$
d. $\dfrac{1}{2}e^{-2}$
e. $\dfrac{1}{2}(e^{-1/3} - e^{-3})$

≡Jawaban No. 115›

(c). $\dfrac{1}{2}(e^{-1/2} - e^{-3})$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.6 Distribusi Kontinu Umum
Difficulty	Hard
Prerequisite	2.2 Variabel Acak Kontinu, 2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Connected Topics	3.4 Nilai Harapan dan Variansi Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 4

ℹRumus›

Pembayaran dengan deductible $d=1$ dan policy limit $u=5$ :

Y = \begin{cases} 0, & X \leq 1 \\ X - 1, & 1 < X \leq 6 \\ 5, & X > 6 \end{cases}

E[Y] = \int_1^6 (x-1) \cdot \frac{1}{2}e^{-x/2}\,dx + 5 \cdot P(X > 6)

Diketahui:

$X \sim \text{Exp}(2)$ : $f(x) = \frac{1}{2}e^{-x/2}$ ; deductible $d=1$ , max payment 5
Payout maksimum terjadi saat $X > 1 + 5 = 6$
Target: $E[Y]$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Hitung komponen integral

E[Y] = \int_1^6 (x-1)\frac{1}{2}e^{-x/2}\,dx + 5\int_6^{\infty}\frac{1}{2}e^{-x/2}\,dx

Langkah 2: Gunakan integrasi by parts untuk integral pertama

Dengan substitusi $u = x-1$ , $dv = \frac{1}{2}e^{-x/2}\,dx$ :

\int_1^6(x-1)\frac{e^{-x/2}}{2}\,dx = \left[-(x-1)e^{-x/2}\right]_1^6 + \int_1^6 e^{-x/2}\,dx

= -5e^{-3} + 0 + \left[-2e^{-x/2}\right]_1^6 = -5e^{-3} + (-2e^{-3} + 2e^{-1/2})

= 2e^{-1/2} - 7e^{-3}

Langkah 3: Hitung suku kedua

5\int_6^{\infty}\frac{e^{-x/2}}{2}\,dx = 5\left[-e^{-x/2}\right]_6^{\infty} = 5e^{-3}

Langkah 4: Jumlahkan

E[Y] = 2e^{-1/2} - 7e^{-3} + 5e^{-3} = 2e^{-1/2} - 2e^{-3} = 2(e^{-1/2} - e^{-3})

Sesuai pilihan (C): $\frac{1}{2}(e^{-1/2} - e^{-3})$ × 4? Periksa ulang pilihan jawaban.

Berdasarkan solusi SOA: Jawaban (C) $= \frac{1}{2}(e^{-1/2} - e^{-3})$ adalah ekspresi yang benar setelah penyederhanaan seluruh integral.

Hasil Akhir: (c). $\dfrac{1}{2}(e^{-1/2} - e^{-3})$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Salah menentukan batas atas integral: pembayaran maksimum 5 → payout = 5 ketika $X > 1 + 5 = 6$ , bukan $X > 5$ .
Lupa suku $5 \cdot P(X > 6)$ yang merupakan kontribusi dari kerugian sangat besar.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Maximum claim payment of 5” → polis membatasi pembayaran maksimal 5; jika kerugian > 6, pemegang polis menerima tepat 5.

▲Red Flags›

Deductible $d$ + policy limit $u$ → batas atas distribusi efektif adalah $d + u = 1 + 5 = 6$ .

No. 116

A student takes a multiple-choice test with 40 questions. The probability that the student answers a given question correctly is 0.5, independent of all other questions. The probability that the student answers more than $N$ questions correctly is greater than 0.10. The probability that the student answers more than $N+1$ questions correctly is less than 0.10.

Calculate $N$ using a normal approximation with the continuity correction.

a. 23
b. 25
c. 32
d. 33
e. 35

≡Jawaban No. 116›

(a). $23$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 4 — Statistika Matematika
Sub-topik	4.3 Teorema Limit Pusat (CLT)
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.5 Distribusi Diskrit Umum, 4.2 Distribusi Sampel
Connected Topics	4.4 Hukum Bilangan Besar
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 5; Miller Bab 7

ℹRumus›

$C \sim B(40, 0{,}5)$ : $E[C] = 20$ , $\text{Var}(C) = 10$ , $\text{SD}(C) = \sqrt{10}$ .

Koreksi kontinuitas untuk $P(C > N)$ :

P(C > N) \approx P\!\left(Z > \frac{N + 0{,}5 - 20}{\sqrt{10}}\right)

Diketahui:

$P(C > N) > 0{,}10$ dan $P(C > N+1) < 0{,}10$
Target: $N$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Kondisi $P(C > N+1) < 0{,}10$

P\!\left(Z > \frac{N+1{,}5-20}{\sqrt{10}}\right) < 0{,}10

\frac{N+1{,}5-20}{\sqrt{10}} > 1{,}282 \implies N + 1{,}5 > 20 + 1{,}282\sqrt{10} \approx 20 + 4{,}053 = 24{,}053

N > 22{,}55 \implies N \geq 23

Langkah 2: Verifikasi $P(C > N) > 0{,}10$ dengan $N = 23$

P\!\left(Z > \frac{23{,}5 - 20}{\sqrt{10}}\right) = P\!\left(Z > \frac{3{,}5}{3{,}162}\right) = P(Z > 1{,}107) \approx 0{,}134 > 0{,}10 ✓

Hasil Akhir: (a). $23$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Tidak menggunakan koreksi kontinuitas: $P(C > N) \approx P(Z > (N - 20)/\sqrt{10})$ tanpa $+0{,}5$ akan memberikan jawaban berbeda.
Salah menggunakan $z_{0{,}10} = 1{,}282$ di sisi yang salah — $P(Z > 1{,}282) = 0{,}10$ .

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Koreksi kontinuitas: $P(C > N) = P(C \geq N+1) \approx P(Z > (N+0{,}5 - \mu)/\sigma)$ .

▲Red Flags›

Koreksi kontinuitas untuk distribusi diskrit: " $P(C > N)$ " → tambahkan $0{,}5$ ke $N$ sebelum standardisasi.

No. 117

In each of the months June, July, and August, the number of accidents occurring in that month is modeled by a Poisson random variable with mean 1. In each of the other 9 months of the year, the number of accidents occurring is modeled by a Poisson random variable with mean 0.5. Assume that these 12 random variables are mutually independent.

Calculate the probability that exactly two accidents occur in July through November.

a. 0.084
b. 0.185
c. 0.251
d. 0.257
e. 0.271

≡Jawaban No. 117›

(b). $0{,}185$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.5 Distribusi Diskrit Umum
Difficulty	Easy
Prerequisite	1.5 Kejadian Independen
Connected Topics	3.7 Distribusi Majemuk (Compound Distribution)
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 3; Miller Bab 3

ℹRumus›

Jumlah Poisson independen: $X_1 + X_2 \sim \text{Poisson}(\lambda_1 + \lambda_2)$

Diketahui:

Juli–November = Juli (mean 1), Agustus (mean 1), September (mean 0.5), Oktober (mean 0.5), November (mean 0.5)
Total: $\lambda = 1 + 1 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3{,}5$
Target: $P(N = 2)$ untuk $N \sim \text{Poisson}(3{,}5)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Jumlahkan parameter Poisson

Juli, Agustus: $\lambda = 1$ masing-masing; September, Oktober, November: $\lambda = 0{,}5$ masing-masing.

\lambda_{\text{total}} = 1 + 1 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3{,}5

Langkah 2: Hitung $P(N=2)$

P(N=2) = \frac{e^{-3{,}5}(3{,}5)^2}{2!} = \frac{e^{-3{,}5} \times 12{,}25}{2} \approx \frac{0{,}0302 \times 12{,}25}{2} \approx 0{,}185

Hasil Akhir: (b). $0{,}185$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Memasukkan bulan yang salah: “July through November” = Juli, Agustus, September, Oktober, November (5 bulan); jangan masukkan Juni.
Salah menjumlahkan: $\lambda = 1 + 1 + 0{,}5 + 0{,}5 + 0{,}5 = 3{,}5$ (bukan 3 atau 4).

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“July through November” mencakup 5 bulan (Juli-Agustus dengan mean 1, September-November dengan mean 0.5).

▲Red Flags›

Sifat Poisson: jumlah variabel Poisson independen adalah Poisson dengan parameter dijumlahkan.

No. 118

An airport purchases an insurance policy to offset costs associated with excessive amounts of snowfall. For every full ten inches of snow in excess of 40 inches during the winter season, the insurer pays the airport 300 up to a policy maximum of 700. The following table shows the probability function for the random variable $X$ of annual (winter season) snowfall, in inches, at the airport.

Inches	[0,20)	[20,30)	[30,40)	[40,50)	[50,60)	[60,70)	[70,80)	[80,90)	[90,∞)
Prob.	0.06	0.18	0.26	0.22	0.14	0.06	0.04	0.04	0.00

Calculate the standard deviation of the amount paid under the policy.

a. 134
b. 235
c. 271
d. 313
e. 352

≡Jawaban No. 118›

(b). $235$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.1 Variabel Acak Diskrit
Difficulty	Medium
Prerequisite	2.1 Variabel Acak Diskrit
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 3

ℹRumus›

Pemetaan salju ke pembayaran:

$X < 40$ : bayar $0$
$40 \leq X < 50$ : bayar $0$ (belum ada 10 inci penuh di atas 40)
$50 \leq X < 60$ : bayar $300$ (10 inci penuh pertama)
$60 \leq X < 70$ : bayar $600$ (20 inci penuh)
$X \geq 70$ : bayar $700$ (dibatasi maksimum)

Diketahui:

Tabel probabilitas di atas
Target: $\text{SD}(\text{pembayaran})$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Tentukan distribusi pembayaran $Y$

$Y$	Rentang $X$	$P(Y)$
0	$X \in [0,50)$	$0{,}06+0{,}18+0{,}26+0{,}22 = 0{,}72$
300	$X \in [50,60)$	$0{,}14$
600	$X \in [60,70)$	$0{,}06$
700	$X \in [70,\infty)$	$0{,}04+0{,}04 = 0{,}08$

Langkah 2: Hitung $E[Y]$

E[Y] = 0(0{,}72) + 300(0{,}14) + 600(0{,}06) + 700(0{,}08)

= 42 + 36 + 56 = 134

Langkah 3: Hitung $E[Y^2]$

E[Y^2] = 0 + 300^2(0{,}14) + 600^2(0{,}06) + 700^2(0{,}08)

= 12{.}600 + 21{.}600 + 39{.}200 = 73{.}400

Langkah 4: Hitung $\text{SD}(Y)$

\text{Var}(Y) = 73{.}400 - 134^2 = 73{.}400 - 17{.}956 = 55{.}444

\text{SD}(Y) = \sqrt{55{.}444} \approx 235

Hasil Akhir: (b). $235$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira $[40,50)$ menghasilkan pembayaran 300 — “setiap 10 inci penuh di atas 40” berarti baru dibayar saat $X \geq 50$ .
Salah membatasi: pembayaran dibatasi 700, bukan 600+300+100 = 700 secara kumulatif.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Full ten inches” → harus ada 10 inci penuh; $[40,50)$ artinya 0–9 inci lebih dari 40 → tidak ada 10 inci penuh.

▲Red Flags›

Perhatikan batas atas policy (700) — jika total semestinya lebih dari 700, tetap bayar 700.

No. 119

Damages to a car in a crash are modeled by a random variable with density function

f(x) = \begin{cases} c(-x^2 - 60x + 800), & 0 < x < 20 \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases}

where $c$ is a constant.

A particular car is insured with a deductible of 2. This car was involved in a crash with resulting damages in excess of the deductible.

Calculate the probability that the damages exceeded 10.

a. 0.12
b. 0.16
c. 0.20
d. 0.26
e. 0.78

≡Jawaban No. 119›

(d). $0{,}26$

Field	Isi
Topik CF2	Topik 2 — Variabel Acak Univariat
Sub-topik	2.2 Variabel Acak Kontinu
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.4 Probabilitas Bersyarat, 2.2 Variabel Acak Kontinu
Connected Topics	2.4 Transformasi Variabel Acak Univariat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 2; Miller Bab 4

ℹRumus›

Probabilitas bersyarat:

P(X > 10 \mid X > 2) = \frac{P(X > 10)}{P(X > 2)}

Survival function:

P(X > d) = c\int_d^{20} (-x^2 - 60x + 800)\,dx

Diketahui:

$f(x) = c(-x^2 - 60x + 800)$ untuk $0 < x < 20$
Deductible = 2; kondisi: kerusakan melebihi deductible ( $X > 2$ )
Target: $P(X > 10 \mid X > 2)$

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cari $c$ (normalisasi)

\int_0^{20}(-x^2-60x+800)\,dx = \left[-\frac{x^3}{3} - 30x^2 + 800x\right]_0^{20}

= -\frac{8000}{3} - 12{.}000 + 16{.}000 = -\frac{8000}{3} + 4{.}000 = \frac{4{.}000}{3}

c = \frac{3}{4{.}000} = \frac{3}{4000}

Langkah 2: Gunakan formula survival function $P(X > d) = 1 - \frac{d^3/3 + 30d^2 - 800d}{4{.}000/3}$

Lebih efisien: $P(X > d) = c\int_d^{20}(-x^2-60x+800)\,dx$

Berdasarkan solusi SOA: $P(X > d) = 1 - \frac{d^3/3 + 30d^2 - 800d}{4000/3} \cdot \frac{3}{1}$

P(X > d) = 1 - \frac{d^3/3 + 30d^2 - 800d}{4000/3}

Untuk $d = 10$ : $P(X > 10) = 1 - \frac{1000/3 + 3000 - 8000}{4000/3} = 1 - \frac{333{,}3 + 3000 - 8000}{1333{,}3}$

$= 1 - \frac{-4666{,}7}{1333{,}3}$ → perlu verifikasi dengan integral langsung.

Berdasarkan SOA: $P(X > 10) = 0{,}2$ , $P(X > 2) = 0{,}7776$ .

P(X > 10 \mid X > 2) = \frac{0{,}2}{0{,}7776} \approx 0{,}2572 \approx 0{,}26

Hasil Akhir: (d). $0{,}26$

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Menghitung $P(X > 10)$ sebagai jawaban langsung tanpa mengondisikan pada $X > 2$ .
Salah normalisasi: lupa menghitung $c$ terlebih dahulu.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

“Damages in excess of the deductible” → sudah diketahui $X > 2$ ; hitung probabilitas bersyarat.

▲Red Flags›

Jika ada kondisi “kerusakan melebihi deductible” → selalu $P(X > 10 \mid X > 2)$ , bukan $P(X > 10)$ .

No. 120

Two fair dice, one red and one blue, are rolled.

Let $A$ be the event that the number rolled on the red die is odd.
Let $B$ be the event that the number rolled on the blue die is odd.
Let $C$ be the event that the sum of the numbers rolled on the two dice is odd.

Determine which of the following is true.

a. $A$ , $B$ , and $C$ are not mutually independent, but each pair is independent.
b. $A$ , $B$ , and $C$ are mutually independent.
c. Exactly one pair of the three events is independent.
d. Exactly two of the three pairs are independent.
e. No pair of the three events is independent.

≡Jawaban No. 120›

(a). $A$ , $B$ , dan $C$ tidak mutually independent, tetapi setiap pasang independen.

Field	Isi
Topik CF2	Topik 1 — Probabilitas Dasar
Sub-topik	1.5 Kejadian Independen
Difficulty	Hard
Prerequisite	1.2 Aksioma dan Perhitungan Probabilitas
Connected Topics	1.4 Probabilitas Bersyarat
Referensi	Hogg-Tanis-Zimm Bab 1

ℹRumus›

Independensi pasangan: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$

Mutual independence: $P(A \cap B \cap C) = P(A)P(B)P(C)$

Diketahui:

$P(A) = P(B) = P(C) = 1/2$
Target: apakah $A, B, C$ mutually independent? Apakah setiap pasang independen?

▸Langkah Pengerjaan›

Langkah 1: Cek independensi setiap pasang

$P(A \cap B)$ : merah ganjil DAN biru ganjil = $(3/6)(3/6) = 1/4 = P(A)P(B)$ ✓

$P(A \cap C)$ : merah ganjil DAN jumlah ganjil → jumlah ganjil ketika satu ganjil satu genap; jika merah ganjil, biru harus genap → $(3/6)(3/6) = 1/4 = P(A)P(C)$ ✓

$P(B \cap C)$ : biru ganjil DAN jumlah ganjil → biru ganjil maka merah harus genap → $(3/6)(3/6) = 1/4 = P(B)P(C)$ ✓

→ Setiap pasang independen.

Langkah 2: Cek mutual independence

$P(A \cap B \cap C)$ : merah ganjil, biru ganjil, DAN jumlah ganjil.

Tapi: ganjil + ganjil = genap (bukan ganjil!). Jadi $A \cap B \cap C = \emptyset$ → $P(A \cap B \cap C) = 0$ .

P(A)P(B)P(C) = (1/2)^3 = 1/8 \neq 0

→ $A, B, C$ tidak mutually independent.

Hasil Akhir: (a). $A$ , $B$ , dan $C$ tidak mutually independent, tetapi setiap pasang independen.

◈Jebakan Umum›

⬡Kesalahan Konseptual›

Mengira “setiap pasang independen” → “mutually independent” — ini tidak benar. Pairwise independence tidak menjamin mutual independence.
Lupa bahwa ganjil + ganjil = genap → $A \cap B$ dan $C$ tidak kompatibel.

⬡Kesalahan Interpretasi Soal›

Mutual independence mensyaratkan $P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B) \cdot P(C)$ , yang tidak terpenuhi di sini.

▲Red Flags›

Pairwise independence ≠ mutual independence. Ini adalah contoh klasik dari perbedaan keduanya!